Анализ упругих тел на основе смешанных дискретных моделей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

МАТВЕЕВ Александр Данилович

АНАЛИЗ УПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ СМЕШАННЫХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 3 ДЕК 2012

Красноярск - 2012

005057210

005057210

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук

Официальные оппоненты: академик,

доктор физико-математических наук, профессор Аннин Борис Дмитриевич ФГБУН "Институт гидродинамики им. ак. М.А. Лаврентьева СО РАН", заведующий лабораторией композиционных материалов, г. Новосибирск

доктор физико-математических наук, профессор Вогульский Игорь Олегович ФГБОУ ВПО "Красноярский государственный аграрный университет", профессор кафедры сопротивления материалов и теоретической механики, г. Красноярск

доктор технических наук, профессор Деруга Анатолий Петрович ФГБОУ ВПО "Сибирский федеральный университет", профессор кафедры бизнес-информатики, г. Красноярск

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Новосибирский государствен-технический университет", г. Новосибирск

Защита состоится 3.9 декабря 2012 года в /У— час. на заседании диссертационного совета Д 212.249.04 при ФГБОУ ВПО "Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева" по адресу: 660014, г. Красноярск, пр. имени газеты "Красноярский рабочий", 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева"

Автореферат разослан с 2,9 »

Ученый секретарь

диссертационного совета

2012 г.

О.В. Гомонова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) упругих тел, конструкций сводится к решению соответствующих задач механики деформируемого твердого тела. Сложные формы областей, сложный характер закреплений и нагружений тел, конструкций вызывают необходимость использовать численные методы для решения задач теории упругости. В настоящее время при решении задач теории упругости активно применяют метод конечных элементов (МКЭ). Современные требования к технике повышают значимость точности математических моделей упругих однородных, неоднородных и микронеоднородных тел, композитных конструкций и вычислительных алгоритмов. Исследованию математических моделей деформирования упругих тел и методов расчета конструкций посвящены работы Б.Д. Аннина, Н.П. Абовского, С.А. Амбарцу-мяна, А.Я. Александрова, А.Н. Андреева, Н.В. Баничука, В.В. Болотина, Ю.А. Богана, И.О. Вогульского, Г.А. Ванина, Д.В. Вайнберга, В.В. Васильева, Ю.М. Волчкова, С.К. Голушко, A.JI. Гольденвейзера, Г.Л. Горынина, А.П. Деруги, В.М. Корнева, С.Н. Коробейникова, В.Д. Кургузова, JI.M. Куршина, М.А. Jle-гана, В.А. Ломакина, А.И. Лурье, А.К. Малмейстера, В.В. Москвичева, Ю.В. Немировского, В.В. Новожилова, П.М. Огибалова, Б.Е. Победри, Н.В. Пустово-го, Ю.Н. Работнова, Г.И. Расторгуева, Б.С. Резникова, В.М. Садовского, В.И. Самсонова, С.П. Тимошенко, Л.А. Фильштинского, A.M. Хлуднева, Л.И. Шку-тина, А.П. Янковского и др. В настоящеее время достигнут значительный прогресс в развитии математического моделирования и методов расчета упругих тел. Однако существующие подходы и методы решения задач механики деформируемого твердого тела во многих случаях остаются достаточно сложными для инженерных расчетов.

Поэтому в настоящее время актуальна проблема разработки эффективных подходов и численных методов построения решений задач теории упругости для тел сложной формы и структуры с заданной погрешностью для напряжений.

По-прежнему актуальна проблема разработки новых конечных элементов (КЭ) высокого порядка точности, которые способны учитывать неоднородную, микронеоднородную структуру и сложную форму упругих тел, композитных конструкций и при этом порождать конечноэлементные модели малой размерности при условии, что погрешность сеточных решений должна быть меньше заданной величины.

Актульной также является проблема построения верхних и нижних оценок для относительных погрешностей перемещений и напряжений конечноэлемент-ных моделей конструкций, что является важным при анализе прочностных свойств конструкций.

Одной из конечных целей расчета конструкции является определение коэффициента запаса прочности. Прочностные свойства конструкций зависят от

многих факторов. Изучение влияния этих факторов на прочность конструкций является в настоящее время важной и актуальной задачей.

Цель работы

Цель диссертационной работы заключается в:

• разработке модифицированных математических моделей деформирования упругих тел, эффективных методов и алгоритмов решения задач теории упругости для неоднородных и микронеоднородных тел, композитных конструкций;

• построении верхних и нижних оценок для относительных погрешностей перемещений и напряжений дискретных моделей упругих тел;

• исследовании влияния ряда факторов на пределы упругого поведения конструкций (например, характер распределения напряжений в конструкциях, качество изготовления конструкций).

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1) разработка и численное исследование новых КЭ для решения задач теории упругости для однородных, неоднородных и микронеоднородных тел, которые образуют дискретные модели малой размерности и порождают конечноэле-ментные решения с заданной относительной погрешностью для перемещений и напряжений;

2) разработка эффективных подходов и численных алгоритмов анализа напряженного состояния упругих неоднородных тел регулярной структуры;

3) разработка смешанных моделей для решения прикладных задач теории упругости, реализация которых по МКЭ более эффективна, чем существующие подходы;

4) разработка новых подходов и численных методов нахождения эффективных модулей упругости для неоднородных материалов сложной регулярной структуры;

5) разработка процедуры построения функций верхних и нижних оценок относительных погрешностей максимальных перемещений конечноэлементных моделей упругих тел;

6) исследование новых подходов и методов нахождения для конструкций максимальных эквивалентных напряжений, которые учитывают характер распределения напряжений и ряд других факторов, влияющих на прочность конструкций.

Научная новизна работы

1) Разработаны многосеточные КЭ (МнКЭ) для анализа упругих однородных, неоднородных, микронеоднородных тел, в частности, композитных конструкций. МнКЭ образуют многосеточные дискретные модели малой размерности, которые учитывают неоднородную структуру и порождают решения с заданной погрешностью. При этом напряжения определяются в каждом компоненте неоднородной структуры МнКЭ.

2) На основе совместного применения односеточных КЭ и МнКЭ разработана процедура построения для упругих неоднородных тел смешанных дискретных моделей малой размерности, которые учитывают структуру, сложную форму тел и порождают решения с заданной погрешностью.

3) Разработаны смешанные постановки задач изгиба однородных упругих пластин и балок, суть которых состоит в том, что для описания деформирования пластины (балки) в окрестности границы ее крепления используются уравнения трехмерной задачи теории упругости, а в остальной области - уравнения изгиба пластины типа Рейсснера (балки Кирхгофа). На общей границе этих областей решения двух данных задач склеиваются. При конечноэлемент-ной реализации этих постановок в окрестности крепления пластины (балки) применяется мелкое разбиение на КЭ, описывающее трехмерное напряженное состояние, в остальной части - крупное, построенное на основе технической теории пластин (балок). В результате получаем смешанную дискретную модель малой размерности, которая способна учитывать сложный характер крепления пластины (балки) и порождает решение с заданной погрешностью.

4) Построены соотношения, которые выражают взаимно однозначную связь между коэффициентами матрицы жесткости однородного квадратного конечного элемента первого порядка (плоской задачи упругости) и его модулями упругости. Эти соотношения для краткости будем называть/? соотношениями.

5) Разработана численная процедура определения эффективных модулей упругости для плоских неоднородных, микронеоднородных тел, конструкций, в частности, композитных пластин регулярной структуры (т. е. тел, конструкций, пластин, для которых предполагается реализация условия обобщенного плоского напряженного состояния или плоской деформации). В предлагаемой процедуре в представительном объеме неоднородности структура учитывается по микроподходу, эффективные модули упругости определяются с помощью Н соотношений. Процедура имеет единую матричную формулировку для плоских неоднородных тел и композитных пластин различной регулярной структуры и поэтому удобно реализуется на ЭВМ на основе алгоритмов МКЭ.

6) Разработано совместное применение микро- и макроподходов в анализе упругих неоднородных тел регулярной структуры, суть которого состоит в следующем. В окрестности крепления тела используем мелкое разбиение, построенное по микроподходу, в остальной части тела - крупное разбиение, построенное по макроподходу, т. е. с применением 'эффективных модулей упругости, найденных для данного тела. Мелкое и крупное разбиения склеиваем с помощью МнКЭ. В результате получаем смешанную дискретную модель малой размерности, которая учитывает сложную форму области тела, его структуру и порождает решение с заданной погрешностью.

7) Предложена численная процедура построения верхних и нижних оценок для относительных погрешностей перемещений конечноэлементных моделей упругих плоских однородных тел, тонких пластин, на которые действуют

статические нагружения заданного типа. Процедура реализуется на основе алгоритмов МКЭ и сводится к построению функций верхних и нижних оценок, лежащих в заданном диапазоне.

8) Для исходных условий прочности па < по < Щ (где па > 1, Щ - заданы, п0 - коэффициент запаса прочности конструкции, отвечающий точному решению задачи теории упругости) сформулированы скорректированные условия прочности с учетом оценки относительных погрешностей максимальных эквивалентных напряжений дискретных моделей упругих тел, конструкций. Разработана численная процедура определения коэффициента запаса прочности для упругих тел, конструкций с учетом характера распределения напряжений и ряда других факторов, влияющих на прочность конструкций.

Научная и практическая значимость

Результаты работы могут служить методической основой для расчетов конструкций, состоящих из однородных и неоднородных упругих материалов, и могут найти применение в конструкторских бюро машиностроительного профиля.

Достоверность полученных результатов

Достоверность научных положений, полученных результатов и выводов, содержащихся в диссертации, основана на корректном использовании уравнений механики деформируемого твердого тела, постановок рассматриваемых задач и методов их решения с использованием математического аппарата теории упругости, тестированием алгоритмов, исследованиями сходимости решений, сравнением результатов исследований с результатами, построенных по известным алгоритмам.

