Метод возмущений в двумерных упругопластических задачах с включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Общая постановка упругопластических задач.

Алгоритм решения.

1.1. Определяющие соотношения, граничные условия, условия сопряжения теории упругопластического тела.

1.2. Определяющие соотношения теории идеальной пластичности. Линеаризированные соотношения.

1.3. Граничные условия и условия сопряжения на границе раздела упругой и пластических областей. Линеаризированные соотношения.

1.4. Функция нагружения идеально пластического тела. Линеаризированные соотношения.

1.5. Плоское деформированное состояние, случай идеальной пластичности. Линеаризированные соотношения.

1.6. Алгоритм для определения решения упругопластической задачи.

1.7. Обсуждение результатов.

Глава 2. Решение упругопластических задач одного класса с включениями.

2.1. Упругопластическое состояние толстой плиты с круговым отверстием, заполненным с натягом круглым включением - цилиндром.

2.2. Двухосное растяжение толстой плиты, ослабленной отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным с натягом упругим включением - цилиндром по форме соответствующим отверстию в плите.

2.3. Двухосное растяжение толстой плиты с эллиптическим отверстием, заполненным с натягом эллиптическим цилиндром - включением.

2.4. Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным упругопластическим включением в виде цилиндра, внутренний и внешний контура которого близки по форме к правильному многоугольнику.

В современной инженерии нередко используются предварительно - напряженные технологии, в частности, постановка крепежных деталей с натягом в корпуса летательных аппаратов, холодная обработка пластинчатых конструкций, предварительный натяг в резервуарах высокого давления и многие другие. В связи с этим большое значение представляет расчет напряженного и деформированного состояний в пластинах с запрессованными элементами различной конфигурации. Этот вопрос в научном плане тесно связан с наиболее сложным и недостаточно изученным разделом математической теории пластичности - неодномерной упругопластической задачей. Сложность состоит в том, что необходимо в ходе решения задачи определить заранее неизвестный вид границы раздела упругой и пластических областей.

Основные методы решения упругопластических задач условно можно разделить на аналитические и вариационно-разностные.

Аналитические методы решения упругопластических задач связаны с применением методов теории комплексного переменного и асимптотических методов, включающих методы разложения по большим или малым значениям некоторого параметра. Из вариационно-разностных методов наибольшее применение к решению упругопластических задач в последнее время находит метод конечных элементов.

Многие задачи, с которыми сегодня сталкиваются математики, физики, инженеры не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих поиск точного решения, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известной или неизвестной границах сложной формы. В этой ситуации исследователь вынужден пользоваться различного рода приближениями и здесь наиболее целесообразно пользоваться приближенными аналитическими подходами. Одним из таких подходов является метод малого параметра или метод возмущений, позволяющий находить решение близкое к уже известному точному. При этом возмущению можно подвергать как форму тела, так и граничные условия.

Математическое обоснование метода возмущений и конкретные результаты приведены в монографиях Б.Д. Анина и Г.П. Черепанова [7], М. Ван-Дайка [25], А.Н. Гузя и Ю.Н. Немиша [38], Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [67], Д. Коула [88], Я.Ф. Каюка [77], В.А. Ломакина [95], А. Найфэ [106], И.В. Свир-ского [123], А.Н. Спорыхина [132], А.Н. Спорыхина и А.И. Сумина [133] и др. Этим вопросам посвящены обзорные статьи в следующих работах [37, 87, 89, 145].

Метод возмущений нашел широкое применение в различных разделах механики, физики, математики, а именно таких, как небесная механика, теория колебаний, устойчивость движения. Относительно недавно этот метод стал использоваться для решения краевых задач деформируемых тел со сложными физико-механическими свойствами. Начало его применения положили работы Пуанкаре [119], посвященные задаче о трех телах в небесной механике. В теории устойчивости трехмерных деформируемых тел метод возмущений, впервые примененный в этой области Саусвелом, затрагивался в работах А. Н. Спорыхина, А. Н. Гузя, М. Т. Алимжанова [1, 2, 39, 128-131, 132]. Следует отметить монографии Ван Дайка, посвященные применению метода возмущений в гидро- и газодинамике [25]. А. П. Соколов, решив задачу в первом приближении о двухосном растяжении тонкой пластины с круглым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана, первым применил метод малого параметра для решения упругопластических задач [126]. Важное значение в этой области имеет монография Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [67], посвященная методу возмущений применительно к решению статических упругопластических задач.

Помимо линеаризации нелинейных уравнений теории пластичности, входящих в математическую модель рассматриваемого процесса, метод малого параметра позволяет учитывать сложную геометрию области течения, влияние неидеальных свойств материала и другие факторы. Определение напряжений и деформаций в пластинах с некруговыми отверстиями было проведено в следующих работах [72, 86, 92, 136, 163]. В работах [3, 19, 42-45, 68, 102, 137-139, 155, 158-162] приведены примеры решения задач с пластической неоднородностью и анизотропией. Помимо вышеуказанного, малый параметр, характеризующий геометрию тела, использовался при изучении образования шейки в образцах [109, 124], правки листов [41], кручения валов различной поперечной формы [96, 111]. Отметим, что Т. Д. Семыкиной [125] решена задача о трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферическим отверстием. Дано первое приближение. Решения некоторых упругопла-стических задач, полученных методом малого параметра, изложены в монографии Г. Н. Савина [120].

