Упругопластическое состояние тяжелых тел, ослабленных отверстиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Матвеев Сергей Владимирович

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ТЯЖЕЛЫХ ТЕЛ, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЯМИ

01 02 04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗОВБТОЭ

Чебоксары 2007

003065709

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева»

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

Максимова Людмила Анатольевна

Научный руководитель - Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Ивлев Дюис Данилович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Глаголев Вадим Вадимович, кандидат физико-математических наук, доцент, Захарова Татьяна Львовна

Ведущая организация Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

Защита состоится 18 октября 2007 г в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета ДМ 212 300 02 в Чувашском государственном педагогическом университете по адресу 428000, г Чебоксары, ул К Маркса, 38

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета

Автореферат разослан «14» сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

СЮ Радаев

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Основы теории предельного состояния грунтов и сыпучих сред были заложены Кулоном, далее - Ренкиным, Кетгером, Л Прандтлем, Н М Герсевановым и др

Современное развитие теории предельного состояния грунтов и сыпучих сред получило в трудах Надаи, В В Соколовского, В Г Березан-цева, Г А Гениева, С А Христиановича, Е И Шемякина и других исследователей Результатом явилось развитие теории предельного равновесия, ее приложений к широкому кругу задач и повышение эффективности расчетных методов, что позволило ей стать надежной основой инженерных методов расчета в статике сыпучей среды и грунтов

В настоящей работе используется метод возмущений или метод малого параметра

Отметим, что метод малого параметра применительно к задачам механики деформируемого твердого тела использовался в исследованиях и М Т Алимжанова, Л И Афанасьевой, Г И Быковцева, А М Васильевой, Д В Гоцева, И П Григорьева, А Н Гузя, Б А Друянова, Л В Ершова, В Г Ефремова, Т Л Захаровой, Д Д Ивлева, А А Ильюшина, А Ю Иш-линского, А В Ковалева, Т.А Кульпиной, А Н Максимова, Л А Максимовой, А А Маркина, Н М Матченко, Б Г Миронова, М В Михайловой, Е Н Никоновой, Э В Павловой, Н И Петрова, Т Т Пономаревой, С Ю Радаева, Т И Рыбаковой, Т А Санаевой, В В Соколовского, А Н Споры-хина, Л А Толоконникова, И Ю Цвелодуба, Е А Целистовой, А И Шаш-кина, Ю Д Щегловой и др

В реферируемой работе рассматривается влияние силы тяжести на упругопластическое напряженное состояние толстостенных труб и тел

Новые результаты, позволяющие расширить представления о характере упругопластического поведения тел и конструкций с учетом влияния силы тяжести, являются важными и актуальными

Целью работы является определение упругопластического напряженного состояния толстостенных труб и тел под действием силы тяжести

Научная новизна состоит в исследовании влияния силы тяжести на осесимметричное и близкое к нему напряженно-деформированное состояние Получены результаты по определению изменений напряженно-деформированного состояния, поведения упругопласшческой границы, вызванное влиянием силы тяжести

Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования

Практическая значимость. Полученные результаты позволяют произвести оценку влияния силы тяжести на упругопластическое напряженное состояния толстостенных труб и тел, ослабленных отверстиями и полостями

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались

на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2005-2007),

на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им И Я Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2005-2007),

на итоговых научных конференциях преподавателей ГОУ ВПО «ЧГПУ им И Я Яковлева» (Чебоксары, ЧГПУ, 2005-2007),

на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 10-летию механико-математического факультета Тульского государственного университета, 2006 г

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 работах

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы Объем работы 67 страниц, 4 рисунка, список литературы содержит 92 наименования

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приводится обзор публикаций по исследуемой проблеме, определяются цели исследования, формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводится структура диссертационной работы

Глава первая носит название «Упругопластическое состояние изотропных сред» и состоит из трех параграфов

В §1 1 приведены уравнения равновесия в декартовой системе координат

д<гх дтху п дтху дау „ „

—^ + —^ = 0, + = Г-сопзг (И)

ох ду ох оу

где <зх, <Уу,тху- компоненты напряжения, у - объемная сила Частное решение уравнения (1 1) запишем в виде

= ЯУ> СГУ=ГУ, ^=0, У>4~сотг (12)

Для перехода из декартовой системы координат воспользуемся формулами (1 3)

(7 + СГ„ <Т - СГ

о = —-+ —--соэ2#,

"22

СГ + СГ <7 - ст

= —-3---:-у-со%2в, (1 3)

"22

а" - сг„

т^ =—-у-%т2в

рв 2

В полярной системе координат рв уравнения равновесия (11) примут вид

д<Ур ^ 1 дт,, ар - <тв

+ -S--"~ = у ^шв,

dp р дв р

-усоъв

дтрв , 1 д<тв 2т ^

(14)

dp р дв р Решение (1 2) в полярной системе координат примет вид

а. = р sin в{ + cos 2в\ = psmd + р sin Ъв,

\ 2 2 ) 4 4

ав=р Sln в[Ш- - i^cos 2^ = ^psin в-^ря&Ъв, (1 5)

