Упругопластическое деформирование анизотропных пластин, ослабленных отверстием

Кержаев, Александр Петрович

Упругопластическое деформирование анизотропных пластин, ослабленных отверстием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Кержаев, Александр Петрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Чебоксары МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Упругопластическое деформирование анизотропных пластин, ослабленных отверстием»

Автореферат диссертации на тему "Упругопластическое деформирование анизотропных пластин, ослабленных отверстием"

На правах рукописи

КЕРЖАЕВ Александр Петрович

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЕМ

01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ОКТ 2013

Чебоксары - 2013

005534450

Работа выполнена на кафедре математического анализа ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: Миронов Борис Гурьевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ректор ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Официальные оппоненты: Непершин Ростислав Иванович,

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры систем пластического деформирования ФГБОУ ВПО «Московский государственный технологический университет «Станкин»

Максимов Алексей Николаевич,

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой физики Чебоксарского политехнического института (филиала) ФГБОУ ВПО «Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Самарский государственный

технический университет»

Защита состоится: 24 октября 2013 г. в 12.00 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева

Электронная версия автореферата размещена на сайте ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации http://vak2.ed.gov.ru и на официальном сайте ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» www.chgpu.edu.ru.

Автореферат разослан «20» сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

С.В. Тихонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие современной техники требует наиболее полного исследования прочностных свойств анизотропных материалов, используемых в машиностроении и строительной механике. Среди математических моделей, описывающих упрочнение материала при пластическом формоизменении, следует выделить модели трансляционного упрочнения, предложенные А. Ю. Ишлинским и Прагером. Д. Д. Ивлев на основе подобных представлений предложил модель идеальнопластического тела с трансляционной анизотропией.

Упругопластические задачи определения напряженно-деформированного состояния тел с различными видами анизотропии рассматривались в работах М. А. Артемова, Л. И. Афанасьевой, Б. Д. Аннина, М. Т. Алимжанова, Г. И. Быковцева, А. М. Васильевой, С. А. Вульман, Д. В. Гоцева, А. Н. Гузя, Б. А. Друянова, Л. В. Ершова, Д. Д. Ивлева, А. Ю. Ишлинского, А. А. Ильюшина, В. В. Кузнецова, А. В. Ковалева, А. П. Леденева, А. И. Максимова, Л. А. Максимовой, А. А. Маркина, Ю. М. Марушкей, Н. М. Матченко, Н. В. Минаевой, Б. Г. Миронова, В. М. Мирсалимова, Т. Н. Павловой, Т. И. Рыбаковой, Т. Д. Семыкиной, А. Н. Спорыхина, С. В. Тихонова, Л. А. Толоконникова, С. О. Фоминых, А. П. Харченко, И. Ю. Цвелодуба, Г. П. Черепанова, А. И. Шашкина и др.

Метод малого параметра является одним из методов решения упругопластических задач. А. П. Соколов впервые решил методом малого параметра упругопластическую задачу о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска. Д. Д. Ивлев решил упругопластические задачи о двуосном растяжении толстой и тонкой пластин с эллиптическим отверстием. Г. П. Черепанов дал точное решение в напряжениях упругопластической задачи о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием.

В данной работе рассматриваются упругопластические задачи для тонких тел, ослабленных отверстием, и составных труб при наличии идеальнопластической трансляционной анизотропии.

Новые результаты, учитывающие влияние идеальнопластической трансляционной анизотропии на напряженно-деформированное состояние составных труб и тонких тел, ослабленных отверстием, являются важными и актуальными.

Целью работы является определение упругопластического состояния тонких пластин, ослабленных отверстием при растяжении, и составных труб, находящихся под действием внутреннего давления, материал которых обладает свойствами идеальнопластической трансляционной анизотропии, исследование влияния параметров анизотропии на поведение упругопластической границы.

Научная новизна состоит в решении упругопластических задач для составных труб и тонких тел с отверстиями при наличии идеальнопластической трансляционной анизотропии.

Достоверность результатов работы обусловлена использованием апробированных моделей механического поведения тел, фундаментальных принципов механики и математических методов исследования (метод малого

параметра), а также непротиворечивостью с результатами исследований других авторов.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты позволяют выявить влияние свойств анизотропии материала на упругопластическое напряженно-деформированное состояние составных труб и тонких пластин, ослабленных отверстием.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации и работа в целом докладывались на: международной научно-практической конференции «Бъдещето въпроси от света на науката- 2012» (г. София, 2012 г.); международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2012 г.); международной конференции «Оупагшка паико\уусЬ Ьа<1ап -2012» (г. Рггешуз1, 2012 г.); международной научно-практической конференции «Наука и образование в XXI веке» (г. Москва, 2013 г.); международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий» (г. Чебоксары, 2013 г.); семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора, Миронова Б. Г. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2010-2013 гг.); научно-практических конференциях докторантов, аспирантов и соискателей по итогам научно-исследовательской работы 2011-2013 гг. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2011-2013 гг.); семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора, Ивлева Д. Д. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2010-2012 гг.).

