Условия устойчивости и формы проявления неустойчивости разупрочняющихся упругопластических тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ЕЛАВА I. ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ ФАКТОВ, ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ, РЕЗУЛЬТАТОВ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ. ВБНЕКАЮЩИЕ ПОСТАНОВКИ НОВЫХ ЗАДАЧ.

Е1. Деформационное разупрочнение: реальное свойство материалов или фикция?.

1.2. Континуальная концепция зарождения макроразрушения в изначально сплошной среде.

1.3. Вопросы устойчивости тел с частично свободной границей.

ЕЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, МОДЕЛИ И КРИТЕРИИ,

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ.

2.1. Основные кинематические и силовые величины механики сплошных сред.

2.2. Определяюш,ие соотношения материала.

2.3. Определение устойчивости и неустойчивости по Друккеру и эквивалентный математический критерий устойчивости/неустойчивости.

2.4. Упрочнение и разупрочнение материалов (по Друккеру). Одно из возможных обобщений, учитывающих геометрическую нелинейность.

2.5. Выводы к Гл.2.

ЕЛАВА 3. МОДИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ

АДАМАРА И ВАН ХОФА, СФОРМУЛИРОВАННЫЕ И ДОКАЗАННЫЕ В РАБОТЕ.

3.1. Теорема Адамара и ее обобщение для случая упругопластического тела (в том числе так называемого "существенно нелинейного").

3.2. Теорема Ван Хофа, ее обобщение и три модификации.

3.3. Механическая трактовка теорем Адамара и Ван Хофа.

3.4. Выводы к Гл.3.

ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАКРИТИЧЕСКОГО

ДЕФОРМИРОВАНИЯ В НЕКОТОРЫХ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ИСПЫТАТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВАХ.

4.1. Степень разупрочнения, допускаемая 8Е - неравенством.

4.2. Устойчивость однородного закритического деформирования образцов в жесткой трехосной испытательной машине.

4.3. Устойчивость однородного закритического деформирования образцов в нежесткой трехосной испытательной машине.

4.4. Устойчивость однородного закритического деформирования в сдвиговых ящиках.

4.5. Устойчивость однородного закритического деформирования в пластинчатых сдвиговых камерах произвольной формы.

4.6. Устойчивость однородного закритического деформирования в жесткой трехгранно-призматической машине.

4.7. Выводы к Гл.4.

ГЛАВА 5. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ДЕФОРМАЦИЙ КАК АТРИБУТ

НЕУСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ ПРИ СТЕСНЕНИИ.

5.1. Локализационный объем и его свойстБа.

5.2. Предельное равенство для первичных форм потери устойчивости в однородном теле прл жестком закреплении границы, а также при некоторых других видах кинематического стеснения.

5.3. Локализационность первичной неустойчивости при стеснении конечной жесткости.

5.4. Некоторые примеры локализационной неустойчивости различного характера.

5.5. Локализационная неустойчивость при наличии ребра на поверхности текучести.

5.6. Выводы к Гл.5.

ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ

БЛ0К00БРАЗНБ1Х ТЕЛ С ЧАСТИЧНО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

6.1. Оценка снизу для функционала Я на основе неравенства Корна.

6.2. Формулировка математической задачи о неравенстве Корна при определенных граничных условиях. Некоторые предварительные построения.

6.3. Сведение задачи о константе Корна к набору одномерных задач. Дальнейшее расщепление одномерных задач.

6.4. Окончательное расщепление одномерных задач.

Нахождение величин ЛО, /С?.

6.5. Определение константы Корна для некоторых конкретных краевых задач.

6.6. Два примера строгих оценок докритических нагрузок для нлит произвольной толщины.

6.7. Первичная поверхностно локализованная неустойчивость в гуковом теле с частично свободной границей.

6.8. Выводы к Гл.6.

ЗАКЛЮЧЕЫИЕ.

Актуальность темы. Тема диссертации связана с основными понятиями и концепциями континуальной механики разрушения - сравнительно нового раздела механики деформируемого твердого тела, иззЛаюшего процессы подготовки и зарождения разрушения в изначально сплошной среде на тех стадиях этих процессов, когда среда макроскопически еще остается сплошной (заметим, что подобные вопросы принципиально выходят за рамки классической механики разрушения, изучающей поведение уже имеющихся нарушений сплошности - макроскопических трещин). Континуальная механика разрушения основывается на подходе и методах механики сплошных сред, трактуя вышеупомянутые процессы феноменологически, в терминах свойств и характеристик материала, составляющего сплошную среду, а также способов деформирования последней.

Очевидно, что закономерности зарождения разрушения представляют большой интерес для ряда прикладных дисциплин, связанных с вопросами разрушения и прочности материалов самой различной природы - от металлов и композитов до грунтов, и горных пород. Однако, упомянутые закономерности представляют значительный интерес и с точки зрения теории, тем более, что они оказываются тесно связанными с основаниями механики деформируемого твердого тела; пределами примецимости континуального описания, дополнительными неравенствами теории упругости, вопросами устойчивости и единственности, распространением волн, собственными колебаниями и др.

Для самой континуальной механики разрушения основополагающими являются следующие два понятия: (1) разупрочнение материала (называемое также его "внутренней неустойчивостью") и (2) локализационная неустойчивость, которую считаютЛ специфической формой проявления внутренней неустойчивости (т.е. разупрочнения) материала и трактуют как механизм зарождения макроскопических дефектов в изначально сплошной среде.

Несмотря на то, что упомянутые основополагающие понятия континуальной механики разрушения вьедены в научный обиход не один десяток лет назад (в работах Д.Друккера, Р.Хилла, школы Дж.Раиса и др.), до сих пор существуют и остаются открытыми связанные с этими понятиями вопросы, носящие принципиальный характер (в особенности для упомянутой области механики).

Во-первых, это вопрос о том, отражает ли понятие разупрочнения какое-либо реально существующее свойство материала (иначе говоря, существует ли реально такой отклик материала на инкрементальное деформирование, который характеризуется налшшем хотя бы одного отрицательного модуля). Другим аспектом этого же вопроса яйпяется выяснение принципиальной возможности (или невозможности) экспериментального воспроизведения и идентификации такого свойства (т.е. Л.ыпслнения определенных измерений) в случае его существования. .

