Анализ симметрии реплик и ее нарушение в рамках вариационного подхода Богомолова тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

км/, ^ л о'

МОСКОВСКИЙ СВДН& ЖЕША ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ II ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕБОЛЩК Х'ОСУДДОСГШПШ УКШЕРЖКГ им. М,В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи УЖ 5B3.HI

РАЮТУАИдаЛЭТЙ. СУЛУШАЙ1А

АНАЛИЗ СШЕТИШ РЕПЛИК И ЕЕ НАРУШЕНИЕ В РАМШ. ВАРИАЦИОННОГО ПОДХОДА. БОГОЛЮБОВА

Ul.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена на Физическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

член-корреспондент АН СССР, профессор Н.Н.Боголюбов, к.ф.-м.н., в.н.с. Л.Н.Ершлов

д.ф.-м.я., в.н.с. Н.й.Куликов, к.ф.-м.н. . н.с.

А.В.Содцатов

Вычислительный центр Академии наук

Защита состоится "ji.ipfJJLJ.992 г. в часов на

заседании специализированного совэта К 053.05.18 при физическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горн, МГУ, физический факультет, аудитория Л^ОЛА^,-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ.

Автореферат разослан ■/¿" .шм 1992 Г.

Научные руководители:

Официальные оппонента:

Ведущая организация:

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук ^СФ-^ П.А.Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение систем большого количества взаимодействую©« частиц представляет одно из наиболее интересных и важных направления в современной физике. Возникновение коллективного поведения, величин, описывающих систему как целое, из ее микроскопических свойств, элементарных взаимодействий частиц, является одним из фундаментальных явлений природа. Очень существенна универсальность этого явления, общность свойств макросистем с широким классом элементарных взаимодействий. Именно это обстоятельство обуславливает возможность широкого применения упрощенных модельных систем для объяснения наблюдаемых явлений в фюических макросистемах, одной из наиболее богатых по содержанию, несмотря на простоту формулировки, оказалась модель Изинга и ее обобщения, в частности, модель Поттоа. Возможность в некоторых случаях аналитически решить математические проблемы в рамках модельных систем привела к быстрому развитию теории критических явлений. В последнее время, в связи с обнаруженными экспериментально спиновыми стеклами, значительное внимание привлекли замороженные модели, в которых интенсивность взаимодействия является случайной величиной. Большинство результатов, полученных для замороженной модели Изинга, относятся к случаю гауссового распределения. Отчасти это объясняется резким возрастанием сложности математических проблем при перехода к другим распределениям, отчасти -превалировавшим ранее мнением, что вид распределения не оказывает существенного влияния на термодинамические

свойства систош. Однако, в работах Н.Н.Боголюбова (мл.), А.Н.Ермилова, А.Н.Киреева, А.М.Курбатова показано, что в системах с близко действием детали распределения вносят не пренебрекимый вклад в свободную энергию и, следовательно, из влияние заслуживает всестороннего изучения. Вместе с тем, применение вариационного метода Боголюбова было ограничено построением решгачно-симметричного решения, в то время, как в стандартном методе исследования гауссовой модели Изинга проведен анализ состоятельности решения такого типа и выполнено нарушение репличной симметрии.

Целью настоящей работы, таким образом, является как продолжение изучения следствий рвплично-симметричного решения, полученного в рамках вариационного подхода Боголюбова к моделям спинового стекла с произвольно распределенными интенсивностями взаимодействия, так и анализ его устойчивости по отношению к нарушению репличной симметрии и проведение параметризации Паризи.

Выполненные исследования подчинены развитию общего научного направления диссертационной работы - аналитических исследования стохастических решетчатых спиновых моделей.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том,

что

1. Развит вычислительный метод анализа реплично-симметричного рекения модели Изинга с произвольным распределением интенсивности взаимодействия вблизи парамагнитной фазы.

2. Исследованы свойства реплично-симметричного решения фрустрациовдо-гауссовой модели Изинга.

3. Построено обобщение неравенства Альмейда-Таулесса, определяпцеэ область устойчивости реплично-симметричного решения моделей Изинга и Поттса с произвольным распределением; тюлученн аналитические выражения в частных случаях.

