Анализрегулярности и квазихаотичности колебаний нелинейных механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГ6 ОД

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С.П.ТИМОШЕНКА

НІКІТІНА НЕЛІ ВОЛОДИМИРІВНА

УДК 531.36

АНАЛІЗ РЕГУЛЯРНОСТІ І КВАЗІХАОТИЧНОСТІ КОЛИВАНЬ НЕЛІНІЙНИХ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ

01.02.01 - теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізнко-математнчних наук

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України, м.Київ

Науковий

консультант:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Мартіїнюк Анатолій Андрійович Інститут механіки НАН Украіни, завідувач відділу стійкості процесів.

Доктор фізико-математичних наук, доцент Зевін Олександр Аронович,

Інститут транспортних систем і технологій НАН України, провідний науковий співробітник;

Доктор фізико-математичних наук, професор Міхліи Юрій Володимирович,

Харківський державний політехнічний університет, професор кафедри прикладної математики;

Доктор технічних наук, професор Гулясв Валерій Іванович,

Український транспортний університет, завідувач кафедри.

Провідна

установа:

Київський Національний університет будівництва і архітектури

о/Огодині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, Київ-57, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, вул. Нестерова,3).

Автореферат розісланий "¿г1 а^/2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор ----І.С.Чернишенко

Офіційні

опоненти:

Захист дисертації відбудеться

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність темн. Розвиток сучасної техніки і технології потребує вивчення поведінки динамічних систем із складними фазовими портретами, зі стохастичними та квазіхаотичними аттракторами. Проблеми динамічного хаосу та стохастичності мають місце в моделях складних апаратів та технічних пристроїв, наприклад, в задачах керування, для яких характерні пружні елементи, нелінійне затухання, нелінійні зворотні зв'язки. Одна з особливостей задач твердого тіла - їх нелінійність. Тенденція нелінійних систем організовувати граничну поведінку траєкторій стимулювала розвиток нелінійного аналізу стосовно задач динаміки твердого тіла. Універсальність класичного підходу породила дослідження стійкості періодичних процесів стосовно задач пружних систем, гіроскопічних пристроїв з врахуванням сильних нелінійностей, вияв особливих точок, побудову розв'язків, що відгалужуються, а також побудову областей притягання. Нерегулярні коливання природно розглядати з позицій уявлень і методів теорії коливань. Основний постулат теорії коливань полягає в тому, що періодичний вплив викликає періодичний відгук. Теорія хаотичних рухів ставить під сумнів це твердження. Одним з актуальних напрямків розвитку аналізу хаотичних і квазіхаотичних аттракторів є поняття симетрії, що відіграє важливу роль в численних розділах точного природознавства. Центральне місце в роботі

посідає аналіз стійкості і опис структури колової траєкторії в зв'язку з біфуркацією коливань і включенням в структуру аперіодичних розв'язків, а також в зв'язку з симетрією. До останнього часу добре розроблені геометричні принципи симетрії лишались непристосованими до систем, аттрактори яких не мають геометричної симетрії. Це стосувалось, як правило, багатовимірних і двохчастотних систем. Таким чином, в дисертації розвивається пошук динамічних властивостей колової траєкторії для встановлення критеріїв замикання, стійкості складних і квазіхаотичних колових траєкторій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності з планами науково-дослідних робіт Інституту механіки НАН України. Наукові та практичні здобутки дисертації увійшли до звітів тем НДР: за 1987-1990 рр. тема 1. 10.4.1.157, держ. рег. № 01870015491; за 1990-1993 рр. тема 1.3.3.175, держ.рег. №01900018609; за 1993-1996 рр. тема 1.3.1.260 , держ. рег. № 0194Ш15132; за 1997-1999 рр. тема 1.3.1.295, держ.рег. №01971X101308.

Мета і задачі дослідження.

1. Розвиток сучасного дослідження багаточастотних коливань для встановлення біфуркації народження аперіодичних розв’язків.

2. Розповсюдження динамічного аналізу і принципу симетрії на нелінійні рухи типу стійкого періодичного та умовно-періодичного стійкого биття, стійкого періодичного (синхронного) зі збільшеним періодом руху.

3. Встановлення зв’язку динамічної симетрії із синхронністю коливань у багатовимірних нелінійних системах.

4. Ідентифікація коливань з квазіхаотичним аттрактором за характеристичними показниками квазістатичних та аперіодичних розв’язків, а також чисельного експерименту.

5. Знаходження декількох регулярних атгракторів у багатовимірній системі.

Наукова новизна одержанних результатів. Внаслідок дослідження встановлено критерії для квазіхаотичності траєкторій, для збільшення періоду, для несинхронності щодо коливань нелінійних систем у трьох -п’ятивимірному фазовому просторі. Встановлено та вивчено властивості динамічних систем з використанням характеристичних показників квазістатичних розв’язків. На основі формального визначення симетрії та якості симетрії (еволюції, частоти) досліджено вигляд породжуваних аттракторів, а також стійкість колової траєкторії. Обгрунтовано поняття стійкого хаосу за допомогою аналізу характеристичних показників

квазістатичних та аперіодичних розв’язків на коловій траєкторії,

модифіковано асимптотичний метод Боголюбова-Митропольського та пристосовано до задач з гідродинамічним опором та появою кількох регулярних аттракторів.

Практичне значення одержаних результатів роботи полягає в запропонованій методиці класифікації структур складних аттракторів, а також в фізичному тлумаченні таких явищ, як стійкий хаос, збільшення періоду, а також в можливості використання результатів для попередньої оцінки динамічних властивостей пружних систем, моделей приладів, транспортних засобів, механічних, електромеханічних, біофізичних систем у найбільш небезпечному біфуркаційному стані, де можливі стрибкоподібні зміни фазових портретів.

Особистий внесок здобувана. Основний зміст та наукові результати дисертаційної роботи відображені в 24 друкованих працях, із них 10 праць написані самостійно. В працях, надрукованих спільно, науковий внесок кожного із співавторів такий: в статтях [1-11] авторові належить побудова методу розв’язання задач, проведення розрахунків, співавторові -математичне тлумачення результатів, обговорення основ методу; в публікації [22] авторові належить побудова методу розв’язання задачі, чисельний розв’язок задачі, співавторові - фізичне тлумачення результатів, обговорення

з

основ методу; в публікації [23] авторові належить побудова методу розв’язання задачі, чисельний розв’зок задачі, тлумачення результатів, співавторові - також чисельний розв’язок задачі; в публікації [24] авторові належить спільна розробка схеми датчика, побудова методу розв’язання задачі, чисельний розв’язок задачі, фізичне тлумачення результатів, співавторові - ідея створення моделі гіроскопічного пристрою, вказуючого площину меридіану.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на УІ Всесоюзному з’їзді з теоретичної та прикладної механіки (Ташкент, 1987), на Українських конференціях «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Київ,

1993, 1994, 1995), на Третіх Боголюбовських читаннях (Київ, 1997), на семінарі Українського транспортного університету (керівник семінару - д.т.н., проф.

О.О.Рассказов. 1998); на семінарі по нелінійним коливанням Інституту математики НАН України (керівник семінару - академік НАН України ІО.О.Митропольський, 1998), на семінарі з проблем механіки Київського університету ім. Т.Г.Шевченко (керівник семінару - член-кореспондент НАН України, проф. О.Ф.Улітко, 1998), на семінарі Інституту гідромеханіки НАН України (керівник семінару - академік НАН України В.Г.Грінченко, 1998). Робота в цілому доповідалась на загальноінститутському семінарі Інституту механіки НАН України (керівник семінару - академік НАН України О.М.Гузь, 1998).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 26 наукових роботах, з них 24 статті у журналах, дві тези доповідей.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, дев’яти розділів і висновків. Вона вміщує 318 сторінок, 68 рисунків, 9 таблиць, список використанних літературних джерел (184 найменування).

