Анализ нестационарности и выбор структуры уравнений при моделировании по временным рядам тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Диканев Тарас Викторович

»

АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ И ВЫБОР СТРУКТУРЫ УРАВНЕНИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2005

Работа выполнена в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского и Саратовском филиале института радиотехники и электроники РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Безручко Б.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Байбурин В.Б (Саратовский государственный технический университет)

кандидат физико-математических наук, доцент Павлов А Н (Саратовский государственный университет)

Ведущая организация: Институт прикладной физики

РАН, Нижний Новгород

Защита состоится 16 июня 2005г в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 по специальности «Радиофизика» при Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского по адресу 410012, Саратов, Астраханская, 83, Ш корпус, 34 аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского (ул Университетская, 44)

Автореферат разослан « » мая 2005 года. Ученый секретарь диссертационного совета

1. ¿Г

Аникин В.М.

JMEzl ШЦ23Ц

fO Актуальность работы.

Возможности современной вычислительной техники позволили развить новые подходы к созданию эмпирических динамических моделей колебательных явлений. Если раньше речь шла в основном об аппроксимации наблюдаемых в эксперименте простых зависимостей, то сейчас - о получении модельных дифференциальных или разностных уравнений, описывающих сложные или даже хаотические движения. Повсеместное использование в современной измерительной технике аналого-цифровых преобразователей и становление концепции динамического хаоса привели к тому, что, начиная с 80-х годов особое внимание стало уделяпгься реконструкции1 уравнений по хаотическим временным рядам [1,2] - дискретной последовательностям чисел, полученным стробированием наблюдаемых величин. Временные ряды могут быть векторными или скалярными; последнее еще более осложняет задачу. С помощью реконструкции решаются задачи прогнозирования дальнейшего поведения [1] и бифуркаций [3], классификации систем [4], скрытой передачи информации [5]. В диссертации проблема построения моделей по временному ряду рассматривается на примерах эталонных для радиофизики динамических систем, а также для некоторых сложных биологических сигналов, однако она актуальна и во многих других областях исследований. В частности для задач астрофизики [6], лазерной физики [7], метеорологии [8], сейсмографии [9] финансов [10] и т д.

Пик интереса в задаче глобальной2 реконструкции уравнений по временному ряду приходится на девяностые годы, после чего появились и обобщающие материал работы [11-14]. Однако практическое применение разработанных методик выявило ряд принципиальных трудностей, возрастающих вместе с размерностью и степенью нелинейности моделируемых процессов. Это послужило причиной некоторого разочарования в возможностях культивируемых тогда универсальных подходов к глобальной реконструкции и продемонстрировало необходимость разработки направленных методик и приемов (технологий), учитывающих специфику достаточно узких классов моделируемых объектов. На разработку элементов таких технологий и направлена данная диссертационная работа. Суть проблем и необходимость постановки решаемых в работе задач поясним при описании процедуры реконструкции модели по временному ряду. При всем разнообразии подходов и практических ситуаций в ней можно выделить следующие основные этапы:

1-й этап: выбор типа модельных уравнений, например, разностные

*»,=*■(«,) 0)

Здесь используется общепринятый термин "реконструкция" (восстановление), хотя он полностью адекватен лишь ситуации, когда временной ряд получен путем численного решения уравнений В приложении к реальным объектам и явлениям, для которых нет единственной или "истинной" математической модели, уместнее было бы говорить о "конструировании", а не о "реконструкции".

2 Термин «глобальная» означает, что модельные урмтятм, ит^чт». ц таикт™8* форме, описывают поведение объекта во всем фазовом простлявЙ£-(йМЬММ1)и1ЬНА>>

( библиотека I

3 I «ШАГ,.

или дифференциальные

^ = (2) 2-й этап: формирование ряда векторов состояния {х/}, где *, = (х„,...,х(0), по ряду наблюдаемой величины {у1 , которая скалярна,

продеформирована измерительными приборами и искажена шумами То есть выбрать количество Э и способ получения динамических переменных. Наиболее часто употребляются методы временных задержек и последовательного дифференцирования, последовательного интегрирования [15], взвешенного суммирования [16], но в принципе, наблюдаемые и переменные могут быть связаны любым другим мыслимым способом, предугадать который без информации о принципах функционирования объекта весьма сложно Неудачный выбор переменных затрудняет аппроксимацию неизвестных зависимостей Г в модельных уравнениях выбранного вида (1-2) или вовсе делает их неоднозначными, а следовательно, непригодными для динамического моделирования. Проблема оптимизации выбора переменных уже привлекала к себе внимание [17], но известные численные процедуры нуждаются в модернизации.

3-й этап: выбор вида аппроксимирующих функций Г В отсутствии априорной информации или иных соображений о виде функции Р для ее представления используются различные универсальные формы. Обычно ее выбирают в виде универсальной линейной комбинации некоторых базисных функций

Ях,)-!>*/*(*,)> (3)

к-\

причем вид /к может оказать решающее влияние на результат моделирования Часто ^ берут в виде полинома, однако их использование (как и других универсальных аппроксиматоров) ведет к очень громоздким выражениям с большим числом лишних слагаемых, что является одной из причин неудач реконструкции в случае моделирования сложных систем Удалив лишние базисные функции можно, сделав модель более компактной, существенно расширить область, в которой она работоспособна. Для этой цели известно несколько процедур, например, критерий Стьюдента или специальные процедуры [18,19] Но их применимость ограничена3, а расширение возможностей требует новых решений.

На этапах 1-3 фиксируется структура модели

4-й этап: выбор тренировочного участка во временном ряде переменных, по которому затем оцениваются параметры модели (обычно методом наименьших квадратов) Задача выбора тренировочного ряда

з

Применимость этих методик обоснована, если неточности аппроксимации связаны только с присутствием шума. На практике типичны ситуации, когда источником ошибок кроме шума служит невозможность точного представления функций, стоящих в объекте, через наши базисные

становится нетривиальной и требует решения в первую очередь при наличии в ряде нестационарности, а это типично, особенно для живых систем Так неизвестно и требует изучения, следует ли включать в тренировочный ряд переходные процессы, как их учет повлияет на качество восстанавливаемых моделей. С другой стороны реконструкция параметров модели по нестационарному ряду может быть полезной для фиксации факта произошедших в объекте изменений (задача идеологически близкая прогнозу бифуркаций [3]). Информация о моментах изменения параметров объекта, выделение квазистационарных участков по хаотическим временным реализациям и их типологизация (классификация) очень важны, например, для решения задач нейрофизиологии.

5-м этап: оценка качества модели, после чего она используется или дорабатывается.

В работе рассмотрена возможность приложения разрабатываемых методик к анализу динамической несгационарносги и выделению этапов протекания эпилептического приступа по записи ЭЭГ. Нестационарность ЭЭГ много анализировалась со статистических позиций - с точки зрения изменений статистических распределений и спектральных свойств (см., например, обзор [20]). Этапы протекания эпилептического приступа исследовались в частности с помощью спектрального анализа [21,22]. С динамических позиций этот вопрос никогда ранее не рассматривался, хотя, как оказалось, это позволяет получить дополнительную информацию по сравнению с результатами традиционных методик.

Предложенные и исследованные в работе приемы реконструкции колебательных моделей по наблюдаемым временным рядам отрабатывались на традиционных для радиофизики нелинейных динамических системах, в том числе при внесении в сигнал искажений и шума, апробировались на радиотехнических макетах и прилагались для задач физиологии и медицинской диагностики.

Дель работы

Разработка специальных подходов к выбору структуры уравнений и тренировочных участков, расширяющих возможности реконструкции эмпирических динамических колебательных моделей. Приложение разработанного аппарата к исследованию реальных сигналов, а также к задачам медицинской диагностики.

Основные задачи, решаемые в работе

— разработка метода оптимального для целей моделирования выбора тренировочного участка нестационарного временного ряда;

— модернизация метода тестирования выбранных динамических переменных на соответствие предполагаемой структуре уравнений;

— разработка методов оптимизации набора базисных функций в отсутствии априорной информации о структуре модели;

— исследование возможностей приложения методов реконструкции

модельных отображений для анализа структуры электроэнцефалограммы

Научная новизна

— продемонстрирована эффективность использования переходных процессов при построении моделей по временному ряду, предложен метод оптимизации набора базисных функций (удаления лишних) для аппроксимации функций в модели, основанный на использовании свойств переходного процесса;

— модифицирована процедура тестирования набора реконструированных динамических переменных на возможность динамического описания (существование однозначной непрерывной зависимости между последовательными векторами переменных);

— предложен новый метод выбора базисных функций для аппроксимации неизвестных зависимостей при построении модели по временному ряду;

— показаны возможности приложения метода реконструкции модели по временному ряду к анализу динамической нестационарности Метод приложен к анализу временной структуры эпилептического припадка на основе анализа стационарности внутричерепной ЭЭГ.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов основывается на воспроизводимости всех численных экспериментов, использовании отработанных численных методов, непротиворечивости с известными в литературе результатами, а также высокой точности совпадения данных получаемых на тестовых примерах, когда восстановление идет по временным рядам эталонных динамических систем.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1 Включение в тренировочный ряд участков переходных процессов способствует получению глобальных моделей При реконструкции модели конкретного установившегося движения, нацеленного на прогноз, нестационарная часть временного ряда в общем случае снижает прогностические возможности модели Учет переходных процессов повышает эффективность предложенной процедуры опознания и удаления лишних коэффициентов многокомпонентных моделей по уровню их вариабельности при сдвиге окна реконструкции.

