Аномальные динамические свойства магнетиков при низких температурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Б.П. КОНСТАНТИНОВА РАН

УДК 538.9. На правах рукописи

СЫРОМЯТНИКОВ Арсений Владиславович

АНОМАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАГНЕТИКОВ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

о зов

2011

Гатчина 2010

дваз'э'

4853757

Работа выполнена в Отделении теоретической физики Петербургского института ядерной физики им. Б. П. Константинова РАН.

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н., профессор

С. М. Дунаевский;

член-корр. РАН Л. А. Максимов;

д. ф.-м. н., профессор А. И. Соколов.

Ведущая организация: Институт теоретической физики

• , им. Л. Д. Ландау РАН.

Защита диссертации состоится "24" г. в I (

на заседании диссертационного совета Д 002.115.01 при Петербургском институте ядерной физики им. Б. П. Константинова РАН по адресу: 188300, Ленинградская обл., Гатчина, Орлова роща.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ПИЯФ РАН. Автореферат разослан "22 "¿^4^^2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета II, / II. А. Митронольскнй

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время сильно возрос интерес к низкоразмерному магнетизму и квантовой критичности. Причин этому несколько, но самыми главными являются ряд открытий качественно новых явлений и возможность практического использования некоторых материалов с новыми свойствами.

Первое, что здесь нужно упомянуть, это открытие высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП) в купратах и слоистых соединениях на основе железа. Осознание большой роли, которую играют в этих веществах плоскости магнитных атомов, привело к всплеску интереса к модели двумерного (2Б) антнферромагнетика (АФ) на квадратной решетке и к задачам о примесях в нем. Дело в том, что в таких соединениях, как Ьа2-:,Зг,:Си04 и УВагСизОе+г,-, при низком уровне допирования (т. е. до перехода в сверхпроводящее состояние) подвижность дырок очень мала. При этом дырка, находящаяся на атоме кислорода между двумя• соседними атомами меди, может быть смоделирована примесным спином 1/2. Это обстоятельство вызвало большой интерес к задачам о примесном спине, взаимодействующем с одним и двумя соседи ими сш шами в 213 АФ. С попытками описать ВТСП в терминах квантовой критичности [1| связан интерес к примесям в 2Б АФ, находящемся около квантовой критической точки (ККТ). Поскольку обменное взаимодействие между дыркой и спинами атомов меди в ВТСП купратах очень велико, рассматриваются дефекты типа „разорванная связь между двумя соседними спинами" и „ферромагнитное взаимодействие между двумя соседними спинами". Внедрение в решетку немагнитных атомов (например Zn) путем замещения некоторых атомов меди является стандартным способом изучения свойств медь-кислородных плоскостей, поэтому активно обсуждаются свойства 2Б АФ с вакансиями. При этом до сих пор не была решена задача о вычислении динамической восприимчивости примеси, взаимодействующей с двумя соседними спинами 20 АФ в упорядоченной фазе при Т > О, и связанная с ней задача о влиянии конечной концентрации таких примесей на свойства АФ. Поскольку слабосвязанные примеси в данном случае слабо расщеплены, а двухуровневые примеси и вовсе вырождены, следует ожидать, что даже небольшая их концентрация может сильно повлиять на низкотемпературные свойства АФ.

Несмотря на свою простоту и обилие работ ей посвященных, мо-

дсль 2Б АФ Гейзенберга со спином 5 ~ 1 на квадратной решетке без примесей продолжает преподносить сюрпризы. Для описания спектра длинноволновых элементарных возбуждений (магнонов) в 2Г> АФ было предложено несколько теоретических подходов, результаты которых хорошо согласуются друг с другом и количественно описывают имеющиеся экспериментальные данные |2, 3]. Однако в последнее время появился ряд численных и экспериментальных результатов, показывающих, что стандартные теоретические подходы не работают в случае коротковолновых магнонов при =1/2.

Так, в ряде недавних экспериментов на веществах, хорошо описываемых этой моделью, был обнаружен локальный минимум в спектре спиновых волн ей в точке к = (п, 0). В частности, в Си(ВСОО)г • 4ВгО энергия магнонов в к = (тг,0) оказалась на 7(1) % меньше энергии в к — (7г/2.7г/2) |3]. Этот локальный минимум является квантовым эффектом, потому что классический спектр в 2Б АФ является бездиспер-сиопным вдоль границы зоны Брпллюэна (ЗБ), которая проходит по точкам (тг,0) и (0.7г). Спектр в окрестности к = (тг, 0) не описывается количественно ни во втором порядке по 1/5, ни в рамках других аналитических подходов. В то же время численные расчеты, выполненные несколькими методами, прекрасно воспроизводят эту аномалию в спектре, природа которой остается неясной.

Еще более неожиданный результат, касающийся коротковолновых магнонов в 2Б АФ со спином 1/2, был получен в работе [4|. Авторы, используя ^¿'-разложение, исследовали перенормировку спектра в сильном магнитном поле Я, меньшем поля насыщения IIс. Из-за неколлинеарности подрешеток и поля в гамильтониане возникают трех-частичные члены, которые делают возможными процессы спонтанного распада одного маг-нона на два. Было обнаружено, что мнимая часть спиновой функции Грина при фиксированном к не имеет пиков, характеризующих одночастичные возбуждения, почти во всей ЗБ при 0.70IIс < Н < Нс. На основании этих результатов авторы сделали вывод, что в сильном поле магноны неустойчивы почти во всей ЗБ но отношению к спонтанному распаду на два магнона. Следует, однако, отметить, что в результате самосогласованной процедуры вычислений, использованной в |4], учитываются лишь некоторые члены 1/5-ряда. Роль же остальных поправок остается совершенно неясной, поскольку в теории при 5 = 1/2 ней' малого параметра. Кроме того, неудачные попытки, описать локальный минимум в спектре в рамках второго по-

рядка по 1 /S при Н = 0, а также сами результаты работы [4] указывают па то, ч то старшие члены по 1 /S могут играть большую роль и случае S ~ 1. В свете этих результатов вопрос о разработке аналитического метода вычисления спектра коротковолновых магнонов в квантовых 2D АФ стоит очень остро.

Отметим, что короткое время жизни (и тем более неустойчивость) коротковолновых магнонов — явление экзотическое. И все же совсем недавно оно было достоверно обнаружено экспериментально (и частично описано теоретически) в ряде магнитных систем: квазн-2Б спиновой жидкости |5, 6, 7], квазп-lD магнитной системе [6, 7, 8] и в квази-2Б АФ со спином 5/2 в сильном магнитном ноле |9). В этих веществах сильным затуханием обладают только коротковолновые магноны с импульсами, большими порогового кс, в котором происходит пересечение одномаг-нонноп ветки с двухмагнопнным континуумом, н процессы спонтанного распада квазпчастпцы на две оказываются разрешены законами сохранения энергии и импульса. При этом в квазп-lD системе наблюдалось полное исчезновение одномагноннон ветки при к > кс, тогда как в квазидвумерных наблюдалось лишь увеличение отношения Г\Ак А° 0.1 Эта картина напоминает ситуацию в жидком 4Не, в котором тоже происходит пересечение одночастнчной ветки с двухчастичным континуумом при некотором импульсе кг:. Однако процессы спонтанного распада в этом случае настолько интенсивны, что к = кс является точкой окончания спектра |10, 11|.

Подчеркнем, что, согласно концепции элементарных возбуждений (или квазм частиц), коротковолновые квазпчастпцы не обязаны быть хорошо определенными |Ю, 1 ] |. Согласно этой концепции, которая является одним из самых мощных инструментов изучения низкоэнергстнчес-кнх свойств систем многих тел, любое слабовозбуждснное состояние системы можот быть представлено как набор слабовзаимодействующпх квазпчастиц, несущих кванты энергии Си и импульса к. Поскольку элементарное возбуждение представляет собой волновой пакет стационарных состояний системы, оно имеет конечное время жизни (пли затухание Г|<), которое описывается на языке спонтанного распада квазича-

1 Автору этих строк представляется несколько неудачным выбор терминологии

п работах |Т>, 9]. Поскольку обнаруженное отношение Г^/с^ не превышает 0.1, оно

много меньше единицы н, строго говоря, не является проявлением неустойчивости

ыагномоп („instability of niagnons" или даже „qunsiparticle breakdown"). Формулировка „аномальное затухание" в данном случае была бы гораздо точнее.

стиц и взаимодействия между ними (при Т / 0). Наименьшей энергией обладают длинноволновые элементарные возбуждения, поэтому именно они описывают слабовозбужденные состояния системы. Следовательно, согласно концепции квазичастиц, они должны быть хорошо определенными, т. е. при малых к должно выполняться неравенство «к IV Это положение концепции подтверждалось многочисленными экспериментами в разных системах и микроскопическими теоретическими расчетами в множестве моделей. В абсолютном большинстве случаев коротковолновые квазнчастицы наряду с длинноволновыми оказываются тоже хорошо определенными. Поэтому упомянутые выше магнетики и жидкий 4Не считаются уникальными системами, ц соответствующие результаты имеют большую научную ценность.

В этой связи представляются очень интересными задачи о перенормировке спектра спиновых волн (магнонов) в 2Б и ЗБ ферромагнетиках (ФМ) с дниольнымн силами. Дело в том, что дипольные силы приводят к появлению трохчастичных членов в гамильтониане, открывая возможность для спонтанного распада одного магнона на два и слияния двух магнонов при Т ^ 0. Важность этих процессов для релаксации спиновых волн в ЗЭ ФМ была отмечена довольно давно [12]. Однако соответствующие выражения для затухания магнонов были получены только для случая довольно сильного внешнего магнитного поля Я. Их анализ показывает, что Г^/б^ —> оо при к,Н —> 0 и соответствующий вывод нужно пересматривать. Эта старая задача не была решена до сих пор, хотя, на первый взгляд, здесь есть все шансы получить аномальное затухание длинноволновых магнонов и установить, по-видимому, первое интересное ограничение концепции элементарных возбуждений в магнитных системах.

Задача о перенормировке спектра в 2В ФМ с дипольными силами сейчас весьма актуальна и ввиду огромного интереса к многочисленным удивительным свойствам ультратонких магнитных пленок и (кваз11-)2Б магнитных материалов, который обусловлен также их практической значимостью [13, 14]. Несмотря на свою малость и благодаря дальнодействию, дипольные силы играют очень большую роль в низкоразмерных магнитных системах. В частности, они нарушают теорему Мермина -Вагнера и стабилизируют дальний магнитный порядок при конечных температурах в случае изотропного короткодействующего взаимодействия. В то же время их влияние на перенормировку спектра магнонов недостаточно хорошо изучено. На сегодняшний день установлено, что

конкуренция короткодействующего обменного взаимодействия, анизотропии и дальноденствующего дшюльного взаимодействия между спинами является причиной возникновения очень красивых явлений в магнитных пленках.

Одним из наиболее интересных экспериментальных наблюдений в этой области было открытие спиновых иереорнентацпонных переходов (СПП). Экспериментальные и теоретические исследования показали, что СПП могут быть вызваны изменением температуры, толщины пленки или приложенным магнитным полем. В большинстве случаев в процессе СПП намагниченность меняет свое направление (поворачивается) с перпендикулярного пленке на параллельное. Очень часто такие СПП сопровождаются возникновением доменных фаз с узкими длинными доменами, в которых компонента намагниченности, перпендикулярная пленке, меняет знак при переходе от домена к домену. Результаты многочисленных работ по этой теме обсуждаются в обширных обзорных статьях (13, 14]. СПП, вызванные магнитным полем, в настоящий момент остаются недостаточно изученными ни экспериментально, ни теоретически.

Отметим, что задачи о 20 АФ в сильном магнитном поле и переход в доменную фазу в 2Б ФМ с анизотропией и дипольными силами в сильном магнитном ноле относятся к области квантовых критических явлений, которая сейчас интенсивно развивается. В частности, предпринимаются попытки описать ВТСП в терминах квантовой критичности [1|. При этом большое внимание уделяется системам, в которых квантовый критический переход происходит при изменении сравнительно легко контролируемого параметра (величина внешнего магнитного и/или ■электрического поля, давления, уровня допирования и т. д.). Особый интерес вызывают магнетики, которые вблизи ККТ по магнитному полю 'эквивалентны разреженному бозе-газу, из-за возможности изучить явление бозе-зинштейновской конденсации (БЭК) [15|. В связи с осознанием возможности изучения явления БЭК в квантовых магнитных системах, были приложены значительные усилия по поиску подходящих соединений, которые концентрировались в основном на АФ материалах. Поскольку величина поля насыщения Нс в АФ пропорциональна величине обменного взаимодействия, в большинстве АФ материалов ККТ оказываются труднодостижимыми на современных установках. В то же время среди магнетиков, которые в окрестности ККТ эквивалентны разреженному бозе-газу, есть и вещества с основным ФМ взапмо-

действием. Поскольку Нс не зависит от величины ФМ взаимодействия, магнитные материалы этого типа имеют малые Нс, что делает их весьма привлекательными для изучения БЭК. Свойства таких магнетиков вблизи ККТ до сих нор нс рассматривались.

Цель и задачи работы. Теоретическое исследование ряда магнитных систем с аномальными динамическими свойствами при низких температурах. В том числе:

1. построение теории вырожденной примеси в 2Б ЛФ и изучение влияния конечной концентрации таких примесей на ннзкоэнер-гетические свойства АФ;

2. разработка метода вычисления спектра коротковолновых элементарных возбуждений в 2Б АФ при Т = 0 вблизи ККТ но магнитному полю;

3. неследование явления БЭК магнонов в магнетиках с основным ФМ взаимодействием, которые эквивалентны разреженному бозе-газу в окрестности ККТ;

4. исследование доменной фазы в 2Б ФМ с анизотропией и днполь-нымп силами в сильном магнитном поле;

5. вычисление спектра спиновых воли в 213 и ЗВ ФМ Гейзенберга с дппольными силами при температурах много меньших температуры Кюри Тс;

(>. вычисление спектра спиновых волн в 2В АФ на квадратной решетке при Т = 0 в третьем порядке по 1/5;

7. исследование 1/£'-поправок, содержащих инфракрасные особенности, к спектру магнонов и спиновым функциям Грина в 2В и ЗВ АФ в слабом магнитном иоле.