Для метода возмущений, как для приближенного аналитического метода, важное место имеет вопрос о сходимости приближений. В связи с этим Ван-Дайк отмечал в работе [25]. «Можно вычислить только несколько членов возмущенного разложения, обычно не больше, чем два или три, и почти никогда не больше, чем семь. Получающиеся ряды часто медленно сходятся или даже расходятся. Тем не менее, эти несколько членов содержат значительную информацию, из которой исследователь должен извлечь все, что возможно». История применения метода показала, что эти два - три приближения во многих случаях определяют решение задачи, пригодное для практики. Сходимость метода была исследована Ивлевым на основе двух примеров, имеющих точные решения. Точное решение задачи о растяжении пластины с круглым отверстием дано J1. А. Галиным [35] для случая плоской деформации и Г. П. Черепановым [146] - для случая плосконапряженного состояния. Д.Д. Ивлевым [67] было проведено разложение точных решений по малому параметру, представляющему собой разность между растягивающими усилиями, и их сравнение с решениями, полученными методом малого параметра. В результате выяснилось, что четыре члена первого разложения в точности совпадают с четырьмя приближениями, полученными Д.Д. Ивлевым. Причем оказалось, что для описания решения Л. А. Галина достаточно двух, а для описания решения Черепанова- четырех приближений [67].

Отметим ряд возможных схем решения упругопластических задач в рамках метода возмущений.

Решение ряда двумерных и трехмерных задач [3, 4, 6, 27, 30 34, 67, 92, 100, 101, 125, 142] основывалось на случае развития пластической зоны от некоторой границы и целиком охватывающей её. Достаточно полно этот вариант рассмотрен в [67]. Г. И. Быковцев и Ю. Д. Цветков развили подход к решению задачи о нахождении границы упругой и пластической зон в случае, когда она носит локальный характер и не охватывает весь контур [22-24]. Схема была применена к задаче о пластине, ослабленной отверстием в одноосном и двухосном случаях [24], а также к задаче об определении упругопластической границы при кручении стержня эллиптического сечения [22, 144]. Используя ту же схему, Б. Г. Зебриков получил решение задачи о развитии пластической зоны при нагружении эллиптической трубы [58].

В схеме решения, предложенной Б. Д. Анниным и Г. П. Черепановым [7], решение в упругой области определялось методами теории функций комплексного переменного. При этом было показано, что для пластин с эллиптическим отверстием предложенная схема и схема Ивлева - Ершова приводит к одному результату.

При введении малого параметра в теорию пластичности возможны также различные варианты. Так А. А. Ильюшин [69], используя величину обратную модулю объемного сжатия в качестве малого параметра, исследовал нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом упругости. Малый параметр, характеризующий геометрию тел, использовал Л. М. Качанов [75, 76] при решении задачи о кручении стержней переменного диаметра. В работе Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [67] малый параметр характеризовался возмущением внешних граничных условий. Введя малый параметр, характеризующий возмущение условия пластичности, Б. А. Друянов [42-44] учитывал неоднородность пластического материала. Г. Каудерер [74] предложил при помощи малого параметра учитывать физическую нелинейность упругого материала. Д. Д. Ивлевым и В. В. Дудукаленко [46, 47] при рассмотрении задачи о кручении призматических стержней из упрочняющегося материала проводилась линеаризация условий пластичности. Использованию метода малого параметра в теории малых упругопластических деформаций посвящена книга Д. Д. Ивлева и Л.В. Ершова [67].

Основываясь на схеме Ивлева - Ершова, А. В. Ковалев [17, 18, 79-82, 134, 148] определял напряженно - деформированное состояние в упрочняющихся упругопластических пластинах с отверстиями различных очертаний. В частности, были рассмотрены круговое отверстие, отверстие в виде эллипса и отверстие близкое по форме к правильному многоугольнику. Н. Б. Подболото-ва [80-82, 114, 115] рассматривала подобную по геометрии задачу, но в рамках сложной упруго - вязко - пластической среды. Схемой решения при этом послужила схема Ивлева - Ершова. М.А. Артемов [10-13, 14, 15] получил ряд приближенных решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым и эллиптическим отверстием, а также об эксцентрической трубе, подверженной действию внутреннего давления. Рассмотрению задачи о локальной неустойчивости пластин с круговым сплошным включением посвящены работы [134, 149]. Схема Ивлева - Ершова также реализована в задачах упругопластического кручения стержней [135]. Ю. М. Марушкей использовала метод возмущений в задаче о двухосном растяжении упругопластического пространства с эллиптическим включением [101] и при рассмотрении упругопластического состояния среды с включением в виде эллиптического цилиндра [100]. Здесь также был применен малый параметр.

Анализ отмеченных работ показывает, что до последнего времени мало исследованным остался класс задач о растяжении пластин с отверстием различных типовых форм (эллиптическим и близким по форме к правильному многоугольнику), содержащим с натягом упругопластическое включение соответствующей формы. Это обстоятельство и определило цель настоящей работы.

Диссертационная работа посвящена исследованию упругого и пластического состояний в пластинах, содержащих включения различных очертаний. Решение было достигнуто путем разложения всех функций, входящих в математическую модель процесса по малому параметру.

Помимо отмеченных выше, автор в ходе написания диссертации обращался к работам авторов [5, 8, 9, 16, 19, 31-33, 49-51, 64, 65, 90, 91, 97-99, 103,105, 107, 108, 110, 112, 113, 117, 127].

Актуальность темы. Использование запрессовки в конструкциях и технических сооружениях позволяет существенно упростить процесс производства, снизить экономические затраты и, в конечном итоге, получить более надежный узел детали, поэтому в современном производстве и инженерии этот вид сборки получил широкое распространение. Необходимость предсказания поведения таких конструкций, а также конструкций, содержащих различные выемки, выточки, подкрепления, требует разработки сложных математических моделей, позволяющих с высокой точностью оценить такие явления и процессы. В этой связи использование решения, полученного хотя и приближенно, но аналитическим методом, значительно более выгодно, чем решение, полученное исключительно численно.