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому консультантові, завідувачу відділу стійкості процесів члену-кореспонденту НАН України доктору фіз.-мат. наук, професору А.А.Мартинюку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ У вступі розкривається сутність і стан проблеми та обгрунтовується актуальність розробки нового методу. Формулюється мета дослідження, визначаються основні задачі, які необхідно розв’язати для досягнення поставленоі мети.

В першому розділі дається стислий огляд основних етапів розвитку досліджень головної теми дисертаційної роботи - теорії нерегулярних тракторів. Цей новий напрямок в теоретичній механіці досить тісно 2-Я25!

пов’язаний з теорією коливань, теорією стійкості і асимптотичною теорією. Перші теоретичні роботи з хаосу а також розробка методів дослідження нелінійних коливальних систем починаються працями Пуанкаре -задача трьох тіл (1892). Основи нелінійного аналізу і фізичні уявлення про нелінійні коливання розроблені в працях А.А.Андронова, М.М.Боголюбова, Ван-дер-Поля, О.М.Ляпунова, Л.І.Мандельштама,

Ю.О.Митропольського, А.Пуанкаре, А.М.Самойленка та інших вчених. Теорія стійкості, створена О.М.Ляпуновим, дозволяє встановити критерії існування і стійкості періодичних рухів диференціальних рівнянь, що містять малий параметр. Сучасний якісний аналіз систем, що породжують регулярні аттрактори, заснований на розвитку теорії стійкості поданий в працях В.І.Гуляєва, О.А.Зевіна, А.А.Мартинюка, ІО.В.Міхліна, Д.Я.Хусаінова. Відзначимо також дослідження існування групи симетрії в нелінійних системах, що містяться в працях А.К.Лопатіна і Ю.О.Митропольського. В припущенні, що система нульового наближення має інтеграл, інваріантний відносно скінченної компактної групи Лі, досліджуються питання якісної поведінки розв’язку поблизу інтегрального многовиду і біфуркації розв’язків системи із зміною малого параметра. Строге обгрунтування методу усереднення було наведене в працях М.М.Крилова, М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського А.М.Самойленка. Великий вклад в розвиток методу усереднення внесли В.М.Волосов і Б.П.Моргунов, які обгрунтували його застосування до розв’язку істотно нелінійних задач теорії коливань. Застосування асимптотичних методів безпосередньо до ідентифікації дивних аттракторів не уявляється можливим. Проте, залишаючись потужним засобом дослідження нелінійних систем, асимптотичні методи можуть бути використані при вивченні переходів від регулярних рухів до хаотичних.

Далі наведений огляд найвизначніших етапів розвитку досліджень з головноі теми дисертаційної роботи - теорії нерегулярних аттракторів. За останні два десятиліття цей напрямок розвивався стосовно до декількох тенденцій. Наведемо деякі з них.

¡.Теоретична. Існування аттракторів, фазові траєкторії яких експоненціально розбігаються. Стійкість таких явищ була встановлена в працях С.Смейла, Д.В.Аносова, Я.Г.Синая, Е.Лоренца. Поява цих праць відкрила нерегулярні коливання в детермінованих системах. Сюди ж можна віднести статтю О.М.Шарковського, що містить спеціальну послідовність, яка характерізує нерегулярність відображення інтервала. Локальні властивості траєкторій описуються поняттями диференціальної геометрії. Траєкторії, що належать перетину стійких і нестійких сепаратрис періодичних рухів,

називаються гомоклінічними. Наявність гомоклінічної траєкторії може слугувати критерієм існування складних режимів.

2. Обчислювальна. Одним з ефективних методів вивчення квазіхаотичних рухів є метод точкових відображень, який сприяє розвитку як обчислювального, так і аналітичного напрямків. Широке розповсюдження останнім часом отримав метод січної гіперповерхні Пуанкаре. Застосування цього методу в сполученні з комп’ютерним моделюванням дозволяє виконати побудову відображень Пуанкаре. Для детермінованих нелінійних коливальних систем одним з механізмів переходу від регулярних рухів до хаотичних із зміною характерного керуючого параметра є універсальний по Фейгенбауму процес появи нескінченної послідовності біфуркацій подвоєння періоду. Застосування методу скейлінгових функцій в поєднанні з методами нелінійного аналізу і критеріями стійкості Ляпунова і Флоке в працях В.І.Гуляєва і Т.В.Завражиної дає можливість вивчити властивості траєкторій на межі хаотичного руху.

За останнє десятиріччя збільшився потит на методи і підходи до дослідження хаосу в теорії споруд в зв’язку з простежуванням еволюції вимушених коливань. Так, в працях Є.С.Дехтярюка досліджувався хаос в задачах нелінійної динаміки оболонок. В праці В.Г.Карнаухова і

І.К.Сенченкова розглядався хаотичний характер кінематичних і силових характеристик вздовж просторової координати в статично деформованих пружних системах. Один з останніх підходів аналізу хаотичних траєкторій належить Ю.В.Міхліну і пов’язаний із застосуванням квазі-Паде апроксимації.

Значний внесок в теорію хаосу внесли праці В.С.Аніщенко, Д.В.Аносова, В.І.Арнольда, В.С.Афрамовича, В.І.Гуляєва,

Г.М.Заславського, В.В.Козлова, В.К.Мельникова, Ф.Муна, Ю.І.Неймарка, М.¡.Рабиновича, Я.Г.Синая, С.Смейла , Г.Хакена, О.М.Шарковського, Л.П.Шильникова, Г.Шустера, M.J.Feigenbaum, M. Henon, P.Holmes, F.C.Hoppensteudt, D.Ruelle, F.Takens, Y.UedaTa інших вчених.

Поширення досліджень в останні 20 років відбувалось в країнах розвиненої обчислювальної техніки; численність результатів, пов’язаних із розвитком обчислювальноі тенденції, породило помилкову думку про неможливість дослідження хаосу аналітично. Остання обставина спричинила деякий застій, тому що, незважаючи на велику кількість публікацій, залишаються невирішеними багато проблем.

а). У той час, коли зацікавленість до дослідження хаосу зароджувалась серед теоретичних робіт, відмітимо роботу В.К. Мельникова. Підхід В.К. Мельникова дозволяє побудувати межу між періодичними та хаотичними рухами. З’явився термін "критерій Мельникова". Відсутність фізичної

інтерпретації явищ залишило роботи В.М.Мельникова складними для практичного застосування. Області, побудовані за допомогою цього критерію, не збігаються у межах з областями експериментальними, крім того, ні критерій Мельникова, ні експериментальні дослідження не відповідають на запитання: чому в області складної поведінки систем знаходились рухи різної якості, такі як збільшення (подвоєння) періоду, хаос, "вихід" траєкторії та руйнування періодичних рухів.

б). Строгі критерії класифікації хаосу та областей складної поведінки динамічних систем визначаються сигнатурою характеристичних показників і встановлюються звичайно обчислювальним методом. В цьому випадку чисельні результати, не пов’язані з аналізом загальної структури аттрактора, не дозволяють зробити прогнози розвитку складного процесу.

в). Формально стійкість квазіхаотичних коливань описується стійкістю за Пуассоном. Розкриття фізичних причин, що спричиняють перетворення квазіхаотичних коливань в аттрактори, виявляється невирішеною проблемою.

г). З’ясування вигляду динамічної симетрії, а також динамічної якості, які породжують у автоколивальних системах з періодичним збуренням синхронні коливання, синхронні коливання збільшеного періоду, стійкі несинхронні коливання, стохастичні коливання.

д). Проблема дослідження нових рухів полягає у виборі рівнянь процесу, які встановлюють якість біфуркації з появою хаосу.