Во-вторых, это вопрос о том, обязательно ли (хотя бы в некотором ограниченном классе задач) возншсковение именно локализационного типа неустойчивости в тех случаях (лззестных яз основополагающих работ Р.Хилла и др.), когда этот тип неустойчивости является возможным. Поскольку именно локализацконный тип неустойчивости связывается с зарождением макроскопических дефектов в среде (концепция Дж.Райса и его научной школы), то сформулирова1шый копрос по существу является вопросом о логической состоятельности упомянутой общепризнанной концепции. Действительно, если бы возникновение локализационного типа неустойчивости обязательным не было (т.е. при тех же условиях было бы равновозмолшо возникновение неустойчивости распределенного типа), то столь же необязательно при таких условиях было бы и зарождение разрушения. Таким образом, основное утверждение концепции теряло бы свою определенность, а вместе с ней в значительной мере и смысл.

Из всего этого вытекает

Цель диссертации: принципиальное решение двух сформулированных выше главных вопросов, связанных с понятиями разупрочнения и локализационной неустойчивости, а также решение некоторых смежных вопросов устойчивости разупрочняющихся сред.

Метод исследований, носящих сугубо теоретический характер, заключается в постановке и строгом аналитическом решении задач об устойчивости и неустойчивости разупрочняющихся упругопластических тел. Постановки задач моделируют условия как некоторых реальных, так и реализуемых принципе умозрительных испытаний материалов; поведение последних, по предположеншо, - характеризуется произвольными упругопластическими соотношеншгми в рамках некоторого весьма широкого класса.

Достоверностьрезультатов подтверждается физической обоснованностью постановок задач и сфогим аналитическим характером их рассмотрения с применением современного математического аппарата механики деформируемого твердого тела, а также собственных математических результатов автора.

Научная новизна диссертации определяется следующими полученными в ней основными результатами, которые и выдвигаются в качестве защищаемых положений:

1. Сформулировано и доказано обобщение Теоремы Адамара об устойчивости на случай упругопластических тел (в том числе и так называемых "инкрементально существенно нелинейных").

2. Сформулированы и доказаны три модификации Теоремы Ван Хофа для тензоров четвертого ранга с зеркЛшьнай симметрией и для граничных условий тангенциальности или нормальности на плоских участках границы, параллельных плоскостям симме1рии.

3. Основанный на определении Друкксра математический критерий устойчивости / неустойчивости уируюггластического тела модифицирован для случая произвольных идеальных кинематических связей на границе тела.

4. Выведено соотношение, связывающее условия разупрочнения и сильной эллиптичности с учетом наличия ненулевых начальных напряжений, а также упрощенное достаточное условие сильной эллиптичности. Для некоторых употребительных инкрементальных упругопластических соотношений получена явно степень разупрочнения, совместимая с сильной эллиптичностью.

5. Доказана устойчивость однородного деформированргя ортотропного упругопластического образца и кдеализироваиной жесткой трехосной испытательной машине вплоть • дс утрйть! - материалом образца свойства сильной эллиптичности (в пластическом режиме). Доказана устойчивость в тех же пределах однородного деформирования ортотропного образца в

U U С» U А идеализированной трехосной испытательной машине конечной жесткостиА Достаточное значение жесткости ма1А::п1ы получено явно. Доказано, что в случае, когда машина является жесткой по двум осям и нежесткой по третьей, однородное деформирование устойчиво в тех лее пределах даже при нулевой жесткости по третьей оси.

6. Доказана устойчивость в тех же пределах. однородного деформирования трансверсально изотропного образца в. жесткой трехгранно-призматической машине (умозрительное устройстьс). • .

7. Доказана устойчивость в тех же лтрсделах однородного деформирования среды с одной материальной плоскостью зеркальной симметрии как в сдвиговом ящике перекосного типа-,, так- и в умозрительном пластинчатом сдвиговом устройстве с полостью ::рС1::1Больной формы.

8. Предложена и иззЛена объгш1аЯмера локализации, характеризующая произвольное скалярное, векторное или тензорное поле. Доказано, что эта мера, названная "локализационным объемом", служит оценкой объема той части области определения, где поле принимает относительно большие (по амплитуде) значения.

9. Доказано, что для однородного упругопластического тела с защемленной границей все первичные формы потери устойчивости являются локализационными в смысле предельной малости пластического локализационного объема. Этот же результат получен и для ряда случаев менее ограничительного стеснения.

10. Для умозрительного упругопластического материала с чисто объемной Ш1552]!Зёостью в условиях жесткой 1рехосной машины показано, что область локализации, характеризующаяся инфинЛтезимал:.ным объемом, может иметь совершенно произвольную форму. Таким образом, в наиболее общей постановке задачи о формах проявления неустойЛшвости раззтгрочняющихся упругопласт1тческих тел при сгсснении локализационный объем является единственно возможной характеристикой локализации (хотя для частных классов материалов локализационная • неустойчивость может характеризоваться, помимо 'объема, и другими геометрическими параметрами).

11. Разработан метод нахожде11Ил точных значений константы Корна для параллелепипеда со свободной парой граней или одной свободной гранью при граничных условиях тангенциальлостк и]ш нормальности векторного поля на остальных гранях. Метод дает значения константы Корна в виде простых формул в элементарных функциях в зависимости от соотношения габаритов параллелепипеда и комбинация граничных условий на гранях. Найдены точные значения константы Корна для ряда характерных случгюв. Для некоторых других граничных усшиш найде1шые точные значения служат оценками сверху.

12. с помощью варианта метода Дж. Холдена и найденных точных значений или оценок сверху для константы Корна получены строгие оценки докритических ("безопасных") нагрузок для блокообразных тел, характеризующихся произвольным соотношением габаритов, при подходящих граничных условиях, а также для плит произвольной толщины и произвольной формы в плане, защемленных по боковой поверхности. В асимптотике малой толщины полученные строгие оценки согласуются с известными "инженерными" оценками.

Практическая ценность работы заключается в том, что:

1. Получено принципиальное обоснование ряда экспериментальных методик исследования как свойств - разу про чняющихся материалов, так и локализационных явлений, связанных с разупрочнением.

