Предельное и упругопластическое состояние тел при отрыве тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи //

Роштова Алена Николаевна

ПРЕДЕЛЬНОЕ И УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕЛ ПРИ ОТРЫВЕ

01 02 04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары 2007

003065710

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева»

Научный руководитель

Ведущая организация Воронежский государственный университет

Защита состоится 19 октября 2007 г в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета ДМ 212 300 02 в Чувашском государственном педагогическом университете по адресу 428000, г Чебоксары, ул К Маркса, 38

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Ивлев Дюис Данилович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук Максимова Людмила Анатольевна, кандидат физико-математических наук, доцент Романов Александр Викторович

Автореферат разослан «14» сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

СЮ Радаев

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Теория разрушения твердых тел принадлежит к числу фундаментальных разделов механики твердого деформируемого тела и является актуальной в машиностроении, строительной механике, горном деле, расчете элементов конструкций, работающих в условиях предельных нагрузок и т д

Под разрушением твердого тела понимают его распадение на части при нагружении Характер напряженного состояния должен обеспечит как статическую, так и кинематическую возможность разрушения Процесс разрушения материала происходит либо путем сдвига, либо путем отрыва

В диссертационной работе рассматривается разрушение материала путем отрыва Статически определимое состояния при отрыве имеет место при достижении одним или двумя главными напряжениями определенных предельных значений

Исследованием предельного состояния твердых тел занимались А А Гвоздев, Н Н Давиденков, Д Д Ивлев, А Ф Иоффе, А Ю Иш-линский, М Н Левитская, Л А Максимова, Н М Матченко, Б Г Миронов, А Надаи, И А Одинг, Л Прандтль, С М Фейнберг, М М Фи-лоненко-Бородич и др

К числу классических упругопластических задач относится задача о плоском деформировании пластины с круговым отверстием при двуосном растяжении, решение которой дано Л А Галиным Аналитические решения упругопластических задач теории идеальной пластичности даны Б Д Аниным, В В Соколовским, Г Н Савиным, Г П Черепановым и др

В реферируемой работе задачи определения напряженного и деформированного упругопластического состояния тел вблизи отверстий при условии сопротивления отрыву решаются методом малого параметра

Упругопластические задачи методом малого параметра рассматривались в работах М Т Алимжанова, Л И Афанасьевой, Г И Быковцева, А М Васильевой, С А Вульман, Д В Гоцева, И П Григорьева, Л В Ершова, В Г Ефремова, Т Л Захаровой, Д Д Ивлева, А А Ильюшина, А Ю Ишлинского, Л М Качанова, А В Ковалева, Т А Кульпиной, А Н Максимова, Л А Максимовой, Б Г Миронова, А А Маркина, Ю М Марушкей, Н М Матченко, М В Михайловой, Р И Непершина, Е Н Никоновой, Н Н Остросаблина, Н И Петрова, Т Т Пономаревой, С Ю Радаева, Т И Рыбаковой, Т А Санаевой, Т Д Семыкиной, А П Соколова, А Н Спорыхина, Л А Толоконни-кова, А П Харченко, Е А Целистовой, А И Шашкина, Ю Д Щегловой и др

Целью работы является

- исследование статически определимого состояния тела при условии сопротивления отрыву,

- приближенное аналитическое исследование упругопластиче-ского состояния пластины с круговым отверстием из сжимаемого материала при наличии двухосного растяжения и условия сопротивления отрыву,

- приближенное аналитическое исследование упругопластиче-ского состояния пластины с круговым (эллиптическим) отверстием из анизотропного материала при наличии равномерного растяжения и условия сопротивления отрыву

Научная новизна состоит в исследовании полного предельного состояния при условии сопротивления отрыву в случае зависимости функции отрыва от среднего давления и направления

Достоверность полученных результатов основана на использовании фундаментальных представлений теории идеальной пластичности и теории упругопластического тела, математических методов исследования, непротиворечивостью результатов данной работы с результатами других авторов

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного сопротивления изотропных и анизотропных тел при отрыве

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

- семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством профессора Д Д Ивлева (Чебоксары, ЧГПУ, 20052007),

- итоговых научных сессиях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ГОУ ВПО «ЧГПУ им И Я Яковлева» (Чебоксары, ЧГПУ, 2005-2007),

- итоговых научных конференциях преподавателей ГОУ ВПО «ЧГПУ им И Я Яковлева» (Чебоксары, ЧГПУ, 2005-2007)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 работах

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы Объем работы 72 страницы, 10 рисунков, список литературы содержит 86 наименований

Основное содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, обзор литературы по тематике диссертации, краткое содержание диссертации по главам

Глава первая «Предельное состояние тел при сопротивлении отрыву» состоит из трех параграфов

В первом параграфе рассмотрена пространственная задача предельного состояния тел при отрыве

Полное предельное состояние при отрыве имеет место в случаях

1 ах=а2=р, а3< р, (1 1)

2 сг3=р, сг1=<т2<ст3, р = р(а,п1,пг,п7) (12)

Рис 1

На рис 1 показана диаграмма Мора и эллипсоид напряжений для случая (1 1)

