Упруго-пластический изгиб тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

004616963

На правах рукописи

ЗАБЕЛИН Артем Николаевич

УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ТОНКИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ ИЗ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИСХСЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ БОЛЬШИХ

ПРОГИБАХ

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 3 ЛЕИ 2010

Тверь 2010

004616968

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Трещев Александр Анатольевич

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Гараников Валерий Владимирович

кандидат техн. наук, доцент Жидков Андрей Евгеньевич

Ведущая организация ФГУП ГНПП «Сплав», г. Тула

Защита состоится « 24 » декабря 2010 вМ^ на заседании диссертационного совета Д 212.262.02 при Тверском государственном техническом университете по адресу: 170026, г. Тверь, наб. Афанасия Никитина, 22 ауд. Ц-120 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного технического университета.

Автореферат разослан {^ЩЦцЬрЯ 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета

В.И. Гультяев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В настоящее время в машиностроении, ракетостроении, строительстве и других отраслях промышленности для изготовления элементов конструкций и деталей машин используются материалы с усложненными свойствами. Значительную сложность в расчете конструкций, выполненных из таких материалов, является тот факт, что механические характеристики материала меняются в зависимости от вида напряженного состояния. К таким материалам относятся бетоны, керамика, серые и ковкие чугуны, некоторые марки конструкционных графитов, ряд полимеров, и большинство композитов.

До недавнего времени ставилось под сомнение влияние вида напряженного состояния на деформационные характеристики материалов, а результаты экспериментов, подтверждающих это явление, связывались с низким качеством постановки самих экспериментов. Наибольший прогресс в этом направлении был достигнут за последние десятилетия советскими и российскими учеными. По мере накопления экспериментальных данных явление разносопротивляемо-сти отмечалось уже у широкого класса материалов и стало вызывать заметный интерес среди ученых.

Подобные явления проявляется уже при упругой стадии работы конструкции и во многом влияют на распределение напряжений. Сложность поднимаемой проблемы заключается в том, что существенные эффекты, возникающие в работе конструкций и связанные с явлением разносопротивляемости материалов, обнаруживаются при сложном напряженно-деформированном состоянии, которое отличается от простого растяжения или сжатия, что проявляется, например, при изгибе пластин.

Несмотря на сравнительно большое число предложенных определяющих соотношений материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, прикладные исследования эффектов, вызванных с разносопротивляемостью материалов конструкций, сдерживаются наличием существенных недостатков известных моделей, недостаточным для решения данного класса задач развитием численных методов, а также недостаточной ориентацией известных методов строительной механики на их дальнейшее использование в приложениях.

Следует так же отметить, что существующие теории пластичности, как известно, обладают рядом недостатков. Поэтому проблема установления критериев прочности и пластичности разносопротивляющихся материалов и применение этих условий в прикладных задачах по изгибу тонких оболочек, в том числе при больших прогибах остается на данный момент актуальной.

Цель работы. Построение расчетной модели и решение задачи упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах на основе условия пластичности, предложенного Трещевым A.A., а также получение значений предельных нагрузок и исследование развития пластических зон в плане и по толщине оболочки с ростом нагрузки.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть пространство нормированных напряжений, связанное с октаэд-рическими площадками.

2. Проанализировать условия пластичности разносопротивляющихся материалов.

3. Получить дифференциальные уравнения, описывающие упруго-пластический изгиб тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах.

4. Решить ряд прикладных задач пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны выполненных из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах, с учетом различных закреплений по контуру.

5. Провести сравнительный анализ полученных результатов расчета тонких пологих оболочек с учетом классической теории пластичности и условий пластичности, учитывающих зависимость пределов текучести от вида напряженного состояния.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются тонкие пологие оболочки, опертые по контуру, выполненные из дилатирующих разносопротивляющихся материалов, а предметом исследования - свойства разносопротивляющихся материалов и напряженно-деформированное состояние тонких пологих оболочек из этих материалов.

Методы исследования. Основные методы, использованные в работе:

- классические методы механики деформируемого твердого тела для расчета тонких пологих оболочек;

- метод последовательных нагружений, разработанный В.З. Власовым и в последующем развитый В.В. Петровым;

- двухшаговый метод последовательных возмущений параметров В.В. Петрова;

- метод конечных разностей;

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана математическая модель упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при конечных прогибах на основе нового условия пластичности, предложенного Трещевым A.A.

2. Разработан пакет прикладных программ для решения задачи упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах.

3. Получены новые численные конкретные результаты расчета тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах за пределами упругости.

4. Обнаружен ряд новых количественных и качественных эффектов деформирования тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов за пределом упругости при больших прогибах.

5. Обосновано применение нового условия предельного состояния разносопро-тивляющихся материалов при упруго-пластическом изгибе тонких пологих оболочек в области больших прогибов.

6. Проведено сравнение результатов расчета тонких пологих оболочек из раз-носопротивляющихся материалов при больших прогибах с учетом условий пластичности, предложенных Ломакиным Е.В. и Трещевым А.А.

Достоверность представленных научных положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, использованием аппарата и законов механики деформируемого твердого тела, а так же применением апробированных численных и приближенных методов решения, хорошим согласованием принятого условия пластичности с имеющимися экспериментальными данными для ряда разносопро-тивляющихся материалов.

Математическая модель решения задачи изгиба пологих оболочек из раз-носопротивляющихся дилатирующих материалов построена на основе традиционных зависимостей статико-геометрической природы. Данные модели реализовались численно методом конечных разностей, все численные расчеты выполнены на ЭВМ. При этом полученные решения сопоставлены с классическими данными и с результатами исследований на основе наиболее апробированных теорий.

Практическое значение проведенной в рамках госбюджетной НИР Тул-ГУ № 27.06 "Актуальные проблемы технологии строительных материалов и проектирования конструкций", заключается в построении моделей, анализа напряженно-деформированного состояния плоских элементов конструкций, выполненных из материалов, поведение которых не описывается классическими теориями. Данные модели могут быть использованы как для проектных, так и для проверочных расчетов конструкций.

Внедрение результатов работы осуществлено в ООО «Строительное проектирование». Использование результатов работы подтверждено актом о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на следующих конференциях:

-9, 10, 11-ая Международные научно-технические конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», Тула, ТулГУ, 2008-2010 г.г.;

10-я Международная научная конференция «Совеменные проблемы математики, механики, информатики», Тула, ТулГУ, 2009 г.

-3, 5-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики «Социально экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики», Тула, ТулГУ, 2007,2010 г.г.;

- 3, 4, 5-я магистерская научно-техническая конференция, Тула, ТулГУ, 2008-Юг.г.;

- международная конференция RELMAS' «Научно-технические проблемы прогнозирования и долговечности конструкций и методы их решения», СПб., Изд-во Политехи, ун-та, 2008 г.;

- 7-я Международная научно-техническая конференция «Эффективные строительные конструкции: теория и практика», Пенза, ПГУАС, 2008 г.;

- 2, 4-я научно-практическая конференция ТулГУ «Молодежные инновации», Тула, ТулГУ, 2009-2010 г.г.

Полностью диссертация была заслушана на расширенном заседании кафедры ССМиК Тульского государственного университета 31 мая 2010 года, а также 14 октября 2010 года в Тверском государственном техническом университете на семинаре по проблемам МДЦТ под руководством д.т.н., проф. Зубча-нинова В.Г.

Публикации. Результаты исследований опубликованы в 15 печатных работах, в том числе три работы в изданиях рекомендуемых ВАК РФ.

На защиту выносятся:

- методика расчета тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляющихся материалов в упругой и упруго-пластических стадиях деформирования при больших прогибах;

- математическая модель упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах.

- результаты расчета тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов;

- обоснование примененимости нового условия предельного состояния разносопротивляющихся материалов при упруго-пластическом изгибе тонких пологих оболочек в области конечных прогибов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 108 наименований и приложения. Диссертация содержит 137 страниц основного текста, в том числе 4 таблицы, 49 рисунков и приложения на 69 страницах содержащего результаты расчета, текст программы расчета прямоугольной в плане тонкой пологой оболочки и документы о внедрении.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, приводится описание отдельных ее глав, дается характеристика научной новизны, достоверности и обосновывается ее практическая ценность.

В первом разделе диссертации дается обзор с приведением положительных и отрицательных характеристик основных условий предельного состояния разносопротивляющихся материалов и теорий тонких пологих оболочек. В частности рассматриваются предельные критерии Мизеса - Генки, Кулона - Мора, Ягна Ю.И., Баландина П.П., Миролюбова И.Н., Толоконникова J1.A., Шлейхера, Гениева Г.А. - Киссюка В.Н., Лукша JI.K., Ахвердова И.Н., Друкке-ра-Прагера, Карпенко Н.И., Грина. На основе проведенного анализа делается вывод, что все эти теории ориентированы на узкий класс материалов и не могут претендовать на общность. Рассмотрены работы А. И. Стрельбицкой, В.А. Кол-

гадина, С. Н. Матошко, J1. В. Енджиевского, Л. М. Качанова и др., внесших свой вклад в развитие теории расчета пластин и оболочек за пределами упругости.

Отмечается ряд работ, в которых в качестве функции вида напряженного состояния принимаются отношение среднего напряжения а к интенсивности напряжений ст0 или отношение средних деформаций к интенсивности деформаций. Этот принцип положен в основу условия предельного состояния Ломакина Е.В. и деформационной теории Березина A.B.

Условие предельного состояния предложенное Ломакиным Е.В. представляется в следующем обобщенном виде:

F{<T,j)=/(?)*„= к, (1)

где ) - функция вида напряженного состояния; = а/а0; о = (Ту0у /3 - напряжение, характеризующее среднее нормальное напряжение в точке сплошной среды; а0 - напряжение, характеризующее значение среднего касательного напряжение в той же среде; к = л/3 тх; г, - предел текучести при сдвиге.

Функция вида напряженного состояния f(E*) определяется отдельно для каждого материала путем обработки экспериментальных диаграмм предельных состояний конкретного материала при различных видах напряженного состояния. Ломакиным Е.В. были обработаны такие диаграммы для полиэтилена высокого давления, полиметилметакрилата, фенопласта АГ-4В, графитов ВПП и МПГ-6, чугуна МСЧ 38-60. Аппроксимации функций предложенные Ломакиным Е.В. и значения констант к для конкретных материалов представлены в диссертации.

Для конкретных видов функции напряженного состояния можно

получить некоторые предложенные ранее критерии прочности и пластичности. Условие предельного состояния предложенное Ломакиным Е.В. для данных конкретных материалов является наиболее приемлемым на данный момент, но и оно имеет определенные недостатки, которые рассмотрены во втором разделе.

Во втором разделе анализируется новое условие пластичности для разно-сопротивляющихся материалов, предложенное Трещевым A.A., для чего рассматриваются пространства нормированных напряжений введенные в работах Матченко Н.М., Трещева A.A.

Пространство №1 связано с пространством главных напряжений. Данное пространство при построении определяющих соотношений разносопротив-ляющихся материалов целесообразней заменить пространством №2, норма которого связана с октаэдрической площадкой. В этом пространстве нормой является модуль вектора полного напряжения на октаэдрической площадке, пространственная ориентация которого определяется углами у/ н <р:

50=л/а^+ г2, (2)

где а - среднее напряжение или нормальное октаэдрическое; г - касательное октаэдрическое напряжение.

Углы у/ и (р можно вычислить, опираясь на зависимости: cos4/ = £ = о/Sg ; simp =т] = т/ S0 ;

cos3<p = -j2dei(s,j)/r3, ^

где Sy - девиатор напряжений (/, j - 1, 2, 3).

Гармонические функции § и 77 в этом пространстве выполняют функции нормального и касательного нормированных напряжений. Условие нормировки для этого пространства имеет вид

|2+i72=i. (4)

Указанное нормированное пространство определяет вид напряженного состояния параметрами: /7, и <р. В свою очередь параметр (р неспособен однозначно установить изменение вида напряженного состояния, так как при его различных видах (р может принимать одно и то же значение. Матченко Н.М. и Трещев A.A., применяя качественные характеристики £ и 77, для рассмотрения соотношений теории деформирования для изотропного разномодульного тела показали, что они меняются непрерывно в диапазонах от -1 до +1 и от 0 до +1 соответственно. Введение в определяющие уравнения всех качественных параметров т], и (р непременно усложнит расчеты, поэтому при построении условий пластичности разносопротивляющихся материалов целесообразней использовать один параметр £. Подобный подход, который был показан в первом разделе, был, реализовал при разработке условий предложенных Ломакиным Е.В.