тpQ = ^-^psin 6>sin 2в = ^pp(cos в - cos 3(9)

В дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжения предполагаются безразмерными, отнесенными к величине предела теку-

чести к

Условие пластичности имеет вид

(< - О2 + 4т;/ =4/с2, * - const (1 6)

Решение ищется в виде

^ = ++ ¿2< + ¿3< + > рs ~ р°+ф;+¿2Р:+

q = ôcx, у = ôc2, с,, с2 - const

Компонентам напряжений в пластической зоне приписан индекс «р» наверху, компонентам в упругой зоне - индекс «е» наверху

Из (1 6), (1 7) найдем в исходном нулевом приближении

СТ(0)Р _СТ(0)Р = _2К ^ К 05 |ffe| >Г(0)Р = о (1 8)

В исходном нулевом приближении согласно (18) компоненты напряжения в пластической области имеют вид

<)Р=-Ро+21п^, *Г=-Ро+ 2Îl + ln^\ т%» =0. (18) а \ а)

Выражения для компонент напряжений в упругой области в нулевом приближении

+ Л О®)

Р Р

В первом приближении имеет место

(<7^-0 = 0 (110)

Уравнения (14), (1 10) удовлетворяются путем введения функции напряжения

, 1 дФ' 1 д2Ф' 1

с, + с, с, - с, —-- + —--cos 20

ч 2 2

р др р2 дв2

ЛЧ'

а' =

д '

др

1 дФ'} Cj-C; --+ —-l-psm0sm2d

р дв J 2

-i-p[sm6>-sin3<9] (1 12)

Из (1 4), (1 10), (1 11) найдем уравнение для определения функции напряжения

д2Ф' 1 дФ' _ 1 д2Ф' _с2 др1 ~р'др~~р2~дв2~^1 Частным решением неоднородного уравнения является

2 _ . 2 4 4 (1 13)

г' =

V«!

-^-р{со5в + СОБ30) + - СОвЗб»)

Общее решение в первом приближении согласно (1 12), (1 13) запишем в виде

+^[(С;,(-8)+л/8С,2)соз(Л/81ПуО)+(-Л/8С31 +С32(-8))З1П(Л/81П/?)] &тЪв,

а>р = р5ш6|+3(с* ~ с') Р51п36'+Оо+^ втб»+

+[(С3, (-8) + /8С32)соз(л/8 1пр)+(- /8С3, +С32(-8))8т(л/81п/з)] БтЗб»,

1% = рсоъв - рсоБЗ^ - ^ со&0 -

- [з%/8 {сз2 сой(\/8 \пр)-Сп 51п(л/8 1п р)}собЗ^] Решение в упругой области, будет иметь вид

(1 14)

= с, +3с2 рзтв+с^^р5т30 +

Р

+1) Ч р3

5тв +

р р-

+ р~6)р+ъ\ь-ър2-р6]р~5 +

+ [4-ЗуГ2-Р~6]ръ + 5^-Зр~2 +Рв]р'3} Ь1$тЪ6 + + _1_{_10 + 9>92 +р~6]р + ^ + бр6-9 Р2]р~5 +

+ [-4 + 5р~2 -/Г6]^3 + [10-5/Г2-5Дб]р-3} (-<¿>130),

Зс, + с,

4

(З/и + 1)/?

/Овшб*-

!-/>81ПЗ# +

4т(Р +1) \ Зт + 1 р ръ

3/?3

+^{з[-2 + 3/?2-/^]р + з[-4 + 3/?2+/?б]р-5 + +5[-4 + 3/Г2 + /З-оу +\-2 + Ъ(Г2 -рбП\р~3) ь;sin3<9 + +^{[Ю-9рг -р-*]р + [-4-6р6+9р2]р~5 +

(1 36)

+5[4-5/Г2 + J3^]p3 + [-2 + j3~2 + Р6~\р~ъ) (-<sm30),

—p(cos в - eos 30)-

р, (З/и + 1 /, л —+—-+а)>

Ът + \ р ръ

р Р3

cos# +

+ з[- 4+ ър~2 + /Г6 ]р3 + з[2- 3/Г2 + ]р~г} (-b¡cos36>)+ —flO-9 р2-Р~6]р + [А-9рг +6р6]р'ъ +

2N

+ [l2-15/?~2 +Зу0~б]/О3 + [б-3/?~2 -3/?6Jo"3} a"cos30, где N = 16-9(Р~2 +P2) + (P~S + Ps), т = — , р. - коэффициент Пуассона

В работе приведены выражения, определяющие постоянные ax,a[,bx,b[,a" ,Ь" ,С00,С12,Сз1,Сз2,Сз1,С32, из граничных условий и условий сопряжения, тем самым напряженное состояние полностью определено

Получено выражение для определения радиуса упругопласгической зоны в первом приближении

р[ = М, sm в+М, sin 36>, (1 39)

где

М =

\ | (Зш + 1)/? Р Ат{рг+\)