На защиту выносятся результаты:

■ определение упругопластического напряженно-деформированного состояния анизотропной тонкой кольцевой пластины при равномерном растяжении;

■ определение упругопластического напряженно-деформированного состояния анизотропной тонкой пластины при двуосном растяжении, ослабленной круговым отверстием;

■ определение упругопластического напряженно-деформированного состояния анизотропной тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием при равномерном растяжении в случае обобщения условия пластичности Мизеса;

■ определение упругопластического напряженно-деформированного состояния двухслойной толстостенной трубы под действием внутреннего давления при наличии трансляционной идеальнопластической анизотропии.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в двенадцати научных работах, из них 4 работы опубликованы в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, содержащих 8 параграфов, заключения и списка используемой литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы по соответствующей проблематике, обоснована актуальность диссертационного исследования и изложено краткое содержание работы.

Глава первая посвящена исследованию упругопластического состояния тонкой кольцевой пластины из анизотропного материала при равномерном растяжении.

В §1.1 определено напряженное состояние анизотропной идеальнопластической кольцевой пластины при равномерном растяжении. Определена граница раздела упругой и пластической областей.

Рассматривается тонкая кольцевая пластина из анизотропного материала, ограниченная двумя окружностями радиусов а и Ь (рис. 1). В плоскости х,у пластина растягивается равномерными усилиями р, внутренний контур свободен от усилий.

Условие пластичности в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии принято в виде

(сг,-2-(А: + Л,))-(сг^ - 2-(А; + ^»-(г^ - Л:3)2 =°> к,к„к2,к, - const, (1)

где ах,ау,тху - компоненты напряжения в декартовой системе координат.

Коэффициенты kv к2, к3 характеризуют анизотропию материала. При kt = к2 = к, = О

согласно (1) имеет место изотропный материал.

Используя связь между компонентами напряжения в декартовой системе координат х,у и компонентами напряжения в полярной системе координат р,в в виде

= + °V-%0S20 + r . sin 20, tr = _ _ r sin 20,

X Л 'ч pu ' У P°

22 22 (2) = _ ~ ae sjn ie + r _ cos w

xy 2 pu '

из (1) получено условие пластичности в полярных координатах + 2Tp0Psm2{e + L¡)-Tp0z + B = 0,

р = JÍ^AY + к\, ^^ = eos 2/íA = sin 2ц, А = 1 + где ^ 2 ) 3 2Р Р 2

В = 1 + kt + к2 + k¡k2 - к]. 5

Решение ищется в виде разложения по малому безразмерному параметру 8 : <7. = О-'"' + &т<" + Лх'И) +..., Л = 1 + ф; +<52р; + -. К =8к[,к1=8к'1,кг=8к,г.{А)

Далее всем компонентам напряжения в пластической зоне приписан индекс «р» наверху, а в упругой - индекс «е» наверху. Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесены к величине предела текучести 2к, все линейные размеры приняты безразмерными, отнесенными к радиусу упругопластической зоны в

- Ж*

нулевом приближении р'"' и обозначено: ^ =

В нулевом приближении компоненты напряжения определяются согласно известному решению Д. Д. Ивлева о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием.

В первом приближении условие пластичности имеет вид

к\ + к'г

4')" =-Р соз2(б> + Граничные условия на внутреннем контуре отверстия примут вид

Л')К _

= 0, т

.(')р _

рО

0 при р = а.

(5)

(б).

ГС)'

Граничные условия на внешнем контуре в упругой зоне записываются в виде

(7)

Согласно (5), (6) определены компоненты напряжения в пластической области в первом приближении в виде

= 0, г#*=0 при р = р.

= -Р' соъ2(в + ц) +

К + К Л>)р .

1 \Р'ът2(в + ц).

2 ур-

Определены компоненты напряжения в упругой области. Найден радиус упругопластической зоны в первом приближении

Р(р = м\_ы + д соз2(6>+ //)], где А/,N,(3 - постоянные, определенные в процессе решения задачи.

(8)

(9)

/ / 111

1 \ у''/' \ / / \ / / /

" ¿у

\ Чч^'/

Рис. 2 (а). При ц = 0

Рис. 2 (б). При ц = -4

В §1.2 исследовано деформированное состояние анизотропной идеальнопластической кольцевой пластины.

Материал считается несжимаемым, коэффициент Пуассона

В нулевом приближении перемещения в упругой области имеют вид

(0)с

и1' =-

г(рг-\)Е

В пластической области „(°)" 1

«'-^М'-'-йт.

(10)

—[р - 2а 1п р\ + , ' Г4цр1 + Ъарг + а - 4/?21, у'"'" =0. (11) 2Е 1 2(рг-\)Е1 J

Найдены компоненты перемещения в первом приближении в упругой и пластической областях

„(0. О -*)(*.'+*;)

2(рг-\)Е Р

р.

I г-

-2(1 + р)С,^ + 2(1 + р)С2(^] +4С/

- Р

-2(1 + р)С,| + 2(1 + р)С2(£| + 4С4^

у<'>'=£ Е

2(1 + ^1 + 2(1 + ^^ +(6 + 2/1)^^ +(-2 + 2р)С4^

А2 Р'соз2(0 + р) + /1, Р' со$2{0 + р), п Р

<А2Р'$т2{в + + ~ Е

2(1 + р)С,^+2(1 + р)С2^ + (б + 2р)С,^| +

+(-2 + 2р)С4^

4 Р'зт2(0 + р),

(12)

г/'1" = С, (в) + -^(р - За 1пр - а 1п2 р + 2С 1пр)(к[ + к'2) +

^-За1пр- — \Р'со52(в + р),

Я'этг^ + р)

£0

(-ЗОр1п р - 1 ООа 1п р + 12Са -

где С = -

• + — + Ер 1пр + Д-Оа31пр + Лса' + 40£С--^вЕСа2 I,

р 2р И И Ър1 9р 3 р2 1

Коэффициенты С,(0) и С2(0) определены из условий сопряжения на

упругопластической границе.