Методы исследования. В диссертации используются диаграммный метод вычисления функций Грина, псевдофермнонная техника Абрикосова и символьные компьютерные вычисления.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Построена теория примесного спина и квазп-2Б упорядоченном АФ при Т Тдг, симметрично связанного с двумя соседними спинами АФ. Найдены, выражения для динамической восприимчивости примеси в первых порядках по константе связи. Исследовало влияние конечной концентрации вырожденных примесей на низкоэнергетпческие свойства АФ. Обнаружено сильное затухание длинноволновых магнонов, пропорциональное их энергии и вызванное взаимодействием спиновых воли с примесями. Полученные результаты могут быть применены к другим системам с вырожденными пли слабо расщепленными примесями и соответствующими спектральными функциями.

2. Предложен метод вычисления спектра коротковолновых элементарных возбуждений в 2Б АФ при Т = 0 вблизи ККТ по магнитному полю Я. Метод позволяет находить спектр в главном порядке по малому параметру [Нс - Н)/Нс. где Нс — иоле насыщения. Этим .методом вычислен спектр коротковолновых магнонов в 2В АФ со спином 1/2 и магнитном поле Я > 0.9Нс в главном порядке по (Нс — Н)/Нс. Результаты не подтвердили существования неустойчивости магнонов почти во всей зоне Бриллюэпа, обнаруженную ранее с аомощыо 1/5-р;13ложения. Метод может быть использован при рассмотрении 2Б бозе-газов и других 2В магнитных систем.

3. Исследовано явление БЭК магнонов в магнетиках с основным ферромагнитным взаимодействием, которые эквивалентны разреженному бозе-газу в окрестности ККТ по магнитному нолю. Показано, что эффективное взаимодействие между магнонамн в этих системах мало. Это позволяет, в частности, аналитически ■ найти кроссовер в зависимости критической температуры от поля в квазн-нпзкоразмерных системах такого типа.

4. Изучена доменная фаза в 20 ФМ с сильной анизотропией и дн-польнымы силами, возникающая в сильном магнитном поле. Получена зависимость периода доменной структуры и ее профиля от величины магнитного поля.

5. Вычислен спектр спиновых волн в 20 и 30 ФМ Гейзенберга с дипольными силами при Г С Тс. Показано, что квантовые и температурные флуктуации приводят к щели в спектре магно-нов. Это обстоятельство снимает обнаруженную ранее проблему инфракрасных расходимостей в выражениях для наблюдаемых в 30 ФМ и приводит к конечному времени жизни магнонов в 20 ФМ. Обнаружено аномально сильное затухание длинноволновых магнонов в 30 ФМ, которое не согласуется с концепцией элементарных возбуждений. Показано, что причиной столь сильного подавления длинноволновых магнонов является дальнодействую-щий характер дипольных сил. Показано, что магноны являются хорошо определенными квазичастицами в квантовом 20 ФМ, а в классическом 20 ФМ часть длинноволновых магнонов имеют аномально сильное затухание. Таким образом, установлено первое ограничение концепции элементарных возбуждений в магнитных системах.

6. Вычислен спектр спиновых волн в 20 АФ на квадратной решетке при Т = 0 в третьем порядке по 1 /5. Показано, что в противоположность многим другим величинам, характеризующим систему, квантовая перенормировка спектра в окрестности точки к = (-к, 0) для 5 ~ 1 описывается медленносходящимся 1/5-рядом. В случае 5 = 1/2 поправки третьего порядка улучшают согласие с недавними экспериментальными и численными работами.

7. Рассмотрены 20 и ЗО АФ в слабом магнитном поле Н. Показано, что в выражениях для собственно энергетических частей в первом порядке по 1/5 возникают инфракрасно расходящиеся члены, которые сокращаются в выражениях для спектра спиновых волн и для всех спиновых функций Грина (СФГ), кроме киральных. В киральных СФГ, возникающих в магнитном поле, сокращение оказывается неполным, и первая поправка по 1/5 к ним расходится при Н —> 0. Таким образом, установлено, что происходит сильная перенормировка киральных СФГ, и для ее изучения необходим анализ всего 1/5-ряда.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты, полученные в работе и выносимые на защиту, являются новыми. Результаты исследования вырожденных примесей могут быть применены к

другим системам с. такими же спектральными функциями. Метод вычисления спектра коротковолновых элементарных возбуждений в 2D магнитных системах при Т = 0 вблизи ККТ по магнитному полю применим при рассмотрении разреженных 2D бозе-газов. Результаты исследования БЭК магнонов в магнетиках с основным ферромагнитным взаимодействием удобны для экспериментальной проверки, поскольку соответствующие вещества имеют малые поля насыщения. Обнаруженное аномальное затухание длинноволновых магнонов в ФМ с дииоль-нымн силами при Т <^Тс является первым примером неполной применимости концепции элементарных возбуждений в магнитных системах. Это явление может быть изучено экспериментально в веществах, указанных в работе. Эти результаты должны вызвать интерес к другим системам с дальнодействующими взаимодействиями.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались (подавляющее число докладов — устные) и обсуждались на международных конференциях:

русско-японский семинар „Theoretical and experimental studies of the spin chirality", Гатчина, 2005; Workshop on Quantum Magnetism and Polarised Neutrons, Институт Пола Шерера (PSI), Цюрих, Швейцария, 2006; XXIII международная конференция по статистической физике „Stat-phys--2007м,.-Генуя, Италия, 2007; XII Training Course in the Physics of Strongly Correlated Systems, Салерно, Италия, 2007; Miniworkshop on Strong Correlations in Materials and Atom Traps, Триест, Италия, 2008; московский международный симпозиум по магнетизму „MISM-2008", Москва, 2008; международная конференция „Spin Waves", Санкт-Петербург, 2009; 9th International Conference on Research in High Magnetic Fields, Дрезден, Германия, 2009; международная конференция IV Euro-Asian Symposium „TVends in Magnetism": Nanospintronics, Екатеринбург, 2010;

на российских конференциях, школах и семинарах: семинар „Сильные электронные корреляции и квантовые фазовые переходы", Институт физики высоких давлений, Троицк, 2005, 2006; заседание секции „Магнетизм" Научного Совета РАН по физике конденсированных сред, Москва, 2008, 2010; конференция (школа-семинар) по физике и астрономии, Санкт-Петербург, 2009; Зимние школы ПИЯФ, 2006. 2007, 2009.

Публикации. Основные результаты диссертации излол<ены в 11 рабо-

тах (без учета материалов конференций), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, 14 приложений и списка цитируемой литературы, содержащего 175 ссылок. Работа изложена на 236 страницах и включает 34 рисунка и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и научная новизна работы, перечисляются основные результаты и приводится краткое содержание работы.

В главе 1 при помощи нсевдофермионной техники Абрикосова изучаются динамические свойства примесного спина 5 в квази-2В упорядоченном АФ ГеПзенберга при Т Тд>. Детально рассмотрен случай примесного спина, симметрично связанного с двумя соседними спинами матрицы (см. рис. 1). При этом для псевдофермионной функции Грина достаточно учесть две первые диаграммы, а для вершины были учтены все главные диаграммы в каждом порядке по константе связи д (т. е. просуммирована бесконечная последовательность диаграмм, некоторые из которых показаны на рис. 2). Показано, что в случае 5=1/2 эта задача является обобщением сиин-бозонной модели (16], в которой нет туннельного члена и взаимодействие имеет более сложный вид. Показано, что влияние матрицы на примесь полностью описывается спектральной функцией 1шД(/„(и>). В случае взаимодействия примеси только с поперечными компонентами спинов в! и вг 2Б АФ, описываемого оператором

= + в!)+ + «!!)], (1)

где ось направлена вдоль намагниченности иодрешеток, спектральная функция имеет вид

1тД#и,(а;) = -А 88пИЛИй„„(1 - «,..), (2)

где /1,1/ = х,у,г, А — положительная константа с размерностью обратной энергии, 0 -- характерная энергия, а Л(и>) — фактор обрезания, который равен единице при |и| < в и быстро убывает до нуля вне этого интервала.

Рис. 1. Элементарная ячейка 2Б АФ с примесным спином, связанным (а) симметрично и (Ь) несимметрично с нодрешетками АФ. Показаны также константы связи с соответствующими спинами матрицы д и д\ ^ §2- В диссертации рассмотрены симметрично связанные примеси

1>(х + о/, х) =

Рис. 2. Диаграммы для вершины Гр(а; + ы,х') низших порядков по д. Волнистой линии соответствует спектральная функция 1тДм„(ш), а липни со стрелкой — нсевдофермионная функция Грина

Если взаимодействие примеси с матрицей изотропно:

1+82), (3)

в спектральной функции по сравнению с выражением (2) появляется дополнительный член, пропорциональный шТ25^г5иг, и константа А получает дополнительную логарифмическую поправку. Показано, что такие зависимости 1тД/и,(а>) имеют место при и 2> /?, где ?? 3 — величина взаимодействия (для определенности межплоекостиого взаимодействия), стабилизирующего дальний магнитный порядок в 2В АФ при конечных Т, а .7 — константа обмена между соседними спинами матрицы.

Рассмотрим случай, когда двухуровневая примесь связана только с поперечными компонентами сшнши матрицы и взаимодействие имеет

вид (1). Динамическая восприимчивость примеси A'(w) вычислена во втором порядке по /2, где / ос gfj — обезразмеренная константа связи. Показано, что поперечные компоненты восприимчивости Xj-(w) имеют лоренценский пик с шириной Г ос /4J(r/.7)3, который исчезает при Т = 0, и нерезонансный член:

( \ 1 гГ о- f2 Г ! Sg"(g)A(*) Ш Lmxx(-) = + (5)

Продольная восприимчивость \ц(и>) в нашем приближении имеет только нерезопанспый член, который отличается от соответствующего члена I! \_i_M константой. Мнимая часть нерезонансного члена является константой. не зависящей от Т при » Г, а вещественная часть содержит логарифмическую особенность при ui,T —» 0. Этот результат находится н согласии с выводами работы |17), в которой данная задача была рассмотрена в частном случае Т =■■ 0.

Статическая восприимчивость содержит член, описывающий свободный сшш, S(S+ 1)/(3Т), величина которого немного уменьшена взаимодействием с матрицей, и поправку, пропорциональную /2 lu(J/T):

= + (G)

где U яг 0.2. Подчеркнем сильное отличие между симметрично и несимметрично связанными двухуровневыми примесями, которое проявляется при Т <<_ |(/| (под несимметрично связанной примесью мы подразумеваем пли спин, связанный с одним сшшом матрицы, пли вакансию, которую можно представить как спин, связанный с одним спином матрицы с бесконечно большой константой связи). Главный 1/Т-член имеет вид, как у свободного и классического спинов в симметричной и несимметричной ситуациях соответственно. Логарифмическая поправка пропорциональна g2 в первом случае и не зависит от g во втором [18, 19). Это отличие связано с тем, что средний магнитный момент несимметричной примеси направлен вдоль намагниченности подрешеток матрицы, а симметричная находится в нулевом молекулярном поле.

То обстоятельство, что спектральная функция в 2D АФ пропорциональна и/2 только при uj » 1] приводи']' к следующему ограничению на

полученные результаты: шах{Г, |ш|} > у. Если дефект немного расщеплен (например магнитным нолем Н), это условие переписывается так: шах{.Г. |w|} » max{i/,HS}. Для почти симметрично связанной прпмеси имеем: max {.Г, шах{|/. \у\ — ¿721}» гДи ,У1,2 — константы связи с

соответствующими подрешеткамп матрицы (см. рис. 1).

Рассмотрен частный случай взаимодействия, содержащего только один член: 'Ht„t = <jS'x{s\ + (ср. (1)). Показано, что ет-комнонента восприимчивости равна нулю, а у у- и га-компоненты содержат только нерсзонаисные члены, похожие на соответствующий член в (4). В этом случае рассматриваемая модель эквивалентна сшш-бозоппой модели без туннельного члена, гамильтониан которой можно диагоналпзо-вать и получить точное выражение для ,\(о>). В диссертации выполнены соответствующие вычисления, результаты которых в первых порядках по в точности совпадают с результатами, полученными диаграммным методом. При малых и точное решение для Д'(^) имеет нетривиальную степенную зависимость от ш и Т. В частности, статическая восприимчивость оказывается пропорциональной T-1~S где ( сс /2Т/,7. При этом в первом порядке по /2 получаем член 1/(4У) и логарифмическую поправку в согласии с результатами диаграммного подхода (0). Таким образом, учет логарифмических членов высших порядков по /- приводит в данном случае к нетривиальной степенной температурной зависимости \it)).

Изучено влияние конечной концентрации п примесей на свойства матрицы. Для не слишком малых и мы нашли логарифмическую поправку к скорости магнонов вида n.f4 1п |.//w| и аномальное затухание магнонов, пропорциональное п/4^!. Показано, что взаимодействие спиновых волн с дефектами меняет спектральную функцию, которая содержит члены, пропорциональные п и имеющие более слабую степенную зависимость от и. Эти члены должны быть учтены при достаточно малых иЛ н задачу нужно решать самосогласованно, что выходит за рамки настои щеп работы.

Результаты этой части работы применимы к другим системам с вырожденными примесями, в которых спектральная функция пропорциональна иг.