(^•oí-snC^)^-3

--¿—(¿i -¿i7?)f-+/?3

4C2~Cl)

-с„

М3 =-Ц[-40 + 18,52+18/Г2 +2/36 + 2/Г6] Щ-

Ш _ (140)

-[24-24/Г2-5/36 + 4/Г6] + -2у/яС32}

Рис 1

На рис 1 показан вид границы упругопластической зоны в толстостенной трубе, находящейся под действием силы тяжести

В §1 2 приведены общие выражения напряжений в пластической и упругой зоне во втором приближении Они имеют громоздкий вид и здесь опущены

Радиус упругопластической зоны во втором приближении имеет

вид

р„ = М + М2со52в + М4со54в+М6 соябв (1 41)

Выражения для определения М,М2,М4,М6 приведены в работе.

На рис 2 показан вид упругопластической границы во втором приближении

В §1 3 определены составляющие компоненты напряжения в первом приближении, а также радиус упругопластической зоны в первом приближении для изотропного тела, ослабленного эллиптической полостью с учетом силы тяжести

Глава вторая носит название «Упругопластическое состояние анизотропных и сыпучих сред» и состоит из двух параграфов

В §2 1 определены составляющие компоненты напряжения в первом приближении, а также радиус упругопластической зоны для тяжелой анизотропной среды

В §2 2 рассматривается упругопластическое состояние тяжелого пространства, ослабленного горизонтальной цилиндрической полостью с учетом сжимаемости

Условие пластичности имеет вид

(ар-aef +Ат2рв = (:2k+(rtgjuf,

U w (21)

о" = ~ v7/» + авр const

В исходном нулевом приближении получим

<7f>'-Aof'=K, (2 2)

гДе 1 + Щц 2 + tgf^

Компоненты напряжения в нулевом приближении в пластической и упругой областях запишутся в виде

,(0)р _

к

1 -А

г(0)е _

1-1^ а

К (1

2 р\а

(/(-о

<Л-1)

г(0)р

к

1 -А

1 -А\Р

а

г(0)е .

К (\

(Л-1)

(Л-1)

г(0)Р=т(0)е=()

* рв ~ ' рв

В первом приближении пренебрежем влиянием к, тогда иметь место

а'/-Аст'1 = 0

Уравнения равновесия удовлетворим полагая

= -

1 ЭФ' 1 д2Ф'

р др р дв2

+ ръшщ

[С' +С2 | С. -¿2

V 2

сое 2в

<у„ =

Э2Ф' др1

т ^ = --

дР

+ р5тв —

1 5Ф' р дв.

с, + с, с, - с,

2

с, -с,

(1 +сое 26»),

— эш В эш 20

Найдем уравнение для определения функции напряжения Ф' д2Ф' АдФ' А д2Ф' = (А-3)с. + (ЗЛ- 1)с2 ф2 /> др рг дв2 4

р$т.в-

Частным решением неоднородного уравнения является

< = Й-зк +(зл-1)с2 Р5Ш+(а+1ХС1 -с2)р5т^

8 8

, _ (Л -3)^ + (ЗА — 1)с2 . (^ + 1Хс,-с2) а^ =3--^—>-р бш в — --^-^рьтЪв,

8

, _ (Л-3)с,+(ЗЛ-1)с2

Р СОБ0 +

(А+1X0,-0,)

Л 8 ------ 8

Решение однородного уравнения ищется в виде

Ф = /У"соз(30 + <9О) Справедливо следующее выражение

т2 -(1 + А)т + 9А = 0

Откуда

1+ А+-Л)

рсоъЪв

(2 3)

будет (2 4)

(2 5)

(2 6)

(2 7)

(2 8) (2 9)

(2 10)

1 ' (2 + tgju)2

71

Так как угол трения 0 < и < —, то очевидно, что D < О

4

Решение уравнения (2 6), будет иметь вид

Ф = V-¿ü__V-'—рьшв + V-¿_L_V-¿-lpSin30 +

8 8

Лм'! f/

P

1+ A

-9

C31+iACn

s(Alnp) +

-AC31 +1

\

1+ A

sin ( Д In p) ¡> sin 30.

/

¿v =_V-LI—V-L±psme-\-LLA-'—рътЪв+

8 8

r i^l

P '

А-1

-(22-I)A2

Cjj "I" iACj2

xcos

(Д1пр) +

-ДС, +г

sin (A In p) > sin 30,

(Л-1)с1+3(Л-1)с2

f0 -t"-1 —pcos$+--¿-^-i--r±pc0S3e-

о о

с

-bicos0+3p{ 2 J

А-1

(A~I)c1+(A+ 3)c2 8

cos(Alnp) +

С31+гДС32

(2 11)

-ДС31+г

Л-1

Л1

(Alnp)jcos30

где А =

Vö+лРзбл

Решение в упругой области имеет вид

р (3гп^[ъ pß2 ß-■

°р =

fi ръ

sm#+

+^{3[2-Зр2 + р*]р + 3[4-З/?2 -/^р5 +

+[4 ■- ЗР'2 - р* ] р3 + 5 [2 - 3/Г2 + р6 ] р~ъ} фт 30 + +^{[-10 + 9/?2 +/Г6]р + [4 + 6/?6 -9/?2]р5 + +[-4 + 5р~2 -р-6]р3 + [10■-5р~2 - 5Р6~\/Г3} (-фш30) +