У другому розділі викладено загальні результати, пов’язані' з перетворенням рівнянь руху, встановленням синхронності руху при близьких частотах та розвитком принципу симетрії. Підхід утворений на основі розвитку досліджень регулярних траєкторій в координатах р,в [1-4,12-19,23,24]. Суть підходу полягає в наступному. Рівняння записуються в криволінійних координатах, і це дозволяє побудувати в фазовому просторі область аперіодичного руху (у випадку двохчастотних систем переріз області для рухів, близьких до синхронних). На межі області траєкторія розщеплюється на дві аперіодичниї. З рівнянь у варіаціях знаходяться характеристичні показники аперіодичних рухів і прогнозується поведінка системи в області аперіодичного руху. Повна структура аттрактора встановлюється за допомогою принципу симетрії. Аналіз втрати якостей симетрії пов’язаний з перетворенням аттрактора в дивний. Геометричний принцип симетрії формулюється, виходячи з вигляду функцій, які знаходяться у правій частині рівнянь руху. Наявність симетрії виявляється у поведінці системи у околі особливої точки (початок координат - особлива точка). Критерій існування періодичних розв’язків, пов’язаний з геометричним принципом симетрії, виконується

до розвитку біфуркації коливань, тобто розглядаємо досить невеликі значення фазових змінних.

Динамічний принцип симетрії передбачає розгляд симетрії квазістатичних розв’язків та їх характеристичних показників. Бифуркація коливань ототожнюється з попаданням траєкторії в область аперіодичних розв’язків. Під час біфуркації, яка характеризується зникненням коливань по одній кутовій змінній, рівняння руху змінюють вигляд, і замість еволюційного та частотного рівнянь з’являються два аперіодичних. Коливний процес механічної системи описується системою рівнянь

dx/dt ^Ах + Х(х) +J{Qi), (2.1)

де x(t) є /?2”при всіх t є R, А - 2п х 2п постійна матриця, X: R2" -» R2" -

векторний поліном не вище трьох, R = (- оо, +со), flQt) - вектор-функція, що характеризує періодичне зовнішнє збурення з частотою £1 Власні числа матриці лінійної системи (2.1) мають вигляд:

Aj ,А; = ReAy + Іш Äj |ReA, |> 0.

Побудуємо невироджене лінійне перетворення

2л In _

У, =Z/Vt •

Лг»І 1

** =Z(atjyj + äkjy])

О)

для лінійної системи

dx / dt = Ах ,

де а^, ß]k - постійні коефіцієнти за допомогою яких система (2.1) зводиться до діагональної форми

dyj /dt=Ä]y] +Yj,

dpj ldt = J.lyi+YJ.

Зробимо заміну змінних

Р, = y,e~'6j, Pj =У,е'0' (j=I,...,ri)

Система рівнянь (2.1) в змінних р,0 буде такою

dp/dt = Щр,в£іі), dO/dt = ІтЛ + ТУрДП/;.

З -ZZft

Розглянемо випадок виродження регулярної траєкторії в нерегулярну. Координата рк в момент бифуркації

dejdt = 0 0**0)

набуває вигляду ± р,к.

Нарешті, важливою властивістю збурених коливань (тут маємо на увазі періодичні збурення) є синхронізація коливань.

Для систем, які мають двовимірний фазовий простір

dp/dt = Щр,6), de/dt = ІтЯ + Т (р,в), де ІтХ - уявна частина, яка відповідає комплексно-спряженій парі чисел, поведінка колової траєторії з лінійною дисипацією може бути визначена квазістатичним притягаючим розв’язком р°(в) для в є (0,2тт). В межах субінтервала ненульовий характеристичний показник траєкторії

визначиться за формулою

т=т(р,е)/зр ім.

Тут і далі розглядається періодичний рух, який описується системою в криволінійних координатах і має таку властивість: частота на

квазістатичному розв’язку постійна. Саме ця властивість дозволяє прогнозувати синхронність частот при періодичному збуренні. Таким чином, для системи в криволінійних координатах динамічна симетрія трактується так: якщо в автономній системі на всій коловій траєкторії має місце притягуючий квазістатичний розв’язок р"(в), то система має динамічну симетрію, яка породжує замикання траєкторії. Виникнення нестійкості пов’язане з розбіжними аперіодичними розв’язками, які мають сигнатуру характеристичних показників різних знаків, що є характерним для систем з тривимірним фазовим простором. Тривимірний фазовий простір мають коливальні системи з одним ступенем вільності, що зазнають періодичного впливу. Ступінь вільності такої системи дорівнює 1,5.

Періодичні і умовно-періодичні коливання утворюють в полярних координатах квазістатичні розв’язки. Для систем, розмірність фазового простору яких дорівнює трьом (п=2), введемо означення динамічної симетрії. При виборі координатного базису приймемо

dxt/dt = -согхг, dx2/dt = хи

де со - величина, кратна Q, тобто со = Q/N, де N - ціле число. Система в координатах р, 9 запишеться у вигляді

dpi dt = SH(/?,9, fit),

d9l dt = co + T(pt9,Q.t). (2.2)

Надалі будемо припускати, що в системі (2.2) без періодичного збурення існує граничний цикл. Розглянемо випадок, для якого виконується співвідношення iR(p,9,Qt) = pM(9)T(p,9,£}t), (2.3)

де М(0) - множник, що залежить від змінної в. Запишемо систему з періодичним збуренням в такому вигляді

2

dxl /dt = х2, dxjdt = '2ha2jx] + Х2(х)+х3, j-i

dxildt = x4, dxt / dt = -Сї2хг, (2.4)

при /=0 xs0 =0 (s=l,2), x30 = const, jc40 =0. Враховуючи, що x3 = /(Qi)>

рівняння (2.4) можна записати так:

dxjdt = '£a4xJ +XAx)+fX&t) (5=1,2) j=i

При певному виборі координатного базису систему (2.4) змінних можна представити у вигляді

dpi dt = 5R {р,в,г,у/), d91 dt = со + 7(p,9,r,y/), (2.6)

dr / dt = 0, dy/ / dt = Q,

при t = 0, p0 = 0, 9a = 0, r0=B, y/0 = 0.

Поведінка траєкторії відносно квазістатичного роз’вязку є аналогом поведінки інтегральної кривої. На цьому принципі будується асимптотична теорія. Тоді опис явища, для якого вводиться аналог, стане моделлю.

Припущення 2.1. Нехай в системі (2.6) при В=С1=0 існує граничний цикл.

Для рухів, близьких до синхронних (9~±у/, у/=аЯ, co=D/N, N= 1,2,3,...) система (2.6) запишеться так :

dpi dt = 'R{p,у/,г,у/),

d91 dt = со + Т(р,у/,г,у/), (2.7)

dr І dt = 0,

dyrldt = Q. .

(2.5) в полярних

З урахуванням першого інтеграла г=соллґ квазістатичний розв'язок р\у/) визначиться з системи (2.7), яка в даному випадку набере вигляду

сір/ Ж = Щр,у/),

йв ІЖ -со + Т{р,у/), (2.8)

Нехай ІП(р,\)/)- неперервно дифференційовна функція при 0</к+а>, -оо < у/ < +оо; Т(р,у) - неперервно дифференційовна функція при 0 <р< + со.

Умова 2.1. Припустимо, що на коловій траєкторії притягуючий квазістатичний розв'язок р°(у/), у/є(0,2х) є гладкою функцією, тобто кожне значення аргумента є гладкою точкою

1іт 1 Р\У + Ь) + р\у/ - /г) - 2р\у/)\ _ 0

Щ '

|й|-»0

Поняття гладкості тут вводиться штучно. Функція квазістатичного розв’язку взагалі гладка, якщо розглядати фазовий простір - тор. Таким чином, рівняння (2.5) можна звести до вигляду (2.8), якщо простір плоский.

Модель 4. Якщо в системі (2.5), для якої має місце припущення 2.1, на всій коловій траєкторії існує притягуючий квазістатичний розв’язок /7°(у/), що задовольняє умову 2.1, і для субінтервалів, на яких існує квазістатичний притягуючий розв 'язок справедливе співідношення . сів/Ж(р°(іу),у/) = а), у/є(0,2я),

то система (2.5) має симетрію, що породжує замикання таєкторії.

