Упругопластическое состояние неоднородных тел, ослабленных отверстиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Тихонов Сергей Владимирович

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЯМИ

01 02 04 - Механика деформируемоготвердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары - 2007

003065708

Работа выполнена вЧувашском государственном педагогическом университете им И Я Яковлева

Научный консультант Научный руководитель

Официальные оппоненты Ведущая организация

Доктор физико-математическж наук, Максимова Людмила Анатольевна

Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математическж наук, профессор Ивлев Дюис Данилович

Доктор физико-математическж наук, профессор Шашкин Александр Иванович

Кандидат физико-математических наук, доцент Романов Александр Викторович

Воронежский государственный педагогический университет

Защита состоится 19 октября 2007 г в 9 т на заседании

диссертационюго совета ДМ 212 300 02 в Чувашском государственном педагогическом университете им И Я Яковлева по адресу 428000, г Чебоксары, ул К Маркса, 38, ауд 406

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета им И Я Яковлева

Авторефератразослан «14» сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ -мат наук /у^- С Ю Радаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Развитие современной техники требует наиболее полного исследования прочностных свойств материалов, используемых в деталях современных машин, ставит задачи развития методов расчета прочностных характеристик неоднородных элементов конструкций Причины появления неоднородности свойств материала могут быть весьма различными Неоднородное» пластических свойств материалов возникает в результате различных технологических процессов, в результате неоднородного деформирования упрочняющеюся материала, как следствие поверхностной обработки изделия Неоднородность свойств может являться результатом конструктивных решений, технологии изготовления, следствием различных облучений, тепловых воздействий и т д

Вопросы неоднородности идеальнопластических, упругопластическж, упрочняющихся сред рассматривались в работах А М Алимжанова, М Т Алимжанова, А А Буренина, Г А Гениева, О Д Григорьева, И П Григорьева, Б А Друянова,МИ Ерхова,ЛВ Ершова, М А Задояна,ТЛ Захаровой, ДД Ивлева,АА Ильюшина, А В Ковалева, А И Кузнецова, В Н Кукуджаюва, В С Ленского, Ю Р Лепика, В А Ломакина, А В Манжирова, А А Маркина, Н М Матченко, В М Мирсалимова, Ю В Немировского, Р И Непершина, П М Огибалова, В Ольшака, БЕ Победри, ЮН Радаева, АФ Ревуженко, ЮИ Ремнева, Я Рыхлевского, Спенсера, А Н Спорыхина, Л А Толоконникога, В Урбановскогц Р Хилла, И Ю Цвелодуба,ЕА Целистовой, Г С Шапиро, А И Шашкина,ЕИ Шемякинаидр

В настоящей работе рассматривается влияние неоднородюсти на упругопластическое состояние тел, ослабленных отверстиями Задачи определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругопластических тел, ослабленных отверстиями находят широкое применение в реакторной технике, при образовании горных выработок, при проектировании сложных структур (различные сплавы, конструкции, состоящие из двух или более материалов) и др Задачи упругопластичеосого состоянга неоднородныхтел являются важными и актуальными

Цель работы Развитие аналитических методов расчета предельного состояния тел, обладающих линейной, нелинейной, кусочнэй неоднородностью пластических свойств материала, в случаях напряженного состояния

Научная новизна работы определяется следующими результатами

■ аналитические методы расчета предельного состояния тел методом малого параметра распространяются на клас задач, учитывающих неоднородность материала,

■ проведено аналитическое исследование предельного состояния неоднородных идеальнопластических тел ослабленных отверстиями в случае линейной и нелинейной зависимости предела текучести от координат точки тела

Достоверность. Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования, а также непротиворечивостьюс результатами исследований других авторов

Практическая значимость Полученные результаты позволяют произвести оценку влияния свойств неоднородности материала на упругопластическое напряженное состояние толстостенныхтруб и тел, ослабленных отверстиями полостями

Апробация работы Результаты диссертации и работав целом докладывались

■ на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ -мат наук, профессора Ивлева Д Д - г Чебоксары, 41 НУ им И Я Яковлева, 2005-2007 г г,

" на ежегодных итоговых научно-практических конференциях преподавателей и сотрудниковЧГПУ им И Я Яковлева-г Чебоксары, 2005-2007 г г,

■ на ежегодных научных сессиях студентов, аспирантов и научных работников ЧГПУим И Я Яковлева-г Чебоксары, 2005-2007 г г,

■ на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 10-летию механико-математического факультета Тульского государственного университета, 2006 г

На защиту выносятся результаты

■ определение напряженного состояния нелинейно-неоднородной плоскости, ослабленном круговым отверстием и растягиваемой на бесконечности взаимно-перпендикулярнымиусилиями в первом приближении

■ определение напряженного состояния линейно-неоднородной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления в первом и втором приближениях

■ определение напряженного состояния нелинейно-неоднородной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления в первом приближении

■ определение напряженного состояния кусочно-неоднородной толстостенной трубы под действием внутреннего давления в первом и втором приближениях

■ определение напряженного состояния упругопластической кусочно-неоднородной толстостеннойтрубы под действием внутреннего в первом приближении

■ определение напряженного состояния толстой неоднородной пластины с круговым отверстием при предельнэм сопротивлении отрыву Рассмотрены случаи, когда на границе с отверстием находится область отрыва и область сдвига