Анализ работ по исследованию свойств некоторых материалов в условиях сложного напряженного состояния наглядно демонстрирующих влияние вида напряженного состояния на величину интенсивности напряжений, соответствующей пределу текучести или пределу прочности для ряда конструкционных материалов позволил Трещеву A.A. представить новое условие пластичности и прочности в следующем виде:

F(Oy) = T-№) = kTi (5)

где /(£,)- функция вида напряженного состояния;

для условия пластичности кт = -JY73 г, (где г, - предел текучести при чистом сдвиге); для условий прочности кт = -J2/ Зть (где гА - предел прочности при чистом сдвиге); в условиях изотропного упрочнения величина кт представляет собой функцию параметра упрочнения.

Параметр £ автор условия (5) предлагает определять следующим образом: Z = CT/S0.

Были рассмотрены, предложенные Трещевым A.A. аппроксимации функции, зависящей от вида напряженного состояния:

а) линейная функция -/(%)= 1 + А/ £ ; (6)

б) кусочно-линейная функция-f(^) = l + (Al + А2 signг?; (7)

в) экспоненциальная функция - f(%) = eA'Z ; (8)

г) кусочно-экспоненциальная функция -/(%) = е^А'~Аз''к" ; (9)

Аппроксимации функций f(4) предложенные Трещевым A.A., значения констант кт, и коэффициентов А,, А2 для конкретных материалов представлены в диссертации.

Показано, что полученные аппроксимации функции вида напряженного состояния, имеют линейный или близкий к линейному характер. Это является некоторым преимуществом нового условия предельного состояния Трещева A.A. (5) перед условием (1), так как линейные или близкие к ним зависимости гораздо предпочтительнее при решении конкретных прикладных задач. Так же показано, что параметр вида напряженного состояния £ определен на интервале [-1; 1], чего не скажешь об аналогичном параметре вида напряженного состояния который имеет неопределенности типа ±оо, что не позволяет охватить в достаточном объеме все разнообразие напряженных состояний. Так же важным является отсутствие противоречий частных случаев функции вида напряженного состояния постулату Друккера о выпуклости предельной поверхности. На рис. 1 и рис. 2 представлены предельные диаграммы, соответствующие условию пластичности (5) при плоском напряженном состоянии, для чугуна МСЧ38-60 и полиметилметакрилата соответственно.

а2/кх а2/кт

<Tj/kT

а,/кт

Рис. 1. Предельные диаграммы, соответствующие условию пластичности (5) при плоском напряженном состоянии чугуна МСЧ38-60.

В третьем разделе рассмотрена изгиба тонких пологих оболочек из

Рис. 2. Предельные диаграммы, соответствующие условию пластичности (5) при плоском напряженном состоянии полиметилметакрилата.

постановка задачи упруго-пластического разносопротивлющихся материалов при

больших прогибах. Приводятся основные принятые в работе предпосылки и гипотезы для описания работы тонких пологих оболочек. Строятся разрешающие уравнения упруго-пластического деформирования тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляющихся материалов в геометрически нелинейной постановке.

При решении поставленной задачи предполагается, что диаграммы материалов обладают ярко выраженной площадкой текучести, такой чтобы применение концепции идеально упруго-пластического тела к рассмотренному материалу не вызывало возражений. Используются обычные положения технической теории изгиба оболочек: гипотеза плоских сечений и гипотеза плоского напряженного состояния. Нагружение считается простым. Рассматривается три стадии работы оболочки:

- стадия упругих деформаций (рис. З.а);

- упруго-пластическая стадия с односторонней пластичностью (рис.3.б);

- упруго-пластическая стадия с двусторонней пластичностью (рис.3.в).

а) „ б) В)

(Га

Оа

Ви

/ И.О.

/ Си

/ С.О.

у/ £ но.

са

С.О.

(¡а

Рис. 3. Распределение напряжений по толщине сечения оболочки: Ац, Вц - напряжения, вызывающие пластичность соответственно в нижней и верхней зонах; ац,Ьц - координаты глубин проникновения по толщине оболочки напряжений, вызывающих пластичность соответственно в нижней и верхней зонах.

Предполагая, что объемных сил в плоскости X/ не имеется и что нагрузка действует перпендикулярно к поверхности оболочки, принимаются следующие уравнения равновесия элемента в плоскости х1 х2:

ЭЛЛ, ЭЛГ.

дх,

+

31 -

дx^

= 0;

дх.

дх-,

= 0;

(10)

где Ыу - усилия в серединной поверхности.

Третье уравнение, получаемое из рассмотрения деформации в срединной поверхности оболочки при ее изгибе, имеет вид:

д2Ми д М -1А-+------

дх1{

дх.

дх,дх?

= N,

2 + K, \+Nt

'd2w + K

2

+ 2 Nr,

8 w

(10

где Му - моменты.

В серединной поверхности возникают деформации , обусловленные не

только растяжением серединной поверхности, вызванного навальной кривизной оболочки в упругой работе материала, но и различием пластических свойств материала в растянутой и в сжатой зонах, а следовательно, дополнительным смещением нейтральных поверхностей. Поэтому выражение для деформаций произвольной точки сечения, не принадлежащей серединной поверхности, представляется в виде:

82 д2 м>

ец = еп -2Т~7'> е22 =е22~х-—7'' =712

д2 w

дх/ " " дх2 где £¡j - деформации в серединной поверхности, равные:

ex, дх2

е,, =-

ди дх.

Kxw +

dw

\2

дх

е22

1 У

dv <Зх->

K¡w +

dw

дх

г)

У12

д и dv dw

- +-+ -

dx-, dx, dx, dx-,

Тогда выражения для учитываемых напряжений приобретут следующую форму:

=^11 (>11 -2-Дп); СТ22 = ^22 (Г22 -2'А22); Т|2 = (/"12 - 2 ■ Д]2 ) , (12)

где

~ ^22

:£/(1-ц2); Fl2 = £/(1

d1w d2w

An=—F + ^T-T дх, дх,

Д„ =

d2w d2w

дх,

+ И—'Tí =

ох,

d2w dx¡dx2

Г\\ = Е11 И ' е22 ' Г22 ~ S22 Ц " е11 > ~ ^12'

В данных формулах за величину 2 принято расстояние по оси х3 от нейтральной поверхности до рассматриваемой точки. Это обозначение будет сохраняться и в дальнейших выкладках.

Возникновение деформаций в срединной поверхности в связи с явлениями, описанными выше, указывает на то, что упругая стадия работы материала, проявляющего разносопротивляемость в пластической области, полностью описывается дифференциальными уравнениями (10) - (11), описывающими упругое состояние оболочек, выполненных из изотропного классического материала.

С увеличением нагрузки и достижением напряженного состояния величины, соответствующей образованию пластичности в каких-либо волокнах, в рассматриваемой точке начинает реализовываться упруго-пластическая стадия работы с односторонней пластичностью. В этом случае напряжения сг,у соответствующие образованию пластичности в нижней зоне сг,, = Л(/ или в верхней зоне оц = Ву фиксируются и остаются неизменными при дальнейшем деформировании.

Значения сил в серединной поверхности и моментов определяются интегрированием напряжений, по толщине оболочки следующим образом:

щ, Л/2

N..

<Ч„ --.Т„ + С„ • Дц

-к'2 щ,

"V А/2

МУ = + \Ач2ск => Ми = Ки + ■ Лу

(13)

(14)

-Ы2

к,

где, Ту = - ^ I + /V • гЛ а, + ■± , Су = -Аа} - ^

А,. 11 2

и""'

-г

V V

/

" 4

V

3 1,3

С дальнейшем увеличением нагрузки и распространением пластичности по глубине сечения в некоторой точке оболочки возникает пластичность в противоположных волокнах и работа материала оболочки в этой точке переходит в упруго-пластическую стадию с двусторонней пластичностью. В этом случае, как и при односторонней пластичности напряжения о"у соответствующие образованию пластичности в противоположной зоне сгц = Ац или о"у = Ву фиксируются и остаются неизменными при дальнейшем деформировании.

Значения продольных сил в серединной плоскости и моментов определяются интегрированием напряжений, по толщине оболочки следующим образом:

И/2

05)

-А'2

к'2

М у - |оу 2ск + ^АугсЬ

(16)

-А/2

где, Т^в1ь, Лу^Л-^ + ^.г^ с„ = _

4 2

2

2 ^ А'А*2

~ 4

Ь

—а»

ь.

2 V у ч г ~ ч 2

V у \ у

Уравнения равновесия оболочки (10) - (11) с учетом работы элемента оболочки как при односторонней (13) - (14) так и при двусторонней (15) - (16) пластичности запишутся в виде:

8{Ти+Си- А„) + а(7]2+С|2-А,2) = 0. ^ ЙС] дх2

ll) + S(T22+C22'A22) _ Q.

8х, ftc2

82{RU+SU-AU) d2(R22+S22-A22) d2(Rl2 + Sn-Ai2)_ ---------j--------—~

дх2 dx2 dxidx2

q + (Tu+Cu.An)^ + (T22+C22.A22)^~

-2(Tu+Cn- + K2 (7;, + C„ • Дu) + K, (T22 + C22 ■ А22)

Системы нелинейных дифференциальных уравнений (18)-(20) совместно с граничными условиями определяют перемещения w, v и и, а задача по исследованию напряженно-деформированного состояния оболочки в пластической стадии, в конечном счете, сводится к решению данных систем уравнений. Таким образом, полученные дифференциальные уравнения (18)-(20) полностью описывают деформирование тонких пологих оболочек на всех стадиях работы материала.

Полученные системы дифференциальных уравнений имеет ярко выраженную нелинейность, вследствие чего появляются определенные трудности при их решении. Для решения указанных уравнений используется методика последовательных нагружений, разработанная В.З.Власовым и в последующем развитая В.В.Петровым. Для повышения точности данная методика приводится к двухшаговому методу последовательных возмущений параметров Петрова В.В.

Решение линеаризованных по методу В.З.Власова и В.В.Петрова данных систем уравнений было произведено при использовании численного метода конечных разностей. Для определения положения нейтральной оси привлекается итерационная процедура. Поэтому совокупность этих методов назовем двухша-гово-итерационным.

В четвертом разделе на основе нового варианта условий пластичности разработана методика решения задачи упруго-пластического деформирования тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах. Проводится расчет прямоугольных в плане тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны при шарнирном опирании и жесткой заделки. Анализируются полученные результаты.

В данной работе были рассчитаны квадратные в плане тонкие пологие оболочки, выполненные из полиметилметакрилата и конструкционного графита МПГ-6 при различных граничных условиях. Причем расчет выполнялся в трех вариантах. В первом варианте расчета условие пластичности рассматривалось в форме (5), предложенное Трещевым A.A. Во втором варианте расчета условие пластичности рассматривалось в форме (1), предложенное Ломакиным Е.В. В третьем варианте расчета, условие пластичности принималось в традиционной классической форме Губера - Мизеса.

Геометрические размеры оболочек принимались одинаковыми для всех вариантов расчета, а именно:

Для расчета оболочки из конструкционного графита МПГ-6:

- толщина - 2 см; - размеры в плане - 100x100 см;

- стрела подъема в центре плана - 15 см; - главные кривизны К(= К2—0,6.

Для расчета оболочки из полиметилметакрилата (ПММА):

- толщина -10 см; - размеры в плане - 100x100 см;

- стрела подъема в центре плана - 10 см; - главные кривизны К)= К2= -0,4.

Поверхность оболочки покрывалась сеткой 21 х21 ячейки. В таблице 1 приведены результаты расчета квадратной в плане тонкой пологой оболочки из полиметилметакрилата при шарнирном опирании по всем четырем сторонам. Номера точек, в которых впервые возникла пластичность, указаны в скобках. Точка 121 является центром плана оболочки.