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- международной конференции АБМА-95 (г. Новосибирск, 1995),

- международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (г. Новосибирск, 1996),

- международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (г. Красноярск, 2001),

- международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Н. Веку а "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (г. Новосибирск, 2007),

- XXI Всероссийской конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (г. Кемерово, 2009),

- Всероссийской конференции "Успехи механики сплошных сред" (г. Владивосток, 2009),

- международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, ме-

ханике и физике" (г. Новосибирск, 2010),

— XXII Всероссийской конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (г. Барнаул, 2011),

— II Всероссийской конференции "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций", посвященной 85-летию со дня рождения профессора О.В. Соснина (г. Новосибирск, 2011),

— Всероссийской конференции "Полярная механика" (г. Новосибирск, 2012),

на семинарах:

— Института гидродинамики СО РАН (Новосибирск),

— ИВМ СО РАН (г. Красноярск),

— СибГАУ (г. Красноярск)

Публикации

По теме диссертации опубликованы более 30 печатных работ, в том числе 20 работ в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка, включающего 94 наименования. Текст изложен на 270 страницах, включая таблицы и рисунки.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, приведено краткое содержание диссертации по главам, в которых рассматриваются следующие вопросы:

• МнКЭ, которые учитывают неоднородную и микронеоднородную структуру материалов и конструкций и при этом порождают дискретные модели малой размерности (глава 1);

• конечноэлементное моделирование упругих неоднородных трехмерных тел сложной формы с применением смешанных дискретных моделей малой размерности, состоящих из МнКЭ и односеточных КЭ (глава 2);

• смешанные постановки задач изгиба однородных упругих пластин, балок (глава 3);

• модифицированные постановки задач теории упругости, когда к соотношениям классической постановки добавляются некоторые дополнительные условия на перемещения (глава 3);

• численная процедура нахождения эффективных модулей упругости неоднородных конструкций, тонких неоднородных пластин сложной регулярной структуры с различной степенью наполнения неоднородностью (глава 4);

• численная процедура совместного применения микро- и макроподходов в конечноэлементном анализе НДС плоских неоднородных тел, тонких композитных пластин регулярной структуры (глава 4);

• коррекция заданного условия прочности с применением оценки относительных погрешностей максимальных эквивалентных напряжений конечноэле-ментных моделей упругих конструкций (глава 5).

• численная процедура нахождения коэффициентов запаса прочности упругих конструкций с учетом характера распределения напряжений и ряда вероятностных факторов, влияющих на прочность конструкций (глава 5);

• численная процедура построения функций верхних и нижних оценок относительных погрешностей конечноэлементных решений, которые построены для тонких однородных пластин разной формы и разных размеров с применением заданного закона измельчения для исходных регулярных разбиений, состоящих из квадратных КЭ первого порядка. При этом пластины имеют статические на-гружения (в своей плоскости) заданного типа (глава 6);

В диссертационной работе рассмотрены три типа смешанных дискретных моделей упругих тел. Суть смешанных дискретных моделей состоит в том, что область тела в окрестности крепления или сложной границы представляем мелким разбиением на КЭ, остальную часть тела - крупным разбиением. В диссертационной работе исследованы смешанные дискретные модели, мелкие разбиения которых состоят из однородных известных односеточных КЭ первого порядка формы куба. Мелкое разбиение учитывает сложную форму границы и неоднородную структуру тела. Крупные разбиения смешанных дискретных моделей первого типа представляем МнКЭ, которые описывают трехмерное напряженное состояние упругого тела неоднородной структуры, второго типа -МнКЭ или односеточные КЭ, которые описывают деформирование упругих изгибаемых пластин, балок Кирхгофа, третьего типа - МнКЭ или известные односеточные КЭ, которые построены по макроподходу, т. е. при построении которых используем эффективные модули упругости неоднородных тел.

Смешанные дискретные модели первого типа применяются при анализе упругих трехмерных конструкций сложной формы и структуры с применением МнКЭ и односеточных КЭ, второго типа - при анализе изгибаемых упругих однородных пластин, балок и третьего типа - при анализе упругих плоских неоднородных конструкций (тонких неоднородных пластин постоянной толщины) регулярной структуры на основе совместного применения микро и макроподходов. В работе используется понятие базовой дискретной модели упругого тела.

Определение. Конечноэлементную модель упругого тела, которая состоит из КЭ первого порядка правильной формы и порождает решение с заданной сколь угодно малой погрешностью для сеточных перемещений (напряжений), будем называть базовой дискретной моделью данного тела.

Достоинства смешанных дискретных моделей упругих тел состоят в следующем. Смешанные дискретные модели способны учитывать сложную форму и неоднородную и микронеоднородную структуру тел, и порождают решения с заданной погрешностью. Размерность систем алгебраических уравнений смешанных дискретных моделей меньше размерностей систем алгебраических уравне-

ний базовых моделей. Поэтому реализация МКЭ для смешанных дискретных моделей упругих тел требует меньше ресурсов ЭВМ и временных затрат, чем для базовых моделей.

Первая глава диссертации посвящена процедурам построения многосеточных КЭ (МнКЭ), имеющих неоднородную структуру. Рассмотрены два типа МнКЭ. Для построения т - сеточного КЭ применяем т вложенных узловых сеток. Самая мелкая сетка порождена базовым разбиением МнКЭ, которое учитывает его структуру. Остальные т — 1 сотка для МнКЭ первого типа определяются на его области, для МнКЭ второго типа — на его границе.

Опишем процедуру построения МнКЭ первого типа на примере неоднородного прямоугольного двухсеточного КЭ (ДвКЭ) в" размерами ае х Ье, который находится в плоском напряженном состоянии и расположен в декартовой системе координат хОу. На рис. 1 неоднородные включения, внедренные в матрицу, заштрихованы. Считаем, что между однородными плоскими телами, представляющими область ДвКЭ 5е, связь идеальна, перемещения и напряжения которых удовлетворяют сотношениям Коши и закону Гука.

1Лх í Их

е | /// V/ //л/// /// у// ///

///

у/, ва 1 ///

/ к Щ/УУ //}

щ Х)5ФЧХл //)

/// I ///

1 //

///. /// ///У// /// /// ///

1 ае

Рис. 1. Прямоугольный двухсеточный КЭ Бе

Базовое (мелкое) разбиение области Бе, состоящее из прямоугольных КЭ Ба первого порядка со сторонами кх и Лв, учитывает композитную структуру и порождает мелкую сетку Бь. размерности т х т, а - порядковый номер КЭ 5а базового разбиения, 1 < а < М, М - общее число КЭ М = (т - I)2. Для рис. 1 имеем то = 9, М = 64. Функционал полной потенциальной энергии ДвКЭ, построенного на базовом (мелком) разбиении, запишем в матричной форме м

К = £ Ча - (1)

а=1 ^

где [Кд], Ра - матрица жесткости и вектор узловых сил элемента 5а; с^ - вектор узловых неизвестных КЭ Ба> Т - транспонирование.

На мелкой сетке бд определяем крупную сетку 5я с шагами Нх, Ну и раз-

мерности п х п. На рис. 1 узлы крупной сетки отмечены точками, п = 5. На крупной сетке 5я с помощью полиномов Лагранжа определяем аппроксимирующие функции иц, Ун перемещений и, у

= = (2) А:=1 £=1

где - узловые значения перемещений и, у в узле к крупной сетки 5я,

N1, - базисная функция к-то узла сетки Яд! к - порядковый номер узла сетки к - 1, ...,п2.

Для узлов мелкой сетки Б™ выполняем равенства вида

ин{хи у{) = ин(хи уг), ун{хи у{) = унЫ, уг), (3)

где ип, ук - аппроксимирующие функции перемещений и, у базового разбиения;

Ун(хихл) и ин{хиу¿), ун{хиуъ) - значения функций ин, г/1, иН) ун в г-ом узле сетки с координатами ж;, у{, г - порядковый номер узла сетки г = 1,..., гп2.

Используя равенства (3) и представления (2), вектор qa узловых неизвестных КЭ £а представим в виде

Ча = [А.] 4е, (4)

где [Аа] - прямоугольная матрица, qe = {д^ ... д" ... <йг}т - вектор узловых неизвестных крупной сетки.

Подставляем (4) в (1) и из условия = 0 получаем

м м

[Ке] = £ К]Т [Ка] [Аа], Ге = Е Иа]Т Ра, (5)

где [Ке] и Ре - матрица жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ

Отметим, что qe - вектор узловых неизвестных ДвКЭ 5е. Итак, процедура построения ДвКЭ первого типа сводится к следующему. По алгоритмам МКЭ для каждого КЭ базового разбиения ДвКЭ вычисляем матрицу жесткости и вектор узловых сил Ра. С помощью аппроксимирующих функций, построенных по МКЭ на крупной сетке, определяем матрицу [Аа] связи неизвестных мелкой сетки с неизвестными крупной сетки 5я, см. формулу (4), и по формулам (5) находим матрицу жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ.

Суть МнКЭ второго типа покажем на примере построения треугольного че-тырехсеточного конечного элемента (ЧтКЭ) неоднородной структуры со сторонами ах = АВ, а2 = ВС, аз = АС, испытывающего плоское напряженное состояние (рис. 2). Базовое разбиение ЧтКЭ состоит из треугольных КЭ первого порядка, которое учитывает структуру и порождает мелкую треугольную узловую сетку Т]/¡. На рис. 2 показана мелкая сетка ЧтКЭ. На базовом разбиении ЧтКЭ вначале строим треугольный суперэлемент Т$, выражение полной потенциальной энергии И^ которого запишем в матричной форме

где [К^, Р8, -.матрица жесткости, векторы узловых сил и узловых неизвестных суперэлемента Т3 соответственно.

На сторонах АВ, ВС и АС введем оси Вхь Вх2, Ах3 и на этих осях определяем крупные одномерные узловые сетки с постоянными шагами Я< и размерности тц (г = 1,2,3). Для рис. 2 имеем щ — 5, п2 = 4, тгз = 3, узлы крупных сеток отмечены жирными точками. Сетки Ц вложены в мелкую Тн-На сетке Ц строим аппроксимирующие функции перемещений щ, Vi вида

= = (7)

где [Л^] - вектор-строка функций формы сетки Ц, - векторы узловых

значений щ, ^ функций и, у сетки — 1,2, 3.

Рис. 2. Треугольный четырехсеточный КЭ

Обозначим через я' вектор параметров МКЭ узлов крупных сеток (т. е. узловых неизвестных ЧтКЭ) и введем вектор

Чо = (№)т, №)г, (Ози)Г, Ы)т, (ч1)т}т- (8)

Между векторами qí и установим связь

Яо = Ш с?, (9)

где [Д,] - прямоугольная булева матрица.

Используя (7), (8), вектор узловых неизвестных я,, суперэлемента Т3 выражаем через вектор т. е. получаем матричное равенство

= [Л,] я,,, (10)

где [А3] - прямоугольная матрица.