Публикации Основные результаты диссертационной работы опубликованы в пяти научных работах

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих семь параграфов, заключения и списка используемой литературы Объем работы 73 страницы, 11 рисунков, список литературы содержит 74 наименования

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕРАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приводится обзор публикаций по исследуемой проблему определяются цели исследования,

формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводится структура диссертационнойработы

Глава первая носит название «Упругопластическое состояние неоднородных тел, ослабленных отверстиям») и состоит из четырех параграфов

В §11 решена задача о двуосном растяжении плоскости из пластически неоднородного материала

Условие пластичности принято в виде

+ = (1)

где &р, а„,г^ - компоненты напряжешй в полярной системе координат р,в, к —

предел текучести

рис 1

Принято, что предел текучести к сохраняет постоянное значение вдоль эллипсов (рис 1)

k = k„ + S\ (х+_?)2 + {У t5)2 I, k0,ci,b,A,B-const,

{2)

где 8 — малый безразмерный параметр

Записаны уравнения равновесия в полярной системе координат 8<г„ 1 дтр | о„-ое _0

dp р дв

1 да. 2т ы

= 0

др р дв р

Принято, что на контуре отверстия р = а действует нормальное давление р, а на бесконечности плоскость растягивается взаимно перпендикулярными усилиями РиРг

Из уравнений перехода из декартовой системы координат в полярную систему координат

а =—-^ + —-^соз20, = —---^ сое 20,

"2 2 "г 2

V =

граничные условия на бесконечности записаны в виде

а1\ = ?-5соз2<?, <т'| =^ + <5соз2|9, = <У51п20,

1 р=<а Ра\р=<х>

где

3_Р<-Рг Р1+Л

2 2

Решение ищется в виде

, Л = р<0>+р;<5+р^2+ , (з)

где -радиус пластической зоны

Далее всем компонентам в упругой области приписан индекс «е», а в пластической области индекс «р» Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесены к пределу текучести в нулевом приближении к0, все линейные размеры приняты безразмерными, отнесенными к радиусу пластической зоны в нулевом приближении р1"' В дальнейшем перейдем к безразмерному значению радиуса отверстия а и черту сверзу у величины а опустим

В исходном нулевом приближении из (1), (2), (3) определены компоненты напряжения

+ <Ге°)р = -р + 2 + 21п —, С=0,,

а а

^ £±£+2^ стГ = ? + £+£+21п^ (4)

Р Р Р

и соотношениядля определенш упругопласгической границы в нулевом приближении

21по! = -р-д + 1

Формулы перехода из декартовой системы координате полярную систему координат имеют вид

х = рсо$в, у = р$,шв (5)

Из (1), (3), (4), (5) получено

о>/ - = - а2)рг со&20 + АВс^рьтв + АА^р^в +

+(а2 +Ь1)р1 + 2ЪгАг +2а2В2] Уравнения равновесия(2) удовлетворены введением функции напряжений

а' ~ рдр ргде>' ст" др1' >* др{рдв) (/)

Учитывая, что внутренняя граница трубы в первом приближении свободна от

усилий

а'Р\ = 0, т'Р\ = 0, I р=а \р=а

решение в пластической области в первом приближении определено из (6), (7)

"2 ' %2-а2) +

Г,2 / 1 \ 1

и2 V] и2

2Аа 1 2А а2 Р а2

,2

' 2аЧ2 „2

2Ва* 12 В } „ --^--+ — р Бтб1-

ЪА Р ЬА

а 3 а )

2 Л2 с

т'Р ■

т>р..

2 Асе2 1 2А

--2--+

а2 Р а2

81П0 +

2Ва2 1 2В

—5----

Ъ2 Р Ъ

СО30 +

Л2

А2 В2^

1 + 7

Т + 4 + 2

\Р а

а

{а2+Ь2) 2 а2Ь2

(3 р2-а2)-

2Аа 1 6А

--2--+

а2 Р а2

2Ва 1 65 „ --~--+ -трктв-

Ъ2 Р Ъ2 )

1 6 а2-(а3 соз(^31п—) - — зш(%/з 1п—) - З/гОсоэ 26

(8)

1 а2Ь2р\ а' 3 а )

Согласно монографии [40] из списка используемой литературы, определены напряжения в упругой области

1

а2 + Ь2

2а-

,2и2

(1 -«") +

„2 + г.2

7-

Ь-3 Г + 4 ..

--1 со$20.

+|-4"+ 2 Р Р

/

0 =

—-1) + 2а Ь

\

А2[ В а2 + Ъ2

гвт^ч-

+ 1

J__

Р2" соз26>,

^=2(l-a2)

2^-U -^-sintf + ^-costf + рЪ W b )

L-3 L+2 ,

~ + —2~ + 1 P P .

sin 20,

(9)

где

b2-a2

2аЧ2

cos(>/3 lna) + y-(-4a3 + l]sin(^ lna) -1 3 cos (V3 In a) + ^2a3 -1) sin (>/з In a) -f 1

2,2 a b

Радиус упругопластической области в первом приближении определится из соотношений

Ps=-

О, # В2

dp dp

+41

SU1# +

„2,2 a b

2(b2-a2)

bA a2b2

(a2 - 2j + 4(a2 - 2)- jcos<9 a3 sui(a/3 lna) -1

V3 3

(10)

cos 20

В §12 решена задача о линейно-неоднородной трубе под действием внутреннего давления.