Модель 5. Якщо в системі (2.5), для якоі має місце припущення 2.1, на всій коловій траєкторії існує притягуючий розв’язок р°(ц/), недостатня гладкість якого вказує на неплоский характер фазового простору, і для субінтервалів, на яких існує квазістатичний притягуючий розв 'язок р"{у/), справедливе співвідношення

сів/Ж(р<>(ц/),у/) = а), у/ є(0,2ж), то система породжує двохчастотні стійкі коливання.

Траєкторія попадає в область аперіодичних розв’язків, період коливань близький до періоду збурення. Всюди на у є (0,2я) має місце квазістатичний притягуючий розв’язок. Внесемо варіації аперіодичних змінних 6р1,5рг в перше рівняння системи (2.2). Збурений рух відносно стану біфуркації р.,0, визначиться рівняннями

dSp,ldt = X,Sp,^\{Sp„p.,e.') (5=1,2). (2.9)

За допомогою рівняння dO/dt = О, ( р^О) , будуються області аперіодичних розв’язків.

Модель 8. Якщо система (2.5), для якої має місце припущення 2.1, задовольняє умовам:

1) па всій коловій траєкторії існує притягуючий казістатичний розв’язок /$($, який не задовольняє умову 2.1, на субінтервалах по у/ справедливе співвідношення

dd / dt(p°(4f),y/) = Q., цг є (0,2л)

2) для Іє (t],t" ) (i=l,2,...N) , де - t"' -1' < 2пЮ., рух

відбувається у відповідності до аперіодичних рівнянь (2.9) іі область аперіодичних розв 'язків обмежена зверху

Зр, < А,

де А - додатня постійна, то система (2.5) має квазіхаотичний ттрактор.

При появі аперіодичних розв'язків на траєкторії не в усіх випадках можна скористуватись квазістатичним роз‘зком оскільки при цьому

виникають складні резонанси, зокрема, система синхронізує не на частоті Q, а на частоті ar=Cl/N, це N - ціле число. Оскільки тут складно з’ясувати критерій замикання траєкторії по квазістатичному розв’язку, то застосовується числовий розв’язок.

Довільний розв’язок p(t), стійкість якого необхідно дослідити, має вигляд

т=Р(‘+—у

(О

Розглянемо змінну, що характеризує мале відхилення від розв’язку p(t)

8p = p(0-p(t).

Застосовуючи рівняння відносно р системи (2.2), запишемо рівняння в варіаціях

d8p / dt = X(t)Sp + О {др, в),

де

Х{1) = дУІ/д5р\8р = р.

4-

Сукупність нелінійних відносно 8р членів 0(5р,в) прямує до нуля із

зменшенням збурень 5р швидше, ніж лінійні доданки. Стійкість

розв’язку p(t) визначиться з лінеарізованого рівняння

dôp / dt = Ä(t) Sp.

Притягання на періодичних субінтервалах визначиться

характеристичним показником

N-1

А = Л| + + Aw,

1-2

де

'і* 'Ги

Л, = ¡À(r)d т, Л( = jA(r)i/r,

0 «;*

2я/о>

Л„= jA(r)rfr.

• •

V

Тут (0,Г*), (г;-,Сі) (М,2,...,ЛМ), (/“,2л-/&>) - інтервали періодичних рухів при t є (0,27с/со). При чисельному підрахунку Л, утворюють А;,А) (/=1,2,...ГЛ/). Граничний цикл утворюється всюди притягуючим розв’язком р(/), який має тільки Л; (/=1,2,...rW).

' Модель 9. Якщо система (2.5), для якої має місце припущення 2.1, задовольняє умовам:

1) на всій коловій траєкторії ц/є(0,2л) існує притягання у вигляді квазістатичного притягуючого розв’язку P°(w) ‘ притягання у вигляді dp/dt <0, р>0;

2) для te(t’,t"' ) (і=1,2........N), де t~ -1 * < 2л / а, рух відбувається у

відповідності до аперіодичних рівнянь (2.9) де

Д;< 0 (s=l,2);

3) всюди на у/є(0,2к) притягуючий розв'язок p(t) має Л;

(i=l,2..N),

то система має 2ті/а> періодичний стійкий розв 'язок.

Аперіодичні траєкторії з від’ємними характеристичними показниками можуть подвоювати період (з фізічної точки зору подвоєння періоду поз’язане з подоланням аперіодичної області і входженням в стан нелінійного резонансу складної структури). В даному випадку складній поведінці системи

властиве подолання області аперіодичних траєкторій несідлового типу з сигнатурою характеристичних показників розв’язків «-», «-» .

При виконанні умов 1, 2 моделі 9 важливим моментом є аналіз характеристичного показника А 2ж / а> - періодичного розв’язку.

Модель 10. Якщо система (2.5), для якої має місце припущення 2.1, задовольняє умовам 1, 2 (модель 9) і характеристичний показник 2п/ю періодичного розв’язку p(t) має Л~ , і A] (i=l,2,...,N),

то система має кваз¿хаотичний аттрактор.

Невиконання умови 2.1 може бути рівносильне тому, що коливальний рух існує у вигляді умовно-періодичних траєкторій. Тут умовно-періодична траєкторія описує несинхронні нелінійні стійкі коливання. Відсутність синхронності вказує на те, що частоти тільки в якийсь момент близькі, і цей стан може породжувати аперіодичні розв’язки з характеристичними показниками, . Можливі такі випадки.

1) Оскільки коливальні рухи існують у вигляді биття або слабких умовно-

періодичних, то входження траєкторії в область з характеристичними показниками Я,* <0 , <0 породжує квазіхаотичний тип коливань.

Траєкторії входять в область аперіодичних розв’язків на кожному витку.

2) Має місце Д,* = >0 і область періодичних несинхронних стійких рухів

знаходиться зверху відносно площини р, ці. В системі внаслідок квазістатичного притягуючого розв'язку існує умовно-періодичний рух і траєкторія тільки через кілька витків повторює вхід в область аперіодичних розв’язків. При повторенні входу в область аперіодичних розв’язків закон руху не повторюється через умовно-періодичний характер коливальних рухів.

Таким чином, причиною виникнення квазістохастичного аттракгора є несинхронність частот і входження траєкторії в область аперіодичних рухів з від’ємними характеристичними показниками. Причиною виникнення квазіхаотичного аттрактора є несинхронність частот і входження траєкторії в область аперіодичних розв’язків з характеристичним показником більше нуля, а також обмеженість зверху області аперіодичних рухів.

Питання про існування нерегулярних коливань відноситься також до ще одного класу систем, які є осциляторами з періодичним збуренням. При цьому корені характеристичного рівняння їх лінійної системи мають від’ємні дійсні частини. Для таких систем існує теорема, що стверджує існування єдиного періодичного розв’язку (теорема В.І.Зубова),

Модель 11. Нехай система (2.5) задовольняє умовам:

І) дійсні частини коренів характеристичного рівняння det (А -Я Е) =0 від 'ємні Re Я <0, X = , Я = %

4‘

2) нелінійні доданки Х,(х) задовольняють нерівність

(^ = 1,2)

/=1

де Ьг - невід ’ємні постійні

3) для І є (і’,і'*) (і—1,2..М), де /**-/*<2л/П , рух відбувається у

відповідності до аперіодичних рівнянь (2.9) де А' (¡=1,2) можуть мати довільний знак, припустимо, що Х]>0, 9і‘(г5р. ,р, ,0,) задовольняють умовам вигляду

ІВД/О-ЯЖ)!* В,\5р,-6р,\ (5= 1,2),

де В, невід 'ємні постійні;

4) область аперіодичних рухів системи обмежена

_ 16р,\йА (5 = 1,2),

де А - невід 'ємна постійна;

5) характеристичний показник Л КТ-періодичного розв 'язку дорівнює нулю.