Подставляя (10) в (6) с учетом (9), из условия д\¥Тз/д^ = 0 получаем формулы вычисления матрицы жесткости [К^ и вектора узловых сил Гг треугольного ЧтКЭ:

[К{] = [В3]т [к,] [Л] [В3], VI = [А,]тР.. (11)

Для построения ЧтКЭ используем мелкую двумерную сетку Т^ и три крупных различных одномерных узловых сетки (г = 1,2,3). Отметим, что размерность МнКЭ определяется общим числом узлов его крупных сеток, которое много меньше общего числа узлов мелкой сетки базового разбиения.

Итак, процедура построения МнКЭ второго типа сводится к следующему. По алгоритмам МКЭ на базовом разбиении МнКЭ строим суперэлемент (определяем матрицу жесткости и вектор узловых сил суперэлемента). С помощью аппроксимирующих функций, построенных по МКЭ на крупных сетках МнКЭ, определяем матрицу [А3] связи неизвестных суперэлемента с неизвестными крупных сеток, см. формулу (10), и булеву матрицу [Д,], см. формулу (9), и по формулам (11) находим матрицу жесткости и вектор узловых сил МнКЭ. Процедуры построения трехмерных неоднородных МнКЭ двух типов аналогичны вышеописанным.

Расчеты показывают, что решение {//,, построенное для многосеточной модели тела отличается от решения С/ базовой дискретной модели на величину <5 = ||[/ — {УдЦ, которая зависит от безрамерных параметров МнКЭ. Для ЧтКЭ (рис. 2) это безрамерные параметры Щ/к, #¿/<2;, для ДвКЭ (рис. 1) - Нх/кх, Ну/ку, Нх/ае, Ну/Ъе Для заданного е > 0 для ЧтКЭ (рис. 2) можно выбрать такие параметры Щ/к, Н{/ац (для ДвКЭ (рис. 1) - параметры Нх/кх, Ну/ку, Нх/ае, Ну/Ье), что 5 < е.

Достоинства МнКЭ заключаются в том, что они способны учитывать (с помощью сколь угодно мелких базовых разбиений МнКЭ) неоднородную и микронеоднородную структуру тел, порождают многосеточные конечноэлементные модели, число узловых неизвестных которых на несколько порядков меньше числа неизвестных базовых дискретных моделей и погрешность узловых перемещений которых меньше заданной величины. Процедура построения МнКЭ базируется на известных алгоритмах МКЭ и поэтому удобно реализуется на ЭВМ. Важно отметить следующее. С помощью формул (4), (10) решение, построенное для крупной сетки, проецируется на мелкую сетку базового разбиения МнКЭ, что дает возможность вычислять напряжения в любом КЭ базового разбиения, т. е. определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры МнКЭ.

В качестве примера рассмотрим модельную задачу для упругой тонкой неоднородной пластины (постоянной толщины) регулярной структуры, в которой реализуется условие обобщенного плоского напряженного состояния. На рис. 3 размеры области пластины в плане выражены через параметры к, а = 60/г, граница крепления пластины отмечена штриховкой. Базовое разбиение области 5о состоит из квадратных КЭ Зк первого порядка со стороной к, учитывает структуру и порождает квадратную сетку с шагом к и размерами 301 х 361 в системе координат г ] (рис. 3). Регулярная ячейка неоднородной области 5д показана на рис. 4, неоднородные включения, внедренные в матрицу, заштрихована. Область 50 представляем квадратными ДвКЭ (второго типа) со стороной

а = 60Л. Базовое разбиение ДвКЭ 5Р состоит из квадратных КЭ и порождает мелкую квадратную сетку размерности 61 х 61 и с шагом к. На каждой стороне квадратного суперэлемента, построенного на базовом разбиении ДвКЭ5р, определяем одинаковые одномерные крупные сетки вложенную в мелкую, с шагом Я = 4к и размерности 16. Итак, для построения ДвКЭ 5Р используем две узловые различные сетки: двумерную и четыре одинаковых одномерных сетки I

361 | 301 I 241 181 121 61 1

У 6 а

а = 60/1

5а

1 61 121 181 241 301

// // // // // // // // // //

// и

// //

// //

// N

// //

// //

// //

// //

// // // // // // // // п //

10/1

10 к

Рис. 3. Область 50 . Рис. 4. Регулярная ячейка

Расчеты выполнены при к = 0,5(см), Рх = 7,5 коэффициент Пуассона для всей области ДвКЭ равен 0,3, модуль Юнга жестких тел равен 10, связующего материала - 1. Здесь и далее модули Юнга жестких включений, связующего и нагрузки обезразмерены на модуль Юнга связующего. Коэффициент наполнения композита равен 0,36. Эквивалентные напряжения вычисляем в центре тяжести КЭ по четвертой теории прочности. Размерность системы уравнений МКЭ для базовой модели пластины равна 195598, двухсеточной модели - .1772, т.е. в 110 раз (на два порядка) меньше. Анализ результатов расчетов показывает, что данный квадратный неоднородный ДвКЭ Бр обеспечивает для перемещений погрешность меньше 4%, для максимальных эквивалентных напряжений не более 1%. Приведенные примеры расчетов показывают высокую эффективность применения МнКЭ для анализа НДС неоднородных тел.

Во второй главе (в параграфе 2.1) показано многосеточное моделирование плоской неоднородной конструкции нерегулярной структуры. Предполагается, что конструкция является либо пластиной постоянной толщины, в которой реализуется условие плоского напряженного состояния, либо призматическим или цилиндрическим удлиненным телом, в котором реализуется условие плоской деформации. Конструкция дискретизируется квадратными ДвКЭ одинаковых

размеров, в которых мелкие и крупные сетки имеют одинаковую структуру. Характер распределения неоднородности в каждом ДвКЭ является регулярным, при этом регулярность одного ДвКЭ может отличаться от регулярности других. Расчеты показывают, что погрешность сеточных решений есть некоторая функция координат. В связи с этим при анализе решений предлагается использовать средние локальные относительные погрешности, которые определяются в подобластях относительно малых размеров. Показана процедура построения двухсеточной дискретной модели, в указанных подобластях которой значения средних локальных погрешностей сеточных перемещений (эквивалентных напряжений) меньше заданной величины. Приведен пример расчета и выполнен анализ результатов.

В параграфе 2.2 изложена процедура совместного применения односеточных КЭ формы куба и ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда для моделирования трехмерных неоднородных тел, композитных конструкций сложной формы. Такое моделирование порождает смешанные дискретные модели первого типа, которые состоят из односеточных и ДвКЭ, т. е. из КЭ различной сеточной структуры. На рис. 5 узлы крупной сетки ДвКЭ Уе отмечены точками, размеры области Уе представлены через параметр Н, где /г шаг узловой сетки базового разбиения ДвКЭ. На рис. 6 представлено неоднородное тело со сложной формой границы. Размеры тела выражены через параметр И, при х = О выполнены условия закрепления тела. Граница крепления показана штриховкой. Область тела разбиваем на две области: Уг содержит сложную границу, - остальная часть тела. В области \\ используем мелкое (базовое) разбиение, состоящим из односеточных кубических однородных КЭ Уа. Область Т/о (при 12к < х < 72/г) представляем крупным разбиением, которое состоит из ДвКЭ Уе (первого типа) и размерами 12 Н х 8/г х 8к.

6 = 8/1

с = 8Н

Рис. 5. Мелкая и крупная сетки ДвКЭ Уе

Односеточные КЭ мелкого разбиения и МнКЭ крупного разбиения на общей границе этих разбиений связывают ДвКЭ У/, которые разрабатываем на основе ДвКЭ Уе, т. е. ДвКЭ имеет такие же мелкую и крупную сетки, как

ДвКЭ Уе. Обозначим через 52 границу между областями У\ и ^о (рис. 6). На этой границе мелкая узловая сетка разбиения области У\ содержит узлы крупной сетки Ун ДвКЭ УЦ. Конструкция нагружена сосредоточенными силами ду Базовое разбиение тела учитывает структуру и состоит из кубических КЭ Уа первого порядка со стороной /г. Тело армировано ортогональной регулярной решеткой волокон с поперечным сечением к х Л, которые расположены вдоль ребер ДвКЭ (на рис. 5 волокна заштрихованы). На примере данного тела кратко рассмотрим суть смешанных дискретных моделей первого типа. Полную потенциальную энергию 1¥3 ДвКЭ Ц? представим в виде

= (12)

где [К%] - матрица жесткости базового разбиения Ун ДвКЭ У£\ Р£ - вектор узловых сил и - вектор узловых неизвестных разбиения V/,.

Вектор имеет структуру

Д£ = {(Д?)Т, (сш)т, (Д»)г}т, (13)

где Д£ - вектор значений перемещений тех узлов мелкой сетки Ун ДвКЭ У£, которые лежат на границе Б2 и не совпадают с узлами крупной сетки Ун; - вектор значений перемещений остальных узлов сетки Ун, не совпадающих с узлами сетки Ун, - вектор узловых неизвестных крупной сетки Ун.

Используя аппроксимации перемещений на крупной сетке Ун для вычисления узловых перемещений на мелкой сетке, между векторами Д^ и Ян установим связь

Дд = Ра] Чн, (14)

где [£>а] - прямоугольная матрица.

С помощью (13), (14) построим равенство

Д£ = [Ва] <& (15)

[Вх] О О [Е2] О [£>„]

[£1], [Е2] - булевы матрицы, - вектор узловых неизвестных ДвКЭ который граничит с областью V!-

Подставляя (15) в (12), из условия дШ^/дс^ = 0 получаем формулы вычисления матрицы жесткости [К^] = [Д*]г [К^] [1?а] и вектора узловых сил

[Д,]тР£ДвКЭ1?-

Достоинства смешанных дискретных моделей первого типа трехмерных неоднородных тел, композитных конструкций заключаются в том, что такие модели учитывают сложную форму и структуру области. Размерности этих моделей меньше размерностей базовых моделей. При этом решения, отвечающие смешанным дискретным моделям конструкций, отличаются от решений, построенных для базовых дискретных моделей, на заранее заданную сколь угодно малую величину.

Рассмотрим модельную задачу расчета трехмерного тшта, показанного на рис. 6, при следующих данных: /г = 0,25; = 0,825, коэффициент Пуассона равен для всей конструкции 0,3; модуль Юнга жестких включений Е = 10, связующего материала 1. Расчеты показывают, что максимальные перемещения смешанной и базовых дискретных моделей отличаются на 1,8%. Максимальные эквивалентные напряжения (вычисленные в центре тяжести КЭ Уа по четвертой теории прочности) смешанной и базовой моделей отличаются на 0,1% (табл. 2.4). Смешанная дискретная модель неоднородного тела имеет в 4,6 раза меньше узловых неизвестных, чем базовая.