Цель работы формулируется на основе изложенного анализа и состоит в разработке приближенного аналитического метода решения плоских упруго-пластических задач и дальнейшего нахождения распределения поля напряжений и перемещений в задаче о двухосном растяжении пластин, ослабленных отверстиями различных типовых форм (эллиптическим и близким по форме к правильному многоугольнику), содержащих включение соответствующих очертаний.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что для упру-гопластического тела на основе линеаризированных уравнений:

- дано обобщение схемы Ивлева - Ершова на решение некоторых плоских упругопластических задач с включениями;

- решена в первом приближении задача о двухосном растяжении толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным упругим включением в виде цилиндра соответствующей формы;

- решены в первом приближении задачи о двухосном растяжении толстой плиты, ослабленной эллиптическим или близким по форме к правильному многоугольнику отверстием, содержащим упругопластическое включение в виде цилиндра соответствующей формы.

Практическое значение. Полученные результаты позволяют определять поле напряжений и перемещений, а также вид и положение границ упругой и пластических зон в задачах о пластинах, содержащих включения различных форм.

Достоверность. Проведенные в данной диссертационной работе исследования базируются на методе возмущений, использование которого в решении многих задач механики сплошных сред, включая задачи теории пластичности, показало его высокую эффективность.

Достоверность сделанных в работе выводов обеспечивается корректной постановкой задачи и дальнейшими строгими выкладками, апробированностью используемых моделей механики сплошных сред, согласованием полученных результатов исследования с физическими представлениями.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского Государственного Университета(ВГУ) в 1998-2000 гг; на научных сессиях ВГУ в

1998-1999 гг.; на школе -семинаре, посвященной 70- летию профессора Д.Д. Ивлева «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж, 25-30 сентября 2000 гг.); на «Понтрягинских чтениях X», проводимых ВГУ в 1999 гг.; на II Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике (г. Гомель: ИММС НАНБ, 1999 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации содержаться в следующих публикациях[83, 84, 85, 151].

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав (12 параграфов), заключения и списка литературы, включающего 165 наименований. Работа содержит 110 страниц печатного текста, включая 17 рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе проведено исследование напряженно - деформированного состояния пластинчатых конструкций с запрессованными включениями в рамках теории возмущений. Материал элементов представленных конструкций полагался идеально пластическим. Итоги проделанной работы сводятся к следующему:

- показано, что использование метода малого параметра для упругопластиче-ских задач позволяет свести решение исходных нелинейных систем уравнений к последовательному решению линейных систем уравнений (за исключением нулевого);

- предложен алгоритм решения рассмотренных плоских упругопластических задач, при этом в качестве нулевого приближения бралось осесиметричное состояние пластины с круговым отверстием, заполненным с натягом круговым цилиндрическим включением двух типов (упругим и упругопластиче-ским);

- определено напряженно - деформированное состояние толстой пластины с эллиптическим отверстием, содержащим с натягом упругопластическое эллиптическое включение;

- определено напряженно - деформированное состояние толстой пластины с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, в которое с натягом вставлено включение из упругого или упругопластического материала в виде цилиндра, внутренний и внешний контура которого близки по форме к правильному многоугольнику;

- проведен теоретический и численный анализ полученных решений и на его основе сделаны следующие выводы.

Для задачи с чисто упругим включением.

1. Существенное влияние на форму упругопластической границы в плите оказывается при возмущении внешнего контура включения.

2. Возмущение внутреннего контура оказывает несущественное влияние на упругопластическую границу.

3. В случае эллиптического внутреннего отверстия во включении (п=2), возмущение внутреннего контура включения ведет к более существенным воздействиям на пластическую область плиты, чем возмущение внешнего (разность порядка <1,5 10).

Для задачи с упругопластическим включением.

1. Возмущение внутреннего контура во включении оказывает влияние на форму упругопластических границ как в плите, так и во включении (разница отклонений от невозмущенных обеих границ порядка с125).

2. Возмущение внешнего контура включения и соответственно контура отверстия в плите оказывает существенно большее влияние на пластическую зону в плите, чем во включении (разница порядка более (1,5-10).

3. Влияние на положение упругопластических границ в плите и во включении оказывает толщина стенок включения, пластическая зоны плиты сужается при этом к отверстию в плите, пластическая зона включения расширяется от внутреннего отверстия во включении (порядка (1-10, где ё- приращение толщины).

4. Распределение внешних нагрузок во всех трех задачах существенно отражается на форме и положении пластических зон как в плите, так и во включении (задачи б) и в)).

1. Алимжанов М.Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики. - Успехи механики, 1990, Т. 13. №3, с.21-57.

2. Алимжанов М.Т. Устойчивость равновесия тел и задачи механики горных пород. -Алма-Ата, Наука, 1962. -272 с.

3. Алимжанов М.Т., Габдулин Б .Ж. Об упругопластическом состоянии неоднородных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек.-Вест. АН Каз.ССР, 1967, № 10, с.52-67.

4. Алимжанов М.Т., Естаев Е.К., Упругопластическое состояние плоскости, ослабленной круговым отверстием,- Механика деформ. тверд, тела, 1982, с.105-115.

5. Алимжанов М.Т., Мухашев Н.С. К решению задач упругопластического кручения методом малого параметра. -Алма-Ата, 1990, -14 е., Деп. в ВИНИТИ, 19.10.90, № 5411-В90.

