Анализ термонапряженного состояния сложных конструкций с периодической структурой методом асимптотического расщепления тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 ОД

л На правах рукописи

- 5 01Й «96

БЕРСЕНЕВ СЕРГЕЙ БОРИСОВИЧ

. АНАЛИЗ ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ СЛОЖНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ МЕТОДОМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

Специальность: 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена ка кафедре 'Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского государственного техническог о университета.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Елисеев

доктор технических наук, профессор Н.Н.Шабров

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, заслуженный деятель науки и техники России, профессор В.А-Постнов

кандидат технических наук, ААМалков

Ведущая организация:

Научно-производственное объединение по исследованию и проектированию энергетического оборудования им, И.И. Ползунова

Защита состоится "/-г* 1996г. в '/У" часов на заседании

диос«р1ациониого совета Д 053.23.01 при Саша-Петербург оком государственном морском техническом университете по адресу: 190008, г. Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д. 3.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке СПбМГТУ.

Автореферат разослан ' ОК_1996 г.

Ученый секретарь диссеотационного совета, кандидат технических наук, доцент

УЧ

> С.Г.Кадыров

•У -7

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуально С1Ь_япаблемЫ. Решение задач механик деформируемого твердого тела для больших пространственных конструкций представляет собой весьма сложную проблему. Как правило, требуется построение ко-нечно-элемешной модели с очень большим числом степеней свободы. Задача еще больше усложняется, если элементы конструкции изготовлены не из однородного материала, а имеют а основе некоторые периодические структуры. Примером таких элементов могут служить катушш электромагнитного поля. Ячейки периодических структур часто имеют сложное строение и включают несколько различных по свойовам материалов. Ввести в память компьютера модель с множеством таких ячеек просто не представляется возможным, не говоря уже о получении достоверного решения.

Для упрощения конечно-элементной модели задачи неоднородные отруктуры заменяют однородными моделями с эффективными свойствами. В случае периодической структуры, для построения однородной модели, к хорошим результатам приводит использование метода асимптотического., расщепления. Общая теория применения метода асимптотического расщепления к решению задач механики довольно хорошо исследована о работах ряда ученых. Однако, большинство результатов весьма далеко от формы готовой к применению для решения конкретных задач. Очень мало работ содержит примеры практического использования метода и результатов полученных о его помощью.

Цйльвабаш.

1. Построи1Ь корректную, прежде всего с точки зрения механики, аналитическую постановку задачи термоупругости для периодических структур готовую к использованию в качестве исходной в процедурах метода конечных элементов.

2. Создать программную систему определения эффективных термомеханических свойств волокнистых периодических структур с симметричной и не симметричной ячейками и проведения локального анализа напряжений в этих структурах.

3. Разработагь алюриш анализа термонапряженнсго состояния сложных консфукций с периодическими структурами. •

4. Используя разработанный алгоритм и программную систему провести расчетное исследование термонапряженного состояния элементов электро-

магнитной системы установки ITER (международный термоядерный экспериментальный реактор).

Научная иовиэиа-'

1. Разработан новый алгоритм решения задач термоупругости для сложных конструкций с периодическими структурами на основе метода асимптотического расщепления. Лги оритм позволяет радикально упростить конечно-элементную модель конструкции и отличается высокой точностью вычисления напряжений.

2. Для модели волокнистой периодической структуры с ортотропными материалами получены все задачи на ячейке в форме готовой к применению а приложениях.

3. Проведен численный анализ напряженного состояния катушек электромагнитной системы установки (TER который дал новые важные результаты для оцонки их прочности.

Практическая ценность работы. С помощью разработанной программной системы проведен ряд высокоточных расчетов термонапряженного состояния ¡элементов установки ITER. Результаты этих расчетов используются при проектировании установки. Программная система внедрена в научно-исследовательском институте им. Д.В. Ефремова и используется для дальнейших расчетов электромагнитных установок.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были заслушаны на международной конференции по оптимизации конечно-элементных аппроксимаций "OFEA'95" (С.-Петербург, 1995 г.), на семинаре в Ганноверском университете (ноябрь 1995 г.), на международной конференции по асимшотике в механике "AiM'96" (С.-Петербург, 1996т.), на XV международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике'деформируемых тел" (С.-Петербург, 1996 г.).