4 4

ста =

3/7 £ I + (К | -V

4т(Р2 +1) Зтя + 1

т-1 1 + /?2 0

+ ~-Зр Р Р

+ ^{з[-2 + 3/?2-р~6]р + з\г4 + 3р2 + Рв]р~5 + + 5[-4 + 3/Г2 + /Г6]р3 + [-2 + 3/?~2 -уб6]/0~3} (2 12)

+ -

ф о - 9р2 - р~6 ]р + [- 4 - б/?6 + 9р2]р-

2И

+ 5[4-5р~2 + р~6]р3+[-2 + Р'2 + р6]р~3} (-тфп39) +

4 4

р ,

Рх 4т(Р2+\у1 ^

т-1 1 + у02 Р2

Зиг + 1

Р4~1К \Р Р3)\ + {з[- 2 + З/?2 - /Г6]р+з[4 - 3р2 - р6У5 + +з[-4+з/г2 + /?-6]р3 +з[г-з^"2+р6]р~3) (-фиш 30) н + ±-(10-9р2-р-*]р + [4-9р2+бр6]р-5 + + [12-15/Г2 +3/?~6]р3 + [б-3/Г2 -3Р6\гъ) т£ип30-/?соб30

4 4

Радиус упругопластической зоны имеет вид р' = М^тв + М^тЗв,

(2 13)

где коэффициенты М„ М3 определены в работе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты и выводы диссертационной работы.

1 В двух приближениях исследовано влияние силы тяжести на пространство, ослабленное горизонтальной цилиндрической выточкой Определены компоненты напряжения в пластической и упругой областях в первом и втором приближениях В двух приближениях определен радиус упругопластической зоны

2 Исследовано напряженное состояние тяжелого пространства, ослабленного эллиптической выточкой, под действием силы тяжести В первом приближении определены компоненты напряжения в упругой и пластической области, найден радиус упругопластической зоны

3 Исследовано изменение напряженного состояния тяжелого пространства, ослабленного горизонтальной цилиндрической выточкой, вызванное свойствами анизотропии материала Определены компоненты напряжения в упругой и пластической области, найден радиус упругопластической зоны

4 Определено влияние сжимаемости на упругопластическое состояние тяжелого пространства с учетом массовых сил В первом приближении найдены компоненты напряжения в упругой и пластической области, определен радиус упругопластической зоны

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Матвеев С В Упруго пластическое состояние среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия —2007 - №2(52) — С 107114

Матвеев С В Упругопластическое состояние тяжелого пространства, ослабленного горизонтальной цилиндрической полостью с учетом сжимаемости // Вестник ЧГПУ им И Я Яковлева, серия Механика предельного состояния - 2007 -№2-С 96-106

Матвеев С В Упругопластическое состояние анизотропной среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести // Вестник ЧГПУ им И Я Яковлева - 2007 -№3(55)-С 12-18 Максимова Л А, Матвеев С В, Тихонов С В О сжатии анизотропного идеально пластического слоя при обобщенном условии пластичности Мизеса Современные проблемы математики, механики, информатики Материалы Международной научной конференции Тула - 2006 - С 151-153

Подписано к печати 12 09 2007г Формат 60x84/16 Бумага писчая Печать оперативная Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ № 3

Отпечатано на участке оперативной полиграфии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева» 428000 Чебоксары, ул К Маркса, 38

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Упругопластическое состояние изотропных сред.

§1.1 Упругопластическое состояние среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести.

§1.2 Определение упругопластического состояния тяжелого пространства (второе приближение).

§1.3 Напряженное состояние тяжелого пластического материала вблизи эллиптического отверстия.

Глава И. Упругопластическое состояние анизотропных и сыпучих сред.

§2.1 Упругопластическое состояние анизотропной среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести.

§2.2 Упругопластическое состояние тяжелого пространства, ослабленного горизонтальной цилиндрической полостью с учетом сжимаемости.

Основы теории предельного состояния грунтов и сыпучих сред были заложены Кулоном (1773), в работах посвященных исследованию теории подпорных стен. Некоторые упрощения в метод Кулона в целях облегчения его использования на практике, были внесены Прони (1755 - 1839). Им был разработан практический метод расчета необходимых размеров подпорных стен [91]. Затем Понселе (1840) развил метод определения давления грунта в рамках предложенной Кулоном теории. Шеффлер (1851) и Ренкин (1857) определили распределение напряжения в сыпучем материале. Ренкин предложил метод расчета надлежащих размеров подпорных стен [92], рассмотрев сыпучее тело ограниченное сверху горизонтальной плоскостью и давящее на вертикальную стенку. Согласно полученному решению напряжение ах линейно зависит от координаты х гх = ГХ, где у - объемный вес грунта.