Рис 2

На рис 2 показана диаграмма Мора и эллипсоид напряжений для случая (1 2)

Соотношения связи главных компонент напряжений ст, и компонент напряжений сгу в декартовой системе координат хуг

(1 3)

<Ух = сг,/,2 + сг2т? +а3п?,

Тху = а\1\11 +°2т1т2 +СГъП1П2,

(хуг, 123,1тп)

где - направляющие косинусы, определяющие ориентацию ком-

понент главных напряжений в декартовой системе координат хуг

Для направляющих косинусов имеют место соотношения ортогональности

/,2 +,т\ + и,2 = 1, /,/2 + «г,/и2 + щщ = 0, (123,1тп) (1 4)

Из (1 1), (1 3), (1 4) получим

я* =Р + З(сг-Р)п?, гху=Ъ(а-р)щп2,

(1 5)

= ^(о-, + <г, +<*, ) 123)

Уравнения равновесия в декартовой системе координат имеют вид

for^ + flsi дт„ дх ду

dz

= 0 (xyz)

(1 6)

Из (1 1), (1 5), (1 6) получим

др да . 2 Зет да „ 3<т ---i-Заи,--1-Зяи,и,— + Ъап,ги— +

л л i i ¿ л i j л

да дх дх ду dz

-Ъп.щ——-Ъп,п,—— + ЪЬ ои, ¿ту оу\ dz

др дпг

др дщ дх

дщ ^

(i-af)f^-

4 ' дщ дх

+ щ—~ + щ—- 1 + дх ду dz)

др дп2

дщ

4 дщ дх дп2 ду дщ дг ду

А***-О, (17)

4 ' дщ дх дщ ду дщ дг дг

(хуг, 123)

2 2 2 1 1 Ф я, + и2 +«3 =1, где а = 1--, Ъ = о-р

да

Характеристический определитель системы уравнений (17) имеет вид

®ib

+0 др_ др_

дщ дщ

д¥ Чу

где = дх '

дщ

г др др др Л дщ дп2 дщ

(1 8)

Введем вектора Тогда

í dp dp dpN di\ ' дп2' сЦ

, n = (n1,n2,ríí)M = \ (19)

© = № n cos Q*

dp

dp

dp

= P cos9X

dr\

dn.

дщ

(1 10)

Ф Ф Ф It.1 I I —^—Пу h—— = ? ii cosa

5«, Эи2 dn¡ Уравнение (1 8) с учетом (110) примет вид

cos в{Ь

3acos О-

dp_ da

+ Р cos в (cos вх-cos 6>cosa) ^ = 0 (111)

Из(1 11) следует

cos (9 = 0 (112)

Вектор п ортогонален градиенту характеристической поверхности *Р, следовательно, вектор п имеет характеристическое направление

Площадки главных напряжений ах=а2 = р ортогональны направлению п, следовательно, одна из трех характеристических поверхностей в самом общем случае совпадает с поверхностью отрыва

Отметим, что при р = const все три семейства характеристических поверхностей совпадают между собой Из (1 2), (1 3), (1 4) получим

<Tí=3a=p+3Í£Zf)|í>

з (р-У)

сT = Uax+ay+az) (xyz,l23)

(1 13)

Из (1 6), (1 13) следует

\da . 2 ест „ оа „ оа /„ 2 ,

+Зп1п2—— + Ъп1п3——-ЪЬ 2п1^ + п2— + п3—) + di\ dy dr\ dz \ дх ду dz)

da

da

da

dp dr\

v ' dn2 dx dn2 dy dn2 dz dy

dp dn2

dp dn2

dr^

_!) + з+ 3^ - 36«,

4 ' dn, dx dn, dy dn, dz

(.xyz, 123) n,2 + n2 + «3 = 1

Характеристический определитель системы уравнений (1 14)

7

dp dn¡

dp dn¡

dn,

~аГ

= o,

(1 14)

имеет вид

©{фа©2 -(2 + a){4>2x + +Ч'г2)]-

+2©

' - - - л (я„ Ям я« УП О 15>

dp dp др

*h +—1—п2 + —!—пг Эй, Эя2 Зп3

[ = 0

дт\ дпг сЦ J

©

Уравнение (1 15) с учетом (1 9), (1 10) примет вид ^¿'^^«^^-(г + й^ + г^^озб'^оз^созог-соз^^О (1 16)

Из (1 16) следует (1 12)

Отметим, что при р = const из (1 16) следует

cos# = 0, cos£? = ±l (117)

Из (1 17) следует, что характеристические поверхности пересекаются вдоль направления третьего главного напряжения а3 = р и что поверхности отрыва <т3 = р являются характеристическими

Рассмотрено определение зависимости р = p{a,nx,nltn^ для анизотропных тел

Во втором параграфе рассмотрена общая плоская задача предельного состояния тел при отрыве Найдены уравнения характеристических линий и соотношений вдоль них

В третьем параграфе рассмотрена плоская задача предельно состояния тел при сопротивлении отрыву.

