Двусторонние оценки критических значений параметра нагружения в задачах об устойчивости толстых упругих блоков при больших сжатиях

Пантелеев, Сергей Александрович

Двусторонние оценки критических значений параметра нагружения в задачах об устойчивости толстых упругих блоков при больших сжатиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Пантелеев, Сергей Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Двусторонние оценки критических значений параметра нагружения в задачах об устойчивости толстых упругих блоков при больших сжатиях»

Автореферат диссертации на тему "Двусторонние оценки критических значений параметра нагружения в задачах об устойчивости толстых упругих блоков при больших сжатиях"

На правах рукописи

Пантелеев Сергей Александрович

Двусторонние оценки критических

значений параметра нагружения в задачах об устойчивости толстых упругих блоков при больших сжатиях

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

004600841

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Самарский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Л. В. Никитин

Защита состоится 29 апреля 2010 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.240.01 при Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, расположенном по адресу: 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, 101, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМех РАН.

Е.И. Рыжак

доктор физико-математических наук Н.Г. Бураго

Ведущая организация: ГОУ "Московский физико-технический

институт. Государственный университет'

Автореферат разослан

марта 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.240.01, кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование устойчивости и неустойчивости упругих тел при сжатии является традиционным направлением в прикладной механике, берущим начало от классической задачи Эйлера о выпучивании продольно сжатого стержня. Актуальность данной тематики не уменьшается со временем и обусловлена, прежде всего, огромным прикладным значением вопросов устойчивости (и тесно связанных с ними вопросов прочности) для самых разных областей технической деятельности — от машиностроения и авиации до строительства, и разработки полезных ископаемых. Изучение именно этих вопросов, обусловленное потребностями практики, послужило важнейшим толчком к появлению и развитию такой науки как механика деформируемого твердого тела.

Помимо основоположника теории устойчивости деформируемых тел Л. Эйлера, большой вклад в исследование различных аспектов этой теории внесли такие ученые как Г. Пиола, Г. Кирхгоф, Дж. Максвелл, У. Кельвин, Ж. Адам ар Д. У. Релей, Э. Трефтц, Дж.У. Гнббс, Р.Э.Мнзес, Т. Карман, С.П.Тимошенко, В.З.Власов, Дж.Болл, Р.Хилл, Д.Друккер В.Койтер, Ф.Р. Шенли, М.А.Био, М.Ф. Витти. Дж. Холден, В.В.Новожилов, A.A. Мов-чан (ст.), А.И.Лурье, А.Н.Гузь, В.Д.Клюшников, В.В.Болотин, Л.М.Зубов, В.А. Пальмов, Дж. Райе и другие.

На многие вопросы, которые ставит перед инженерами практика, обоснованный ответ может дать только теория. Это в большой степени способствует развитию самой теории, и по мере этого развития появляются возможности теоретического рассмотрения и решения тех задач (в том числе и практически важных), которые ранее теоретическому исследованию не поддавались. Сказанное в полкой мере относится и к данной работе: в ней представлены исследования таких задач об устойчивости сжатых упругих тел, которые ранее не были и, в определённой степени, не могли быть решены в силу отсутствия средств — соответствующих теоретических разработок. При всём колоссальном количестве выполненных ранее и выполняемых в настоящее время расчётов на устойчивость, традиционные методики таких расчётов имеют очень существенные ограничения и пробелы, восполняемые лишь эмпирически и "на ощупь". Традиционные методы приспособлены только для нахождения необходимых условий устойчивости (иначе говоря, достаточных условий неустойчивости, соответствующих оценкам сверху для критических значений параметра нагружения), и при этом они хорошо "работают" только для тонких тел (стержней, пластин, оболочек). Практически же гораздо более важной задачей является нахождение достаточных условий устойчивости (оценок снизу для критических значений параметра нагружения), да и тела (элементы конструкций и сооружений) зачастую являются "толстыми"; кроме

того, они могут в рабочем состоянии находиться в условиях больших сжатий, что требует при анализе устойчивости корректного учёта нелинейно упругих свойств материала (в соответствии с современным состоянием и известными соотношениями нелинейной теории упругости). Точные решения задачи об устойчивости, которые давали бы условия, являющиеся как необходимыми, так и достаточными условиями устойчивости, отсутствуют.

Из всего изложенного выше вытекает

Цель работы: получение как достаточных условий устойчивости, так и достаточных условий неустойчивости (т.е. двусторонних оценок для критических значений параметра нагружения) в некотором специфическом (но при этом достаточно широком) классе задач о равновесном деформировании (а именно, сжатии) нелинейно упругих тел, относительная толщина которых может быть сколь угодно большой. Упомянутый класс задач характеризуется тем, что тела имеют форму прямоугольного параллелепипеда ("блока") со свободной от кинематических ограничений парой граней и некоторыми специальными кинематическими граничными условиями на гранях двух других нар; при этом соотношение размеров блока произвольно. Выбор именно такого класса задач обусловлен двумя обстоятельствами: во-первых, появлением в последнее время теоретических результатов, касающихся указанных геометрии и граничных условий и открывающих совершенно новые возможности в использовании известных методов анализа устойчивости; во-вторых, форма блока разных пропорций и рассматриваемый набор граничных условий представляют немалый интерес для приложений как сами по себе, так и в качестве основы для гипотез и аналогий в отношении тел иной формы и при иных граничных условиях.

Научная новизна диссертации определяется следующими полученными в ней основными результами, которые и выдвигаются в качестве защищаемых положений:

1. Предложены и исследованы упругие потенциалы, задающие ортотроп-ные сжимаемые нелинейно-упругие материалы при конечных деформациях. Материалы предложенного типа представляют собой обобщение на случай анизотропии и сжимаемости известного (изотропного и несжимаемого) материала Муни-Ривлина.

2. Впервые найдены (с помощью модифицированного метода Холдена) достаточные условия устойчивости (оценки снизу для критического значения параметра нагружения) в задачах об устойчивости сжатых упругих блоков произвольных пропорций из материалов предложенного типа.

ся в том, что формы потери устойчивости ищутся в классе экстремалей модифицированной вариационной задачи Корна (которая тесно связана с задачами о выпучивании стержней при сжатии).

4. Впервые определены (с помощью упомянутой новой гипотезы) достаточные условия неустойчивости (оценки сверху для критического значения параметра пагружеиия) в тех же задачах об устойчивости сжатых упругих блоков произвольных пропорций.

5. Проведено сравнение оценок сверху для критического значения параметра нагружешгя, полученных с помощью предложенной кинематической гипотезы и с помощью традиционной кинематической гипотезы ортогональных плоских сечений ("балочного приближения"). Показано, что новая гипотеза дает меньшие (т.е. лучшие) оценки сверху при любых геометрических и жесткостных параметрах блоков в рассматриваемых классах задач. При этом в пределе малых толщин результаты асимптотически совпадают, а в пределе больших толщин новая гипотеза дает конечные оценки сверху для критических напряжений (качественно соответствующие полученным в работе оценкам снизу), а традиционная гипотеза — дает оценки сверху, стремящиеся к бесконечности.

6. Проведено численно-аналитическое сравнение полученных оценок снизу и оценок сверху при изменении как геометрических параметров блока, так и параметров анизотропии и сжимаемости материала. Выявлено подобие параметрических зависимостей для оценок обоих типов во всем диапазоне изменения указанных параметров. Выявленное подобие косвенно указывает на то, что найденные зависимости для оценок сверху и оценок снизу правильно отражают соответствующие зависимости для точных критических значений параметра нагружения.