__Таблица 1

Вариант расчета Нагрузка, со щая появлен ности отвстствую-ию пластич-МПа Нагрузка,соответствующая наступленшо предельного состояния, МПа

В верхней зоне В нижней зоне

I (Трещев) 3,85 (I) 2,6(121) 4,43 (40,0%):

II (Ломакин) 4,82(1) 2,97(121) 4,92 (26,0%)

III (Губер-Мизес) 4,93 (I) 3,27(121) 6,2

Анализ полученных результатов, приведенных в данной таблице, показывает, что не учет зависимости характеристик пластичности от вида напряженного состояния (III вариант расчета) приводит к значительному завышению величин нагрузок, соответствующих образованию пластичности (до 26%) и предельных нагрузок (40%). С другой стороны, различие в значениях для указанных нагрузок, полученных в I и II вариантах, не превышает 9%.

На рис. 4 и 5 представлены полученные картины развития пластичности по поверхности оболочки на стадии развитых пластических деформаций для первого и второго вариантов расчета. Область поверхности, вступившей в состояние пластичности, заштрихована.

б)

Рис. 4. Распространение пластичности по поверхности оболочки при первом варианте расчета (^=5.55 МПа), а) - нижняя поверхность, б) - верхняя поверхность.

На рис. б и 7 представлены развитие пластичности по глубине центрального и диагонального сечений оболочки соответственно на стадии развитых пластических деформаций. Сплошными линиями обозначены зоны пластичности,

полученные при первом варианте расчета, штриховыми - при втором, а штрих-пунктирными- при третьем.

Рис. 5 Распространение пластичности по поверхности оболочки при втором варианте расчета ( ц=3.85 МПа), а) - нижняя поверхность, б) - верхняя поверхность.

Рис. 6. Развитие пластичности по глубине центрального сечения при нагрузке д=3.85 МПа.

грузке д=3.85 МПа.

Анализ распространения пластичности по поверхности оболочки показывает, что пластичность сначала возникает в центре нижней поверхности, а затем образуется в углах верхней поверхности. Показано, что конфигурации областей, занятых пластичностью, для верхней и нижней поверхностей оболочки в начале нагружения существенно отличаются как качественно, так и количественно для всех трех вариантов расчета. Развитие пластичности по нижней поверхности стремится занять всю площадь, развиваясь от центра к краям оболочки. Развитие пластичности по верхней поверхности также стремится занять всю площадь, развиваясь одновременно от всех углов к центру. Причем в третьем варианте расчета пластичность в верхней зоне начинается в угловых областях, но непосредственно в угловых точках отсутствует. Для третьего варианта расчета в первую очередь это связано с разгружающим действием мембранных усилий, а для первого и второго варианта расчета, в том числе и с особенностями развития пластических деформаций для реальных разносопротив-ляющихся материалов, описываемых условиями (1) и (5), а именно с учетом зависимости механических характеристик от вида напряженного состояния.

На рис. 8 отражены зависимости безразмерного прогиба в центральной точке оболочки от величины интенсивности нагрузки. Сплошной линией изображена кривая, полученная в первом варианте расчета, штриховой - во втором варианте расчета, штриховой с пунктиром - в третьем варианте расчета.

п 10^Пй Образование шарнира пмсшичнссди

0.2 0А 0.6 0.8 1

Рис. 8. Зависимость прогиба в центральной точке оболочки от нагрузки

Из данной диаграммы следует, что в начальной стадии упруго-пластических деформаций кривые, полученные в первом и втором вариантах расчета имеют незначительное расхождение (около 10%). Причем эта разница увеличивается именно ближе к моменту возникновения пластического шарнира. По отношению к третьему у двух первых вариантов наблюдается значительно расхождение в значениях нагрузок. Такая разница в зоне развитых пластических деформаций составляет 30% - 40%.

В случае жестко защемленной квадратной в плане тонкой пологой оболочки из полиметилметакрилата, а так же шарнирно опертой и жестко защемленной квадратной в плане тонкой пологой оболочки из конструкционного графита МПГ-6, полученные результаты, подобны приведенным в таблице 1 и на рис. 48. Т. е. наблюдается близость результатов, полученных в I и II вариантах расчета и значительное расхождение их с III вариантом.

В приложениях представлен обширный графический материал, как результат о выполненных расчетах и практической применимости полученных в диссертации результатов.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Приведенный в первом разделе диссертации анализ известных предельных критериев, учитывающих в той или иной степени свойства разносопротивляю-щихся материалов позволяет сделать вывод о том, что все они в большей или меньшей степени обладают определенными недостатками. Поэтому, проблема

определения предельных состояний разносопротивляющихся дилатирующих материалов остается, на данный момент, открытой и актуальной.

Проведенный анализ полученных результатов, при учете свойств разносо-противляемости в первом варианте расчета с условием пластичности, предложенным Трещевым А.А и втором варианте расчета с условием пластичности, предложенным Ломакиным Е.В., позволил сделать вывод о недопустимости применения классических подходов к данным материалам.

Незначительное расхождение в полученных результатах у первого варианта расчета с условием пластичности, предложенным Трещевым А.А и второго варианта расчета с условием пластичности, предложенным Ломакиным Е.В., указывает на приемлемость применения нового условия пластичности для решения рассматриваемой задачи.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Проведен анализ применимости нового условия предельного состояния Трещева A.A. для решения задачи упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах.

2. Проведено исследование упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек, выполненных из изотропных дилатирующих разносопротивляющихся материалов при больших прогибах. Работа оболочки разделялась на три стадии:

- упругая работа

- состояние односторонней пластичности

- состояние двусторонней пластичности.

Следует заметить, что упругая стадия работы оболочки рассматривалась в рамках классической теории изгиба оболочек при больших прогибах. Для двух последних указанных стадий были получены разрешающие дифференциальные уравнения.

3. Полученные уравнения решены численным методом конечных разностей. Причем в связи с некоторыми особенностями решаемой задачи рассматривались совместно центральные и односторонние разности.

4. Решен ряд прикладных задач по упруго-пластическому изгибу тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах. А именно, рассчитаны квадратные в плане тонкие пологие оболочки, выполненные из полиметилметакрилата и конструкционного графита МПГ-6 при шарнирном опирании и жесткой защемлении контуров. Расчет производился по трем вариантам. В первом варианте расчета рассматривалось новое условие пластичности, предложенное Трещевым A.A. Во втором варианте расчета условия пластичности рассматривалось в форме, предложенной Ломакиным Е.В. В третьем варианте расчета, условие пластичности принималось в традиционной классической форме Губера - Мизеса.

5. Для всех материалов и способов закрепления, рассматриваемых в данной диссертации показано хорошее согласование результатов расчетов с учетом

условий пластичности Трещева A.A. и Ломакина Е.В. (максимальные расхождения по предельным нагрузкам составляют 5-10%).

6. Показано, что не учет пластической разиосопротивляемости может привести к серьезному завышению значений предельных нагрузок (40-80% в зависимости от материала).

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций:

1. Забелин А.Н. Определение напряженно деформированного состояния пологой оболочки из дилатирующего материала за пределом упругости / А.Н. Забелин, А.А.Трещев // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ,2010.-С. 94- 102.

2. Забелин А.Н. Упруго-пластическая деформация тонкой пологой оболочки из разносопротивляюшихся дилатирующих материалов при конечных прогибах / А.Н. Забелин, А.А.Трещев // Строительная механика и расчет сооружений. 2010. №4. С. 63-68.

3. Забелин А.Н. Упругопластический изгиб тонкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны из дилатирующих материалов при конечных прогибах / А.Н. Забелин, A.A. Трещев // Строительство и реконструкция. -Орел: ОрелГТУ. - 2010. №3. С. 39-45.

Публикации в других изданиях:

4. Забелин А.Н. Исследование упругопласгических состояний толстостенной цилиндрической оболочки конечной длины из дилатирующего материала / А.Н. Забелин, A.A. Трещев // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сборник материалов 8-й Международной конференции. -Тула: ТулГУ. -2007.-С. 70.

5. Забелин А.Н. Пластический изгиб прямоугольных пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов при конечных прогибах / А.Н. Забелин, A.A. Трещев, П.В. Божанов, С.А. Рыбальченко, В.А. Захарченко И Социально экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики: 3-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007 г.-С. 227-236.

6. Забелин А.Н. Упруго-пластический изгиб тонкой пологой оболочки по-ложтельной гауссовой кривизны из дилатирующих материалов при конечных прогибах / А.Н. Забелин, A.A. Трещев, П.В. Божанов, В.А. Захарченко, С.А. Рыбальченко // 2-я научно-практическая конференция ТулГУ «Молодежные инновации». - Тула: ТулГУ. - 2008. - С. 23-24.

7. Забелин А.Н. Определение напряженно-деформированного состояния тонкой пологой оболочки с учетом пластической дилатанси / А.Н. Забелин, A.A. Трещев, П.В. Божанов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я.Яковлева. - ЧГПУ. Механика предельного состояния. - 2008. - №2. - С. 16-23.

8. Забелин А.Н. Исследование упругопластических состояний тонкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны из дилатирующего материала / А.Н. Забелин, A.A. Трещев, ГТ.В. Божанов // Научно-технические проблемы прогнозирования и долговечности конструкций и методы их решения: Труды международной конференции RELMAS' 2008. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. -2008.-С. 339-343.

9. Забелин А.Н. Определение напряженно деформированного состояния тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопро-тивляющихся материалов / А.Н. Забелин, A.A. Трещев, П.В. Божанов // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сборник материалов 10-й Международной конференции.-Тула: ТулГУ. -2009.-С. 18

10. Забелин А.Н. Исследование напряженно-деформированных состояний тонкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны из дилатирую-щих материалов / А.Н. Забелин, A.A. Трещев, П.В. Божанов // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». - Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - С. 292-293.

11. Забелин А.Н. Исследование напряженно-деформированных состояний тонкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны из разносопро-тивляющегося дилатирующего материала. / А.Н. Забелин // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики: 5-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. Материалы конференции: ТулГУ, Тула, 2009. Т.2. - С. 102-110.

12. Забелин А.Н. Пластический изгиб тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляющихся материалов / А.Н. Забелин И VI-я магистерская научно-техническая конференция Тульского государственного университета: сборник докладов / под общей редакцией д-ра техн наук, проф. Ядыкина Е.А.-Тула: Изд-во ТулГУ, 2009 - С. 187-189.

13. Забелин А.Н. Изгиб тонкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны из дилатирующего материала за пределами упругости 1 А.Н. Забелин, A.A. Трещев, П.В.Божанов // Вестник Центрального регионального отделения РААСН. - Воронеж-Тамбов: РААСН-ТГТУ. -2009. - Вып. 8.- С. 235-237.

14. Забелин А.Н. Исследование напряженных состояний тонкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны из дилатирующего материала при конечных прогибах / А.Н. Забелин, A.A. Трещев // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сборник материалов 11-й Международной кон-ференции. -Тула: ТулГУ. -2010,- С. 108-110.

15. Забелин А.Н. К исследованию напряженно деформированного состояния оболочек из дилатирующего материала за пределом упругости / А.Н. Забелин П.В.Божанов, С.А. Рыбальченко // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики: 6-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики Материалы конференции: ТулГУ, Тула, 2010. Т.2. - С. 110-117

Типография ООО фирма "НАЯ", г. Тула, ул. Тургеневская, 50, Заказ № 256, тир. 120 экз. Отпечатано с готового оригинал-макета заказчика

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ УСЛОВИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОЛРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ.

2 УСЛОВИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ДИЛАТИРУЮЩИХ РАЗН0С0ПР0ТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ.

2.1 ПРОСТРАНСТВО НОРМИРОВАННЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.

2.2 УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ ДИЛАТИРУЮЩИХ МАТЕРИА- 45 ЛОВ

2.3 КРАТКИЕ ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

3 ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБА ТОНКИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ.

3.1 ОСНОВНЫЕ ПРИНЯТЫЕ ГИПОТЕЗЫ.