Дальнейшее развитие теории грунтов и сыпучих сред связано с именами таких ученых как Кеттер (1903), Н.М. Герсеванов (1923) и др.

Современное развитие теории предельного состояния грунтов и сыпучих сред получило в трудах JI. Прандтля [89], Надаи [63], В.В. Соколовского [79], В.Г. Березанцева [3], С.А. Христиановича и Е.И. Шемякина [83] и других исследователей. Результатом явилось развитие теории предельного равновесия, ее приложений к широкому кругу задач и повышение эффективности расчетных методов, что позволило ей стать надежной основой инженерных методов расчета в статике сыпучей среды и грунтов.

Настоящая работа посвящена учету влияния силы тяжести на начальное упругопластическое состояние массива, ослабленного продольной цилиндрической полостью (случай плоской деформации). Предполагается, что начальное упругопластическое напряженно-деформированное состояние, обусловленное давлением внешней среды является осесимметричным. Это обстоятельство согласуется с высказыванием Надаи [63] ( с. 563): «В некоторых приложениях теории грунтового давления представляет интерес влияние сравнительно высоких нагрузок, или давлений, действующих на поверхности грунта, или исследование равновесия на больших глубинах, где местные массовые силы дают лишь небольшую поправку к основным напряжениям. Это побудило Рейсснера и Гартмана пренебречь силой тяжести для ограниченных глубоко залегающих зон грунта».

Рассматривая, упругопластическое состояние толстостенной трубы можно получить решение, которое позволяет учесть влияние силы тяжести на напряженно-деформированное состояние вблизи цилиндрической полости в зависимости от глубины заложения полости.

В настоящей работе для решения упругопластических задач с учетом силы тяжести используется метод малого параметра.

В основе метода лежит введение малых величин возмущающих решение, что позволяет линеаризировать уравнения теории пластичности и получить приближенное решение с требуемой точностью.

Метод малого параметра ведет свое начало от работ Пуанкаре посвященных решению задач небесной механики.

Ван Дайк использовал этот метод для решения задач гидро- и газодинамики [6].

Для твердых тел метод малого параметра впервые применил Саусвелл.

А.А. Ильюшин, А.Ю. Ишлинский исследовали течение вязкопласти-ческой полосы при малых возмущениях границы [36,40,41].

Применительно к упругопластическим задачам метод малого параметра впервые использовал А.П. Соколов [78], им было получено приближенное решение задачи о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана.

Широкое применение метод малого параметра получил в работах JI.B. Ершова [16-19] и Д.Д. Ивлева [28-35] для упругопластического тела. Д.Д. Ивлев и JI.B. Ершов рассмотрели ряд плоских и пространственных задач в случае развития пластической зоны от некоторой границы [34].

Позднее рассматривались задачи деформирования труб различного сечения под действием внутреннего давления [16, 17, 18, 19, 27]. Так же был рассмотрен ряд других задач по определению упругопластического состояния тел методом малого параметра [30,32,33 и др.].

В работах С.А. Вульман [8], В.В. Кузнецова [49,50], Ю.М. Марушкей [58,59] исследованы задачи упругопластического деформирования плоских и осесимметричных тел.

Задача о трехосном растяжении пространства, ослабленного сферической полостью в первом приближении была решена в работе Т.Д. Се-мыкиной [77].

А.Н. Спорыхин и его ученики рассмотрели ряд упругопластических задач о растяжении упрочняющегося упругопластического материала с круговым, эллиптическим и другим отверстиям, находящимся под действием внутреннего давления [43-48,79].

Отметим, что для метода малого параметра важным фактором является сходимость решения.

Найфе [63] писал: «В соответствии с методом возмущений решения задачи представляются обычно несколькими (обычно двумя) первыми членами возмущенного разложения».

В монографии Д.Д. Ивлева, JI.B. Ершова [34] сходимость метода проиллюстрирована на двух задачах: А.А. Галина [10] и Г.П. Черепанова

87]. В первом случае два первых приближения позволяют получить качественную картину решения, во втором случае для этого требуются провести четыре приближения.

В качестве малого параметра в теории пластичности могут приниматься различные величины. Так А.А. Ильюшин [37] в качестве малого параметра использовал величину обратную модулю объемного сжатия.

В работе Ивлева Д.Д., Ершова JI.B. [34] в качестве малого параметра берется величина характеризующая различия между осесиммметричным и пластическим состоянием.

А.Н. Гузь и его сотрудники [13] предложили использовать малый параметр для учета физической нелинейности упругого материала. У JI.A. Толоконникова и его сотрудников [82] малый параметр характеризовал свойства пластического материала, Б.А. Друянова [14,15] - неоднородность пластического материала.

В работах Клюшникова В.Д., а также Ибрагимова В.А., Нефедов В.А. [24-27] используется метод разложения по малому параметру нагру-жения.