В заключительной части данной главы изложена процедура построения дискретных моделей упругих однородных тел, которые порождают решения с заданной погрешностью. Краткая суть предлагаемой процедуры заключается в следующем. Область 5 тела, в котором возникает обобщенное плоское напряженное состояние, разбиваем на квадратные КЭ первого порядка. Задаем закон измельчения для исходного регулярного разбиения области 5, который порождает систему регулярных разбиений {Д^!}^, (Я^ с Дп+1). С помощью решений ип_1, ип, построенных по МКЭ для моделей Д^-х, В^ £ определяем величину

_ ||мп ~ Цп-1|| lk.ll "

В диссертационной работе доказано следующее утверждение.

Утверждение 1. Для заданного <5 > 0 существует такое е > 0, что если

£п < (16)

где - точное решение, 5п - погрешность решения ип.

Для данного типа краевой задачи упругости, для заданных <5 > 0, типа КЭ, представляющих разбиения Я

п > и закона измельчения значение £ определяем с помощью тестовых расчетов. Процедура построения дискретной модели сводится к следующему. Вначале строим модели До, Дх и для этих моделей находим решения щ, щ и величину ^ = Цггх — и0|| /1|«1||- Если £1 > ег, то строим модель Я2 и аналогично для моделей Ях, Я2 находим е2. Если е2> ег, то строим модель Дз для Я2, Яз и находим £3. Процесс вычислений прекращается тогда, когда величина £п (п > 1, п фиксировано), отвечающая моделям Д„_1, Яп, удовлетворяет неравенству (16). В этом случае погрешность 8п решения ип дискретной модели Яп удовлетворяет условию (17). Приведен пример построения решения по МКЭ для упругого однородного тела (для которого предполагается реализация условия плоского напряженного состояния) с заданной относительной погрешностью для перемещений и напряжений.

В главе 3 изложены смешанные и модифицированные постановки прикладных задач теории упругости. Как известно, в теориях изгиба однородных пластин и балок Кирхгофа, используемые гипотезы накладывают определенные ограничения на поля перемещений, деформаций и напряжений, что порождает неустранимую погрешность в решениях. Кроме того, эти теории не учитывают сложный характер крепления пластин, балок, как например, частичное защемление по толщине или торцу. Трехмерные дискретные базовые модели пластин, балок, учитывающие произвольное крепление, порождают решения с заданной малой ошибкой, но при этом имеют высокую размерность.

В параграфе 3.1 показаны смешанные постановки задач изгиба трехмерных пластин, балок, основная суть которых состоит в следующем. В окрестности"^ границы крепления пластину или балку рассматриваем как трехмерное упругое тело и для описания деформирования этой части используем уравнения трехмерной задачи теории упругости, а для остальной части У\ области У = Ц> и К уравнения изгиба пластины типа Рейсснера или балки Кирхгофа. На общей границе областей ^ и \\ решения трехмерной задачи и задачи изгиба пластины или балки склеиваем.

В качестве примера кратко изложим смешанную постановку задачи изгиба пластины. Пусть изотропная однородная упругая трехмерная пластина занимает область У = а х Ь х к0 {к0 - толщина пластины), срединная плоскость которой совпадает с плоскостью хОу (рис. 7). Пластина нагружена силами и закреплена на границе £г. Обозначим: Ут окрестность границы 5Г, иг, уг, ют и и0, у°, ги° - функции перемещений пластины соответственно в областях Уг и У0, Бн - общая граница областей Уг и Уа, где У0 = Пластина при х = О

частично защемлена по толщине, т. е. на границе х — 0, 0 < .г < —/го/2, на рис.

7 защемление отмечено штриховкой. На границе 5я ( при х = Н) пластины V выполняются условия непрерывности перемещений и напряжений

УГ = у", иот = 10°, (18)

<> II

= т° (19)

где сгх, тт£у и <7^5 т°г, т°у - напряжения в областях Уг и Уа

у\ Р -, 711 = 81

50Л К н У0

к* г "з = 11 а = 80/г < пс х г = 10/1

Рис. 7. Смешанная модель пластины

Для области Уг формулируем постановку трехмерной задачи теории упругости

в Уг : Аит = р, (20)

на : Виг = qr, на 5Г : ит = уг = и)г = 0, (21)

где А - оператор уравнений равновесия; В - оператор статических граничных условий, иг = {иг ут гиг}т; р - вектор объёмных сил, р = 0; - вектор поверхностных сил, <5^ = IЭУ\(£я + ¿V) - граница области Ут, на которой заданы поверхностные силы.

Рассматривая область Уа как тонкую пластину, срединную область которой обозначим через Б" (на рис. 7 граница срединной плоскости Б" пластины отмечена жирными линиями), сформулируем задачу изгиба пластины по теории Рейсснера

АА<р = Аф- к2ф = 0, (22)

у = 0,Ь : Му = Мху = С}у = 0; х = а : Мх = Мху = С}х = 0, (23)

где (р = <р{х,у) и ф = ф(х,у) - искомые функции; Б = (12(1 — г/2)), Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона; дг = д2(х, т/, /г0) - нагружение пластины, Л - оператор Лапласа, к2 = 2С/[Д(1 — г/)], С = СН0, С? - модуль сдвига; Мх, Му и Мху - изгибающие и крутящий моменты, С}у - перерезывающие силы.

Углы вх(х, у), 9у(х, у) поворота нормали к срединной плоскости пластины 5° и её прогиб ю0(х, у) представляются через функции <р, ф

Эф дф д(р дф В

= + (24)

Согласно теории Рейсснера перемещения и0, у0, на границе £я аппроксимируются соотношениями

У(Я,у,г)е5я: и° = 2вх(Н,у), у° = гву(Н,у),"

ш° = и)0{Н,у). (25)

В связи с этим функции иг, уг, И}г на 5я (при х = Я) представим

\/(Я, у, г) € Бп ■ ыг = аМЯ11Л/2)] цГ = ^(Я,уА/2)

К /г0 '

Шг = иГ(Я,у,0). (26)

Показано, что с учетом соотношений (24), (25), (26) условия непрерывности (18) решений двух задач имеют вид

ТО у, /г0/2) £ : у, К/2) = М- ^ +

2 V дх ду) 5

ют(Н,у,0) = ф,у)-- Д<^|5я. (27)

Условия (19) перерождаются в условия

при я = Я : ' М1 = М°, М1У =

при х = Н : Я1 = Я°Х, (28)

где М°, М°у и - изгибающий и крутящий моменты и поперечное усилие пластины Рейсснера Б", представленные через функции ф и <р; аналогичные величины Мтх, Л/^ и вычисляем по формулам

М' = г ^ ЩУ = /-^/2 2 **> ^ = 1-С2¿г,

здесь функции перемещений иг, уГ, и)г (при х = Я) удовлетворяют соотношениям (26), иг = {иг уг гиг}т.

Итак, смешанная постановка задачи изгиба трехмерной пластины сводится к решению уравнений (20), (22), с выполнением граничных условий (21), (23), условий для перемещений (26) и условий непрерывности решений (27), (28). В диссертации изложена смешанная постановка для задачи изгиба трехмерной балки.

В параграфе 3.3 изложены модифицированные трехмерные постановки задач изгиба однородных упругих пластин и балок. Модификация известных постановок трехмерных задач упругости осуществляется введением в них дополнительных условий на функции перемещений трехмерных пластин или балок. Рассмотрим в качестве примера задачу изгиба трехмерной изотропной однородной упругой балки прямоугольного поперечного сечения, которая в декартовой системе координат Охуг занимает область V (рис. 8). Ось балки совпадает с осью Ох, плоскости хОу и хОг являются горизонтальной и вертикальной плоскостями геометрической симметрии балки. Перемещения, деформации и напряжения балки удовлетворяют соотношениям Коши и закону Гука. Балка нагружена силами дг на грани г = /г0/2, причем дг(х,у,к0/2)^Чг(х,-у,Ь0/2), объемные силы равны нулю. На границах крепления 5а: и = у = ы = 0, где го

- прогиб балки; а = 1,..., М, М - число границ крепления балки.

&

Li

fl

Vi

Рис. 8. Расчетная схема однородной балки

Балка частично закреплена на левом торце и на опоре, границы крепления балки заштрихованы (рис. 8). Модифицированная постановка трехмерной задачи упругости в перемещениях для балки включает уравнения равновесия, статические и кинематические граничные условия

в V : Аи = 0,

на Sq : В (и) = qz, на Sa : и = О, и дополнительные условия на функции перемещений и, v, w балки вида

VÍCV: и(х,у, 0) = 0, v(x,y,0) = 0, u(x,y,z) = -u(x,y,-z),

v(x, у, z) = -v{x, y, -z), v{x, y, z) = -v(x, -y, z),

w(x,y,z)=w(x,y,0), v(x,0,z)=0,

где w - прогиб балки, граница области Ц определяется с помощью предварительных расчетов.

В третьей главе так же изложена модифицированная трехмерная постановка задачи кручения однородных упругих балок, имеющих сложное закрепление.

Достоинства смешанных и модифицированных постановок прикладных задач теории упругости состоят в следующем. Во-первых, они описывают трехмерное напряженное состояние в окрестности границ крепления пластин, балок, что дает возможность учитывать сложный характер их крепления. Во-вторых, путем варьирования геометрических параметров (для рис. 7 - параметр Я, для рис 8 - параметр Ьх, т. е. размеры области Кх), которые содержат предложенные постановки, всегда можно построить смешанную или модифицированную дискретные модели второго типа пластины или балки, напряжения которых в окрестностях их крепления отличаются от напряжений базовой дискретной модели на заданную величину. В-третьих, конечноэлементная формулировка смешанных или модифицированных постановок порождают смешанные или модифицированные дискретные модели, размерности которых меньше размерностей базовых моделей, что приводит к уменьшению временных и ресурсных затрат на ЭВМ при реализации МКЭ для данных моделей.

Рассмотрим результаты расчетов по МКЭ модельной задачи изгиба изотропной однородной упругой пластины, рис. 7. Модуль Юнга пластины равен 1, коэффициент Пуассона - 0,3, /г = 0,5(см). Базовая модель пластины состоит из кубических КЭ первого порядка со стороной /г и порождает сетку размерностью 81 х 51 х 11, для узлов которой введена целочисленная система координат цк (рис. 7). Разбиение области Ц. состоит из КЭ V*. Область У0 рассматриваем как тонкую пластину, срединная плоскость которой есть Б".