Глава вторая посвящена исследованию упругопластического состояния тонкой пластины с круговым отверстием из анизотропного материала при двуосном растяжении.

В §2.1 исследовано напряженное состояние анизотропной идеальнопластической пластины с круговым отверстием. Определена граница раздела упругой и пластической областей.

В плоскости х,у пластина растягивается на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями рх и р2, контур свободен от усилий (рис. 3).

Рис. 3

Условие пластичности имеет вид (1). Решение ищется в виде разложения по малому безразмерному параметру 8 (5).

В нулевом приближении компоненты напряжения определены исходя из известного решения Д. Д. Ивлева о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием.

Для первого приближения имеет место условие пластичности

(13)

Граничные условия на контуре отверстия примут вид

'* = 0, = 0 при р = а. (14)

Граничные условия на бесконечности в упругой зоне записываются в виде

где 8 =

Р\~Рг

д-8соб29, <у"д\ =q + 8cos2в,т

I р=00

Р\ + Рг

рО\

г Iр=ю

■ 8 б т2в,

(15)

2 к 2 к

В этом случае в первом приближении справедливы формулы (13) для компонент напряжений в пластической области.

Найдены компоненты напряжения в упругой области, а также радиус упругопластической зоны в первом приближении

(1 _ + (1 _ За + га2 У со5 2(0 + м) -

- 2(а2 -1)/" соэ 2(в + ц) + 4 соэ 2(9+ Р' соб 2(в + ц) -

На рис. 4 изображена упругопластическая граница в нулевом приближении р°, в первом приближении р^' при 8 = 0,17; к = 1.7; ^ = 0,7;а = 3.

Рис. 4 (а). При ц = 0

Рис. 4 (б). При ц = — 4

В §2.2 исследовано деформированное состояние анизотропной идеальнопластической пластины с круговым отверстием.

Материал считается несжимаемым, коэффициент Пуассона р. = ^.

В нулевом приближении перемещения в упругой области имеют вид

(0)е

и ' =

_1_ 4 Е

(2-а)р

За

В пластической области

(17)

В упругой области в первом приближении компоненты перемещения определены в виде

-¿О+^О-аХА.ч*;)1^

2 Е р Е

\ + р 2

I Зр3 р.

2(1 +А)+2

V = —

Зр3 Е

А,Р' соз2(в + р)-

А2Р' соз2(0 + /у) + сое 20,

1 + А , 1-Л

Зр3

^/"81112(0+ //) + -£

</>'8т2(0 + р) + — £

(1 + р)|р + -г1 +

2(1+ 1-р

Зр3 Р

2С ">'«„2А

(18)

А, х

В пластической зоне имеют вид

и(,)' = С, (0) + -а\пр-Х-а\п2 р\к[ + к[) +

+—[ — -За1п о- — Е{ 2 р

V«"

Р' соъ2(в + ц),

(19)

-.Сг{в)р-Р'*т2^+ И\-30р\пр-\№а\пр + ЕС

р 2р И И Ърг и 9р ) Глава третья посвящена исследованию упругопластического состояния тонкой пластины с круговым отверстием из анизотропного материала при равномерном растяжении.

В §3.1 определено напряженное состояние анизотропной идеальнопластической пластины с круговым отверстием. Определена граница раздела упругой и пластической областей.

Условие пластичности принято в виде

К -о,- (к, - кг))! + (<т„ - ст, - (к2 - к, ))2 + [а, -ар- {к, - к, ))2 + +6 - [(зг^ - )2 + (грг - )2 + - )2 ] = 6Л2, к,-соти

где (тр,<т0,<уг — компоненты напряжения в цилиндрической системе координат. Предполагается, что

°г = Трг = Твт = (21)

Согласно (21) из (20) следует

(ар - ав )2 - 2 (к, - к2) ■ {а р - а0 ) + а\ - 2ст0 (к2-к,) + (22)

+<т1 + Ътр(к3-к,) + 6т%-Ш4г> = 6Р, где бР = 6 к2 - (к, -к2)2- (к2 -к,)2- (кз - к,)2 - б(*42 + к1 + к1).

В нулевом приближении компоненты напряжения определены исходя из решения В. В. Соколовского об упругопластическом равновесии кольцевого диска. Условие пластичности в первом приближении имеет вид

а«' (^2СО5(® + ^ - со.(в - + а<"^2соз^+ ^ + ч-Лсов а> + — \ + В\ со-— =0,

I б) { б)

где А = -2к[ + к'2 + к'}, В = к\ - 2к'г + к'ъ.

Предполагается, что т^* = 0. Граничные условия имеют вид

ст{р)р =0 при р = а. (24)

Напряжения в пластической области определяются в виде

(1)Р_г( \ (,)р -Асозсо^Всоьй), биш^Ю)

Ф - ^ \ ^ I > О" ^ — г— Т ;

л/3 вт а), эш ¿у2

Ч А + В где О (а>) =--+

2л/3 л/3

/г

вШй), СО, = ®--,

«У, = (О + -

В упругой области компоненты напряжения имеют вид

Л')>

А + В

2>/з Иг; 7з

л + в

г4ъ \.*г) Vз

вшу 1

(26)

г(/)' = 0

„2

В §3.2 исследовано деформированное состояние анизотропной идеальнопластической пластины с круговым отверстием.