Оригинальное развитие метода малого параметра было дано в работах Г.И. Быковцева и Ю.Д. Цветкова по определению локальной пластической зоны при концентрации напряжений. В работе [5] Г.И. Быковцев методом малого параметра решили задачу упругопластического кручения стержня при неполном охвате пластической области контура поперечного сечения. Ю.Д. Цветков рассмотрел общий подход к решению задачи кручения упругопластического стержня с околокруговым поперечным сечением в случае локального и полного охвата пластической области контура поперечного сечения стержня.

Отметим, что метод малого параметра применительно к задачам механики деформируемого твердого тела, также использовался в исследованиях Л.И. Афанасьевой [2], A.M. Васильевой [6,7], Д.В. Гоцева [10], В.Г.

Ефремова [20,21], Т.Л Захаровой [22], А.В. Ковалева [43-48], Т.А. Кулыш-ной [51,52], А.Н. Максимова [55], JI.A. Максимовой [56,57], Б.Г. Миронова [60], М.В. Михайловой [61,62 ], Е.Н. Никоновой [65], Э.В. Павловой [67], Т.Т. Пономаревой [69,70], С.Ю. Радаева [71,72], Т.Н. Рыбаковой [73,74], Т.А. Санаевой [75,76], Е.А. Целистовой [85,86] и др.

Актуальность темы. Новые результаты, позволяющие расширить представление о характере упругопластического поведения тел и конструкций, с учетом влияния таких факторов, как сила тяжести, являются важными и актуальными.

Научная новизна состоит в исследовании наложения влияния силы тяжести на осесимметричное и близкое к нему напряженно-деформированное состояние. Получены результаты по определению изменений напряженно-деформированного состояния, поведения упругопла-стической границы, вызванное влиянием силы тяжести.

Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования.

Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом докладывались: на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Ивлева Д.Д. - г. Чебоксары, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2005 - 2007 гг.; на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 10-летию механико-математического факультета Тульского государственного университета, 2006 г. на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2005-2007 гг.)

Публикации. Основные результаты работы изложены в 4 печатных работах.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав, включающих в себя 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы. Объем работы: 67 страниц, 4 рисунка, список литературы содержит 92 наименования.

Основные результаты и выводы диссертационной работы.

1. В двух приближениях исследовано влияние силы тяжести на пространство ослабленное горизонтальной цилиндрической выточкой. Определены компоненты напряжения в пластической и упругой областях в первом и втором приближениях. В двух приближениях определен радиус упругопластической зоны.

2. Исследовано напряженное состояние тяжелого пространства, ослабленного эллиптической выточкой, под действием силы тяжести. В первом приближении определены компоненты напряжения в упругой и пластической области, найден радиус упругопластической зоны.

3. Исследовано изменение напряженного состояния тяжелого пространства, ослабленного горизонтальной цилиндрической выточкой, вызванное свойствами анизотропии материала. Определены компоненты напряжения в упругой и пластической области, найден радиус упругопластической зоны.

4. Определено влияние сжимаемости на упругопластическое состояние тяжелого пространства с учетом массовых сил. В первом приближении найдены компоненты напряжения в упругой и пластической области, определен радиус упругопластической зоны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алимжанов МЛ., Естаев Е.К. Упругопластическое состояние плоскости, ослабленной круговым отверстием // МДТТ. - 1982. -С. 105115.

2. Афанасьева JI.K О двуосном растяжении упруго-пластической пластины с круговым отверстием из сжимаемого материала // Известия Инженерно-технологической академии ЧР. Сводный том. Чебоксары, 1999.-№3-4; 2000.-№ 1-4; 2001.-№ 1-4.-С. 100-104.

3. Березанцев В.Г. Осесимметричная задача теории предельного равновесия сыпучей среды. М. : государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952.- 121с.

4. Бицено КБ., Граммель Р. Техническая динамика, Л.: Гостехиздат, 1950.

5. Быковцев Г. И. О кручении призматических стержней из анизотропного идеально-пластического материала // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. -1961.- №3. С. 151-157.

6. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967, с. 310.

7. Васильева A.M. Определение напряженного состояния анизотропного пространства, ослабленного полостью. // Вестник 41 ПУ им. И. Я. Яковлева, серия механика предельного состояния. - Чебоксары. -2007. -№1.- С.26-32.

8. Васильева A.M. О предельном состоянии сыпучей среды ослабленной цилиндрической полостью // Известия Инженерно-технологической академии ЧР. Сводный том. Чебоксары, 1999. - № 3-4; 2000. - № 1-4; 2001. -№ 1-4. - С. 85-91.

9. Вульман С.А. Решение осесимметричных упругопластических задач для тел из сжимаемого материала. -Прикл. механика, 1971, т. 7, вып. 7.

10. Ю.Галин JI.A. Плоская упругопластическая задача. Прикл. матем и механика, 1946, т.Ю, вып. 3.

11. П.Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упруго-пластическом поведении материалов // Прикладная механика и техническая физика. 2001. - Т.42. - №3. - С. 146-151.

12. Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Неустойчивость многослойной крепи в вертикальной горной выработке // Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении: Труды II Всерос. на-уч.-техн. конф. Воронеж, 2001. Ч. 1. - С. 19-24.