, Разбиение области 5° состоит из квадратных КЭ Клафа со стороной Н, которое порождает квадратную сетку узлы которой в системе 1]к имеют координаты (¿.¿б), где { = 31, ...,81, j = 1,..., 51. В узлах (¿,.7,6) сетки действуют силы qz = 0, 0324(кг), где i = 55, 60, 65, 70, 75; з = 30, 35,40,45. Эквивалентные напряжения <тй смешанной модели и <т0 - базовой, вычисляем в центре тяжести КЭ Уел по четвертой теории прочности. Расчеты проведены при Н — 10/г, 30/г. Для Я = ЮЛ. максимальное перемещение (прогиб пластины) т^ смешанной дискретной модели отличается от перемещений -ш0 базовой модели на 6,3%. Максимальные а}1 отличаются от а0 на 0,4%. При Я = ЗОЛ, максимальное отличается от ги0 на 2,5%, максимальное от, отличается от а0 на 0,06%, т. е. с увеличением Я погрешность для перемещений гиь и напряжений сгЛ уменьшается. Смешанная модель пластины имеет в 2,3 раза меньше неизвестных, чем базовая.

В главе 4 показано совместное применение микро- и макроподходов в ко-нечноэлементном анализе упругих плоских неоднородных тел, композитных конструкций, в частности, тонких неоднородных пластин. Как известно, при расчете неоднородных тел, конструкций широко используют микро- и макроподходы. На практике широко применяются тела, конструкции с неоднородной структурой, которые с точки зрения макроподхода можно рассматривать как некоторые однородные тела с некоторыми эффективными модулями упругости.

Под эффективными модулями упругости будем понимать жесткостные ха-

рактеристики некоторого макрооднородного КЭ, при которых потенциальная энергия этого КЭ совпадает с энергией этого же КЭ, но рассматриваемого уже с позиций микроподхода (т. е. когда в КЭ осуществляется учет микронеоднородности). Такие КЭ, учитывающие неоднородность, в дальнейшем будем называть представительными объемами или представительными КЭ (ПКЭ), а равные им по энергии однородные КЭ - эффективными однородными КЭ.

В первом и во втором параграфах главы 4 изложена процедура нахождения эффективных модулей для плоских неоднородных тел, конструкций, в частности, тонких композитных пластин, регулярной структуры с различной степенью наполнения неоднородностью, которые с точки зрения макроподхода считают однородными телами. Процедура имеет единую матричную формулировку для плоских неоднородных тел, конструкций, в том числе тонких композитных пластин, различной регулярной структуры и поэтому удобно реализуется на ЭВМ на основе алгоритмов МКЭ. В основе процедуры лежат следующие положения.

Положение 4.1. Компоненты неоднородной конструкции есть изотропные однородные упругие тела, перемещения, деформации и напряжения которых удовлетворяют соотношениям Коши и закону Гука. Полагаем, что связи между неоднородными компонентами конструкции идеальны.

Положение 4-2. В качестве представительного объема неоднородной конструкции используется КЭ первого порядка (ПКЭ), состоящий из определенного числа регулярных ячеек. В основе построения процедуры лежат Я соотношения, которые однозначно представляют модули упругости однородного КЭ через его коэффициенты матрицщ жесткости. Под эффективным КЭ будем понимать некоторый упругий однородный квадратный КЭ первого порядка.

Вначале кратко изложим процедуру построения Л соотношений. Рассмотрим однородный квадратный КЭ ¿о первого порядка со стороной ао, который находится в условиях плоского напряженного состояния, рис. 9. Предполагаем, что этот КЭ закреплен по линии Лз, А4. Тогда узловые перемещения в узлах Аз, А4 равны нулю, а в Ах, А2 - произвольны (неизвестны).

О 1Аг <5Х А2 62

Рис. 9. Однородный КЭ £о

ао

О

¿1

ъ

-в

а о

Рис. 10. Квадратный ПКЭ

Введем нумерации неизвестных для КЭ 5о: = щ, 52 = и-2, ^з = ¿4

щ, где (1/1,1*1), («2,1*2) - перемещения узлов А\ и А2 (рис. 9). Согласно МКЭ аппроксимирующие функции и0 = (ио, щ)Т перемещений КЭ 5о представим в виде

и0 = [ЛГо] Чо, (29)

где яо = {¿1, 62, ¿3, ¿4}т - вектор узловых неизвестных КЭ ¿о, [ЛГ0] - матрица функций формы, которая имеет структуру

№ =

N1 N2 0 0 О 0 Ni N2

(30)

здесь Ni, N2 - функции формы КЭ So, построенные соответственно для узлов Аъ А2 (рис. 9).

В диссертации показано, что коэффициенты верхней треугольной части матрицы жесткости [К0] (размерности 4 х 4) КЭ So, найденные по алгоритмам МКЭ с применением (29), (30), в явном виде выражаются через модули упругости

= -A-aßCli + {Daß + Dßa)C^3 + BaßC33,

2,/3+2 = BaßC22 + {Daß + Dßa)C23 + AaßCg3, а = 1,2, ß = а,2, klß+2 = DaßC°12 + AaßCl3 + BaßCl3 + DßaC°3, a,ß = 1, 2; (31) где k°aß - коэффициенты матрицы жесткости КЭ S0; a,ß = 1, ...,4; Cfj - однородный тензор модулей упругости КЭ S0; г, j = 1,3,

Используя первое равенство (31) при различных значениях а, ß, построим систему соотношений

а, ß = 1 : к°п = АпСап + 2DnCi3 + ВхА а = 1,0 = 2: к°12 = А12СЪ + {D12 + D2i)C?3 + В12С°

а, ß = 2 : к°22 = А22С& + 2D22C°13 + B22Cl

'13 -Г -^>12^33, ^22 — ^22^11 "Г ^^22^13 "Г В22Сз3.

Из второго равенства (31) получаем систему

«,/5 = 1: к°33 = ВцС22 + 2ЯЦС& + А11С33,

а = 1,(3 = 2: 4 = В\2С22 + (А2 + 021)С°23 + А12С°3, а, р = 2 : к°44 = В22С22 + 2022С°3 + А22С°3. Используя третье равенство (33) при а,(3 = 1, имеем

^13 ~ ОпС°2 + АцС1з + ВцС2з + £>цСз3. (33)

23

где — к.®2, к%2}т; К2 — {к°3, кк°4}т-, — {С^, С^, Сз3}т; С°2 = {С2°2. С°3' (7з°з}Т; матрицы [Щ], [Н2] имеют вид

Лц 2£>ц Вп [Нг}= Аа А2 + Д21 В12 Л22 21^22 Вг2

Бц 2Г>ц Лц [Я2]= 512 £>ц+ />21 А12 (35) В22 2И22 А22

Элементы матриц [Я1], [Я2] вычисляем с помощью формул (32), (35). Можно показать, что для любого а > 0 с!е1;[Я1] / О, &<&[Н2] ф 0, Дц ^ 0. Тогда из (34) и равенства (33) следует

Равенства (36) являются Д соотношениями КЭ 5о, которые однозначно представляют модули упругости квадратного однородного КЭ 5о первого порядка плоской задачи упругости через соответствующие коэффициенты матрицы жесткости [К0] этого же элемента.

Аналогичные Д соотношения можно построить, если вместо узлов А\, Л2 использовать узлы Л1, Л3 или Л3, Л4 или Л2, Л4 (рис. 9) при соответствующих условиях закрепления элемента 5Ь- Поскольку КЭ 5Ь является однородным, то ему можно приписать некоторые, определяемые в дальнейшем, эффективные свойства и тогда £0 будем рассматривать в качестве эффективного КЭ. Тогда Сц, [Ко] есть его эффективные модули упругости и матрица жесткости. В этом случае можно говорить, что Я соотношения (36) выражают в явном виде эффективные модули упругости Су элемента Бо через его коэффициенты матрицы жесткости.

Рассмотрим процедуру построения матрицы жесткости для квадратного ПКЭ первого порядка со стороной а о, который представлен квадратными областями со стороной Ь, г — 1,...,4 (рис. 10). Узлы крупной сетки 5я ПКЭ отмечены кружками. Пусть все узловые неизвестные крупной сетки Бд ПКЭ равны нулю, кроме неизвестных (¿1,...,<54) в узлах Л1, Л2 (рис. 10, узлы А\, Л2 отмечены точками). Область С}1- дискретизируем базовыми КЭ, которое учитывает неоднородную структуру и порождают мелкую сетку Б^. На базовом разбиении области строим квадратный суперэлемент Функционал ^ полной потенциальной энергии для базового разбиения ПКЭ запишем в виде

№

^ = (37)

1=1

где [К^, дг, — матрица жесткости, векторы узловых неизвестных и сил соответственно суперэлемента Б1-; Иь - общее число суперэлементов для рис.

С? = [Я1]~1К°; С^Я^К», С?2 = (^13 - АпС13 - ВцС2з - -ОцС33)/£)ц.

(36)

10 Щ = 4.

Используя представления (29), выражаем вектор я; неизвестных суперэлементов 5' через вектор qo неизвестных (в узлах Лг) крупной сетки 5я. В результате построим равенство

Чг = [А{] Яо, (38)

где [Аъ\ - прямоугольная матрица.

Подставляя (38) в (37), из условия дР/дцо = 0 получим

Ль

\кг] = т,{А]т[тАг], ¿=1

где [Кт] - матрица жесткости ПКЭ.

Полагаем, что потенциальная энергия ПКЭ (рис. 10) равна потенциальной энергии эффективного однородного КЭ Ба (рис. 9), т. е. пусть матрица жесткости [.Кг] равна матрице жесткости [Ао] эффективного однородного КЭ 5о

[Яо] = [Кг]. (39)

Используя соотношения (36) с учетом матричного равенства (39) определяем эффективные модули упругости С°- для элемента 50 по формулам

С?^]"1^; С 1 = [Н2]~1Щ,

С°12 = (Кз ~ АцС[3 - ВпСг23 - БпС1з)/Вп. (40)

где Щ = {/с^, Щ2, Щ,г\Т\ К^ = {Щ3, &з4, &44}т.

Как известно, модули упругости Су {г, у = 1,2,3) изотропных однородных тел, в которых реализуется условие плоского напряженного состояния, удовлетворяют соотношениям

Сз2 = С23 = С13 = С31 = 0, С21 = С12,

Си = Сю, С33 > 0. (41)

Расчеты показывают, что существует такое ар > 0, что при ао > ар имеем |Су — Су | < ео, где £0 малая величина; Сг° - эффективные модули упругости, отвечающие квадратному эффективному КЭ ¿о со стороной а0, С?- - эффективные модули упругости, которые определены для квадратного эффективного КЭ Бр со стороной Ор. При этом эффективные модули упругости Су удовлетворяют соотношениям

^-С&ИСГз-С^е; С?3)С&,С?з,С£1 = 0, С?3 > 0, (42)

где е - малая величина (е << 1).