Достоверность результатов подтверждается физической обоснованностью выбора модели материала и физической обоснованностью постановок задач об устойчивости, а также строгим аналитическим характером рассмотрения этих задач с применением современных теоретических концепций и математических средств механики деформируемого твердого тела.

Практическая значимость результатов. Полученные в работе результаты могут быть использованы для определения практически важных безопасных нагрузок (то есть таких нагрузок, при которых еще не теряется устойчивость) для блокообразных упругих тел при рассмотренных в работе специальных граничных условиях. Кроме того, полученные результаты (строгие двусторонние оценки критических значений параметра нагружения) могут быть использованы для тестирования применяемых на практике процедур численного решения задач об устойчивости.

Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:

• 15-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 26 февраля - 3 марта 2007 г.;

• Международная молодежная научная конференция "XXXIII Гагарии-ские чтения" Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинско-го РАН, 3-7 апреля 2007 г.;

• Юбилейная школа семинар "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", Самара, Самарский государственный университет, 29 января - 2 февраля 2008 г.

• Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагарин-ские чтения" Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинско-го РАН, 1 - 5 апреля 2008 г.;

• Всероссийская конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела." Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 13 - 15 октября, 2008. г.

• Научный семинар по механики сплошной среды имени JI.A. Галина под руководством профессоров В.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова, A.B. Манжирова. Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Иш-линского РАН, 6 ноября 2009 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ (без соавторов), в том числе 2 статьи в журналах из перечня ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. В тексте имеется 35 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 47 наименований. Общий объем работы составляет 164 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Приведен обзор литературы по соответствующей проблематике.

В первой главе приводится описание основных понятий и методов, используемых в работе.

В разделе 1.1 вводятся основные понятия, используемые при отсчетном описании сплошной среды.

Отображение г(х), переводящее отсчетную конфигурацию в текущую, называется трансформацией, a F(x) —градиентом трансформации

F(x) = V« ® г(х) dr (х, dx) = dx ■ F (х). (1)

Для описания напряженного состояния используется тензор напряжений Пиолы Тк, связанный с тензором напряжений Коши известными формулами

Тк = (с^ Р) (Р_1)Т ■ Т; Т = (2)

При Е = I тензор напряжений Коши и тензор напряжений Пиолы совпаг дают.

Определяющие соотношения упругого (гиперупругого) материала. Материал называется упругим, если текущее напряженное состояние зависит от текущего значения градиента трансформации Р, причем соответствующее определяющее соотношение удовлетворяет принципу материальной объективности:

Т = £(Р); 5(Р-д) = (Зг Р-

Другой вид определяющего соотношения для упругого материала задает связь между тензором напряжений Пиолы и градиентом трансформации, которое вытекает из известного соотношения между тензором напряжения Пиолы и тензором напряжений Коши (2)

Пусть сг(Р)— объемная плотность упругой энергии по отношению к от-счетной конфигурации (упругий потенциал); тогда

бет = ТК : ¿Т * = Ш

(Я?

Соотношение, связывающее упругие потенциалы с* (Б1) и стк„(Р) для одного и того же материала, заданные относительно разных отсчетных конфигураций, имеет вид:

где Ро — градиент транформации, переводящей конфигурацию ко в конфигурацию /с, а Б1 — градиент трансформации относительно конфигурации к.

В разделе 1.2 формулируется критерий устойчивости / неустойчивости для упругих тел со специальными граничными условиями.

Принимается следующее определения устойчивости: пусть упругое тело В находится в равновесной конфигурации «о- Если при переходе в любую другую кинематически допустимую конфигурацию потенциальная энергия упругого тела В увеличивается, то конфигурация «о называется устойчивой. Если существует хотя бы одна допустимая конфигурация, при переходе в

которую потенциальная энергия уменьшается, то конфигурация ко называется неустойчивой. В дальнейшем будут рассматриваться лишь те состояния, которые в некотором смысле близки к исходному.

Сформулируем соответствующий математический критерий устойчивости / неустойчивости (в малом) упругого тела при некоторых граничных условиях (ГУ). Будем считать, что в отсчетной конфигурации тело занимает область ВКо, имеющую блокообразную форму, а граница этой области дВКо состоит из граней блока, образующих три группы Ех, Е2 и £3. На гранях группы Иг имеет место свободное проскальзывание вдоль соответствующей грани, т.е. выполняются условия тангенциальности перемещений и отсутствия тангенциального внешнего напряжения:

&"(х) • п«0(х) - 0, ^(х)-(1-пКо(х)®пКо(х)) = 0, хеЕь (3)

где 5г(х) — поле инкрементальных смещений, пк.0(х) — внешняя нормаль к дВКо в соответствующей точке.

На гранях группы Ег имеет место свободное перемещение точек по нормали к соответствующей грани, т.е. выполняются условия нормальности перемещений и отсутствия нормального внешнего напряжения:

ад-(1-пКо(х)®пЛо(х))=0! ^(х)-Пяв(х) = 0, хбЕ2. (4)

Тогда для тела В функционал второй вариации полной потенциальной энергии имеет следующий вид:

Конфигурация ко является устойчивой, если функционал Я{<5г} положительно определен. Если функционал Л{/5г} может принимать отрицательные значения, то конфигурация Ко является неустойчивой.

В 1.3 дано описание метода кинематических гипотез и метода Холдена, используемых в работе для получения двусторонних оценок критического значения параметра нагружения.

Получение достаточных условий неустойчивости (которые имеют смысл нарушения необходимых условий устойчивости) основано на методе кинематический гипотез, который сводится к искусственному сужению класса всех кинематически допустимых полей смещений до некоторого подкласса. Задача о вырождении функционала В в этом случае решается на выбранном подклассе и зачастую допускает аналитическое решение исходной вариационной

(5)

(6)

задачи на подклассе (отметим при этом, что полученное решение все равно остается приближенным решением исходной задачи). Если в выбранном подклассе есть такое поле смещений, на котором функционал второй вариации полной потенциальной энергии принимает отрицательное значение, то рассматриваемая конфигурация неустойчива. Если же такое поле в выбранном подклассе отсутствует, то это не означает устойчивости рассматриваемой конфигурации, так как на всем классе кинематически допустимых полей смещений такое ноле может существовать.

Для получения достаточных условий устойчивости (иначе говоря, оценок снизу для критических значений параметра нагружения) используется предложенный в 1964 г. метод Холдена. Этот метод состоит в построение функционала Д{£г}, минорирующего функционал (6) на любых допустимых полях смещений:

Щбт} > Д{<5г}, Уйг. (7)

Минорируютций функционал метода Холдена имеет простую структуру и это делает возможным аналитическое получение условий его положительной определенности. Очевидно, что эти же условия служат достаточными условия.мн положительной определенности исходного функционала (6).

В 1.4 приводится чрезвычайно важный для всех дальнейших рассмотрений вспомогательный материал, а именно: результаты решения модифицированной задачи Корна для блока со специальными граничными условиями, совпадающими с кинематическими граничными условиями исследуемых в работе задач об устойчивости. Под результатами понимаются аналитические выражения для константы Корна и соответствующих экстремалей.

Во второй главе вводится предложенное в работе семейство упругих потенциалов, позволяющих задавать начально изотропные и начально ор-тотропные нелинейно-упругие материалы при произвольных деформациях. Кроме того, вводится два семейства однородных равновесных сжатых конфигурациях блоков, соответствующих двум типам рассматриваемых задач об устойчивости.