13. ХЪ.Гузъ А. Н. Основы теории устойчивости горных выработок. Киев: Наукова думка, 1977. - 203 с.

14. Друянов Б.А. Метод решения статически неопределимых задач плоского течения идеально пластических тел // Доклад АН СССР. №4. -1962.-143

15. Друянов Б.А. Начальное течение неоднородной полосы при вдавливании шероховатого штампа // Инженерный журнал. Вып. 1. - 1962

16. Ершов JI.B. Упругопластическое состояние конической и искривленной труб. Вестник МГУ, 1958, №3.

17. Ершов JI.B., Ивлев Д.Д. Упругопластическое напряженное состояние полого толстостенного тора, находящегося под действием внутреннего давления. -Изв. АН СССР, ОТН, 1957, №7.

18. Ершов JI.B., Ивлев Д.Д. Упругопластическое состояние конической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Вестник МГУ, 1957, №2.

19. Ершов JI.B., Ивлев Д.Д. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. -Изв. АН СССР, ОТН, 1957, №9.

20. Ефремов В.Г. Идеальнопластическое состояние тел вблизи сферической полости // Известия ИТА ЧР. Чебоксары, 1996. - №2(3). - С. 8-14.

21. Ефремов В.Г. Напряженное состояние идеальнопластического пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью // Известия ИТА ЧР. Чебоксары, 1996. - №1(2). - С. 61-67.

22. И.Захарова T.JI. О влиянии «винтовой» анизотропии на напряженное состояние кольцевой пластины из идеальнопластического материала // Известия Инженерно-технологической академии ЧР. Чебоксары, 1996. -№ 1 (2).-С. 46-53.

23. Ибрагимов В.А., Нефагин В.А. О сходимости метода разложения по малому параметру нагружения в задаче об упругопластическом изгибе кольцевой пластины // Беларус. политехи, ин-т. Минск, 1987. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.06.87, №3880-В87.

24. Ибрагимов В.А., Нефагин В.А. Сходимость метода разложения по параметру нагружения в задачах упругопластического деформирования стержней // Теоретическая и прикладная механика. 1988. - №15. -С. 50-58.

25. Ибрагимов В.А., Нефедов В.А. Метод разложения по параметру на-гружения в упругопластических задачах для упрочняющихся тел // Теоретическая и прикладная механика. 1986. - №13. - С. 3-7.

26. Ивлев ДД. Выпучивание эксцентричной трубы. Изв. АН СССР, ОТН, 1956, №10.

27. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды // ПММ. 1958. - Т. 22. - Вып. 2. - С. 90-96.

28. Ивлев ДД. Приближенное решение задач теории малых упругопластических деформаций. Докл. АН СССР, 1957, т. 113, №3.31 .Ивлев ДД. Приближенное решение задач теории малых упругопластических деформаций. Докл. АН СССР, 1957, т.113, №3.

29. Ивлев ДД. Приближенное решение плоских упругопластических задач теории идеальной пластичности. Вестник МГУ, 1957, №5.

30. Ивлев ДД. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности. Докл. АН СССР, 1957, т. 113, №2.

31. Ивлев ДД., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластического тела, М.: Наука, 1978.

32. Ивлев Д.Д, Максимова JJ.A. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности // ДАН. 2000. - Т.313, №1. - С. 39-41.

33. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела. Уч. Записки МГУ, 1940, вып. 39

34. Ильюшин А.А. Нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с задачей об изгибе плит // Инженерный сборник. 1954. - Т. 19. - С.3-12.

35. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

36. Ишлинский А. Ю., Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости. -Украинский матем. Журнал, 1954, т.6, №2.

37. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М. : МГУ, 1979.-207 с.

38. Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Двуосное растяжение упругопластического пространства с включением, близким по форме к правильному многоугольнику// Вестник Воронеж, ун-та. Серия 2. Естественные науки. 1998.-№3.-С. 136-141.

39. Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Двуосное растяжение упругопластического пространства с включением, близким по форме к правильному многоугольнику// Вестник Воронеж, ун-та. Серия 2. Естественные науки. 1998.-№3-С. 136-141.

40. АЬ.Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. О двухосном растяжении пластины с отверстием // Информационные технологии и системы. Воронеж, 1998. -Вып.2-С. 61-65.

41. А6. Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. О двухосном растяжении пластины с отверстием // Информационные технологии и системы. Воронеж, 1998. -Вып.2. - С. 61-65.

42. А1.Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. О нахождении поля напряжений в эксцентричной трубе, подвереженной действию внутреннего давления. // Вестник факультета прикладной математики и механики / Воронеж, гос. ун-т.- 1998. -№1 С. 85-90.

43. Кузнецов В.В. Концентрация напряжений вблизи эллиптического отверстия упругопластического тела. Прикл. Механика, 1972, №5.

44. Ы.Кулъпина Т.А. О двуосном растяжении пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов. Деп. в ВИНИТИ РАН 11.04.06, №409-В2006.- 11с.5ЪЛурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М. : Гос-техиздат, 1955.

45. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

46. Максшов А.Н., Ефремов В.Г. Об определении предельного напряженного состояния в массиве, ослабленном эллипсоидальной полостью // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. -Чебоксары, 2001. -№2(21).-С. 128-134.

47. Марушкей Ю.М. Об упругопластическом состоянии среды с включением в виде эллиптического цилиндра. Прикладная механика, 1976, том 12, №2

48. Ы.Михайлова М.В., Кульпина Т.А., Ярдыкова Н.А. Эксцентричная труба под действием внутреннего давления касательного усилия т°р9 * 0 //

49. Павлова Э.В. Об образовании шейки в плоских образцах ослабленных пологими выточками, при неустановившейся ползучести / Деп. в ВИНИТИ 26.02.99. № 607-В99.

50. Павлова Э.В. Об образовании шейки при ползучести плоской полосы // Известия ИТА ЧР. Чебоксары, 1997. - №3(8). -№4(9). - С. 8186.

51. Пономарева Т.Т., Рыбакова Т.И. О течении вязкопластической трубы, ослабленной выточками // Известия НАНИ ЧР. Чебоксары, 2000. - №4. - С.50-53

52. Радаев С.Ю. О рассечении анизотропной идеальнопластической среды жестким телом // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Чебоксары, 2005.-№1,- С.64-68.

53. Рыбакова Т.И. Об устойчивости вязкопластического течения анизотропной полосы // Известия ИТА ЧР. Чебоксары. - 1996. -№1(2). -С. 41-45.

54. А.Рыбакова Т.И. Об устойчивости вязкопластического течения толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Известия ИТА ЧР. Чебоксары. - 1996. -№2(3). - С. 36-40.

55. Санаева Т.А. О возмущенном течении вязкопластической полосы с учетом сил инерции // Известия НАНИ ЧР, 2004. №3. - С. 30-36.

56. Санаева Т.А. Растяжение бруса переменного прямоугольного сечения из вязкопластического материала с учетом сил инерции // Известия ИТА ЧР. Чебоксары. - 2001. -№4(25). - С. 132-137.

57. Семыкина Т.Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью. Изв. А.Н. СССР, Механика и машиностр., 1963, №1.

58. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии пластинки. Докл. АН СССР, 1948, т. 10, №1.

59. Соколовсий В.В. Статика сыпучей среды. Изд. АН СССР, 1942. -272с.

60. Спорыхин А.Н., Чиканова КН., Ковалев А.Н. К определению поля напряжений в пластинах с отверстиями различных очертаний // Информационные технологии и системы. Воронеж, 1994. - Ч. 3. -С.11-15.

61. Тарасьев Г.С., Толоконников JJ.A. Конечные плоские деформации сжимаемого материала. Прикл. матем. механика. - 1962. - Т.2, №2. -С. 1-13.

62. Толоконников JI.А., Яковлев С.П., Кузин В.Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией // Прикл. механика. 1969. - Т.5, №8.-С. 71-76.

63. Ъ.Хаар, Карман. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах. Теория пластичности. Сборник переводов. М.: ИЛ, 1948.

64. Христианович С.А. , Шемякин Е.И. О динамической сжимаемости прочных горных пород и металлов в диапазоне до 100 кбар. // ПМТФ.1964. -№ 3. С. 9-15 (совм. с С.А. Христиановичем).

65. Целистова Е.А. О влиянии неоднородности на напряженное состояние слоя из идеальнопластичесого материала // Механика микронеоднородных материалов: Тез. докл. Всерос. науч. сем. Пермь: Пер-мГТУ, 1999.-С. 53.

66. Целистова Е.А. Пространственное течение идеальнопластического слоя в случае неоднородных свойств материала // Вестник ЧГПУ им. И .Я. Яковлева. Чебоксары, 1999. - №7.- С.45-47.

67. Черепанов ГЛ. Об одном методе решения упругопластической задачи. Прикл. Матем. и механика, 1963, т 27, вып. 3.

68. Ponsele Mem. officier genie, 1840. -V. XIII. pp. 261-270.

69. Prandtl L. angew. Math. u. Mech., 1921 т.1, С. 15. Перевод этой статьи на русский язык см. в сборнике статей «Теория пластичности». М.: ИЛ, 1948.-С. 70.

70. ShefflerН., Crelle'sJ. Baukunst, 1851.91 .Prony R., Instruction pratique pour determiner les dimensions des murs de revement, Paris. Germinal. - 1810.

71. Rankine On the stability of loose earth. Phil, trans., 1856-1857.

72. Матвеев С. В. Упругопластическое состояние среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. -2007. - №2(52). -С.107-114.

73. Матвеев С. В. Упругопластическое состояние тяжелого пространства, ослабленного горизонтальной цилиндрической полостью с учетом сжимаемости // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, серия: Механика предельного состояния 2007. - №2 - С. 96-106.

74. Матвеев С. В. Упругопластическое состояние анизотропной среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева 2007. -№3(55).-С. 12-18.