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 125 страниц, в том числе 39 рисунков, 67 наименований в списке литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются оспрвные направления работы.

1. Задачи механики для периодических композитов и структур

В композитах первостепенную важность имеет понятие представительного объема, т.е. минимального объема, который сохраняет сиойатва материала. Любое поле в композите можно представить суммой u-u'+U, где и"- некое сглаженное "эффективное" поле, а и - быстроосцилирующпя флуктуация. Обычно полагают

(1)

и'(М) = (и) Э V'ljudV у

- среднее по представительному объему с центром в точке М. Таким образом вводятся эффективные перемещения и", деформации е' и напряжения

г*. Очевидно сохранится связь.£ =Vm" Тензор эффективных модулей 4 С*

определяют как коэффициенты связи г" и

С помощью представительного объема удается найти эффективную жесткость 4 С*. Для этого обычно рассматривают одну из двух замечательных задач. В первой задаче на поверхности О, ограничивающей представительный объем, заданы перемещения

(2)

u-sо°С

симметричный постоянный тензор. Нетрудно показать, что для аффективных деформаций е' и напряжений г* справедливо

О)

*sb{s) = еа, (г°°б)= г'оов*

Во второй задаче на граница представительного объема задаются силы

по Г-по г„ -

г, - симметричный постоянный тензор. Здесь справедливо

Г* = r0,(f о о£) = £* о о£*

Важнейшим результатом является то, что энергия композита и его гомогенной модели совпадают. Задавая различные е, или г,, и приравнивая

энергий, можно получить систему уравнений для 'с*. Обе задачи позволяют также найти • локальную структуру поля. Предполагается, что результаты обеих задач будут одинаковы.

Для периодических структур фундаментальным понятием является ячейка периодичности. Обычные меюды механики композитов для периодических структур работают плохо. Каким взять представительный объем? Одна ячейка периодичности очевидно мала для этого, что следует из различных результатов, получаемых при решении задач (2) и (4).

Методы асимптотического расщепления основаны на возможности ваесш несколько масштабов в задаче. В задачах механики для периодических структур можно ввести два масштаба. Наибольший L - это характерный размер тела, или макроскопический масштаб. Меньший масштаб X или микро-масштаб - размер ячейки периодичности. Считают, что l<< L. Это условие позволяет ввести малый параметр задачи как отношение меньшего и большего масштабов. Далее, помимо обычных макро координат, вводят лок-альные-"быстрые" координаты. Их отношение также равно малому параметру. Решение ищется в виде ряда по степеням малого параметра. В результате преобразований задача расщепляется на быструю и . медленную (эффективную) части. Большой вклад в развитие применения метода асимптотического расщепления внесли работы Н.Н.Боголюбова, Ж.-Л.Лионса, Н.С.Бахвалова, Б.Е.Победой и других ученых.

2. Асимптотическое расщепление задачи термоупругости для периодических структур

Квазистатические уравнения линейной теории термоупругости для перемещений и в тензорных обозначениях имеют следующий вид

(6) •

где т - температура, К - объемные силы.

Рассмотрим некоторую периодическую структуру, в которой упругие модули 'С и коэффициенты линейного расширения а являются быстроменяющимися и периодическими по каждому из аргументов ¡с, функциями

(7)

*£=*£(& 2 = Ч-+0

+ + + ra}% p,q,r = 0,±1,+2,...

" «(Îi.'i.Îj^ECÎi ^/»„Çj+qcjj,^ + p,q,r = 0,± 1,12,...