Семейство упругих потенциалов задается следующим равенством

(Г) = (1п (А : (Е • Ег)) + 1п (А : (Е-7* ■ Е"1))) +

к (8)

(с^Е + с^Е-1).

где К, й — скалярные параметры (которые имеют смысл упругих модулей в законе Гука), А —тензорный параметр, задающий ортотропию материала (тензор А — симметричный и положительно определенный). Потенциалы этого семейства являются обобщением потенциала Муни-Ривлина на случай сжимаемости и ортотропии.

Также как п потенциал Муни-Ривлина, потенциалы семейства (8) удовлетворяют принципу энергетической эквивалентности сжатия и растяжения, то есть не меняют свое значение при замене Р • Рт на (Р • Рт)-1.

Материалы, задаваемые при помощи потенциалов этого семейства, могут быть как начально изотропными (в том случае когда тензор А является шаровым), так и начально ортотропными (когда собственные числа тензора А различны).

Следующее из потенциала (8) выражение для тензора напряжений Пиолы относительно конфигурации ко выглядит так:

3 / АР Р-г • Р-1 ■ А • Р~

~ 2 V А : (Р • Рг) А : (¥~т • Р"1)

((<1йР) р-г - ^Р"1) Р"т).

¿1

Для тензора напряжений Коши, согласно (2), получаем

1 3 ( ЕТ'АТ _ Р"1 • А• Р~т \ с1е1Р2 ^А:(Р-РГ) А : (Р_т • Р-1)) +

(9)

(10)

Тензор упругих модулей для тензора напряжений Пиолы относительно конфигурации к0 имеет следующий вид:

г гсу-^Ю 3 Г[(А®1)(2314), ~~ 2 ^ А : (Р • Рг)

1 г(р-т®Р-т-Р-1-А-Р-т)(3214) +

А : (Р-т • Р-1)

+ ■ Р"1 ® Р-1 • А • Г"т)(2314) + (Р-Г • Р-1 • А • Р"т ® Г-г)(3214) 1 (А • Р) ® (А • Р) (Р~т • Г-1 • А - Р~т) ® (Р~т • Р-1 • А • Р~т)'

-2 К

■¥т))2 + ~ (А:(Р-Т-Р~1))2

■ +

А ® Р-Т (с^ Р + «1«* Р"1) + (Р-Т ® Р~Т)ШЗ (det Р-1 - с^ Р)} .

(И)

Заметим, что при Р = I тензор напряжений Коши Т = 0 (то есть конфигурация ко является естественной), а тензор упругих модулей С в случае изотропии совпадает с тензором упругих модулей закона Гука

С = С? ((I ® 1)(1324) + (I ® 1)(1342)) + (к - I ® I.

(12)

В 11.4 сформулировано два типа задач об устойчивости сжатых блоков. Исследуемый на устойчивость блок В, находящийся между двумя парами жестких плит, задаётся следующими неравенствами

В = {х|0 < в! ■ х < 1и 0 < е2 • х < 12) -13 < е3 • х < 13} , (13)

где е^ (г = 1, 2,3) — ортонормированный базис, направленный по ребрам блока, ¿г (г = 1,2,3)— положительные действительные числа, задающие исходные размеры блока.

Пару граней с нормалями —в! и будем называть первой парой граней (Е^~ и Е*), с нормалями —е2 и е2 —второй парой граней (Е^Г и Е^), с нормалями —ез и ез—третьей парой граней (Е^ и

На первой и второй паре граней для перемещений задаются либо условия тангенциальности (проскальзывания), либо условия нормальности. Третья пара граней свободна от каких-либо кинематических ограничений, но на ней задаются граничные условия в напряжениях в виде "мертвой" нагрузки (в частности, отсутствие напряжений). Система "блок + плиты" изображена на рисунке 1.

Рис. 1. Механическая система "блок + плиты"

В направлении е2 происходит квазистатическое сжатие блока, задаваемое коэффициентом растяжения /3 (/? < 1). Первая пара граней остается неподвижной. Третья пара граней движется таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям в напряжениях, коэффициент растяжения в направлении ез обозначим через 0. Градиент трансформации, соответствующий тако-

му сжатию, имеет вид

Т(Р) = в! ® в! + 0е2 ® е2 + 0(/3)е3 ® е3. (14)

Нелинейный материал блока может быть изотропным или ортотропным и задается упругими потенциалами (8).

Тензор напряжений Коши для исследуемого однородного состояния имеет следующий вид

Т = ¿1в1 ® е1 + £2в2 ® е2 + ¿звз ® е3. (15)

Задачи первого и второго типа различаются друг от друга граничными условиями.

Для задач первого типа граничные условия таковы: тангенциальное про-скальзование на ' тРетья паРа граней свободна.

Граничные условия задач второго типа следующие: на — тангенциальное проскальзывание, на условие нормальности перемещений. Для того, чтобы удовлетворить условию нормальности на второй паре граней и при этом сохранить однородность деформации, необходимо отсутствие растяжения в направлении е3 — 1)- Отсутствие растяжения достигается при помощи задания "мертвой" нагрузки на £3 , равной соответствующему главному напряжению внутри.

Каждая из конфигураций для двух описанных типов задач является равновесной и однородной.

Таким образом, для обоих типов задач описаны квазистатические процессы сжатия блока, трактуемые как однопараметрические семейства конфигураций с параметром /?. Именно конфигурации этого семейства будут в дальнейшем исследоваться на устойчивость, то есть предполагается, что на эти конфигурации накладываются поля малых смещений (удовлетворяющие кинематическим ГУ, а в остальном произвольные), и изучается знак функционала й{<5г} на этих полях. Если для любых допустимых полей малых смещений Я{дг} > 0, то конфигурация устойчива, а если для некоторых допустимых полей смещений Д{(5г} < 0, то конфигурация неустойчива.

Третья глава посвящена получению достаточных условий устойчивости и достаточных условий неустойчивости. Затем для полученных двусторонних оценок проводится анализ их зависимости от характеристик материала.

В III. 1 более конкретно сформулированы исследуемые в работе два типа задач об устойчивости и неустойчивости.

В разделе III.2 получены при помощи метода Холдена достаточные условия устойчивости. При построении минорирующего функционала подынтегральное выражение в функционале второй вариации полной потенциальной

энергии преобразуется к еле,дующему вид}' <5Н : С : ¿Н =

= (бе : С : б_е + Т : (<5е2)) -2Т : (бе2) + Т : (5Н • 5НТ) = (16) = бе : £ : бе - 2Т : (бе)2 + Т : (JH : <ШТ),

где ¿Н = V ® бг, бе = 1/2 (<Ш + <ШТ). Затем для каждого слагаемого в этом выражении строится оценка снизу.

Для того, чтобы найти оценки снизу для первого из слагаемых в выражении (16), разложим пространство симметричных тензоров второго ранга в прямую ортогональную сумму следующих трех подпространств: подпространства симметричных девиаторов 5e'd, содержащих только диагональную часть относительно базиса е^ подпространства симметричных девиаторов 6е'п, содержащих только недиагональную часть относительно того же база-са и подпространства шаровых тензоров <5г5рЬ. При этом упомянутые выше ортогональные подпространства ортогональны также с весом L:

бе : £ : бе = Se'd : £ : 5e'd + 6е'п : £ : ie'„ + iesph : £ : ¿esph. (17)

Находя оценки снизу для бе : L : бе на каждом из подпространств и беря наименьшую из них, получаем следующую оценку снизу для квадратичной формы бе : L : бе:

бе : L : бе > min < 9G det F"1 min(m}m\ + m-mfi) , [ 13 10

3Gdet F-1 min (m] + m2), — (l + (det F"1)2) | (Se': Se) = (18)

= A (Se:Se).