Когда, примесь связана со спинами матрицы изотропно и взаимодействие имеет вид (3), мы рассмотрели не только двухуровневые дефекты, но и случаи S > 1 /2. Восприимчивость двухуровневой примеси

'(и>) имеет ту же структуру, что и в случае взаимодействия (1): лореицевский пик и нерезонансный член. Разница лишь в том, что ширина инка Г в этом случае больше: она пропорциональна /^(Т/,/)-*, а не /'47(Т/7)3. Кроме того, некоторые константы в выражении для Х^2^) имеют дополнительные температурные поправки. Мы показали, что учет продольных флуктуации спинов матрицы приводит к новой логарифмической поправке к статической восприимчивости, пропорциональной -(/2/[^])1п(Т/М).

Получены выражения для восприимчивости примеси с 5 > 1/2. Как хорошо известно (20], флуктуации спинов матрицы в ЗБ АФ приводят к появлению на узле, где находится фрустрированный примесный спин, эффективной одноионной анизотропии вида —С(Т)52<?2/0, где С(Т) > 0. Поэтому дефекты с 5 > 1/2 оказываются расщепленными, а направление намагниченности подрешеток является для них трудным направлением. В 2Б АФ мы обнарулшли анизотропию такого же типа. В частности, мы показали, что Х/в-поправки, происходящие от продольных флуктуаций спинов матрицы, сильно уменьшают величину С(Т).

Если температура больше величины расщепления уровней примеси, поперечные компоненты восприимчивости имеют 25 лоренцевскнх пиков, соответствующих переходам мел<ду уровнями, и нерезонансный член. Ширины уровней пропорциональны /2,7(Т/./)3, как и в случае 5 = 1/2. Когда Т < С{Т)д2/3 (т. е. Т меньше расстояния между соседними уровнями), существуют только пики, соответствующие переходам между низколежащпми уровнями. Продольная компонента восприимчивости имеет только нерезонансный член. Как и в случае двухуровневого дефекта, мнимая часть нерезонансиого члена является константой, которая приводит к аномальному затуханию магнонов, пропорциональному п/л\ы\. При Т ;» С(Т,)/;25'2/7 статическая восприимчивость имеет ту же структуру, что и в случае 5 =1/2: член 5(5+1)/(3Т) и логарифмическую поправку. Если Т <?С С(Т)д2/,1, х(0) ведет себя по-разному в случае целых и полуцелых спинов.

Показано, что при всех 5 возникает аномальное затухание магнонов, пропорциональное п/4|а^|, к которому приводит нерезонансный член в восприимчивости.

В главе 2 при помощи 1/5-разложения изучена перенормировка спектра магнонов в ЗВ и 2Б ФМ Гейзенберга с дипольными силами

Рис:. 3. Диаграммы для собственно энергетических частей первого порядка по 1/5 в 313 и 20 ФМ. Диаграммы (а) и (Ь) происходят от четырех- и трех частичных членов гамильтониана соответственно

п1)п малых температурах Т Тс, гамильтониан которых имеет вид

П = + (7)

ф» = Ы2 3 КХ^^Ча^ (8)

Ьч

Для этого проанализированы диаграммы первого порядка по 1/5, показанные па рис. 3, и установлено, что вклад от диаграмм старших порядков мал.

О ЗВ ФМ спектр магпонов в линейной теории спиновых волн2 при малых к имеет хорошо известный вид |12)

= (ДА-2 + /у/*Я<») (Ж-2 + +5ыв8ш20к). (9)

где £> - жесткость спиновых волн, Я1*' — внутреннее магнитное поле, Оь - угол между к и намагниченностью,

= 4 „М! (Ю)

«о

является характерной дииолыюй энергией и зд — объем элементарной ячейки. В диссертации рассмотрен бесщелевон классический спектр (9), т. е. считается, что Я'*' = 0. Таким образом, полученные результаты относятся к случаю многодоменного образца и однодоменного образца, намагниченного вдоль направления, в котором он может считаться бесконечным [21].

-Ниже мы будем называть его также "классическим спектром".

Показано, что квантовые н температурные флуктуации сильно меняют вид классического спектра (9) при малых импульсах. Выражение для перенормнрованного спектра, в котором оставлены только поправки, качественно отличающие его от классического спектра (9) при тех пли иных к, имеет вид

еГ = ^ + +

где Y ~ 0.012. Особенно важным результатом является обнаруженная щель Asinflk в спектре (11), которая снимает проблемы инфракрасных расходимостен однородной продольной спиновой восприимчивости и поправок к жесткости спиновых волн, обнаруженных ранее в работах |22, 23|. Щель в спектре, вызванная флуктуациями, — явление хорошо известное и связанное с эффектами типа „порядок из беспорядка". В диссертации показано, что появление [цели в спектре сопровождается появлением анизотропных 1 /¿'-поправок к энергии, делающих направления вдоль ребер куба легкими направлениями намагниченности в случае простои кубической решетки. Продемонстрирована связь этой анизотропии с щелью при Т = 0.

Неожиданными оказались результаты вычисления затухания Г\ спиновых волн. Показано, что даже бесконечно слабые дипольные силы приводя'!' к сильному взаимодействию длинноволновых магнонов, в результате чего часть из них оказываются плохо определенными. Показано, что процессы слияния магнонов, появляющиеся при Т Ф 0 и имеющие закон сохранения

fk = fq - fk-q, (13)

приводят к температурному усилению затухания: в Гк и Гк/бк возникает пик при к ~ A/VSDwi). График отношения Гк/ek вблизи этого пика показан на рис. 4 для случая Гр » Т > \fSDujо. Пунктирными линиями на рис. 4 показаны асимптотики, найденные в диссертации аналитически. Высота пика увеличивается от 0.185 при вк = 7г/2 до U.296 при sin0k < 1.

(И) (12)

к

Рис. 4. Отношение затухания Гь к вещественной части спектра бь в ЗБ ФМ при Т \ZSTDujq в окрестности пика для трех значений угла Введено обозначение к = к\/1Ши>о/А- Пунктирными линиями показаны асимптотики при /г А/х/5Вшо и I; » ¿\f\ZSDuJo, найденные в диссертации аналитически

Важно отмстить, что этот результат не согласуется с концепцией элементарных возбуждений, согласно которой любое слабовозбужденное состояние многочастичной системы может быть представлено как набор слабо взаимодействующих квазпчастиц [10, 11). Подчеркнем, что 3D ФМ Гсйзенберга без дипольных с.нл при Т -С Тс является классическим примером слабовозбужденной системы, свойства которого вполне .укладываются в рамки концепции |12|. В частности, несколькими способами было получено, что длинноволновые магноны хорошо определены: их затухание имеет вид Г^ а Т2к* In Л, тогда как ík ос к2. В диссертации доказано, что причиной столь необычного результата является дальнодействие дипольных сил. Для этого их радиус действия был ограничен несколькими постоянными решетки и произведены соответствующие оценки затухания. Отметим, что, поскольку доля плохо определенных магнонов в 3D ФМ с малыми дииольными силами невелика, их плпяипе на свойства системы (намагниченность, магнитная восприимчивость, теплоемкость и др.) незначительно.

Показано, что и щель в спектре, и аномальное затухание части спиновых волн можно наблюдать как в квантовых, так и в классических ФМ. поскольку эти эффекты обусловлены температурными флуктуаци-ЯМ11. Показано, что EuS и CdC'i'oSej - наиболее подходящие вещества для экспериментального изучения обнаруженных особенностей спектра магнонов. Отметим, что соответствующие эксперименты довольно

сложны, поскольку в данных веществах найденные в диссертации осо-

e —i

бенностн спектра проявляются на импульсах меньших 0.01А . Этим, по-видимому, объяснимся тот удивительный факт, что столь яркие эффекты не были обнаружены до спх пор экспериментально, несмотря на огромный интерес к 3D ФМ в прошлом.

В 2D ФМ с дииольными силами спектр длинноволновых магнонов в линейной теории спиновых волн является бесщелевым н имеет вид [24]

fokD) = \J(Dk2 + [Dk'2 + Kil1'2 , (14)

где по-прежнему D — жесткость спиновых волн, и>о характерная ди-нольная энергия, определяемая (10), а = Зщ/{8ж) ^/Щ (а ~ 1-078 для простой квадратной решетки) и фь — угол между намагниченностью п к.

В случае 5 ~ 1 выражение для перенормированного спектра, в кото-

ром учтены лишь поправки, качественно отличающие его от (14), имеет вид

42D) = /& + Д3- (15)

Д = (16)

1'де С ~ 0.082. Так же как и в случае 3D ФМ, появление щели А в спектре (15) сопровождается появлением анизотропных поправок к энергии, приводящим к снятию вырождения классического основного состояния. В диссертации показана связь .между этими поправками к энергии и щелью при Т = 0.

Так же как и в 3D ФМ, температурные флуктуации приводят к усилению затухания за счет процессов слияния (13) так, что в отношении ГкДк возникает максимум при к ~ Д/VTD и любом заданном фк- Высота максимума растет, и его положение смещается в сторону меньших к при .увеличении S при заданном отношении Т/Тс или при увеличении Т при заданном S (см. рис. 5). Однако его высота ограничена величиной порядка T/D. Поскольку в случае S ~ 1 имеем T/D <§С 1 при Т < Тс, магноны являются хорошо определенными квазнчастицамн.

Отметим интересную деталь: затухание оказывается меньше но сравнению с f^ в более низкоразмерном 2D ФМ. Причина того, что флуктуации приводят к более ощутимому эффекту в 3D ФМ, а не в 2D ФМ. состоит в том, что Фурье-компоненты дииольиого тензора (8) Q'jf пропорциональны wo к и и>ц в 2D и 3D ФМ соответственно. Это обстоятельство приводит к.бблылим трехчастичиым вершинам в 3D ФМ.

Случай больших а классических спинов оказывается выделенным. Дело в том, что при 5 > In (4тг£>(-0/[5,с^о])3/'2) температура может быть больше D, оставаясь много меньшей температуры Кюри: D < Т « Тс х DS.■ Вычисление спектра, в этом случае нужно проводить отдельно. Показано, что температурные поправки к щели становятся в данном случае важными. Рассмотрение затухания при малых к показало, что высота максимума в Гь/fk не может превысить величины равной примерло 0.16 для простой квадратной решетки. Интересно отметить, что в противоположность случаю малых S, в котором Fk/fk не превышает величины пропорциональной T/D -С 1, малость затухания по сравнению с вещественной частью спектра в случае S » 1 и Тс 3> Т 2> D является численной. Рассмотрен предельный случай классических спинов.

Рис. 5. Отношение затухания к вещественной части спектра Гк/бк в классическом и квантовых 2Б ФМ на простой квадратной решетке для случая 8111 фк = 0. В классическом 2Б ФМ к = ку/]~3/(С^,ги2Т) (] и ги — обменная константа и характерная дипольная энергия в классической модели соответственно, а С^, « 0.025), а в квантовом к = к^Ь'Всиаа/ А. На вставке более крупно показаны кривые для 5 = 1/2 и 5 = 3

В главе 3 рассмотрены магнетики вблизи ККТ по магнитному полю Я.

Изучен 2Б АФ Гейзенберга со спином 1/2 на квадратной решетке при Т = 0 в сильном магнитном поле Я ~ Яс, где Яс — поле насыщения. В диссертации предложен метод вычисления спектра коротковолновых магнонов по теории возмущений по малому параметру /у/Я,. = {Н< - Н)/Нс. При этом импульсы магнонов не должны быть слишком близкими к вектору антиферромагнетизма ко = (7г,7г) так, чтобы выполнялось неравенство

где fk = (J0 + Jk)/2 — затравочный спектр и = ,7(cos кх + cos к,). Показано, что в перенормировку спектра в главном порядке по малому параметру дает вклад только нормальная собственно энергетическая часть Щк), для которой получаем две диаграммы, показанные на рис. 6(Ь), и которая в этом порядке имеет вид

где Г(0, к) - вершина, уравнение для которой показано на рис. б(а), а и плотность частиц, которая выражается в АФ со спином 1/2 через намагниченность М — следующим образом: п = £ - где

N полное число спинов. Выражение (18) порядка /¿. При вычислении £(к) но формуле (18) мы пользовались для п результатами предыдущих численных расчетов. Диаграммы старших порядков, некоторые из которых показаны на рис. 6(с) и (с1), оказываются порядка ¡1/Нс) при |к - ко| ~ 1 за исключением окрестности к ~ (7г,0). В этой области диаграммы, самые простые из которых показаны на рис. 6(с1), дают вклад в ПеЦА:) в главном порядке по /«/Я,..

Мы показали, что в противоположность результатам работы |4|. полученным при помощи 1 ^-разложения и не учитывающим большое количество диаграмм, магноны можно считать хорошо определенными к в аз и частицам и при Я > 0.9 Я,., хотя их затухание достаточно велико'* вблизи границы зоны Бриллюэна. Мы обнаружили локальный минимум1^ в вещественной части спектра в точке к = (7г. 0), сопровождающийся?11 уменьшением затухания (см. рис. 7).

Метод вычисления 'спектра коротковолновых квазичастиц, предложенный и этом разделе, можег быть использован при рассмотрении других квгшчастиц в 2Б системах и разреженных 2В бозе-газов. В нервом

ек -/i» |S(ek,k)|

(17)

Е(к) = 4нГ(0, к),

(18)

ь ъ

Рис. 6. (а) Уравнение для вершины Г(р,к), где /с = (а>, к). (Ь) Выражение для в главном порядке по р./Нс для к не очень близких к ко и (тг,0). (с)-и (с!) Некоторые диаграммы для Е(/с) более высокого порядка, которые много меньше, чем учтенные в уравнении (а), если ц <С IIс и к не очень близко к ко или (7г, 0). Линии с двумя стрелками и волнистые линии соответствуют аномальной функции Грина и частице из конденсата соответственно. Диаграммы, наиболее простые из которых показаны на слайде (с!),.дают вклад в ЯеЕ(к) в главном порядке по д/Яс при к ~ (7Г, 0)

Рис. 7. Вещественная п мнимая части спектра магнонов (в единицах константы обмена 3 между ближайшими спинами) для направлений в зоне Бриллюэна, показанных на вставке, вычисленные в главном порядке по ц/Нс для (а) Н = 0.9Нс и (Ь) Н — 0.95Нс. Пунктирные линии относятся к области неприменимости полученных результатов (т.е. к области, где не выполняется неравенство (17)). Видны локальные минимумы энергии магнонов в точке (ж, 0), которые сопровождаются уменьшением затухания вблизи (тг,0)

случае для нахождения спектра в главном порядке необходимо каким-то образом (приближенно аналитически или численно) узнать «.