2. Предложен (на уровне идеи) и теоретически изучен наряду с другими новый тип пластинчатого сдвигового усфойства, в котором полость для испытуемой среды может иметь произвольную форму. Устройство предназначено для исследования геометрии зон локализации деформаций в геоматериалах в зависимости от формы массива.

3. Разработан и применен метод получения значений "безопасных" нагрузок для толстых плит и других тел с частично свободной границей, что имеет приложения в вопросах прочности различных элементов конструкций и сооружений (например, прочности'барьерных целиков и стенок выработок в горнопроходческих сооружениях). А •

Апробация работы. По результатам работы на разных стадиях ее выполнения в период с 1985г. по настоящее время был сделан ряд докладов на семинарах и конференциях как в России, так и за рубежом. Среди них: VI и VII Всесоюзные съезды по теоретической и прикладной механике (Та&ткент, 1986г.; Москва, 1991г.);

VIH Всероссийский съезд по теорлической я прикладной механике (Пермь, 2001г.); . •

II, III И IV Международные конференции по локализационным и бифуркационным явлениями в гранулированных средах (Гданьск, Польша,

1989; Осуа, Франция, 1993г.; Гифу, Япония, 1997г);

Съезд Общества инженерных наук (Новый Орлеан, США, 1995г.);

Съезд Международного общества по взаимодействию механики и математики

Варшава, Польша, 1996г.);

Международная конференция по ке1стАссическим задачам теории упругости и механики разрушения (Москва, 1995г.);

32-ая Польская конференция по механике деформируемого твердого тела (Закопане, Польша, 1998г.);

Симпозиум по аналитической и вычислительной механике разрушения неоднородных материалов (Кардлфф, Великобритания, 2001г.); Семинары кафедр теории пластичности (неоднократно), теории упругости, волновой и газовой динамики Механико-математического факультета МГУ; Семинар "Актуальные проблемы механики сплошных сред", ИПМ РАН (1990г.); —

Семинар отдела механики МИАНа им.Стеклова (дважды, 2001г.).

Одна из статей автора в журнале МТТ удостоена медали АН СССР для молодых ученых (1985г.); статья в лсурпале ПММ признана одной из трех лучших статей 1997г.; цикл из 10 статей автора удостоен премии имени академика Л.С.Лейбензона (1998г.). • •

Публикации. По теме диссертадли авторам опубликованы 23 печатные работы (без учета тезисов докладов). Основное содержание работы изложено в 13 статьях, опубликованных в ведущих российских и международных журналах по механике (из них 12 - без соавторов).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения; в тексте х::,:с:1ся 12 рпсзл1ков. Список цитируемой литературы состоит из 124 наимекоиахшй.

6.8. Выводы к Гл. 6

В Гл.6 рассматриваются задачи об устойчивости тел с частично свободной границей, что и составляет главное отличие этих задач от рассмотренных в предыдущих главах. При рещении используется определенным образом модифицированный метод Длс.Холдена, основанный на привлечении неравенства Корна и константы Корна для оценки функционала 7?{у} снизу, что позволяет получать достаточные условия устойчивости тел и вытекающие из них оценки снизу для критических нагрузок (так называемые "безопасные" значения нагрузок).

Для реализации метода Холдена в какой бы то ни было его модификации необходимо располагать либо точными значениями константы Корна для рассматриваемых областей и граничных условий, либо соответствующими оценками сверху для этой константы. Однако данные о конкретных значениях константы Корна весьма скудны: известно, что к = 2 для произвольной (причем как плоской, так и пространственной) области с

II и п »-» защемленной" границей, а при классическом ограничении в виде предписанного нулевого среднего поворота известны значения для круга, щара, кругового кольца, а также для двух-трех довольно экзотических плоских областей. Таким образом, задача нахождения значений константы Корна (или оценок сверху для нее) для областей и граничных условий, представляющих прикладной интерес, вполне актуальна, и в работе она решена для блоков произвольных габаритов с кинематическими связями на двух парах граней из трех, т.е. с одной свободной парой граней, а также для блоков с одной свободной гранью. В качестве кинематических связей берутся условия либо тангенциальности "скоростей", либо их нормальности к граням и, в частности, нулевые условия (защемление) на той или иной части поверхности, "движение" которой кинематически ограничено. В случае защемления к задаче для блока могут сводится и задачи для областей другой формы посредством нулевого продоллсения поля скоростей на блок, охватывающий исходную область. Метод рещения основан во многом на тех построениях и приемах, которые были использованы ранее при доказательстве модификаций Теоремы Ван Хофа, а также на ряде дополнительных. Для константы Корна получены простые равенства в элементарных функциях в зависимости от соотношения габаритов и сочетания тех или иных кинематических ограничений на стесненной части границы. Знание константы Корна может быть использовано для определения достаточных условий устойчивости и безопасных значений нагрузок во многих задачах о блокообразных телах. В главе рассмотрено только два характерных примера, но их количество могло бы быть значительно увеличено. Асимптотики полученных оценок в случае тонких нлит (т.е. блокообразных тел, у которых расстояние мел<:ду свободными гранями мало по сравнению с одним или обоими размерами самих свободных граней) соотносятся с известными "инженерными" оценками критических нагрузок сверху для тех же тонких нлит. Асимптотики, полученные в работе, имеют ту же самую зависимость от геометрических факторов, но фигурирующий в них модуль упругости меньше такового в известных инженерных оценках для тонких нлит. Заметим, что асимптотики рассмотрены только ради сопоставления с известными результатами, а основные результаты главы получены для блоков любой толщины и не носят предельного характера.

Из возможных значений константы Корна особо упомянем к = 4, которое относится к случаю полей с произвольным ограниченным носителем в полупространстве, а также к ряду других, например, к случаю проскальзывания на всех гранях блока кроме одной; это же значение является предельным в слзАае очень большой толщины "плиты".

Определение "безопасных" нагрузок для толстых блокообразных тел со свободной парой граней и теми ли иными кинематическими связями на

274 остальных гранях имеет приложение к вопросам горной механики, например, к оценке прочности барьерных целиков в шахтных сооружениях.