Материал считается несжимаемым, коэффициент Пуассона ц = ^ .

В нулевом приближении перемещения в упругой области имеют вид

2 Е

д + 3 ксгъту

,у«°»*=0.

В пластической области

(27)

(28)

^2 Е ' ') 51П£У

В упругой области в первом приближении компоненты перемещения получены в виде

(/)« 3 гг ' = —

А + В

2^3 Г 2) -Уз

V1''' = 0.

В пластической зоне

„С)" .

■Да,

С)р .

(29)

(30)

где

у ае К

2-ч/ЗА: Э!!!

(1(0,

л/Зэт«, этси.

F2 (Ш) = 4a« - 2ст<'> + 2S = 25- 2G(a>) + 4"ЛС°7'

Л cos (u, - 5 cos со, sin a^G (<»)

i sin íu2 sin 0)2

Глава четвертая посвящена исследованию упругопластического состояния двухслойной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления.

В §4.1 исследовано напряженное состояние анизотропной двухслойной толстостенной трубы. Определена граница раздела упругой и пластической областей.

Условие пластичности для п -го слоя принято в виде

V^l) = e *,„, k2„,kin,Kn-const, n = 1,2, (31)

где сг^сг^г^- компоненты напряжения в п -ом слое в декартовой системе координат х,у; ки, к2п, кЪп - константы анизотропии.

Рис. 5

Согласно (2), (31) условие пластичности в полярных координатах примет вид

' Р* "On | +r2 |

где R

2 ) " ^ 2

-^роЛsin(20 + ft.) + К ~ К1 = О, к

cos (20 + //„)-

(32)

■ = COS U„, = Sin LI.

2 ) 2Я„

В нулевом приближении компоненты напряжения определены исходя из известного решения Д. Д. Ивлева об упругопластическом состоянии толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления.

В первом приближении условие пластичности имеет вид

^<4:) = 2Я<"со5(20 + /О.

Внутренняя граница трубы свободна от усилий

Л')р = о т(')р = о

и> í рО 1 "

при р = а,

Условия сопряжения компонент напряжений на границе трубы

api ~ар\ > 'peí

TV)p - J')p

nñi 1 г.

при Р = «2-

Условия сопряжения на упругопластической границе

(33)

(34)

т(')<

'pi I , -"pi I ,' "в2 \ -"ег \ ■ \р=\ н \р=\ ip=i

(36)

Согласно (33), (34), (35), (36) определены компоненты напряжений в первом приближении и найдена упругопластическая граница.

В §4.2 исследовано деформированное состояние анизотропной двухслойной толстостенной трубы.

Материал считается несжимаемым, коэффициент Пуассона р = .

В нулевом приближении перемещения в упругой области имеют вид 01« 1

! 2{рг-\)Е В пластической области

p-2Kt \п — -2К2 In— р + З р-2К1 Ы--2Кг In— —

«1 «2 J {. «2 J P

v!°)'=0.

(37)

(38)

u°n = -=-, C„- const, C„ = C„+l. P

В упругой области в первом приближении компоненты перемещения принимают вид

-2(1 + р)С,|+2(1 + р)С2 3 - 4рС,+ 4С4 А

2 Е

-2(1 + p)Ct| + 2(1 + р)С2 (j] 3 - 4рС, (jj3 +4QI

v;' = — 2 Е

2(i+p)c,|+2(i+p)c2(jj +(6+2p)c3[jj +(-2+2 р)с4^

(a" cos 20 + Ь"г sin 29) + (-a"sin20 + 62"cos20), х (39)

< (а^ sin 2в - b"2 cos 20) + —

2(l + p)C,-|+2(l + p)C2^J + (6 + 2p)C3^J +

+ (-2 + 2 р)С4^ Р.

(а" cos 29 + ¿"sin 20),

где Р = аъ.

В пластической области

и(')р = _2 , cos (VJ In p) + C,2 sin (V3 In p)] sin 20 -[c21 cos(n/3 In p) + +C22 sin(V3 In p)]cos26>j —sin(V3 In p) + Tn sin(V3 lnp) + Qn ] cos (20 + p„), ' = [C,, (cos (V3 lnp)-V3 sin (л/3 In p)) + C]2 (sin (VJ In p)) + V3 cos (n/з In p)]sin 20 -

+|^C21 (eos (г/з ln р) - 7з sin (7з ln p)j + C22 (sin (V3 ln р))7з eos (V3 ln p)Jeos 20 -

—!r[^-(5„+7;)sin(V31np) + (2r„+V35'„)sin(N/31np) + e„]sin(26' + p„). (40)

В заключении отражены основные результаты и выводы, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

■ определено упругопластическое напряженно-деформированное состояние в тонкой кольцевой пластине при равномерном растяжении при обобщении условия пластичности Треска;

■ определено упругопластическое напряженно-деформированное состояние в тонкой пластине, ослабленной круговым отверстием при двуосном растяжении, в случае обобщения условия пластичности Треска;

■ определено упругопластическое напряженно-деформированное состояние в тонкой пластине, ослабленной круговым отверстием, при обобщении условия пластичности Мизеса;

■ определено упругопластическое напряженно-деформированное состояние двухслойной толстостенной трубы под действием внутреннего давления при наличии трансляционной идеальнопластической анизотропии;

■ проведен анализ влияния параметров анизотропии на поведение упругопластической границы.

Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:

статьи в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ:

1. Кержаев, А. П. Упругопластическое состояние тонкой пластины с круговым отверстием в случае трансляционной анизотропии / А. П. Кержаев // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. - 2011. - № 2 (10). -С. 124-130.

2. Кержаев, А. П. Об определении перемещений в тонкой пластине из упруго-идеальнопластического материала при трансляционной анизотропии, ослабленной круговым отверстием при двуосном растяжении / А. П. Кержаев // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. - 2012. - № 1 (11). -С. 81-84.

3. Кержаев, А. П. Упругопластическое состояние тонкой кольцевой пластины при наличии трансляционной анизотропии при равномерном растяжении / А. П. Кержаев // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. - 2012. -№2(12). -С. 174-179.

4. Кержаев, А. П. Об определении перемещений в анизотропной кольцевой пластине при равномерном растяжении / А. П. Кержаев // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - 2012. -№4(76). -С. 86-89.

публикации в других научных изданиях:

5. Кержаев, А. П. Об определении перемещений в тонкой пластине с круговым отверстием при двуосном растяжении при наличии трансляционной анизотропии / А. П. Кержаев // Materialy VIII Mi^dzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji «Dynamika naukowych badan - 2012». - Techniczne nauki. : Przemysl. Nauka I studia, 2012. - Vol. 24. - P. 21-24.

6. Кержаев, А. П. Упругопластическое состояние тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием, при двуосном растяжении в случае трансляционной анизотропии / А. П. Кержаев // XXXVI Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е. В. Золотова. - Владивосток : ИАПУ ДВО РАН, 2012. - С. 131-136.

7. Кержаев, А. П. Равномерное растяжение тонкой кольцевой пластины при трансляционной анизотропии / А. П. Кержаев // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф. : в 2 ч. Ч. 2. -Воронеж : ИПЦ Воронежского государственного университета, 2012. - С. 132-138.

8. Кержаев, А. П. Деформированное состояние анизотропной кольцевой пластины при равномерном растяжении / А. П. Кержаев // Материали за VIII международна научна практична конференция « БЪДЕЩЕТО ВЪПРОСИ ОТ СВЕТА НА НАУКАТА - 2012», София, 2012. - С. 8-11.

9. Кержаев, А. П. Деформированное состояние анизотропного кольцевого диска, находящегося под действием равномерных растягивающих усилий / А. П. Кержаев // Наука и образование в XXI веке : сб. науч. тр. по материалам междунар. науч.-пракг. конф. : в 6 ч. Ч. III. - М. : АР-Консалт, 2013. - С. 139-140.

10. Кержаев, А. П. Деформированное состояние анизотропной тонкой пластины при двуосном растяжении / А. П. Кержаев // Международное научное издание «Современные фундаментальные и прикладные исследования» / International scientific periodical «Modern fundamental and applied researches». - Кисловодск, 2013. -№ 1 (8).-Т. l.-C. 84-87.

11. Кержаев, А. П. Упругопластическое состояние тонкой пластины с круговым отверстием при обобщении условия пластичности Мизеса на случай трансляционной анизотропии / А. П. Кержаев, Б. Г. Миронов // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий : сб. ст. по материалам междунар. науч.-практ. конф. : в 2 ч. Ч. 1. Механика деформируемого твердого тела. -Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2013. - С. 94-99.

12. Кержаев, А. П. Об определении перемещений в тонкой пластине с круговым отверстием при обобщении условия пластичности Мизеса на случай трансляционной анизотропии / А. П. Кержаев, Б. Г. Миронов // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий : сб. ст. по материалам междунар. науч.-практ. конф. : в 2 ч. Ч. 1. Механика деформируемого твердого тела. -Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2013. - С. 100-104.

Автореферат разрешен к печати диссертационным советом Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» 12.08.2013 г.

Подписано в печать 17.09.2013 г. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1413

Отпечатано в отделе полиграфии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, д. 38

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Кержаев, Александр Петрович, Чебоксары

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет

им. И.Я. Яковлева»

04201362264 КЕРЖАЕВ Александр Петрович

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЕМ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор МИРОНОВ Б. Г.

На правах рукописи

Чебоксары - 2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ РАВНОМЕРНОМ РАСТЯЖЕНИИ 10

1.1. Определение напряженного состояния анизотропной идеальнопластической кольцевой пластины при равномерном растяжении.............................................................................................................10

1.2. Определение деформированного состояния анизотропной идеальнопластической кольцевой пластины при равномерном

растяжении.............................................................................................................17

ГЛАВА 2. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ ДВУОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ 24

2.1. Определение напряженного состояния анизотропной идеальнопластической пластины с круговым отверстием при двуосном растяжении.............................................................................................................24

2.2. Определение деформированного состояния анизотропной идеальнопластической пластины с круговым отверстием при двуосном

растяжении.............................................................................................................31