В главе 2 изучено также явление БЭК магнонов в магнетиках с доминирующим ФМ взаимодействием в магнитном иоле Я ~ Я,.. Этот класс магнетиков очень удобен для экспериментального исследования БЭК. Поскольку ФМ взаимодействие не дает вклада в Я,., в большинстве таких веществ Нг невелико и легко достижимо. Детально рассмотрены ФМ с анизотропией тина легкая плоскость и АФ, содержащие слабо связанные ФМ плоскости или цепочки. В противоположность АФ с сильным АФ взаимодействием |25|, в указанном классе магнетиков мы обнаружили слабое взаимодействие между магнонамн около ККТ. Эта малость позволила нам, в частности, найти кроссовер от ф = 3/2 к ф = 1 в кназп-Ш магнетиках, и от Ф = 3/2 к Ф « 1 в кг.азп-2Е) магнетиках в зависимости критической температуры от поля

Тс = С(Нс - (19)

где С константа.

В главе 2 изучена также доменная фаза в 2Т> ФМ с днпольнымн силами н поперечной одноосной однонониой анизотропией А в сильном магнитном иоле, лежащем в плоскости решетки (см. рис. 8). Гамильтониан модели имеет вид (ср. (7))

'Н = - \ £ + СУ«) 5/'^ - .4 £ (¿Л2 - Я £ 5/. (20)

11фп I I

Предполагалось, что ./ А шц, как это обычно бывает. Был рассмотрен классический спектр магнонов в предположении коллннеарной спиновой структуры и получено в согласии с результатами предыдущей работы |26|, что спектр неустойчив в интервале полей Н'с < II < Нс, где Нс ноле насыщения, а

« = (21)

<»>

Неустойчивость возникает на волновом векторе к(о, нан])авленпе ко-тирого не определено в рамках линейной теории спиновых волн и для

Н'-Н,

Рис. 8. Две фазы модели (20) в сильном магнитном поле Н: фазы с коллннеарной и неколлинеарной спиновой структурой при II > IIс и Н < Нс соответственно. Компоненты спинов, перпендикулярные плоскости решетки, в доменной фазе (т. е. при Н < Нс) обозначены серыми стрелками. В диссертации показано, что эти компоненты образуют синусоиду при Н ~ Нс, которая трансформируется в ступенчатый профиль с уменьшением поля (см. рис. 10). Период доменной структуры при этом увеличивается, как показано на рис. 9

модуля которого получено выражение (22). Таким образом, вслед за авторами работы [26] мы пришли к выводу, что коллинеарное спиновое упорядочение неустойчиво при Н < Нс по отношению к формированию доменной структуры с большим периодом (см. рис. 8).

При изучении свойств неколлинеарной фазы мы сначала рассмотрели 1/5-поправки к спектру коллннеарной фазы при Н > Нс и нашли, что они фиксируют направление волнового вектора ксо так, что оно зависит от направления поля. Свойства ФМ в неколлинеарной фазе рассмотрены при помощи техники бозе-конденсации магнонов. Возникновение доменной спиновой структуры при Н < Нс соответствует в этой технике „конденсации" магнонов в состояния, характеризующиеся волновым вектором кс|]ксо и его гармониками (т. е. ?).кс, где п — целое число). Необычным результатом данной работы является то, что кс зависит от поля (оставаясь параллельным кс0) так, что кс = кс0 при Н = Нс п кс < ксо при Н < Нс (см. рпс. 9). Причиной такого поведения является конденсация в состояния, характеризующиеся гармониками

о

. 10

Н,. -Н -

Рис. 9. Зависимость модуля волнового вектора кс, описывающего доменную структуру, от магнитного поля, найденная путем численной минимизации энергии. При этом была учтена 51 гармоника кс. На вставке показана окрестность точки Я = Яс, в которой зависимость кс от Я

Мы показали,'что при Я < Яс энергия доменной фазы ниже, чем энергия Любой фазы с коллинеарным упорядочением спинов, но разница этих энергий уменьшается с уменьшением поля. Мы не нашли никаких следов перехода в какую-либо коллинеарную фазу при Я < Яс. ТакиМ образом, величина критического поля Н'с, определяемая (21), сильно переоценена в предыдущей работе [26], в которой она была найдена из условия устойчивости спектра коллинеарной скошенной фазы. Нужно отметить, что этот наш результат находится в качественном согласии с результатом работы [27], где было показано, что при Я = 0 в случае А шо, рассматриваемом в данной работе, разница между энергиями доменной и коллинеарной фаз очень мала.

описывается приближенным выражением тирная линия), найденным аналитически

кс.

Выражение

где Рпкс — плотность конденсатных частиц в состоянии, характеризуемом вектором пкс, описывает величины спиновых компонент, перпендикулярных решетке и формирующих доменную структуру (см. рис. 8). Коэффициенты рп^с и величина кс найдены путем численной минимизации выражения для энергии основного состояния. Изменение доменной структуры при изменении поля показано на рис. 10. Видно, что доменная структура имеет синусоидальный профиль при Н т Нс, который трансформируется в ступенчатый при уменьшении поля. Таким образом, плотность доменных стенок уменьшается от единицы до очень малой величины. Из рис. 9 видно, что период доменной структуры, равный 2тг/кс, быстро растет с уменьшением поля. Данный результат также находится в качественном согласии с результатами работы [27], в которой было показано, что при Я = 0 и Л > ц период доменной структуры очень велик.

Получено выражение для спектра спиновых волн в доменной фазе.

В главе 4 вычислен спектр спиновых волн в 20 АФ на квадратной решетке при Т — 0 в третьем порядке по 1/5. Соответствующие диаграммы показаны на рис. 11. В первых двух порядках по 1/5 воспроизведены результаты предыдущей работы [28], согласно которой поправки к спектру второго порядка много меньше поправок первого во всей ЗБ для всех 5 (см. табл.). Вычисления поправок третьего порядка, проведенные в диссертации, показали, что они много меньше поправок второго порядка во всей ЗБ за исключением окрестности точки к = (тг,0) в случае 5 ~ 1. В частности, их модули почти равны в точке к = (7г,0) для 5 = 1/2 (см. табл.). Таким образом, в диссертации получено, что в противоположность другим величинам, характеризующим систему, квантовая перенормировка спектра в окрестности точки к = (тг, 0) для 5 ~ 1 описывается медленносходящимся 1/5-рядом. Мы показали, что в случае 5=1/2 поправки третьего порядка улучшают согласие с недавними экспериментальными и численными работами: энергия магнонов в к = (гг, 0) меньше энергии в к = (7г/2,7г/2) на 1.4 %, 3.2 % и 7(1) % во втором порядке по 1/5, в третьем порядке по 1/5 и в эксперименте по неупругому рассеянию нейтронов в Си(ОСОО)г -40г0

1.0

0.5

0.0 -

-0.5 -

-1.0

ГТ

/ ■ I '■ /

Н~И,

Н = Н,—£>*;„

// = яс-б£«;„ Н = Н€-\60к:„ _1_

-л/2

\ "л

я/2

Ряс. 10. Зависимость от поля профиля доменной структуры в некол-линеарной фазе (т. е. при Я < Нс), который образуют компоненты спинов, перпендикулярные плоскости решетки (см. рис. 8). Этот профиль описывается величиной (5г!/)/у'85/9кс, для которой получено выражение (23). Видно, что профиль имеет форму синусоиды при Н & Нс, которая трансформируется в меандр и затем принимает ступенчатую форму. Отметим, что период доменной структуры, равный 2тг/кс, растет с уменьшением Н, как показано на рис. 9

Таблица 1. Приведены выражения для спектра магнонов е^ в третьем порядке по 1/5 для нескольких значений импульса. Здесь е^ — классический спектр. Показаны соответствующие значения е^ для 5 = 1/2. Отметим малость поправок второго порядка по 1 /5 по сравнению с поправками первого порядка для всех точек и всех 5. Однако поправки третьего порядка примерно равны по модулю поправкам второго порядка в точке к = (ж, 0) при 5=1/2.

рг к

произвольное 5

0.0033(3)

,

0.0042(1)

ч

0.0118(1)

(25)3 0.0172(1)

,

0.0065(1)

0.0043(1)

(25)3 0.0005(1)

5=1/2

(!■»)

(?•»)

(тг,0) / 37Г 7Г \

/ 7Г 7Г \

\2' 2/ 'Зтг Зтг^

0.15795 0.02476

+ 25 + (2 5)2

0.15795 0.02879

+ 25 + (25)2

0.15795 0.02538

+ 25 + (2 5)2

0.15795 0.02134

+ 25 + (2 5)2

0.15795 0.02967

+ 25 + (25)2

0.15795 0.03805

+ 25 + (25)2

0.15795 0.02914

+ 25 + (25)2

+

1.2290(3) 2.0482(2) 2.3179(2) ■2.3241(2) 2.3622(2) 2.4007(2) 1.6781(2)

[3] соответственно.

Рассмотрены 20 и 313 АФ в слабом магнитном поле Н. Показано, что в выражениях для собственно энергетических частей в первом порядке по 1/5 возникают инфракрасно расходящиеся члены, которые сокращаются в выражениях для спектра спиновых волн и всех спиновых функций Грина (СФГ), кроме киральных. В киральных СФГ, возникающих в магнитном поле, сокращение оказывается неполным, и первая поправка по 1/5 к ним расходится при Н —> 0. Таким образом, происходит сильная перенормировка киральных СФГ, которую можно изучить в экспериментах по рассеянию поляризованных нейтронов.

огс!ег /л 1/Б

(е) (!) <9) (>')

Рис. 11. Диаграммы, дающие вклад в перенормировку спектра, магно-пов в 20 АФ в первых трех порядках по 1/5. Жирные линии в диаграммах (Ь), (1) и (Ь) обозначают функции Грина первого порядка по 1/5'. Жирная линия в диаграмме (е) обозначает функцию Грина второго порядка, по 1 /5 . . ■ • . .

Список литературы

[1| Saclidev S. Quantum Phase Transitions. —• Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2001. 470 p.

|2| Manousakis E. The spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet on a square lattice and its application to the cuprous oxides // Rev. Mod. Phys. -1991. - Vol. 03, no. 1. - P. 1.

|3] Christensen N. В., Ronnow H. M., McMorrow D. F. et al.; Quantum dynamics and entanglement of spins on a square lattice // Proc. Natl, Acad. Set. U.S.A.- 2007. - Vol. 104. - P. 15264.

|4| Zhitomirsky M. E., Chernyshev A. L. Instability of Antiferromagnetic MagHoiis in Strong Fields // Phys. Rev. Lett. - 1999.- Vol. 82.-P. 4530.

|5| Stout M. В., Zaliznyak I. A., Hong T. et al.; Quasiparticle breakdown in a quantum spin liquid // Nature.- 2000. — Vol. 440, no. 7081.— Pp. 187-190.

|0| Kolezhuk A., Sachdev S. Magnon Decay in Gapped Quantum Spin Systems // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 96, no. 8. - P. 087203.

|7| Zhitomirsky M. E. Decay of quasiparticles in quantum spin liquids // Phys. Rev. B. 2006. - Vol. 73, no. 10. - P. 100404.

|8j Masuda Т., Zheluden A.. Manuka H. et al.; Dynamics of Composite Haldane Spin Chains in 1PA - CuCl3 ..'/ Phys. Rev. Lett. - 2006. -Vol. 90, no. 4. P. 047210.

|9| Masuda Т.. Kit.aoka £>'., Takamizawa S. et al.; Instability of magnons in two-dimensional antiferioniagucts at high magnetic fields // Phys. Rev. B. - - 2010. - Vol. 81, no. 10. - P. 100402.

|i()| Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории ноля в статистической физике. — Москва: Доб-рос-ист. 1998. 514 с.

|11| Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.-- часть 2. -Москва: Наука, 1978. 448 с.

[12| Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Пелеггшинский С. В. Спиновые волны. — Москва: Фнзматлит, 1967. — 368 с.

|13| De!Bell К., Maclsaac А. В., Whitehead J. P. Dipolar effects in magnetic thin films ami quasi-two-dimensional systems // Reu. Mod. Phys. 2000. -Vol. 72. - P. 225. .

|14| Jensen P. J., Bennemann К. H. Magnetic structure of films: Dependence on anisotropy and atomic morphology ■// Surf. Sci. Rep.— 2007. - Vol. 61. - P. 129.

• |.l51 Giamarchi Т., R'iieyy C., Tchernyshyov O. Bose-Einstein condensation in magnetic insulators // Nature Physics. — 2008. — Vol. 4. — P. 198.

|16j Leggett A. J., Chakravarty S., Dorsey A. T. et a/.; Dynamics of the dissipative two-state system // Rev. Mod. Phys.-r- 1987. — Vol. 59, no. 1. - Pp. 1-85. ' • ' ' -

|17| Nagaosa N.. Hatsugai Y., Imuda M. Spin Wave Theory of the Two-Dimensional Heisenberg Antiferromagnet Coupled with Localized Holes // J. Phys. Soc. Jpn. - 1989. - Vol. 58. —P. 978.

|18| Sitslikov O. P. Long-range dynamics related to magnetic impurities in the two-dimensional Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. В. -2003. ' Vol: 08. P. 094420.

|19j Snchdev S., Vojta M. Quantum impurity in an antiferromagnet: Nonlinear sigma model theory // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 064419.

|2()| LUeudep E. Ф. Антифсрромагнитные гранаты с флуктуационно взаимодействующими иодрешетками // ЖЭТФ. - • 1982. — Т. 83, № 7. С. 32б".

|21| Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Москва: Наука, 1992. - 664 с.

|22) Toperverg В. P., Yashenkin A. G. Transverse and longitudinal susceptibilities of a Heisenberg ferromagnet with dipolar forces below Tc // Phys. Rev. B. - 1993. -- Vol. 48. P. 16505.