Материал трубы предполагается изотропным, неоднородным, сохраняющим значение предела текучести постоянным вдоль параллельных прямых, при этом предел текучести меняется линейно вдоль ортогональной прямой

s -\ч~

IP,

1 4 v

/\ /

рис 2

Рассмотрена толстостенная труба радиусов а, b , а < b (рис 2) Условие пластичности принято в виде (1), где предел текучести А определяется соотношениями к = к0 +S(ax + by), k0 ,a,b -const, (И)

где S — малый безразмерный параметр

Впоследствии используются безразмерные значения радиусов трубы аф и черта сверху у величин а,Ь опущена а = а/pf\ [i - h/pi'''

Согласно (11), предел текучести к сохраняет постоянное значение вдоль

прямых

ах + by = с, с - const (12)

и изменяется в зависимости от изменения величины с

Принято, что на внутренней поверхности трубы действует постоянное давление р, а внешняя поверхность свободна от усилий Решение ищется в виде (3)

Из (1), (2), (3), (11) получены компоненты напряжений в нулевом приближении

а'

o-®'=-p + 21n^, af =-р + 2 + 2Ы^, г™'=0,

а

_(0)«

Р + 2\па( ргЛ _ф)е_р + 2Ыа(л , р2)

У)'

rS* = 0

(13)

Радиус упругопластичеосой зоны в нулевом приближении определяется соотношениями

1

где

1-21п а-р

Согласно (1), (5), (11), (13),

<т'/ -а'рр = 2(apcos0 + bpsmff) Из (7), (14) определены напряжения в пластической области

<7/ = + pj(acos0 + 6sin в), а'/ = + 3р j(acos<? + bsmd),

r'Jb --+ pj(-bcos6 + asw.e)

Напряжения в упругой области определены, согласно [40],

(a cos б1 + 6sm 0),

(acos# + 6sini?),

Радиус упругопластичажой области определгн из соотношений

(,в4 - 2/?4 In« - 201 lna -1 -/>)

(-6cos0 + asin#)

¡EH из COOTHOII (acos0 + Asm в) =

(a2-2 р'+а2р*)4с?+Ъ2 a

fyf — _-_-_ \ CTQ — _

{p*-2рлЫа-2р1Ъ.а-\-р)' b

Показано, что при любом а < 1, Р > 1 имеет место

(14)

(15)

(16)

(17)

(а2 -2/?4 +а2/?4)<0, (^4-2/?41па-2/?21па-1-р)>0,

откуда видно, что М < О

Из (17) следует, что упругопластическая граница в первом приближении смещается вдоль прямой -Ьх + ау = 0 и смещается в сторону уменьшения предела текучести (рис 3)

В §13 определено второе приближение задачи § 1 2 Из-за громоздкости записи вычисления опустим

Границаупругопластическойобласти во второмприближенииизображенана

рис 4

В §14 решена задача о нелинейно-неоднородной трубе под действием внутреннего давления.

Рассмотрена толстостенная труба радиусов а, Ь, а<Ъ Условие

В этом случае справедливы формулы (13) для компонент напряжений в нулевом приближении, формулы (8) для компонент напряжений в пластической области в первом приближении

Согласно [40], (8), определены компоненты напряжений в упругой области. Граница упругопластической области (рис 6) определяется из соотношений р'3 =М\_И+Р со5{в-р) + 2 соб 20] (18)

где М,Ы,Р,() - постоянные, определенные в процессе решения задачи

рис

Глава вторая носит название «Упругопластическое состояние кусочно-неоднородныхтел, ослабленных отверстиями» и состоит из двух параграфов

В §2 1 рассмотрена задача о кусочно-неоднородной трубе под действием внутреннего давления

Условие пластичности в первой пластической области принято в виде

+4*2*1 =«12, (19)

где ^ - пределтекучестив первой области

Условие пластичности во второй пластической области принято в виде

(<гр2-<ге2)2 + 4*2рв2=и22, (20)

где к2 - предел текучести во второй области

Положим, что границей первой и второй областей является эллипс Уравнение эллипса принятое виде [40]

-2

5с2

(г + Яс!^2 (г-З^)2

= 1,

(21)

где 5,с1\,у - постоянные, причем 0 < <1\ < 1

Все линейные размеры приняты безразмерными, отнесенными к у В полярных координатах по формулам (5) уравнение эллипса запишется в

виде

Р =

'¡1~2дс1\с0$2в + 51с1\

откуда

I 1 п 3 11

рэ= 1 + 5рэ + 8 рэ + = 1 + Зс1\ соэ 2в - (1 - сое Ав) +

Согласно (19), (20), (22), получены компоненты напряжений в нулевом приближении

Ц-71г. -!-11-, М—,

а '

=-р + 2к\ =-р + 2к{ + 24!