3.2 ОСНОВНЫЕ РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА ТОНКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

3.3 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ РАЗРЕШАЮЩИХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ИЗГИБА ТОНКИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.

3.4 МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ИЗГИБА ТОНКИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.

3.5 КРАТКИЕ ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

4. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ И АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

4.1 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

4.2 РЕЗУЛЬТАТ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК И АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ

РЕЗУЛЬТАТОВ.

4.2.1. ШАРНИРНО ОПЕРТАЯ КВАДРАТНАЯ В ПЛАНЕ ТОНКАЯ ПОЛОГАЯ ОБОЛОЧКА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ

ИЗ ПОЛИМЕТИЛМЕТАКРИЛАТА.

4.2.2. ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННАЯ КВАДРАТНАЯ В ПЛАНЕ ТОНКАЯ ПОЛОГАЯ ОБОЛОЧКА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИ

ВИЗНЫ ИЗ ПОЛИМЕТИЛМЕТАКРИЛАТА.

4.2.3. ШАРНИРНО ОПЕРТАЯ КВАДРАТНАЯ В ПЛАНЕ ТОНКАЯ ПОЛОГАЯ ОБОЛОЧКА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ ИЗ КОНСТРУКЦИОННОГО ГРАФИТА МПГ-б.

4.2.4. ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННАЯ КВАДРАТНАЯ В ПЛАНЕ ТОНКАЯ ПОЛОГАЯ ОБОЛОЧКА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ ИЗ КОНСТРУКЦИОННОГО ГРАФИТА МПГ-б.

4.3 КРАТКИЕ ВЫВОДЫ.

В последние годы происходит широкое внедрение композитных и полимерных материалов в строительстве, в машиностроении, а также во многих других отраслях народного хозяйства. Однако полноценное их применение осложнено отсутствием единой расчетной базы.

Анализ экспериментальных данных по деформированию и предельным состояниям таких материалов как чугунов, графитов, бетонов указывает на не применимость к ним обобщенного закона Гука. Гораздо более эффективным оказывается аналитическое представление опытных данных при одноосном растяжении и при одноосном сжатии различными линейными функциями с вычислением модулей деформации, соответствующих одноосному растяжению и одноосному сжатию. Этот подход можно считать основным для представления свойств изотропного разносопротивляющегося материала.

При выходе за пределы упругости, линейные аппроксимации оказываются недостаточно точны, и в этом случае необходимо использовать более точные нелинейные аппроксимации. Следует также заметить, что, выше упомянутые, нелинейные аппроксимации должны учитывать характерную особенность деформирования разносопротивляющихся материалов -зависимость характеристик деформирования от вида напряженного состояния и склонность к дилатации. Причем последнее замечание в большей степени относится к области пластических деформаций материалов, поскольку экспериментальные данные указывают на то, что зависимость деформационных характеристик материалов от вида напряженного состояния проявляется при высоком уровне напряжений.

До недавнего времени ставилось под сомнение влияние вида напряженного состояния на деформационные характеристики материалов, а результаты экспериментов, подтверждающих это явление, связывались с низким качеством постановки самих экспериментов. Прогресс в этом направлении был, достигнут за последние десятилетия советскими и российскими учеными. По мере накопления экспериментальных данных явление разносопротивляемости отмечалось уже у широкого класса материалов и стало вызывать заметный интерес среди ученых. Естественно, что развитие исследований в этой области привело к появлению фундаментальных результатов в области построения определяющих соотношений разносопротивляющихся сред.

Дальнейшее изучение свойств и поведения, разно сопротивляющихся материалов обнаружило, что ощутимые эффекты, возникающие в работе конструкций, связанные с явлением разно сопротивляемости, обнаруживаются лишь при сложном напряженно-деформированном состоянии. К числу таких состояний, несомненно, относится плоское напряженное состояние. Диаграммы предельных состояний некоторых материалов приводятся ниже. На рис. 0.1 приведены диаграммы предельных состояний бетонов с пределом прочности на сжатие И=30.9 МПа (сплошная линия) и К=18.б4 МПа (штриховая линия) [107]; на рис. 0.2 - мелкозернистого графита марки МПГ - б (сплошная линия) и среднезернистого марки ВПП (штриховая линия), полученные при испытании трубчатых образцов под действием внутреннего давления и осевой силы [86]; на рис. 0.3 - чугунов СЧ 18 - 36 (сплошная линия) [16] и СЧ 400 (штриховая линия) [44]; на рис. 0.4 полиметилметакрилата [24]; на рис. 0.5 - фторопласта [18] и на рис. 0.6 - фенопласта К-18-2 [36].

Рис. 0.1

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

РИС. 0.2

Рис. 0.3 Рис. 0.4

На основе анализа приведенных диаграмм предельных состояний можно заключить, что вид напряженного состояния существенно влияет на величину предельных напряжений. Причем следует отметить, что эта величина зависит не только от вида напряженного состояния, но и от количественного соотношения возникающих напряжений.

Как уже ранее отмечалось, явление разносопротивляемо-сти материалов вносит существенные эффекты в работу конструкций лишь при сложном напряженно-деформированном состоянии. Ярким примером которого является изгиб. Поэтому плиты, пластины, оболочки представляют большой интерес с позиции теории разносопротивляющихся сред, а учет свойств разносопротивляемости может привести к глобальному пересмотру механики пластин и оболочек.

Изучению пластического изгиба тонких пологих оболочек посвящен ряд работ. Причем для материалов с классическими свойствами исследования в этой области, в основном сводятся к определению предельных нагрузок, а что касается разносопротивляющихся материалов, то работы носят теоретический характер без проведения расчетов.

С учетом выше сказанного целью данной работы является решение задачи пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из дилатирующих разносопротивляющихся материалов, получение значений предельных нагрузок и изучение развития пластических зон по толщине оболочки с ростом нагрузки.

Для этой цели необходимо:

- Рассмотреть пространство нормированных напряжений, связанное с октаэдрическими площадками.

- Проанализировать условия пластичности разносопротивляющихся материалов.

Получить дифференциальные уравнения, описывающие упруго-пластический изгиб тонких пологих оболочек из раз-носопротивляющихся материалов при больших прогибах.

- Решить ряд прикладных задач пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны выполненных из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах, с учетом различных закреплений по контуру.

- Провести сравнительный анализ полученных результатов расчета тонких пологих оболочек с учетом классической теории пластичности и условий пластичности, учитывающих зависимость пределов текучести от вида напряженного состояния .

В диссертации решается актуальная задача описания пластического изгиба тонких пологих оболочек из дилати— рующих разносопротивляющихся материалов. Причем полученные результаты указывают на то, что поведение оболочек из рассмотренных материалов при изгибе за пределом упругости не укладывается в рамки классической теории изгиба оболочек. Следует также заметить, что данная работа не претендует на точное описание пластического изгиба тонких пологих оболочек из любого, разносопротивляющегося материала. В дальнейшем следует развивать теорию изгиба тонких оболочек для подобных материалов, предлагать новые варианты условий предельных состояний, развивать специальные численные методы. При последующем накоплении определенного запаса знаний в этой области можно будет говорить о применимости какого-то определенного подхода к описанию свойств того или иного класса материалов. И чем богаче будет этот запас, тем с большей степенью уверенности можно будет прогнозировать работу рассматриваемых, в рамках данной диссертационной работы, конструкций.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

Разработана математическая модель упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек из разносо-противляющихся материалов при конечных прогибах на основе нового условия пластичности, предложенного Трещевым A.A.

- Разработан пакет прикладных программ для решения задачи упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляю-щихся материалов при больших прогибах.

- Получены новые численные конкретные результаты расчета тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах за пределами упругости.

- Обнаружен ряд новых количественных и качественных эффектов деформирования тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов за пределом упругости при больших прогибах.

- Обосновано применение нового условия предельного состояния разносопротивляющихся материалов при упруго-пластическом изгибе тонких пологих оболочек в области больших прогибов.

- Проведено сравнение результатов расчета тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах с учетом условий пластичности, предложенных Ломакиным Е.В. и Трещевым A.A.

Диссертационная работа состоит из четырех разделов, заключения, списка цитируемой литературы и приложений.

В первом разделе приводится обзор основных условий предельного состояния разносопротивляющихся материалов.

Во втором разделе рассматривается вариант нормированного пространства напряжений связанного с октаэдрическими площадками, показывается вывод условия пластичности для дилатирующих разносопротивляющихся материалов. Для вывода зависимостей между пластическими составляющими приращений деформации и напряжениями принимается ассоциированный с введенным условием пластичности закон течения. Из общих соотношений выводятся уравнения для описания пластического деформирования в условиях плоской деформации. Проверяется выпуклость предельной поверхности в соответствии с постулатом Друккера.

В третьей главе происходит постановка задачи изгиба пологих оболочек из дилатирующих разносопротивлющихся материалов за пределом упругости. Приводятся основные принятые в работе предпосылки и гипотезы для описания работы тонкой пологой оболочки. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия тонких пологих оболочек из указанных выше материалов, распространяется метод конечных разностей, на случай разносопротивляющихся дилатирующих материалов.

В четвертой главе проводится расчет прямоугольных жестко заделанных и шарнирно опертых оболочек. Производится анализ полученных результатов.

Заключение содержит основные и общие выводы по проведенным исследованиям напряженно - деформированного состояния пологих оболочек из разносопротивляющихся дилатирующих материалов. В приложениях представлен обширный графический и табличный материал, как результат о выполненных расчетах и практической применимости полученных в диссертации результатов.

Основные материалы диссертации опубликованы в авторских работах [25-39].

- 12

1 ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЛАСТИЧЕСКИХ ИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕ РИАЛОВ

Исследования по изучению и определению критериев прочности и пластичности материалов имеет богатую историю. Первые предположения в этой области были сделаны Галилеем и Лейбницем. В последующем, развитием теорий прочности были посвящены работы Мизеса, Генки, Сен-Венана, Мариотта, Ляме, Клебша, Баушингера, Бельтрами и других выдающихся механиков. Спустя столетия работы этих исследователей были признаны классическими, а их результаты были объединены в виде теорий прочности. Все теории и гипотезы, сделанные различными исследователями, охватить в данной главе не представляется возможным. К тому же многие из этих предположений, с дальнейшим развитием науки, стали представлять разве что историческую ценность. Далее постараемся изложить теории, заслуживающие на наш взгляд рассмотрения и представляющие научную ценность, в хронологической последовательности их возникновения.

В 1773 г. Кулоном была предложена теория прочности, в которой в качестве критерия прочности фигурирует наибольшее касательное напряжение [70] . Позже эта теория получила название теории максимальных касательных напряжений. В соответствии с этой теорией наступление предельного состояния формулируется в виде с (1-1) где стс, сур - предельные напряжения при сжатии и растяжении; <з1г а2, Сз — главные напряжения, причем су1>ст2>С7з .

Геометрической интерпретацией теории максимальных касательных напряжений в пространстве главных напряже

- 13 ний является шесть плоскостей при пересечении образующих правильную шестигранную призму (рис. 1.1.а). В случае плоского напряженного состояния предельная кривая будет соответствовать шестиугольнику (рис. 1.1.6).

Рис. 1.1

Теорию максимальных касательных напряжений Кулон распространил также и на материалы, неодинаково сопротивляющиеся растяжению - сжатию. Для этого он выдвинул гипотезу, предполагающую, что в случае сжатия (среднее напряжение с отрицательным знаком), максимальное касательное напряжение является линейной функцией среднего нормального напряжения в плоскости расположения гтах : тах = а. а* + Ъ (1.2)

Для случая одноосного растяжения и одноосного сжатия уравнение (1.2) запишется в виде:

2 2 2 2

Решая уравнения (1.3) совместно относительно а и Ь

У, — 0~2 * О", + 0"3 с учетом зависимостей гтах =-, а =- получим

2 2 условие предельного состояния в форме

С73<0-р (1.4)

Условию (1.4) в пространстве главных напряжений соответствует предельная поверхность в виде шестигранной равно наклонной к осям пирамиды (рис. 1.2.а). В случае плоского напряженного состояния предельная кривая будет соответствовать шестиугольнику (рис. 1.2.6).