ГЛАВА 3. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ В СЛУЧАЕ ТРАНСЛЯЦИОННОЙ АНИЗОТРОПИИ 37

3.1. Определение напряженного состояния тонкой пластины с круговым отверстием при равномерном растяжении в случае трансляционной анизотропии..............................................................................37

3.2. Определение деформированного состояния тонкой пластины с круговым отверстием при равномерном растяжении в случае трансляционной анизотропии..............................................................................43

ГЛАВА 4. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ В СЛУЧАЕ ТРАНСЛЯЦИОННОЙ АНИЗОТРОПИИ 49

4.1. Определение напряженного состояния двухслойной толстостенной трубы в случае трансляционной анизотропии.........................49

4.2. Определение деформированного состояния двухслойной

толстостенной трубы в случае трансляционной анизотропии.........................60

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 68

ЛИТЕРАТУРА 69

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена определению упругопластического состояния тонких пластин, ослабленных отверстием при растяжении, и составных труб, находящихся под действием внутреннего давления, материал которых обладает свойствами идеальнопластической трансляционной анизотропии.

Упругопластическим задачам в теории идеальной пластичности посвящены многочисленные исследования. С. Л. Соболев одним из первых решил задачу о распространении пластической зоны в плоскости с круговым отверстием под действием сжимающих и сдвигающих усилий.

В. В. Соколовский рассмотрел ряд осесимметричных упруго пластических задач для тел с круговым отверстием при различных условиях пластичности [97].

А. Надаи принадлежат выдающиеся результаты в области решения упругопластических задач. Он исследовал распространение пластической зоны при кручении в стержнях. Л А. Галин получил аналитические результаты для случая кручения упругопластических стрежней. Полученные результаты полностью подтвердили результаты А. Надаи.

Л. А. Галину принадлежит фундаментальный результат в области определения упругопластического состояния плоскости с круговым отверстием, растягиваемой в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Он показал, что граница упругопластической зоны - эллипс.

Случай более сложных граничных усилий на бесконечности рассматривали Л. А. Галин [16-17], Г. Н. Савин [91-94] , О. Н. Парасюк [86]. Д. Д. Ивлев занимался определением перемещений плоской задачи Галина [34].

А. П. Соколов впервые решил методом малого параметра задачу определения упругопластического напряженного состояния тонкой пластины с

круговым отверстием, растягиваемой в двух взаимно перпендикулярных направлениях, при условии пластичности Треска [95]. Он определил приближенное решение задачи для напряжений в первом приближении. Г. П. Черепанов [117] дал точное аналитическое решение задачи, рассмотренной А. П. Соколовым. Сложность задачи Г. П. Черепанова состоит в том, что в отличие от задачи Л. А. Галина функция напряжений в пластической области не является аналитической.

Аналитическим решениям плоской упругопластической задачи посвящены монографии Б. Д. Аннина и Г. П. Черепанова [2], В. М. Мирсалимова [79]. Точные решения упругопластических задач основаны на знании аналитических выражений в пластической зоне. В случае, когда точное решение в пластической зоне не известно, приближенное аналитическое решение может быть получено методом малого параметра.

Вопросам прочности, устойчивости, предельного состояния толстостенных и слоистых труб посвящена обширная литература. Ламе впервые решил задачу об упругой толстостенной трубе, находящейся под действием внутреннего давления. Вопросами прочности толстостенных и составных труб занимались Н. М. Беляев, А. К. Синицкий, И. А. Биргер, П. М. Огибалов, Д. А. Ивлев, А. А. Ильюшин, А. Н. Гузь, Л. В. Ершов, А. В. Ковалев, В. В. Соколовский, А. Н. Спорыхин, Н. Д. Тарабасов, А.И. Шашкин и др.

Метод малого параметра является эффективным методом решения сложных нелинейных задач механики твердого тела. Возникнув в небесной механике, этот метод берет свое начало от работ А. Пуанкаре.

Применительно к механике твердого тела метод малого параметра использовался в работах Саусвелла, А. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлинского, П. А. Толоконникова и др.

Применительно к решению упругопластических задач метод малого параметра нашел развитие в работах Л. В. Ершова и Д. Д. Ивлева [34]. Д. Д. Ивлев [34] показал, что для описания точного решения задачи

Л. А. Галина достаточно двух приближений, для задачи Г. П. Черепанова достаточно четырех приближений. Точное аналитическое решение для перемещений в задаче Л. А. Галина получил Н. Н. Остросаблин [84].

Фундаментальные результаты в области исследования пластической анизотропии были получены в работах Мизеса и Хилла. В дальнейшем вопросами пластической анизотропии занимались Г. А. Гениев, Б. А. Друянов, Д. Д. Ивлев, Н. М. Матченко, А. А. Маркин, Р. И. Непершин, Л. А. Толокон-ников, А. А. Трещев, Е. И. Шемякин и др.

Теорией трансляционного упрочнения материала занимались А. Ю. Ишлинский [44], Прагер [88], Д. Д. Ивлев [35] и др.

Актуальность темы. Развитие современной техники требует наиболее полного исследования прочностных свойств анизотропных материалов, используемых в машиностроении и строительной механике. Среди математических моделей, описывающих упрочнение материала при пластическом формоизменении, следует выделить трансляционный механизм упрочнения, представленный в исследованиях А. Ю. Ишлинского и В. Прагера. Д. Д. Ивлев развил данные представления и предложил модель идеальнопла-стического тела с трансляционной анизотропией.