2. Модифицирован метод тестирования способа формирования динамических переменных модели по ряду наблюдаемой на соответствие заданной структуре глобальной динамической модели Выбранный критерий качества переменных4 позволяет определять еще и наличие нелинейности в

4 Характерный вид зависимости максимального разброса значений аппроксимируемой величины от размера окрестности гочек в восстановленном фазовом пространстве

аппроксимируемых зависимостях и судить о недостаточности объема данных во временном ряде

3 Предложен новый метод оптимизации реконструируемых многокомпонентных моделей, основанный на оценке зависимости значений коэффициента перед базисной функцией от изменения плотности распределения точек тренировочного ряда в фазовом пространстве Метод дает лучшие результаты по сравнению с ранее известными методиками, если набор базисных функций неполон

4 Расчет расстояний между векторами в пространстве коэффициентов моделей, построенных по коротким участкам временного

4 ряда, при высокой точности аппроксимации позволяет обнаруживать и

анализировать динамическую нестационарность (изменение модельного оператора эволюции) При недостаточной для динамического прогноза точности, реконструированные уравнения могут быть использованы для экспресс-анализа на статистическую нестационарность

Научная и практическая значимость результатов

Результаты диссертационной работы развивают методы получения моделей по временным рядам, имеющие общедисциплинарное значение Разработанные методики могут применяться для анализа практически важных сигналов Динамическая модель, описывающая поведение объекта, может служить инструментом для контроля его состояния Параметры реконструированной по ряду модели после дополнительного анализа могут быть связаны с не измеряемыми явно свойствами объекта Отдельной практически важной задачей является построение моделей со структурой выбранной с учетом априорной информации о природе моделируемого объекта. В этом случае построение модели может служить основой для проверки различных гипотез о механизмах его функционирования

На основе разработанных методик были написаны программы для анализа ЭЭГ, внедряемые в настоящее время в диагностическую и исследовательскую практику (9-я гор больницы города Саратова и Институт • высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН). С их помощью

исследуется возможность контроля эффективности действия противосудорожных лекарств, и устанавливаются механизмы, лежащие в основе некоторых видов эпилепсии.

Личный вклад автора

Автором произведено программирование и проведены численные расчеты и эксперименты. Формулировка поставленных задач, выбор методов их решения, а также интерпретация полученных результатов произведена совместно с научным руководителем и соавторами.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации составили содержание докладов на следующих конференциях и школах

- VII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, Россия, 1-6 октября, 2004.

- XII Научная школа «Нелинейные волны - 2004», конференция молодых ученых. Нижний Новгород, Россия, 29 февраля - 7 марта, 2004.

International symposium «Topical problems of nonlinear wave physics» (Международный симпозиум «Актуальные проблемы физики нелинейных волн»), Nizhny Novgorod, Russia, September 6-12, 2003.

- The 5th European Congress on Epileptology, Madrid, 2002

- VI Научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». 16-19 сентября, 2002.

- XI Всероссийская научная школа «Нелинейные волны - 2002» Нижний Новгород, Россия, 2-9 марта, 2002

- VI Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, Россия, 2001.

- Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2000» Саратов, Россия, 16-20 октября, 2000.

II Международная конференция «Фундаментальные проблемы физики». Саратов, Россия, 2000.

- The 6th International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA-2000 (VI Международный симпозиум по нелинейной теории и ее приложениям) Dresden, Germany, 2000.

- V Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород, Россия, 1999.

Работы были поддержаны грантами РФФИ (№99-02-17735, № 02-0217578), части работы по этим проектам выполнялись как индивидуальные разделы, поддержанные молодежными грантами РФФИ (№02-02-06502, № 03-02-06860), а также Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза (грант № REC-006).

По теме диссертации было опубликовано 17 научных работ, из них 5 статей в реферируемых научных журналах, 1 статья в коллективной монографии, 11 тезисов и публикаций в сборниках трудов конференций.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность и практическая значимость рассматриваемых в работе проблем, формулируется цель работы, перечисляются основные задачи, формулируются положения, выносимые на защиту

В первой главе рассматривается возможность, преимущества и недостатки использования переходных процессов при проведении глобальной реконструкции динамических моделей по временным рядам.

Обычно глобальные модели строятся по временным реализациям установившихся движений, соответствующих аттрактору в фазовом пространстве объекта. И такой подход представляется разумным, если необходимо осуществить прогноз поведения объекта после установления колебаний. Однако при глобальном моделирование динамики объекта' в целом, а не только определенного движения, описании поведения во всем фазовом пространстве или значительной его части ситуация меняется

Для исследования роли переходных процессов использовались временные ряды, получаемые путем численного решения уравнений эталонных динамических колебательных систем. Уровень шума при этом незначителен, определяется лишь погрешностями численного метода и машинного округления. Все это позволяет уйти от решения сложных проблем связанных с выбором качественного вида модели и влиянием шума и сосредоточиться на решении поставленной задачи

Процедура исследования заключалась в следующем. Фиксировалась

некоторая ширина окна реконструкции (А/ точек): Хк = {х^ , где т -

номер начальной точки (при увеличении т окно сдвигается по временному ряду в область установившихся движений) Модели восстанавливались при различных значениях т и сравнивались по следующим критериям качества.

1) Непосредственное сопоставление значении коэффициентов, когда структура модели полностью повторяет структуру объекта.

2) Ошибка аппроксимации, рассчитываемая как интеграл от квадрата разности функций, стоящих в объекте и модели, когда вид уравнений модели совпадает с видом уравнений объекта Использовались два варианта выбора области интегрирования - заведомо более широкая, чем область, охватываемая аттрактором, и область, состоящая из точек, лежащих в окрестности аттрактора.

3) Дальность прогноза г - длина временного интервала, на котором средняя ошибка предсказания достигает заданного значения Значение г усреднялось по множеству начальных условий, границы которого далеко уходят за область аттрактора.

Строились зависимости критериев качества от положения окна реконструкции т

На численных примерах выделено несколько вариантов влияния переходного процесса на результат реконструкции:

• Для осциллятора Тода под гармоническим внешним воздействием

х = У,

(4)

у = -0.1-у~1 + е х+соз(/) оказывается, что смещение в область установившихся движений приводит к росту ошибки аппроксимации (критерий качества 2), рассчитанной в широкой области фазового пространства. Причем наибольший рост наблюдается, когда из ряда удаляются участки переходного процесса наиболее удаленные от аттрактора. Таким образом, учет переходного процесса в этом случае улучшает качество аппроксимации за счет охвата более широкой области фазового пространства.

Ошибка аппроксимации в окрестности аттрактора ведет себя противоположным образом - уменьшается при сдвиге окна реконструкции в область установившихся движений. То есть для цели предсказания движения на аттракторе учет переходного процесса даже вреден.

• При моделировании по временному ряду, полученному из системы связанных квадратичных отображений

2., - (7>

х„+1 = Л-х„2 + к(х2 -у2), (5)

.Уи+1 = Л - Уп + к(у„2 -х2) модель восстанавливалась в двух вариантах: когда ее структура полностью повторяла систему (5) (требовалось только определить значения параметров) и в виде (6).

хп+\=Р^„,хп_х). (6)

В первом случае критерием качества служила точность совпадения коэффициентов, во втором - средняя дальность прогноза. Оказывается, что при тех значениях к, когда в системе наблюдаются синхронные режимы, без учета переходного процесса не удаеггся точно восстановить значения параметров, а дальность прогноза резко падает. Затухание одной из мод колебаний в системе (трансверсальных движений) приводит к потере информации о связи между подсистемами Без учета переходного процесса выделить эту информацию не удается

• Для автономной автоколебательной системы - осциллятора Ван дер Поля - Тода:

х = у,

у = (1-х*)-у-1 + е при восстановлении модели в виде х = У,

У = Лх,у) = (1-х2)-у+Р„(х) (8)

никакого изменения результатов моделирования при сдвиге окна реконструкции не наблюдалось Однако при изменении вида функции на универсальное полиномиальное представление

к

/(х,у,1) = Рк(х,у)= ]Га,ух'У, * + ./<* (9)

¡,)=0

обнаружилось, что ошибка аппроксимации в широкой области фазового пространства при учете переходного процесса оказывается в несколько раз меньше, чем при моделировании по аттрактору На основании вида графиков значений коэффициентов в полиноме (9) от положения окна реконструкции т делается вывод, что учет переходного процесса в данном случае позволяет уменьшить ненулевые (из-за погрешностей численного метода и невозможности точно представить экспоненту полиномом) коэффициенты перед «лишними» слагаемыми в полиноме Например, перед слагаемыми вида ху, ху2,*2)^, .. и другими, «не предусмотренными» вторым уравнением объекта (7). Коэффициенты перед такими «лишними» членами при сдвиге окна реконструкции сильно колеблются (по сравнению со своим средним значением), что особенно заметно при смещениях окна в области переходного процесса (рис.1) На основе этого свойства предложена процедура опознания и удаления «лишних» слагаемых

0,5 О •0,5 -1

3 ОД» i О ЛОЗ

; -0,003 j -0,006

О 500 1 000 1500 2000 2500 3000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Рис 1 Примеры зависимости значений коэффициентов в «нужных» (слева) и «лишних» (справа) членах от положения окна реконструкции при восстановлении модели по временному ряду осциллятора Ван дер Паля - Тода

В примере с осциллятором Ваи дер Поля - Тода применение основанного на этом свойстве алгоритма оптимизации набора базисных функций (исключении «лишних» членов) позволило получить из универсальной модели с полиномом (9) в правой части более компактную модель, дающую на порядок меньшую ошибку аппроксимации.

Во второй главе развивается и модернизируется метод выбора способа формирования динамических переменных по временному ряду, предложенный'ранее в работе [17].