Для второго слагаемого в выражении (16) оценка снизу будет следующей -2Т : (Je2) > 2|i3|ie : бе, (19)

для третьего слагаемого в выражении (16) имеем:

Т : (<Ш • ¿Нг) > -|£х| (¿Н : 6Н). (20)

Здесь t\ < ¿2 < ^ — собственные числа тензора напряжений Коши Т.

Тогда, используя неравенство Корна

J <Ш : SUdV <к J бе: 5edV, (21)

в в

для (20) получаем

I Т : (Ш • <ШГ) дУ > -1*11*: ^ (бе : бе) ёУ. ^2)

ад) о(®

Используя неравенства (16)-(22), удается построить функционал Л{<5г}, минорирующий функционал второй вариации полной потенциальной энергии

R{5r} > (А - k\ti\ + 2|i3|) J (бе : бе) .dV

(23)

Знак полученного функционала R определяется знаком следующего выражения:

X-k\t1\+2\t3\ >A-fc|ii|. (24)

Тогда достаточное условие устойчивости рассматриваемой конфигурации принимает следующий простой вид

l«i| < (25)

Для того, чтобы неравенство для наибольшего сжимающего напряжения обрело конкретный смысл, нужно знание конкретных значений Л и к. Значение Л получено в работе и дается равенством (18), а значение константы Корна берется из работы Е.И. Рыжака (Math. Mech. Solids, 1999).

В разделе Ш.З получены (при помощи метода кинематических гипотез) достаточные условия неустойчивости. В этом методе в качестве кинематической гипотезы используется гипотеза, кинематика которой основана на экстремалях модифицированной задачи Корна (Е.И. Рыжак, Math. Mech. Solids, 1999).

Кроме решения, полученного при помощи кинематических гипотез, основанных на экстремалях модифицированной задачи Корна, для обоих типов задач были полученны достаточные условия неустойчивости на основе традиционной гипотезы ортогональных плоских сечений. Сравнительный анализ полученных оценок показывает, что использование гипотезы, основанной на экстремалях модифицированной задачи Корна, позволяет улучшить оценку сверху для критического значения параметра нагружения, а также существенной расширить диапазон соотношения линейных размеров блока, на котором удается определить эту оценку.

Сравнение оценки сверху, полученной на основе экстремалей задачи Корна (сплошная линия), и оценки сверху, полученной при помощи гипотезы ортогональных плоских сечений (пунктир), в зависимости от отношения линейных размеров блока, показано на рисунке 2.

Рассмотрим задачу о сжатии блока, кинематические граничные условия которой совпадают с задачами первого типа, а материал блока ортотропный Пусть со стороны третьей пары граней действует такая "мертвая" нагрузка, что градиент трансформации имеет следующий вид:

Г = в! ® ех + /?е2 ® е2 + /?е3 ® е3. (26)

В этом случае тензор напряжений Коши имеет следующую структуру:

Т = *!в1 ® ех + ¿2е2 ® е2 + г2е3 ® е3. (27)

Тогда, подставляя в качестве поля смещений экстремали задачи Корна, получим следующую оценку сверху для функционала Я

Н{8г} < (Л - 1 (к - 2)) I (5е : ¿¡г) ^ (28)

где

Таким образом, для этого случая двусторонняя оценка функционала Д имеет следующий вид

U-I*il*) J(Se:Se)dV

< R{5г} < (30)

< (Л - |i2|(Jb - 2)) J (Se : Se) dV.

Отсюда получаем простую двустороннюю оценку для критических сжимающих напряжений в терминах константы Корна, и характерных ("нижних" и "верхних") модулей материала

! < |i2| < <* > 4)" <31>

В разделе III.4 проведен сравнительный анализ оценок снизу и сверху. В ходе этого анализа были проанализированы зависимости полученных оценок от отношения линейных размеров исследуемого на устойчивость блока.

Для наглядного представления полученных результатов в качестве параметра нагружения вводится следующий параметр:

m — ie2 ■ Т • е2| (32)

Достаточные условия устойчивости, полученные в разделе III.2, в этом случае примут следующий вид: Г* < Ткр, где Т,—-оценка снизу критического значения параметра нагружения Ткр. Достаточные условия неустойчивости, полученные в разделе Ш.З, примут вид Ткр < Т*, где Т* ~ оценка сверху критического значения параметра нагружения Гкр. Таким образом, для критического значения параметра нагружения получена следующая двусторонняя оценка.

Т, < Ткр < т.

Для оценок каждого типа построены их зависимости от отношения размеров блока при различных значениях ряда других параметров задачи: отношения модулей К и О, а также, безразмерных величин а*, а2 и аз, характеризующих анизотропию.

Полученные графики позволяют судить о влиянии изменения каждого из параметров задач на значение оценок и на промежуток между оценками, внутри которого находится точное критическое значение параметра нагружения Ткр. Особенно простой и наглядной является двусторонняя оценка, выраженная формулой (31).

'"'■О 15 10 и 10 и

Рис. 3. Оценки сверху и снизу для коэффициента сжатия /З-1

Пользуясь неравенствами (31), для коэффициента сжатия ¡3~1 получаем оценки сверху и снизу, графики которых показаны на рисунке 3.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Впервые получены достаточные условия устойчивости (при помощи метода Холдена).

Впервые применены экстремали модифицированной задачи Корна для получения достаточных условий неустойчивости.

Полученные достаточные условия неустойчивости оказываются точнее таких условий, полученных на основе традиционной гипотезы ортогональных сечений; для толстых блоков оценка на основе традиционной гипотезы стремится к бесконечности, а оценка на основе использованной кинематической гипотезы — конечна и имеет величину порядка модулей упругости.

Как достаточные условия неустойчивости, так и достаточные условия устойчивости получены в аналитическом виде.

Построено и исследовано аналитически семейство упругих потенциалов, позволяющих задавать как начально изотропные, так и начально ортотронные материалы при произвольных деформациях.

Проведен численный анализ полученных результатов. Получены зависимости оценок сверху и оценок снизу от соотношения линейных размеров блока, типа краевых условий и параметров, задающих ортотропию материала блока.

Публикации по теме диссертации

1. Пантелеев, С.А. Оценки сверху для критического значения коэффициента сжатия нелинейно-упругого параллелепипеда / С. А. Пантелеев // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. - 2007. - №6(56). - С. 86-101.

2. Пантелеев, С.А. Двусторонние оценки в задаче об устойчивости сжатых упругих блоков / С.А.Пантелеев // Изв. РАН. МТТ. - 2010. - №1. - С. 51-63.

3. Пантелеев, С.А. Устойчивость нелннейноунругого параллелепипеда / С.А. Пантелеев // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. В 3-х частях. - Екатеринбург: УрО РАН,

2007. - Т. 3. - С. 67-70.

4. Пантелеев, С. А. Два типа оценок сверху для критического сжатия нелинейно-упругого параллелепипеда / С.А. Пантелеев // XXXIII Гагарин-ские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 3-7 апреля 2007 г. - М.: МАТИ, 2007. -Т.' 1. - С. 146-147.