4. Для гауссовой модели Изинга доказана эквивалентность вариационного метода Боголюбова методу Шеррингтона-Киркпагрика.

Б. Для моделей Изинга и Поттса с произвольным распределением выполнено нарушение репличной симметрии с параметризацией Паризи.

Перечисленные положения выносятся автором на защиту.

Практическая ценность работа определяется тем, что основные ее- результаты могут слупить фундаментом дальнейших исследования в области моделей спинового стекла с произвольным распределением интенсивности взаимодействия.

Апробация работы. Основные результата диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах по статистической физике Физического факультета МГУ им.М.В.Ломоносова и Математического института АН СССР им.В.А.Стеклова.

По материалам диссертации опубликована 1 работа и 2 работы направлены в печать.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Объем диссертации составляет 79 страниц машинописного текста, включая 7 рисунков и список литературы из 93 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цель и задача исследований, обоснована их актуальность и дан краткий обзор по физике спиновых стекол.

В первой главе изучается реютчно-симметричное решение замороженной модели Поттса с произвольным распределением ингенсивностей взаимодействия, построенное по вариационному методу Боголюбова.

В первом параграфе кратко изложен вариационный метод Боголюбова. в котором с помощью метода реплик строится эффективный гамильтониан «(п) система с п рештаками и после выбора пробного гамильтониана 7i0(n;{i?,£}), содержащего вариационные параметры, строится приближение $ к свободной энергии 7 исходной модели

£ = lira in 1л 7(п),

*-Ю Ш,С) Г(п) = 70(п) + (П(п)> - <"W0(n)>.

Во втором параграфе предложен метод исследования решпгено-симметричного решения замороженных моделей Изинга с произвольным распределением вблизи парамагнитной фазы, использующий разложение вариационное свободной энергии по вариационным параметрам. Поскольку фазовые переходы в случае замороженной модели Изинга - второго рода, то такой подход корректен, с его помощью проделаны вычисления для фрустра-ционно-гауссовой модели и построены фазовые диаграммы при некоторых значениях параметров распределения, в совокупности даидих представление о изменениях в системе, связанных с их

изменениями. Приводятся графики зависимости положения тройной точки и углов наклона кривых фазового перехода в ней от значений параметров распределения.

В третьем параграфе изложены результаты вариационного метода Боголюбова для гауссовой модели Поттса.

Во второй главе исследуется устойчивость реплично-симметричного решения замороженных моделей Изинга и Поттса с произвольным распределением интенсивности взаимодействия.

В первом параграфе вопрос об устойчивости реаается в общем виде. Выполнено разложение свободной энергии около реплично-симметричных значений вариационных параметров до второго порядка по малым величинам бС,*"1 отклонений от них

ТЧп) = - || Е I К(р,<?;г,Л) С4РЧ б1еН

р. а tf.fi

и показано, что при произвольном распределении условием устойчивости является неравенство

й(1,2;1,2) - 2Я(1,2;1,3) + й(1,2;3,4) < О,

ранее доказанное для случая гауссового распределения Альмейдом и Таулессом. Равенство нулю выражения в правой части неравенства определяет обобщенную АТ-линию, ограничивающую область устойчивости.

Во втором параграфе интегральное представление условия устойчивости выведено для модели Изинга с произвольным распределением

+ 1+ ¡к'Н,)2]!^ ~ 4(0ь)г] несись)) +

+ 4«4>г - - 40Х0Ь0С -

10,

у4 - (Ос)4 + 8(0ь>г + 8(0с)г] 1пГ(Т,Ь,с)|^ < о.

Для его исследования вблизи парамагнитной фазы выполнено обобщение подхода, использованного для анализа реплично-симметричного решения, и получено разложение

V - 2й° + (15 + 13сх4)(С°)г -

- 4(1 а3)(1)°)г + ОсЛц-3) < О; ц = а, - 1; V - - 1;

причем ц° и являются величинами порядка ц и Подробные вычисления проделаны для фрустрационно-гауссовой модели м фазовая диаграмма при некоторых значениях параметров распределения дополнена АТ-линией. Обнаружена возможность устойчивости решшчно-симметричного решения для фазы спинового стекла по крайней мере вблизи парамагнитной фазы для некоторых распределений.