Введение малого параметра 7 приводит к расщеплению оператора Гамильтона

; (8)

■V = rj-lV + V

V = 0,^-дЩ, \ =ejâ„ â^dtâc,

Решение уравнения (6) будем искать в виде ряда по степеням малого параметра

(9)

и = u,0,(*,i)+ mil)(x,p+ rçV'feÎH ••

Решение уравнения теплопроводности также может быть получено в вида ряда (9). Нас в дальнейшем будет интересовать только эффективное температурное поле Т(Ч> = >9. Подсгае/(нв*(8) и (9) в (в) и потребуем равенства нулю " членов при одинаковых степенях rj. В главном члена порядка 0(rj~2) получим

(10)

Можно показа (ь, что общим решением этогоуравнения будет

Члены 0(/7 ') таковы:

V -,oVmv,)) 4 V ÇooS + V °D в - 0 и'" •-' Л'(<Л £ ( Mi.QO< е - Vv\ D'à -4C.°oçr

(11)

(12)

Здесь представлена локальная структура поля перемещений и задачи на ячейке периодичности для 3.Л£ и М. В и(|> отброшена аддитивная константа

у0>(х) поскольку она не представляет интереса. Граничные условия задач для '/(им- периодичность по 4-

Интегральное условие разрешимости в уравнении для членов порядка от 1)позволяет получить итоговое уравнение для эффективного поля:

(13)

УУ'уооо4 с'+ %'<?<»О' =0

Угловые скобки означают осреднение по ячейке. Если ввести эффективный коэффициент теплового расширении а" (О" - -'С' »«а*), то уравнение (13) примет вид (6). Следовательно, на макро уровне композит ведет себя как обычная однородная среда - если говорить о перемещениях. Задачи на ячейке можно переписать в следующем виде:

(14)

'С*4 £ * С, Уо'ГггО

4С' = (4Г ) Я У '1147У»'> У'1 ||/?о4ТЛ> V о'

(15)

о

При переходе к поверхностным интегралам применена теорема о дивергенции.

В задаче (14) введем новые обозначения

(16)

С

Тензор *Г симметричен по первой и вюрой пара индексов, а тензор ЭС/

также симметричен по второму и третьему индексам, поэтому уравнение (14) распадаеюя на шесть для шести векторов и, (¡=1,...,6)

(17)

Имеем по шесть векторов Ы, и тензоров т со следующим соответствием индексов представленным в Таблице 1.

Таблица 1.

1 2 3 4 5 6

I* 11 22 33 23(32) 13(31) 12(21)

На границах ячейки имеем услоиия периодичности для Ц, и т но не для Г,. При возникновении сложностей из-за не периодичности и„ можно решать задачи для Ы, и г г4 . В этом случае, можно либо считать

слагаемое 'С а 'г1 как начальное напряжение, либо член V*' С в (12) считать объемной силой.

Рассмотрим теперь напряжения:

(18)

г =♦ Со + У)(у + 7и("+...) - а(0+'т/Г(,) +...)] =4 Т° °е + в в + 0(7)

В отличие от м, здесь ужо в главном члене есть локальная структура (зависимость 4 Г и © от £)•

Если периодическая структура является волокнистой, то тензорный модуль 4 С в этом случае не зависит от Периодом я, можно считать любое число, периодичность любой величины по 4\ означает ее постоянство в эгом направлении. Не зависят от тензоры и ''£, поэтому задачи на

ячейке периодичности будут двумерными - в прямоугольнике £ у • ¡|,|Эффективные модули 4с* и а" получатся осреднением по этому

прямоугольнику тензоров *Т и 0. Но двумерных представлений оказывается недостаточно при использовании тензора 'У и формулы (14). Будем

считать материал изотропным в каждой точке, а ячейку периодичности -симметричной в широком смысле, т.е. упругие модули четны по и {,

Рис.1

—11 а,/2

(Рис.1). Тогда гомогенная .модель композита будет ортотропной о отличными от нуля модулями

ИI •^"5322 • • 123 • Ш » 212 • ^Ш1» •

Используя свойства четности функций в данной задаче условия периодичности преобразуются к обычным условиям первого и второго рода. Для определения компонент тензора 4Г необходимо решить три задачи о

плоской деформации с заданными ненулевыми перемещениями на границе, одну задачу о плоской деформации с начальными напряжениями и две задачи об анжгшоской деформации. Для определения тензора 0 нужно решить задачу эквивалентную задаче о плоской деформации с начальными напряжениями.