В главе наряду с вопросами устойчивости при наличии свободных участков границы рассмотрена и задача о некоторой специфической неустойчивости, а именно, о поверхностно локализованной неустойчивости. Для частного слзЛая найдены условия возникновения и вид такой неустойчивости, а также показано, что она при этих условиях является

U 1 U U 1 U первичной формой потери устойчивости. Аналогично неустойчивости, локализованной внутри тела (см. Теорему Адамара), возможность возникновения поверхностно локализованной неустойчивости определяет заведомые пределы устойчивости в терминах модулей материала для тел, имеющих хотя бы малый свободный от кинематическпх ограничений участок границы. Изучение поверхностно локализованной неустойчивости, помимо очевидного теоретического интереса, представляется также весьма актуальным для прикладных наук, например, для горной механики в связи с вопросами разрушения стенок горнопроходческих сооружений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена вопросам устойчивости разупрочняющихся упругопластических тел. Эти вопросы распадаются на два связанных между собой основных направления: исследования условий и пределов устойчивости при разупрочнении и форм проявления неустойчивости, порождаемой разупрочнением. Под разупрочнением понимается возникающее на некоторой стадии деформирования аномальное поведение материала, которое проявляется в уменьщении напряжений при возрастающих деформациях и, следовательно, характеризуется отрицательными касательными модулями жесткости. Разупрочнение иначе называют "внутренней неустойчивостью" или "неустойчивостью материала", и вопрос о физической адекватности этого понятия, т.е. о принципиальной возможности существования разупрочняющихся тел при каких-либо условиях, а также о возможности их экспериментального наблюдения, изучения и идентификации, является предметом многолетних научных дискуссий и споров, в ходе которых сталкиваются соверщенно противоположные взгляды и мнения.

Рассмотрение и рещение вопроса о физической адекватности понятия разупрочнения, который сводится к вопросу об устойчивости разупрочняющихся тел, являлся одной из целей работы. В работе доказано, что при определенных условиях и в определенных пределах устойчивость м м тела в целом сохраняется и при наличии неустойчивости материала, из которого оно состоит. Конкретно, поставлены и решены задачи об устойчивости деформирования разупрочняющихся образцов в идеализированных трехосных испытательных машинах (как абсолютно жестких, так и конечной жесткости). Установлено, что при достаточной (и при этом конечной) лсесткости машины деформирование образца устойчиво вплоть до нарушения условия Адамара для его материала, а это нарушение может происходить при уже имеющемся и нередко значительном разупрочнении. То обстоятельство, что устройство имеет конечную жесткость, делает принципиально возможным прямое измерение усилий, действующих на образец со стороны плит машины. В сочетании с доказанной устойчивостью при разупрочнении это означает, что трехосные испытательные машины конечной жесткости (достаточное значение которой в работе найдено) являются устройствами, иринциниально пригодными для экспериментального получения достоверных диаграмм деформирования разупрочняющихся материалов (так называемых "падающих" диаграмм) во всем теоретически допустимом диапазоне. В принципе, этот результат закрывает вопрос о физической адекватности или неадекватности понятия разупрочнения, хотя выяснение вопроса о достоверности "падающих" диаграмм деформирования для других типов испытательных устройств в каждом конкретном слзЛае требует отдельного исследования.

Заметим, что ключевым моментом решения вышеупомянутых задач об устойчивости деформирования при соответствующих граничных условиях является использование модификаций Теоремы Ван Хофа, сформулированных и доказанных в работе, причем эти же модификации существенно используются и в других частях работы.

Сформулированы и решены также задачи о пределах устойчивого деформирования в идеализированных устройствах сдвигового типа (как имеющих реальные прототипы, так и предлолсенных на уровне идеи в работе). Эти устройства предназначены, как правило, для геофизических экспериментов, а конкретно, для изучения локализационных явлений в сыпучих или слабосцепленных геоматериалах. Необходимым условием возникновения локализационных явлений сразу же вслед за однородным квазистатическим деформированием является сохранение устойчивости вплоть до нарушения условия Адамара (то самое свойство, которым, как оказалось, обладают трехосные машины). Выяснено, что сдвиговые устройства также обладают этим свойством, причем как для кинематического, так и для силового управления процессом деформирования, что доказывает их принципиальную пригодность для лабораторного моделирования локализационных явлений. Заметим, что воплощение в жизнь предложенных в работе пластинчатых сдвиговых устройств с полостью произвольно задаваемой формы (внутри которой докритическое деформирование однородно) могло бы способствовать экспериментальному изучению давно интересующего исследователей вопроса о зависимости локализационной картины от формы области, занимаемой геоматериалом. Насколько известно автору, в настоящее время не существует испытательных устройств, которые сочетали бы в себе такие свойства, как произвольность формы полости, заполняемой испытуемой средой, однородность докритического деформирования и наличие стеснения, обеспечивающего первичность именно локализационной, а не какой-либо другой неустойчивости.