5. Пантелеев, С.А. Применение экстремалей модифицированной задачи Корна для получения достаточных условий неустойчивости сжатого нелинейно-упругого блока произвольных размеров / С.А. Пантелеев // Юбилейная школа семинар "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики" (29 января - 2 февраля 2008 г.). Труды школы семинара. - Самара: Издательство "Самарский университет", 2008. - С. 4С-48.

6. Пантелеев, С.А. Задача о потери устойчивости нелинейно-упругого блока при квазистатическом двуосном сжатии / С.А. Пантелеев // XXXIV Гагармнские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции. Секция "Механика и моделирование материалов и технологий". Москва, 1-5 апреля 2008 г. - М.: МАТИ, 2008. - С. 88.

7. Пантелеев, С.А. Безопасные оценки для коэффициента сжатия нелинейно-упругого блока / С.А. Пантелеев // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела. Тезисы докладов Всероссийской конференции, 13-15 октября, 2008 г., Пермь. - Екатеринбург: УрО РАН,

2008. - С. 83.

Двусторонние оценки критических значений

параметра нагружения в задачах об устойчивости толстых упругих блоков при больших сжатиях

Пантелеев Сергей Александрович

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Я-2010 г. Тираж 100 экз.

Подписано в печать 12.03.2010 г. Заказ №

Отпечатано на ризографе, ИПМех РАН 119526 Москва, проспект Вернадского, д. 101, к. 1.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Пантелеев, Сергей Александрович

Введение. Обзор современного состояния вопроса и вытекающие из него постановка новых задач

Глава I. Основные понятия, модели и критерии, используемые в работе

1.1. Определяющие соотношения для нелинейно-упругого материала

1.1.1. Определяющие соотношения для нелинейно-упругого материала: тензор напряжений Коши, принцип материальной объективности, тензор напряжений Пиолы, связь между тензором напряжений Пиолы и тензором напряжений Коши, упругий потенциал, изотропный упругий потенциал.

1.1.2. Инкрементальные формы определяющих соотношений для тензора напряжений Пиолы и тензора напряжений Коши.

1.2. Определения устойчивости и неустойчивости; энергетический критерий устойчивости / неустойчивости в малом, математическая формулировка критерия.

1.3. Методы исследования устойчивости и неустойчивости: метод кинематических гипотез и метод Холдена.

1.3.1. Метод кинематических гипотез.

1.3.2. Метод Холдена.

1.3.3. Неравенство Корна и известные значения константы Корна, экстремали задачи Корна.

Глава II. Предлагаемые изотропные и ортотропные нелинейно упругие определяющие соотношения. Задачи об однородном квазистатическом деформировании нелинейно упругих блоков (нахождение исследуемых на устойчивость конфигураций)

II. 1. Группы равноправности твердых гиперупругих материалов. Изотропные и ортотропные упругие материалы.

11.2. "Наведенная" ортотропия инкрементальных определяющих соотношений.

11.3. Конкретный вид и свойства рассматриваемых в работе упругих потенциалов.

11.4. Рассматриваемые конфигурации блоков с конкретными граничными условиями.

11.4.1. Проскальзывание по двум парам граней.

11.4.2. Проскальзывание на гранях Ejf, нормальность на гранях £2",

Глава III. Получение достаточных условий устойчивости и достаточных условий неустойчивости для рассматриваемых конфигураций блока

III. 1. Описание двух рассматриваемых типов задач об устойчивости сжатых блоков.

III. 1.1. Условие тангенциального проскальзывания по двум парам граней.

III. 1.2. Условие нормальности перемещений по второй паре граней и тангенциальности по первой паре граней

111.2. Получение достаточных условий устойчивости для задач обоих типов.

111.3. Получение достаточных условий неустойчивости

111.3.1. Применение метода кинематических гипотез в случае простого изотропного нелинейно-упругого закона

111.3.2. Определение достаточного условия неустойчивости для первого типа задач.

111.3.3. Определение достаточного условия неустойчивости для второго типа задач.

111.3.4. Сравнение с достаточными условиями неустойчивости, полученными на основе традиционной кинематической гипотезы.

111.3.5. Оценка сверху для некоторого специального случая нагружения.

111.4. Анализ полученных результатов

111.4.1. Сравнение оценок снизу.

111.4.2. Сравнение оценок сверху

111.4.3. Сравнение оценок двух типов.

111.5. Результаты анализа.

Введение диссертация по механике, на тему "Двусторонние оценки критических значений параметра нагружения в задачах об устойчивости толстых упругих блоков при больших сжатиях"

В историческом аспекте развитие трехмерной теории устойчивости в малом началось в первой половине XX века. Вначале развивалась трехмерная теория упругой устойчивости и лишь несколько позже были выполнены исследования для неупругих моделей деформируемых тел. Однако инкрементальные определяющие соотношения и граничные условия являются сходными для упругих и упругопластических сред. В связи с этим при обсуждении исторических аспектов не будем разделять трехмерную теорию устойчивости для упругих и упругопластических сред. Но при этом, все же, основное внимание уделим упругим.

Впервые путем линеаризации основных соотношений нелинейной теории упругости Био (Biot) [1, 2] в 1934-1939 гг. получил основные соотношения статической трехмерной теории устойчивости в малом при малых докритических деформациях. В этих работах предполагалось, что малыми величинами наряду с деформациями также являются и повороты. Результаты многочисленных публикаций Био по инкрементальной теории устойчивости трехмерных тел, основанные на бифуркационном критерии, нашли отражение в его монографии [3], которая стала первой монографией по трехмерной теории устойчивости в мировой литературе. Впервые основные соотношения трехмерной теории устойчивости в малом при малых докритических деформациях вариационным методом вывел Трефтц [4, 5]. При этом в качестве критерия устойчивости был предложен и использован энергетический критерий (на котором основана и данная работа).

В наиболее общей форме основные соотношения трехмерной теории устойчивости в малом при конечных докритических деформациях для изотропного упругого тела с произвольной формой упругого потенциала получены в работе Грина, Ривлина и Шилда [6], где также рассмотрен ряд частных случаев.

Таким образом, в первой половине XX века (1913-1952 гг.) были достаточно строго получены соотношения трехмерной теории устойчивости в малом при конечных и малых докритических деформациях. В последующие годы второй половины XX века разрабатывались некоторые общие вопросы трехмерной теории устойчивости в малом, были решены также некоторые задачи.

В настоящее время теория устойчивости деформируемых систем превратилась в весьма разветвленную отрасль механики, имеющую многочисленные приложения и создавшую свои методы и подходы. Практически нет ни одной отрасли промышленности и строительства, где бы ни применялись результаты теории устойчивости деформируемых систем. Столь широкая прикладная сторона этой отрасли механики и ее значимость для инженерного дела способствовали появлению большого числа научных статей и монографий [1-31]. Подавляющее большинство исследователей, связывая явление потери устойчивости с тонкостенными элементами конструкций и стремясь упростить решения задач, пользовались двумерными и одномерными прикладными теориями, построенными путем введения вспомогательных кинематических гипотез, и занимались решением практически важных задач. Естественно, указанная деятельность нашла отражение в научных публикациях, и таким образом к настоящему времени уже сформировалась теория устойчивости деформируемых тонкостенных систем.