В третьем параграфе для условия устойчивости реплично-симметричного решения гауссовой модели Поттса получено интегральное представление, которое исследовано в случае трехкомяонентнсй ферромагниной модели Поттса численно с помощью стандартных программ вычисления кратных интегралов. Как и в случае гауссовой модели Изинга, фаза спинового стекла целиком принадлежит области неустойчивости.

В третьей главе проводится наруиение репличной симметрии в рамках вариационного метода Боголюбова и разрабатывается метод исследования соответствующей свободной энергии.

В первом параграфе в случав полностью нарушенной репличной симметрии доказана эквивалентность вариационного метода Боголюбова для гауссовой модели Изинга методу Шеррингтона-Киркпатрика. Получено следующей соотношение между вариационными функционалами Боголюбова и

Шеррингтона-Киркпатрика ,а)

9А у Рч

£ -

■У»,*», •

из которого следует, что значения вариационных параметров, обеспечивающих экстремум функционала, как и экстремальное значение функционала одинаковы в обоих подходах.

Во втором параграфе для замороженной модели Поттса с произвольным распределением интенсивности взаимодействия выполнено нарушение репличной симметрии двумя независимыми параметрами: йм = (рд) е й; Ср" - С2. (Р7) г О. использующее множества О, предложенные Паризи, и установлено, что в частном случае модели Изинга такая параметризация сохраняет эквивалентность вариационных задач Боголюбова и Шеррингтона-Киркпатрика.

В третьем параграфе для замороженной модели Поттса с произвольным распределением интенсивности взаимодействия проведена параметризация по схеме Паризи с произвольным числом шагов и выполнен предельный переход по числу независимых параметров: {£} - С(х), х е (0,1). Для предельного вариационного функционала получено выражение

* I1 - fellv^Ui-

ьР = a + CW i,, sP = 2' + VOTT a,.

f/(i,b,g) = Ilm i in x-O

+

4=0

Oh . 1 . «Г V . 1 v w„4

иг - - z m^2 Tg2* + г n 1п(Ю •

Ьщ = ид + уйШУ

Я(Ъ) = lim i in d(x;b),

Ой _ « й£ 8^(1 . 1 ^

<*(i;6) = ^л(б).

В заключении приведены основные результаты и вывода.

1. Проанализировано реплично-симметричное решение модели Изинга с фрустрационно-гауссовым распределением интенсивности взаимодействия вблизи парамагнитной фазы и обнаружено, что зависимость основных характеристик фазовой диаграммы от параметров распределения является существенной.

2. Для замороженной модели Изинга с произвольным распределением показана возможность устойчивости реплично-симметричного решения фазы спинового стекла относительно нарушения симметрии реплик. Расчеты, реализующие эту возможность, проведены для фрустрационно-гауссового распределения.

3. В уравнениях для вариационных параметров и АТ-вера-венстве гауссовой модели Поттса 2т-крагнш интегралы сведены к я-кратвым, что существенно упрощает численные метода.

4. Получены точше ссотноэзнкя между гзриацнонкшот функционалами Боголюбова и Шерригтона-Кирклатрика, дохазкваю-вдб их этшйЕалёнтностъ для гауссовой модол! Кзшга.

5. Построен вари8циснннй функционал для свободной энергии замороженной модели Поттса с произвольным распределением при нэпрершаюй параметризация Паризя.

Основные научные результн опубликованы в работах:

1. Ермилов А.Н., Кабанович B.W., Ракутуаридзауна С. О тто-ведешта п-кошонентннх заморожешых фрусхрагдаотдао-тауссйБых спиновых систем вблизи парамагнитной фазы // Препринт НИИЯЯ МГУ 89-11/88.

2. Ermilov A.N., Rabanovieh T.I., Kiirbatov A.M., Pacotoarid-sauna S Almeita-Thoulaae Inequality for tiin quenohed lining model with arbitrary distributions of oouplins oonstanta // Направлено в Physios A.

3. Brailov A.N., Kurbatov A.M., Raoo* oariiî/.nurih s Almsida-Thoulese line for the qusnoheJ. Pot te modol // Kfir/paBJ.mi'o в Int. J. Sod. Fhysioe S.

3AK Ц. ТЧР. 100 2! I9Z tfrtiho МИД росши.