Чтобы при выбранных виде модельных уравнений (например, (1) или (2)) и способе формирования переменных реконструкция была возможна, необходимо существование однозначной и непрерывной зависимости между правыми и левыми частями модельных уравнений Для проверки существования такой зависимости в [17] предлагалось разбить фазовое пространство из восстановленных переменных на ячейки размером 8 и, рассчитав в каждой из них разброс е аппроксимируемых значений, стоящих в левых частях модельных уравнений, выбрать из них максимальный. Если величина этого максимального разброса е^ обнаруживает тенденцию к уменьшению до нуля при уменьшении 8, то можно утверждать, что однозначная и непрерывная зависимость существует и построение модели возможно.

В данной главе показано, что при таком подходе зависимость 5^(8) оказывается немонотонной, что никак не связано с особенностями проверяемой на однозначность зависимости. Немонотонность появляется из-за погрешностей метода и связана с изменением положения границ ячеек при разных 8 Такие ошибочные колебания зависимости 8^(8) затрудняют оценку ее тенденции при уменьшении 5, снижают ее точность. Предложено заменить разброс в ячейках на разброс между точками, лежащими на расстоянии меньше 8 Это позволяет устранить немонотонность зависимостей разброса sm¡a{8) и более точно оценивать тенденцию изменения е^.

Кроме того, после введения такой модификации оказывается возможным использовать зависимость £^(8) для тестирования исследуемой зависимости на нелинейность В пределе при бесконечно большой плотности заполнения восстановленного фазового пространства тренировочными точками должно выполняться неравенство:

¿1 дг

В равенство оно переходит, если тестируемая зависимость линейна. Как следует из (10) в присутствии нелинейности график зависимости (8) будет вогнутым

Еще одним следствием неравенства (10) является то, что наклон графика удовлетворяет следующему неравенству

52-5х 8г

Геометрически это означает, что наклон графика в каждой точке не может превышать наклона прямой, проведенной из начала координат в эту точку. Вследствие конечности и дискретности набора тренировочных точек неравенства (10) и (11) могут нарушаться. Их нарушение, диагностируемое по наклону зависимости £П1ах (8), предложено использовать в качестве признака некорректной работы процедуры вследствие нехватки тренировочных точек для разрешения структуры зависимости на малых масштабах

Работа модифицированной процедуры проверялась и сравнивалась с результатами работы старой процедуры на ряде численных примеров: временные ряды, генерируемые логистическим отображением с добавлением шума и без, временные ряды системы Ресслера в хаотическом режиме Кроме того, процедура прилагалась для анализа рядов ЭЭГ человека во время эпилептического припадка. Использовались различные способы формирования динамических переменных' методом временных задержек при различных величинах задержки и методом численного дифференцирования. Справедливость вывода о присутствии нелинейности, получаемого с помощью модифицированного алгоритма проверялась путем сравнения с результатами ранее известного метода тестирования на нелинейность [23] Во всех случаях при использовании старого метода зависимость е^ (8) оказывалась немонотонной, что устранялось при использовании модифицированного метода.

Для всех рассмотренных примеров строились графики зависимости точки пересечения касательной к графику £^(8) с осью ординат от величины 5 Ее отрицательные значения свидетельствуют о нарушении неравенств (10-11), то есть о нехватке данных для достоверной оценки £тах Их построение позволило во всех случаях определить граничное значение 8, ниже которого результаты тестирования содержат значительные погрешности.

В третьей главе предлагается, исследуется и апробируется новый метод оптимизации набора базисных функций. В его основе лежит предположение о том, что коэффициенты перед «лишними» базисными функциями будут чувствительны к малым изменениям распределения тренировочных точек Эффекта аналогичного изменению этого

распределения можно добиться, вводя для каждой точки х, ее вес р(х1). При оценке значений коэффициентов по методу наименьших квадратов критерий их определения после введения весов выглядит следующим образом'

N ( М V

=£/>(*,) У,

/=1 I, *=1

(12)

Для случая ортогональных базисных функций получена аналитическая оценка чувствительности коэффициентов к малым изменениям весовой функции Для этого рассматривается изменение весовой функции р —> р' - р + р С использованием методов вариационного исчисления показано, что при ограничениях на величину этого изменения в виде

N N

£р(х,) = 0 = 03)

»=1 /=1 максимально возможное изменение коэффициента составляет

Ла|пах = в

ХЫМй)2 , (И)

м

где У, = У,-'¿^акЗк^) " невязки или ошибки аппроксимации в

к=1

тренировочных точках. В качестве характеристики чувствительности коэффициента перед базисной функцией к изменениям весовой функции предложено использовать величину отношения этого максимального

N

изменения к величине самого коэффициента а^ - ■

1=1

Ск=.Ц--(15)

1=1

В случае неортогонального набора достаточно рассчитать эту чувствительность для проекции базисной функции, ортогональной всем остальным базисным функциям, так как только она в действительности улучшает качество аппроксимации. Для практического вычисления величины критерия (15) в этом случае предложена формула, выражающая его через ошибки аппроксимации тренировочных данных (невязки) в присутствии и отсутствии базисной функции (х,).

На основе данной оценки чувствительности предложен новый метод выбора базисных функций, состоящего в последовательном исключении функций с наибольшей величиной (15) из начального универсального, но

громоздкого базисного набора Показана связь нового метода с традиционным методом оценки полезности базисных функций [18,19], состоящим в оценке роста ошибки аппроксимации при удалении функции из базиса Показано, что новый метод может обладать преимуществами перед традиционным в случае, когда набор базисных функций неполон (не позволяет точно представить аппроксимируемую функцию во всем фазовом пространстве)

Для сравнения нового метода с известным в качестве объектов в численных примерах брались эталонные динамические системы без добавления шума такие, что используемая в моделях полиномиальная аппроксимация не позволяла точно представить стоящие в них функции Конкретно использовались временные ряды, сгенерированные автономным осциллятором Ван дер Поля - Тода (как в 1-й главе) и система Ресслера в хаотическом режиме Оптимальное количество базисных функций определялось по максимуму среднего времени прогноза тестовых рядов. В частности для системы Ресслера применение нового метода обнаружения «лишних» базисных функций позволило в несколько раз повысить дальность прогноза тестовых рядов (в полтора раза больше, чем при использовании старого метода) и получить модель, демонстрирующую качественно схожее (хаотическое) поведение При использовании старого метода оптимальный базис оказался более громоздким. Кроме того, не удалось получить качественного соответствия между поведением модели и объекта (в модели вместо хаоса наблюдается режим периода 2).

В 4-й главе дан краткий обзор методов анализа несгационарносги, включая динамическую (изменение оператора эволюции порождающего ряд объекта) Рассмотрена возможность применения для анализа динамической нестационарности методики построения моделей по временному ряду На простых численных примерах рядов динамических систем со скачкообразным изменением параметра (логистическое отображение, отображение косинуса) показано, что точное определение момента произошедших изменений возможно, только если модель с высокой точностью описывает динамику системы. В противном случае ее коэффициенты оказываются зависящими от распределения тренировочных точек, и получаемая картина отражает нестационарность параметров этого распределения (то есть статистических, а не динамических свойств ряда).

Методика применена для анализа стационарности внутричерепных ЭЭГ во время эпилептического припадка. С ее помощью удается выделить несколько стадий в его протекании Результаты анализа динамической нестационарности припадка с помощью глобальных моделей сравниваются с более традиционными методами - построением спектрограмм и вейвлет-спектров, а также результатами анализа стационарности одномерной функции распределения. Показано, что анализ динамической нестационарности дает информацию, дополняющую то, что получается с помощью перечисленных, ставших традиционными, методик.

В приложении представлены результаты моделирования автономных колебаний антенного жгутика москита, возникающих под воздействием

определенного лекарства (ОМЯО), по временным рядам скорости его движения, предоставленным специалистами университета города Цюриха (Швейцария) Выбор в качестве переменных самой наблюдаемой величины

и

Х1 ~ КО и интеграла от нее с переменным верхним пределом у, =

о

позволил получить восстановленную фазовую траекторию, не содержащую самопересечений Для такого выбора переменных получена модель в виде осциллятора Ван дер Поля с нелинейным потенциалом, которая с высокой точностью воспроизводит динамику объекта

Основные результаты и выводы

1. Проведен анализ влияния учета переходных процессов на результат моделирования. Показано, что учет переходного процесса позволяет расширить область хорошей аппроксимации, получить информацию, теряемую при затухании некоторых мод движения (например, о связи между подсистемами при установлении синхронного режима), а также помогает при необходимости удаления «лишних» слагаемых при использовании громоздких универсальных представлений для неизвестных функций.

2 Модифицирована процедура тестирования способа формирования переменных на возможность получения динамических уравнений выбранного вида с их помощью Новый критерий качества переменных позволяет устранить часть погрешностей метода, которые приводили к немонотонности зависимости разброса значений аппроксимируемой величины от масштаба рассмотрения, определять наличие нелинейности в аппроксимируемых зависимостях и судить о недостаточности объема данных во временном ряде.

3. Предложен новый метод выбора базисных функций, для аппроксимации неизвестных зависимостей, основанный на оценке зависимости значений коэффициента перед базисной функцией от изменения плотности распределения точек тренировочного ряда в фазовом пространстве Показана связь нового метода с ранее известным. Новый метод может давать лучшие результаты, когда ненулевые коэффициенты перед «лишними» слагаемыми появляются вследствие неполноты базисного набора (невозможности точно представить аппроксимируемые функции)

4 Показаны возможности и ограничения приложения метода реконструкции модели по временному ряду к анализу динамической нестационрности

5 Проведен анализ стационарности внутричерепных ЭЭГ во время эпилептического припадка методами реконструкции уравнений по временным рядам Данные о временной структуре припадка дополняют информацию, получаемую традиционными статистическими методами, в частности, с помощью спектрального и вейвлет-анализа.

6 Проведено моделирование автономных колебаний автономных колебаний антенного жгутика москитов по временным рядам скорости его

движения Модели вида осциллятора Ван дер Поля с нелинейным потенциалом адекватно воспроизводят динамику наблюдаемой, когда в качестве переменных брались сама наблюдаемая и интеграл от нее с переменным верхним пределом.