Безусловно, в этой теории, как и в любой другой отрасли механики существуют свои актуальные и современные направления исследований, но с точки зрения теории это направление носит частный характер.

При этом до последнего времени оставались почти неразработанными вопросы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел, а также методы решения задач в трехмерной постановке. Дальнейшее развитие механики деформируемых тел вызвало необходимость развития трехмерной теории устойчивости как самостоятельного раздела теории упругости. Устойчивость толстостенных металлических конструкций, задачи механики горных пород об устойчивости горных выработок и задачи геофизики о складкообразовании в толще земной коры, устойчивость конструкций из каучукоподобных материалов и вопросы механики резинотехнических изделий, а также родственные вопросы биомеханики — вот далеко не полный перечень проблем, для исследования которых целесообразно и даже необходимо привлекать подходы и методы трехмерной теории устойчивости упругих тел.

Данная работа направлена на дальнейшее изучение вопросов трехмерной теории устойчивости в малом при больших начальных деформациях. Исследуемые в работе задачи об устойчивости сжатых параллелепипедов хорошо изучены в случае, когда один или два из линейных размера параллелепипеда много меньше других, pi при этом все полученные решения этих задач устанавливают достаточные условия неустойчивости. Однако когда линейные размеры блока сопоставимы, даже задачи о достаточных условиях неустойчивости практически не изучены. Что касается достаточных условий устойчивости, которые с практической точки зрения являются более важными по сравнению с достаточными условиями неустойчивости, то таких решений просто нет. Это послужило причиной выбора в качестве предмета исследования получение с помощью статического энергетического критерия достаточных условий устойчивости, а также достаточных условий неустойчивости для толстых упругих тел при больших деформациях сжатия.

В работе рассматривается некоторый специальных класс задач об устойчивости сжатых нелинейно упругих блокообразных тел. Блоком для краткости будем называть прямоугольный параллелепипед с произвольным соотношением длин ребер. Упругий материал считается либо изотропным, либо ортотропным с плоскостями ортотропии, параллельными граням блока.

Выбор блока в качестве формы исследуемого на устойчивость тела не случаен. Элементы конструкций и механизмов нередко имеют блокообраз-ную форму, для их нормального функционирования, как правило, требуется сохранение этой формы. Условием такого сохранения является устойчивость. Целый ряд элементов выполняется из сравнительно мягких материалов типа резины (это, например, прокладки, манжеты, шайбы и т.п.). В силу малой жесткости эти элементы испытывают большие деформации, и при этом их устойчивость (отсутствие выпучивания) возможна лишь тогда, когда они имеют сравнительно большие поперечные размеры. Весьма сходные соображения относятся и к элементам других конструкций, например, к целикам разных типов в шахтных сооружениях. Форма упомянутых элементов конструкций совершенно не позволяет использовать теорию устойчивости при малых деформациях и свойственные ей методы, близкие к традиционным методам сопротивления материалов при анализе устойчивости. Наличие больших начальных деформаций делает особенно важным корректный учет нелинейно упругих свойств исследуемого объекта. Применительно к задачам устойчивости это означает необходимость использования теории конечных докритических деформаций и корректную линеаризацию нелинейных соотношений.

Корректно линеаризованные нелинейные соотношения в состояниях с конечными напряжениями, как известно, имеют существенные качественные отличия от классической линейной теории упругости. В них входят и начальные напряжения, и повороты, без учета которых исследование устойчивости невозможно. Поэтому классическая линейная теория упругости совершенно непригодна для анализа устойчивости. В ней всегда все устойчиво, что не соответствует действительности. Методы сопротивления материалов основаны на не совсем корректной линеаризации, хотя и включают некоторые элементы корректной линеаризации, что делает возможным изучение устойчивости в принципе. При этом степень некорректности линеаризации проявляется тем значительнее, чем больше начальные деформации, то есть при больших начальных деформациях правильные результаты могут быть получены лишь на основе действительно корректной линеаризации.

Известно, что инкрементальные соотношения в деформированном состоянии начально изотропного нелинейно упругого материала являются ин-крементально ортотропными. В случае начально ортотропного нелинейно упругого материала (при условии совпадения осей начальных деформаций с осями ортотропии) инкрементальные соотношения также ортотропны. С точки зрения анализа устойчивости, случаи начальной изотропии и начальной ортотропии отличаются друг от друга незначительно. Тем не менее, рассмотрение начально ортотропных материалов существенно расширяет границы приложения результатов анализа, поскольку в технике зачастую применяются композитные материалы, которые являются ортотропными изначально.

В качестве критерия устойчивости в работе используется энергетический критерий. Его математическая формулировка сводится к наличию или отсутствию положительной определенности второй вариации полной потенциальной энергии системы. Получение с помощью этого критерия точного решения задачи об устойчивости С помощью этого критерия в работе решаются задачи двух разных типов: о достаточных условиях устойчивости, и о достаточных условиях неустойчивости, которые в совокупности дают двусторонние оценки критического значения параметра нагружения.

Достаточные условия неустойчивости — это всегда оценки сверху для критического значения параметра нагружения. Они получаются с помощью известного метода кинематических гипотез; этот метод заключается в искусственном сужении класса кинематически допустимых полей возмущений. Данный метод, как правило, основан на применении кинематической гипотезы ортогональных плоских сечений. Традиционно он используется при получении условий неустойчивости для тонких тел, причем соответствующие критические значения всегда являются оценками сверху, но зачастую их ошибочно называют точными. В силу того, что традиционная кинематическая гипотеза для толстых тел в лучшем случае дает неудовлетворительные результаты, а в худшем вообще не дает никаких результатов, в работе используется совершенно другая кинематическая гипотеза, связанная с экстремалями задачи Корна. Эта гипотеза позволяет получать эффективные оценки и для толстых блоков.

Что касается достаточных условий устойчивости, которые, очевидно, имеют большее прикладное значение, чем достаточные условия неустойчивости, для их получения используется малоизвестный метод Холдена. Получение конкретных оценок при помощи метода Холдена [33] требует знания конкретных значений константы Корна для соответствующей геометрии и кинематических граничных условий. До недавнего времени значение этой константы было известно только для шара [34], малоинтересного с точки зрения устойчивости. Значения константы Корна для параллелепипедов при некоторых специальных кинематических граничных условиях получены сравнительно недавно [35], и именно на этих значениях основано применение метода Холдена в данной работе.

Актуальность работы. Исследование устойчивости и неустойчивости упругих тел при сжатии является традиционным направлением в прикладной механике, берущим начало от классической задачи Эйлера о выпучивании продольно сжатого стержня. Актуальность данной тематики не уменьшается со временем и обусловлена, прежде всего, огромным прикладным значением вопросов устойчивости (и тесно связанных с ними вопросов прочности) для самых разных областей технической деятельности — от машиностроения и авиации до строительства и разработки полезных ископаемых. Изучение именно этих вопросов, обусловленное потребностями практики, послужило важнейшим толчком к появлению и развитию такой науки как механика деформируемого твердого тела.