Тоді система має такі властивості:

а) будь-який рух системи обмежений при І > 0;

6) існує КТ-періодичний стійкий рух;

в) існують інтервали (/', (і=1,2,...,М) аперіодичних рухів з сигнатурою

характеристичних показників >0,>0.

Входження траєкторії в область аперіодичних розв’язків руйнує періодичний одночастотний процес, як було відмічено, з деяким відставанням після каскаду біфуркацій подвоєння періоду. Модель 11 дозволяє встановити процес виродження періодичних коливань в нерегулярні коливання. Питання про існування нерегулярних коливань розглянуті в публікаціях [6-11,20-22].

У третьому розділі розглядається модифікацю асимптотичного методу Боголюбова-Митропольського, з допомогою якого встановлюється існування кількох аттракторів в багатовимірній системі. Розділ присвячений коливальним процесам, які моделюються системами звичайних диференціальних рівнянь, які містять малі параметри, або малі збурення. Апарат дослідження таких систем розроблявся, починаючи з робіт Пуанкаре, і, в основному, завершений до цього часу. Коло розглядуваних багатовимірних задач звужене обмеженнями теорем про малість похибки нульового наближення. Так, друга теорема Боголюбова-Митропольського має

жорстке обмеження - середнє по / правої частини повинно бути рівномірним в усій області існування. Виявлення в багатовимірних системах кілько^ стійких періодичних рухів можливе, якщо в системі

сіх! <# = Ах + цХ(х),

де х(і) є Я2" при всіх (є Я, А - 2пх2п постійна матриця,

X: Н2" -» Д2" - векторний поліном, 1 > ц > 0 - малий параметр, має місце співвідношення

Т.кАв)Хі(р ,в) = р^{ргв),

І = 1

де Р) (р, в) - також поліном , в який входить р1 в цілих степенях, починаючи з першого, к]к (в) - елементи матриці пх2п.

Модифікація асимптотичної теореми Боголюбова- Митропольського розширює можливості застосування квазілінійної теорії, яка досягла до цього часу високого ступеня досконалості для розв’язання задач, що відносяться до іншої області аналізу багатовимірних систем. Модифіковане усереднення застосоване в задачах з гідродинамічним тертям x2signx . З допомогою асимптотичного методу виявляється в системі з розподіленими параметрами і гідродинамічним тертям існування граничного циклу; в системі гіроскопічного датчика площини меридіана -нестійкість прецесійного руху; існування двох граничних циклів в скінченному ланцюжку нелінійних осциляторів.

З допомогою модифікованого методу усереднення, зокрема, в наступних розділах будуються області аперіодичних розв’язків і області складної поведінки системи.

У четвертому розділі розглядаються нелінійні осцилятори: осцилятор з нелінійною позиційною силою і осцилятор Ван-дер-Поля при періодичному збуренні, які є динамічними моделями одномасових систем із ступенем вільності 1,5. Для рівнянь руху розглядуваних моделей виконується умова вигляду (2.3). Втрата симетрії граничного циклу як в осциляторі з кубічною нелінійністю, так і в осциляторі Ван-дер-Поля, спочатку проявляється у вигляді несинхронності періодичних рухів.

Неавтономний осцилятор Ван-дер-Поля породжує такі складні рухи.

Подвоєння періоду. В системі спостерігається синхронізація на іастоті 0/2 (при значеннях параметрів, наприклад, (ц,ДО) = (3;2,5;1)). В цих зипадках на у є (0,2к) існує притягуючий квазістатичний розв’язок, який іереходить на деяких субінтервалах в негрубе притягання. Це вказує на те, що

встановити синхронізацію за допомогою квазістатичного розв’язку неможливо. Аперіодичні розв’язки мають характеристичні показники Л,* = /£ <0. Характеристичний показник 4л/П періодичного чисельного розв’язку p(t) всюди на субінтервалах свого існування має А" . Тоді згідно з моделлю 9 в системі існує 4тс/ГІ періодичний рух.

Квазіхаотичпі коливання спостерігаються при значеннях параметрів (ц,ДП) = (1,2;1;1,2). На у/є(0,2л) існує притягуючий квазістатичний розв’язок рЧУ'О , який не задовольняє умову 2.1 (дивись рис.4.1). Аперіодичні розв’язки мають характеристичні показники А,* 0. Згідно з

моделлю 8 в системі існує квазіхаотичний аттрактор. Квазіхаотичні рухи спостерігаються також при значеннях параметрів (ц,Д£ї)=(1,5;2,5;2,7). Цей приклад стосується випадку, коли в системі проявляється тенденція до синхронізації на частоті Q/N, де 1, і квазістатичний розв’язок переходить на деяких субінтервалах в негрубий. Встановити синхронізацію по квазістатичному розв’язку тут неможливо. Аперіодичні розв’язки мають характеристичні показники Af = <0. Характеристичний показник 8n/fl

періодичного чисельного розв’язку має А",А+. Тоді згідно з моделлю 10 система має квазіхаотичний аттрактор.

У п’ятому розділі розглядається властивість рівняння Дуффінга породжувати область складної поведінки з різною якістю траєкторії: збільшеного періоду, поява хаотичних, таких, що йдуть на нескінченність. Поряд з побудовою областей складної поведінки системи зроблено аналіз характеристичних показників аперіодичних розв’язків. А саме, відмінність знаків характеристичних показників розв’язків, що належать верхній і нижній областям, і попадання траєкторії в ці області визначають особливість складного руху системи. Так, попадання в необмежену згори область аперіодичних рухів з характеристичними показниками Х1= /£ > 0 може призвести до "виходу" траєкторії і руйнування періодичного руху (рис.5.1). Одна з моделей Дуффінга, зокрема, описує закритичні форми рівноваги напівнескінченної мембрани на нелінійній пружній основі. На рис.5.2, 5.3 зображено області аперіодичних рухів, які забеспечують стійкий хаос. Встановлено умови хаотичного характеру прогибу мембрани (рис.5.4).

У шостому розділі наводиться аналіз періодичних збурених рівнянь, відомих в застосуваннях, як системи типу Лотка-Вольтерри і Гаузе, що досліджуються в динаміці популяцій для опису боротьби за існування між двома видами. Особливістю цих рівнянь є несиметричність частотних рівнянь і необмеженість областей аперіодичних розв’язків. Подальший

Рис. 4.1. Притягуючий квазістатичний Рис.5.1. Вхід траєкторії до області

розв’язок аперіодичних розв’язків

( / 1 \

/ 1 \

Рис.5.2. Область аперіодичних рухів Рис.5.3. Області аперіодичних рухів

розвиток процесу втрати симетрії призводить до нестійкого хаосу. При малому значенні амплітуди збурень рух має достатньо велику область періодичних траєкторій. Періодичне збурення з більшою амплітудою (моделі Вольтерра, Гаузе) викликає хаотичні траєкторії. Характеристичні показники розв’язків при цьому мають сигнатуру «-», «0», «+». На рис. 6.1 зображена область аперіодичних рухів системи Вольтерри.

У сьомому розділі подано розвиток принципу симетрії для трьохчастотної системи. Аналогія між коливаннями і стійкістю вказує на можливість існування закритичних форм рівноваги з хаотичним розподілом кінематичних характеристик вздовж просторових координат, як аналога хаотичних рухів, що протікають у часі.