°-р2 = 2к21п|, = 2*2 + 2к2 . (23)

На границе первой и второй областей р = у в нулевом приближенш

^иг^и-

откуда определяется величина предельного давления р

р = 2к2Ыр-2к1\аа = 2{к2Ъ.р-к1]11а) Напряжения ад терпят разрыв на этой границе р = у

Условия сопряжения на границе с включением , <1<7я> , , ,

< + —Г~Р, = 92 + —Г~Рэ

ар ар

Принято, что внешняя сторона трубы свободна от напряжений в первом приближении Компоненты напряжений в первом приближении, согласно (3), (19), (20), (22), (24), имеют вид

а'р2 = а'в2 = °> т'рв2 = 0 >

-^—^^-{Зсоб^Ы р) + л/з зт(л/з 1п р)}со$2в,

3 р ' (25)

^-к^ГзЫр) 3 />

На внутренней границе трубы р = а контактные усилия (25) не уравновешена Для того, чтобы труба была в равновесии необходимо, чтобы на внутренней границе трубы действовали напряжения, определяемые соотнопвниями (25)

Направление обхода с внешней стороны трубы произвольно Можно рассмотреть случай, когда внутренняя сторона трубы свободна от усилий в первом приближении Рассуждения, приведешые в этом параграфе, будут также справедливы В этом параграфе также определены компоненты напряжений во втором приближении, в виду громоздкости записи, их пропустим

В §2.2 рассмотрена задача параграфа §2 1 при условии, что к внешнему контуру трубы примыкает область упруго состояния материала (рис 7)

рис 7

Компоненты напряжений в нулевом приближении будут равны

т(°)/>-_

р + 2к\\л—, а$р = -р + 2кх+2к\\а1

ст(р1Р = 2 к2 1п- + 2*! - р, = 2к21+1 + 2кх - р

7

Г

2\ау(к1 -к2)- 2к, 1па - р

: ГГр

_<0> _ ~¿г) - 2£| 1па -р

V* —

1-

Определены компоненты напряжений в первом приближении Определена упругопластическая граница

= ¿Л*, -у ■-1){(_11 + 3^ + 4/?2 +4Г -

-/?"4)[бС05(>/3 - 2л/3 8Ш(л/3 1пу)] + +2л/з[10 + 2Д-4 -8уЗ"2 -2/?2 -2^4]8т(л^1пг)}со820

/ г Г ы \

\ С

(26)

рис 8

На рис 8 изображена упругопластическая граница в первом приближении-р\, граница первой (предел текучести Л, ) и второй (предел текучести кг ) областей -

р'„ , при а = 0,3, р = 1,5, к, =1,2, кг = 1,3, г = 0,4, ¿' = 0,07

На рис 9 изображена упругопластическая граница в первом приближении -р[, граница первой (предел текучести к, ) и второй (предел текучести кг ) областей -

/4, при а = 0,3, ¿5 = 1,5, ¿,=1,3, кг=\,2, Г = 0,4, ¿ = 0,07

Глава третья носит название «Упругопластическое состояние тел, ослабленных отверстиями при предельном сопротивлении отрыву»

В §31 решена задача о двуосном растяжении толстой неоднородной пластины при предельном сопротивлении отрыву Условие пластичности принято в виде

(о>-о-в)1+4(т>)2=4*2, (27)

где

к = к0 + Sia^ + Ъху) , к0, й,, bt — const, где 8 — малый безразмерный параметр Условие отрыва принято в виде

{<Jp-d){<Ttl-d) = {zp0)\ (28)

где

d = d0 + 8(агх + b2y), d0,a2,b2 — const Напряженное состояние определено в двух случаях, когда на границе отверстия находится пластическая область и когда на границе находится область отрыва

Заключение

Основные результаты и выводы диссертационной работы

■ В первом приближении определено напряженное состояние нелинейно-неоднородной плоскости ослабленной круговым отверстием и растягиваемой на бесконечности взаимно-перпендикулярными усилиями Определена граница упругопластической области

■ В первом и втором приближениях определено напряженное состояние линейно-неоднородной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления Определенаграница упругопластической области.

В первом приближении определено напряженное состояние нелинейно-неоднородной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления Определенаграницаупругопластической области. В первом и втором приближениях определено предельное напряженное состояние кусочно-неоднородной толстостешой трубы с эллиптическим включением находящейся под действием внутреннего давления Определены разрывы не контактныхнапряженийна границе свключением В первом приближении определено упругопластическое напряженное состояние кусочно-неоднородной толстостешой трубы с эллиптическим включением находящейся под действием внутреннего давления Определена граница упругопластмеской области.

Определено напряженное состояние толстой неоднородной пластины с круговым отверстием при предельном сопротивлении отрыву Рассмотрены случаи, когда на границе с отверстием находится область отрыва и область сдвига Определена граница упругопластической области

Основные результаты диссертации опубликованыв работах

Тихонов С В Об упругопластическом состоянии толстостенной трубы из неоднородного материала под действием внутреннего давления // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия -№6(56) -2007 - С 13-21 Тихонов С В Об упругопластическом состоянии неоднородной трубы, находящийся под действием внутреннего давления // Вестник ЧГПУ им И Я Яковлева Серия Механика предельного состояния - №2 - 2007 -С 161168

Тихонов С В Об упругопластическом состоянии пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью при предельном сопротивлении отрыву // Вестник ЧГПУ им И Я Яковлева -№3 (55) -2007 - С 28-35 Максимова ЛА, Тихонов С В О двуосном растяжении плоскости из упругопластического материала // Вестник ЧГПУ им И Я Яковлева Серия Механика предельного состояния. - №2 - 2007 -С 91-95 Максимова Л А, Матвеев СВ, Тихонов С В О сжатии анизотропного идеально пластического слоя при обобщенномусловии пластичности Мизеса Современные проблемы математики, механики, информатики Материалы Международной научной конференции Тула -2006 - С 151-153