Помимо основоположника теории устойчивости деформируемых тел Л. Эйлера, большой вклад в исследование различных аспектов этой теории внесли такие ученые как Г. Пиола, Г. Кирхгоф, Дж. Максвелл, У. Кельвин, Ж.Адамар Д.У. Релей, Э.Трефтц, Дж.У. Гиббс, Р.Э.Мизес, Т. Карман, С.П.Тимошенко, В.З.Власов, Дж. Болл, Р. Хилл, Д. Друккер В.Койтер, Ф.Р. Шенли, М.А. Био, М.Ф. Витти, Дж. Холден, В.В. Новожилов, А.А. Мов-чан (ст.), А.И. Лурье, А.Н. Гузь, В.Д. Клюшников, В.В. Болотин, Л.М. Зубов, В.А. Пальмов, Дж. Райе и другие.

На многие вопросы, которые ставит перед инженерами практика, обоснованный ответ может дать только теория. Это в большой степени способствует развитию самой теории, и по мере этого развития появляются возможности теоретического рассмотрения и решения тех задач (в том числе и практически важных), которые ранее теоретическому исследованию не поддавались. Сказанное в полной мере относится и к данной работе: в ней представлены исследования таких задач об устойчивости сжатых упругих тел, которые ранее не были и, в определённой степени, не могли быть решены в силу отсутствия средств — соответствующих теоретических разработок. При всём колоссальном количестве выполненных ранее и выполняемых в настоящее время расчётов на устойчивость, традиционные методики таких расчётов имеют очень существенные ограничения и пробелы, восполняемые лишь эмпирически и "на ощупь". Традиционные методы приспособлены только для нахождения необходимых условий устойчивости (иначе говоря, достаточных условий неустойчивости, соответствующих оценкам сверху для критических значений параметра нагружения), и при этом они хорошо "работают" только для тонких тел (стержней, пластин, оболочек). Практически же гораздо более важной задачей является нахождение достаточных условий устойчивости (оценок снизу для критических значений параметра нагружения), да и тела (элементы конструкций и сооружений) зачастую являются "толстыми"; кроме того, они могут в рабочем состоянии находиться в условиях больших сжатий, что требует при анализе устойчивости корректного учёта нелинейно упругих свойств материала (в соответствии с современным состоянием и известными соотношениями нелинейной теории упругости). Точные решения задачи об устойчивости, которые давали бы условия, являющиеся как необходимыми, так и достаточными условиями устойчивости, отсутствуют.

Из всего изложенного выше вытекает

Цель работы: получение как достаточных условий устойчивости, так и достаточных условий неустойчивости (т.е. двусторонних оценок для критических значений параметра нагружения) в некотором специфическом (но при этом достаточно широком) классе задач о равновесном деформировании (а именно, сжатии) нелинейно упругих тел, относительная толщина которых может быть сколь угодно большой. Упомянутый класс задач характеризуется тем, что тела имеют форму прямоугольного параллелепипеда ("блока") со свободной от кинематических ограничений парой граней и некоторыми специальными кинематическими граничными условиями на гранях двух других пар; при этом соотношение размеров блока произвольно. Выбор именно такого класса задач обусловлен двумя обстоятельствами: во-первых, появлением в последнее время теоретических результатов, касающихся указанных геометрии и граничных условий и открывающих совершенно новые возможности в использовании известных методов анализа устойчивости; во-вторых, форма блока разных пропорций и рассматриваемый набор граничных условий представляют немалый интерес для приложений как сами по себе, так и в качестве основы для гипотез и аналогий в отношении тел иной формы и при иных граничных условиях.

3. Для получения достаточных условий неустойчивости (имеющих смысл нарушения необходимых условий устойчивости) предложена и использована принципиально новая кинематическая гипотеза, заключающаяся в том, что формы потери устойчивости ищутся в классе экстремалей модифицированной вариационной задачи Корна (которая тесно связана с задачами о выпучивании стержней при сжатии).

4. Впервые определены (с помощью упомянутой новой гипотезы) достаточные условия неустойчивости (оценки сверху для критического значения параметра нагружения) в тех же задачах об устойчивости сжатых упругих блоков произвольных пропорций.

5. Проведено сравнение оценок сверху для критического значения параметра нагружения, полученных с помощью предложенной кинематической гипотезы и с помощью традиционной кинематической гипотезы ортогональных плоских сечений ("балочного приближения"). Показано, что новая гипотеза дает меньшие (т.е. лучшие) оценки сверху при любых геометрических и жесткостных параметрах блоков в рассматриваемых классах задач. При этом в пределе малых толщин результаты асимптотически совпадают, а в пределе больших толщин новая гипотеза дает конечные оценки сверху для критических напряжений (качественно соответствующие полученным в работе оценкам снизу), а традиционная гипотеза — дает оценки сверху, стремящиеся к бесконечности.

Практическая значимость результатов. Полученные в работе результаты могут быть использованы для определения практически важных безопасных нагрузок (то есть таких нагрузок, при которых еще не теряется устойчивость) для блокообразных упругих тел при рассмотренных в работе специальных граничных условиях. Кроме того, полученные результаты (строгие двусторонние оценки критических значений параметра на-гружения) могут быть использованы для тестирования применяемых на практике процедур численного решения задач об устойчивости.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Выводы

В третьей главе были рассмотрены два типа задач об устойчивости сжатых блоков, различающиеся граничными условиями. Для каждого типа задач были получены как оценки снизу (достаточные условия устойчивости) так и оценки сверху (достаточные условия неустойчивости) для критического значения параметра нагружения. Для получения оценок снизу использовался метод Холдена, оценок сверху —метод кинематических гипотез.

В ходе ходе получения оценки снизу методом Холдена введено разложение пространства симметричных тензоров второго ранга в прямую сумму трех подпространств. Это разложение позволило значительно упростить получение оценки снизу для рассматриваемой квадратичной формы: оценкой снизу служит наименьшая из оценок снизу, полученных на каждом из трех подпространств.

В методе кинематических гипотез, в качестве суженого класса полей смещений, использовались экстремали модифицированной задачи Корна. Оценки сверху, полученные на основе экстремалей модифицированной задачи Корна были сравнены с оценками сверху, полученными на основе традиционной кинематической гипотезы. Сравнение показало, что использование экстремалей модифицированной задачи Корна позволяет получать более точную (то есть меньшую) оценку сверху по сравнению с использованием традиционной гипотезы. Кроме того, применение экстремалей модифицированной задачи Корна позволяет расширить диапазон соотношений линейных размеров блока, на которых удается определить оценку сверху.

Оценки сверху и снизу были получены в виде аналитических выражений, в которые явно входят в качестве параметров отношение параметров

K/G и степень анизотропии, зависящей от величины а2 и Получившиеся выражения довольно громоздки (см. Приложения 1) и для анализа влияния этих параметров и краевых условий на оценки сверху и снизу были построены графики зависимостей величины оценок от отношения линейных размеров блока. Результаты этого анализа приведены в разделе III.4.

Заключение

1. Предложены и исследованы упругие потенциалы, задающие ортотропные сжимаемые нелинейно-упругие материалы при конечных деформациях. Материалы предложенного типа представляют собой обобщение на случай анизотропии и сжимаемости известного (изотропного и несжимаемого) материала Муни-Ривлина.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Пантелеев, Сергей Александрович, Москва

1. Biot, М.А. Sur la stabilite de l'equilibrie elastique. Equations de l'elastisite d'un milieu soumis a tension initiale / M.A. Biot // Ann. Soc. Sci. Sect. B. 1934. - 54, Pt. - 1. - P. 91-109.

2. Biot, M.A. Non linear theory of elasticity and the linearized case for a body under initial stress / M.A. Biot // Philos. Mag. Ser. 7. 1939. -No. 27. - P. 89-115.