6. Алимжанов М.Т., Саньков В.К. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внешнего давления,- Диф. ур. и их прил., 1981, с.16-26.

7. Анин Б.Д., Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. -Новосибирск. Наука, 1984,-238 с.

8. Анин Б.Д. Упругопластическое распределение напряжений в пластине с отверстием, близким к круговому. Изв. АН СССР. Механика твердого тела,1984, №1, с. 45-47.

9. Армянников А.Б., Цветоков Ю.Д. Применение метода возмущений к задачам кручения стержней овального сечения. Куйбышев, ун-т, Куйбышев,1985. -11с, Деп. в ВИНИТИ, 07.08.85, № 5914-85.

10. Ю.Артемов М.А. О двухосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием из упрочняющегося упругопластического материала. Журн. прик. механ. и техн. физ, 1985, №6, с. 158-163.

11. П.Артемов М.А. Эксцентрическая труба из упрочняющегося упругопластиче-ского материала под действием внутреннего давления. Воронеж, ун-т, Воронеж,1984, -23 е., Деп. в ВИНИТИ, 05.01.85, № 83-85.

12. Артемов М.А. Приближенное решение плоской задачи теории пластичности изотропного материала с анизотропным упрочнением. -Воронежский ун- т, Воронеж, 1986, -29с., Деп. в ВИНИТИ, 13.05.86, № 3481В.

13. Артемов М.А. Приближенное решение задач теории кинематического упрочнения. -Актуальные задачи механики сплошных сред, Чебоксары, 1986, с. 8-13.

14. Артемов М.А. Метод возмущений в теории упрочняющегося тела. Прикладные задачи механики сплошных сред, Воронеж, 1988, с. 51-53.

15. Артемов М.А. Двухосное растяжение тонкой пластины с эллиптическим отверстием. -Актуальные вопросы теории краевых задач и их приближения, Чебоксары, 1988, с. 4-8.

16. Артемов М.А., Знаменский В.А. К расчету пластины, ослабленной отверстием. -Вторая межвузовская научно-практическая конференция. «Проблемы прочности, надежности и долговечности двигателей и констукций»: Тез. докл., Кировоград, 1987, с. 7.

17. Артемов М.А., Ковалев A.B.О локальной неустойчивости в задаче Галина для сложной среды. -Современные методы в теории краевых задач: Тез. докл. школы, Воронеж, ун-т, Воронеж, 1992, с. 7.

18. Артемов М.А., Ковалев A.B., Спорыхин А.Н. Метод возмущений в одном классе упругопластических задач с произвольным упрочнением. -Воронеж ун-т, Воронеж, 1995, -30 е., Деп. в ВИНИТИ, 14.03.96, № 685-В95.

19. Арышенский Ю.М. Метод возмущений в контактной задаче плоского пластического деформирования цилиндрической оболочки переменной толщины из анизотропного металла. -Куйбышев, Авиац. ин-т, Куйбышев, 1980, -7 е., Деп. в ВИНИТИ, 24.12.80. № 5455-80.

20. Бицено К.Б., Граммель Р., Техническая динамика, т.1, Гостеоретиздат, М., 1950.

21. Бродштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. -М., Наука,1986,-544 с.

22. Быковцев Г.И, Цветков Ю.Д. Применение метода возмущений к теории кручения упругопластических стержней. -Приют, матем. и механика, 1961, Т. 45, № 5, с. 932-939.

23. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Концентрация напряжений в упругопластиче-ской плоскости, ослабленной отверстием. -Кубышев. ун-т, Куйбышев, 1983, -23 е., Деп. в ВИНИТИ, 05.05.83 № 2443-83.

24. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Двумерная задача нагружения упругопласти-ческой плоскости, ослабленной отверстием. -Прикл. матем. и механика,1987, Т. 51, №2, с. 314-322.

25. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. -М. Мир, 1967, -310 с.

26. Вильдеман В.Э., Ташкинов A.A. Некоторые методы прогнозирования поведения многослойных тел при упругопластическом деформировании. Деформирование и разрушение конструкций из композиционных материалов, Свердловск, 1987, с. 17-20.

27. Вульман С.А. О решении осесиметричных упругопластических задач методом малого параметра. -Изв.АН СССР, Механика твердого тела. 1969, № 3, с. 16-169.

28. Вульман С.А. Приближенное решение упругопластической задачи для полых тел, поверхность которых близка к сферической. -Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1971, № 1, с. 119-122.

29. Вульман С.А. Решение осесимметричных упругопластических тел из сжимаемого материала. -Прикладная механика, 1971, Т. 7, № 7, с. 91-94.

30. Вульман С.А, Ивлев Д.Д., Семыкина Т.Д. Коническая труба под действием равномерного давления. -Воронеж, ун-т, Воронеж, 1980, -9 с, Деп. в ВИНИТИ, 17.12.80, № 5337-80.

31. Вульман С.А, Семыкина Т.Д. Об использовании метода возмущений при решении упругопластических задач с учетом упрочнения. -Воронеж, ун-т. Воронеж, 1984, -8 с, Деп. в ВИНИТИ, 21.06.84, № 4157-84.

32. Вульман С.А, Семыкина Т.Д. Чистый изгиб листа из материала со степенным упрочнением. -Воронеж, ун-т, Воронеж, 1984, -10 с, Деп. в ВИНИТИ, 21.06.84, №4157-84.

33. Вульман С.А, Семыкина Т.Д. Применение метода возмущений в задаче о чистом изгибе листа с учетом упрочнения. -X семинар актуальных проблем прочности по теме: Пластичность материалов и конструкций: Тез. докл. 1985, с.33.