Предполагается

nl=cosip, n2=sm<p, п3 = 0 (118)

Из (1 1), (1 5) и (1 18) следует

ах = <т + (сг — p)cos2<p, <уу = cr-(cr-/»)cos2^,

/■ * о 1/ ч 0 19)

Уравнения равновесия (16) примут вид

да дт„ Эг 9<ту ^+-^ = 0, ^ + -^ = 0 (120) дх ду дх ду

В общем случае функция отрыва зависит от среднего давления а и угла <р

р = р(сг,<р) (121)

Из (1 19), (1 20) с учетом (121) получим систему трех уравнений относительно трех переменных, принадлежащую гиперболическому типу

Характеристические уравнения полученной системы имеют вид

=-ctg {<р-а±Р), (122)

где

р' „ „ Vi- a2 cos2 2а _ dp , — b

a cos 2a: da

Вдоль характеристик (1 22) имеет место соотношение

(-ар'±4р'2 +Ь2 -агЬ2}da + (p'2+b2)d<p = 0

Из (1 13) с учетом (1 2) и (1 21) имеем

ах = a + (p-cr)cos2<p, ау = а-(р-сг) cos 2(р,

т„=(р-<г) sm2<P> tr = ^(<r*+ery)

Из (1 24), (1 20) с учетом (121) получим систему трех уравнений относительно трех переменных, принадлежащую гиперболическому типу Характеристические уравнения полученной системы имеют вид

(1 23)

(124)

±

= \%(<р-а±0)

О 25)

Соотношения вдоль характеристик (1 25) имеют вид

\ар'±4р'2 +Ь2-а2Ь2^а + (р'2 + b2)d<p = Q (126)

При р = сога? уравнения (1 22), (1 25) соответственно примут вид

cfy dx),

= -ctg q>,

О 27)

соотношения вдоль характеристик (1 23), (1 26) имеют вид

<р = const (1 28)

Согласно (1 27) характеристические линии в случае отрыва (1 1) (рис 3 а) и в случае отрыва (12) (рис 3 б) являются прямыми линиями

Рис 3

Отметим, что характеристики каждого семейства в случае отрыва (1 1) ортоногональны характеристическим линиям соответствующих семейств в случае отрыва (12)

Глава вторая «Упругопластическое состояние тел при сопротивлении отрыву» состоит из трех параграфов

В первом параграфе рассмотрена бесконечная пластина с круговым отверстием радиуса а Ось г направлена перпендикулярно плоскости пластины В плоскости рв пластина растягивается на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями р{ и р2 (р1 > р2)

В общем случае, когда на внутреннем контуре действуют касательные усилия, в нулевом приближении предполагается, что

< =<ЧЛ> (2 1)

Согласно (2 1) уравнения равновесия в цилиндрической системе координат примут вид

о*»-о*»

—+ -— = 0, (2 2)

dp

+ =0, (2 3)

dp р

drm г(0)

-^ + ^ = 0 (2 4)

dp р

Граничные условия имеют вид

арр = 0 при р = а , (2 5)

аер = q-Scos2<p, аев =q + Scos2cp, т"^ =Ssm2<p, при р = оо,(26)

Рх+Рг а о где q = —--, а = —, ps - радиус упругопластическои зоны

2 А

В случае отрыва (11) условие пластичности с учетом действия касательного усилия имеет вид

(of-pXof-Р) = С2> (27)

Используя граничное условие на внутреннем контуре отверстия > ri= const при р = а, решение уравнения (2 3) записывается в виде

(2 8)

Р

Решение уравнения (2 2) согласно условию пластичности (2 7) и граничному условию (2 5) в пластической зоне имеет вид

WZSEp^Z, «л»,,. «v (29)

Р р2^р\р2-т2) + а\

В упругой зоне решение уравнения (2 2) определяется из условия несжимаемости, закона Гука, граничного условия (2 7), условия

сопряжения решений в упругой и пластических зонах при р = 1 [<> ] = 0 и имеет вид

о.{0)е_ 1 atf-p ) cr(0)e_ 1 ccixl-p1)

Р2 2^рг-т1+агт1

Р1 2^]p1-Tf+a1Tf

(2 10)

В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому

ст«)р=0 (2 11)

В упругой области согласно условию сопряжения при р-1

да^

dp

= 0, граничным условиям (2 6), невозмущенному

состоянию (2 9), (2 10) имеет место

г(')« _ Л1У _

трв ~ ® при р = 1,

сг</)е = 2а^рг -т\+а1 т] р{Р при /7 = 1

(2 12) (2 13)

Граничные условия (2 6), (2 12) определяют решению в упругой зоне

v

~1 + ~Т—-j- |cos2#, of* = Р Р

трв -

',2 3 v Р Р

\ 3 ' Ч /

cos 20,

sin 20

Из (2 13), (2 14) следует А(0 =

2 cos 2(9

а^р1 + а1т\

(2 14)

(2 15)

В случае отрыва (11) условие пластичности с учетом действия касательного усилия г^ имеет вид

= (2 16)

Используя граничное условие на внутреннем контуре отверстия р°)=г2 > т2= const при р = а , решение уравнения (2 4) записывается в виде

ГУТ

(2 17)