A. П. Леденева, А. И. Максимова, Л. А. Максимовой, А. А. Маркина, Ю. М. Марушкей, Н. М. Матченко, И. В. Минаевой, Б. Г. Миронова,

B. М. Мирсалимова, Т. Н. Павловой, Т. И. Рыбаковой, Т. Д. Семыкиной, А. Н. Спорыхина, С. В. Тихонова, Л. А. Толоконникова, С. О. Фоминых, А. П. Харченко, И. Ю. Цвелодуба, Г. П. Черепанова, А. И. Шашкина и др.

В данной работе рассматриваются упругопластические задачи для тонких тел, ослабленных отверстием, и составных труб при наличии идеально-пластической трансляционной анизотропии.

Достоверность полученных результатов обусловлена использованием апробированных моделей механического поведения тел, фундаментальных принципов механики, применением классических методов исследования (метод малого параметра), а также непротиворечивостью с результатами исследований других авторов.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты позволяют выявить влияние свойств анизотропии материала на упругопластиче-ское напряженно-деформированное состояние составных труб и тонких пластин, ослабленных отверстием.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации и работа в целом докладывались:

■ на семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора, Ивлева Д. Д. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2010-2012 гг.);

■ на семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора, Миронова Б. Г. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2010-2013 гг.);

■ на научно-практических конференциях докторантов, аспирантов и соискателей по итогам научно-исследовательской работы 2011-2013 гг. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2011-2013 гг.);

■ на международной научно-практической конференции «Бъдещето въпроси от света на науката - 2012» (г. София, 2012 г.);

■ на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2012 г.);

■ на международной конференции «Бупагшка паико\уус11 Ьаёап -2012» (г. Рггешу81, 2012 г.);

■ на научной конференции «XXXVI Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е. В. Золотова» (г. Владивосток, 2012 г.);

■ на международной научно-практической конференции «Наука и образование в XXI веке» (г. Москва, 2013 г.);

■ на международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий» (г. Чебоксары, 2013 г.).

На защиту выносятся результаты:

■ определение упругопластического напряженно-деформированного состояния анизотропной тонкой кольцевой пластины при равномерном растяжении в случае обобщения условия пластичности Треска;

■ определение упругопластического напряженно-деформированного состояния анизотропной тонкой пластины при двуосном растяжении, ослабленной круговым отверстием в случае обобщения условия пластичности Треска;

в определение упругопластического напряженно-деформированного состояния анизотропной тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием при равномерном растяжении в случае обобщения условия пластичности Мизеса;

ГЛАВА 1. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ РАВНОМЕРНОМ РАСТЯЖЕНИИ

В первой главе исследуется упругопластическое состояние кольцевой пластины, находящейся под действием равномерных растягивающих усилий. Материал предполагается упруго-идеальнопластическим, в пластической области имеет место трансляционная анизотропия. Определено напряженно-деформированное состояние кольцевой пластины, найдена граница упруго-пластической зоны.

1.1. Определение напряженного состояния анизотропной идеальнопластической кольцевой пластины при равномерном растяжении

Рассмотрим тонкую кольцевую пластину из упруго-идеальнопластического анизотропного материала, ограниченную двумя окружностями радиусов а и Ъ. На рис. 1 в плоскости х,у пластина растягивается равномерными усилиями р, внутренний контур свободен от усилий.

Рис. 1

Условие пластичности примем в виде

(1.1.1)

(ах-2-(к + кх))\сту-2-(к + к2))-{тху-къ)2=0, к у ^, к2 ? к^ соу1б1^

где <7х,а ,т - компоненты напряжения в декартовой системе координат, к- предел текучести. Коэффициенты кх, кг, к3 характеризуют анизотропию материала. При =£2 =&3 =0 согласно (1.1.1) имеет место изотропный материал.

Используя связь между компонентами напряжения в декартовой системе координат х,у и компонентами напряжения в полярной системе координат р, 9 в виде

СГ + <7а <7 п — <7 л

о* = -- + _£-L cos 29 + тпв sin 29,

X /-) ри 7

СХ + <7д О" — (Та

с = -в---р--в- cos 26 - тпв sin 29,

У 2 2 р

(1.1.2)

с — <Ув

тп = —--sin 29 + тпй cos 29.

ху 2 ро

из (1.1.1) получим условие пластичности в полярных координатах с^о-У - А(*У + оф) + - )cos2(9 + м) + +2rp0Psm2(9 + ju)~ тJ +В = О,

(1.1.3)

где

Р = .

к^ kj

+ к\, =cos2/i, ^ = sin 2//,

2Р

к р

к, +к.

А = 1 + 1 2, В = \ + кх+к2 + кхк2-к;. Уравнения равновесия в полярной системе координат имеют вид

1 сг„ - ет,

+ ■

dp р д9 дт„а 1 дста 2 г

= 0,

(1.1.4)

> Ре

в +—^- = 0.

ар р 39 р

Решение будем искать в виде разложения по малому безразмерному параметру 8:

О^ + ЛГ+Л^Н-...,

?2 „ff

— Ö k^i к2 ~ ö к2 9 — Är^.

Индекс «О» наверху приписан компонентам в нулевом исходном состоянии при ö - 0.