34. Вульман С.А, Семыкина Т.Д. Напряженно деформированное состояние пластины с включением. -Прикладные задачи механики сплошных сред, Воронеж, 1988, с. 48-51.

35. Галин Л.А. Плоская упругопластическая задача. -Прикладная математика и механика, 1946, Вып. 3, с. 367-386.

36. Гузь А.Н. Про наближений метод визначення концетрацй напружень навко-ло криволшшнх отвор1в в оболонках. -Прикладная механика, 1962, 8, № 6, с. 605-612.

37. Гузь А.Н, Немиш Ю.Н. Метод возмущений формы границы в механике сплошной среды (обзор). -Прикладная механика, 1987, Т.23, № 9, с. 3-29.

38. Гузь А.Н, Немиш Ю.Н. Метод возмущений в пространственных задачах теории упругости. -Киев: Вища школа, 1982, -346.

39. Гузь А.Н, Спорыхин А.Н. Трехмерная теория неупругой устойчивости. Общие вопросы. -Прикладная механика, 1982, Т. 18, № 7, с. 3-22.

40. Дель Г.Д., Одинг С.С. Образование шейки при растяжении полосы в условиях плоской деформации. -Прикладная механика, 1981, Т. 17, № 3, с. 9497.

41. Дель Г.Д., Балакерев А.И. Растяжение листа с разной начальной разнотол-щенностью. -Изв. ВУЗов, Машиностроение, 1984, № 12, с 7-11.

42. Друянов Б.А. Вдавливание жесткого штампа в толстую пластически неоднородную полосу. -Изв. АН СССР, Отд. техническ. Наук. Механика и ма-шиностр., 1969, № 3, с. 161-166.

43. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу. -Изв. АН СССР, Отд. техническ. наук. Механика и машиностр., 1960, № 2, с. 129-131.

44. Друянов Б.А. Вдавливание жесткого штампа в толстую пластически неоднородную полосу. -Изв. АН СССР, Отд. техническ. наук. Механика и машиностр., 1960, № 4, с. 156-158.

45. Друянов Б.А. Начальное течение неоднородной полосы при вдавливании шероховатого штампа. -Инж. журн., 1962, Т. 2, № 1, с. 111-116.

46. Дудукаленко В.В., Ивлев Д.Д. О кручении призматических стержней из упрочняющегося материала при линеаризированном условии пластичности. -Изв. АН СССР, Механик и машиностроении, 1963, № 3, с. 115-118.

47. Дудукаленко В.В., Ивлев Д.Д. О кручении анизотропных упрочняющихся призматических стержней при линеаризированном законе пластического течения. -Изв. АН СССР, Механик и машиностроении, 1963, № 5, с. 173175.

48. Дудукаленко В.В., Ивлев Д.Д. О сжатии полосы из упрочняющегося пластического материала. -Докл. АН СССР, Т. 153, № 5, с. 1024-1026.

49. Дуров В.В. Вдавливание тонкого лезвия в пластическую среду в условиях плоской деформации. -Труды НИИ математики Воронеж, ун-та, Воронеж, 1971, Вып. 4, с.118-123.

50. Дуров В.В., Ивлев Д.Д. О вдавливании тонкого жесткого тела в пластическую среду с учетом упрочнения. -Прикл. матем. и механика, 1972, Т.36, Вып. 3, с. 514-518.

51. Дуров В.В. К задаче о вдавливании тонкого жесткого тела в пластическую среду с упрочнением. -Прикл. матем. и механика, 1973, Т.37, Вып.4, с. 763767.

52. Ершов JI.B. Исследование вопросов проявления горного давления с позиций теории устойчивости упругопластических тел. -Вестник МГУ, 1967, № 2, с. 51-52.

53. Ершов. JI.B. Об осесимметричной потере устойчивости толстостенной сферической оболочки, находящейся под действием равномерного давления. -Прикладная механика и техническая физика, 1960, с 81-82.

54. Ершов JI.B., Ивлев Д.Д. Упругопластическое напряженное состояние полого тора, находящегося под действием равномерного давления. -Изв. АН СССР, Отд. техн. наук, 1957, №7, с. 129-131.

55. Ершов JI.B., Ивлев Д.Д. О выпучивании толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Изв. АН СССР, Отд. тех. наук, 1957, №8, с. 143-153.

56. Ершов JI.B., Ивлев Д.Д. О потере устойчивости вращающихся дисков. -Изв. АН СССР, Отд. тех. наук, 1958, № 1, с 123-125.

57. Ибрагимов В.А., Нефагин В.А. Метод разложения по параметру нагруже-ния в упругопластических задачах для упрочняющихся тел. Теор. и прикл. механика, 1986, №13, с. 3-7.

58. Ибрагимов В.А, Нефагии В.А. Аналитическое решение задачи о двухосном растяжении плоскости с круговым отверстием при определяющих соотношениях теории пластичности с упрочнением. Теор. и прикл. механика, Минск, 1987, с. 29-32.

59. Ибрагимов В.А, Нефагин В.А.О сходимости метода разложения по параметру нагружения в задаче об упругопластическом изгибе кольцевой пластины. -Белорус. Политехи. Ин-т, Минск, 1987, -20 с, Деп. в ВИНИТИ, 02.06.87, №3880-В87.

60. Ибрагимов В.А, Нефагин В.А. Сходимость метода разложения по параметру нагружения в задачах упругопластического деформирования стержней. -Теор. и прикл. механика, Минск, 1988, № 15, с. 50-58.

61. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. -М. :Наука, 1966, -232 с.

62. Ивлев Д.Д. , Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М. :Наука, 1971,-232 с.

63. Ивлев Д.Д, Быковцев Г.И. Теория пластичности. -Дальнаука, Владивосток, 1998, -528 с.

64. Ивлев Д.Д, Макаров Е.В, Марушкей Ю.М. Об условии пластичности сжимаемого упругопластического материала при плоской деформации. -Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1978, № 4, с80-87.

65. Ивлев Д.Д, Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластического тела. -М. :Наука, 1978, -208 с.

66. Ивлев Д.Д, Шитова Л.Б. Линеаризированные уравнения теории анизотропного идеально жесткопластического тела. -Чебоксары, 1988, с. 55-58.

67. Ильюшин A.A. Нормальное и касательное напряжение при чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с задачей об изгибе плиты. -Инж. сб, 1954, Т. 19, с. 3-12.

68. Ильюшин A.A. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. -М. Л.: ОГИЗ, 1948, -367 с.

69. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением. -Укр. матем. журн., 1964, т. 6, № 3, с. 314-325.

70. Калужский И.И, Скрипачев A.B. Напряженное состояние и усилия при стесненном изгибе идеально пластической широкой полосы. Метод возмущений. -Деп. в ВИНИТИ, 11.12.85, № 8479-В.

71. Камышникова A.A., Цветков Ю.Д. Концентрация напряжений в упругопла-стической пластине, ослабленной отверстием. -Куйбышев. Ун-т, Куйбышев, 1985,-14 е., Деп. в ВИНИТИ, 11.12.85, № 8479-В.

72. Каудерер Г. Нелинейная механика. -М., ИЛ, 1961, -777 с.

73. Качанов JI.M. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра. -Приклад, матем. и механика, 1948, т. 12, № 4, с. 375-386.

74. Качанов JI.M. Ползучесть овальных и равностенных труб. -Изв. АН СССР, Отд. тех. наук, 1956, № 9, с. 65-71.

75. Каюк Я.Ф. Некоторые вопросы методов разложения по параметру. -Киев: Наук. Думка, 1980, -166 с.

76. Клюшков В.Д. Математическая теория пластичности. -М.: МГУ, 1979, -207 с.

77. Ковалев A.B. Метод возмущений в одном классе упругопластических задач с произвольным упрочнением. -Современные методы теории функций и смежные проблемы матем. и механики: Тез. докл. Междунар. школы-симп. Воронеж, ун-т, Воронеж, 1995, с. 122.

78. Ковалев A.B., Горбачева Н.Б., Спорыхин А.Н. К определению напряженно-деформированного состояния в задаче Галина для сложной модели среды. -Вестник ВГУ, Серия 2, Естественные науки, 1998,№ 3, с. 245-249.

79. Ковалев A.B., Подболотова Н.Б. Об одном методе решения задач Галина. -Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике «Механи-ка-95»: Тез. докл., ИИМС АНБ, Инфотрибо, Гомель, 1996, с.122-123.

80. Ковалев A.B., Подболотова Н.Б. Метод возмущений в решении задачи Галина для упруго вязко - пластического тела. -Воронеж, ун-т, Воронеж, 1997, -11 е., Деп. В ВИНИТИ 26.03.97, № 919-В97.

81. Ковалев A.B., Яковлев А.Ю. Двухосное растяжение упругопластического пространства с призматическим включением. -«Понтрягинские чтения X»: Тез. докл., г. Воронеж, Воронеж. Гос. Универ., 1999, с. 287.

82. Ковалев A.B., Спорыхин А.Н., Яковлев А.Ю. Двухосное растяжение упругопластического пространства с призматическим включением. Прикладная механика, Т.36, № 6, 2000, с.114-120.

83. Комаров В.П. К решению плоской упругопластической задачи. -Актуальные вопросы теории краевых задач и их решений, Чебоксары, 1988, с. 66-73.

84. Космодамианский A.C. Изгиб анизотропных плит с криволинейными отверстиями (обзор). -Прикладная механика, 1981, 17, № 2, с. 3-10.

85. Коул Д. Методы возмущений в прикладной математике. -М.: Мир, 1972, -277 с.

86. Кубенко В.Д., Немиш Ю.Н., Шнеренко К.И., Шульга H.A. Метод возмущений в краевых задачах механики деформируемых тел (обзор). -Прикладная механика, 1982, 18, № 11, с. 3-20.

87. Кузнецов В.В. Об определении деформированного состояния упругопластической толстой плиты с эллиптическим отверстием. -Прикладная механика, 1973, Т. 9, с. 133-137.

88. Кузнецов В.В. Напряженное состояние упругопластической пластины, изгибаемой в своей плоскости. -Изв. ВУЗов, Машиностроение, 1980, № 3, с. 12-17.

89. Кузнецов В.В. Деформированное упругопластическое состояние толстой пластины с эллиптическим отверстием, изгибаемой в своей плоскости. -Изв. ВУЗов, 1980, № 4, с. 23-27.

90. Кузьменко В.А, Русенко К.Н. Пластическая деформация в малой окрестности конца трещины. -Изв. АН СССР, Механ. тверд, деф. тела, 1983, № 2, с. 124-127.

91. Лернер М.М. Последовательные приближения в решении краевой задачи о конечных деформациях полого цилиндра из наследственно-линейного материала. -Ползучесть и длит, прочность конструкций, Куйбышев, 1966, с. 123-130.

92. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. -М.: Изд-во Моск. унта, 1976, -367 с.