[23j Rahman T. S., Mills D. L. Spin-wave renormalization in exchangearid dipolar-coupled ferromagnets: Bulk spin waves and the Damon-Eshbach surface spin wave // Phys. Rev. D. — 1979. — Vol. 20. — P. 1173.

|24] Малеев С. В. Дшюльныс силы и двумерных и слоистых ферромагнетиках / / ЖЭТФ. - 1976. - Т. 70. - С. 2374.

j25j Батысв Э. Г., Брагинский J1. С■ Аитнферромагнстнк в сильном

магнитном ноле: аналогия с бозе-газом /'/ ЖЭТФ. - 1984......

Т. 87. - С. 1361.

|26| Erickaun R. P., Mills D. L. Magnetic instabilities in ultrathin ferromagnets // Phys. Rev. В.- 1992. - Vol.' 46.- P. 861.

|27j Yafet Y.. Gyorgy E. M. Ferromagnetic strip domains in an atomic monolayer //' Phys. Rev. B. - 1988. - Vol. 38. - P. 9145.

|2S| Igarashi ,/., Nagao T. 1/5-expansion study of spin waves in a two-dimensional Hcisenbcrg antiferroniagnet //' Phys. Rev. В. — 2005.— Vol. 72. P. 014403.

Список публикаций по теме диссертации

1. Syromyatnikov А. V., Maleyev S. V. Spin-wave interaction in two-and three-dimentioaiil antiferromagnets in a weak magnetic field // Phys. Rev. B. 2001, - Vol. 65. -Pp.012401-1-012401-4. '

2. Syromyatnikov A. V., Maleyev S. V. Nuclear-magnetic interference in the inelastic scattering of' polarized neutrons in a dipolar ferromagnet /7 Phtpica В. - 2001,- Vol. 297, -Pp.82-86.

3. Syromyatnikov A. V., Maleyev S. V. Frustrated two-level impurities in two-dimensional autiferromagnet // Phys. Rev. В. - 2005.- - Vol. 72. Pp. 174419-1-174419-17.

4. Syruni.yat.nikuv A. V., Maleyev S. V. Frustrated impurity spins in ordered two-dimensional quantum antiferromagnets // Phys. Rev. В.— 2000. Vol. 74. Pp.184433-1 -184433-14.

5. Syromyatnikov A. V. Rcnornlalization of the spin-wave spectrum in three-dimensional ferroiuaguets with dipolar interaction // Phys. Rev. B. 2006. - Vol. 74. -Pp.014435-1 014435-9.

0. Syromyatnikov A. 1'. Bone-Einstein condensation of magnons in magnets with predominant ferromagnetic interaction // Phys. Rev. D. - 2007. Vol. 75. - [y 134421-1-134421-7.

7. Syromyatnikov A. V. Spin-wave interaction in two-dimensional

ferromaguets with dipolar forces ,7 Phys. Rev. D. 2008,— Vol. 77. -Pp. 144433-1 144433-15.

X. Syromyatnikov A. V. Instability of the collinear pha.se in two-

dimensional ferromagnet in strong in-plain: magnetic iiekl / / J. Phys.: C'ondens. Matter. 2009.- Vol. 21. Pp. 216009-1-216009-10.

9. Syroiuyatnikoc A. V. Collective excitations in a two-dimensional mitiferromugnet in a strong magnetic field // Phys. Rev. B.— 2009,— Vol. 79.- Pp.05-1113-1-054413-0.

10. Syromyatnikov A. V. Spectrum of short-wavelength magnons in two-dimensional quantum Heisenberg antiferroniagnet on a square lattice: third order'expansion in 1/S // J. Phys.: Condens. Matter.— 2010.— Vol. 22. Pp. 216003-1-216003-7.

11. Synmyatnikou A. 1'. Anomalously large damping of long-wavelength quasiparticles caused by long-range interaction /'/ Phys. Rev. 13.--2010.- Vol. 82.- Pp.024432-1- 024432-9.

Отпечатано в типографии ПИЯФ РАН

188300, Гатчина Ленинградской обл., Орлова роща Зак. 389, тир. 100, уч.-изд. л. 2; 22.12.2010 г.

Введение

Глава 1 Вырожденные примеси

1.1 Введение.

1.2 Модель и техника.

1.2.1 Модель.

1.2.2 Псевдофермионная техника Абрикосова.

1.2.3 Диаграммная техника.

1.3 Примесный спин, связанный только с поперечными компонентами двух спинов 2Б антиферромагнетика.

1.3.1 Динамическая восприимчивость примеси.

1.3.2 Влияние дефектов на свойства матрицы.

1.4 Примесный спин, связанный с двумя спинами 2Б антиферромагнетика изотронно.

1.4.1 Псевдофермионная функция Грина и вершина.

1.4.2 Восприимчивость примеси.

1.4.3 Влияние дефектов на свойства матрицы.

2.1.2 Преобразование гамильтониана.70

2.1.3 Перенормировка энергии основного состояния.73

2.1.4 Перенормировка вещественной части спектра магнонов.74

2.1.5 Затухание магнонов.81

2.1.6 Обсуждение .86

2.1.7 Заключение.90

2.2 Двумерный ферромагнетик с динольными силами.92

2.2.1 Введение.92

2.2.2 Преобразование гамильтониана.94

2.2.3 Перенормировка энергии основного состояния и вещественной части спектра магнонов.96

2.2.4 Затухание магнонов.100

2.2.5 Большие спины .107

2.2.6 Обсуждение .111

2.2.7 Заключение.114

2.3 Выводы.117

Глава 3 Магнетики вблизи квантовых критических точек по магнитному полю 118

3.1 Бозе-конденсация магнонов в магнетиках с основным ферромагнитным взаимодействием.118

3.1.1 Введение.118

3.1.2 Преобразование гамильтониана и техника.121

3.1.3 Эффективное взаимодействие между магнонами вблизи ККТ . . 123

3.1.4 Квази-низкоразмерные магнетики.127

3.1.5 Заключение.131

3.2 Неустойчивость коллинеарной фазы в двумерном ферромагнетике с динольными силами и анизотропией в сильном магнитном поле.132

3.2.1 Введение.132

3.2.2 Техника и преобразование гамильтониана.136

3.2.3 Классические спектры магнонов.136

3.2.4 Перенормировка спектра при Н > Нс.138

3.2.5 Неколлинеарная фаза.142

3.2.6 Заключение.149

3.3 Двумерный антиферромагнетик в сильном магнитном поле.152

3.3.1 Введение.152

3.3.2 Модель и техника.154

3.3.3 Спектр магнонов.159

3.3.4 Заключение.164

3.4 Выводы.165

Глава 4 Двумерный антиферромагнетик в нулевом и слабом магнитном поле 166

4.1 Введение.166

4.2 2D антиферромагнетик в нулевом магнитном поле.170

4.2.1 Преобразование гамильтониана.170

4.2.2 Перенормировка спектра.171

4.3 2D антиферромагнетик в слабом магнитном поле.176

4.3.1 Общие соотношения.177

4.3.2 Поправки к спектру спиновых волн.178

4.3.3 Спиновые функции Грина.180

4.4 Выводы.181

Приложение А Вычисление спектральной функции в 2D антиферромагнетике 183

Приложение В Матричная структура псевдофермионной функции Грина и вершины 186

Приложение С Вычисление восприимчивости вырожденной примеси 187

Приложение В Функции Грина 2Т) антиферромагнетика с вырожденными примесями 192

Приложение Е Вычисление Г2(3)(а>,к) в ЗО ферромагнетике 193

Приложение Р Вычисление затухания магнонов в ЗО ферромагнетике 197

Приложение С Вычисление в 2Т) ферромагнетике 201

Приложение Н Вычисление намагниченности 213 ферромагнетика 204

Приложение I Влияние анизотропии в 2Т) ферромагнетике 205

Приложение Л Пределы применимости лестничного приближения 207

Приложение К Вычисление вершины в магнетиках в сильном магнитном поле 209

Приложение Ь Энергия доменной фазы в 21) ферромагнетике с ди-польными силами и анизотропией в сильном магнитном поле 210

Приложение М Оценка диаграмм в 21) антиферромагнетике в сильном магнитном поле 212

Приложение N Поправки третьего порядка по 1/5 к собственно энергетическим частям в 2Т> антиферромагнетике 214

Список литературы 220

Введение

В последнее время сильно возрос интерес к низкоразмерному магнетизму и квантовой критичности. Причин этому несколько, но самыми главными являются ряд открытий качественно новых явлений и возможность практического использования некоторых материалов с новыми свойствами.

Первое, что здесь нужно упомянуть, это открытие высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП) в купратах и слоистых соединениях на основе железа. Осознание большой роли, которую играют в этих веществах плоскости магнитных атомов, привело к всплеску интереса к модели двумерного (2Б) антиферромагнетика (АФ) на квадратной решетке [1, 2] и к задачам о примесях в нем. Дело в том, что в таких соединениях как Ьа2хЗгхСи04 и УВа2СизОб+ж ПРП низком уровне допирования (т.е., до перехода в сверхпроводящее состояние) подвижность дырок очень мала. При этом дырка, находящаяся на атоме кислорода между двумя соседними атомами меди, может быть смоделирована примесным спином 1/2. Это обстоятельство вызвало большой интерес к задачам о примесном спине, взаимодействующем с одним [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] и двумя соседними [12, 13, 14] спинами в 2Б АФ. С попытками описать ВТСП в терминах квантовой критичности [15] связан интерес к примесям в 2Б АФ, находящемся около квантовой критической точки (ККТ). [7, 8] Поскольку обменное взаимодействие между дыркой и спинами атомов меди в ВТСП купратах очень велико, рассматриваются дефекты типа „разорванная связь между двумя соседними спинами" и „ферромагнитное взаимодействие между двумя соседними спинами". [4, 16, 17] Внедрение в решетку немагнитных атомов (например, Ъп) путем замещения некоторых атомов меди является стандартным способом изучения свойств медь-кислородных плоскостей, поэтому активно обсуждаются свойства 2D АФ с вакансиями. [4, 7, 8, 18, 19, 20, 21] При этом, однако, до сих пор не была решена задача о вычислении динамической восприимчивости примеси, взаимодействующей с двумя соседними спинами 2D АФ в упорядоченной фазе при Г > 0 и связанная с ней задача о влиянии конечной концентрации таких примесей на свойства АФ. Поскольку слабо связанные примеси в данном случае слабо расщеплены, а двухуровневые примеси и вовсе вырождены, [22, 23] следует ожидать, что даже небольшая их концентрация может сильно повлиять на низкотемпературные свойства АФ.

Несмотря на свою простоту и обилие работ ей посвященных, модель 2D АФ Гей-зенберга со спином S ~ 1 на квадратной решетке без примесей продолжает преподносить сюрпризы. Для описания спектра длинноволновых элементарных возбуждений (магнонов) в 2D АФ было предложено несколько теоретических подходов, результаты которых хорошо согласуются друг с другом и количественно описывают имеющиеся экспериментальные данные [1, 2, 24]. Однако в последнее время появился ряд численных и экспериментальных результатов, показывающих, что стандартные теоретические подходы не работают в случае коротковолновых магнонов при S = 1/2.

Так, в ряде недавних экспериментов на веществах, хорошо описываемых этой моделью, был обнаружен локальный минимум в спектре спиновых волн ек в точке к = (тг, 0). [2, 25, 26, 27] В частности, в Cu(DCOO)2 • 4D20 энергия магнонов в к = (7г, 0) оказалась на 7(1)% меньше энергии в к = (7г/2,7г/2). [2] Этот локальный минимум является квантовым эффектом, потому что классический спектр в 2D АФ является бездисперсионным вдоль границы зоны Бриллюэна (ЗБ), которая проходит по точкам (7Г, 0) и (0,7г). Спектр в окрестности к = (тт,0) не описывается количественно ни во втором порядке по 1/5 [28, 29], ни в рамках других аналитических подходов [2, 30]. В тоже время численные расчеты, выполненные несколькими методами, [31, 32] прекрасно воспроизводят эту аномалию в спектре, природа которой остается неясной.

Еще более неожиданный результат, касающийся коротковолновых магнонов в 2D АФ со спином 1/2, был получен в работе [33]. Авторы, используя 1/5-разложение, исследовали перенормировку спектра в сильном магнитном поле H, меньшем поля насыщения Пс. Из-за неколлинеарности подрешеток и поля в гамильтониане возникают трехчастичные члены, которые делают возможными процессы спонтанного распада одного магнона на два. Было обнаружено, что мнимая часть спиновой функции Грина при фиксированном к, не имеет пиков, характеризующих одночастичные возбуждения, почти во всей ЗБ при 0.76ПС < Л < 1!с. На основании этих результатов авторы сделали вывод, что в сильном поле магноны неустойчивы почти во всей ЗБ но отношению к спонтанному распаду на два магнона. Следует, однако, отметить, что в результате самосогласованной процедуры вычислений, использованной в [33], учитываются лишь некоторые члены 1/5-ряда. Голь же остальных поправок остается совершенно неясной, поскольку в теории при S = 1/2 нет малого параметра. Кроме того, неудачные попытки описать локальный минимум в спектре в рамках второго порядка по 1/5 при Н = 0, а также сами результаты работы [33], указывают на то, что старшие члены по 1/S могут играть большую роль в случае S ~ 1. В свете этих результатов вопрос о разработке аналитического метода вычисления спектра коротковолновых магнонов в квантовых 2D АФ стоит очень остро.