Список цитируемой литературы;

1. Crutchfield J.P., McNamara B.S. Equations of motion from a data series // Complex Systems. 1987. Vol 1. P.417-452.

2. Cremers J., Hubler A. Construction of differential equations from experimental data // Z. Naturforschung A. 1987. Vol. 42. P.797-802.

3. Фейгин A.M., Мольков Я.И., Мухин Д. H., Лоскутов Е.М. Прогноз качественного поведения динамических систем по хаотическому временному ряду // Изв Вузов «Радиофизика». 2001. Т. XLIV, № 5-6. С. 376-397.

4. Kadtke J Classification of highly noisy signals using global dynamical models, Phys.Lett. A. 1995. Vol. 203. P. 196-202.

5. Anishchenko V.S , Pavlov A.N. Global reconstruction in application to multichannel communication // Phys.Rev. E. 1998. Vol. 57, № 2. P.2455-2457.

6. Clemens J.C. Whole Earth telescope observations of the white dwarf star PG 1159-035 (data set E) // in Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past, SFI Studies in the Science of Complexity, Proceedings Vol. XV, Addison-Wesley, 1993. P. 139-150.

7. Hubner U., Weiss C.-O., Abraham N.B., and Tang D. Lorenz-like chaos in NH3-FIR lasers (data set A) // in Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past, SFI Studies in the Science of Complexity, Proceedings Vol XV, Addison-Wesley, 1993. P. 73-104.

8. Монин А С , Питербарг Л И О предсказуемости погоды и климата // Пределы предсказуемости / под ред. Кравцова Ю.А. М.: ЦентрКом, 1997. С. 12-39.

9. Садовский М. А., Писаренко В.Ф О прогнозе временных рядов // Пределы предсказуемости/подред. Кравцова Ю А, М.: ЦентрКом, 1997. С. 158-169.

10. Cecen A. A. and Erkal С. Distinguishing between stochastic and deterministic behavior in high frequency foreign exchange rate returns: Can non-linear dynamics help forecasting? // Int. J. Forecasting. 1996. Vol. 12. P.465-473.

11. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Аншценко B.C. Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 9. С. 1075-1092.

12. Аносов О. Л., Бутковский О Я., Кравцов Ю А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор) // Известия ВУЗов. «Прикладная нелинейная динамика». 2000. Т. 8, № 1. С. 29-51.

13. Btaner M.J., Ciofmi М., Giaquinta A., Hegger R., Kantz H., Meucci R., and Politi A. Reconstruction of systems with delayed feedback: (I) Theory // Eur. Phys. J. D. 2000. Vol. 10. P. 165-176. Reconstruction of systems with delayed feedback: (II) Applications // Eur. Phys. J. D. 2000. Vol. 10. P. 177-185.

14. Kantz H. and Schreiber T. Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

15. Аншценко B.C., Янсон Н.Б., Павлов A H. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, № 7. С. 1-6.

16. Brown R, Rulkov N.F., Tracy E.R. Modeling and synchronizing chaotic systems from time-series data // Phys.Rev. E. 1994. Vol. 49, № 5. P. 3784-3800.

17 Smimov D. A., Bezruchko В P, Seleznev Y P. Choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev E. 2002. Vol. 65. 0206205. P. 1-7.

18 Judd K., Mees A. Embedding as modeling problem // Physica D. 1998. Vol. 120. P. 273-286.

19 Aguirre Luis A, Freitas Ubiratan S, Letellier Christophe, Maquet Jean Structure-selection techniques applied to continuous-time nonlinear models // Physica D. 2001. Vol. 158. P. 1-18.

20. КапланА.Я Нсстационарность ЭЭГ: методологический и экспериментальный анализ // Успехи физиологических наук. 1998. Т. 29, № 3. С. 35-55.

21 Blanco S , Garcia Н, Quian Quiroga R, Romanelli L, Rosso O A. Stationarity of the EEG scries // IEEE Engineering in Medicine and Biology. 1995. Vol. 4. P 395-399.

22 Franaszczuk P J., Bergey J К, Durka P J, Eisenberg H M Time-frequency analysis using the matching pursuit algorithm applied to seizures originating from the mesial temporal lobe // Electroencephalogr Clin. Neurophysiol 1998 Vol 106. P. 513-521

23 Casdagli M С, Weigend A S Exploring the continuum between deterministic and stochastic modeling // In Time series prediction' forecasting the future and understanding the past / Eds. Weigend A.S. and Gershenfeld N A., SFI Studies in the science of complexity, Proc. Vol. XV, Addison-Wesley, 1993.

Список публикаций no теме диссертации

1 Bezruchko BP., Dikanev T.V., and Smirnov D.A. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 036210. P. 1-7.

2 Безручко Б.П., Диканев Т В, Смирнов ДА. Глобальная реконструкция модельных уравнений по реализации переходного процесса // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т. 9, № 3. С 3 - 14.

3. Dikanev Т, Smirnov D., Ponomarenko V, and Bezruchko В. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities//Izv. VUZ Applied Nonlinear Dynamics 2003 Vol. 11, No. 3.P. 165-178.

4. Bezruchko Boris, Smirnov Dmitry, Dikanev Taras, and Sysoev Ilya. Construction of dynamical model equations for non-autonomous systems from time series (peculiarities and special techniques) // in: Chaos and its reconstruction, S Meunier-Guttin-Cluzel and G. Gouesbet (eds ), Novascience, New York, 2004.

5 Безручко Б.П., Диканев T В., Смирнов Д А. Тестирование на однозначность и непрерывность при глобальной реконструкции модельных уравнений по временным рядам // Изв ВУЗов Прикладная нелинейная динамика . 2002. Т. 10, № 4. с. 69-81.

6 Bezruchko В P., Seleznev Y P., Ponomarenko V.I., Prohorov M.D., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Sysoev I.V, Karavaev A.S Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Izv. VUZ, Applied Nonlinear Dynamics 2002. Vol.10, N3, P. 137-158.

7 Dikanev T V. Method of basis functions set optimization in time series modeling // in Proceedings of International Symposium on Topical

problems of nonlinear wave physics. Institute of Applied Physics, RAS, Nizhny Novgorod, 2003.

8. Perez Velazqez J.L., Beruchzko В., Smirnov D., Dikanev Т., Cornelius L , Wennberg R. Dynamical regimes in human intractable epilepsies // 5th European Congress on Epileptology, Madrid, 2002. Epilepsia 43 (sup. 8)' p. 177

9. Безручко Б.П., Диканев T.B., Смирнов Д.А. Выбор динамических переменных при глобальной реконструкции по временным рядам // Тезисы докладов VI научной конференции «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород. 2002. С.20-21.

10. Безручко Б.П., Виноградов А.Е., Диканев Т.В., Смирнов ДА. Сравнение различных подходов к оптимизации структуры эмпирических модельных уравнений // Тезисы докладов VI научной конференции «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород. 2002. С. 19-20.

11. Dikanev Т V., Bezruchko В.Р. The role of transient process and reconstruction of model equations from time series // The book of abstracts of «The 6th international school on chaotic oscillations and pattern formation - Chaos 2001». Saratov. 2001. P. 24-25.

12. Диканев T В. Об использовании переходных процессов при восстановлении уравнений по временным рядам И Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых -2000». Саратов. ГосУНЦ «Колледж», 2000.

13 Диканев Т.В., Капреев И.Б., Безручко Б.П., Смирнов ДА. Влияние

учета переходных процессов на качество восстановления уравнений по временному ряду // Тезисы докладов П Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики». Саратов. 2000. С. 72-73.

14. Bezruchko В.Р., Dikanev T.V., and Smirnov D. A. Informational value of different parts of a time series for reconstruction of a dynamical system // Proc. Int. Symp NOLTA, Dresden, 2000, V. 2. P. 709-712.

15. Bezruchko В P., Dikanev T.V, Seleznev Ye.P., and Smirnov D A Constructing a Model of a Non-Autonomous Piecewise-Linear Electronic Circuit from a Scalar Time Series // Proc. VII Int. Spec. Workshop NDES, Bornholm, Denmark, 1999. P. 65-68.

16. Диканев Т В., Пономаренко В.И «Информационная ценность различных участков временного ряда для восстановления уравнений динамической системы» // V международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Тезисы докладов. Нижний Новгород. 1999. С. 182-183.

17. Диканев Т.В. Информационная значимость различных участков временного ряда для восстановления уравнений динамической системы // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 98». Саратов ГосУНЦ «Колледж», 1998.