93. Лунин В.А, Максимов Л.В, Максимов С.Б, Остсемин А.Н. Кручение стержней из упрочняющегося материала, сечение которых близко к круговым. -Проблем, прочности, 1982, № 11, с. 63-66.

94. Лурье А.И. Пространственная задача теории упругости. -М: Гостехиздат, 1955, -492 с.

95. Максимов С.Б, Немировский Ю.В. Некоторые свойства уравнений и метод малого параметра в плоских задачах теории идеальной пластичности. -Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1966, № 5, с. 101-107.

96. Максимов С.Б, Немировский Ю.В. Некоторые свойства уравнений и метод малого параметра в двумерных пространственных задачах теории идеальной пластичности. -Журнал, приклад, механика и техн. физика, 1966, № 5, с. 142-150.

97. Марушкей Ю.М. Об упругопластическом состоянии среды с включением в виде эллиптического цилиндра. -Прикладная механика, 1976, Т. 12, № 2, с. 126-130.

98. Марушкей Ю.М. Двухосное растяжение упругопластического пространства с включением. -Изв. ВУЗов, сер. машиностр, 1975, № 12, с. 25-30.

99. Метчинко Н.М., Митяев А.Г., Фейгии С.Д. Влияние начальной пластической анизотропии на напряженное состояние пластины с отверстием. -Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением, Тула, 1980, с. 14-19.

100. Милявская Ф.Б. О двухосном растяжении пластины с круговыми отверстием из стареющего упругопластического материала. -Краевые задачи и их приложения, Чебоксары, 1986, с. 82-90.

101. Мукашев Н.С. О концентрации напряжений вблизи отверстия, близкого по форме к правильному многоугольнику. -Алма-Ата, 1990, Деп. в ВИНИТИ, 24.12.90, № 6390-В90.

102. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966, -707 с.

103. Найф А.Х. Методы возмущений. -М: Мир, 1976, -456 с.

104. Найф А.Х. Введение в методы возмущений. -М: Мир, 1984, -526 с.

105. Олыпак В., Рыхлевский Я., Урбановский В. Теория пластичности неоднородных тел. -М: Мир, 1964, -156 с.

106. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца. -Сб. перев. и обзоров иностр. период, лит., 1965, №4, с. 93-97.

107. Осеенко Г.И. К определению упругих перемещений в задаче Галина JI.A. -Гидроаэромеханика и теория упругости, 1985, № 6, с. 93-97.

108. Остсемин A.A., Лунин В.А. Кручение конического стержня из упруго-пластического материала, Проблемы прочности, 1985, № 6, с. 60-64.

109. Остросаблин H.H. Определение смещений в задаче Л.А. Галина. -Динамика сплошных сред: Ин-т гидродинамики со АН СССР, Новосибирск, 1973, вып. 14, с.67-70.

110. Остросаблин H.H. Плоское упругопластическое распределение напряжений около круговых отверстий. -Новосибирск, Наука, 1984, -113 с.

111. Подболотова Н.Б., Спорыхин А.Н. Метод возмущений в решении плоских задач для сложной среды. -1-я международная конференция «ЭМО в условиях техногенеза»: Тез. докл., Солигорск, Беларусь, 1996, с. 147.

112. Прелин П.И. Приближенный метод решения упругопластических задач. -Инж. журн., 1961, Т. 1, Вып. 4, с. 68-76.

113. Прагер В. Проблемы теории пластичности. -М: Физматгиз, 1966, -136 с.

114. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. -М, Ил. 1956, -398 с.

115. Пуанкаре А. Избранные труды. В 3-х томах. Т. 1. Новые методы небесной механики. -М: Наука, 1971, -772 с.

116. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. -Киев, Наукова думка, 1968, -888 с.

117. Савин Г.Н., Флейман Н.П. Пластинки и оболочки с ребрами жесткости. -Киев: Наукова думка, 1964, -384 с.

118. Савин Г.Н., Тульчий В.И. Пластинки, подкрепленные составными кольцами и упругимти накладками. -Киев: Наукова думка, 1971, -268 с.

119. Свирский И.В. Методы типа Бубнова Галеркина и последовательных приближений. -М.: Наука, 1968, -199 с.

120. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности. -Минск, Наука и техника, 1977, -254 с.

121. Семыкина Т.Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1963, № 1, с. 17-21.

122. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии пластинки. -Докл. АН СССР, 1948, Т. 10, № 1, с. 33-36.

123. Соколовский B.B. Теория пластичности. -М.: Высш. школа, 1969, -608 с.

124. Спорыхин А.Н. Об устойчивости деформирования упруго вязко - пластических тел. -Журн. прикл. механика и техническая физика, 1957, № 4, с. 52-58.

125. Спорыхин А.Н. Об устойчивости плиты при сжатии. -Прикладная механика, 1969, №5, с. 120-122.

126. Спорыхин А.Н. К устойчивости равновесия упруго вязко - пластической среды. -Прикладная механика и техническая физика, 1970, № 5, с. 8692.

127. Спорыхин А.Н. К устойчивости горизонтальных выработок в массивах, обладающих упруго вязко -пластическими свойствами. -Изв. АН КазССР, Сер. физ. - мат, 1975, № 1, с. 67-72.

128. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. -Воронеж, 1997, -360 с.

129. Спорыхин А.Н, Сумин А.И. Иерархия устойчивых сотояний в механике нелинейных сред. -Воронежский гос. ун-т, Воронеж, 1999, -210 с.