(0) _

V ~ „

Решение уравнения (2 2) согласно условию пластичности (2 16) и граничному условию (2 5) в пластической зоне имеет вид

of»=p

1-^1, of"=P, v?)P=P

( тг л

P2P J

(2 18)

В упругой зоне решение уравнения (2 2) имеет вид

^ ра^ а<о)е=д+ра (219)

Р Р

В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому выполняется соотношение (2 11) В упругой области согласно условию сопряжения при р = 1

V -л 's

dp

= 0, граничным условиям (2 6), невозмущенному

состоянию (2 18), (2 19) получим условия (2 12) и

а{д)е = 2арр[,] при р = 1 (2 20)

Граничные условия (2 6), (2 12) определяют решение (2 14) в упругой зоне

Из (2 14), (2 20) имеем

_ 2cos20 (221)

ар

В случае условия отрыва (12) справедливы аналогичные соотношения

Во втором параграфе рассмотрено равномерное растяжение тонкой анизотропной пластины, ослабленной круговым отверстием, при условии сопротивления отрыву

Условие пластичности имеет вид

(Лах -р0)(Вау-р0)-Ст1 = 0, A,B,C,Po = const (2 22)

Связь между напряжениями в декартовой системе координат ху и напряжениями в полярной системе координат рб имеет вид

<т +(ТД о — ой ах = Р2 e+ Р2 е cos 20+ sin 20,

<У„ +<J„ <7„- (Та

ау = " —^—-cos20 -тр0 sin 26, (2 23)

- - <Тр sin 29 + г д cos 2в

2 -----

Из (2 22) и (2 23) получим

ÄB(crp+cref -(ар-<тв)2

АВ + С АВ-С

ч--;-cos46>

2 2

\ /

~2т2рв (ÄB + C + (C-AB)cos40)-2трв (ар-ав)х

x(ÄB-C)sm4e-2(ap-cre)(Ä-B)p0cos2e- (2 24)

-4^ (Л - Я) р0 sin 20 -2(<7„ + (тв){А + = -4Л2

Все величины, имеющие размерность напряжения будем считать безразмерными, отнесенными к величине предела текучести к, а величины, имеющие размерность длины, - к радиусу пластической зоны р° Положим

Ä = l + Sä,B = l + Sb,C = l + Sc, (2 25)

где ä,b,c - константы анизотропии, 5 — малый безразмерный параметр Из (2 24) в исходном нулевом приближении получим

°Í0)P = Ро (2 26)

Компоненты напряжения в нулевом приближении в пластической и упругой областях запишутся в виде

т(9)р _

= Ро

г \

1-Z-

ег(0)р - л

"в _А>>

'рб

= 0,

(0)е =п Роа а(й)е = п , Р<>а

(2 27)

2р

■q +

г(0)е _

= 0

В первом приближении из (2 24) с учетом (2 25), (2 27) получим

г(/)/>

=(5 + ¿ + с) cos 4(9 + ^ (5 - ¿) eos 2é> + 8/? 2

8р V ; 2

(2 28)

Уравнения равновесия в первом приближении записываются в виде

-+-

= 0,

дт% 1 да? 2т\

(О

др р дв р др р 89 р

Уравнениям равновесия удовлетворим, полагая

i дФ(/) i а2Ф(/)

■ = 0 (229)

-+

ÁO =

Р др

Э2Ф(/) (/)

-г—. Tv =

др1

р1 дв2

Зр

1 5Ф(/) р 89

(2 30)

Из (2 28), (2 30) получим

ф

,(0 -

ар0

(а + Ь + с)р(\ир-1) + С^р + С2

2

eosАв+

РоР

-(а-Ь) + С3р + С4

eos 20 +

(2 31)

+ ^(a + b-c)p(bp-l)-^f-(a + b) + C5p + C6 o 4

Из (2 30), (2 31) с учетом граничных условий сг1

<1)р\

=0,

= 0 запишем компоненты напряжения в пластической зоне

У =ар0(а + Ь + с) -р0(а-Ь) -р0(й + 6)

151п/7 (16 + 151па) 2а 8 р 8 р р2

cos46>-

2 2 р + р\

eos 20+^-с-

8 р

\ а_ 2 2 р

8/» а

сг*'»" = - ^ + ¿ + с) eos 40 + — (а - ¿>) eos 2в + 8 р 2

aPo(x,Z тЛ Ро,

8 >2 =-^(5 + 6 + c)[l-a2]sm40 + ^(a-¿) Решение в упругой области имеет вид

(2 32)

sin 20

me _ Po(a + b)

р П

2 р

Po(ñ-b) 2

®Ро Г

a-l-

alna

(1 -a)

_3_ 2(a-2)

л + Л-Р Р

p0a\na 8 р2

eos 20-

с +

н—^-(a + b + c)

+—1па 4

иу __pa(a + b)

(j a —-

ice-1)

rЗа-5 3(a-3)N —j

P P j

„6 „4

\P P y

eos 40,

2 P2

a-1-

alna

/»„orina

c-

Ър0(а-Ь).

1р 2

(2 33)

(а-1)

гЪа-Ъ а-Зл

_ Ро(а-Ь)

х(а + й + с)

2

(а-1)

а-а)

15,

+—та

4

ч/>6 Р4,

сое 4(9,

3 а-2 р р .