ДИКАНЕВ Тарас Викторович

АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ И ВЫБОР СТРУКТУРЫ УРАВНЕНИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ

Автореферат

[

I »

Лицензия JIP№020773 от 15.05.98 Подписано к печати 12.05 05 Формат 60x84 1/16 Бумага «Снегурочка». Гарнитура Times Усл. печ. л. 1,16 (1,25). Тираж 100 экз. Заказ 359

Издательство ГосУНЦ «Колледж» 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83

PI 0268

РНБ Русский фонд

2006-4 10702

ВВЕДЕНИЕ

1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ ЦЕЛЕЙ ГЛОБАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1.Введение

1.2.Методики оценки качества глобальных моделей при их реконструкции по различным участкам временного ряда

1.3.Примеры использования переходных процессов для улучшения качества глобальных моделей

1.3.1. Расширение области хорошей аппроксимации объекта моделью за счет использования переходного процесса (реконструкция уравнений неавтономного осциллятора Тода)

1.3.2. Потеря информации о структуре объекта при установлении движения (реконструкция дискретной многомодовой системы)

1.3.3. Улучшение качества аппроксимации при наличии «лишних» базисных функций (реконструкциая автономного осциллятора В ан-дер-Поля - Тода)

1 ^.Использование переходного процесса для оптимизации набора базисных функций

2. МОДИФИКАЦИЯ ПРОЦЕДУРЫ ВЫБОРА ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

2.1.Введение

2.2.Процедура тестирования набора переменных на возможность построения глобальной динамической модели

2.3.Модификация процедуры, возможность использования для тестирования на нелинейность

2.4.Примеры приложения процедуры тестирования

3. ОПТИМИЗАЦИЯ НАБОРА БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ

3.1.Введение

3.2.Оценка чувствительности значений коэффициентов перед базисными функциями к изменениям распределения тренировочных точек в фазовом пространстве

3.3.Методика выбора базисных функций

3.4.Соотношение предложенного и ранее известного метода оптимизации

3.5.Тестовые примеры 75 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕКОНСТРУКЦИИ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКОЙ СТАЦИОНАРНОСТИ ВРЕМЕННОГО РЯДА

4.1.Введение

4.2.Методы анализа динамической нестационарности

4.3.Анализ нестационарности при скачкообразном изменении параметров объекта: тестовые примеры

4.4.Использование простых моделей для описания сложных систем

4.4.1. Общие положения

4.4.2. Статистические оценки, к которым приводит построение динамических моделей

4.4.3. Быстрый метод обнаружения изменений многомерных распределений по скалярному временному ряду с помощью «плохих» моделей

Возможности современной вычислительной техники позволили развить новые подходы к созданию эмпирических динамических моделей колебательных явлений. Если раньше речь шла в основном об аппроксимации наблюдаемых в эксперименте простых зависимостей, то сейчас - о получении модельных дифференциальных или разностных уравнений, описывающих сложные или даже хаотические движения. Повсеместное использование в современной измерительной технике аналого-цифровых преобразователей и становление концепции динамического хаоса привели к тому, что, начиная с 80-х годов особое внимание стало уделяться реконструкции1 уравнений по хаотическим временным рядам [1-7] -дискретной последовательностям чисел, полученным стробированием наблюдаемых величин. Временные ряды могут быть векторными или скалярными; последнее еще более осложняет задачу. С помощью реконструкции решаются задачи прогнозирования дальнейшего поведения [1] и бифуркаций [8], классификации систем [9,10], скрытой передачи информации [11]. В диссертации проблема построения моделей по временному ряду рассматривается на примерах эталонных для радиофизики динамических систем, а также для некоторых сложных биологических сигналов, однако она актуальна и во многих других областях исследований. В частности для задач астрофизики [12], лазерной физики [13], метеорологии [14,15], сейсмографии [16] финансов [17,18] и т.д.

Пик интереса в задаче глобальной реконструкции уравнений по временному ряду приходится на девяностые годы, после чего появились и

1 Здесь используется общепринятый термин "реконструкция" (восстановление), хотя он полностью адекватен лишь ситуации, когда временной ряд получен путем численного решения уравнений. В приложении к реальным объектам и явлениям, для которых нет единственной или "истинной" математической модели, уместнее было бы говорить о "конструировании", а не о "реконструкции".

2 Термин «глобальная» означает, что модельные уравнения, записанные в замкнутой форме, описывают поведение объекта во всем фазовом пространстве (глобально). обобщающие материал работы [19-22]. Однако практическое применение разработанных методик выявило ряд принципиальных трудностей, возрастающих вместе с размерностью и степенью нелинейности моделируемых процессов. Это послужило причиной некоторого разочарования в возможностях культивируемых тогда универсальных подходов к глобальной реконструкции и продемонстрировало необходимость разработки направленных методик и приемов (технологий), учитывающих специфику достаточно узких классов моделируемых объектов. На разработку элементов таких технологий и направлена данная диссертационная работа. Суть проблем и необходимость постановки решаемых в работе задач поясним при описании процедуры реконструкции модели по временному ряду. При всем разнообразии подходов и практических ситуаций в ней можно выделить следующие основные этапы:

1-й этап: выбор типа модельных уравнений, например, разностные xi+1=F(xf) (1) или дифференциальные г=*■(«.)■ (?) at

2-й этап: формирование ряда векторов состояния {х,-}, где х. = (xn,.,xiD), по ряду наблюдаемой величины {v,}^, которая скалярна, продеформирована измерительными приборами и искажена шумами. То есть выбрать количество D и способ получения динамических переменных. Наиболее часто употребляются методы временных задержек и последовательного дифференцирования, последовательного интегрирования [23], взвешенного суммирования [24], но в принципе, наблюдаемые и переменные могут быть связаны любым другим мыслимым способом, предугадать который без информации о принципах функционирования объекта весьма сложно. Неудачный выбор переменных затрудняет аппроксимацию неизвестных зависимостей F в модельных уравнениях выбранного вида (1-2) или вовсе делает их неоднозначными, а следовательно, 5 непригодными для динамического моделирования. Проблема оптимизации выбора переменных уже привлекала к себе внимание [25-27], но известные численные процедуры нуждаются в модернизации.

3-й этап: выбор вида аппроксимирующих функций F. В отсутствии априорной информации или иных соображений о виде функции F для ее представления используются различные универсальные формы. Обычно ее выбирают в виде универсальной линейной комбинации некоторых базисных функций: причем вид fk может оказать решающее влияние на результат моделирования. Часто F берут в виде полинома, однако их использование (как и других универсальных аппроксиматоров) ведет к очень громоздким выражениям с большим числом лишних слагаемых, что является одной из причин неудач реконструкции в случае моделирования сложных систем. Удалив лишние базисные функции можно, сделав модель более компактной, существенно расширить область, в которой она работоспособна. Для этой цели известно несколько процедур, например, критерий Стьюдента или специальные процедуры [28,29]. Но их применимость ограничена, а расширение возможностей требует новых решений.

На этапах 1-3 фиксируется структура модели.

4-й этап: выбор тренировочного участка во временном ряде переменных, по которому затем оцениваются параметры модели (обычно методом наименьших квадратов). Задача выбора тренировочного ряда становится нетривиальной и требует решения в первую очередь при наличии в ряде нестационарности, а это типично, особенно для живых систем. Так неизвестно и требует изучения, следует ли включать в тренировочный ряд

3 Применимость этих методик обоснована, если неточности аппроксимации связаны только с присутствием шума. На практике типичны ситуации, когда источником ошибок кроме шума служит невозможность точного представления функций, стоящих в объекте, через выбранные базисные. м

3) переходные процессы, как их учет повлияет на качество восстанавливаемых моделей. С другой стороны реконструкция параметров модели по нестационарному ряду может быть полезной для фиксации факта произошедших в объекте изменений (задача идеологически близкая прогнозу бифуркаций [8]). Информация о моментах изменения параметров объекта, выделение квазистационарных участков по хаотическим временным реализациям и их типологизация (классификация) очень важны, например, для решения задач нейрофизиологии.

5-й этап: оценка качества модели, после чего она используется или дорабатывается.

В работе рассмотрена возможность приложения разрабатываемых методик к анализу динамической нестационарности и выделению этапов протекания эпилептического приступа по записи ЭЭГ. Нестационарность ЭЭГ много анализировалась со статистических позиций - с точки зрения изменений статистических распределений и спектральных свойств (см., например, обзор [30]). Этапы протекания эпилептического приступа исследовались, в частности, с помощью спектрального анализа [31,32]. С динамических позиций этот вопрос никогда ранее не рассматривался, хотя, как оказалось, это позволяет получить дополнительную информацию по сравнению с результатами традиционных методик.

Предложенные и исследованные в работе приемы реконструкции колебательных моделей по наблюдаемым временным рядам отрабатывались на традиционных для радиофизики нелинейных динамических системах, в том числе при внесении в сигнал искажений и шума, апробировались на радиотехнических макетах и прилагались для задач физиологии и медицинской диагностики.

Цель работы

Разработка специальных подходов к выбору структуры уравнений и тренировочных участков, расширяющих возможности реконструкции эмпирических динамических колебательных моделей. Приложение разработанного аппарата к исследованию реальных сигналов, а также к задачам медицинской диагностики.

Основные задачи, решаемые в работе разработка метода оптимального для целей моделирования выбора тренировочного участка нестационарного временного ряда; модернизация метода тестирования выбранных динамических переменных на соответствие предполагаемой структуре уравнений;

-- разработка методов оптимизации набора базисных функций в отсутствии априорной информации о структуре модели; исследование возможностей приложения методов реконструкции модельных отображений для анализа структуры электроэнцефалограммы.

Научная новизна продемонстрирована эффективность использования переходных процессов при построении моделей по временному ряду, предложен метод оптимизации набора базисных функций (удаления лишних) для аппроксимации функций в модели, основанный на использовании свойств переходного процесса; модифицирована процедура тестирования набора реконструированных динамических переменных на возможность динамического описания (существование однозначной непрерывной зависимости между последовательными векторами переменных); предложен новый метод выбора базисных функций для аппроксимации неизвестных зависимостей при построении модели по временному ряду; показаны возможности приложения метода реконструкции модели по временному ряду к анализу динамической нестационарности. Метод приложен к анализу временной структуры эпилептического припадка на основе анализа стационарности внутричерепной ЭЭГ.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов основывается на воспроизводимости всех численных экспериментов, использовании отработанных численных методов, непротиворечивости с известными в литературе результатами, а также высокой точности совпадения данных получаемых на тестовых примерах, когда восстановление идет по временным рядам эталонных динамических систем.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Включение в тренировочный ряд участков переходных процессов способствует получению глобальных моделей. При реконструкции модели конкретного установившегося движения, нацеленного на прогноз, нестационарная часть временного ряда в общем случае снижает прогностические возможности модели. Учет переходных процессов повышает эффективность предложенной процедуры опознания и удаления лишних коэффициентов многокомпонентных моделей по уровню их вариабельности при сдвиге окна реконструкции.