Так как е « 1, то в силу (41), (42) можно считать, что квадратный эффективный КЭ 5о со стороной ао (ао > ар) имеет такую же структуру матрицы модулей упругости, как и некоторое изотропное однородное тело, которое испытывает плоское напряженное состояние. Эффективные модули упругости Су-

(Сг° = С^) для квадратного эффективного КЭ со стороной ао = ар определяем по формулам

/пО _ /■тО _ Ф , \ /о /"(0 _ лчр

= ^12: ^13 = = 0. (43)

Итак, процедура нахождения эффективных модулей упругости сводится к следующему. По алгоритмам МКЭ для каждого КЭ базового разбиения ПКЭ вычисляем матрицу жесткости и вектор узловых сил. Используя аппроксимации перемещений, построенные по МКЭ на крупной сетке ПКЭ, с помощью формул (32), (33), (35) строим матрицы [Н{\, [Н2], находим обратные [Ях]-1, [Яг]-1 и вычисляем Ац, Вц, £>ц. С помощью КЭ базового разбиения и аппроксимирующих функций, построенных на крупной сетке, определяем матрицу жесткости ПКЭ (т. е. по сути строим матрицу жесткости ДвКЭ первого типа). Используя в формулах (40) соответствующие коэффициенты матрицы жесткости ПКЭ, находим значения эффективных модулей упругости Су.

Достоинства предлагаемой процедуры заключаются в том, что она имеет конечноэлементную основу, учитывает (с помощью сколь угодно мелкого базового разбиения) неоднородную, микронеоднородную структуру ПКЭ. Процедура имеет единую матричную формулировку для плоских неоднородных тел и композитных пластин различной регулярной структуры, базируется на алгоритмах МКЭ и поэтому удобно реализуется на ЭВМ. Данная процедура позволяет определить эффективные модули упругости для плоских неоднородных, микронеоднородных тел, композитных пластин регулярной структуры с любым коэффициентом наполнения.

Суть совместного применения микро и макроподходов заключается в следующем. В области крепления неоднородной конструкции используем (мелкое) разбиение, построенное по микроподходу. Остальную часть области конструкции представляем (крупным) разбиением, построенным по макроподходу. Мелкое и крупное разбиения склеиваем с помощью МнКЭ. В результате получаем смешанную дискретную модель третьего типа для неоднородной конструкции, размерность которой меньше размерности базовой дискретной модели, при этом перемещения смешанной дискретной модели отличаются от перемещений базовой модели на заданную величину.

Кратко рассмотрим результаты расчета тонкой неоднородной пластины постоянной толщины, рис. 11. Пластина находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. При у = 0, 72/г < х < 360Л. пластина закреплена (и = V = 0). Базовая модель пластины состоит из квадратных КЭ первого порядка со стороной /г и порождает квадратную узловую сетку с шагом /г и размерности 361 х 361 в целочисленной системе координат Ы, совмещенной с декартовой хОу (рис. 11). Пластина нагружена силами Рх — 4, 7 в узлах сетки 5й с координатами: (361,.;), з = 145 + 24(к - 1), к = 1, ...,8. На рис. 12 показана правая верхняя 1/4 часть регулярной ячейки Qi (размерами 24/г х 24/г)

неоднородной структуры; неоднородные включения, внедренные в матрицу, заштрихованы. Структура и форма ячейки симметричны относительно осей Ох1, Оу\. Модуль Юнга жестких включений равен 9, связующего материала - 1, коэффициент Пуассона для всей пластины равен 0,3; шаг сетки базового разбиения к = 0,5(см). По вышеописанной процедуре определяем матрицы жесткости ПКЭ для ряда значений ао. Используя полученные матрицы жесткости, по формулам (43) находим значения эффективных модулей упругости эффективного квадратного КЭ (со стороной а0) для выбранных значений

ао-

3 361 241 121 1

с = 360Л

53

Ы

+ Р,

[Лз

х

1 121 241 361

Рис. 11. Расчетная схема пластины

Ш

12Л,

I

|

%

XI

О

Рис. 12. 1/4 (правая верхняя) часть регулярной ячейки Qi

В табл. 1 даны значения эффективных модулей упругости Су, где N - число регулярных ячеек в ПКЭ, с - коэффициент наполнения неоднородностью.

Таблица 1

ао N ги 12 с°13 С"22 <^23 Г-и с

24Ь 1 2,68565 0,71414 0,00000 2,58416 0,00000 0,80178

288Ь 144 2,58487 0,61336 0,00000 2,58416 0,00000 0,70099

ЗбОЬ 225 2,58461 0,61310 0,00000 2,58416 0,00000 0,70074 0,36

504Ь 441 2,58439 0,61288 0,00000 2,58416 0,00000 0,70052

624Ь 676 2,58431 0,61280 0,00000 2,58416 0,00000 0,70044

Выделим в пластине область 51 высотой (рис. 11), которая учитывает микронеоднородность пластины, содержит границу крепления и представлена мелким разбиением, т. е. базовыми квадратными КЭ первого порядка со стороной К. Область 51! граничит с областью 52 высотой которая так же учитывает микронеоднородность и состоит из квадратных связующих ДвКЭ со стороной 4Л. Область ¿>2 является связующей между областью 51 и 5з (оставшаяся часть пластины), которая представлена крупным разбиением, состоящим из квадратных КЭ с эффективными модулями упругости со стороной 4/г. В результате для неоднородной пластины получаем смешанную дискретную модель третьего типа. Используя значения табл. 1, находим значение ар = 360/г (т. е. ао = 360/г,

N = 225) и по формулам (43) вычисляем С^ = С%2 = (2,58461 + 2,58416)/2, С°2 = 0,6131, С?3 = С23 = 0, з = 0,70074. Согласно табл. 1 при а0 = ар = З6О/1 можно считать, что матрица эффективных модулей упругости Су микронеоднородной пластины имеет такую же структуру, как и матрица изотропного однородного тела, а значит, данную квадратную пластину со стороной ао > ар можно считать некоторым эффективным изотропным однородным телом. Анализ результатов показывает, что максимальные значения перемещений и, у базовой и смешанной моделей отличается не более чем на 1,67%, максимальные значения эквивалентных напряжений (посчитанных по четвертой теории прочности) базовой и смешанной дискретных моделей отличаются на5,1 %. Базовая модель пластины содержит 260064 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 726. Смешанная модель пластины имеет 24642 неизвестных, лента СУ МКЭ (шириной, равной 283) занимает в 27 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели. Расчеты показывают, что увеличение размеров области 51 (рис. 11) приводит к уменьшению погрешности решения. Приведенные примеры расчетов подтверждают эффективность совместного применения микро- и макроподходов при анализе НДС неоднородных пластин регулярной структуры.

Глава 5 посвящена исследованию предельного упругого поведения конструкций на основе анализа распределения напряжений. Как известно, коэффициенты запаса прочности конструкций и деталей машин определенного класса удовлетворяют условиям прочности вида

Па < По < щ, (44)

где по - коэффициент запаса прочности конструкции, отвечающий точному решению задачи теории упругости,- па > 1; значения па, щ заданы, величина Дп — щ — па мала, Дп = 0,05 4- 0,2.

Условия прочности (44) характерны, например, для ряда деталей авиационной и космической техники. В настоящее время при расчете таких конструкций используют условия

па<пт< щ, ' (45)

где пт - коэффициент запаса прочности конструкции, который отвечает приближенному решению задачи теории упругости.

Отметим, что поскольку пг ф щ, то из выполнения для коэффициента запаса пг условий (45) при малых Дп не всегда следует выполнение условий (44) для коэффициента запаса щ.

Предлагаемые в диссертации скорректированные исходные условия прочности (44) для коэффициента запаса пг имеют вид

па , . пъ . .

<пг< , (46)

1-г0~ i + V

где 5о - оценка для погрешности 6 максимального эквивалентного напряжения <тт дискретной модели конструкции, где <5% = 100% \ат — <т0|/<т0, 0о - значе-

ние максимального эквивалентного напряжения, отвечающее точному решению задачи упругости, 5 < ¿о (0 < 5,6о < 1).

Как правило, в расчетах на прочность принимаем 5 = В диссертации доказано следующее утверждение. Утверждение 2. Пусть

Д п

й) <СЬ = —, Ап = пь- па. (47)

Тогда из выполнения условий (46) для коэффициента запаса пг следует выполнение условий прочности (44) для коэффициента запаса щ.

Ниже (в табл. 2) для ряда значений па, т, которые используют при расчете определенного класса несущих и второстепенных элементов конструкций среднего и тяжелого машиностроения, даны значения Съ.

_Таблица 2

Па пь Дп сдоо%

1,15 1,2 0,05 2,08

1,1 1,2 ОД 4,16

2,3 2,5 0,2 4,00

2,5 2,6 0,1 1,92

Итак, для выполнения условий прочности (44) при малых значениях Дп возникает необходимость строить численные решения задач теории упругости с заданной малой относительной погрешностью 5 для максимальных эквивалентных напряжений дискретных моделей конструкций. Например, для па = 2,3; щ = 2,5; Дп = 0,2 имеем 6% < 50% = 4%.

В главе 5 изложены вероятностный, энергетический и комплексный методы определения коэффициентов запаса прочности конструкций. Комплексный метод базируется на положениях вероятностного и энергетического методов. В настоящее время в расчетах коэффициенты запаса прочности конструкций определяются по формулам, в которых максимальные эквивалентные напряжения конструкций вычисляются без учета характера распределения напряжений, т. е. учитывается напряженное состояние конструкции лишь только в одной точке се области. Опыт показывает, что данный подход определения коэффициентов запаса прочности конструкций не всегда адекватно оценивает прочность конструкций. Например, при наличии в конструкции несколько ярко выраженных концентраторов напряжений, максимальные эквивалентные напряжения которых приближенно равны. Вероятностный и энергетический методы приближенно учитывают характер распределения эквивалентных напряжений в конструкциях. В основе вероятностного метода лежат следующие положения.

Положение 5.1. При выходе напряжений на уровень предельного состояния хотя бы в одной точке области конструкции считаем, что наступила начальная стадия ее разрушения и для краткости будем говорить, что конструкция разрушается.