ко

Подписано к печати 12 09 2007 г Формат 60x84/16 Бумагаписчая Печать оперативная Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ № ¿¡£"2-

Отпечатано на участке оперативной Полиграфии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университетим И Я Яковлева» 428000 Чебоксары, ул К Маркса, 38

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЯМИ

§1. Двуосное растяжение плоскости из упругопластического неоднородного материала

§2. Упругопластическое состояние линейно-неоднородной трубы, находящейся под действием внутреннего давления

§3. Упругопластическое состояние линейно-неоднородной трубы, находящейся под действием внутреннего давления (2-ое приближение)

§4. Упругопластическое состояние толстостенной трубы из нелинейно-неоднородного материала под действием внутреннего давления

ГЛАВА 2. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЯМИ.

§1. Предельное состояние кусочно-неоднородной толстостенной трубы под действием внутреннего давления.

§2. Упругопластическое состояние кусочно-неоднородной трубы, находящейся под действием внутреннего давления

ГЛАВА 3. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕЛ, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЯМИ ПРИ ПРЕДЕЛЬНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ ОТРЫВУ

§1. Двуосное растяжение толстой неоднородной пластины с круговым отверстием при предельном сопротивлении отрыву

Неоднородность механических свойств материала может быть обусловлена различными причинами: технологическими, конструктивными, влиянием различных внешних факторов, таких как температура, ударные воздействия, радиационное облучение, влажность (для грунтов) и т.д.

Решение задач теории пластичности для неоднородных тел посвящена обширная литература. В 50-60-е годы прошлого столетия особенное развитие теория пластичности неоднородных тел получила в трудах польской школы механиков под руководством профессора В. Ольшака. В обзоре «Теория пластичности неоднородных тел», принадлежащем В. Ольшаку, Я. Рыхлевскому и В. Урбановскому [22], освещены работы по теории пластичности неоднородных тел, выполненные к этому времени. Отметим работы [3-15, 60].

Задача о сдавливании неоднородного по толщине пластического слоя жесткими параллельными шероховатыми плитами была рассмотрена А.А. Ильюшиным [43]. Неоднородность в слое возникала вследствие зависимости предела текучести от температуры при постоянной температуре плит. Задача о сдавливании неоднородного пластического слоя исследовалась также в работах А.И. Кузнецова [49] и М.А. Задояна [36,37].

М.А. Задоян [38] определил границу пластической зоны в трубе под воздействием нейтронных потоков при условии динамического изменения внутреннего давления.

Влияние радиоактивного облучения на механические свойства твердых тел было рассмотрено Ленским B.C. [52], А. Г. Горшковым [27], А.А. Ильюшиным [44], П.М. Огибаловым [56], Ю. И. Ремневым [58], С. Глосстоном [26].

Неоднородность, вызванная упрочнением материала, была рассмотрена в работах Хилла [1].

В монографии О. Д. Григорьева [28] рассмотрены задачи о вдавливании штампов для определенных классов неоднородности. Получены численные решения пространственных осесимметричных задач вдавливания штампов в пластически неоднородное тело. Рассмотрены задачи статики сыпучей неоднородной среды.

Задачи кручения цилиндрических неоднородных пластических стержней рассматривались А.И. Кузнецовым [2, 50] в предположении, что предел текучести является функцией координат. А.И. Кузнецовым в работе [51] было дано решение задачи о растяжении неоднородного полупространства, ослабленного круговым отверстием.

В монографии А.Н. Андреева, Ю.В. Немировского [19] рассмотрены задачи изгиба, устойчивости и колебаний многослойных анизотропных оболочек и пластин.

В задачах определения напряженного состояния в пластических и упругопластических неоднородных телах получил применение метод малого параметра.

Для решения различных задач механики метод малого параметра был использован в работах Пуанкаре [58], Ван-Дейка [23], Саусвелла. Одна из первых работ по решению упругопластических задач методом малого параметра принадлежит А.П. Соколову [62].

Применение метода малого параметра к широкому классу упругопластических задач отражено в монографии Д.Д. Ивлева, JI.B. Ершова [40].

Метод малого параметра использовался в работах М.Т. Алимжанова [17, 19], А.Н. Гузя [29], А.Н. Спорыхина [64, 66] при решении задач устойчивости и равновесия в механике горных пород.

Применение метода малого параметра к задачам анизотропных тел отражено в работах М.Т. Алимжанова [17], Д.Д. Ивлева [41], Н. М. Матченко [55], JI.A. Толоконникова [69].

JI.A. Качановым [46] решены задачи кручения стержней с помощью метода малого параметра.

А.А. Ильюшин [42] использовал метод малого параметра при исследовании чистого изгиба балок за пределом упругости.

В монографии Б.Д. Анина, Г.П. Черепанова [20] приведено решение методом малого параметра задачи о двуосном растяжении плоскости, ослабленной отверстием, решение в упругой области определялось методами функций комплексной переменной. Было показано, что результаты согласуются с монографией [40].