2. Модифицирован метод тестирования способа формирования динамических переменных модели по ряду наблюдаемой на соответствие заданной структуре глобальной динамической модели. Выбранный критерий качества переменных4 позволяет определять еще и наличие нелинейности в аппроксимируемых зависимостях и судить о недостаточности объема данных во временном ряде.

3. Предложен новый метод оптимизации реконструируемых многокомпонентных моделей, основанный на оценке зависимости значений коэффициента перед базисной функцией от изменения плотности распределения точек тренировочного ряда в фазовом пространстве. Метод

4 Характерный вид зависимости максимального разброса значений аппроксимируемой величины от размера окрестности точек в восстановленном фазовом пространстве. дает лучшие результаты по сравнению с ранее известными методиками, если набор базисных функций неполон.

4. Расчет расстояний между векторами в пространстве коэффициентов моделей, построенных по коротким участкам временного ряда, при высокой точности аппроксимации позволяет обнаруживать и анализировать динамическую нестационарность (изменение модельного оператора эволюции). При недостаточной для динамического прогноза точности, реконструированные уравнения могут быть использованы для экспресс-анализа на статистическую нестационарность.

Научная и практическая значимость результатов

Результаты диссертационной работы развивают методы получения моделей по временным рядам, имеющие общедисциплинарное значение. Разработанные методики могут применяться для анализа практически важных сигналов. Динамическая модель, описывающая поведение объекта, может служить инструментом для контроля его состояния. Параметры реконструированной по ряду модели после дополнительного анализа могут быть связаны с не измеряемыми явно свойствами объекта. Отдельной практически важной задачей является построение моделей со структурой выбранной с учетом априорной информации о природе моделируемого объекта. В этом случае построение модели может служить основой для проверки различных гипотез о механизмах его функционирования.

На основе разработанных методик были написаны программы для анализа ЭЭГ, внедряемые в настоящее время в диагностическую и исследовательскую практику (9-я гор. больницы города Саратова и Институт высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН). С их помощью исследуется возможность контроля эффективности действия противосудорожных лекарств, и устанавливаются механизмы, лежащие в основе некоторых видов эпилепсии.

Личный вклад автора

Автором произведено программирование и проведены численные исследования и эксперименты. Формулировка поставленных задач, выбор методов их решения, а также интерпретация полученных результатов произведена совместно с научным руководителем и соавторами.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации составили содержание докладов на следующих конференциях и школах

- VII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, Россия, 1-6 октября, 2004.

- XII Научная школа «Нелинейные волны - 2004», конференция молодых ученых. Нижний Новгород, Россия, 29 февраля - 7 марта, 2004.

- International symposium «Topical problems of nonlinear wave physics» (Международный симпозиум «Актуальные проблемы физики нелинейных волн»), Nizhny Novgorod, Russia, September 6-12, 2003.

- The 5th European Congress on Epileptology, Madrid, 2002.

- VI Научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». 16-19 сентября, 2002.

- XI Всероссийская научная школа «Нелинейные волны - 2002». Нижний Новгород, Россия, 2-9 марта, 2002.

- VI Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, Россия, 2001.

- Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2000». Саратов, Россия, 16-20 октября, 2000.

- II Международная конференция «Фундаментальные проблемы физики». Саратов, Россия, 2000.

- The 6th International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA-2000 (VI Международный симпозиум по нелинейной теории и ее приложениям). Dresden, Germany, 2000.

- V Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород, Россия, 1999.

Работы были поддержаны грантами РФФИ (№99-02-17735, № 02-0217578), части работы по этим проектам выполнялись как индивидуальные разделы, поддержанные молодежными грантами РФФИ (№02-02-06502, № 03-02-06860), а также Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза (грант № REC-006).

По теме диссертации было опубликовано 17 научных работ, из них 5 статей в реферируемых научных журналах, 1 статья в коллективной монографии, 11 тезисов и публикаций в сборниках трудов конференций.

Структура работы

Во введении обосновывается актуальность и практическая значимость рассматриваемых в работе проблем, формулируется цель работы, перечисляются основные задачи, формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается возможность, преимущества и недостатки использования переходных процессов при проведении глобальной реконструкции динамических моделей по временным рядам.

Для исследования роли переходных процессов использовались временные ряды, получаемые путем численного решения уравнений эталонных динамических колебательных систем (осциллятора Тода под гармоническим внешним воздействием, связанных квадратичных отображений, осциллятора Ван дер Поля - Тода). Уровень шума при этом незначителен, определяется лишь погрешностями численного метода и машинного округления. Все это позволяет уйти от решения сложных проблем связанных с выбором качественного вида модели и влиянием шума и сосредоточиться на решении поставленной задачи.

Процедура исследования заключалась в следующем. Фиксировалась некоторая ширина окна реконструкции (М точек): Хк = {х.}^, где т -номер начальной точки (при увеличении т окно сдвигается по временному ряду в область установившихся движений). Модели восстанавливались при различных значениях т и сравнивались различным критериям качества (точность аппроксимации функций, стоящих в объекте, предсказательные возможности модели).

Выделены случаи, влияния учета переходного процесса на качество модели. В зависимости от цели моделирования (получение глобальной модели или прогноз установившихся движений) использование переходного процесса может как улучшать, так и ухудшать качество модели.

Для случая, когда аппроксимирующие функции содержат «лишние» слагаемые, предложена процедура их выделения и удаления из базиса. Эффективность использования этой процедуры повышается при моделировании по переходному процессу.

Во второй главе развивается и модернизируется метод выбора способа формирования динамических переменных по временному ряду, предложенные ранее в работе [17].

Чтобы реконструкция была возможна необходимо, чтобы между последовательными восстановленными векторами состояния существовала однозначная и непрерывная зависимость. Поэтому, решая, какой набор переменных выбрать, необходимо проверить наличие однозначной непрерывной зависимости между левыми и правыми частями восстанавливаемых уравнений. Для этого в [17] предлагалось разбить фазовое пространство из восстановленных переменных на ячейки размером 5 и рассчитав в каждой из них разброс s аппроксимируемых значений, стоящих в левых частях модельных уравнений, выбрать из них максимальный. Если зависимость этого максимального разброса б^^ от 6 идет в 0 при уменьшении д, то можно утверждать, что однозначная и непрерывная зависимость существует и построение модели возможно.

В данной главе предложено заменить разброс в ячейках на разброс между точками, лежащими на расстоянии меньше 8. Это позволяет устранить немонотонность зависимостей разброса s^x (S), что облегчает их интерпретацию. Кроме того, после введения такой модификации оказывается возможным использовать зависимость s^^ (5) для тестирования исследуемой зависимости на нелинейность.

Проанализировано влияние конечности и дискретности имеющегося набора тренировочных точек на результаты тестирования. Выделен признак некорректной работы процедуры, вследствие нехватки тренировочных точек для разрешения структуры зависимости на малых масштабах.

В третьей главе предлагается, исследуется и апробируется новый метод оптимизации набора базисных функций. В его основе лежит предположение о том, что коэффициенты перед «лишними» базисными функциями будут чувствительны к малым изменениям распределения тренировочных точек. Эффекта аналогичного изменению этого распределения можно добиться вводя для каждой точки ее вес. При оценке значений коэффициентов по методу наименьших квадратов критерий их определения после введения весов будет выглядеть следующим образом:

N ( М s = £p(*i) f{Xi)~Y,akSk(xi) • 1=1 V k=i

Для случая ортогональных базисных функций получена аналитическая оценка чувствительности коэффициентов к малым изменениям весовой функции р —» р' = р + р. В случае неортогонального набора достаточно рассчитать эту чувствительность для проекции базисной функции, ортогональной всем остальным базисным функциям, так как только она в действительности улучшает качество аппроксимации.

Предлагается процедура совершенствования базиса, которая в данном случае состоит из выбора некоего начального универсального набора с последующим исключением тех функций, чувствительность которых к малым изменениям весовой функции тренировочных точек максимальна.

Показана связь новой процедуры оптимизации с ранее известной [18,19]. Процедура апробируется, и эффективность ее работы сравнивается с эффективностью ранее известной методики на ряде численных примеров.

В 4-й главе дан краткий обзор методов анализа нестационарности, включая динамическую (изменение оператора эволюции порождающего ряд объекта). Рассмотрена возможность применения для анализа динамической нестационарности методики построения моделей по временному ряду. На простых численных примерах рядов динамических систем со скачкообразным изменением параметра (логистическое отображение, отображение косинуса) показано, что точное определение момента произошедших изменений возможно, только если модель с высокой точностью описывает динамику системы. В противном случае ее коэффициенты оказываются зависящими от распределения тренировочных точек, и получаемая картина отражает нестационарность параметров этого распределения (то есть статистических, а не динамических свойств ряда).

Методика применена для анализа стационарности внутричерепных ЭЭГ во время эпилептического припадка. С ее помощью удается выделить несколько стадий в его протекании. Результаты анализа динамической нестационарности припадка с помощью глобальных моделей сравниваются с более традиционными методами - построением спектрограмм и вейвлет-спектров, а также результатами анализа стационарности одномерной функции распределения. Показано, что анализ динамической нестационарности дает информацию, дополняющую то, что получается с помощью перечисленных, ставших традиционными, методик.

В приложении представлены результаты моделирования автономных колебаний антенного жгутика москита, возникающих под воздействием определенного лекарства (DMSO), по временным рядам скорости его движения, предоставленным специалистами университета города Цюриха (Швейцария). Выбор в качестве переменных самой наблюдаемой величины xt =v(t,) и интеграла от нее с переменным верхним пределом у. = ^v{t)dt о позволил получить восстановленную фазовую траекторию, не содержащую самопересечений. Для такого выбора переменных получена модель в виде осциллятора Ван дер Поля с нелинейным потенциалом, которая с высокой точностью воспроизводит динамику объекта.