В розділі розглядається двохчастотна система (частоти некратні) з періодичним збуренням на частоті, яка близька до нижньої частоти незбуреного рівняння ,

</4у . (І2у А

—т + Ь—г + — у(у+1)(у + 2) = / (£),

¿4* сі? 2 К Л

СІУ СІ*У

у(0) = а,, і|(0) = а2, 5^(0) = а3, ^-(0) = а4, (7.1)

яке описує, зокрема, закритичні форми рівноваги напівнескінченної балки на нелінійній пружній основі, що знаходиться під дією поперечного навантаження /(£). Під час дослідження хаотичного розподілу прогину вздовж просторової координати £ розглядається багатовимірна система Коші з п’ятивимірним фазовим простором. Автономна двохчастотна система має два симетрично розташованих в фазовому просторі аттрактора, або один, що об’єднує обидва центри. Періодичне збурення перетворює аттрактор в квазіаттр актор. Таким чином, розглядувана система є трьохчастотною. Попадання траєкторії в область аперіодичних розв’язків породжує сигнатуру характеристичних показників вигляду Для

автономної системи (7.1) співвідношення (2.3), характерні для п = 2, мають для п = 4 узагальнений вигляд

^ (Р, > Р,*і > 0, > • £) = РМЛ^ )Т7 О9/ > Р.,*і > 0,, >і, £).

(Р),Р^ 4 ,0,+„£) = р,+,м ¡^¡^¡ЛР} .р+иАА* і

0=1,3).

Безпосереднє визначення симетрії розв’язків для двохчастотних систем пов’зане з досить складним наведенням результатів у вигляді таблиць. Для збуреної системи втрата симетрії розв'язків призводить до попадання траєкторії в область аперіодичних розв'язків та виникнення квазіхаотичного аттрактора. В розділі доводиться існування умовно-періодичних та хаотичних траєкторій зв’язаних математичних маятників при немалих відношеннях мас (рис.7.1,7.2). Головна причина стійкості хаотичної траєкторії міститься в обмеженості зверху областей аперіодичних розв’язків і симетрії умовно-періодичних розв'язків.

У восьмому розділі розглядаються кілька моделей руху транспортного засоба по віражу і шляхи дослідження простіших аттракторів в прикладних задачах. Найповніший опис руху (сковзання) системи твердих тіл по поверхні вимагає застосування числових методів. Найпростіша модель - рух точки по поверхні тора - є задачею, за допомогою якої тестується перший крок аналізу складної моделі. Остання модель примикає до задач Пуанкаре (Пуанкаре належить якісна теорія рівнянь руху по поверхні тора без особливих точок). Динаміка найпростішої моделі вкладається в коло питань стійкості регулярних аттракторів в багатовимірних системах. При русі точки по тору область притягання аттрактора 0(10) будується у вигляді перерізу двох областей: області коливальних Оа(і0) і області стійких рухів £>ДО-

Щ,) = АЛ'0)ПВД)

Область притяганий гарантує стійкість траєкторії найпростішої моделі. Дослідження регулярного аттрактора при русі точки по тору дозволяють прогнозувати існування стохастичного руху в системі з періодичним збуренням. Для некратних частот деякої області параметрів характеристични паказникі аперіодичних рухів набувають значення : < 0,

^ <0.

У дев’ятому розділі розглядається система Лоренца, яка моделює гермоконвекцію в тонкому шарі в’язкої рідини. Чисельні дослідження системи Лоренца виконувались багатьма авторами. Досить важливим є доведення притягання розв’язку в окіл особливої точки. Ототожнення коливань з хаотичним аттрактором провадилось на основі чисельного гксперименту. Беручи до уваги підхід, викладений в дисертації, наведено аналіз характеристичних показників аперіодичних розв’язків на коловій траєкторії. Метод дослідження поєднає в собі аналітичну і чисельну реалізацію. Розглядаються випадки аперіодичного розбігання траєкторій, ікі характеризуються ланцюжком складних змін,

Рис.5.4. Фрагмент хаотичної траєкторії. Товстими лініями відмічена траєкторія з аперіодичними розв’язками

-І -0.5 0 0.5 X)

Рис. 7.1. Фрагмент хаотичної траєкторії. Товстими лініями відмічена траєкторія з аперіодичними розв’язками

П

4-

1

-2 1 )

•4 - І і

Рис.6.1. Область аперіодичних рухів. Регулярна стійка траєкторія

-1.5 -0.75 О 0.75 Х3

Рис.7.2.Фрагмент хаотичної траєкторії. Товстими лініями відмічена траєкторія з аперіодичними розв’язками

викликаних біфуркаціями регулярних і хаотичних атгракторів. Аперіодичний процес в системі Лоренца в більшості довільних точок аттрактора сідловий. Траєкторії розбігаються внаслідок знаків характеристичних показників «>0», «<0». Хаотична траєкторія, обмежена кулею, утворює дивний атграктор.

Один з граничних циклів системи Лоренца, неплоский і несиметричний, складається з двох (коливних) траєкторій, що мають різні кінематичні характеристики.

ВИСНОВКИ

На закінчення роботи сформулюємо загальні висновки наукового і прикладного характеру, що випливають з отриманих основних результатів.

В дисертації розроблено єдиний підхід до дослідження існування і нерегулярності аттракторів та траєкторій, заснований . на застосуванні полярних координат для багатовимірних нелінійних систем і розвитку динамічного аналізу (принципа симетрії, зокрема) з метою ідентифікації коливань з хаосом і стохастикою, а також зі складними атгракторами та траєкторіями, що містять в собі аперіодичні розв’язки.

Отримані при цьому основні наукові результати мають теоретичне і прикладне значення, що полягає в наступному.

1. Запропоновано модифікацію асимптотичного метода Боголюбова-Митропольського стосовно задач про виникнення кількох аттракторів. Усереднюються також системи з гідродинамічним тертям x2signx.

2.Розвинуто принцип динамічної симетрії, заснований на використанні полярних координат, аналізі симетрії квазістатичних розв’язків і частот на коловій траєкторії.

3. Запропоновано підхід і методику дослідження стійкості складних коливань і ідентифікації квазіхаотичних аттракторів, що містять в собі встановлення моменту біфуркації і розщеплення траєкторії, побудову областей аперіодичних рухів, знаходження виразів характеристичних показників аперіодичних розв’язків, а також установлення синхронізації в двохчастотній системі як за допомогою принципу симетрії, так і чисельним шляхом. Однією з головних переваг підходу є можливість подання характеристичних показників аперіодичних рухів в аналітичному вигляді. Відмічено, що при Л,* < 0, X, <0 траєкторія двовимірної в фазовому просторі системи не входить в область аперіодичних рухів, лишаючись майже на її межі. Цим пояснується поява дрейфу, наприклад, в осциляторі Ван-дер-Поля. Якщо А,’> 0, ^ >0, то траєкторія входить в область аперіодичних рухів і, не повертаючись, виходить, руйнуючи граничний цикл, тобто, ввійшовши в область, траєкторія стає аперіодичною і не повертається в область періодичних рухів. Все це ілюструється на модельних прикладах з

обчисленням характеристичних показників розв’язків і конкретних значень в > 0, в < 0. У випадку періодичного впливу на граничний цикл (тривимірні системи) траєкторія може попасти в область аперіодичних рухів, незалежно від знака характеристичних показників. Якщо, Я{< 0 , /С < 0, то траєкторія попадає в область, знаходиться там деякий час, потім виходить з неї. Все це відбувається за час, менший періоду коливань, викликаючи в одних випадках збільшення періоду, в інших - квазіхаос. При цьому як в першому, так і в другому випадках причиною складної поведінки системи є аперіодичні рухи. Тут система двохчастотна. У випадку синхронізації частот аперіодичні рухи породжують збільшення періоду, для несинхронних частот - квазіхаос. Встановити синхронізацію і подвоєння періоду можливо за допомогою принципа симетрії або чисельним шляхом.

Відомо, що періодичний вплив на стійку особливу точку (типу стійкого фокуса) призводить до виникнення періодичних режимів руху. Аперіодичні рухи в цьому випадку призводять до поступового руйнування періодичного режиму після каскаду подвоєнь періода.