Положение 5.2. Считаем, что коэффициент п запаса прочности и вероятность р разрушения конструкции связаны зависимостью вида

п = /(р), (48)

где }{р) - непрерывная функция, /(р) > 0, 0 < р < 1, /(1) = 0. Функция f{p) отражает факторы, которые влияют на напряженное состояние конструкции, т. е. на значение коэффициента п, а именно: физические свойства, форму, размеры, условия крепления, характер нагружения конструкций, качество изготовления и нарушение условий эксплуатации конструкций.

Положение 5.3. Область V конструкции представляем подобластями (элементами) Vг = 1,...,7У, где N - общее число подобластей (элементов) Vх конструкции. Подобласти V1 имеют размеры, при которых значения напряжений в подобласти V1 меняются незначительно.

Положение 5.4■ Считаем, что достижение предельного упругого состояния конструкции может произойти в любой из подобластей (в любом из элементов) конструкции, причем возникновение таких предельных состояний в подобластях (элементах) V являются независимыми -событиями.

Распределение предельно упругих состояний в подобластях (элементах) конструкции, описанного в положении 5.4, характерно для конструкций, состоящих из большого числа элементов, деталей или имеющих большие размеры. Например, поворотные платформы экскаваторов (которые используются для открытых горных работ); стержневые системы, пролеты мостов, состоящие из металлоконструкций; корпуса судов и т. д. Достижение предельно упругого состояния в подобласти или элементе V конструкции может быть вызвано следующими причинами, которые носят случайный характер. Возникновение в подобласти, элементе V' микротрещин, царапин и предварительных напряжений при изготовлении и монтаже конструкции: наличие микропустот, инородных включений; неоднородное, случайное распределение значений модулей упругости в подобласти, элементе V1-, воздействие случайных нагрузок (ветровой, снеговой) на подобласть, элемент V1 конструкции. Таким образом, распределение напряжений в конструкции и событие выхода подобласти, элемента V1 конструкции в упругое предельное состояние в некоторой степени носит случайный характер, т. е. вероятностный характер.

В работе построена формула для нахождения вероятности разрушения р{ подобласти, элемента конструкции Vх (г = 1,..., ТУ). Показано, что вероятность разрушения р{ зависит от физических параметров материала и характера распределения напряжений в подобласти, элементе V'. Используя найденные значения рх, и учитывая, что разрушения в подобластях (элементах) V1,..., Vм являются независимыми событиями (см. положение 5.4), вероятность рг разрушения конструкции хотя бы в одной из подобластей (в одном из элементов) Vх,..., V1* находим по формуле

N

Рг = 1 - IK1 - Pi)"

(49)

i=i

В силу положения 5.2 вероятность^ разрушения конструкции и ее коэффициент пг запаса прочности связаны соотношением (48), т. е.

В расчетах функцию / приближенно представляем линейной п — а(1 — р), где коэффициент а = const определяется с помощью физических экспериментов. Согласно (50) коэффициент запаса пт находим по формуле

В работе показано, что пг — пг(оха,..., где а'а - максимальное эквивалентное напряжение области (элемента) V' конструкции (г = 1,..., Л?'), т. е. коэффициент запаса пг конструкции приближенно отражает характер распределения эквивалентных напряжений.

Энергетический метод реализуется в конечноэлементной форме. В данном методе используется функция, выражающая уровень энергии опасного состояния конструкции через удельные потенциальные энергии формоизменения всех конечных элементов дискретной модели (конструкции). Эта функция строится с учетом распределения напряжений в конструкции. Разработан комплексный метод анализа прочности конструкций, в котором используются некоторые положения энергетического и вероятностного методов. Приведен пример нахождения коэффициента запаса прочности для плоского однородного тела с применением комплексного метода.

В главе 6 изложена численная процедура построения функций верхних и нижних оценок относительных погрешностей максимальных перемещений определенного класса конечноэлементных моделей упругих плоских однородных тел.

Реализация процедуры сводится к следующему. Выбираем множество изотропных однородных тонких пластин (к = 1, ...,тп), в которых реализуется условие обобщенного плоского напряженного состояния, которые имеют различные размеры и формы, закрепления и кусочно статические равномерные нагружения. На рис. 13 - 18 представлены шесть пластин 51,...,5'6, которые использовались в расчетах диссертации. Границы крепления пластин отмечены штриховкой, схематично показаны их нагружения (дх, ду, д*, д^, д, д± д2). Расчеты показывают, что при всевозможных нагружениях тела действие равномерной нагрузки по границе (в области) тела порождает минимальную погрешность решения, а при действии нагружения, которое статически эквивалентно близко к сосредоточенной силе - максимальную погрешность решения при прочих равных условиях. В связи с этим среди выбранных пластин есть

пт = Др,-).

(50)

щ = а(1 — рг).

(51)

пластина (рис. 13, пластина 51), по границе (в области) которой действует постоянная нагрузка и есть пластина (рис. 18, пластина 5е), которое имеет равномерную нагрузку, статически эквивалентно близкую к сосредоточенной силе. Для множества пластин Бк задан (г -ый) закон измельчения

** ,, п = 0,1,2,3,...,АГ, (52)

г[п + 1)

где Нк - шаг узловой сетки дискретной модели разбиения г = 1,2,3,...; кк -шаг узловой сетки исходного регулярного разбиения Вд тела Я*; значения г — заданы.

Для всех значений п = к = 1,...,т задаем параметр г, который

отражает скорость измельчения исходных разбиений пластин Бк. Для пластины Бк, используя закон измельчения (52), строим последовательность регулярных разбиений которые состоят из квадратных КЭ первого порядка. Для

каждого разбиения Як е по МКЭ находим решение ъик плоской задачи

упругости. Пусть ик есть максимальное перемещение пластины Бк, отвечающее сеточному решению гик.

В декартовой системе координат е05 для каждой пластины Бк отмечаем N точек с координатами £ = £к, 5 = 5к, где

г к _ К ~ ип\ к _ \ип~ип-\\ , дг /соч

5к - относительная погрешность для перемещения ик пластины б*, - значение максимального перемещения пластины Бк, построенное для базового разбиения данной пластины; ик, - максимальные перемещения пластины отвечающие разбиениям Ик, к = 1, ...,т.

Считая, что значение отличается от точного на малую величину, будем значение и® для кратности называть точным решением.Считаем, что кривая между прямыми е = е°, £ = (е-г > £? > 0; е?,£2 - заданы), огибающая множество точек С, сверху, является графиком функции /¿(е), которая определяет верхние оценки относительных погрешностей значений максимальных перемещений дискретных моделей тонких изотропных однородных пластин, построенных по заданному г - ому закону измельчения (52). Кривая между прямыми е = е^, е = огибающая множество точек б; снизу, является графиком функции /¡*(е), значения которой есть нижние оценки. Следует отметить, что чем больше используем тел Бк, тем точнее построим графики функций /¿, /*. В диссертации показано, что для малых значений е (т. е. для достаточно мелких регулярных разбиений) функции /¿(е), /,*(е) можно представить в виде /4*(е) = £, /¡(е) = Сое, где Со = сопв^ причем величина Со не зависит от п, к, значение Со находим с помощью тестовых расчетов. Отметим, что для крупных разбиений применение функций вида /г*(е) = £, /¿(е) = Сое для нахождения верхних, нижних оценок, интересных для практики, затруднительно, так как

диапазон функций- Д* = - /¡| принимает большие значения.

^ ..........

а 2 а Рис. 13. Пластина 51

У

2 а ■

ч

Ъ

о

а 2 а

Рис. 14. Пластина 52

Рис. 17. Пластина й15

^ рЖШ

а/2 а Рис. 16. Пластина Б4

Рис. 18. Пластина Б6

Для системы пластин Б\...,Бв (см. рис. 13 - 18), на рис. 19 показаны функции Л, Л, Я, Я верхних и нижних оценок для множеств построенных с применением закона измельчения (52) при г = 1,4 соответственно. В расчетах графики функции /4, Я используем следующим образом. Пусть для тонкой изотропной однородной пластины Б, которая имеет кусочно равномерное на-

гружение в своей плоскости, по заданному закону измельчения (52) при г — 4 построена последовательность регулярных разбиений {Ят,}. Используя разбиения {Лп}, для данного тела 5" с помощью МКЭ находим последовательность сеточных решений. Пусть ип - максимальное перемещение тела ¿>, отвечающее сеточному решению и>п е {ш;}^. Для перемещения ип определяем параметр еп по формуле еп = |"п — /\щ\- Если е„ > то используем более мелкое разбиение, чем исходное, если е„ < то - более крупное.

Рис. 19. Верхние Д, /4 и нижние Ц, Д границы множеств бь (З4

На плоскости е05 из точки с координатами (еп, 0) восстанавливаем, перпендикуляр к оси Ое и определяем точки пересечения данного перпендикуляра с функциями /4, т. е. определяем значения функций /ц(еп), Д(еп)- Значения /4(£п)> Же«) определяют соответственно верхнюю и нижнюю оценки для относительной погрешности 5п решения ип (6п = |и° —и„|/|и°|, и0 - точное решение), т. е. имеем

ЯЫ <5п< /4(еп). (54)

Расчеты показывают, что при увеличении числа г в формуле (52) уменьшается диапазон для верхних и нижних оценок, т. е.- имеем

Д4(е)<Д1(£), ее^еЦ,

где ДЦе) = |/41е) - /|(£)|, д4(е) = |Л(Б) _ /|(е)|; ^ я(е) . фушщии верхних и нижних оценок для множества точек построенного для закона измельчения

Ь1к

^ = 4(^1)' п = 0>1>2>3>->*- (55)

Значит, для заданного 60 > 0 можно выбрать такое г, что Уе 6 [е?,^] имеем < ¿0) где ¿о - заданный максимальный диапазон для функций /¿, /* (верхних, нижних оценок) на отрезке :[е°,£% рис. 13. Пусть 60 мало. Тогда в силу малости ¿о функцию относительных погрешностей /р(е) для сеточных решений ип на отрезке [е^, £■§] приближенно можно представить в виде

ш = т±Ш, е6[£;,е§]. (56)

Приведенный пример определения верхних и нижних оценок для конечноэле-ментного решения, построенного для однородной пластины сложной формы, показывает эффективность предлагаемой процедуры.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

1. Разработаны МнКЭ для анализа неоднородных и микронеоднородных тел, в частности, композитных конструкций. МнКЭ порождают многосеточные дискретные модели, размерности которых на несколько порядков меньше размерностей базовых моделей. Многосеточные модели (с помощью сколь угодно мелкого базового разбиения МнКЭ) учитывают неоднородную и микронеоднородную структуру, порождают решения с заданной погрешностью и особенно эффективны при анализе трехмерных неоднородных и микронеоднородных тел, композитных конструкций регулярной структуры. При этом напряжения определяются в каждом компоненте неоднородной структуры МнКЭ. Процедура построения МнКЭ базируется на известных алгоритмах МКЭ и поэтому удобно реализуется на ЭВМ.