Рис. 1.2

Уравнение (1.4) можно получить воспользовавшись теорией Мора [17]. Физический смысл данной теории можно сформулировать в следующем виде: нарушение прочности материала наступает либо при достижении касательными напряжениями т некоторой критической величины, зависящей от нормальных напряжений ст, действующих по тем же плоскостям скольжения, либо при достижении наибольшим нормальным напряжением ах предельного для данного материала значения. Следуя приведенной выше формулировке,

- 15 можно сделать вывод, что данный критерий прочности основан на предположении, что среднее главное напряжение су2 оказывает достаточно небольшое влияние на наступление предельного состояния и может не учитываться.

Как критерий пластичности (условие возникновения пластических деформаций) критерий разрушения Кулона был установлен в 18 64 г. инженером Треска, который, начиная с 18 63 г. в течение восьми лет занимался исследованием пробивания и прессования металлов. Краткое содержание результатов его исследований было опубликовано в 18 64 г., а более подробное изложение представлено в 18 68 г. Треска установил, что при неодноосном напряженном состоянии пластические деформации возникают когда наибольшее касательное напряжение достигает половины предела текучести при одноосном растяжении. Полученный результат был высоко оценен Сен-Венаном, который в 1871 г. использовал его при построении теории пластичности [17] . В теории пластичности данный критерий называется критерием Треска — Сен-Венана.

Треска на основе своих экспериментальных исследований установил, что пла'стические деформации происходят без изменения объема, и вывел ряд формул, связавших длину выбиваемой части стержня, силу, необходимую для создания течения, с радиусом образца и радиусом штампа.

Если пределы текучести материала при растяжении и сжатии различны, то тогда в качестве критерия пластичности может быть использован критерий, предложенный Мором в 1900 г. [17] и основанный на том, что нарушение прочности материала наступает при достижении касательными напряжениями т некоторой критической величины, ко

- 16 торая зависит от нормальных напряжений а, действующих по тем же плоскостям скольжения, либо при достижении наибольшим нормальным напряжением а1 предельного значения для данного материала. Исходя из этого, нетрудно сделать вывод, что данный критерий прочности основан на предположении, что среднее главное напряжение <т2 оказывает небольшое влияние на наступление предельного состояния и может не учитываться.

Построив в координатах а, т (где <т - нормальное напряжение, действующее на рассматриваемой площадке, х -величина касательного напряжения) семейство кругов Мора, соответствующих различным предельным напряженным состояниям, можно провести огибающие этого семейства. В таком случае любой круг Мора, касающийся предельных огибающих, определяет некоторое множество предельных напряженных состояний. Поэтому, если задано некоторое напряженное состояние, то можно построить для него круг Мора и увеличивать его размеры до тех пор, пока он не коснется предельных огибающих; отношение радиусов полученных таким образом предельного и начального кругов Мора определит коэффициент запаса для данного напряженного состояния.

Можно приближенно получить предельную огибающую, построив только три предельных круга Мора и проведя к ним касательные (предельные огибающие) (рис. 1.3). Здесь первый и второй круги изображают предельные состояния одноосного растяжения и сжатия соответственно (отрезок ОА - предел прочности при чистом растяжении стр, отрезок ОВ - предел прочности при чистом сжатии стс) . Третий круг отвечает некоторому предельному напряженному состоянию с главными напряжениями а! и ст3. Из рисунка видно, что

С03 : Е02 = О1О3 : или

ЕОз-ООх) : (С02-001) = (001-003) : (ОО1+ОО2) . О В

ГЗГ о^

А ст

Рис. 1.3

Заменяя в последнем выражении длины линий соответствующими значениями напряжений, получим ег, - <т3 - а р сгр -(о*! +сг3) ас ~<Тр или

•1 аз =сг .

Последнее выражение совпадает с выражением (1.4). Поэтому две рассмотренные выше теории были объединены в одну, получившую название теории Кулона - Мора. Представленная теория получила широкое распространение в механике и до сих пор используется для определения предельного напряженного состояния некоторых дилатирующих

- 18 материалов. Однако для случая разносопротивляющихся материалов на данный момент имеется недостаточное количество экспериментов, чтобы можно было точно указать границы и область ее применимости. Более того, в последнее время, благодаря бурному развитию материаловедения, появляются все новые, зачастую композитные материалы, пластические свойства которых, в той или иной мере, зависят от вида напряженного состояния.

Наряду с теорией постоянства максимальных касательных напряжений важное место в механике занимает теория Губера - Мизеса - Генки [70] . Эта теория относится к так называемым энергетическим концепциям. Основоположником данной теории можно считать Бельтрами, предположившему в 18 8 5 году, что опасное состояние материалов I наступает при достижении удельной потенциальной энергией некоторого предела. В 1904 году, Губер сделал попытку согласования этой теории с тем фактом, что материалы могут выдерживать значительные гидростатические давления, не приходя в состояние пластичности. Он предложил на случай отрицательного шарового тензора, за критерий прочности принимать не полную величину потенциальной энергии, а только ту ее часть, которая отвечает за изменение формы. Математическая форма записи этого условия имеет вид: ах-стг) 2+ (а2-а3) 2+ (Стз"^) 2=2ат2 (1.5)

Позднее в 1913 году Мизес и в 1914 году Генки, независимо друг от друга, доказали, что условие (1.5) справедливо и для положительного шарового тензора.

Геометрической интерпретацией условия (1.5) в пространстве главных напряжений является равнонаклонный к главным осям круговой цилиндр (рис. 1.4.а), описанный вокруг призмы Кулона. Для плоского напряженного состояния предельная кривая приобретает форму эллипса (рис.1.4.6).

Дальнейшее развитие и изучение вопросов об установлении критериев прочности и пластичности разносопротив-ляющихся материалов происходило, в большей степени, по пути модификации гипотезы Мизеса-Генки с применением различных форм учета влияния шарового тензора. Были предложены соотношения, предполагающие зависимость предельного состояния от величины гидростатического давления. К работам, базирующимся на этой гипотезе, относятся работы П.П. Баландина, Шлейхера, И.Н. Миролюбова, Ю.И. Ягна, и некоторых других ученых.

По-видимому, первой гипотезой, выдвинутой в этом направлении, была гипотеза Шлейхера [17], сформулированная в 1925 году. По его теории в качестве критерия прочности материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению - сжатию, следует принимать величину полной а) б) *

Рис. 1.4

- 20 удельной энергии деформации. Предельное ее значение должно быть не постоянной величиной, а ' некоторой функцией среднего (гидростатического) напряжения сг = 8- (Ту /3 .

Предполагая зависимость удельной потенциальной энергии от а линейной, Шлейхер сформулировал условие прочности в следующем виде:

2 2 2

1 +СГ22 + сг33 ~ 2К°*1 1°22 + а\ 1°33 + <*22<*33 ) +

1-6)

2(1 + V) • (<712 + СГ13 + <Т23) + (СГС - (7р) • ((Гц + С722 + 0"33) = СГ^, , где V - коэффициент Пуассона.

В критерий (1.6) входят две независимые константы -пределы прочности на растяжение стр и на сжатие ас. Предел прочности на сдвиг выражается через них по формуле

2(1 + v)

В пространстве главных напряжений условию (1.6) соответствует замкнутая поверхность вращения - эллипсоид со смещенным относительно начала координат центром (рис. 1.5). ось эллипсоида

Рис. 1.5

Критерий Шлейхера почти не используется для практических расчетов, так как он недостаточно подтверждается опытами.

- 21

П.П. Баландин [5] предложил за условие прочности в пределах упругости для изотропного, однородного упругого материала принять величину потенциальной энергии связанной с изменением формы тела. Её предельное значение считать не постоянной величиной, а зависящей от напряженного состояния, а именно, линейно, от гидростатического давления, Входящие же в условие прочности два параметра ар и стс он рекомендует определять из простейших опытов.

Это условие можно записать в следующем виде:

ЛГ=А}, (1.7) где

А/ + + - - + + 3(^ху + ТХ2 + V )] '

А*г=асг + Ъ = ^(стх + (Т22 +сг33) + Ь 3

Рассматривая случаи одноосного растяжения и одноосного сжатия, из условия (1.7) будем иметь:

1 + 1/ <т (стр)2=а-^ + Ь. (1.8)

3 Е р 3

Аналогично для случая одноосного сжатия получим

1 + V 7 0\

-— (сг ) = —а —^ + Ъ. (1.9)

3 Е с 3

Решая совместно систему уравнений (1.8) и (1.9) получим

1 + у и 1+у/ ч

Таким образом, в развернутом виде критерий прочности Баландина по условию (1.7) запишется в форме:

2 2 2 аи +а22 +о-33 ~{(ти(т22+<тист33+а22ст33) +

Ъ(а\2 + <т\ъ + 0-23) + (стр -ас)-(ап+ ст22 + сг33) = ара р^ с ■

1.10)

В критерий (1.10), так же как и в критерий (1.6), входят две константы прочности материала: сгр и <тс . Предел же прочности на сдвиг х3 выражается через стр и <тс следующим образом:

При ар=ас критерий Баландина принимает вид критерия Губера-Мизеса-Генки (1.5).

В пространстве главных напряжений, предельной поверхностью, соответствующей условию (1.10) является параболоид вращения (рис. 1.6), пересекающий свою ось ст в единственной точке, соответствующей предельному значению напряжения при всестороннем равномерном растяжении. С другой стороны поверхность разомкнута, т.е. при всестороннем сжатии прочность не ограничена.

Рис. 1.6

В результате экспериментов над рядом материалов, в частности, над закаленной сталью, некоторыми марками бетона и др. было установлено, что критерий Баландина дает хорошие результаты. В частности это подтверждают, результаты экспериментов, проведенные над твердозака-ленной инструментальной сталью марок У12А, Р18, 9ХС и др., для которых пределы прочности на растяжение и сжатие разнятся приблизительно вдвое.

Для некоторых марок бетона и некоторых видов напряженного состояния критерий Баландина также может быть рекомендован для расчетов. Однако сравнительно небольшое число опытов на плоское напряженное состояние не позволяют, на данный момент, оценить границы применимости этого критерия.

И.Н. Миролюбов [60] предложил записывать критерий прочности в виде полинома:

Как видно из выражения (1.11) этот критерий представляет собой квадратичную функцию гидростатического напряжения и -содержит две независимые константы прочности материала стр и стс. Условие предела прочности на сдвиг т3 выражается через пределы прочности на растяжение и сжатие следующим образом

В пространстве главных напряжений критерию (1.11) соответствует поверхность вращения - однополостный гиперболоид с осью, равнонаклонной к осям принятой системы координат (рис. 1.7).

Описанные выше критерий имеет два серьезных недоси + 022 + °33 ) + (°"с - <Гр )(crl 1 + ^22 + °"33 ) = <*р

33 1

2 +6(сг12 +а-,2з +0-23)]

Р^ С •

1-11) татка. Во-первых, предельная поверхность не имеет точек пересечения со своей осью и, следовательно, согласно рассматриваемому критерию прочность не ограничена и при всестороннем растяжении и при всестороннем сжатии, что для ряда материалов не соответствует действительности. Во-вторых, предельная поверхность Миролюбова обладает отрицательной Гауссовой кривизной и, следовательно, находится в противоречии с постулатом Друккера. Обращая внимание на изложенное выше, трудно ожидать широкого применения описанного критерия в практических расчетах. Вместе с тем, применительно к чугуну, при отдельных видах напряженного состояния, критерий Миролюбова дает лучшие результаты, чем критерий Баландина.

Рассмотренные критерии Кулона - Мора, Баландина, Шлейхера, Миролюбова содержат в себе две независимые константы материала ар и стс. Поэтому в пространстве напряжений каждому условию соответствует конкретная предельная поверхность. Вместе с тем, наряду с подобными взглядами, существует и другой подход, предполагающий, что предельное условие должно содержать три независимые ось гиперболоида

РИС. 1.7. константы материала ср, стс и xs. В таком случае критерии прочности будут иметь обобщенный характер, а при определенных соотношениях, между константами прочности, можно получить некоторые, рассмотренные ранее, предельные условия. Ниже приведем некоторые условия предельного состояния, использующие такой подход.