3. Biot, M.A. Mechanics of incremental deformations / M.A. Biot New York: Willey, 1965. - 506 p.

4. Treffts, E. Uber die Ableitung der Stabilitatskriterien des elastichen Gleichgewichts aus Elactizitatstheorie der endlichen Deformation / E.Treffts // Proc. erd Int. Congr. Mech., Stockholm, 1930. 1931. ^ No. 3. - P. 103-110.

5. Treffts, E. Zur Treorie der Stabilitat des elastishen Gleichgewichts / •E. Treffts // ZAMM. 1933. - No. 12, N 2. - P. 160-165.

6. Green, A.E. General theory of small elastic deformations superposed on finite elastic deformations // A.E. Green, R.S. Rivlin, R.T. Shield // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1952. - 211, N 1104. - P. 128-154.

7. Neuber, H. Grundgleichungenger elestischen Stabilitat in allgemeinen Koordinaten und ihre Integration / H. Neuber // ZAMM. 1943. - Bd, 23, No. 6. - P. 63-82.

8. Bryan, G.H. On the stability of elastic systems / G.H.Bryan // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1888. - V. VI. - P. 199.

9. Hill, R. On uniqueness and stability in the theory of finite elastic strain / R. Hill //J. Mech and Phys. Solids. 1957. - 5, No. 4. - P. 13-21.

10. Beatty, M.F. Some static and dynamic implications of the general theory of elastic stability / M.F. Beatty // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. -V. 19. - P. 167-188.

11. Horgan, C.O. Korn's inequalities and their applications in continuum mechanics / C.O. Horgan // SIAM Review. 1995. - V. 37. - P. 491-511.

12. Gurtin, M. Thermodynamics and stability / M. Gurtin // Arch. Rat. Mech. Anal. 1975. - V. 59. - P. 63-96.

13. Koiter, W.T. A basic open problem in the theory of elastic stability / W.T. Koiter // Lecture Notes in Mathematics. 1976. - V. 503. -P. 366-373.

14. Pearson, C.E. General theory of elastic stability / C.E. Pearson // Quart. Appl. Math. 1955. - V. 14. - P. 133-144.

15. Zorski, H. On the equations describing small deformations superimposed on finite deformations / H. Zorski // Proc. Intern. Symp. Second-Order Effects, Haifa 1962. Oxford: Pergamon Press, 1964. - P. 109-128.

16. Алиманжанов, M.T. Устойчивость равновесия тел и задачи механики сплошных горных пород / М.Т. Алиманжанов. Алма-Ата: Наука, 1982. - 270 с.

17. Гузь, А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел / А.Н. Гузь. Наук, думка, 1971. - 276 с.

18. Гузь, А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях / А.Н. Гузь. К.: Наук, думка, 1973. - 274 с.

19. Гузь, А.Н. Основы теории устойчивости горных выработок / А.Н. Гузь. К.: Наук, думка, 1977. - 204 с.

20. Гузь, А.Н. Устойчивость упругих тел при всестароннем сжатии / А.Н. Гузь. К.: Наук, думка, 1979. - 144 с.

21. Гузь, А.Н. Механика хрупкого разружения материалов с начальными напряжениями / А.Н. Гузь. К.: Наук, думка, 1983. - 296 с.

22. Гузь, А.Н. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и об-лочек / А.Н. Гузь, И.Ю. Бабич. К.: Вища шк. Головное из-во, 1980. -168 с.

23. Гузь, А.Н. Волны в слое с начальными напряжениями / А.Н. Гузь, А.П. Жук, Ф.Г. Махорт. К.: Наук, думка, 1976. - 104 с.

24. Гузь, А.Н. О теории устойчивости бурящихся скважин / А.Н. Гузь, Г.Г.Кулиев // Прикл. механика. 1983. - 19, №3. - С. 10-17.

25. Гузь, А.Н. Введение в акустоупругость / А.Н. Гузь, Ф.Г. Махорт, О.И. Гуща. К.: Наук, думка, 1977. - 152 с.

26. Кулиев, Г.Г. Разрушение и устойчивость трехмерных тел с трещинами и некоторые родственные проблемы горной и нефтяной механики / Г.Г. Кулиев. Баку: Элм, 1983. - 143 с.

27. Knops, R.J. Theory of elastic stability / R.J.Knops, E.W.Wilkes // Handbuch der Physik. V. 6a/3. - Berlin: Springer-Verlag, 1973.

28. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1980. - 512 с.

29. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А.Грин, Дж. Адкинс. М.: Мир, 1965. - 455 с.

30. Новожилов, В.В. Основы нелинейной упругости / В.В.Новожилов. -М.: Гостехиздат, 1948. 212 с.

31. Трусделл, К. Превоначальной курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. М.: Мир, 1975. - 592 с.

32. Gurtin, М. The linear theory of elasticity / M. Gurtin // Handbuch der Physik. V. 6a/2. - Berlin: Springer - Verlag, 1972. - P. 1-295.

33. Holden, J.T. Estimation of critical loads in elastic stability theory / J.T. Holden // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. - V. 17. - P. 171-183.

34. Payne, L.E. On Korn's inequality / L.E. Payne, H.F. Weinberger // Arch. Ration. Mech. Analysis. 1961. - V. 8. - P. 89-98.

35. Ryzhak, E.I. Korn's constant for a parallelepiped with a free face or pair of faces / E.I. Ryzhak // Math. Mech. Solids. 1999. - V. 4. - No. 1. -P. 35-55.

36. Truesdell, C. The non-linear field theories of mechanics / C.Truesdell, W.Noll // Handbuch der Physik. V. III/3. - Berlin: Springer-Verlag, 1965. - 602 p.

37. Dafermos, C.M. Some remarks on Korn's inequality / C.M. Dafermos // ZAMP. 1968. - V. 19. - No. 6. - P. 913-920.

38. Friedrichs, К.О. On the boundary-value problems of the theory of elasticity and Korn's inequality / K.O. Friedrichs // Ann. of Math. -1947. V. 48. - P. 441-471.

39. Рыжак, Е.И. О простейших локализационных потенциалах / Е.И. Рыжак // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1985. -№6. - С. 114-121.

40. Пантелеев, С.А. Устойчивость нелинейноупругого параллелепипеда / С.А. Пантелеев // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. В 3-х частях. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - Т. 3. - С. 67-70.

41. Пантелеев, С.А. Задача о потери устойчивости нелинейно-упругого блока при квазистатическом двуосном сжатии / С.А. Пантелеев //

42. XXXIV Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции. Секция "Механика и моделирование материалов и технологий". Москва, 1-5 апреля 2008 г. М.: МАТИ, 2008. - С. 88.

43. Пантелеев, С.А. Оценки сверху для критического значения коэффициента сжатия нелинейно-упругого параллелепипеда / С. А. Пантелеев / / Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. 2007. - №6(56). - С. 86-101.

44. Никитин, JI.B. Об устойчивости и неустойчивости сжатого блока, прижатого к гладкому основанию / Л.В.Никитин, Е.И. Рыжак // Изв. РАН. МТТ. 2008. - Ш. - С. 86-101.

45. Рыжак, Е.И. Условия устойчивости и формы проявления неустойчивости разупрочняющихся упругопластических тел / Е.И. Рыжак / Дисс. . .д-ра физ.-мат. наук. Институт физики Земли им. Г.А. Гам-бурцева РАН. Москва. - 2002.

46. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 3. С. 420-435.