2

''За-5 2(а-3)4

15,

+—та

2

Р Р

Радиус упругопластической зоны имеет вид

Р6~Р%

31п4<9

1

ар0(Ыа-1) 8

(а + Ь-с) + р0(а + Ь)

1-

а

+^ (За - 4) сое 2(9 + (¿г+5 + с) [1 - 8(а -1)2 -151п а] сое 4(9

8

аРо 32

В третьем параграфе для равномерно растягиваемой тонкой анизотропной пластины с эллиптическим отверстием при условии сопротивления отрыву получено напряженное состояние и радиус упругопластической зоны

Заключение

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1 исследована пространственная задача предельного состояния тел при условии сопротивления отрыву В общем случае условие отрыва р = р(сг, и,) зависит от среднего давления а и направления п Установлен тип уравнений, определены характеристические поверхности Установлено, что одна из характеристических поверхностей всегда совпадает с поверхностью отрыва, нормаль к которой направлена по главному напряжению отрыва,

2 исследована общая плоская задача и случай плоской деформации Получены характеристические уравнения и соотношения вдоль них В случае плоской деформации характеристики являются прямыми,

3 исследовано упругопластическое напряженное состояние бесконечной пластины с круговым отверстием, растягиваемой на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями, при условии сопротивления отрыву,

4 исследовано влияние анизотропии на упругопластическое напряженное состояние тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием, при условии сопротивления отрыву,

w

5 исследовано влияние анизотропии на упругопластическое напряженное состояние тонкой пластины, ослабленной эллиптическим отверстием, при условии сопротивления отрыву

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Роштова AHO предельных статически определимых условиях отрыва для сжимаемого анизотропного материала // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия -2007 -№6(56) - С 5-12

2 Роштова А Н Об общих предельных условиях при отрыве для сжимаемых анизотропных сред // Вестник ЧГПУ им И Я Яковлева, серия Механика предельного состояния - 2007 -№2 — С 131-134

3 Роштова AHO плоском напряженном состоянии анизотропного идеальнопластического материала // Вестник ЧГПУ им И Я Яковлева -2007 -№3(55) - С 19-22

4 Роштова А Н Растяжение упругопластической анизотропной тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием // Вестник ЧГПУ им И Я Яковлева -2007 -№3(55) - С 22-27

5 Ивлев Д Д, Роштова А Н О предельных соотношениях при отрыве для анизотропного материала // Математические модели и методы механики сплошных сред сборник научных трудов к 60-летию А А Буренина Владивосток ИАПУДВОРАН,2007 -С 106-107

Подписано к печати 12 09 2007г Формат 60x84/16 Бумага писчая Печать оперативная Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ

Отпечатано на участке оперативной полиграфии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева» 428000 Чебоксары, ул К Маркса, 38

Введение.J

Глава I. Предельное состояние тел при сопротивлении отрыву ^

§1.1 Предельное состояние при отрыве (пространственная задача). ^

§ 1.2 Предельное состояние при отрыве (общая плоская задача).

§ 1.3 Предельное состояние при отрыве (плоская задача).

Глава II. Упругопластическое состояние тел при отрыве

§2.1 Двуосное растяжение тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием.

§2.2 Равномерное растяжение тонкой анизотропной пластины, ослабленной круговым отверстием.

§2.3 Равномерное растяжение тонкой анизотропной пластины, ослабленной эллиптическим отверстием.

Разрушение материала под действием внешних усилий происходит различным образом. На рис. I. а) приведен стержень, растягиваемый силой р, на рис. I. б) показано разрушение путем сдвига, на рис. I. в) - путем отрыва.

Предельное сопротивление при сдвиге имеет место при достижении максимальным касательным напряжением определенного предельного значения.

Предельное сопротивление при отрыве может иметь место при достижении одним или двумя главными напряжениями определенных предельных значений.

Для случая плоской задачи запишем предельные условия сдвига и отрыва а) б) в)

Ш ///////Ж У/////////Л Р Р Р

Рис.1

Т. max <Т, . ,

- =k, к - const. 2

0) cr. = р, i = 1,2, р = cons*.

2)

На рис. II изображены ломаные, соответствующие условиям (1), (2).

В случае рис. И. а) имеет место 2к > р, в случае рис. II. б) - 2 к< р.

Экспериментальному определению константы отрыва р в случае, когда 2к< р посвящена монография Г. В. Ужика [76].

Для определения константы отрыва р>2к Г. В. Ужик [76] использовал образцы с выточками (рис. III). В этом случае в пластической зоне растягивающее напряженное состояние возрастает по мере удаления от выточки. При достижении максимальным растягивающем напряжением значения р разрушение в зонах АВ, А1В1 происходит путем сдвига, а в зоне ввх - путем отрыва (рис. III б).

Рис. II а} д)

Рис. Ill

Подобный характер разрушения наблюдается при растяжении образцов, роль концентратора напряжений играет шейка.

Разрушению твердых тел посвящено большое количество исследований, отметим работы [13, 17,27, 40,41, 60, 66, 76-78, 83-86].