Вторым важнейшим вопросом, исследуемым в работе, является вопрос о формах проявления неустойчивости, возникающей в упругопластических телах при достижении того самого абсолютного теоретического предела устойчивости, который определяется первичным нарзлиением условия Адамара. Конкретно, изучается вопрос о том, обязательна ли в этом случае локализация деформаций при потере устойчивости. В свете бытующих представлений такая постановка вопроса кажется едва ли не абсурдной, поскольку обязательность локализации (и к тому же соверщенно определенного ее типа, а именно локализации сдвиговых деформаций в тонких слоях), принимается как нечто самоочевидное или по крайней мере давно известное и доказанное. Однако для подобных представлений нет совершенно никаких оснований: в основополагающих работах доказано лишь, что неустойчивость с локализацией деформаций в тонких слоях является при определенных условиях одним из возможных типов неустойчивости, а вопрос об обязательности именно этого типа, т.е. о невозможности при тех же условиях появления неустойчивости других типов, вообще не был поставлен, а тем более рещен. Тот факт, что в упругих телах при тех условиях, когда возможна локализационная неустойчивость, наряду с ней всегда в равной степени возможна и диффузная (т.е. распределенная) неустойчивость, указывает на особую роль упругопластичности (т.е. наличия более чем одного режима отклика материала на деформирование) в вопросе об обязательности локализации. Однако даже при рассмотрении только злтругопластических тел при стеснении (когда неустойчивость не может возникнуть раньще нарущения неравенства Адамара), постановка вопроса об обязательности локализации приобретает смысл лищь при отказе от слишком частного традиционного определения локализации (как концентрации больших деформаций сдвига -растяжения в тонких слоях) и замене этого определения на достаточно общее определение, охватывающее большинство деформационных мод, локализационных по сути, т.е. являющих собой некую противопололеность диффузным модам. Ясно, что это можно сделать разными способами; в работе это реализовано с помощью введения объемной меры локализации, названной "локализационным объемом". Такая мера характеризует кусочно непрерывные скалярные, векторные или тензорные поля, определенные в ограниченных областях, и представляет собой некоторую оценку объема той части области определения, на которой амплитуда поля принимает относительно большие абсолютные значения. Локализационным считается поле, у которого локализационный объем мал (в том или ином смысле) по сравнению с объемом области определения; диффузным же считается поле, у которого локализационный объем в том же смысле немал (заметим, что он никогда не превосходит полного объема). Сразу же оговоримся, что локализационный объем - величина не столько придуманная автором, сколько появившаяся естественным образом при анализе интегральных неравенств, характериззлощих формы потери устойчивости при стеснении, а его свойства установлены в ходе специального исследования. Решение задачи о потере устойчивости однородного равновесного состояния упругопластического тела с защемленной границей, а также при некоторых других видах стеснения, привело к следующему результату: все первичные (т.е. возникающие сразу же вслед за нарущением неравенства Адамара) формы потери устойчивости характеризуются бесконечно малыми значениями локализационного объема для поля инкрементальных пластических деформаций. Таким образом, в этих случаях первичная неустойчивость обязательно является локализационной в предложенном обобщенном смысле. При этом характер локализации в принципе может очень сильно отличаться от локализации сдвиговых (или других диадных) деформаций в тонких слоях; в работе построен специфический пример, в котором область локализации, будучи областью бесконечно малого объема, может иметь соверщенно произвольную форму, в том числе форму бесконечно малого щара. В другом специфическом примере локализация несколько ближе к традиционной и характеризуется не только малым локализационным объемом, но и малой "локализационной толщиной" в некотором направлении. Однако и в этом слзАае структура форм потери устойчивости может быть весьма сложной, а малая локализационная толщина не является толщиной какого-то слоя, а лишь эффективной толщиной (интегральной характеристикой всего поля инкрементальных деформаций).

Анализ показал, что обязательность локализации связана с существованием более чем одного режима отклика материал на деформирование и с наличием стеснения, которое приводит к неизбежности (или выгодности) появления как зон пластического нагружения, так и зон разгрузки. Этот вывод подтвержден особым (исключительным) примером, где стеснение подобрано таким образом, что возможна первичная неустойчивость без разгрузки, и в этом сл5Д1ае локализационность первичной неустойчивости необязательна. Таким образом оказалось, что обязательность локализации как атрибута первичной неустойчивости является существенно нелинейным интегральным эффектом. При этом ироявления локализации могут быть весьма многообразны и порой совершенно не похожи на те ее виды, которые традиционно считаются единственно возможными, однако все локализационные формы потери устойчивости коренным образом отличаются от диффузных. Для концепции локализационного зарождения разрывных нарушений в сплошных средах доказательство обязательности локализации (при некоторых условиях) является тем элементом, привнесение которого восполняет существенный пробел внутренней логики концепции: если бы локализация была необязательна, то столь же необязательно было бы и зарождение нарушений, которое в рамках концепции отождествляется с локализационной неустойчивостью.

Особое место занимает в работе исследование вопросов устойчивости и неустойчивости тел с частично свободной границей. Хотя соответствующие задачи имеют ряд существенных отличий от тех случаев, когда свободные участки границы отсутствуют, и эти отличия касаются и постановок задач, и методов решения, и результатов, тем не менее они во многом аналогичны или тесно связаны (по всем перечисленным пунктам) с упомянутыми случаями полностью стесненной границы.

Первоначальный интерес к телам с частично свободной границей находился исключительно в русле основной темы работы (устойчивость разупрочняющихся тел): из некоторых качественных соображений было ясно, что и для таких тел возможны устойчивые состояния вплоть до некоторой (скорее всего, меньшей) степени разупрочнения. Однако использованный в работе метод решения задач об устойчивости при неполном стеснении (вариант метода Дж. Холдена [86]), основанный на полученных в работе точных значениях константы Корна для блокообразных тел со свободной парой граней, позволил существенно расширить первоначальную постановку задачи и получить строгие оценки докритических (так называемых "безопасных") нагрузок для таких тел при любых соотношениях их габаритов - от тонких пластин до сколь угодно толстых блоков, и для весьма широкого

281 класса анизотропии материала. Заметим, что для тонких пластин полученные строгие оценки согласуются с известными (нестрогими) инженерными оценками для материала, подчиняющегося закону Гука. При любых соотнощениях габаритов полученные оценки безопасных нагрузок имеют очевидный прикладной интерес, в том числе в связи с прочностью барьерных целиков в шахтных сооружениях (толстые блокообразные тела со свободной парой граней).

Что касается неустойчивости тел с частично свободной границей, то рассмотрение некоторого специфического примера (носящего скорее умозрительный характер) показывает, что может возникать поверхностно локализованная неустойчивость, чем устанавливается абсолютный предел для устойчивых состояний тела при наличии хотя бы малого свободного участка границы. Этот частный результат перекликается с теоремой Адамара и обычной локализационной неустойчивостью, представляя собой их "поверхностный" аналог. Дальнейшее изучение поверхностно локализованной неустойчивости в более общей постановке представляет не только теоретический, но и прикладной интерес, например, в связи с разрушением стенок горнопроходческих сооружений.

1. Белоусов B.B. Тектонические разрывы, их типы и механизм образования // Труды Геофиз. Института АН СССР. - 1952. - №17 (144). - 146с.

2. Белоусов В.В. Основы геотектоники. М.: Недра, 1975. - 262с.

3. Белоусов В.В., Кузнецова К.И. К вопросу о физических условиях образования систем тектонических разрывов // Изв. АН СССР: сер. географ, и геофизич. 1949. - Т.П. - С.513-5177.

4. Васин P.A., Еникеев Ф.У., Мазурский М.И. О материалах с падающей диаграммой//Изв. РАН: МТТ. 1995. - №2. - С.181-182.