2. Предложена процедура совместного применения односеточных КЭ и МнКЭ при анализе упругих неоднородных тел, композитных конструкций, суть которой состоит в следующем. В окрестности крепления тела, конструкции или сложной формы границы используем мелкое разбиение, состоящее из односеточных КЭ, остальную часть тела, конструкции представляем крупным разбиением, которое состоит из МнКЭ. Мелкое и крупное разбиения склеиваем с помощью связующих МнКЭ. В результате получаем смешанную дискретную

модель, размерность которой меньше размерности базовой модели. Смешанная модель учитывают сложную структуру и форму тела, конструкции и порождает решения с заданной погрешностью.

3. Разработаны смешанные постановки задач изгиба однородных упругих пластин, балок, суть которых состоит в следующем. В окрестности крепления пластины (балки) используем уравнения трехмерной задачи упругости, а в остальной области - уравнения задачи изгиба пластины типа Рейсснера (балки Кирхгофа). При конечноэлементной реализации этих постановок в окрестности крепления пластины (балки) используем мелкое разбиение на КЭ, описывающее трехмерное напряженное состояние, в остальной части - крупное, построенное на основе технической теории пластин (балок). Мелкое и крупное разбиения склеиваем с помощью связующих МнКЭ. В результате получаем смешанную дискретную модель, которая способна учитывать сложный характер крепления пластины (балки) и размерность которой меньше размерности базовой модели. При этом решения, построенные для смешанных моделей, отличаются от решений, отвечающих базовым моделям, на заданную величину.

4. Построены Д соотношения, которые выражают взаимно однозначную связь между коэффициентами матрицы жесткости однородного квадратного конечного элемента первого порядка (плоской задачи упругости) и его модулями упругости. Д соотношения лежат в основе процедуры нахождения эффективных модулей упругости для плоских неоднородных тел, конструкций регулярной структуры.

5. Разработана численная процедура определения эффективных модулей упругости для плоских неоднородных, микронеоднородных тел и композитных пластин регулярной структуры с разными коэффициентами наполнения неоднородностью. В предлагаемой процедуре структура представительного объема неоднородности учитывается по микроподходу. Процедура имеет единую матричную формулировку для плоских неоднородных, микронеоднородных тел и композитных пластин различной регулярной структуры, базируется на известных алгоритмах МКЭ и поэтому удобно реализуется на современных ЭВМ.

6. Предложена процедура совместного применения микро- и макроподходов в анализе упругих неоднородных тел регулярной структуры, суть которой заключается в следующем. В окрестности крепления тела используем мелкое разбиение на КЭ, построенное по микроподходу, т. е. которое учитывает структуру, а в остальной части тела - крупное, построенное по макроподходу с применением эффективных модулей упругости, найденных для данного тела. Мелкое и крупное разбиения склеиваем с помощью МнКЭ. В результате получаем смешанную дискретную модель неоднородного тела, размерность которой меньше размерности базовой модели. Смешанные модели в окрестностях крепления тел учитывают сложную форму областей и структуру, и порождают решения, отличающиеся от решений базовых моделей, на заданную величину.

7. Разработана численная процедура построения верхних и нижних оце-

нок относительных погрешностей конечноэлементных решений, которые построены для тонких однородных пластин разной формы и разных размеров с применением заданного закона измельчения для исходных регулярных разбиений, состоящих из квадратных КЭ первого порядка. При этом пластины имеют статические нагружения (в своей плоскости) заданного типа. Разработанная процедура реализуется на основе алгоритмов МКЭ и сводится к построению функций верхних и нижних оценок, лежащих в заданным диапазоне.

8. Разработаны модифицированные постановки задач изгиба пластин, балок, кручения стержней. Конечноэлементная реализация модифицированных постановок для упругих трехмерных пластин, балок порождает дискретные модели малой размерности, которые описывают трехмерное напряженное состояние в окрестностях крепления пластин, балок.

9. Для исходных условий прочности па < щ < пь (где па > 1 ,пь- заданы, п0 - коэффициент запаса прочности конструкции, отвечающий точному решению задачи теории упругости) сформулированы скорректированные условия прочности с учетом оценки относительных погрешностей максимальных эквивалентных напряжений дискретных моделей упругих тел, конструкций. Разработана численная процедура определения коэффициента запаса прочности для упругих тел, конструкций с учетом характера распределения напряжений и ряда других факторов, влияющих на прочность конструкций.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Матвеев А.Д. Модифицированные трехмерные постановки задач изгиба однородных пластин и балок со сложным закреплением / ПМТФ. 2003 Т 44 №5. С. 144-150. '

2. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения / ПМТФ 2004 Т 44 №3 С 161-171.

3. Матвеев А.Д. Смешанные постановки задач изгиба однородных упругих пластин и балок / ПМТФ 2004, Т. 45, №4, С. 160-167.

4. Матвеев А.Д. Дополнительные условия для перемещений изгибаемых композитных пластин и балок / Вестник КГУ, Физико-математические науки, 2005, №1, С. 211-216.

5. Матвеев А.Д. Модифицированная трехмерная постановка задачи кручения однородных балок / Вестник КГУ, Физико-математические науки, 2005, №1, С. 217-223.

6. Матвеев А.Д. Дополнительные условия на перемещения в задаче кручения композитных балок / Вестник КрасГАУ, 2005, №7, С. 175-179.

7. Матвеев А.Д. Совместное применение одно- и двухсеточного моделирования для трехмерных упругих композитов сложной формы / Вестник КрасГАУ, 2005, №9, С. 52-59.

8. Матвеев А.Д. Двухсеточное моделирование локально армированных трехмерных упругих тел / Вестник КрасГАУ, 2006, №10, С. 192-198.

9. Матвеев А.Д. Конечные элементы с законтурными узлами в анализе двумерных композитов сложной регулярной структуры / Вестник КГУ, Физико-математические науки, 2006, №1, С. 202-207.

10. Матвеев А.Д. Определение эффективных модулей упругости композитов сложной структуры с отверстиями / Вестник КрасГАУ, 2006, №12, С. 212-222.

11. Матвеев А.Д. Дискретное моделирование однородных тел с заданной расчетной погрешностью для напряжений / Вестник КГУ, Физико-математические науки, 2006, №7, С. 129-134. .;

12. Матвеев А.Д. Анализ прочности конструкций с учетом оценки погрешности для напряжений / Вестник КГУ, Физико-математические науки, 2006, №9, С. 154-156.

13. Матвеев А.Д. Определение коэффициентов запаса прочности конструкций с учетом распределения напряжений / Вестник КрасГАУ, 2007, №3, С. 159-168.

14. Матвеев А.Д. Дискретный анализ двумерных тел с заданной оценкой для относительных погрешностей и построение двусторонних оценок для погрешностей сеточных решений / Вестник КрасГАУ, 2008, №4, С. 20-27.

15. Матвеев А.Д. Определение эффективных модулей упругости для трехмерных композитов на основе жесткостных соотношений однородных конечных элементов / Вестник КрасГАУ, 2008, №5, С. 34-47.

16. Матвеев А.Д. Почти эквивалентное дискретное моделирование трехмерных пористых тел сложной формы на основе смешанных моделей / Вестник КрасГАУ, 2009, №3, С. 34-42.

17. Матвеев А.Д. Процедура построения двусторонних оценок погрешностей конечноэлементных решений плоской задачи упругости / Вестник КрасГАУ, 2009, №4, С. 21-29.

18. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование трехмерных упругих композитных балок и цилиндрических панелей / Вестник КрасГАУ, 2010, .№12, С. 12-23.

19. Матвеев А.Д. Построение погрешностей для перемещений дискретных моделей упругих тел с применением функций верхних и нижних оценок / Вестник КрасГАУ, 2011, №3, С. 14-26.

20. Матвеев А.Д. Анализ прочности с учетом характера распределения эквивалентных напряжений в конструкциях / Известия Алтайского государственного университета, раздел: математика и механика, 2012. 1/1 (73). С. 81-85.

21. Матвеев А.Д. Построение погрешностей для перемещений дискретных моделей двумерных композитов регулярной структуры с применением функций верхних и нижних оценок / Известия Алтайского государственного университета, раздел: математика и механика, 2012. 1/1 (73). С. 86-91.

22. Матвеев А.Д. Определение коэффициента запаса прочности, вероятности разрушения и срока службы для совокупности упругих деталей, состоящих из различных материалов / Известия Алтайского государственного университета, раздел: математика и механика, 2012. 1/2 (73). С. 47-53.

Публикации в других печатных изданиях

23. Матвеев А.Д. Построение экономичных конечноэлементных моделей упругих армированных пластин с учетом их структуры / Труды семинара "Математические методы в механике сплошных сред", ИВМ СО РАН, Красноярск, 1997. с. 149-168.

24. Матвеев А.Д. Взаимнооднозначная связь между упругими и жесткост-ными коэффициентами однородных конечных элементов / Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". 16-21 августа 2001г. Красноярск, Россия. Т. 2, С. 90-93.

25. Матвеев А.Д. Совместное применение микро- и макроподходов в дискретном анализе двумерных композитов с малым коэффициентом наполнения / Труды XXI Всероссийской конференции "Численные методы решения задач теории и пластичности упругости". 30 июня - 2 июля, 2009г. Кемерово, Россия, Новосибирск, Параллель, 2009, С. 158-167.

26. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / Деп. в ВИНИТИ №2990 - В00. 2000. 30 с.

27. Матвеев А.Д. Дополнительные условия на перемещения в трехмерном анализе пластин и балок композитной структуры / Деп. в ВИНИТИ №1836 -В2002. 2002. 15 с.

28. Матвеев А.Д. Совместное применение микро и макроподходов в дискретном анализе двумерных композитов / Деп. в ВИНИТИ №1722 - В2005. 2005. 26 с.

МАТВЕЕВ Александр Данилович

Анализ упругих тел на основе смешанных дискретных моделей

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 23 ноября 2012г. Заказ Формат 60 х 84/16. Усл. печ. л. 2,4. Тираж 100 экз. Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ 660014, г. Красноярск, просп. им. газеты "Красноярский рабочий", 31