Отметим, что короткое время жизни (и тем более неустойчивость) коротковолновых магнонов — явление экзотическое. И все же совсем недавно оно было достоверно обнаружено экспериментально (и частично описано теоретически) в ряде магнитных систем: квази-2Б спиновой жидкости [34, 35, 36], квази-lD магнитной системе [35, 36, 37] и в квази-2Б АФ со спином 5/2 в сильном магнитном поле [38]. В этих веществах сильным затуханием обладают только коротковолновые магноны с импульсами, большими порогового кс, в котором происходит пересечение одномагнонной ветки с двухмагноннным континуумом, и процессы спонтанного распада квазичастицы на две оказываются разрешены законами сохранения энергии и импульса. При этом в квази-1D системе наблюдалось полное исчезновение одномагнонной ветки при к > кс, тогда как в квазидвумерных наблюдалось лишь увеличение отношения Г^/еи до О.1.1 Эта картина напоминает ситуацию в жидком 4Не, в котором тоже происходит пересечение одночастичной ветки с двухчастичным континуумом при некотором импульсе кс. Од

1 Автору этих строк представляется несколько неудачным выбор терминологии в работах [34, 38]. Поскольку обнаруженное отношение Гк/бк не превышает 0.1, оно много меньше единицы, и, строго говоря, не является проявлением неустойчивости магнонов („instability of inagnonb" или даже „quasiparticle breakdown"). Формулировка „аномальное затухание" в данном случае была бы гораздо точнее. нако процессы спонтанного распада в этом случае настолько интенсивны, что к = кс является точкой окончания спектра. [39, 40]

Подчеркнем, что согласно концепции элементарных возбуждений (или квазичастиц) коротковолновые квазичастицы не обязаны быть хорошо определенными. [39, 40] Согласно этой концепции, которая является одним из самых мощных инструментов изучения низкоэнергетических свойств систем многих тел, любое слабо возбужденное состояние системы может быть представлено как набор слабо взаимодействующих квазичастиц, несущих кванты энергии ск и импульса к. Поскольку элементарное возбуждение представляет собой волновой пакет стационарных состояний системы, оно имеет конечное время жизни (или затухание Гк), которое описывается на языке спонтанного распада квазичастиц и взаимодействия между ними (при Т ф 0). Наименьшей энергией обладают длинноволновые элементарные возбуждения, поэтому именно они описывают слабовозбужденные состояния системы. Следовательно, согласно концепции квазичастиц, они должны быть хорошо определенными, т.е., при малых к должно выполняться неравенство Гк. Это положение концепции подтверждалось многочисленными экспериментами в разных системах и микроскопическими теоретическими расчетами в множестве моделей. В абсолютном большинстве случаев коротковолновые квазичастицы наряду с длинноволновыми оказываются тоже хорошо определенными. Поэтому упомянутые выше магнетики и жидкий 4Пе считаются уникальными систе-, мами, и соответствующие результаты имеют большую научную ценность.

В этой связи представляются очень интересными задачи о перенормировке спектра спиновых волн (магнонов) в 2D и 313 ферромагнетиках (ФМ) с дипольными силами. Дело в том, что дипольные силы приводят к появлению трехчастичных членов в гамильтониане, открывая возможность для спонтанного распада одного магнона на два и слияния двух магнонов при Т ф 0. Важность этих процессов для релаксации спиновых волн в ЗБ ФМ была отмечена довольно давно. [41, 42, 43] Однако соответствующие выражения для затухания магнонов были получены только для случая довольно сильного внешнего магнитного поля Н. Их анализ показывает, что Гк/е^ —»■ оо при к,Н 0 и соответствующий вывод нужно пересматривать. Эта старая задача не была решена до сих пор; хотя, на первый взгляд, здесь есть все шансы получить аномальное затухание длинноволновых магнонов и установить, по-видимому, первое интересное ограничение концепции элементарных возбуждений в магнитных системах.

Задача о перенормировке спектра в 213 ФМ с дипольными силами сейчас весьма актуальна и ввиду огромного интереса к многочисленным удивительным свойствам ультра-тонких магнитных пленок и (квази-)2Б магнитных материалов, которое обусловлено также их практической значимостью. [44, 45] Несмотря на свою малость и благодаря дальнодействию, дипольные силы играют очень большую роль в низкоразмерных магнитных системах. В частности, они нарушают теорему Мермина-Вагнера [46] и стабилизируют дальний магнитный порядок при конечных температурах в случае изотропного короткодействующего взаимодействия. В тоже время их влияние на перенормировку спектра магнонов остается недостаточно хорошо изученными. На сегодняшний день установлено, что конкуренция короткодействующего обменного взаимодействия, анизотропии и дальнодействующего дипольного взаимодействия между спинами является причиной возникновения очень красивых явлений в магнитных пленках.

Одним из наиболее интересных экспериментальных наблюдений в этой области было открытие спиновых переориентационных переходов (СПП). Экспериментальные и теоретические исследования показали, что СПП могут быть вызваны изменением температуры, толщины пленки или приложенным магнитным полем. В большинстве случаев в процессе СПП намагниченность меняет свое направление (поворачивается) с перпендикулярного пленке на параллельное. Очень часто такие СПП сопровождаются возникновением доменных фаз с узкими длинными доменами, в которых компонента намагниченности, перпендикулярная пленке, меняет знак при переходе от домена к домену. Результаты многочисленных работ по этой теме обсуждаются в недавних обширных обзорных статьях [44, 45]. СПП, вызванные магнитным полем, в настоящий момент остаются недостаточно хорошо изученными ни экспериментально, ни теоретически.

Отметим, что задачи о 2В АФ в сильном магнитном поле и переход в доменную фазу в 2Б ФМ с анизотропией и дипольными силами в сильном магнитном поле относятся к области квантовых критических явлений, которая сейчас интенсивно развивается.

В частности, предпринимаются попытки описать ВТСП в терминах квантовой критичности. [15] При этом большое внимание уделяется системам, в которых квантовый критический переход происходит при изменении сравнительно легко контролируемого параметра (величина внешнего магнитного и/или электрического ноля, давления, уровня допирования и т.д.). Особый интерес вызывают магнетики, которые вблизи ККТ по магнитному нолю эквивалентны разреженному бозе-газу, из-за возможности изучить явление бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК). [47]. В связи с осознанием возможности изучения явления БЭК в квантовых магнитных системах, были приложены значительные усилия по поиску подходящих соединений, которые концентрировались в основном на АФ материалах. Поскольку величина поля насыщения Нс в АФ пропорциональна величине обменного взаимодействия, в большинстве АФ материалов ККТ оказываются трудно достижимыми на современных установках. В тоже время среди магнетиков, которые в окрестности ККТ эквивалентны разреженному бозе-газу, есть и вещества с основным ФМ взаимодействием. Поскольку Нс не зависит от величины ФМ взаимодействия, магнитные материалы этого типа имеют малые Нс, что делаег их весьма привлекательными для изучения БЭК. Свойства таких магнетиков вблизи ККТ до сих пор не рассматривались.

Цель и задачи работы

Целыо диссертационной работы являлось теоретическое исследование ряда магнитных систем с необычными динамическими свойствами при низких температурах. В том числе предполагалось

1. построение теории вырожденной примеси в 2Ъ АФ и изучение влияния конечной концентрации таких примесей на низкоэнергетические свойства АФ;

2. разработка метода вычисления спектра коротковолновых элементарных возбуждений в 2Б АФ при Т = 0 вблизи ККТ по магнитному полю;

3. исследование явления БЭК магнонов в магнетиках с основным ФМ взаимодействием, которые эквивалентны разреженному бозе-газу в окрестности ККТ;

4. исследование доменной фазы в сильном магнитном поле в 2D ФМ с анизотропией и дипольными силами в сильном магнитном поле;

5. вычисление спектра спиновых волн в 2D и 3D ФМ Гейзенберга с дипольными силами при температурах много меньших температуры Кюри ТЬ;

6. вычисление спектра спиновых воли в 2D АФ на квадратной решетке при Т = О в третьем порядке по 1/5;

7. исследование l/S'-поправок, содержащих инфракрасные особенности, к спектру магнонов и спиновым функциям Грина в 2D и 3D АФ в слабом магнитном поле.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Построена теория примесного спина в квази-2Б упорядоченном АФ при Т <С Тдг, симметрично связанного с двумя соседними спинами АФ. Найдены выражения для динамической восприимчивости примеси в первых порядках по константе связи. Исследовано влияние конечной концентрации вырожденных примесей на низкоэнергетические свойства АФ. Обнаружено сильное затухание длинноволновых магнонов, пропорциональное их энергии и вызванное взаимодействием спиновых волн с примесями. Полученные результаты могут быть применены к другим системам с вырожденными или слабо расщепленными примесями и соответствующими спектральными функциями.

2. Предложен метод вычисления спектра коротковолновых элементарных возбуждений в 2D АФ при Т = 0 вблизи ККТ по магнитному полю //. Метод позволяет находить спектр в главном порядке по малому параметру (Пс — Н)/Нс, где Нс — поле насыщения. Этим методом вычислен спектр коротковолновых магнонов в 2D АФ со спином 1/2 в магнитном поле Н > 0.9НС в главном порядке по (IIс — Н)/Нс. Результаты не подтвердили существования неустойчивости магнонов почти во всей зоне Бриллюэна, обнаруженную ранее с помощью 1/S-разложения. Метод может быть использован при рассмотрении 2D бозе-газов и других 2D магнитных систем.

3. Исследовано явление БЭК магнонов в магнетиках с основным ферромагнитным взаимодействием, которые эквивалентны разреженному бозе-газу в окрестности ККТ по магнитному полю. Показано, что эффективное взаимодействие между магнонами в этих системах мало. Это позволяет, в частности, аналитически найти кроссовер в зависимости критической температуры от поля в квази-низкоразмерных системах такого типа.

4. Изучена доменная фаза в 2Б ФМ с сильной анизотропией и дипольными силами, возникающая в сильном магнитном поле. Получена зависимость периода доменной структуры и ее профиля от величины магнитного поля.

5. Вычислен спектр спиновых волн в 2Б и ЗБ ФМ Гейзенберга с дипольными силами при Т <С Тс- Показано, что квантовые и температурные флуктуации приводят к щели в спектре магнонов. Это обстоятельство снимает обнаруженную ранее проблему инфракрасных расходимостей в выражениях для наблюдаемых в ЗБ ФМ и приводит к конечному времени жизни магнонов в 2Б ФМ. Обнаружено аномально сильное затухание длинноволновых магнонов в ЗБ ФМ, которое не согласуется с концепцией элементарных возбуждений. Показано, что причиной столь сильного подавления длинноволновых магнонов является дальнодейству-ющий характер дипольных сил. Показано, что магноны являются хорошо определенными квазичастицами в квантовом 2Б ФМ, а в классическом 2Б ФМ часть длинноволновых магнонов имеют аномально сильное затухание.

6. Вычислен спектр спиновых волн в 2Б АФ на квадратной решетке при Т = О в третьем порядке по 1/51. Показано, что в противоположность многим другим величинам, характеризующим систему, квантовая перенормировка спектра в окрестности точки к = ("7г, 0) для 5 ~ 1 описывается медленно сходящимся 1/5-рядом. В случае 5=1/2 поправки третьего порядка улучшают согласие с недавними экспериментальными и численными работами.

7. Рассмотрены 2Б и ЗБ АФ в слабом магнитном поле Н. Показано, что в выражениях для собственно энергетических частей в первом порядке по 1/5" возникают инфракрасно расходящиеся члены, которые сокращаются в выражениях для спектра спиновых волн и всех спиновых функций Грина (СФГ) кроме кираль-ных. В киральных СФГ, возникающих в магнитном иоле, сокращение оказывается неполным, и первая поправка по 1/S к ним расходится при H —> 0. Таким образом, установлено, что происходит сильная перенормировка киральных СФГ, и для ее изучения необходим анализ всего 1/¿¡"-ряда.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: русско-японский семинар "Theoretical and experimental studies of the spin chirality", Гатчина, 2005; Workshop on Quantum Magnetism and Polarised Neutrons, Институт Пола Шерера (PSI), Цюрих, Швейцария, 2006; XXIII международная конференция по статистической физике "Statphys - 2007", Генуя, Италия, 2007; XII Training Course in the Physics of Strongly Correlated Systems, Салерно, Италия, 2007; Miniworkshop on Strong Correlations in Materials and Atom Traps, Триест. Италия, 2008; московский международный симпозиум по магнетизму "MISM-2008", Москва, 2008; международная конференция "Spin Waves", Санкт-Петербург, 2009; 9th International Conference on Research in High Magnetic Fields, Дрезден, Германия, 2009; международная конференция IV Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism": Nanospintronics, Екатеринбург, 2010; и на российских конференциях, школах и семинарах: семинар "Сильные электронные корреляции и квантовые фазовые переходы", Институт физики высоких давлений, Троицк, 2005, 2006; заседание секции "Магнетизм" Научного Совета РАН по физике конденсированных сред, Москва, 2008; конференция (школа-семинар) по физике и астрономии, Санкт-Петербург, 2009; зимние школы ПИ-ЯФ 2006, 2007, 2009.

Основное содержание диссертации изложено в работах [48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58].

Структура диссертации

Последующая часть диссертации организована следующим образом.

В главе 1 рассматривается примесный спин, симметрично связанный с подрешет-ками упорядоченного квази-2Б АФ Гейзенберга при Т ф 0. В разделе 1.1 дан более подробный обзор исследований 2Б АФ с примесями. В разделе 1.2 обсуждается псевдо-фермионная техника Абрикосова, сформулирована диаграммная техника для вычисления динамической восприимчивости примеси, и приведено общее выражение для нее.