5. Вильдеман В.Э. О рещениях упругопластических задач с граничными условиями контактного типа для тел с зонами разупрочнения // ПММ. -1998. Т.62, вьш.2. - С.304-312.

6. Вильдеман В.Э., Зайцев A.B. Деформационное разупрочнение и разрущение композиционных материалов зернистой структуры // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. - Т.2, №2. - С. 117124.

7. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Тащкинов A.A. Механика неунругого деформирования и разрущения композиционных материалов / Под ред. Ю.В.Соколкина. -М.: Наука, Физматлит, 1997. -288с.

8. Гзовский М.В. Моделирование тектонических нолей напряжений и разрывов // Изв. АН СССР: сер. геофизич. 1954. - №6. С.527-545.

9. Гольдштейн Р.В., Капцов A.B. Формирование структур разрушения слабо взаимодействующих трещин // Изв. АН СССР: МТТ. 1982. - №4. - С.173-182.

10. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Разрушение и формирование структуры // Дою1. АН СССР. 1978. - Т.240, №4. - С.829-832.

11. П.Злотников М.С., Глушихин Ф.П. О запредельных характеристиках эквивалентных материалов // ФТПРПИ. 1981. - №5. - С.92-99.

12. Ибрагимов В.А. Некоторые вопросы разупрочняющихся сред // Изв. АН СССР: МТТ. 1972. №4. - С.55-63.

13. Ибрагимов В.А., Клюшников В.Д. Некоторые задачи для сред с падающей диаграммой // Изв. АН СССР: МТТ. 1971. - №4. - С.116-121.

14. Качанов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР: ОТН. 1958. - №8. - С.26-31.

15. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем. М.: Наука, 1980.-240с.

16. Лавриков СВ., Ревуженко А.Ф. О модели деформирования целиков с 5Д1етом эффектов аккумулирования энергии и разупрочнения материала // ФТНРНИ 1994. - №6. - С. 12-23.

17. П.Лебедев A.A., Чаусов Н.Г. Установка для испытания материалов с построением полностью равновесных диаграмм деформирования // Проблемы прочности. 1981. - №12. - С.104-106.

18. Линьков A.M. Об условиях устойчивости в механике разрушения // Докл. АН СССР. 1977. - Т.233, №1. - С.45-48.

19. Линьков A.M. Потеря устойчивости при разупрочнении // Исследования по упругости и пластичности. Вып. 14. Проблемы механики деформируемого твердого тела. Л.: ЛГУ, 1982. С.41-46.

20. Линьков A.M. Проблема устойчивости с учетом разупрочнения // Изв. АН Арм.ССР. 1983. -Т.36. №1.-0.56-71.

21. Мовчан A.A. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем // ПММ. 1959. - Т.23, вьш.З. - С.17-34.

22. Мовчан A.A. Об устойчивости движения сплошных тел. Теорема Лагранлса и ее обрагцение // Инж. Сборник. 1960. - Т.29. - С.3-20.

23. Никитин Л.В. Закритическое поведение разупрочняюгцегося материала // Докл. АН. 1995. - Т.342, №4. - С.487-490.

24. Николаевский В.Н. Дилатансия и теория очага землетрясения // Успехи механики. 1980. - Т.З, вьш.1. -С.71-101.

25. Петухов И.М., Линьков A.M. Механика горных ударов и выбросов. М.: Недра, 1983.-280с.

26. Работнов Ю.Н. О механизме длительного разрушения // Вопр. прочности материалов и конструкций. М. - 1959. - С.5-7.

27. Ревуженко А.Ф. О наиряженно-деформированном состоянии разупрочняющегося массива вокруг выработок // ФТПРПИ. 1978. №2. С.10-20.

28. Ревуженко А.Ф., Сталсевский СБ., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах // ФТПРПИ. -1974.-№З.С.130-138.

29. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов // ПМТФ. 1977.-№3.-С.156-174.

30. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Некоторые постановки краевых задач Ь-пластичности // ПМТФ. 1979. - №2. - С. 128-137.

31. Рыжак Е.И. Об эшелонной структуре как форме потери устойчивости горной породы // Изв. АН СССР: МТТ. 1983. - №5. - С.127-136.

32. Рыжак Е.И. О простейших локализационных потенциалах // Изв. АН СССР: МТТ. 1985. - №6.-0.114-121.

33. Рыжак Е.И. Складки излома как локализация изгиба. Простейшая модель // Докл. АН СССР. 1986. - Т.289, №1. - С.67-71.

34. Рыжак Е.И. О необходимости условий Адамара для устойчивости упругопластических тел // Изв. АН СССР: МТТ. 1987. - №4. - С. 101-104.

35. Рылсак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной мащине // Изв. АН СССР: МТТ. 1991. - №1. - СП 1-127.

36. Рыжак Е.И. Об устойчивом закритическом деформировании в нежесткой трехосной испытательной машине // Докл. АН. 1993. - Т.330, №2. -С. 197-199.

37. Рылсак Е.И. Об устойчивом закритическом деформировании упругопластических образцов, стесненных обоймой конечной жесткости // Изв. РАН: МТТ. 1995. - №3.-0.117-135.

38. Рыжак Е.И. Оценки частот собственных колебаний однородных анизотропных тел с закрепленной границей // ПММ. 1997. - Т.61, вып.4. -С.679-691.

39. Рыхлевский Я. О законе Тука // ПММ. 1984. Т.48, вып.З. С.420-435.

40. Савицкий Ф.С, Вандышев В.А. Жесткость испытательных машин и ее влияние на спадающий участок диаграммы растяжения и изгиба // Завод, лаборатория . 1956. - №6. - С.717-721.

41. Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР: МТТ.- 1973.-№4.0.16-25.44.соколкин Ю.В., Вильдеман В.Э. Закритическое деформирование и разрушение композитных материалов // Мех. композит, материалов. 1993. -Т.29,№2.-С. 163-170.

42. Ставрогин А.Н. и др. Прочность и деформация горных пород в допредельной и запредельной областях // ФТПРПИ. 1981. - №6. - С,3-11.