Ю. И. Ягн [91] предложил предельное условие записывать в виде полинома второй степени, симметричного относительно всех трех главных напряжений (последнее условие вытекает из условия изотропности материала):

ТХ ~СГ2)2 +(ст2 -С73)2 +(<7! -СГ3)2 + а{с7х + СТ2 + C73f + b{crj + сг2 + <т3) = с .

Предполагается что константы <з, Ь, с находятся из опытов на одноосное растяжение, одноосное сжатие и чистый сдвиг. Выражение (1.12) для каждого из этих простейших напряженных состояний в отдельности, примет форму

2 2

2<т р + астр + b<7 р-с (растяжение)

0 О сгс + 2асгс -Ь<7С - с (сжатие)

6ts=c (сдвиг)

Совместное решение этих трёх уравнений, относительно постоянных а, Ь, с, с последующей их подстановкой в уравнение (1.12) представит критерий предельного состояния Ягна в развернутом виде: с722 +сгзз +2of2 +2О-12з + 2о"2з ) + (1 ~ i +^22 +^з)2 +

2 г, 2т, (1.13) К - X°"l 1 + °22 + °33) ='<*р°с

При = о-рсгс условие (1.13) сводится к критерию

V з

Баландина.

При т5 о-р<ус условие (1.13) сводится к крите щ рию Миролюбова.

7 т

При ар-ас-ат и выражение (1.13) приводится л/3 к критерию удельной энергии формоизменения (1.5).

В пространстве главных напряжений критерию Ягна соответствует не какая-либо определенная предельная поверхность второго порядка, а, в зависимости от соотношения констант прочности, либо параболоид, либо гиперболоид, либо цилиндр и т.д.

Границы применимости критерия Ягна, вследствие его недостаточной экспериментальной проверки, до конца не исследованы.

При формулировке различных условий пластичности, несмотря на различие исходных предпосылок, проявлялось стремление описать одно и то же явление, а именно, зависимость характеристик пластичности и прочности материалов от вида напряженного состояния. Причем рассмотренные критерии, как было ранее замечено, учитывали преимущественно влияние гидростатического давления на наступление предельного состояния.

- 27 -о, МПа

300 4

200 -

100 ~Г--

0 10 20 8,% Рис. 1.8

На рис. 1.8. показана характерная диаграмма деформирования фенопласта К-17-2 на основе фенолформальде-гидной смолы и древесных опилок в условиях одноосного сжатия при одновременном действии всестороннего давления рабочей среды р [3] (1-р=0,1 МПа; 2-р=30 МПа; 3-р=50 МПа; 4-р=10 0 МПа; 1-р=18 0 МПа; 1-р=200 МПа). Здесь по осям направлены осевое напряжение и осевая деформация . о,

300 200 100

Рис. 1.9

На рис. 1.9 показаны диаграммы деформирования, построенные в координатах интенсивности деформаций

4 2 г/<Г

- 28 е0 = ^2/3£у£у и интенсивности напряжений ег0 = / 25,;у5'(у ву- 3^©/3 - девиатор тензора деформации, буСг/З - девиатор тензора напряжений) трубчатых образцов из чугуна СЧ 15-32 [16], полученные при пропорциональном нагружении осевой силой и крутящим моментом. Кривая 1 соответствует одноосному растяжению, кривая б - одноосному сжатию, кривая 2 - чистому кручению, кривые 3, 4, 5 получены при отношении главных напряжений СТ3/СТ1 = -2, -1.4, 0.217.

Рис. 1.10

На рис. 1.10 представлены диаграммы деформирования фторопласта-4 [19,22,23]. Испытания проводились при пропорциональных нагружениях. Кривая 1 получена при одноосном сжатии, кривая 5 - при одноосном растяжении. Кривые 2, 3, 4 соответствуют плоским напряженным состояниям с соотношением средних напряжений к интенсивности напряжений а/<т0 = -0,2; -0,01; 0,17.

В монографии [57] Н.М. Матченко, A.A. Трещева показано, что учет влияния одного гидростатического давления на наступление предельного состояния разносопротив-ляющихся дилатирующих материалов не может считаться в

- 29 общем случае удовлетворительным, а рассмотренные диаграммы (1.2, 1.3, 1.4) отчетливо подтверждают это заключение. В соответствии с тем что сказано выше, нельзя ожидать от критериев предельного состояния, предполагающих подобный подход, их универсального использования в практических расчетах. Хотя для отдельных материалов при частных напряженных состояниях они могут быть рекомендованы к применению. В общем же случае предельные зависимости должны учитывать влияние, как гидростатического давления, так и вида напряженного состояния на наступление предельного состояния.

Произвольное напряженное состояние можно определить несколькими параметрами, зависящими от вида напряженного состояния. Однако введение в условия прочности или пластичности всех качественных параметров не всегда оправдано, так как существенно усложняет расчеты. Часто достаточно точные результаты можно получить, характеризуя вид напряженного состояния в среднем, применяя только один параметр. Некоторые исследователи указывают на целесообразность учета влияния вида девиатора напряжений путем введения в условие прочности фазового инварианта .

Гениев Г. А. и Киссюк В. Н. [14] при исследовании возможности применения к расчету бетонных и железобетонных конструкций различных критериев прочности предложили критерий предельного состояния с поверхностью более общего вида, чем поверхность вращения второго порядка. Предложенное уравнение поверхности имеет следующий общий вид:

Е(11г Э2, —0, (1.14)

- 30 где 11=СТ1+<Т2+С1з - первый инвариант тензора напряжений; 52= (ст12+ст22+аз2-ст1ст2-ст1стз-ст2стз) /3-второй инвариант девиатора напряжений; = - третий инвариант девиатора напряжений 5" . = сг^ — 8усг .

Авторами получен следующий конкретный вид предельной поверхности по уравнению (1.14) г , . ( \ о Г с Л"3

2=[сграс+{ас-стс)1х\ 1 v ^ у

V ;

1.15) где А, В, С - постоянные коэффициенты, выражающиеся через пределы прочности на простое растяжение, сжатие и сдвиг.

После выражения коэффициентов А, В, С через стр, ас и т3 критерий (1.15) принимает следующий вид: з

3 52=[^<7с+(«7с-^с)/1]1v ^ у 2 чЗу ■ (1.16)

В пространстве главных напряжений предельная поверхность (кривая I, рис 1.11), соответствующая критерию (1.16), вписана в поверхность параболоида Баландина арас кривая II, рис. 1.11) . При соотношении - обе поверхности совпадают. Используя постулат Друккера о выпуклости предельной поверхности, получаются следующие ограничения на константы прочности материала

Ья

Таким образом, в критерий (1.16) входят три независимые константы прочности материала стр, стс и т3, а последний член в этом выражении связан с углом вида де-виатора напряжений выражением

9 Яз сояЗс? =--- ,

2ст03 где собЗ^? - фазовый инвариант. а3

С другой стороны, угол вида девиатора напряжений непосредственно связан с параметром Лоде-Надаи

Из последнего выражения ясно, что для различных видов напряженного состояния параметр может принимать одно и то же значение. Рассмотрим более подробно случай когда сг,=сг2, при этом /ла =1 независимо от того чему равно (Т3, т.е. данное значение будет сохраняться в случаях трехосного растяжения, двухосного растяжения сжатия и т.д.

Таким образом, фазовый инвариант не позволяет различить качественную картину напряженно деформированного состояния материала. К тому же использование параметра

Рис. 1.11

Лоде-Надаи или фазового инварианта в условиях пластичности существенно усложняет расчеты элементов конструкций. С другой стороны поправка, которую вносит учет этих параметров, часто имеет тот же порядок, что и .разброс экспериментальных данных. Хотя при формулировке условий прочности применение параметра Лоде-Надаи или фазового инварианта в некоторых случаях может быть целесообразно. Так проведенная экспериментальная проверка на образцах из бетона показала хорошее соответствие экспериментальных данных и расчетных результатов, полученных при использовании критерия Гениева-Киссюка.

В работе [76] Л. А. Толоконников предлагает определить предельную поверхность в форме

В выражении (1.17) аргументами функции, представляющей предельную поверхность, приняты величины нормального сг и касательного т напряжений на октаэдриче

1.17)

Рис. 1.12

- 33 ских площадках, а также угол вида напряжённого состояния (р (рис. 1.12) . Уравнение оси сг определяется выражением а, — <у2 = с3, а полуось изменения т лежит в плоскости, перпендикулярной оси сг .

Аналитически предельную поверхность предлагается представлять полиномами по ст, т с коэффициентами, зависящими от ф. Простейшей в этом классе является поверхность деформированного параболоида вращения:

Ат2+Вт + Ссг = 1. (1.18) где А, В считаются экспериментально определенными функциями ср . Коэффициент С не может зависеть от (р из-за единственности точки предельной поверхности на оси <т.

Если считать коэффициенты А, В постоянными то условие (1.18) может быть сведено к критерию Баландина. При учете зависимости А и В получим поверхность «деформированного параболоида». Простейшей из поверхностей такого класса будет поверхность, любое из меридиональных сечений которой можно получить преобразованием подобия одного из меридиональных сечений. Например, возьмем выражение (1.18) в виде а(\ + тсоъЪ(р)2т2 + /?(1 + + — = 1, (1.19) о"/ где а, Р, т, <у( - константы.

Для определения констант а, р, т, сг( в работе [43] рекомендуется использовать опыты по одноосному растяжению или одноосному сжатию, опыты по двухосному равномерному сжатию круглого диска и опыты по кручению цилиндрической трубки.

В расчетах технологических процессов порошковой металлургии широкое распространение получило условие пла

- 34 стичности, выдвинутое Грином [95],. которое может быть представлено в следующей форме:' (1.20, а2 Ъ2

1 Г 2 2 21 где Т = —=[(сг1 -сг2) +(сг2-сг3) + (сг3 -<т,) ] - интенсивность л/ 6 касательных напряжений; а, Ь, с - константы материала, определяемые из опытов на одноосное растяжение, одноосное сжатие и чистый сдвиг.

В ряде работ в качестве параметра вида напряженного состояния принимаются отношение среднего напряжения ст к интенсивности напряжений а0- Так в работе [51] Ломакиным Е. В. рекомендуется использовать параметр £*=о*/сг0, который в среднем характеризует соотношение между нор-, мальными и касательными напряжениями. Условие предельного состояния в этой работе представлено в следующем, достаточно общем, виде: а0=к, (1.21) где /(£*) - функция, зависящая от вида напряженного состояния; к = 4Ът3; т5 - предел текучести при чистом сдвиге .

Вид функции /(£*) определяется для каждого материала в отдельности, обработкой экспериментальных диаграмм предельных состояний этого материала при различных видах напряженного состояния. При некоторых конкретных видах этой функции условие (1.21) может быть приведено к ранее рассмотренным критериям прочности и пластичности . *

При линейной аппроксимации функции /(£ )=1+А£ при

- 35 ходим к условию Кулона-Мора в форме (1.4) .

При /(£*) = const получаем условие Губера-Мизеса-Генки

Т0 = к .

Если функцию /(¿Г) принять в виде ) = ■

К К ' то условие (1.21) приводится к критерию Баланди-на(1.10).

Если функцию /(£*) принять в виде = а сг0 +Ъ'£<т + с то условие (1.21) приводится к критерию Ягна (1.13).

На рис. 1.13 приведены графики функции, зависящей от вида напряженного состояния, построенные на основании экспериментальных данных для полиэтилена высокого давления (кривая 1); для полиметилметакрилата (кривая 2) ; для фенопласта АГ-4В (кривая 3) . Значения констант к для этих материалов равны 14, 125 и 67 МПа соответственно .

На рис. 1.14 приведены графики указанной функции, построенные на основании экспериментальных данных для графита ВПП (кривая 1) ; для графита МПГ-б (кривая 2) ; для чугуна МСЧ38-60 (кривая 3). Значения констант к для этих материалов составляют 21, 4 6 и 290 МПа соответственно .