Основные результаты 4-й главы:

1. Показаны возможности и ограничения приложения метода реконструкции модели по временному ряду к анализу динамической нестационрности.

2. Проведен анализ стационарности внутричерепных ЭЭГ во время эпилептического припадка методами реконструкции уравнений по временным рядам. Данные о временной структуре припадка дополняют информацию, получаемую традиционными статистическими методами, в частности, с помощью спектрального и вейвлет-анализа.

1-4-1-I-I-"V"-n-"-----------FT'".1 ' ■ ■ '

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

Время, sec

Рис.4.22. Временная реализация, спектрограмма (спектры, рассчитанные в скользящем окне длиной 1000 точек (4 сек)) и вейвлет преобразование (вейвлет Морле (4.17) с т0=6) ЭЭГ пациента 3.

Рис. 4.23. Матрицы расстояний между коэффициентами линейных 6-мерных моделей (а) и нелинейных (с полиномом 3-го порядка) 3-мерных моделей (б) для ЭЭГ пациента 3. Стрелками показаны моменты начала и конца припадка, выделенные специалистами по виду временной реализации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получение удачной динамической модели требует точности на всех перечисленных во введении этапах процедуры ее реконструкции. Ошибка или просто не самый удачный выбор на любом из них может сделать эту задачу трудной или, вообще, нерешаемой. По этой причине причине развивавшиеся с начала 80-х годов универсальные подходы к реконструкции не нашли широкого практического применения. В последние годы стало ясно, что необходимо разрабатывать направленные методики и приемы (технологии), учитывающие специфику достаточно узких классов моделируемых объектов.

В работе предложен целый ряд подобных технологических приемов, позволяющих существенно расширить область применения реконструкции. Сюда относятся: учет переходных процессов (включение его в тренировочный ряд и использование при проведении оптимизации набора базисных функций), усовершенствованный метод проверки пригодности набора переменных для динамического моделирования, новый метод оптимизации набора базисных функций.

Коэффициенты хорошей динамической модели не должны зависеть от распределения тренировочных точек в фазовом пространстве. В этом случае расстояние между коэффициентами, рассчитанными на разных участках временного ряда, можно использовать для оценки динамической нестационарности, то есть обнаружения моментов изменения оператора эволюции генерирующего ряд объекта. Однако и в случае присутствия такой зависимости модель может быть полезна, как средство экспресс-анализа статистической нестационарности.

Методика анализа стационарности была применена для исследования этапов протекания эпилептических приступов по внутричерепным записям ЭЭГ. Полученные результаты дополняют информацию, доступную с помощью стандартных для этой области методик (спектрального и вейвлет-анализа).

1. Crutchfield J.P., McNamara B.S. Equations of motion from a data series // Complex Systems. 1987. Vol. 1. P.417-452.

2. Cremers J., Hubler A. Construction of differential equations from experimental data // Z.Naturforschung A. 1987. Vol.42. P.797-802.

3. Breeden J.L., Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables // Phys.Rev. A. 1990. Vol.42, № 10. P.5817-5826.

4. Gouesbet G., Maquet J. Construction of phenomenological models from numerical scalar time series // Physica D. 1992. Vol.58. P.202-215.

5. Gouesbet G., Letellier C. Global vector-field approximation by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets // Phys. Rev. E. 1994. Vol.49. P.4955-4972.

6. Грибков Д.А., Грибкова B.B., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., Ржанов А.Г. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам // Радиотехника и электроника. 1994. Т.39, В.2. С.269-277.

7. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции // Письма в ЖТФ. 1997. Т.23, № 8. С.7-13.

8. Фейгин A.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Лоскутов Е.М. Прогноз качественного поведения динамических систем по хаотическому временному ряду // Изв. Вузов. Радиофизика. 2001. Том XLIV, № 5-6. С. 376-397.

9. Kadtke J. Classification of highly noisy signals using global dynamical models // Phys.Lett. A. 1995. Vol.203. P. 196-202.

10. Kadtke J., Kremliovsky M. .Estimating statistics for detecting determinism using global dynamical models // Phys.Lett. A. 1997. Vol.229. P.97-106.

11. Anishchenko V.S., Pavlov A.N. Global reconstruction in application to multichannel communication // Phys.Rev. E. 1998. Vol.57, № 2. P.24552457.

12. Н.Монин A.C., Питербарг Л.И. О предсказуемости погоды и климата// Пределы предсказуемости / под ред. Кравцова Ю.А. М.: ЦентрКом, 1997. С. 12-39.

13. Keller C.F. Climate, modeling, and predictability // Physica D. 1999. V. 133. P. 296-308.

14. Садовский M.A., Писаренко В.Ф. О прогнозе временных рядов// Пределы предсказуемости / под ред. Кравцова Ю.А., М.: ЦентрКом, 1997. С. 158-169.

15. Lequarre J.Y. Foreign currency dealing: a brief introduction (data set C) // in Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past, SFI Studies in the Science of Complexity, Proceedings Vol. XV, Addison-Wesley, 1993. P. 131-137.

16. Cecen A.A. and Erkal C. Distinguishing between stochastic and deterministic behavior in high frequency foreign exchange rate returns: Can non-linear dynamics help forecasting? // Int. J. Forecasting. 1996. V. 12. P .465-473.

17. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 9. С. 1075-1092.

18. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор) // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, № 1.С. 29-51.

19. Kantz H. and Schreiber Т., Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

20. Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов A.H. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, №7. С. 1-6.

21. Brown R., Rulkov N.F., Tracy E.R. Modeling and synchronizing chaotic systems from time-series data // Phys.Rev. E. 1994. Vol. 49, № 5. P. 37843800.

22. Letellier C., Macquet J., Le Sceller L., Gouesbet G., and Aguirre L.A. On the non-equivalence of observables in phase space reconstructions from recorded time series // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. V. 31. P. 7913-7927.

23. Letellier C., Aguirre L.A. Investigating nonlinear dynamics from time series: The influence of symmetries and the choice of observables // Chaos. 2002. V. 12, No. 3. P. 549-558.

24. Smirnov D.A., Bezruchko B.P., Seleznev Y.P. Choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. 0206205.

25. Judd K., Mees A. Embedding as modeling problem // Physica D.1998. Vol. 120. P. 273-286.

26. Aguirre Luis A., Freitas Ubiratan S., Letellier Christophe, Maquet Jean. Structure-selection techniques applied to continuous-time nonlinear models //Physica D. 2001. Vol. 158. P. 1-18.

27. Каплан А.Я. Нестационарность ЭЭГ: методологический и экспериментальный анализ // Успехи физиологических наук. 1998. Том 29, №3. с. 35-55.

28. Blanco S., Garcia H., Quian Quiroga R., Romanelli L., Rosso O.A. Stationarity of the EEG series // IEEE Engineering in Medicine and Biology. 1995. Vol. 4. P. 395-399.

29. Franaszczuk P.J., Bergey J.K., Durka P.J., Eisenberg H.M. Time-frequency analysis using the matching pursuit algorithm applied to seizures originating from the mesial temporal lobe // Electroencephalogr. Clin. Neurophysiol.1998. Vol. 106. P. 513-521.

30. Noack B.R., Ohle F., Eckelmann H. Construction and analysis of differential equations from experimental time series of oscillatory systems // Physica D. 1992. Vol. 56. P. 389.

31. Hegger R., Kantz H., Schmuser F., Diestelhorst M., Kapsch R.-P., Beige H. Dynamical properties of a ferroelectric capacitor observed through nonlinear time series analysis // Chaos. 1998. Vol. 8, No. 3. P. 727.

32. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Реконструкция уравнений неавтономного осциллятора по временному ряду (модели, эксперимент) // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика,1999. Т. 7,№ 1. С 49.

33. Bezruchko В., Smirnov D. Constructing nonautonomous differential equations from an experimental time series // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. 016207.

34. Froyland J. Some symmetric, two-dimensional, dissipative maps // Physica D. 1983. Vol. 8. P. 423.

35. Waller I., Kapral R. Spatial and temporal structure in systems of nonlinear oscillators // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 30. P. 2047.

36. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума// Известия ВУЗов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 8. С. 991.

37. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системедиссипативно связанных рекуррентных отображений // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1989. Т. 32, № 1. С. 49.

38. Pikovsky A.S., Grassgerger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic attractors // J. Phys. A: Math Gon. 1991. Vol. 24. P. 4587.

39. Inoue M., Nishi Y. Highly complicated basins of periodic attractors in coupled chaotic maps // Progr. Theor. Phys. 1996. Vol. 95. P. 685.

40. Астахов B.B, Безручко Б.П., Ерастова E.H., Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах // ЖТФ. 1990. Т. 60, вып. 10. С. 19.

41. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V. Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79. P.l 014.

42. Kaplan D.T. Exceptional events as evidence for determinism // Physica D. 1994. Vol. 73. P. 738-748.

43. Безручко Б.П., Диканев T.B. Смирнов Д.А. Тестирование на однозначность и непрерывность при глобальной реконструкции уравнений по временным рядам // Известия ВУЗов «Прикладная нелинейная динамика». 2002. Т. 10, № 4. С. 69-81.

44. Rulkov N., Sushcik М.М., Tsimring L.S. et al. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled systems // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 980.

45. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М: «Наука», 1969.

46. Manuca R., Savit R. Stationary and nonstationaiy time series analysis // Physica D. 1996. Vol. 99. P. 134-161.

47. Kennel M. B. Statistical test for dynamical nonstationarity in observed time series data // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56. P. 316.

48. Yu Dejin, Lu Weiping, Harrison Robert G. Space time-index plots for probing dynamical nonstationarity // Phys. Lett A. 1998. Vol. 250. P. 323327.