130. Спорыхин А.Н, Чиканова H.H., Ковалев А.Н. К определению поля напряжений в пластинах с отверстиями различных очертаний. -Информационные технологии и системы: Воронеж, технол. ин-т, Воронеж, 1994,ч. 3, с. 11-15.

131. Спорыхин А.Н, Щеглова Ю.Д. Метод возмущений в задачах упругопла-стического кручения стержней. -Механика твердого тела, № 5, 2000, с. 5464.

132. Суздальская Л.И. Определение неизвестной границы в обратных задачах для полосы с отверстием. -Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1965, №4, с. 121-124.

133. Тарасьев Г.С, Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале. -Концентрация напряжений, Киев: Нау-кова думка, 1962, Вып. 1, с. 251-255.

134. Тарасьев Г.С., Толоконников JI.A. Конечные плоские деформации сжимаемого материала. -Приклад, матем. и механика, 1962, Т. 2, № 2, с. 1-13.

135. Толоконников JI.A., Яковлев С.П., Кузин В.Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией. -Прикладная механика, Т. 5, № 8, с. 7176.

136. Филллипов А.П. Влияние ползучести на концентрацию напряжений в пластинке с отверстием. -Исследование по вопросам устойчивости и прочности, Киев, 1966, с. 56-69.

137. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. -М.: Госиздат., 1956, -364 с.

138. Харченко А.П. Упругопластическое деформированное состояние бесконечной полосы с круговым отверстием. Прикладная механика, Воронеж: изд. ВГУ, 1976, с. 60-66.

139. Цвелогуб И.Ю., Шваб A.A. О решении некоторых задач теории ползучести методом малого параметра. -Прикладная механика и техн. физика, 1982, №2, с. 122-127.

140. Цветков Ю.Д. Кручение упругопластического цилиндрического стержня с поперечным сечением, близким к круговому. -Актуальные задачи механики сплошных сред, Чебоксары, 1986, с. 117-121.

141. Цурпал И.А., Кулиев Г.Г. Задачи концентрации напряжений с учетом физической нелинейности материала: Обзор. -Прикладная механика, 1974, 10, №7,с. 3-22.

142. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упругопластической задачи. -Прикладная математика и механика, 1963, Т. 27, вып. 3, с. 428-436.

143. Черепанов Г.П. К решению некоторых задач теории упругости и пластичности с неизвестной границей. -Прикладная математика и механика, 1964, Т. 28, Вып. 1, с. 141-144.

144. Чиканова H.H., Ковалев А. В. Применение ТФКП к определению поля напряжений в пластине с эллиптическим включением. -Современные проблемы механики и математической физики: Тез. докл. школы Воронеж, унта, Воронеж. 1994, с. 107.

145. Чиканова Н.Н. О локальной потере устойчивости неограничееной пластины с круговым включением. -Сб. «Аналитические и численные методы решения задач мех. дефор. тв. тела», Деп. в ВИНИТИ, № 3346-В90.

146. Шакалова О.И. Применение метода малого параметра к одной задаче термопластичности с учетом реологии среды. -Днепропетровск, 1975, 13 е., Деп. в ВИНИТИ, 3.05.75, № 3450-75.

147. Budiansky В. Anisotropy plasticity of plane-isotopic sheets. -Mech. Matar. Behav. Daniel C. Drakcker Anniv., Amsterdam e.a., 1984,Vol. 1, pp. 15-29.

148. Collins I. The application on singular perturbations techniques to the analysis of forming progress for strainardeing materials. -Metal Form. Plast. : Symp. Tutzing, 1978, Berlin e.a., pp. 227-243.

149. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter. -Celestial Mech., V. l,pp. 12-30.

150. Dollar А. Влияние неоднородности металла из формы некруговых сечений толстостенных цилиндров в состоянии полной пластичности и стадии разрушения. -Rozpz. inz., 1983, Vol. 31, № 2, pp. 241-257.

151. Izwiski R.J. On the axially symmetric plastic deformation of coulomn medium. -Bulletin de l'Academie Rolonaise des Seiences, Serie des seences tesh-niques, 1975, V. 20, № 7-8, pp. 245-255.

152. In an-qi elastic plastic analysis of stress around a circular hole in on infinite sheet subjected to equal biaxial tension. -Acta. mesh, solid sin, 1984, № 3, pp. 449-453.

153. Olsak W., Rychlewski J. Geometric properties of stress fields in plastically non-homogeneous bodies under conditions of plane strain. -IUTAN Sympozium, Hana, 1962.

154. Olsak W., Rychlewski J., Urbanowski W. Plasticity under non-homogeneous conditions. -Advaces in Appl. mech., 1962, № 7, pp. 131-214.

155. Rychlewski J., Ostarowska J. On the initial plastic flow of a body with arbitrarily small non-homogeneity. -Arch. mech. stos., 1963, V. 5, pp. 687-710.

156. Rychlewski J. О произвольной малой пластической неоднородности. -Бюллетень Польской Академии Наук, серия техн. науки, 1963, V. 11, № 6, pp. 215-223.

157. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. 1. Plane strain of non-homogeneity plbtic solids. -J. Mech. and phys. solid, 1961, Vol. 9, № 4, pp. 279288.

158. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. II. Plane strain of slightly irregular bodies. -J. Mech. and phys. solid, 1962, Vol. 10, JST° 1, pp. 17-26.

159. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. III. Plane strain solids with wody forces. -J. Mech. and phys. solid, 1962, Vol. 10, № 1, pp. 165-177.

160. Yamamoto Т., Tumura T. Elastic analysis of partial contact problem in uniax-ially loaded plate with interference fit disk. -Bull.JSME, 1986, 29, № 257, pp. 3659-3664.1. Г)