Решение методом малого параметра пространственной задачи о растяжении взаимно перпендикулярными усилиями пространства, ослабленного сферическим отверстием, дано Т.Д. Семыкиной [61].

Г. Каудерер [45] использовал метод малого параметра для решения задач нелинейного упругого материала.

Метод малого параметра был использован при решении задач пластической неоднородности в работе Б.А. Друянова [32]. Им [30-31, 33-35] рассмотрены задачи о вдавливании жестких штампов в идеально пластическое неоднородное полупространство и полосу.

В монографии А.Н. Спорыхина, А.В. Ковелева, Ю.Д. Щегловой [63] задачи течения анизотропно упрочняющихся вязкопластических сред решались методом малого параметра. В данной монографии была решена задача JI.A. Галина [25] для данной среды, а также двумерные задачи с включениями различных форм и очертаний. Здесь также была решена задача о деформировании бесконечного сжимаемого упруговязкопластического пространства, ослабленного сферической полостью. В монографии А.Н.

Спорыхина [65] отражено применение метода малого параметра к задачам устойчивости сложных сред. В работах А.Н. Спорыхина и Ю.Д. Щегловой [68] решены задачи об упругопластическом кручении упрочняющихся стержней.

Отметим работы [25, 47, 48, 53, 54, 74], в которых методом малого параметра решены задачи о включениях различных форм и очертаний .

Задачи влияния неоднородности на напряженное состояние слоя из идеальнопластического материала, сжатого шероховатами плитами, рассмотрены в работах Е.А. Целистовой [70-72], И.П. Григорьева [39]. При решении был использован обратный метод и метод малого параметра.

В данной работе рассматривается неоднородность в пластической области, в упругой области тела предполагаются однородными. Решение ищется методом малого параметра.

Актуальность темы. Задачи определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругопластических тел, ослабленных отверстиями, находят широкое применение в реакторной технике; при образовании горных выработок; при проектировании сложных структур (различные сплавы, конструкции, состоящие из двух или более материалов) и др. Задачи упругопластического состояния неоднородных тел являются важными и актуальными.

Научная новизна состоит в исследовании наложения влияния > неоднородности на напряженное состояние. Получены результаты по определению изменений напряженного состояния, поведения упругопластической границы, вызванных влиянием неоднородности.

Достоверность. Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования.

Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом докладывались: на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Ивлева Д.Д. - г. Чебоксары, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2005-2007 г.г.; на ежегодных итоговых научно-практических конференциях преподавателей и сотрудников ЧГПУ им. И.Я. Яковлева - г. Чебоксары, 2005-2007 г.г.; на ежегодных научных сессиях студентов, аспирантов и научных работников ЧГПУ им. И.Я. Яковлева - г. Чебоксары, 2005-2007 г.г.; на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 10-летию механико-математического факультета Тульского государственного университета, 2006 г.

Публикации. Основные результаты работы изложены в пяти печатных работах.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, включающих в себя семь параграфов, заключения и списка используемой литературы.

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1) В первом приближении определено напряженное состояние нелинейно-неоднородной плоскости, ослабленной круговым отверстием и растягиваемой на бесконечности взаимно-перпендикулярными усилиями. Определена граница упругопластической области.

2) В первом и втором приближениях определено напряженное состояние линейно-неоднородной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Определена граница упругопластической области.

3) В первом приближении определено напряженное состояние нелинейно-неоднородной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Определена граница упругопластической области.

4) В первом и втором приближениях определено предельное напряженное состояние кусочно-неоднородной толстостенной трубы с эллиптическим включением находящейся под действием внутреннего давления. Определены разрывы не контактных напряжений на границе с включением.

5) В первом приближении определено упругопластическое напряженное состояние кусочно-неоднородной толстостенной трубы с эллиптическим включением находящейся под действием внутреннего давления. Определена граница упругопластической области.

6) Определено напряженное состояние толстой неоднородной пластины с круговым отверстием при предельном сопротивлении отрыву.

Рассмотрены случаи, когда на границе с отверстием находится область отрыва и область сдвига. Определена граница упругопластической области.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Hill R. On the problem of uniqueness in the theory of a rigid-plastic solid // J. Mech. and Phys. Solids. - № 4. - 1956. - P. 247-255

2. Kuznecow A.I. The problem of torsion and plane strain of non-homogeneous body // Arch. Mech. Stos . № 4. - 1958. - P. 447-462

3. Olszak W. Non-homogeneity in elasticity and plasticity, Proc. I. U. T.A.M. Symposium, Warsaw, 1958; Pergamon Press, London, New York, Paris, 1959.

4. Olszak W. Applications of the theory of plasticity to problems of non-homogeneous and anisotropic plates and shells // 4th Yougoslov. Congr. Theor. Appl. Mech., Opatija. 1958

5. Olszak W. Dickwandige Rohre und Ringqueschnitte aus Eisenbeton. Neue Erkenntnisse, neue Gesichtspunkte fur Berechnung und Bemesung // Bet und Eis. -38.-1939.-2.