4. Розвиток принципу симетрії і динамічного аналізу тестується на розповсюджених моделях фізики, біомеханіки, теоретичної і будівельної механіки. В їх числі:

скінченні ланцюжки мас з нелінійними пружними в'язями; система зв’язаних математичних маятників;

пружна система з розподіленими параметрами і гідродинамічним тертям; гіроскопічний датчик площини меридіана;

осцилятори, що застосовуються як моделі в теоретичних і прикладних галузях механіки;

біомеханічні моделі, що описують боротьбу за існування між двома видами;

пружні системи типу напівнескінченної балки на нелінійній пружній основі під впливом поперечного та повздовжнього навантаження; моделі руху транспортного засобу по віражу; модель термоконвекції в тонкому шарі в’язкої рідини.

5. В скінченному ланцюжку коливальних ланок з допомогою модифікації асимптотичного метода виявлено випадок існування двох регулярних апракторів.

6. За допомогою динамічного аналізу и принципу симетрії введені означення атгракторів, яким відповідають нелінійні синхронні стійкі коливання, стійкі нелінійні коливання типу биття, стійкі нелінійні коливання типу умовно-періодичних, стійкі нелінійні коливання збільшеного періоду, квазіхаотичні коливання.

7. Коливання (аттрактори) збільшеного періоду виникають в нелінійних системах з періодичним збуренням за наявності лінійної складової дисипації, оскільки для таких систем можливо, щоб рівняння аперіодичних траєкторій мали характеристичні показники одного знака. Таким чином, сценарій переходу до хаосу після біфуркацій збільшення періоду властивий тільки системам з лінійною складовою дисипації. З фізичної точки зору, стійкість періодичних нелінійних коливань збільшеного періоду дисипативних систем має аналогію з лінійними системами. Якості стійкості і замикання траєкторії настільки сильні внаслідок лінійної дисипації, що продовжують існувати після біфуркації. Для від’ємної дисипації замикання періодичної траєкторії здійснюється у випадку існування притягуючого квазістатичного розв’язку з усувними розривами на всьому інтервалі зміни кутової змінної і аперіодичних розв’язків з характеристичними показниками одного знаку. За наявності додатньої дисипації і періодичному збуренні системи поява аперіодичних розв‘зків може призводити до каскаду біфуркацій подвоєння періоду, оскільки серед спектра характеристичних показників рівність нулю одного може виконуватись на періоді КТ, де К - ціле число, Т - період.

8. Нерегулярність аттрактора утворюється в результаті виникнення

аперіодичних рухів. Стійкі коливання типу умовно-періодичних (або типу биття) і аперіодичні рухи на коловій траєкторії (останні незалежно від знака характеристичних показників і симетрії) створюють квазіхаотичні коливання. Тут специфіка умовно-періодичних (стійких, але не повторюваних) коливань така, що регулярність входження траєкторії в область аперіодичних рухів в часі порушується, породжуючи

стохастику (при рівних характеристичних показниках аперіодичних розв’язків) і хаос (при траєкторіях, що розбігаються). Квазіаттрактор утворюється за рахунок обмеження області аперіодичних розв’язків. Проте, якщо в неавтономній системі (системі з періодичним збуренням) на всій коловій траєкторії для рухів, близьких до синхронних, має місце негладкий притягуючий розв’язок і на деяких субінтервалах існують аперіодичні розв’язки з характеристичними показниками меншими нуля, то

система породжує квазістохастичний атграктор.

Достовірність одержаних в роботі результатів і висновків забезпечується

- застосуванням обгрунтованої математичної моделі теорії нелінійних і нерегулярних коливань;

- коректністю постановки розглядуваних задач фізики, техніки, будівельної механіки, біомеханіки;

- практичним обгрунтуванням методу в даному класі задач;

- контрольованою точністю наближених обчислень в кожному конкретному

випадку;

-підтвердженням результатів шляхом порівняння з відомими.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мартынюк A.A.,Никитина Н.В.Об устойчивости движения в одном случае, близком к критическому// Прикп. механика .1985,- 21, № 2,- С. 104- 109.

2. Мартынюк А.А.,Никитина Н.В. О притяжении в одной задаче Пуанкаре //Teorijska і primenjenamehanika20, - 1994. С.153-165.

3. Мартынюк A.A. .Никитина Н.В.О периодических движенях в многомерных системах//Прикл.механика .- 1996,-Т.32,№ 2,- С. 81-87.

4. Мартынюк A.A., Никитина Н.В. Об одном способе построения приближенных решений квазилинейных систем // Электронное моделирование. -1995,- Т.17, № 2. - С.3-11.

5. Мартынюк A.A., Никитина Н.В. Бифуркация предельного цикла для модели Гаузе // Электронное моделирование. - 1996.-Т. 18 №б - С.3-9.

6. Мартынюк A.A., Никитина Н.В. Хаотическая потеря устойчивости предельного цикла в задаче Вольтерра // Доп.НАН України Серія A. -1996. -№ 4. C.1-7.

7. Мартынюк A.A., Никитина Об одном случае хаотического поведения

уравнения Дуффинга // Прикл.механика. - 1997.-33, № .5 - С.

82-88.

8. Мартынюк A.A., Никитина Н.В. Об условно-периодических и

хаотических движениях нелинейных систем // Электронное моделирование.- 1997,- Т. 19, № 2. - С. 3-19.

9. Мартынюк A.A., Никитина Н.В. Об оценке границы области периодических движений // Прикл. механика. - 1997,- Т. 33, №32,- С. 89-95.

10. Мартынюк A.A., Никитина Н.В. К теории принципа динамической симметрии // Прикл.механика. 1998,- Т.34, №11.-С. 97-103

11. Мартынюк A.A., Никитина Н.В. Об одном способе анализа

нерегулярных движений //Прикл.механика. - 1999. - Т.35, № 8,-С. 87-93.

12. Никитина Н.В. Определение области притяжения в случае

комплексно-сопряженных корней с малой вещественной частью // Прикл. механика. - 1986.-Т.22, №4,- С.113-115.

13. Никитина Н.В. О многочастотных автоколебаниях // Прикл. механика. -1989,- Т.25, №3,- С.102-111.

14. Никитина Н.В. Мягкая потеря устойчивости в системах с

гидродинамическим сопротивлением // Прикл.механика,- 1990. -

Т.26, №3.-С.97-103.

15. Никитина Н.В. Об областях притяжения многочастотных автоколебаний

// Прикл. механика.- 1990. - Т.26, №10,- С.91-96.

16. Никитина Н.В. О математическом моделировании скольжения системы

твердых тел по поверхности// Прикл.механика. - 1991,-Т.27, №12,-

С.102-109.

17. Никитина Н.В. Разделение движений в резонансных системах с постоянными частотами // Прикл.механика.- 1992. - Т.28, №4.-С.70-77.

18. Никитина Н.В. Усреднение в системе с несколькими предельными циклами // Прикл. механика. - 1994,- Т.30, № 9,- С. 88 - 94.

19. Никитина Н.В. Одна теорема об усреднении // Доп. НАН України. Серія А. - 1994. - №12,- С.23-26.

20. Никитина Н.В. Динамический принцип симметрии // Электронное моделирование,- 1997.- Т.19, №5 - С. 3-12.

21. Никитина Н.В. О хаотической потере устойчивости // Доп. НАН України Серія А. - 1997. - № 11,- С. 61-65.

22. Никитина Н.В., Сенченков И.К. О периодических и квазихаотических траекториях уравнения Дуффинга. // Прикл. механика. - 1997. - Т.ЗЗ, № 8. - С. 92-99.

23. Никитина Н.В., Цидыло И.В. Исследование устойчивости маховика в амортизорованном кардоновом подвесе на вибрирующем основании вторым методом Ляпунова. // Прикл. механика. - 1987. - Т.23, № 3. -С.78 - 83.