В разделе 1.3 рассмотрен случай, когда примесь связана только с поперечными компонентами спинов матрицы. При этом рассмотрен случай только двухуровневой примеси. В разделе 1.3.1 вычислена псевдофермионная функция Грина, найдено и решено уравнение для вершины, учитывающее все самые сингулярные диаграммы в каждом порядке по константе связи примеси с матрицей д, и получено выражение для восприимчивости примеси в первых двух порядках по д2. Обсуждаются свойства однородной восприимчивости примеси. Рассмотрен частный случай, когда примесь связана только с одной поперечной компонентой спинов матрицы. Показано, что гамильтониан эффективной модели, описывающей низкоэнергетическую динамику системы, можно диагонализовать точно. Найдено точное выражение для динамической восприимчивости примеси в этой эффективной модели, которое совпадает в первых двух порядках но д2 с выражением, полученным при помощи диаграммной техники, и имеет нетривиальные частотные и температурные степенные зависимости. В разделе 1.3.2 рассматривается влияние конечной концентрации п вырожденных двухуровневых примесей на низкотемпературные свойства матрицы. Получено выражение для скорости спиновых волн в 2Б АФ и найдено аномальное затухание магнонов пропорциональное пе^. Указаны пределы применимости развитой теории, наличие которых связано с тем, что взаимодействие магнонов с примесями меняет вид спектральной функции при п ф 0.

В разделе 1.4 рассмотрен случай, когда примесь связана со спинами матрицы изотропно. При этом изучен общий случай спина примеси Б > 1/2. В разделе 1.4.1 получено выражение для псевдофермионной функции Грина и показано, что в результате взаимодействия с магнонами уровни примеси с 5 > 1/2 расщепляются. Выведено и решено уравнение для вершины. В разделе 1.4.2 получено выражение для восприимчивости примеси. Показано, что в случае двухуровневой примеси восприимчивость содержит лоренцевский пик и нерезонансный член. При 5 > 1/2 в восприимчивости помимо нерезонансного члена появляется набор лоренцевских пиков, соответствующих переходам между расщепленными уровнями примеси. В разделе 1.4.3 рассматривается влияние конечной концентрации п таких примесей на низкотемпературные свойства матрицы. Получено выражение для скорости спиновых волн в 20 АФ, найдено аномальное затухание магнонов пропорциональное пек и установлены пределы применимости развитой теории.

В разделе 1.5 содержится обзор результатов Главы 1, а в разделе 1.6 — выводы по главе.

В главе 2 изучается влияние далыюдействующего дипольного взаимодействия на низкоэнергетические свойства 2Б и ЗГ) ФМ Гейзенберга.

Раздел 2.1, в котором рассмотрен ЗО ФМ на простой кубической решетке при Т <С Тс. начинается с введения (2.1.1), где подробно обсуждаются имеющиеся в этой области проблемы инфракрасных расходимостей и дан план раздела 2.1. В 2.1.2 получены выражения для гамильтониана после перехода к бозе-операторам при помощи преобразования Дайсона-Малеева и для функций Грина. В разделе 2.1.3 изучена перенормировка энергии основного состояния и показано, что первые поправки по 1/5 к ней являются анизотропными. Они делают направления вдоль ребер куба направлениями легкого намагничивания. В 2.1.4 обсуждается перенормировка вещественной части спектра магнонов ек и показывается, что в спектре появляется щель. Продемонстрирована связь щели и анизотропных поправок к энергии основного состояния при Т = 0. В разделе 2.1.5 вычисляется затухание спиновых волн и демонстрируется, что даже при произвольно малых дипольных силах часть длинноволновых спиновых волн с си < Г плохо определена. В разделе 2.1.6 показывается, что причиной столь сильного затухания является дальнодействующий характер дипольных сил. Обсуждаются диаграммы старших порядков по 1/5 и устанавливается, что вклад от них мал при малых дипольных силах. Демонстрируется, что полученное аномальное затухание можно наблюдать как в квантовых, так и в классических ФМ, и обсуждается предел классических спинов. Указываются наиболее подходящие вещества для экспериментальной проверки полученных результатов. В 2.1.7 содержатся обзор результатов и выводы по разделу 2.1.

Раздел 2.2 содержит рассмотрение 2Б ФМ на простой квадратной решетке при Т <С Тс аналогичное проведенному в разделе 2.1 для 313 ФМ. Раздел 2.2.1 — введение с обзором имеющихся результатов в этой области. Раздел 2 2 2 — обсуждение свойств гамильтониана после преобразования Дайсона-Малеева. Раздел 2.2.3 — обсуждение перенормировки энергии основного состояния и вещественной части спектра при 5 ~ 1; демонстрация того, что квантовые и температурные флуктуации приводят к щели в спектре спиновых волн. В разделе 2.2.4 вычислено затухание магнонов при 5 ~ 1. Показано, что отношение Гк/ск не превышает Т/Тс <С 1. В разделе 2.2.5 рассмотрен случай больших спинов, в котором температура может превышать ширину спин-волновой зоны, оставаясь много меньше Тс- Получены выражения для щели и затухания магнонов. Показано, что отношение Гк/ск не превышает численно малой величины 0.16. Рассмотрен предел классических спинов. В разделе 2.2.6 продемонстрирована связь щели и анизотропных поправок к энергии основного состояния при Т = 0. Оценен вклад от диаграмм старших порядков по 1/5. Вычислена намагниченность и спиновые функции Грина. Обсуждается влияние анизотропии типа „легкая плоскость". В 2.2.7 содержится резюме раздела 2.2.

В разделе 2.3 содержатся выводы по главе 2.

В главе 3 рассмотрены свойства ряда магнетиков близких к ККТ по магнитному полю.

В разделе 3.1 изучена бозе-конденсация магнонов в магнетиках с основным ферромагнитным взаимодействием. Показано, что ФМ с анизотропией типа „легкая плоскость" в поперечном поле и квази-низкоразмерные антиферромагнетики, содержащие ФМ плоскости или цепочки, эквивалентны вблизи ККТ разреженному бозе-газу. Установлено, что взаимодействие между магнонами в таких системах невелико. Это позволяет аналитически найти кроссовер в зависимости критической температуры от поля.

В разделе 3.2 изучена доменная фаза в 2Б ФМ с дипольными силами и анизотропией типа „легкая ось" в сильном магнитном поле, меньшем поля насыщения Нс.

Показано, что классический спектр магнонов при Н = Нс обращается в нуль при конечном малом значении импульса ксо, что приводит при Н < Нс к „конденсации" магнонов в состояния, характеризуемые этим импульсом и его гармониками. Показано, что первые поправки по 1/5 к спектру фиксируют направление ксо при Н > Нс. Найдено изменение профиля и периода доменной структуры при уменьшении поля. Обсуждается спектр спиновых волн в доменной фазе.

В разделе 3.3 рассматривается 2D АФ Гейзенберга со спином 1/2 на квадратной решетке при Т = 0 в сильном магнитном поле. Предложен новый метод вычисления спектра в первом порядке по малому параметру (Нс — Н)/Нс, основанный на эквивалентности 2D АФ при Н ~ Нс разреженному 2D бозе-газу. Результаты не подтвердили обнаруженную ранее при помощи 1/5-разложения неустойчивость магнонов по отношению к спонтанному распаду при II > 0.9Нс.

В разделе 3.4 содержатся выводы по главе 3.

В главе 4 изучен 2D АФ Гейзенберга на квадратной решетке при Т = 0 в нулевом и слабом магнитном поле. В нулевом поле вычислен спектр спиновых волн в третьем порядке по 1/5. Показано, что в противоположность многим другим величинам, характеризующим систему, квантовая перенормировка спектра в окрестности точки к = (7г, 0) для 5 ~ 1 описывается медленно сходящимся 1/5-рядом. В случае 5 = 1/2 поправки третьего порядка улучшают согласие с недавними экспериментальными и численными работами. Показано, что в слабом магнитном поле первые поправки по 1/5 в выражении для киральных компонент спиновой функции Грина велики. Таким образом, возникает сильная неренормировка киральных флуктуаций, для изучения которой необходим анализ всего 1/5-ряда. Обсуждается возможность изучения этой перенормировки в экспериментах по рассеянию поляризованных нейтронов. Результаты обобщены также на случай 3D АФ в слабом поле.

В Приложения A-N вынесены подробности вычислений.

4.4 Выводы

Итак, мы вычислили спектр спиновых волн в 2D АФ на квадратной решетке в нулевом магнитном поле в третьем порядке но 1/5. В первых двух порядках по 1/5 мы воспроизвели результаты предыдущих работ [28, 29], согласно которым поправки к спектру второго порядка много меньше поправок первого во всей ЗБ для всех 5 (см. Таблицу 4.1). Наши вычисления поправок третьего порядка показали, что они много меньше поправок второго порядка во всей ЗБ за исключением окрестности точки к = (7Г, 0) в случае 5 ~ 1. В частности их модули почти равны в к = (7Г, 0) для 5 — 1/2 (см. Таблицу 4.1 и Рис. 4.1). Таким образом, установлено, что в противоположность другим величинам квантовая перенормировка спектра в окрестности точки к = (тг, 0) для 5 ~ 1 описывается медленно сходящимся 1/¿¡"-рядом. Мы показали, что в случае 5 = 1/2 поправки третьего порядка улучшают согласие с недавними экспериментальными и численными работами.

Рассмотрен 2D АФ в слабом магнитном поле. Показано, что в поле возникают взаимодействия, содержащие нечетное число частиц. Трехчастичное взаимодействие приводит к петлевой диаграмме, которая в первом порядке по 1/5 дает большие вклады в выражения для собственно энергетических частей. Показано, что в выражениях для спектра спиновых волн и спиновых функций Грина (ФГ) Ххх и Хуу (ось У направлена вдоль поля, а ось 2 — вдоль намагниченности подрешеток) большие вклады сокращаются, и сильной перенормировки этих величин не происходит. Однако в случае киральной спиновой ФГ Хгх, возникающей в магнитном поле, сокращение оказывается неполным. Показано, что первая поправка по 1/5 к этой величине расходится при Н —»■ 0. Таким образом, установлено, что происходит сильная перенормировка киральных флуктуаций, и для ее изучения необходим анализ всего 1/5-ряда. Эта перенормировка может быть изучена в экспериментах по рассеянию поляризованных нейтронов.

3.3.4 Заключение

Итак, мы рассмотрели 2D АФ Гейзенберга со спином 1/2 на квадратной решетке при Т = 0 в сильном магнитном поле Н ~ Нс. Мы предложили метод теории возмущений по малому параметру ¡л/Нс = (Нс — Н) /Нс для нахождения спектра магнонов с импульсами не слишком близкими к вектору антиферромагнетизма ко = (тг,л). Показано, что в перенормировку спектра в главном порядке по малому параметру дает вклад только нормальная собственно энергетическая часть £(/с), для которой имеем две диаграммы, показанные на Рис. 3.9(b). Сумма этих диаграмм пропорциональна плотности частиц, которая выражается через однородную намагниченность, исследовавшуюся ранее численно и при помощи 1/5'-разложения (см. (3.58) и (3.59)). Эти диаграммы порядка ¡л. Диаграммы старших порядков, некоторые из которых показаны на Рис. 3.9(c) и 3.9(d), оказываются порядка 0(\i\J¡i/Нс) при |k — к0| ~ 1 за исключением окрестности к = (7г, 0). В этой области диаграммы, самые простые из которых изображены на Рис. 3.9(d), дают вклад в Re£(к) в главном порядке. Показано, что магноны — хорошо определенные квазичастицы при Н > 0.9Нс (см. Рис. 3.11 и 3.12). Обнаружен локальный минимум в вещественной части спектра в точке к = (тт, 0), сопровождающийся уменьшением затухания (см. Рис. 3.13).

Метод вычисления спектра коротковолновых квазичастиц, предложенный в этом разделе, может быть использован при рассмотрении других 2D бозе-газов частиц или квазичастиц. В последнем случае для нахождения спектра в главном порядке необходимо каким-то образом (приближенно аналитически, как это сделано выше, или численно) узнать плотность частиц п в (3.58).

1. Manousakis E. The spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet on a square lattice and its application to the cuprous oxides // Rev. Mod. Phys. — 1991. — Vol. G3, no. 1. — P. 1.

2. Christensen N. B., Ronnow H. M., McMorrow D. F. et a/.; Quantum dynamics and entanglement of spins on a square lattice // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. — 2007.— Vol. 104. P. 15264.

3. Hoglund K. H., Sandvik A. W. Susceptibility of the 2D Spin-1/2 Heisenberg Antiferromagnet with an Impurity // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91. — P. 077204.

4. Hoglund K. H., Sandvik A. W. Impurity effects at finite temperature in the two-dimensional S = 1/2 Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. B.— 2004.— Vol. 70. P. 024406.

5. Sushkov O. P. Spin-1/2 magnetic impurity in a two-dimensional magnetic system close to a quantum critical point // Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 62. — P. 12135.

6. Sushkov O. P. Long-range dynamics related to magnetic impurities in the two-dimensional Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 68. — P. 094426.

7. Sachdev S., Vojta M. Quantum impurity in an antiferromagnet: Nonlinear sigma model theory // Phys. Rev. B. — 2003. Vol. 68. — P. 064419.

8. Vojta M., Buragohain C., Sachdev S. Quantum impurity dynamics in two-dimensional antiferromagnets and superconductors // Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 61. — P. 15152.

9. Nagaosa N., Ilatsugai Y., Imada M. Spin Wave Theory of the Two-Dimensional Heisenberg Antiferromagnet Coupled with Localized Holes //J. Phys. Soc. Jpn.— 1989. Vol. 58. - P. 978.

10. Igarashi J., Murayama K., Fulde P. Magnetic impurity coupled to a strongly correlated electron system in two dimensions // Phys. Rev. B.— 1995.-- Vol. 52.— P. 15966.