3. Метод конечных элементов в задачах тормоупругооти для периодических структур

Конечно-эляменгная постановка задачи линейной термоупругости приводит к сиоеме линейных шиебраических уравнений

(19)

К1' - *

где К - глобальная мягрица жес" кости, К - вектор узловых сил всей системы, 0 - неизвестный вею ор перемещений.

в-г/2

С в О А

Далее рассмотрены определяющие соотношения связывающие напряжения и деформации. При помощи выражении для потенциальной энергии деформации получено выражение матрицы упругих модулей для важнейших случаев упругой симметрии. Подробнее разбирается вопрос об ортогонально анизотропном материале. Для такого материала получена формула вычисления матрицы жесткости в осях не совпадающих с осями ортотро-пии: . .

(20)

К(.)= |в<',гнв('></<а = |В('>гТ/1ГТ,В('>Ла

Здесь Т, - матрица поворота, Н - матрица Гука.

При решении задач для волокнистого композита на ячейке периодичности предлагается использовать четырехугольные изопараметрические конечные элементы второго порядка.

4. Программная система конечно-элементного анализа термонапряженного состояния волокнистых периодических структур

Конечно-элементный анализ термонапряженного состояния волокнистых периодических структур можно разбить на следующие восемь ша-. гов;

1. Задание исходных данных.

2. Формирование сетки конечных элементов.

3. Формирование матрицы жесткости.

- 4. Учет граничных условий.

5. Решение системы уравнений МКЭ.

С. Вычисление поля тензорного оператора 4Т.

7. Определение эффекжвных свойств.

8. Вычисление поля напряжений.

Каждый из этих шагов программируется одной или несколькими основными подпрограммами. Все подпрограммы разделены так, что со- • ставляют четыре независимых исполняемых модуля: графический редактор, генератор сетки конечных элеменюв, анализатор и лос¡процессор. Передача данных между про(раммами 0сущес1вляе1ся посредством файловой систмы, хранящейся на жестком диске. В файлах содержатся: исходные данные, 1еоме>рия задачи, мафица жесткости и поле 1еиэорною оператора напряжений.

Препроцессор состоит из двух исполняемых модулей. Первый модуль - графический редактор. Эта программа позволяет пользователю задавать исходные данные в интерактивном режиме. Для решения задач на ячейке периодичности достаточно ввести в память ЭВМ геометрию ячейки и свойства материалов, из которых она состоит. Генератор сетки особым образом формирует сетку конечных элементов на основании введенных пользователем данных.

В анализаторе сначала формируется глобальная матрица жесткости конечно-элементной модели. Затем последовательно решаются задачи на ячейке периодичности. Для решения системы уравнений МКЭ применен алгоритм метода сопряженных градиентов с предобусловливанием глобальной матрицы системы для сокращения числа Итераций:

* (21)

Задаем: ив. Вычисляем:

Для 1-АЛД.

г, = Р-Кив <10 - В Л0 Ро=А

«,.=(*■,;«»,)/ (Р,.Кр.) «ы = V,4 Р.

а,К»,

*М1

В'г,.