Настоящая работа посвящена задачам определения предельного и упругопластического состояния тел при отрыве.

Статически определимое состояние при отрыве имеет место в случаях:

Tj = <т2 = р, <т3 < р, р = const, рассмотренный в работах Д.Д. Ивлева [35]; т3 = р, cTj = сг2 <<j3, р = const, рассмотренный Д.Д. Ивлевым, Н.М. Матченко [28].

В работе оба случая полного предельного состояния тела при отрыве обобщены на случай, когда величина р зависит от среднего давления <т и направления третьего главного напряжения <т3 - n = nxi + n2j + щк, где щ - направляющие косинусы в декартовой системе координат xyz.

Отметим, что при этом величина р характеризует анизотропию материала.

В случае пространственной задачи напряженное состояние тела описывается тремя различными семействами характеристических поверхностей. Площадки главных напряжений сг, = <т2 = р (сг, = сг2 <р) ортогональны направлению п, следовательно, одна из трех характеристических поверхностей совпадает с поверхностью отрыва.

Как следствие общего случая рассмотрена общая плоская задача и случай плоской деформации.

Плоское напряженное состояние описывается двумя различными семействами характеристик. При этом характеристические линии являются прямыми.

Отметим, что характеристики каждого -семейства в случае отрыва <7х = сг2 = р, <т3<р, р = р(ст,пх,п2,пъ) ортоногональны характеристическим линиям соответствующих семейств в случае отрыва сг3 = р, 0",=(72<(7з, р = р{(7,пх,пг,пг).

В диссертационной работе упругопластические задачи решаются методом малого параметра.

Метод малого параметра (метод возмущений) является методом приближенного решения. Впервые этот метод был использован при решении практических задач механики в работах Пуанкаре. С достижениями применения метода малого параметра в механике деформируемого твердого тела и гидро- газодинамике можно познакомится по монографиям Д. Д. Ивлева и JI. В. Ершова [36], Ван-Дайка [6] и Найфе [63, 64], А. Н. Споры-хина и А. И. Шашкина [74 ] и др.

Метод малого параметра основан на введении величин малых по сравнению с некоторыми данными, «возмущающих» исходные решения.

А. П. Соколов [71] одним из первых применил малый параметр к решению упругопластических задач. Он определил в первом приближении двуосное напряженное состояние тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска.

А. А. Ильюшин [38] связывал малый параметр с модулем объемного сжатия, Jl. М. Качанов - с геометрией тела. У J1. А. Толоконникова и его сотрудников [75] малый параметр характеризовал свойства пластического материала. В работе JI. В. Ершова, Д. Д. Ивлева [19] малый параметр характеризует различие между плоским деформированным и осесимммет-ричным состояниями.

Исследования ряда задач по упругопластическому деформированию тел посвящены работы С. А. Вульман [8-10], В. В. Кузнецова [50, 51], Ю. М. Марушкей [57, 58]Т. Д. Семыкиной [70], Харченко [79], А. И. Шашки-на, Ю. Д. Щегловой [82] и др.

JI. А. Галин [11,12] впервые дал точное решение неодномерной упру-гопластической задачи о распределении напряжений в окрестности кругового отверстия плоского деформированного тела, к контуру которого приложены постоянные нормальные усилия, а на бесконечности задано двуосное растяжение. Точное решение для определения смещений в задаче Галина получено Н. И. Остраблином [68].

Развитие результатов JI. А. Галина дано Б. Д. Анниным, Г. П. Черепановым [2]. А. В. Ковалев и А. Н. Спорыхин [48] дали приближенное решение задачи Галина для упруговязкопластических тел.

Д. Д. Ивлев [30, 31] методом малого параметра решил упругопласти-ческие задачи о двуосном растяжении тонкой и толстой пластин с эллиптическим отверстием. Аналогичным способом JI. В. Ершов и Д. Д. Ивлев [25] дали ряд приближенных решений упругопластических задач для иде-альнопластического тела.

В работах А. Н. Спорыхина и его учеников [45,46,49, 73] получен ряд приближенных решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым, эллиптическим и близким к правильному многоугольнику отверстием, находящим под действием внутреннего давления.

Отметим, что метод малого параметра также использовался в исследованиях: JL И. Афанасьевой [4], А. М. Васильевой [7], Д. В. Гоцева [15, 16], И. П. Григорьева, В. Г. Ефремова, Т. Л. Захаровой [22, 23], А. В. Ковалева [48-49], Т. А. Кульпиной [52], А. Н. Максимова [53], JI. А. Максимовой [54-56], Б. Г. Миронова [59, 60], М. В. Михайловой [61, 62], Е. Н. Ни-коновой [65], Н. И. Петрова, Т. Т. Пономаревой, С. Ю. Радаева [69], Т. И. Рыбаковой, Т. А. Санаевой, Е. А. Целистовой и др.

В работе рассматриваются соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности, когда компоненты тензора напряжения зависят только от двух переменных, в данном случае от р,в, причем Tp9,tpZ отличны от нуля.

Методом малого параметра определены компоненты напряжения и граница, разделяющая пластическую и упругую зоны, тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием и растягиваемой на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями, при условии сопротивления отрыву.