49. Rieke C., Stemickel K., Andrzejak R.G., Elger C.E., David P., Lehnertz K. Measuring nonstationarity by analyzing the loss of recurrence in dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88, № 24.

50. Schreiber T. Detecting and Analyzing Nonstationarity in a Time Series Using Nonlinear Cross Predictions // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 843.

51. Schreiber T. Interdisciplinary application of nonlinear time series methods // Phys. Rep. 1999. Vol. 308. P. 3082.

52. Palus M. Nonlinearity in normal human EEG: cycles, temporal asymmetry, nonstationarity and randomness, not chaos // Biol. Cybern. 1996. Vol. 75. P. 389-396.

53. Шишкин C.JI., Бродский Б.Е., Дарховский B.C., Каплан А.Я. ЭЭГ как нестационарный сигнал подход к анализу на основе непараметрической статистики // Физиология человека. 1997. Т 23, № 4. С. 124-126.

54. KohImorgen J., Muller K.R., Rittweger J., Pavelzik K. Identification of nonstationary dynamics in physiological recordings // Biol. Cybern. 2000. Vol. 83. P. 73-84.

55. Gribkov D., Gribkova V. Learning dynamics from nonstationaiy time series: analysis of electroencephalograms // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 63, No.6. P. 6538-6545.

56. Jefferys, J.G.R. Basic mechanisms of focal epilepsies // Exp. Neurol. 1990. Vol. 75. P. 127-162.

57. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия, М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.

58. Schreiber Т., Schmitz A. Classification of time series data with nonlinear similarity measures //Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79, No.8. P. 1475-1478.

59. Mallat, S. and Zhang, Z. Matching pursuit with time-frequency dictionaries // IEEE Trans. Sign. Process. 1993. Vol. 41. P. 3397-3415.

60. Theiler J. On the evidence for low-dimensional chaos in an epileptic electroencephalogram. Physics Letters A. 1995. Vol. 196. P. 335-341.

61. Schiff N.D., Labar D.R., Victor J.D. Common dynamics in temporal lobe seizures and absence. Neuroscience 1999. Vol. 91, No.2. P. 417-428.

62. Andrzejak R.G., Widman G., Lehnertz K., Rieke C., David P., Elger C.E. The epileptic process as nonlinear deterministic dynamics in a stochastic environment: an evaluation on mesial temporal lobe epilepsy // Epilepsy Res. 2001. Vol. 44. P. 129-140.

63. Haken H. Principles of Brain Functioning. A Synergetic Approach to Brain Activity, Behavior and Cognition. Berlin: Springer-Verlag, 1996, Ch. 14.

64. Lehnertz K., Arnhold J., Elger C.E., Grassberger P. Chaos in Brain? Singapore: World Scientific Publishing, 2000.135

65. Elger C.E., Lehnertz К. Seizure prediction by non-linear time series analysis of brain electrical activity. Eur. J. Neurosci. 1998; 10: 786-789.

66. Andrzejak R.G., Mormann F., Kreuz Т., Rieke C., Kraskov A., Elger C.E., Lehnertz K. Testing the null hypothesis of the nonexistence of a preseizure state // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. 010901(R).

67. Mormann F., Kreuz Т., Andrzejak R.G., David P., Lehnertz K., Elger C.E. Epileptic seizures are preceded by a decrease in synchronization // Epilepsy Res. 2003. Vol. 53. P. 173-185.

68. Martinerie J., Adam C., Le Van Quyen M., Baulac M., Clemenceau S., Renault В., Varela F.J. Epileptic seizures can be anticipated by nonlinear analysis //Nature Med. 1998. Vol. 4. P. 1173-1176.

69. Le Van Quyen M., Martinerie J., Navarro V., Boon P., D'Have M., Adam

70. C., Renault В., Varela F., Baulac M. Anticipation of epileptic seizures from standard EEG recordings // Lancet. 2001. Vol. 357. P. 183-188.

71. Lopes da Silva F.H., Blanes W., Kalitzin S.N., Parra J., Suffczynski P., Velis

72. D.N. Epilepsies as dynamical diseases of brain systems: basic models of the transition between normal and epileptic activity // Epilepsia. 2003. Vol. 44. P. 72-83.

73. Suffczinski P., Kalitzin S., Lopes da Silva F.H. Dynamics of non-convulsive epileptic phenomena modeled by a bistable neuronal network // Neuroscience. 2004. Vol. 126. P. 467-484.

74. Aschenbrenner-Scheibe R., Maiwald Т., Winterhalder M., Voss H.U., Timmer J., Schulze-Bonhage A. How well can epileptic seizures be predicted? An evaluation of a nonlinear method // Brain. 2003. Vol. 126. P. 2616-2626.

75. Maiwald Т., Winterhalder M., Aschenbrenner-Scheibe R., Voss H.U., Schulze-Bonhage A., Timmer J. Comparison of three nonlinear seizure prediction methods by means of the seizure prediction characteristic // Physica D. 2004. Vol. 194. P. 357-368.

76. Arnhold J., Grassberger P., Lehnertz K., Elger C.E. A robust method for detecting interdependences: application to intracranially recorded EEG // Physica D. 1999. Vol. 134. P. 419-430.

77. Lachaux J.P., Rodriguez E., Martinerie J, Varela F.J. Measuring phase synchrony in brain signals // Hum. Brain Mapp. 1999. Vol. 8. P. 194-208.

78. Mormann F., Lehnertz K., David P., Elger C.E. Mean phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of epilepsy patients // Physica D. 2000. Vol. 144. P. 358-369.

79. Varela F., Lachaux J.P., Rodriguez E., Martinerie J. The brainweb: phase synchronization and large-scale integration //Nat. Rev. Neurosci. 2001. Vol. 2. P. 229-239.

80. Stam C.J., van Dijk B.W. Synchronization likelihood: an unbiased measure of generalized synchronization in multivariate data sets // Physica D. 2002. Vol. 163. P. 236-251.

81. Altenburg J., Jeroen Vermeulen R., Strijers R.L.M., Fetter W.P.F., Stam C.J. Seizure detection in the neonatal EEG with synchronization likelihood // Clin. Neurophysiol. 2003. Vol. 114. P. 50-55.

82. Moeckel R., Murray B. Measuring the distances between time series // Physica D. 1997. Vol. 102. P. 187-194.

83. Hively L.M., Gaily P.C., Protopopescu V.A. Detecting dynamical change in nonlinear time series // Physics Letters A. 1999. Vol. 258. P. 103-114.

84. Kantz H. Quantifying the closeness of fractal measures // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 5091.

85. Eckmann J.P., Kamphorst S.O., Ruelle D. Recurrence plots of dynamical systems // Europhysics Letters. 1987. Vol. 4. P. 973-977.

86. Jouny C.C., Franaszczuk P.J., Bergey G.K. Characterization of epileptic seizure dynamics using Gabor atom density // Clin. Neurophysiol. 2003. Vol. 114. P. 426-437.

87. Gopfert M.C., Robert D. Active auditory mechanics in mosquitoes // Proc. R. Soc. Lond. B. 2001. Vol. 268. P. 333-339.

88. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

89. Публикации автора по теме диссертации

90. Bezruchko В.Р., Dikanev T.V., and Smirnov D.A. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 036210.

91. Безручко Б.П., Диканев T.B., Смирнов Д.А. Глобальная реконструкция модельных уравнений по реализации переходного процесса // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т. 9, № 3. С. 3 14.

92. Dikanev Т., Smirnov D., Ponomarenko V., and Bezruchko В. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities // Izv. VUZ «Applied Nonlinear Dynamics». 2003. Vol. 11, No. 3.P. 165-178.

93. ЮО.Безручко Б.П., Диканев T.B., Смирнов Д.А. Тестирование на однозначность и непрерывность при глобальной реконструкциимодельных уравнений по временным рядам // Известия ВУЗов «Прикладная нелинейная динамика». 2002. Т. 10, № 4. С. 69-81.

94. Dikanev T.V. Method of basis functions set optimization in time series modeling // in: Proceedings of International Symposium on Topical problems of nonlinear wave physics. Institute of Applied Physics, RAS, Nizhny Novgorod, 2003.

95. Perez Velazqez J.L., Beruchzko В., Smirnov D., Dikanev Т., Cornelius L., Wennberg R. Dynamical regimes in human intractable epilepsies // 5th European Congress on Epileptology, Madrid, 2002. Epilepsia 43 (sup. 8): p. 177.

96. Безручко Б.П., Диканев T.B., Смирнов Д.А. Выбор динамических переменных при глобальной реконструкции по временным рядам // Тезисы докладов VI-й научной конференции Нелинейные колебания механических систем. Нижний Новгород 2002, с.20-21.

97. Dikanev T.V., Bezruchko В.Р. The role of transient process and reconstruction of model equations from time series. // The book of abstracts of 6th international school on chaotic oscillations and pattern formation Chaos 2001, Saratov 2001, p. 24-25.

98. Диканев T.B. Об использовании переходных процессов при восстановлении уравнений по временным рядам // Материалы научнойшколы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых -2000», Саратов, ГосУНЦ «Колледж».

99. Bezruchko В.Р., Dikanev T.V., and Smirnov D.A. Informational value of different parts of a time series for reconstruction of a dynamical system // Proc. Int. Symp. NOLTA, Dresden, 2000, V. 2. P. 709-712.

100. Bezruchko B.P., Dikanev T.V., Seleznev Ye.P., and Smirnov D.A. Constructing a Model of a Non-Autonomous Piecewise-Linear Electronic Circuit from a Scalar Time Series // Proc. VII Int. Spec. Workshop NDES, Bornholm, Denmark, 1999. P. 65-68.

101. Диканев Т.В. «Информационная значимость различных участков временного ряда для восстановления уравнений динамической системы», Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых 98», Саратов, ГосУНЦ «Колледж».