6. Olszak W. Exzentische Rohre fur Spiilversatzzwecke, Zem. 14, 15, 16. -1935.

7. Olszak W. Gun barrels // Przegl. Techn. 15.- 1938. -14.

8. Olszak W. Limit analysis and design of non-homogeneous spherical and cylindrical shell // Inzyn. Bydown. 14. - 1957

9. Olszak W. Plane problems of plastic flow of non-homogeneous bodies // Bull. Acad. Polon. Sci., CI. IV. 3. № 3. - P. 119-124

10. Olszak W. Plastic non-homogeinity // Theory and applications, Symposium on Plasticity, Varenna. -1956

11. Olszak W. Rings and cylinders with uniform circumferential stresses // Czasop. Techn. 55 - 1937. - 1-6.

12. Olszak W. Theory of plasticity of non-homogeneous bodies and its practical applications // Proc. 1st Congr. Theor. Appl. Mech. Kharagpur (India). 1955

13. Olszak W. Thick-walled reinforced concrete pipes. Proposals for increasing their statical efficiency // 2nd Congr. Int. Assoc. Bridge Struct. Eng., Fin. Rep. -1936.

14. Olszak W. Thick-walled structures // Przegl. Gorn. Hutn. 54. - №12. - 1936.

15. Olszak W., Zahorski S. Some problems of continued plastic flow of the eccentric cylinder, Arch. Mech. Stos. 12. - N 5/6. - 1960

16. Алимжанов M. Т. Устойчивость равновесия тел и задачи механики горных пород. Алма-Ата: Наука, 1982. - 269 с.

17. Алимжанов М. Т., Габдулин Б.Ж. Об упругопластическом состоянии неоднородных толстостенных цилиндров и сферических оболочек // Веста. АН КазССР. 1987. - № 10. - С. 52-67

18. Алимжанов М.Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики // Успехи механики. 1990. - Т. 13, № 3. - С. 21-57.

19. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость и колебания. Новосибирск : Наука, 2001. -288 с.

20. Анин Б.Д., Черепанов ГЛ. Упругопластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983.-238 с.

21. Быковцев Г.И. О кручении призматических стержней из анизотропного идеально-пластического материала // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. -1961.- №3 .-С. 151-157.

22. В. Олъшак, Я. Рыхлевский, В. Урбановский Теория пластичности неоднородных тел / пер. с англ. Яна Рыхлевского М.: Мир. - 1964, 156 с.

23. Ван-Дейк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. -310с.

24. Вульман С.А., Семыкина Т.Д. Напряженно-деформированное состояние пластины с включением // Прикладные задачи механики сплошных сред. -Воронеж, 1988.-С. 48-51

25. Галин JI. А. Плоская упругопластическая задача // Прикладная математика и механика. 1946. - Т. 10. - №3.

26. Глосстон С., Эдмунд М. Основы теории ядерных реакторов. ИЛ, 1954.

27. Горшков А. Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности: Учеб.: Для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 416 с.

28. Григорьев ОД. Некоторые задачи теории пластичности неоднородных тел / под ред. д.т.н., проф. Н.Ф. Сторожева. Новосибирск. - 1969,207 с.

29. Гузъ А. Н. Основы теории устойчивости горных выработок. Киев: Наукова думка, 1977. - 203 с.

30. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в тонкую пластически неоднородную полосу // Изв. АН СССР, Механ. и машиновед. № 4. -1960. -С.156-158

31. Друянов Б.А. Численное решение задачи о вдавливании шероховатого штампа в пластически неоднородную полуплоскость // Изв. АН СССР, Механ. и машиновед. -№ 3.-1961.

32. Друянов Б.А. Вдавливание жесткого штампа в толстую пластически неоднородную пластинку // Изв. АН СССР, Механ. и машиновед. № 3. -1959.-С. 161-166

33. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Изв. АН СССР, Механ. и машиновед. № 2. -1960. -С.129-139

34. Друянов Б.А. Метод решения статически неопределимых задач плоского течения идеально пластических тел // Доклад АН СССР. №4. - 1962. - 143

35. Друянов Б.А. Начальное течение неоднородной полосы при вдавливании шероховатого штампа // Инженерный журнал. Вып. 1. - 1962

36. Задоян М.А. О сжатии пластически неоднородной по длине полосы двумя жесткими плитами // Изв. АН СССР, ОТН. Вып. 4. - 1962

37. Задоян М.А. О течении пластически неоднородного материала через сходящийся канал // Изв. АН Арм. ССР, сер. физ.-мат. н. №2. - 1962

38. Задоян М.А. Распространение пластической зоны в неоднородной трубе при динамическом воздействии давления // Изв. АН СССР, ОТН. Вып. 4. -1962

39. Ивлев Д.Д., Григорьев И.П. О сдавливании круглого в плане идеальнопластического слоя шероховатыми плитами. Известия РАН, МТТ, 2000, № 1.

40. Ивлев Д.Д., Ершов J1.B. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978.

41. Ивлев Д.Д., Шитова Л.Б. Линеаризованные уравнения теории анизотропного идеального жесткопластического тела // Чебоксары, 1988. С. 55-58

42. Ильюшин АЛ. Нормальное и касательное напряжение при чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с задачей об изгибе плит // Инженерный сборник. 1954. - Т. 19. - С. 3-12.

43. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы пластического течения // Известия АН СССР, ОТН. Вып. 2. - 1958

44. Ильюшин А.А., Огибалов П.М. О прочности оболочек, толстостенного цилиндра и полого шара, подвергнутых облучению. Инж. сб. АН СССР, 1960, т. 28.

45. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961.