Также рассматривается равномерное растяжение тонкой пластины, ослабленной круговым (эллиптическим) отверстием, из анизотропного упругопластического материала, при условии сопротивления отрыву.

Методом малого параметра определены компоненты напряжения и упругопластический радиус.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. исследована пространственная задача предельного состояния тел при условии сопротивления отрыву. В общем случае условие отрыва р = р(ст,п.) зависит от среднего давления <т и направления п. Установлен тип уравнений, определены характеристические поверхности. Установлено, что одна из характеристических поверхностей всегда совпадает с поверхностью отрыва нормаль, к которой направлена по главному напряжению отрыва;

2. исследована общая плоская задача и случай плоской деформации. Получены характеристические уравнения и соотношения вдоль них. В случае плоской деформации характеристики являются прямыми;

3. исследовано упругопластическое напряженное состояние бесконечной пластины с круговым отверстием, растягиваемой на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями, при условии сопротивления отрыву;

4. исследовано влияние анизотропии на упругопластическое напряженное состояние тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием, при условии сопротивления отрыву;

5. исследовано влияние анизотропии на упругопластическое напряженное состояние тонкой пластины, ослабленной эллиптическим отверстием, при условии сопротивления отрыву.

1. Алимжанов М. Т., Естаев Е. К. Упругопластическое состояние плоскости, ослабленной круговым отверстием // МДТТ. - 1982. - С. 105115.

2. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упругопластическая задача. Новосибирск : Наука, 1983.-238 с.

3. Артемов М. А. Двуосное растяжение тонкой пластины с эллиптическим отверстием // Актуальные вопросы теории краевых задач и их приложения. Чебоксары, 1988. - С. 4-8.

4. Афанасьева JI. И. О двуосном растяжении упруго-пластической пластины с круговым отверстием из сжимаемого материала // Известия Инженерно-технологической академии ЧР. Сводный том. Чебоксары, 1999.-№3-4; 2000.-№ 1-4; 2001.-№ 1-4.-С. 100-104.

5. Бицено К. Б., Граммелъ Р. Техническая динамика, JI. : Гостехиздат, 1950.

6. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М. : Мир, 1967.-310 с.

7. Васильева А. М. Определение напряженного состояния анизотропного пространства, ослабленного полостью // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, серия механика предельного состояния. - Чебоксары. - 2007. -№ 1.-С.26-32.

8. Вульман С. А. О решении осесимметричных упругопластических задач методом малого параметра. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969.-№3.-С. 164-169.

9. Вульман С. А. Решение осесимметричных упругопластических задач для тел из сжимаемого материала. Прикл. механика. - 1971. - Т. 7. -Вып. 7.

10. М.Галин Л. А. Упруго-пластические задачи. -М.: Наука, 1984.

11. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949.

12. Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопласти-ческом поведении материалов // Прикладная механика и техническая физика.-2001.-Т.42.-№3.-С.146-151.

13. Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Неустойчивость многослойной крепи в вертикальной горной выработке // Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении: Труды II Всерос. науч.-техн. конф. Воронеж, 2001. 4.1. - С. 19-24.

14. Давиденков Н. Н. Динамические испытания металлов. М.: ОНТИ, 1936.18 .Ершов Л. В. Упругопластическое состояние конической и искривленной труб. Вестник МГУ, 1958. - №3.

15. Ершов JI. В., Ивлев Д. Д. Упругопластическое напряженное состояние полого толстостенного тора, находящегося под действием внутреннего давления. Изв. АН СССР, ОТН, 1957. - №7.

16. Ю.Ершов Л. В., Ивлев Д. Д. Упругопластическое состояние конической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Вестник МГУ, 1957.-№2.

17. Ершов Л. В., Ивлев Д. Д. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Изв. АН СССР, ОТН, 1957.-№9.

18. Ивлев Д. Д. К теории идеальной пластической анизотропии // ПММ. -Т.23.-Вып. 6.- 1959.

19. Ивлев Д. Д. О статической определимости предельного состояния при отрыве // Проблемы механики. Киев, 1996. - Т. 32. - № 6.

20. Ивлев Д. Д. Приближенное решение задач теории малых упруго-пластических деформаций. Докл. АН СССР, 1957. - Т. 113. - №3.

21. Ивлев Д. Д. Приближенное решение плоских упругопластических задач теории идеальной пластичности. Вестник МГУ, 1957. №5.

22. Ивлев Д. Д. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности. Докл. АН СССР, 1957. Т. 113. - №2.

23. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. -232 с.

24. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопла-стического тела, М.: Наука, 1978.

25. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности // ДАН. 2000. - Т.373. - №1. -С. 39-41.

26. Ильюшин А. А. Нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с задачей об изгибе плит // Инженерный сборник. 1954. - Т. 19. - С.3-12.

27. Ильюшин А. А. Пластичность. -М.: Гостехиздат, 1948.

28. Иоффе А. Ф., Левитская М. К Механизм остаточной деформации и разрушение. М.: Госхимтехиздат, 1924. - Вып. 12, 13.41 .Ишлинский А. Ю. О разрушении не вполне упругих материалов // Уч. зап. МГУ. 1946. - Вып. 117.