43. Ставрогин А.Н., Певзнер Е.Д., Тарасов Б.Г. Запредельные характеристики хрупких горных пород // ФТПРПИ. 1981. - №4. - С.8-15.

44. Стоянов С.С. Некоторые физические аспекты разламывания в земной коре // Изв. Геол. Ин-та БАН: сер. геотект., стратиграф. и литолог. 1970. -Т19.-С. 127-140.

45. Стоянов С.С. Об особенностях зон скалывания в моделях // Изв. Геол. Инта БАН: сер. геотект., стратиграф. и литолог. 1973. - Т.21-22. - С.165-180.

46. Стоянов С.С. Механизм формирования разрывных зон. М.: Недра, 1977. -144с.

47. Стружанов В.В. О применении полных диаграмм деформирования в расчетах на прочность // Пробл. прочности. 1988. - №5. - С.122-123.

48. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. - 191с.

49. Черепанов Т.П. О закритических деформациях // Пробл. прочности. 1985. - №8.-0.3-8.

50. Anand L., Spitzig W.A. Initiation of localized shear in plane strain // J.Mech. Phys. Solids. 1980. - V.28, No.2. - P.l 13-128.

51. Asaro R.J., Rice J.R. Strain localization in ductile single crystals // J. Mech. Phys. Solids. 1977. - V.25, No.5. - P.309-338.

52. Bazant Z.P. Softening instability: I. Localization into a planar band // J. Appl. Mech. ASME. 1988. - V.55. - P.517-522.

53. Bazant Z.P. Softening instability: II. Localization into ellipsoidal regions // J. Appl. Mech. ASME. 1988. - V.55. - P.523-529.

54. Bazant Z.P., Belytschko T.B., Chang T.P. Continuum theory for strain-softening //lEngng. Mech. Div. ASCE. 1984. - V.llO. -P.1666-1692.

55. Bazant Z.P., Pijaudier-Cabot G. Nonlocal continuum damage, localization instability and convergence // J.Appl. Mech. ASME. 1988. - V.55. - P.287293.

56. Bazant Z.P., Lin F.B. Stability against localization of softening into ellipsoids and bands: parameter study // Int. J. Solids Structures. 1989. - V.25, No. 12. -R1483-1498.

57. Beach A. The geometry of en-echelon vein arrays // Tectonophys. V.28, No.4. -P.245-263.

58. Beatty M.F. Some static and dynamic imphcations of the general theory of elastic stability // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. - V.19. - P.167-188.

59. Bigoni D., Zaceari a D. Loss of strong ellipticity in non-assotiative elastoplasticity//LMech.Phys.Solids. 1992. - V.40. - P.1313-1331.

60. Byerlee J. et.al. Structures developed in fault gouge during stable sliding and stick slip // Tectonophys. 1978. - V.44, No.1-4. - P.161-171.

61. Casey J., Naghdi P.M. A remark on the definition of hardening, softening and perfectly plastic behavior // Acta Mech. 1983. - V.48. - P.91-94.

62. Casey J., Lin H.H. Subcritical, critical, and supercritical directions of loading in plasticity//1 de Mécanique. 1986. - V.5, No.5. - P.685-701.

63. Chen Y. C. On strong ellipticity and Legendre-Hadamard condition // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1991. - V.113. -R165-175.

64. Christoffersen J., Hutchinson J.W. A class of phenomenological corner theories of plasticity // J. Mech. Phys. Solids. 1979. - V.27. - P.465-487.

65. CI00S E. Experimental analysis of fracture patterns // Bull. Geol. Soc. Am. -1955. V.66,No.3.-P.241-256.

66. Dafermos C M . Some remarks on Korn's inequality // ZAMP. 1968. - V.19, NO.6.-P.913-920.

67. Drucker D. C A definition of stable inelastic material // J. Appl. Mech. ASME. -1959.-V.26.-P.101-106.

68. Drucker D.C. On the postulate of stability of material in the mechanics of continua // J. de Mécanique. 1964. - V.3, No.2. - P.235-249.

69. Ericksen J.L., Toupin R.A. Implications of Hadamard's condition for elastic stability with respect to uniiqiieness theorems // Canad. J. Math. 1956. - V.8, No.3,-P.432-436.

70. Ericksen J.L. A thermo-kinetic view of elastic stability theory // Int. J. Solids Structures. 1966. - V.2. - P.573-580,

71. Friedrichs K.O. On the boundary-value problems of the theory of elasticity and Korn's inequality//Ann. of Math. 1947. - V.48. - P.441-471.

72. Gurtin M. The linear theory of elasticity // Handbuch der Physik. V.6a/2. -Berlin: Springer - Verlag, 1972. P.1-295.

73. Gurtin M. Thermodynamics and stability // Arch. Rat. Mech. Anal. 1975. -V.59.-R63-96.

74. Hadamard J. Sur une question de calcul des variations // Bull. Soc. Math. France. 1902.-V.30.-P.25 3-256.

75. Hayes M. On the displacement boundary-value problem in linear elastostatics // Q. J. Mech. Appl. Math. 1966. - V.19. - P.151-155.

76. Hill R. A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids // J.

77. Mech. Phys. SoHds. 1958. - V.6. - P.236-249.

78. Hill R. Some basic principles in the mechanics of solids without a natural time // J. Mech. Phys. Solids. 1959. - V.7. - P.209-225.

79. Sl.Hill R. Acceleration waves in solids // J. Mech. Phys. Solids. 1962. - V.IO. -Rl-16,

80. Hill R. Generalized constitutive relations for incremental deformation of metal crystals by multislip // J. Mech. Phys. Solids. 1966. - V.14. - P.95-102.

81. Hill R. On constitutive inequalities for simple materials // J. Mech. Phys. Solids. 1968. - V.16. - P.229-249, 315-322.

82. Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics // Adv. In Appl. Mech, 1978, -V. 1 8.-P.l-75.

83. Hill R., Rice J.R. Constitutive analysis of elastic-plastic crystals at arbitrary strain // J. Mech. Phys. Solids. 1972. - V.20. - P.401-413.

84. Holden J.T. Estimation of critical loads in elastic stability theory // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. - V.17, No.3. - P.171-183.

85. Horgan CO . Korn's inequalities and their applications in continuum mechanics // SIAM Review. 1995. - V.37. - P.491-511.