46. Качанов П.М. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра // Прикладная математика и механика. 1948. - Т. 12, № 4. - С. 375-386.

47. Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Двухосное растяжение упругопластического пространства с включением близким по форме кправильному многоугольнику // Вестн. ВГУ. Серия 2. Естественные науки. -Воронеж.- 1998.-№3.-С. 136-141

48. Ковалев А.В., Спорыхин А.Н., Яковлев А.Ю. Двухосное растяжение упругопластического пространства с призматическим включением // НАН Украины. Прикладная механика. 2000. - Т. 36. - № 6. - С. 114-120

49. Кузнецов А.И. Задача о неоднородном пластическом слое // Arch. Mech. Stos. № 2. - 1960. - С. 163-172

50. Кузнецов А.И. Кручение неоднородных пластических стержней // Изв. АН СССР. ОТН. Вып. 11. - 1958

51. Кузнецов А.И. Плоская деформация неоднородных пластических тел // Вестн. Ленингр. ун-та.-№ 13.- 1958.-С. 112-131

52. Ленский B.C. Влияние радиоактивных облучений на механические свойства твердых тел // Инженерный сборник. Т. 28. - 1960

53. Марушкей Ю. М. Двуосное растяжение упругопластического пространства с включением // Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1975. -№12. -С. 25-30

54. Марушкей Ю. М. Об упругопластическом состоянии среды включением в виде эллиптического цилиндра // Прикладная механика. 1975. - Т. 12. -№2.-С. 126-130

55. Матченко Н.Ы., Митяев А.Г., Фейгин С.Д. Влияние начальной пластической анизотропии на напряженное состояние пластины с отверстием // Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. -Тула, 1980.-С. 14-19

56. Огибалов П.М. Деформация трубы под действием внутреннего давления и переменной температуры. Инж. сб. АН СССР, 1954. №20.

57. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца. В сб. переводов «Механика». - 1955. -№4 (32)

58. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, 1971. - Т. 1: Новые методы небесной механики. - 772 с.

59. Ремнев Ю.И. О влиянии облучения на напряжения и малые деформации в твердом теле. ДАН СССР, 1959, т. 124, №3.

60. Рыхлевский Я. О произвольно малой пластической неоднородности // Bull. Acad. Pol on. Sci. Ser. Sci. Т. 11. - №6. - 1963

61. Семыкина Т.Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. -№1. - С. 17-21

62. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии плстинки // Докл. АН СССР.-Т. 10.-№1.-1948

63. Спорыхин А.Н Неодномерные задачи упруговязкопластичности с неизвестной границей / А. Н. Спорыхин, А. В. Ковалев, Ю. Д. Щеглова. -Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. 219 с.

64. Спорыхин А.Н. К устойчивости горизонтальных выработок в массивах, обладающих упруго-вязко-пластическими свойствами // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1975. -№ 1. - С. 67-72.

65. Спорыхин А.И. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. Воронеж: Изд-ние ВГУ, 1997. - 361 с.

66. Спорыхин А.Н., Чеботарев А.С. Локальная неустойчивость стенок бурящихся скважин в сжимаемых упрочняющихся упруговязкопластических массивах // Прикладная механика и техническая физика. 1999. - Т. 40, №6. -С. 177-183

67. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Устойчивость равновесия пространственных тел и задачи механики горных пород. М.: ФИЗМАТЛИТ, 204.-232 с.

68. Спорыхин А.Н., Щеглова Ю.Д. Точное решение задачи кручения круглого стержня из упрочняющегося упругопластического материала //

69. Механика-99: Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике, 28-30 июня 1999, Минск, Белорусь. Минск, 1999. -С. 122-123.

70. Толоконникое Л.А., Яковлев СЛ., Кузин В.Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией // Прикл. механика. 1969. - Т. 5, № 8. -С. 71-76

71. Целистова Е. А. Задача о напряженном состоянии неоднородного идеальнопластического слоя // Сб. научных трудов студентов, аспирантов и докторантов ЧГПУ им. И .Я. Яковлева. Чебоксары, 1999. - Вып. 5. - Т. 1. -С. 12-13.

72. Целистова Е. А. Ислледование влияния неоднородности материала на напряженное состояние идеальнопластического слоя // Известия ИТА ЧР. -Чебоксары, 1999. С. 52-56

73. Целистова Е. А. О влияние неоднородности на напряженное состояние слоя из идеальнопластического материала // Механика микронеоднородных материалов и разрушение: Тез. докл. Всерос. науч. сем. Пермь: ПермГТУ, 1999.-С. 53

74. Черепанов ГЛ. Об одном методе решения упругопластической задачи // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27. - №3.

75. Тихонов С. В. Об упругопластическом состоянии толстостенной трубы из неоднородного материала под действием внутреннего давления // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. - №6 (56). - 2007. - С. 13-21.

76. Тихонов С.В Об упругопластическом состоянии неоднородной трубы, находящийся под действием внутреннего давления // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия Механика предельного состояния. №2. - 2007. -С. 161168.

77. Тихонов С.В. Об упругопластическом состоянии пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью при предельном сопротивлении отрыву // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. № 3 (55). - 2007. - С. 28-35.

78. Максимова JI.A., Тихонов С.В. О двуосном растяжении плоскости из упругопластического материала // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия Механика предельного состояния. №2. - 2007. - С. 91-95