«•=¿+1,

Сходимость метода обычно проверяется условием

И

где ера - заранее заданное число. В качестве предобуславливающей выбрана следующая матрица

(22)

I ) = <Лед(К)

Учет граничных условий периодичности и линейной зависимости производится следующим образом. Если вехгор перемещений вырази (ь через ею шмвйно независимую час 1ь следующим соотношением

и = TU, + f

то систему (19) можно переписать в таком виде

т

K.l'r-F,

где •

к, - ткт

F, TF-TKT

Для новой системы (24) в процедуре метода сопряженных градиентов (21) изменится операция по вычислению следующего вектора

(25)

q = £Ta<'>4C<*V'>Tp 4

Постпроцессор позволяет пользователю вычислять напряжения в интерактивном режиме. Для этого необходимо иметь решение задач на ячейке периодичности и знать значение эффективного поля деформаций о интера-сующих точках конструкции. Значения поля напряжений в ячейке отображаются на экране в Виде линий равных напряжений или при помощи цветной запивки. Существует возможность получить поля главных напряжений. Дня ортотропных материалов напряжения вычисляются как в глобальных осях задачи, так и в осях ортотропии. При необходимости можно получить кривую распределения напряжений в произвольно задаваемом линейном сечении.

5. Примеры решения задач термоупругости для частей установки

■ ITER '' ■ ' х

Для анализа термонапряженного состояния сложных конструкций с периодической структурами предлагается использовать следующий алгоритм:

1. Решение задач на ячейке периодичности.

Для каждой периодической структуры, входящей в конструкцию, строится конечно-элементная модель ячейки периодичное г и. Решаются задачи на ячейке. Определяются поля операторов *Т и в. Вычисляются эффективные свойства 4 С* и а\

2. Анализ тврмонапряженного состояния всей конструкции.

Строится конечно-элементная модель всей конструкции. При этом, периодические структуры, входящие в элементы конструкции, полагаются однородными материалами. Их свойства определены в п.1. Проводится линейный или нелинейный анализ гермонапряженного состояния конструкции под действием внешних и внутренних нагрузок. Главным результатом этого шага является определение поля эффективных деформаций s'.

3. Анализ напряжений.

Для всех элементов конструкции, состоящих из однородных материалов, поле напряжений определяется без труда

. • (26)

т-4 Со°(£-аГ)

Для элементов с периодической структурой, которая моделировалась эффективными 4С' и а', эта формула не работает. В данном случае используется соотношение

(27)

В каждой точке однородной модели периодической структуры мы как бы имеем ячейку периодичности со своим распределением напряжений.

Вычисление напряжений производя! в наиболее опасных, с дочки зрения прочности конструкции, зонах.

Выше описанная программная система и алгоритм конечно-элементного анализа термонапряженного состояния периодических структур, применяется при исследованиях элементов электромагнитной системы установки ITER в НИИЭФА им. Д.В.Ефремова.

В работе приводятся результат численного исследования напряженного состояния тороидальных и полоидальных катушек входящих в электромагниту« сис!ему установки ITER. Обмотки этих катушек представляют собой волокнистые периодические структуры. Ячейка периодичности представляется в виде поперечного сечения одною витка обмотки. В поперечном сечении обмотки тороидальной катушки находится около 200 витков, а полоидальной катушки более fiOO витков. Сложная структура самих нитков и их большое количество практически не дают возможности построить приемлемую конечно-элементную модель обмотки для анализа напряженною состояния катушек. ,

Рис.2 Распределение интенсивности касательных напряжений'в стальном корпусе катушки тороидального поля установки ИТЕР под действием единичного крутящего момента.

TF60

SH/PC/Fr-Toole

Stress levels, МРа

•OOOt'OO

.гоос.оо

•400Е«00 ■БООГ.ОО .GC0F..00 . I00E.C1 . 120E♦0 i . 1 '.01. «01 .I СОЕ.01

a Max 1.8 MPa и Mln Ф MPa

Рис.; Распределение интенсивности касательных напряжений а обмотке катушки тороидального поля установки ИТЕР под действием единичного крутящего момента.

Рис.4 Касательные напряжения кручения в радиальной пластине обмотки тороидальной катушки.

Рис 5 Касательные напряжения кручения в кожухе проводника тороидальной катушки.