Далее всем компонентам напряжения в пластической зоне припишем индекс «р» наверху, а в упругой - индекс «е» наверху. Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесем к величине предела текучести 2к, все линейные размеры примем безразмерными, отнесенными к радиусу упруго-

пластической зоны в нулевом приближении pf^ и обозначим:

Р__ а Ь _

2к 9'

В нулевом исходном осесимметричном состоянии положим

г<2= 0. (1.1.6) Согласно (1.1.3), (1.1.5), (1.1.6) имеет место

K)P-l)K"-l) = 0. (1.1.7) В дальнейшем положим

<1. (1.1.8)

ст{0)р=1 и0 А>

«У

В нулевом приближении уравнения равновесия примут вид

—+ ^-= 0. (1.1.9)

йр р

Удовлетворяя граничному условию = 0 при р = а, из (1.1.8), (1.1.9) в пластической области получим

<т£0)'=1--, ^)р=\, Т%р= 0. (1.1.10)

В упругой зоне решение будем искать в виде

= = Л + # = 0. (1.1.11)

Р Р

На границе упругопластического состояния материала имеют место условия сопряжения

г(°)Р

р=1

(0)б = <у \'

Мр

р=1

= <7»

р=1

р~ 1

(1.1.12)

Удовлетворяя граничному условию = ц при р = /3 и условиям сопряжения (1.1.12) определим постоянные А к В. Напряжения в упругой области имеют вид

М* -

* 2

1 а 1---q

Р2

(1.1.13)

г(0)е=0 ' Рв

Радиус упругопластической зоны в нулевом приближении определяется из соотношения

г ~ \

1-Z-q

2 J 2

В первом приближении условие пластичности имеет вид

С7(в1)р = -Р cos 2 (в + р) + .

Уравнения равновесия (1.1.4) удовлетворим, полагая

(1.1.14)

(1.1.15)

1 дФ

С)

о!*— +

Р др

и в

1 д2Ф{1) р2 дв2 '

L рО ~

др

д2Ф{1) др2 '

' 1 ар*'* р дв

(1.1.16)

Из (1.1.15), (1.1.16) найдем уравнение для определения функции напряжения Ф^

дгФ{1)

др2

= -Р' cos2(0 + р) + к[ + к'2.

(1.1.17)

Согласно (1.1.17) функция Ф(/) имеет вид

-Р' + +

£-+с,(е)Р+с2(е).

(1.1.18)

Из (1.1.16), (1.1.18) получим напряжения

С)р »' ^п \ К+К с"(в) с"(е)

= Р соб2(0 + /Л + --- + + + \ »

2 р р р

(1.1.19)

т(0г=-Р>5 ш2(в + /и) +

Сг(в)

Граничные условия в первом приближении согласно [34] запишем в

виде

= 0 при р = а, г$р=0при р = а. (1.1.20)

Определяя коэффициенты С, (0) и С2 (б>) из граничных условий (1.1.20), получим

С, (в) = сс(р'со*2(в + *1±*2.\ V 2 )

а1

С2(в) = -^-Р'со52{6 +ц). Тогда из (1.1.20) найдем решение в пластической зоне

&г)Р =

г аМ: + К (х За | 2а2Л

1- —

V Ру

■ +

Р'со$2{6 + ¡и),

(1.1.21)

Л')Р _

-1

Р' $т2(в + ц).

Граничные условия на внешнем контуре в упругой зоне записываются

в виде

СГ{')е = 0 При р = Р,

(1.1.22)

при р = р.

На упруго пластической границе согласно (1.1.21) имеет место о-(')р = а" + a" cos 2в + ал sin 29,

(1.1.23)

э _ о/э _L па

Рв

TnJP - ¿>7C0S + b7sin 2в,

где

а4

а'' = (1 - a¡ = (l - За + 2а2 )Ü-J

2 2 v-v (1Л'24)

; = -(1 - 3« + 2а2)к'ъ, ЬУ= (а2 -l)k¡, b™= (а2 -1)^-^-.

Тогда напряжения в упругой области равны

Л')

2(p2-l) 2(j32-l) р2 2nL У >

+ 2(3-2^2-yff4)p^+4(l-2^-2+^4)p-2](l-3« + 2a2)x

хР' cos2(9 + ¿u)—l—^-4 + 4j32)+(4j34-4/32)p-A+(4-4j34)p-2]x

x(a2-l)p'cos2(0 + //),

(/> (1 -á)(K + K) _ (\-a)(K + K)£_ + 9 "" 2(^2-l) " 2(^2-l) p2 +

+ 2[? -/Г4 )+2(-3 + 2/32 + p4)p~4 + 4(-3 + 2/Г2 + /Г*)/?2]x(1.1.25)

x(l - 3a + 2cc2) P'cos2(0+ 4 p2) +(4/32-4 J34)p~4 +

+ (l2-16/T2+4/T4)p2](a2-l)P'cos2(0 + ,u),

+2 (-3 + 2J3'2 + p-4) p2 + 2 (l - 2уГ2 + p4) p-4 ] (l - 3a + 2a2) x

xP' sin 2 (в + ju) - ± [(4 - 4/?2) - (-4/?2 + 4P4) p^ + +(6-Sp-1 + 2p-4)p2+(2-2p4)p-2'](a2-Í)P'sm2(e + fii),

N = 6-4 (р-2 + р2) +0-* + Из (1.1.10), (1.1.13) найдем

г/р

= 0,

р=1

йр

Р=1

= "2|1

тогда для определения упругопласти