29. М.Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.

30. Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластинки. Прикладная матем. и механика, 1943. - Т. 7. - Вып. 6.

31. АА.Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. М. : МГУ, 1979.-207 с.

32. Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. Двуосное растяжение упруго-пластического пространства с включением, близким по форме к правильному многоугольнику// Вестник Воронеж, ун-та. Серия 2. Естественные науки. 1998. - №3 - С. 136-141.

33. Аб.Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. О двухосном растяжении пластины с отверстием // Информационные технологии и системы. Воронеж, 1998.-Вып.2.-С. 61-65.

34. Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. О нахождении поля напряжений в эксцентричной трубе, подверженной действию внутреннего давления. // Вестник факультета прикладной математики и механики. Воронеж, гос. ун-т, 1998. - №1 - С. 85-90.

35. Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. Об одном приближенном решении задачи Галина-Ивлева для сложной модели среды / Проблемы механики неупругих деформаций. М.: Физматлит, 2001. - С. 167-173.

36. Максимова JI. А. О линеаризованных уравнениях пространственного течения идеальнопластических тел // ДАН РАН, 1998. Т. 358. - № 6. -С. 772-773.

37. Максимова JI. А. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности // Известия НАНИ ЧР, Чебоксары, 2000. -№4.-С. 17-19.

38. Максимова JI. А. О течении полосы из идеального жесткопластиче-ского материала, ослабленного пологими выточками // Изв. РАН, МТТ, 1999.-№3.-С. 65-69.

39. Миронов Б. Г. К теории анизотропной идеально-пластической среды // проблемы механики : Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. - С. 564-568.

40. Михайлова М. В. , Кульпина Т. А., Ярдыкова Н. А. Эксцентричная труба под действием внутреннего давления касательного усилия т°рв Ф 0 //

41. Научно-информ. Вестник докторантов, аспирантов, студентов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Чебоксары. - 2005. - Т. 1. - №1(5). - С. 15-25.

42. Найфе А. X. Введение в методы возмущений.- М.: Мир, 1984. -526 с.

43. Найфе А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456с.

44. Остросаблин Н. И. Определение смещений в задаче JI. А. Галина / Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. - 1973. - Вып. 14. - С. 67-70.

45. Радаев С. Ю. О плоской задаче определения предельного состояния идеальнопластических анизотропных сред // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2005. - № 2. - С. 15-21.

46. Ю.Семыкина Т. Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью. Изв. А.Н. СССР, Механика и машиностр., 1963. -№1.

47. Х.Соколов А. П. Об упругопластическом состоянии пластинки. -Докл. АН СССР, 1948.-Т. 10. -№1.

48. Соколовский В. В. Теория пластичности. -М.: Высшая школа, 1969. -608 с.

49. Спорыхин А. Н., Чиканова К. Н., Ковалев А. Н. К определению поля напряжений в пластинах с отверстиями различных очертаний // Информационные технологии и системы. Воронеж, 1994. - Ч. 3. -С. 11-15.

50. А.Спорыхин А. Н., Шашкин А. И. Устойчивость равновесия пространственных тел и задачи механики горных пород. М. : Физматлит, 2004. -232 с.

51. Толоконников Л. А., Яковлев С. П., Кузин В. Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией // Прикл. механика. 1969. - Т.5, №8.-С. 71-76.1в.Ужик Г. В. Сопротивление отрыву и прочность материалов // АН СССР.- 1950.

52. Фейнберг С. М. Принцип предельной напряженности // ПММ. -1948. Т. 12.-Вып. 1.1%.Филоненко-Еородич М. М. Об условиях прочности материалов, обладающих различным сопротивлением сжатию и растяжению // Инж. сб. -1954.-Т. 19.

53. Хаар, Карман К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах. Теория пластичности. Сборник переводов. М.: ИЛ, 1948.

54. Griffith A. The problem of Rupture and Flow in Solids // Phii. Trans. -1921.-211 p.

55. Mohr 0. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. Berlin, 1914.

56. S5.Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids. N.Y.; Toronto; L., 1950.8e.Prandtl L. Uber die Eindringung-festigkeit (Harte) plastischer Baustoffe und die Festigkeit im Schneiden // ZAMM. 1928. - Bd.I. H. I.

57. Роштова A. H. О предельных статически определимых условиях отрыва для сжимаемого анизотропного материала // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. - 2007. - № 6(56). - С. 5-12.

58. Роштова А. Н. Об общих предельных условиях при отрыве для сжимаемых анизотропных сред // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, серия: Механика предельного состояния 2007. - №2. - С. 131-134.

59. Роштова А. Н. О плоском напряженном состоянии анизотропного идеальнопластического материала // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. -2007. -№3(55). -С. 19-22.

60. Роштова А. Н. Растяжение упругопластической анизотропной тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. 2007. - № 3 (55). - С. 22-27.

61. Ивлев Д. Д., Роштова А. Н. О предельных соотношениях при отрыве для анизотропного материала // Математические модели и методы механики сплошных сред : сборник научных трудов: к 60-летию А. А. Буренина. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2007. С. 106-107.