Следуя алгоритму, на первом этапе определялись эффективные свойства однородных моделей обмоток катушек. В Таблице 2 приведены эффек-

тивные механические свойства для обмотки тороидальной катушки (ГПа). _______Таблица 2.

Бп Егг Еи VII У21 V}! йи Ни йи

86 82 124 0.2 0.17 0.26 23 37 34

На втором этапе были проведены решения задач о напряженном состояний катушек под действием различных нагрузок. Обмотка катушек рассматривалась как однородная ортотропная среда. На Рис.2-Э приведены поля интенсивности величины называемой эффективными напряжениями в сечении тороидальной катушки под действием единичного крутящего момента.

Для вычисления напряжений в обмотках проводился локальный анализ. Его результаты для тороидальной катушки а зоне наиболее высоких эффективных деформаций (напряжений) представлены на Рис.4-5. Максимальные значения касательных напряжений а радиальной пластине обмотки более чем в 10 раз превосходят соответствующие значения эффективной величины. Локальный анализ напряжений в катушках при других видах нагрузок дал аналогичные результаты сравнения эффективных и истинных величин. Его результаты дали ценную информацию для дальнейшего проектирования и улучшения конструкции с точки зрения прочностных характеристик.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1, Как показал анализ литературных источников, метод асимптотического расщепления является очень мощным средством при построении новых математических моделей для задач с периодическими характеристиками. Хорошая математическая основа метода позволяет строить решение задач с выоокой точностью (до малого параметра). Большие возможности и перспективы видятся в области применения метода асимптотического расщепления к решению конкретных задач, имеющих важное прикладное значение.

2. С помощью метода асимптотического расщепления было построено решение задачи линейной кааэистатической теории упругости для периодических структур. Получены формулы для вычисления эффективных харак-■ еристик и напряжений. Показано отсуютвие медленной составляющей в функции напряжений. Рассмотрены материалы ö различными видами анизотропии.

3. Разработан алгоритм решения сложных задач термоупругости с периодическими структурами. Показано преимущество этого алгоритма перед традиционными.

4. Проведена численная реализация решения задачи термоупругости дня периодических структур на основе метода коненных элементов. Создана программная сис(ема конечно-элементного анализа,' в которой, в частности, реализован достаточно редкий тип граничных условий « условия периодичности и линейной зависимости. Разработан графический Интерфейс ввода данных'и обработки результатов.

Можно отметить интересную задачу о возможности реализации учета граничных условий периодичности при профильной схеме хранения глобальной матрицы. Как показал опыт расчетов, при решении системы уравнений методом сопряженных градиентов, в некоторых задачах бывает довольно сложно достишу1ь сходимости или получить достаточную точность решения. Время, затрачиваемое на решение семи задач на ячейке методом сопряженных градиентов при большом числе степеней свободы гораздо больше, чем при применении метода Холецкого.

5. Созданная программная систрма успешно внедрена в лаборатории НИИЭФА им. Д.В.Ефремова. При ее использовании был проделан ряд эф-фек!ивных и высокоточных расчетов об определении напряженною сосгоя-нии элементов электромагнитной системы установки ITER.

Основные положения диссер1ации oi ражены в следующих работах:

1. Barsenev S.B., Eliseev V.V., Shabrov N.N, Asymptotic method ol the periodic composit structures analysis//" OFEA'95, report, SI.PetersbuiQ, 1995.

2. Bersenev S.B., Egorov K.E., Eliseev V.V. Asymptotic method in Ihe thermal elasticity ot the periodic slructure// AiM'Wi, SI.Petersburg, 1<Wfj. Берсенев С.Б.. Егоров К.Э. Конечно-элеменгный анализ асимшо-1ически расщепленных уравнений гермоупрус ости/У Доклад на XV международной конференции "Мшемажческие модели, меюды по--1внци;1ла и конечных элементы и механике деформируемых (ел", С,-Meiepöypi, 1 W<!