86. Hutchinson J.W., Miles J.P. Bifurcation analysis of the onset of necking in an elastic/plastic cylinder under uniaxial tension // J. Mech. Phys. Solids. 1974. -V.22, N0.1 .-R61-77.

87. Kaczmarz S., Steinhaus H. Theorie der Orthogonalreihen. Warszawa, Lwow, 1935.- 507p.

88. Knops R.J., Wilkes E.W. Theory of elastic stability // Handbuch der Physik. -V,6ay3. Berlin: Springer - Verlag, 1973.

89. Koiter W.T. A basic open problem in the theory of elastic stability // Lecture Notes m Mathematics. 1976. - V.503. - P.366-373.

90. Miles J.P. The initiation of necking in rectangular elastic/plastic specimens under uniaxial and biaxial tension// J. Mech. Phys. Solids. 1975. - V.23, No.3. -P.197-213.

91. Milstein F., Hill R. Divergences among the Born and classical stability criteria for cubic crystals under hydrostatic loading // Phys. Rev. Letters. 1979. - V.43, N0.19.-R1411-1413.

92. Naghdi P.M., Trapp J.A. The significance of formulating plasticity theory with reference to loading surfaces in strain space // Int. J. Engng. Sci. 1975. - V,13. -R785-797.

93. Needleman A. Continuum mechanics analyses of plastic flow localization // J. Mech. Behav. Metals. 1990. -V.2, No.3-4. - P.293-313.

94. Pearson C.E. General theory of elastic stability // Quart. Appl. Math. 1955. -V.14.-R133-144.

95. Petryk H. The energy criteria of instability in time-independent inelastic solids // Arch. Mech. 1991. V.43, No.4. -P.519-545.

96. Petryk H. Material instability and strain-rate discontinuities in incrementally nonlmear contmua // J. Mech. Phys. Solids. 1992. - V.40, No.6. - P. 12271250,

97. Petryk H. Thermodynamic stability of equilibrium in plasticity // J. Non-Equilib. Thermodyn. 1995. - V.20. - P. 132-149.

98. Petryk H. Instability of plastic deformation processes // Proc. 19* Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Kyoto 1996. Amsterdam: Elsevier, 1997. - P.497-516.

99. Petryk H. Plastic instability: criteria and computational approaches // Arch, of Comp. Meth. in Engng. 1997. - V.4, No.2. - P.111-151.

100. Petryk H., Thermann K. Second-order bifurcation in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1985. - V.33, No.6. - P.577-593.

101. Petryk H., Thermann K. Post-critical plastic deformation of biaxially stretched sheets // Int. J. Solids Structures. 1996. - V.33. - P.689-705.

102. Raniecki B., Bruhns O.T. Bounds to bifurcation stresses in solids with nonassociated plastic flow laws at finite deformations // J. Mech. Phys. Solids. -1985.-V.29.-P.153-172.

103. Read H.E., Hegemier G.A. Strain softening of rock, soil and concrete. A review article // Mech. of Materials. 1984. - V.3. - P.271-194.

104. Rice J.R. The localization of plastic deformation // Theoretical and Applied Mechanics. Proc. 14* lUTAM Congr. Amsterdam: North-Holland, 1976. -P.207-220,

105. Rice J.R., Rudnicki J.W. A note on some features of the theory of localization of deformation // Int. J. Sohds Structures. 1980. - V.16. ~ P.597-605.

106. Rudnicki J.W., Rice J.R. Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials // J. Mech. Phys. Solids. 1975. - V.23. -P.371-394.

107. Rychlewski J. Unconventional approach to linear elasticity // Arch. Mech. -1995. V.47, No.2. - P.149-171.

108. Ryzhak E.I. On stable deformation of "unstable" materials in a rigid triaxial testing machine // J. Mech. Phys. Solids. 1993. - V.41, No.8. - P.1345-1356.

109. Ryzhak E.I. Investigation of modes of constitutive instability manifestation in a one-dimensional model // ZAMM. 1993. - V.73, No.l2. - P.380-383.

110. Ryzhak E.I. On stability of homogeneous elastic bodies under boundary conditions weaker than displacement conditions // Q.J. Mech. Appl. Math. -1994. V.47, Pt4. - P.663-672.

111. Ryzhak E.I. A case of indispensable localized instability in elastic-plastic solids // Int. J. Solids Structures. 1999. - V.36. - P.4669-4691.

112. Ryzhak E.I. Korn's constant for a parallelepiped with a free face or pair of faces // Math. Mech. Sohds. 1999. - V.4, No.l. - P.35-55.

113. Steinmann P., Miehe C, Stein E. On the localization analysis of orthotropic Hill type elastoplastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1994. - V.42. - P. 19691994.

114. Storakers B. On uniqueness and stability under configuration-dependent loading of solids with or without a natural time // J. Mech. Phys. Solids. 1977, -V.25.-P.269-287.

115. Stören S., Rice J.R. Localized necking in thin sheets // J. Mech. Phys. Solids. 1975,-V.23.-P.421-441.

116. Truesdell C. A first course in rational continuum mechanics. Baltimore: The Johns Hopkins University, 1972. - 592p.

117. Truesdell C, Noll W. The non-linear field theories of mechanics // Handbuch der Physik V.lIl/3. - Berlin: Springer - Verlag, 1965. - 602p.

118. Tvergaard V., Van der Glessen E. Effect of plastic spin on localization predictions for a porous ductile material // J. Mech. Phys. Sohds. 1991. - V.39. -P.763-781.

119. Van Hove L. Sur l'extension de la condition de Legendre du calcul des variations aux integrales multiples a plusieurs fonctions inconnues // Proc. Kön. Nederl. Akad. Wetensch. 1947. - V.50. - P.18-23.

120. Vardoulakis I. Shear band inclination and shear modulus of sand in biaxial tests // Int. J. Num. Anal. Methods Geomech. 1980. - V.4. - P.103-119.296

121. Zorski H. On the equations describing small deformations superimposed on finite deformations // Proc. Intern. Symp. Second-Order Effects, Haifa 1962. -Oxford: Pergamon Press, 1964. -P.109-128.

122. Zygmund A. Trigonometric Series. Cambridge: University Press, 1959. V.2.