24. Никитина Н.В., Цидыло И.В. О колебаниях гироскопического датчика плоскости меридиана в жидкостном подвесе. // Прикл. механика. -

1994. - Т.30, № 1. - С.90 - 96.

25. Никитина Н.В. Идентификация колебаний с хаотическим

аттрактором// Міжнародна конференция. Треті Боголюбовські читання (Киів,18-23 серпня 1997 р.) Тези доповідей. - К.: Ін-т математики НАН Украіни, 1997. - С. 124.

26. Никитина Н.В. Квазиаттракторы в многомерных динамических системах

// Міжнародна конференція.«Сучасні проблеми механіки і математики» (Львів, 25-28 травня 1998 р.) Матеріали. - Львів: Ин-т прикладних проблем механіки і математики НАН Украіни, 1998. - С. 247.

АНОТАЦІЯ

Нікітіна Н.В. Аналіз регулярності і квазіхаотичності коливань елінійних механічних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка.-

Інститут механіки НАН Украіни, Киів, 2000.

Дисертацію присвячено питанням ідентифікації коливань з регулярним та хаотичним аттракторами в детермінованих коливальних системах. В

дисертації розроблено новий напрямок в теоретичній механіці, який грунтується на динамічному принципі симетрії, побудові областей аперіодичних розв’язків, та аналізі характеристичних показників квазістатичних роз’вязків на коловій траєкторії (в полярних змінних). Встановлено, що динамічна симетрія має зв’язок з синхронністю коливань, стійкістю періодичних рухів збільшенного періоду (біфуркація збільшення періоду) в нелінійних багатовимірних системах. Регулярні траєкторії та аттрактори не містять аперіодичних розв’язків і допускають геометричну симетрію. Перехід до нерегулярного (хаотичного) руху здійснюється внаслідок розщеплення періодичного розв’язку на аперіодичні (вузлове або сідлове). Критерієм біфуркації є перетворення в нуль швидкості зміни кутової змінної в системі рівнянь, в якої еволюцію визначає модуль деякої комплексної змінної. Стійкість хаотичного стану пов’язана з обмеженістю області аперіодичних розв’язків, або з притягуючими вузловими аперіодичними розв’язками. Запропоновано методи аналізу нелінійних систем, які мають три- та п’ятивимірний фазовий простір. Основні результати праці знайшли впровадження для визначення стійкості хаотичних коливань, а також для встановлення зв’язку симетрії з видом аттракторів.

Ключові слова: принцип симетрії, синхронність коливань, біфуркація, хаос, стійкість хаотичних рухів.

Nikitina N.V. Analysis of Reqularity and Quasirandomness of the Nonlinear Mechaanical Systems Oscillations. - Manuscript.

Dissertation paper of the doctor of physical and mathematical sciencies in theoretical mechanics (01.02.01) Institute of Mechanics of NANU, Kiev, 2000.

The dissertation paper deals with the problems of identification of oscillations with regular and chaotic attractor in determined oscillating systems. In the paper developed is a new direction of theoretical mechanics based on dynamical principle of symmetry, construction of aperiodic solution domains and analysis of characteristical exponents of quasistatic solutions on circular trajectory (in polar variables). If is established that the dynamical symmetry is related with the oscillation syncoronity and stsbility of periodic and conditional periodic as well as periodic with enlarged period of motions oseillations in nonlinear systems. Regular trajectories and attractors do not contain the aperiodic solutions and admit geometrical symmetry. The passage to the non-regular (chaotic) motion is made in result of the periodic solution splitting into the aperiodic ones (nodal or saddle). The bifurcation criterion is the vanishing of the velocity of the angular variable changing in the system of equation where the evolution is determined by the module of some complex veriable. Stability of the chaotic state is associated with

boundedness of the domain of aperiodic solution or with the attracting nodal aperiodic solutions. The methods of analysis are proposed for nonlinear systems possessing three - and five dimensional phase spaces. Main results are applied to determine stability of chaotic oscillation and to establish relationship beturen the summetry and the type of attractor.

Key words: pcinciple of symmetry, syncronity of oscilations, bifurcation,

chaos, stability of chaotic motions.

Никитина H.B. Анализ регулярности и квазихаотичности колебаний нелинейных механических систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая

механика. - Институт механики НАН Украины, Киев 2000.

Диссертация посвящена вопросам идентификации колебаний с регулярным и хаотическим аттрактором в детерминированных колебательных системах. В работе развивается новое направление в теоретической механике, основанное на динамическом принципе симметрии, построении областей апериодических решений, анализе характеристических показателей

квазистатических решений систем, размерность которых больше двух. Принцип динамической симметрии предусматривает рассмотрение симметрии квазистатических решений и их характеристических показателей. Квазистатическое решение применяется в асимптотической теории. Поведение траектории относительно квазистатического решения являтся аналогом

поведения интегральной кривой. На этом принципе строится асимптотическая теория. Явление, изучаемое как аналог, является моделью. Назначение принципа симметрии состоит в применении качественных выводов асимптотической теории Боголюбова - Митропольского - Самойленко

для прикладных целей, связанных с исследованием регулярных и

нерегулярных движений. Уравнения в эволюционных и угловых переменных не совпадают с подобными уравнениями традиционного

асимтотического подхода, так как в настоящей работе эволюцию процесса описывает модуль комплексной величины. Один из разделов диссертации посвящен асимптотическим построениям в этих координатах, которые применяются для установления существования нескольких аттракторов, а также для усреднения систем с гидродинамическим нелинейным трением. Характеристический показатель линеаризованного уравнения относительно точек квазистатического решения отражает скорость экспоненциального расширения (сжатия) проекции малого возмущения квазистатического решения, которую можно определить аналитически. Для предельного цикла, например, можно ввести аналог мультипликатора предельного цикла. Уравнения в угловых координатах применимы для установления

бифуркации рождения апериодических решений. Производная угловой координаты в результате взаимодействия обращается в нуль. Координата, равная, согласно определению, модулю комплексной величины в момент бифуркации приобретает значения действительных величин. Отклонения апериодических координат входят в уравнения в вариациях. Регулярные траектории и аттракторы не содержат апериодических решений и допускают геометрическую симметрию. Различные модели регулярных движений описываются при помощи симметрии квазистатических решений. Переход к нерегулярному движению возникает в результате расщепления периодического решения на апериодические (узловое или седловое). Существует класс систем, которые образуют траектории занимающие как бы промежуточное положение между регулярными и нерегулярными траекториями. Они теряют геометрическую симметрию, вследствие появления апериодических решений, но сохраняют замыкание на периодах, увеличенных в К раз (К - целое число). Нерегулярность образуется также в результате появления апериодических решений. Устойчивые условно-периодические колебания и апериодические решения, возникающие в результате бифуркации (последние независимо от знака характеристических показателей), генерируют квазихаотические колебания. Устойчивость хаотического состояния связана с ограниченностью области апериодических решений или с притягивающими узловыми апериодическими решениями. Развитие принципа симметрии и динамического анализа тестируется на распространенных моделях физики, биомеханики, теоретической и

строительной механики. В их числе: конечные цепочки масс с

нелинейными упругими связями; цепочки математических маятников; протяженная упругая система с гидродинамическим трением;

гироскопический датчик плоскости меридиана; осцилляторы, применяемые в качестве моделей в теоретических и прикладных областях механики; биомеханические модели, описывающие борьбу за существование между двумя видами; упругие системы типа полубесконечной балки на нелинейном упругом основании под действием поперечной и

продольной нагрузок; модели движения транспортного средства по

виражу; модель термоконвекции в тонком слое вязкой жидкости. Основные результаты работы применены для определения устойчивости хаотических колебаний, для непосредственного представления структуры траектории в терминах характеристических показателей решений, а также для установления связи симметрии с видом аттракторов.

Ключевые слова: принцип симметрии, синхронность колебаний, бифуркация, хаос, устойчивость хаотических движений.