-2 -1 0 0.33 -1 -0.67 -0.33 0 0.33 0.67

Рис. 1.13 Рис. 1.14

Для рассмотренных материалов, как рекомендовано в работе [51], могут быть использованы следующие аппроксимации функций вида напряженного состояния

- для полиэтилена высокого давления

4*) = 1 + 0.12^*; (1.22)

- для полиметилметакрилата ; (1.23)

- для фенопласта АГ-4В

•

- для графита ВПП

Г) = 1 + 1.86Г

- для графита МПГ-6 = 1 + 1.44^

- для чугуна МСЧ38-60

1-24)

1.25)

1.26)

1.27)

Представленные на рис. 1.13 и 1.14 графики функций обладают явно выраженной нелинейностью, что может значительно затруднить практические приложения критерия (1.21). С другой стороны, следует признать, что линейная аппроксимация функции типа /(£*) может быть использована только на конечном интервале изменения параметра , поскольку указанный параметр имеет неопределенности типа ±<х>, а функция /(£*) необходимым образом должна быть положительно определенной. Необходимо также отме

Е* тить, что свойственные параметру д неопределенности могут при отдельных напряженных состояниях создать непреодолимые сложности.

С течением времени задачи механики деформируемого твердого тела все более расширяются. К расчетам предъявляются требования получения полной информации о работе конструкции в большом диапазоне деформирования, включая и этап разрушения.

В последние десятилетий многие ученые работали в области изучения работы конструкций за пределом упругости. Так, например, работа «Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости» авторов А. И. Стрельбицкой, В. А. Колгадина и С.Н. Матошко [74] повещена разработке методов решения задач на основе деформационной теории пластичности и предпосылок технической теории изгиба пластин. Применены и развиты метод упругих решений в сочетании с методом конечных разностей и вариационный метод. Исследованы напряженное и деформированное состояние пластин в упругопластической области с учетом влияния ряда факторов (характер и величина нагрузки, соотношение размеров пластин, граничные условия, упрочнение и неоднородность материала). В работе определены зоны текучести на поверхности пластины и по ее толщине, найдены эпюры прогибов, изгибающих и крутящего моментов .

В монографии Л.В. Енджиевского «Нелинейные деформации ребристых оболочек» [21] представлен широкий

- 38 класс задач, в том числе пологие оболочки, подкрепленные сеткой широких и узких ребер, произвольно ориентированной по отношению к координатным линиям, многослойные оболочки и другие. Все они объединены в единой формулировке за счет использования физических зависимостей в форме связи обобщенных усилий, собранных по высоте всего сечения. На основе метода Ньютона и его модификаций представлены для рассматриваемого класса задач вариационные формулировки в линеаризованной форме. Описана реализация численных алгоритмов, а также рассмотрены вопросы постановки и особенности численной реализации для ребристых оболочек при описании физической нелинейности теорией течения.

Также развитие теории расчета пластин и оболочек за пределами упругости представлено в работах Д. Друккера [20], Н. П. Абовского [1, 2], Л. М. Качанова [44], Б. Я. Кантора [43], X. М. Муштари [61], А. Р. Ржаницына [73], Ю. М. Лепика, Э. Йыгм [50], Г. С. Шапиро [89], В. Ольшака, А. Савчука [63], Ю. Н. Шевченко, И. В. Прохоренко [90], А. А. Фиртыча [87], Н. И. Безухова [6].

Таким образом, расчету пластин и оболочек за пределами упругости посвящено довольно значительное количество работ. Однако, для материалов с классическими свойствами исследования в этой области, в основном, сводятся к определению предельных нагрузок, а в случае разносопротивляющихся материалов работы носят теоретический характер без проведения расчетов.

Представленный в данной главе анализ существующих критериев прочности и пластичности позволяет сделать вывод, что на данном этапе развития механики деформируемого твердого тела не существует единого подхода для определения предельного состояния элементов конструкций из дилатирующих разносопротивляющихся материалов.

Поскольку явление разносопротивляемости не вносит существенных эффектов в работу конструкций при одноосных напряженных состояниях, то предложенные формулировки предельных критериев имеют практический смысл лишь при сложном напряженно - деформированном состоянии тел, ярким представителем которого является изгиб пластин и оболочек. С другой стороны, для многих конструкций главенствующими факторами, при описании их работы, являются переход в пластическое состояние и исчерпание ресурса пластичности.

Таким образом, диссертация посвящена актуальной задаче механики твердого тела - адаптации нового условия пластичности для дилатирующих разносопротивляющихся материалов и практическому их применению при расчете тонких пологих оболочек.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Проведен анализ применимости нового условия предельного состояния Трещева A.A. для решения задачи упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах.

2. Проведено исследование упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек, выполненных из изотропных дилатирующих разносопротивляющихся материалов при больших прогибах. Работа оболочки разделялась на три стадии:

- упругая работа

- состояние односторонней пластичности

- состояние двусторонней пластичности.

Следует заметить, что упругая стадия работы оболочки рассматривалась в рамках классической теории изгиба оболочек при больших прогибах. Для двух последних указанных стадий были получены разрешающие дифференциальные уравнения.

3. Полученные уравнения решены численным методом конечных разностей. Причем в связи с некоторыми особенностями решаемой задачи рассматривались совместно центральные и односторонние разности.

4 . Решен ряд прикладных задач по упруго-пластическому изгибу тонких пологих оболочек из разносо-противляющихся материалов при больших прогибах. А именно, рассчитаны квадратные в плане тонкие пологие оболочки, выполненные из полиметилметакрилата и конструкционного графита МПГ-6 при шарнирном опирании и жесткой защемлении контуров. Расчет производился по трем вариантам. В первом варианте расчета рассматривалось новое условие пластичности, предложенное Трещевым A.A. Во втором варианте расчета условия пластичности рассматривалось в форме, предложенной Ломакиным Е.В. В третьем варианте расчета, условие пластичности принималось в традиционной классической форме Губера - Мизеса.

5. Для всех материалов и способов закрепления, рассматриваемых в данной диссертации показано хорошее согласование результатов расчетов с учетом условий пластичности Трещева A.A. и Ломакина Е.В. (максимальные расхождения по предельным нагрузкам составляют 5-10%).

6. Показано, что не учет пластической разносопро-тивляемости может привести к серьезному завышению значений предельных нагрузок (4 0-8 0% в зависимости от материала) .

Заключение

Приведенный в первом разделе диссертации анализ известных предельных критериев, учитывающих в той или иной степени свойства разносопротивляющихся материалов позволяет сделать вывод о том, что все они в большей или меньшей степени обладают определенными недостатками. Поэтому, проблема определения предельных состояний разносопротивляющихся дилатирующих материалов остается, на данный момент, открытой и актуальной.

Проведенный анализ полученных результатов, при учете свойств разносопротивляемости в первом варианте расчета с условием пластичности, предложенным Трещевым А.А и втором варианте расчета с условием пластичности, предложенным Ломакиным Е.В., позволил сделать вывод о недопустимости применения классических подходов к данным материалам.

Незначительное расхождение в полученных результатах у первого варианта расчета с условием пластичности, предложенным Трещевым А.А и второго варианта расчета с условием пластичности, предложенным Ломакиным Е.В., указывает на приемлемость применения нового условия пластичности для решения рассматриваемой задачи.

1. Абовский Н.П. Упруго-пластические деформации гибких ребристых оболочек / Н.П. Абовский, JÏ.B. Енджиевский, И. Я. Петухова. Прикл. механика. - 1977, т. 13, вып. 1. - С. 3 - 8.

2. Айнбиндер С. Б. Влияние гидростатического давления на механические свойства полимерных материалов / С.Б. Айнбиндер, М.Г. Лака, И.Ю. Майоре // Механика полимеров. 1965. -№ 1. - С. 65 - 75.

3. Айнбиндер С. Б. Свойства полимеров при высоких давлениях / С. Б. Айнбиндер, К. И. Алксне, Э.Л. Тюпина, М.Г. Лака М., 1973.

4. Баландин П.П. К вопросу о гипотезах прочности / П.П. Баландин // Вестник инженеров и техников. 1937. -№ 1. - С. 37 - 41.

5. Безухов H.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

6. Березин A.B. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел / A.B. Березин. -М.: Наука, 1990, 135 с

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Наука, 1966. - 632 с.

8. Быков Д.JI. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной 'среды // Инж. Журнал МТТ.- 1966. №4. - С. 58 - 64.

9. Быков Д.Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной среды // Инж. Журнал МТТ.- 1966. №4. - С. 58 - 64.

10. Быков Д.Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах // Упругость и неупругость. М.: МГУ, 1971. -Вып. 2. - С. 114 - 12 8.

11. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок / П.М. Варвак. К.: Изд-во АН УССР.-1957. - 339 с.

12. Гениев Г.А. К вопросу обобщения теории прочности бетона / Г.А. Гениев, В.Н. Киссюк // Бетон и железобетон.- 1965. -№ 2. С. 16 - 19.

13. Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона / Г.А. Гениев, В.Н. Киссюк, Г.А. Тюпин. М. : Стройиздат, 197 4. - 316 с.

14. Головенко B.C. Прочность и деформируемость серого чугуна при всестороннем неравномерном сжатии/ B.C. Головенко, В.З. Мидуков, Л.М. Седоков // Проблемы прочности. 1973. -№ 1. - С. 56 - 58.

15. Гольденблат И.И. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов / И. И. Гольденблат, В. А. Копнов. М.: Машиностроение, 1968. -191 с.

16. Гольдман А.Я. Прочность конструкционных пластмасс / А.Я. Гольдман J1.: Машиностроение, 1979. - 320 с.

17. Гольдман А. Я. Исследование механических свойств тканевых стеклопластиков при растяжении и сжатии нормально к плоскости армирования / А.Я. Гольдман, Н.Ф. Савельев, В.И. Смирнова // Механика полимеров. 1968. -№ 5. -С. 803 - 809.

18. Друккер Д. Пластические методы расчета. Преимущества и ограничения / Д. Друккер// Механика. - 1960, №1. - С. 15 - 29.

19. Енджиевский J1.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек/ JI.B. Енджиевский. Красноярск: Изд-во Красно-яр. ун-та, 1982. - 296 с.

20. Елсуфьев С.А. Исследования деформирования фторопласта 4 при линейном и плоском напряженном состояниях / С.А. Елсуфьев // Механика полимеров. - 1968. -№ 4. - С. 742 - 746.

21. Елсуфьев С. А. Изучение деформирования фторопласта в условиях плоского напряженного состояния / С. А. Елсуфьев, В.М. Чебанов // Исследования по упругости и пластичности. Л.: ЛГУ, 1971. - Вып. 8. - С. 209 - 213.

22. Забелин А.Н. Упруго-пластическая деформация тонкой пологой оболочки из разносопротивляющихся дилатирую-щих материалов при конечных прогибах / А.Н. Забелин, А.А.Трещев // Строительная механика и расчет сооружений. 2010. №4. С. 63-68.

23. Забелин А.Н. Упругопластический изгиб тонкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны из дила-тирующих материалов при конечных прогибах / А.Н. Забелин, A.A. Трещев // Строительство и реконструкция. -Орел: ОрелГТУ. 2010. №3. С. 39-45.

24. Забелин А.Н. Исследование напряженно-деформированных состояний тонкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны из дилатирующих материалов /

25. А.Н. Забелин, A.A. Трещев, П.В. Божанов // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - С. 292-293.

26. Забелин А.Н. Исследование напряженных состояний тонкой пологой оболочки положительной гауссовой кривизны из дилатирующего материала при конечных прогибах / А.Н.

27. Забелин, A.A. Трещев // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сборник материалов 11-й Международной кон-ференции. -Тула: ТулГУ. -2010. С. 108-110.

28. Зубчанинов В. Г. Устойчивость тонкостенных элементов конструкций за пределом упругости с учетом сложного нагружения / В.Г. Зубчанинов, H.JI. Охлопков, C.JI. Субботин // Известия вузов. Строительство.1995. №11. С. 2632 .

29. Ильюшин A.A. Пластичность / A.A. Ильюшин. М.: Гостехиздат, 1948. -423 с.

30. Кан К.Н. Выбор критерия прочности для жестких термореактивных пластмасс / К.Н. Кан, Ю.С. Первушин // Механика полимеров. 1966. -№ 4. - С. 543 - 549.

31. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек / Б.Я. Кантор. Киев: Наук, думка, 1971. -136 с.

32. Качанов JI.M. Основы теории пластичности / JI.M. Качанов. М.: Наука, 1969. -420 с.

33. Ковальчук Б.И. О деформировании полухрупких тел ■// Проблемы прочности. 1982. - №9. - С.51 - 57.

34. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн.- М.: Наука, 1974. 831 с.

35. Лебедев А. А., Ковальчук Б. И. Влияние низких температур на прочность серого чугуна при сложном напряженном состоянии / A.A. Лебедев, Б.И. Ковальчук // Проблемы прочности. 197 0. -№ 8. - С. 80 - 84.

36. Леонов М.Я., Русинко К.Н. О механизме деформаций полухрупкого тела / М.Я. Леонов, К.Н. Русинко // Пластичность и хрупкость. Фрунзе: ИЛИМ, 1967. - С. 86 - 102.

37. Леонов М.Я. Зависимости между деформациями и напряжениями для полухрупких тел / М.Я. Леонов, В.А. Паня-ев, К.Н. Русинко // Инж. журнал МТТ.-1967. -№6.-C.26 -34.

38. Лепик Ю.Р. Обзор работ по теории пластин и оболочек, выполненных в Тарту за период 1950-1968 гг. /Ю.Р. Лепик, Э. Йыгм //Уч. зап.- Горьков. ун-т, 1970. Вып. 253.

39. Ломакин Е.В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния / Е.В. Ломакин // Механика композитных материалов. 1988.-№ 1. - С. 3 - 9.

40. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния / Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. - № 4 - С. 92 - 99.

41. Ломакин Е.В. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела / Е.В. Ломакин, Ю.Н. Ра-ботнов // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - №6 - С. 29-34.

42. Макеев А.Ф. Разрешающие уравнения полубезмомент-ной цилиндрической оболочки из нелинейно-упругого материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию / А.Ф.

43. Макеев, И. Г. Овчинников // Строительная механика пространственных конструкций. Саратов: СПИ. 1980. - С. 87 - 94.

44. Маркин A.A. К обоснованию теории оболочек. В сб: «Работы по механике деформируемых сред», Тула: ТПИ. 1974 .

45. Матченко Н.М. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах / Н.М. Матченко, JI.A. Толоконников // Инж. журнал МТТ. 1968 . -№6. - С. 108-110.

46. Матченко Н.М. Теория деформирования разносопро-тивляющихся материалов. Определяющие соотношения / Н.М. Матченко, A.A. Трещев. М.; Тула: РАССН; ТулГУ, 2000. -149 с.

47. Матченко Н.М. Теория деформирования разносопро-тивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки / Н.М. Матченко, A.A. Трещев. М.; Тула: РАССН; ТулГУ, 2005. -186 с.

48. Матченко Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Часть 1: Квазилинейные соотношения / Н.М. Матченко, JI.A. Толоконников, A.A. Трещев // Изв. РАН. МТТ. 1995. - № 1. - С. 73-78.

49. Миролюбов И.Н. К вопросу об обобщении теории прочности октаэдрических касательных напряжений на хрупкие материалы / И.Н. Миролюбов // Труды ЛТИ. 1953. -Вып. 25. - С. 42 - 52.

50. Муштари Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек / Х.М. Муштари, К.З. Галимов. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

51. Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении / В.В. Новожилов // Прикладная математика и механика. 1965. -Т. 29. - Вып. 4. - С. 681 - 68 9.

52. Ольшак В. Неупругое поведение оболочек / В. Оль-шак, А. Савчук. М.: Мир, 1969. - 268 с.

53. Панферов В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для тел с различными свойствами на сжатие, растяжение и кручение / В.М. Панферов // Доклады АН СССР. 19 68. - Т. 180. - №1 - С. 41 - 44.

54. Петров В.В. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругого разносопротивляющегося растяжению и сжатию материала / В.В. Петров, А.Ф. Макеев, И.Г. Овчинников // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1980. - №8. -С. 42 - 47.

55. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек / В.В. Петров. — Саратов: СГУ. 1975. 119 с.

56. Петров В.В. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала / В. В. Петров, И.Г. Овчинников, В.И. Ярославский. Саратов: СГУ. 1976. - 133 с.

57. Петров В.В. Методы расчета конструкций из нелинейно деформируемого материала / В.В. Петров, И. В. Кри-вошеин // Учеб. пособие. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2009. - 208 с.

58. Петров В. В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах / В. В. Петров // Научн. доклады высшей школы. Строительство. 1959. № 1. - С. 27-35.

59. Писаренко Г. С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Г.С. Писаренко, А.А. Лебедев. Киев, 1976. - 416 с.

60. Пономарев Б.В. Средний изгиб прямоугольных пластин из материалов, не следующих закону Гука / Б.В. Пономарев // Сборник трудов МИСИ. М. - 1967. - №54. - С. 75 - 82.

61. Рейс Е. Учет упругой деформации в теории пластичности / Е. Рейс // Теория пластичности. М.: Гостех-издат, 1948.- С. 206-222.

62. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов / А.Р. Ржаницын. М. : Гос-стройиздат, 1954. -220 с.

63. Стрельбицкая А.И. Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости / А.И. Стрельбицкая, В.А. Колгадин, С.И. Матошко. Киев: Наукова думка, 1971. - 244 с.

64. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский Кригер. - М.: Физматгиз, 1963. -647 с.

65. Толоконников Л.А. О форме предельной поверхности изотропного тела / Л.А. Толоконников // Прикладная механика.- 1969. Вып. 10. - Том 5.- С. 123 - 126.

66. Толоконников Л.А. Вариант разномодульной теории упругости / Л. А. Толоконников //Механика полимеров. -1969. №2. - С. 363-365.

67. Толоконников Л. А. Обобщение закона упругости / Л.А. Толоконников // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970.- Вып. 20. - С. 148-156.

68. Трещев A.A. О соотношениях теории упругости для изотропного разномодульного тела / A.A. Трещев, Н.М. Мат-ченко // ТПИ. Тула, 1982. - 4 с. - Деп. В ВИНИТИ 27.04.82, № 2056-82.

69. Трещев A.A. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения / A.A. Трещев. М.: Тула; РАССН; ТулГУ, 2008. - 264 с.

70. Толоконников J1.A. К описанию свойств разносопро-тивляемости конструкционных материалов / JI.A. Толоконников, A.A. Трещев // Труды IX Конференции по прочности и пластичности. М.: ИПМ РАН, Профсервис, 1996. - С. 160 -165.

71. Трещев A.A. К расчету пластин из конструкционных графитов // Механика и прикладная математика. Труды Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации". Тула: Приокск. кн. изд-во, 1989. - с. 93 - 98.

72. Трещев A.A. Некоторые задачи изгиба пластин из разно сопротивляющихся материалов.: Дис. . канд. физ.-мат. наук / ТулПИ. Тула, 1985. - 200 с.

73. Трещев A.A. О единственности решения задач теории упругости для анизотропных разносопротивляющихся сред / A.A. Трещев // ТулПИ. Тула, 1992. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, № 1887-В92.

74. Трещев A.A. К расчету гибких прямоугольных пластин, выполненных из дилатирующих материалов / A.A. Трещев, А.Е. Жидков, П.А. Полтавец // Изв. ТулГУ. Строительные материалы, конструкции зданий и сооружений.- Тула: ТулГУ, 2003 . Вып. 5. С. 142-145.

75. Трещев A.A. О некоторых задачах теории оболочек, изготовленных из разномодульного материалат/ A.A. Трещев, JI.A. Шерешевский // Актуальные проблемы механики оболочек. Казань: КАИ, 1983. - с. 211.

76. Фиртыч A.A. Исследования упруго-пластического деформирования пластин и оболочек / A.A. Фиртыч // Строит. Механика, газоаэродинамика и производство летат. Аппаратов. Воронеж: изд. Воронеж, инж.-строит, ин-та. -1970. Вып. 1. - С. 186 - 198.

77. Фридман A.M. Исследование разрушения углеграфи-товых материалов в условиях сложного напряженного состояния/ A.M. Фридман, Ю.П. Ануфриев, В.Н. Барабанов // Проблемы прочности. 1973. -№ 1. - С. 52 - 55.

78. Шапиро Г.С. О поведении пластинок и оболочек за пределами упругости / Г.С. Шапиро // Тр.П Всесоюз. Съезда по теорет. И прикл. механике. М. : Наука. - 1966. Вып. 34 .

79. Шевченко Ю.Н. Методы расчета оболочек. Теория упруго-пластических оболочек при изотермических процессах нагружения / Ю.Н. Шевченко, И.В. Прохоренко. Киев: Нау-кова думка, 1981. -Т.3. -326 с.

80. Ягн Ю.И. Новые методы расчетов на прочность / Ю.И. Ягн // Вестник инженеров и техников. 1931. -№ 6. -С. 63 - 69.

81. Янг Ю.И. Прочность и пластичность модифицированного чугуна при различных напряженных состояниях / Ю.И.

82. Янг, В.В. Евстратов // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 113. -№3. - С. 573-575.

83. Bert C.W., Reddy J.N., Sudhakar Reddy V., Chao W.C. Bending of Thick Rectanqular Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials // AIAA Journal. 1981. -Vol. 19. - № 10. - P. 1342 - 1349.

84. Bert C.W., Gordanine j ad F. Deflection of Thick Beams of Multimodular Materials // International Journal for. Numerical Methods in Engineering. 1984. - Vol. 20. - P. 479 - 503.

85. Green R.J. A plasticity theory for porous solid / R.J. Green // Int. J. Mech. Sci. Vol.14. -1972. - P. 215 - 227.

86. Green A.E., Mkrtichian J.Z. Elastic Solids with Different Moduli in Tension and Compression // Journal of Elasticity. 1977. - Vol. 7. - № 4. - P. 369 - 368.

87. Jamroz L. Mechanizne I Wytzymalosciowe Wlasnosci Zeliwa Sferoidalnegon // Prace Instytutu Odlewnictwa. 1971. Rok. 21. - № 3. - P. 283 - 302.

88. Jones ■ R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Materials // AIAA Journal. -1980. Vol. 18. - № 8. - P. 995 - 1001.

89. Jones R.M., Nelson D.A.R. Material for nonlinear Deformation // AIAA Journal. 197 6. - Vol. 14. - №6. -P. 709 - 716.

90. Jones R.M., Nelson D.A.R. Theoretical-experimental correlation, of material models for non-' linear deformation of graphite // AIAA Journal. 1976. -Vol. 14 - №10. - P. 1427 - 1435.

91. Jones R.M. Buckling of Stiffened Multilayered Circular Shells wiht Different Ortotropic Moduli in Ten-sione and Compression // AIAA Journal. 1971. - Vol.9. - №5. - P. 917 - 923.

92. Jones R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression // AIAA Journal. 1977. - Vol. 15. - №1. - P. 16-25.

93. Jones R.M. A Nonsystemmetric Compliance Matrix Approach to Notlinear Multimodulus Ortotropic Materials // AIAA Journal. 1977. - Vol. 15. - № 10. - P. 1436 -1443.

94. Jones R.M., Nelson D.A.R. Further Characteristics of a Nonlinear Material Model for ATJ-S Graphite //i

95. Jounal Composit Materials. 1975. - Vol. 9. - №7. - P. 251 - 265.

96. Kamiya N. An energy method applied to large elastic deflection of a thin plate of bimodulus material // Journal Struct. Mech. 1975. - Vol. 3. - № 3. - P. 317 - 329.

97. Kamiya N. A circular cylindrical shell with different elastic moduli in tension and compression // Bulletin of the ISME.'- 1975. Vol. 18. - P. 1075 - 1081.

98. Kamiya N. Large deflection of a different modulus circular plate // Trans. ASME. 1975. - Vol. 97. -Ser. H. - P. 52 - 56.

99. Kupfer H. B., Hilsdorf H. K., Rusch H. Behavior of concrete under biaxial stresses// ACI Journal. -Vol. 66.- 1969. N 8. - P. 656 - 666.