11. Murayama K., Igarashi J. A Multiple Scattering Theory for a Magnetic Impurity Coupled to Quantum Antiferromagnets in Quasi-Two Dimensions //J. Phys. Soc. Jpn. 1996. - Vol. 66. - P. 1157.

12. Clarke D. G., Giamarchi T., Shrairnan B. I. Curie and non-Curie behavior of impurity spins in quantum antiferromagnets // Phys. Rev. B. — 1993. — Vol. 48. — P. 7070.

13. Oitmaa J., Betts D. D., Ay din M. Two-dimensional Heisenberg antiferromagnet with perturbing spin defects // Phys. Rev. B. — 1995. — Vol. 51. — P. 2896.

14. Kotov V. N., Oitmaa J., Sushkov O. Local magnetic impurities in the two-dimensional quantum Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. B.— 1998. — Vol. 58.— P. 8500.

15. Sachdev S. Quantum Phase Transitions. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2001. 470 pp.

16. Aharony A., Birgeneau R. J., Coniglio A. et al.; Magnetic phase diagram and magnetic pairing in doped La2Cu04 // Phys. Rev. Lett. — 1988.— Vol. 60, no. 13.— Pp. 1330-1333.

17. Aristov D. N., Maleyev S. V. Quantum frustrations in quasi-2D antiferromagnets // Z. Phys. B. 1990. - Vol. 81. - P. 433.

18. Chernyshov A. L., Chen Y. C., Neto A. H. C. Diluted quantum antiferromagnets: Spin excitations and long-range order // Phys. Rev. B. — 2002. — Vol. 65. — P. 104407.

19. Wan C. C., Harris A. B., Kumar D. Heisenberg antiferromagnet with a low concentration of static defects // Phys. Rev. B. 1993. — Vol. 48. — P. 1036.

20. Mucciolo Е. R., Castro Neto A. H., Chamon C. Excitations and quantum fluctuations in site-diluted two-dimensional antiferromagnets // Rhys. Rev. B. — 2004. — Vol. 69, no. 21. — P. 214424.

21. Metlitski M. A., Sachdev S. Impurity spin textures across conventional and decon-fined quantum critical points of two-dimensional antiferromagnets // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 76, no. 6. P. 064423.

22. Шендер E. Ф. Антиферромагнитные гранаты с флуктуационно взаимодействующими подрешетками // ЖЭТФ. — 1982. — Т. 83, № 7. — С. 326.

23. Иванов М. А. Свойства магнитного примесного атома, расположенного между магнитными подрешетками антиферромагнетика // ФТТ. — 1972. — Т. 14, № 2. — С. 562.

24. Chakravarty S., Halperin В. /., Nelson D. R. Two-dimensional quantum Heisenberg antiferromagnet at low temperatures // Phys. Rev. В. — 1989,— Vol. 39, no. 4.— P. 2344.

25. Kim Y. J., Aharony A., Birgeneau R. J. et al.\ Ordering due to Quantum Fluctuations in Sr2Cu304Cl2 // Phys. Rev. Lett. 1999. — Vol. 83, no. 4. - P. 852.

26. R0nnow H. M., McMorrow D. F., Coldea R. et al.; Spin Dynamics of the 2D Spin-1/2 Quantum Antiferromagnet Copper Deuteroformate Tetradeuterate (CFTD) // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - P. 037202.

27. Lumsden M. D., Nagler S. E., Sales В. C. et al.-, Magnetic excitation spectrum of the square lattice S = 1/2 Heisenberg antiferromagnet K2V308 // Phys. Rev. B. -2006. — Vol. 74, no. 21. — P. 214424.

28. Igarashi J. 1/S expansion for thermodynamic quantities in a two-dimensional Heisenberg antiferromagnet at zero temperature // Phys. Rev. B. — 1992. — Vol. 46, no. 17. P. 10763.

29. Igarashi J., Nagao Т. 1 /¿"-expansion study of spin waves in a two-dimensional Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 72. — P. 014403.

30. Hsu Т. С. Spin waves in the flux-phase description of the S = 1/2 Heisenberg anti-ferromagnet // Phys. Rev. B. — 1990. — Vol. 41. — P. 11379.

31. Zheng W., Oitmaa J., Hamer C. J. Series studies of the spin-1/2 Heisenberg anti-ferromagnet at T = 0: Magnon dispersion and structure factors // Phys. Rev. B. —2005. — Vol. 71. P. 184440.

32. Sandvik A. W., Singh R. R. P. High-Energy Magnon Dispersion and Multimagnon Continuum in the Two-Dimensional Heisenberg Antiferromagnet // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 528.

33. Zhitornirsky M. E., Chernyshev A. L. Instability of Antiferromagnetic Magnons in Strong Fields // Phys. Rev. Lett. — 1999. Vol. 82. - P. 4536.

34. Stone M. В., Zaliznyak I. A., Hong T. et air, Quasiparticle breakdown in a quantum spin liquid // Nature. — 2006. Vol. 440, no. 7081. — Pp. 187-190.

35. Kolezhuk A., Sachdev S. Magnon Decay in Gapped Quantum Spin Systems // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 96, no. 8. - P. 087203.

36. Zhitornirsky M. E. Decay of quasiparticles in quantum spin liquids // Phys. Rev. B. —2006. Vol. 73, no. 10. - P. 100404.

37. Masuda Т., Zheludev A., Manaka H. et al.\ Dynamics of Composite Haldane Spin Chains in IPA CuCl3 // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 96, no. 4. - P. 047210.

38. Masuda Т., Kitaoka S., Takamizawa S. et al.\ Instability of magnons in two-dimensional antiferromagnets at high magnetic fields // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 81, no. 10.-P. 100402.

39. Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — Москва: Добросвет, 1998. — 514 с.

40. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика, часть 2. — Москва: Наука, 1978. — 448 с.

41. Ахиезер А. И., Баръяхтпар В. Г., Пелегпминский С. В. Спиновые волны.— Москва: Физматлит, 1967. — 368 с.

42. ScMomann Е. Ferromagnetic Relaxation Caused by Interaction with Thermally Excited Magnons // Phys. Rev. — 1961. — Vol. 121, no. 5. —Pp. 1312-1319.

43. Sparks M., Loudon R., Kittel C. Ferromagnetic Relaxation. I. Theory of the Relaxation of the Uniform Precession and the Degenerate Spectrum in Insulators at Low Temperatures // Phys. Rev. — 1961. Vol. 122, no. 3. - Pp. 791-803.

44. DdBell K., Maclsaac А. В., Whitehead J. P. Dipolar effects in magnetic thin films and quasi-two-dimensional systems // Rev. Mod. Phys. — 2000. — Vol. 72. — P. 225.

45. Jensen P. J., Bennemann К. H. Magnetic structure of films: Dependence on anisotropy and atomic morphology // Surf. Sci. Rep. — 2007. — Vol. 61. — P. 129.

46. Mermin N. D., Wagner H. Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models // Phys. Rev. Lett. — 1966. — Vol. 17. — P. 1133.

47. Giamarchi Т., RHegg C., Tchernyshyov O. Bose-Einstein condensation in magnetic insulators // Nature Physics. — 2008. Vol. 4. — P. 198.

48. Syromyatnikov A. V., Maleyev S. V. Frustrated two-level impurities in two-dimensional antiferromagnet // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 72. — P. 174419. — 17 pages].

49. Syromyatnikov A. V., Maleyev S. V. Frustrated impurity spins in ordered two-dimensional quantum antiferromagnets // Phys. Rev. B. — 2006. — Vol. 74. — P. 184433.- 14 pages].

50. Syromyatnikov A. V. Renormalization of the spin-wave spectrum in three-dimensional ferromagnets with dipolar interaction // Phys. Rev. B.— 2006.— Vol. 74.— P. 014435.— 9 pages].— См. также исправления Phys. Rev. В.— 2010.— Vol. 81.— P. 139901(E).

51. Syromyatnikov А. V. Anomalously large damping of long-wavelength quasiparticles caused by long-range interaction // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 82. — P. 024432. — 9 pages].

52. Syromyatnikov A. V. Spin-wave interaction in two-dimensional ferromagnets with dipolar forces // Phys. Rev. В. — 2008. — Vol. 77,— P. 144433.- 15 pages].- См. также исправления Phys. Rev. В.— 2010,— Vol. 82.— P. 099901(E).

53. Syromyatnikov A. V., Maleyev S. V. Nuclear-magnetic interference in the inelastic scattering of polarized neutrons in a dipolar ferromagnet // Physica В. — 2001.— Vol. 297. Pp. 82-86.

54. Syromyatnikov A. V. Bose-Einstein condensation of magnons in magnets with predominant ferromagnetic interactions // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 75. — P. 134421.- 7 pages].

55. Syromyatnikov A. V. Collective excitations in a two-dimensional antiferromagnet in a strong magnetic field // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 79. — P. 054413. — 6 pages],

56. Syromyatnikov A. V. Instability of the collinear phase in two-dimensional ferromagnet in strong in-plane magnetic field // J. Phys.: Condens. Matter. — 2009. — Vol. 21. — P. 216009,- 10 pages],

57. Syromyatnikov A. V., Maleyev S. V. Spin-wave interaction in two- and three-dimentioanl antiferromagnets in a weak magnetic field // Phys. Rev. B.— 2001.— Vol. 65. P. 012401. - 4 pages],

58. Syromyatnikov A. V. Spectrum of short-wavelength magnons in two-dimensional quantum Heisenberg antiferromagnet on a square lattice: third order expansion in 1/S // J. Phys.: Condens. Matter. 2010. - Vol. 22. - P. 216003. - 7 pages],

59. Leggett A. J., Chakravarty S., Dorsey A. T. et al.; Dynamics of the dissipative two-state system // Rev. Mod. Phys. — 1987. — Vol. 59, no. 1. — Pp. 1-85.

60. Weiss U. Quantum Dissipative Systems. — Singapore: World Scientific, 1999. — 461 pp.

61. Малеев С. В. О взаимодействии фононов с вырожденными центрами (спин, псевдоспин) // ЖЭТФ. 1980. - Т. 79, № 11. — С. 1995.

62. Abrikosov A. A. Electron scattering on magnetic impurities in metals and anomalous resistivity effects // Physica (N. Y.). — 1965. — Vol. 2, no. 1. — P. 5.

63. Kokshenev V. B. Thermal conductivity of solid hydrogen at low ortho-hydrogen concentrations // J. Low Temp. Phys. — 1975. — Vol. 20. — P. 373.

64. Малеев С. В. О взаимодействии двухуровневых систем с фононами. Применение к теории стекол. // ЖЭТФ. 1983. - Т. 84, № 1. - С. 260.

65. Maleyev S. V. Relaxation of degenerate crystal-field excitations in cubic metals // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 50. — P. 302.

66. Изюмов Ю. А., Медведев M. В. Теория магнито упорядоченных кристаллов с примесями. — Москва: Наука, 1970. — 272 с.

67. Zawadovski A., Fazekas P. Dynamics of impurity spin above the Kondo temperature HZ. Physik. 1969. - Vol. 226. - P. 235.

68. Larsen U. A note on the pseudo-fermion representation of a spin-1/2 or 1 // Z. Physik. 1972. - Vol. 256. - P. 65.

69. Малеев С. В. Аналитическое продолжение температурных диаграмм и условия унитарности при конечных температурах // ТМФ. — 1970. — Т. 4, № 1. — С. 86.

70. С.Л.Гинзбург. Двухчастичная функция Грина электрона в бинарном сплаве металлов // ФТТ. 1974. - Т. 16, № 1. - С. 9.

71. Pirc R., Dick В. G. Exact isolated and isothermal susceptibilities for an interacting dipole-lattice system // Phys. Rev. B. — 1974. — Vol. 9, no. 6. — Pp. 2701-2710.

72. Lovesey S. W. Spin-wave theory of impurity states in a Heisenberg antiferromagnet I. Positive impurity-host exchange coupling //J. Phys. С (Proc. Phys. Soc.). — 1968. — Vol. 1. — P. 102.

73. Lovesey S. W. Spin-wave theory of impurity states in a Heisenberg antiferromagnet II. Negative impurity-host exchange coupling //J. Phys. С (Proc. Phys. Soc.). — 1968. —Vol. 1. — P. 118.

74. Китптпелъ Ч. Квантовая теория твердых тел. — Москва: Наука, 1967. — 492 с.

75. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Москва: Наука, 1992. 664 с.

76. Toperverg В. P., Yashenkin A. G. Transverse and longitudinal susceptibilities of a Heisenberg ferromagnet with dipolar forces below Tq // Phys. Rev. B. — 1993. — Vol. 48. — P. 16505.

77. Luzyanin I. D., Yashenkin A. G., Maleyev S. V. et at.; Longitudinal spin fluctuations in the nearly isotropic ferromagnet CdCr2Se4: Scaling behavior outside the critical region // Phys. Rev. B. 1999. — Vol. 60. - P. R734.

78. Rahman T. S., Mills D. L. Spin-wave renormalization in exchange- and dipolar-coupled ferromagnets: Bulk spin waves and the Damon-Eshbach surface spin wave // Phys. Rev. B. 1979. - Vol. 20. — P. 1173.

79. Petitgrand D., Maleyev S. V., Bourges P., Ivanov A. 5.; Pseudodipolar interaction and antiferromagnetism in R2Cu04 compounds (R = Pr, Nd, Sm, and Eu) // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 59, no. 2. - P. 1079.

80. Tessman J. R. Magnetic Anisotropy at 0° К // Phys. Rev.— 1954,— Vol. 96.— P. 1192.

81. Van Vleck J. H. On the Anisotropy of Cubic Ferromagnetic Crystals // Phys. Rev. — 1937. Vol. 52. - P. 1178.

82. Keffer P., Oguchi T. Ferromagnetic Anisotropy in Cubic Crystals // Phys. Rev.— 1960. Vol. 117. - P. 718.

83. Keffer F. Handbook of Physics. — Berlin: Springer, 1966. Vol. XVIII/2.

84. Питпаевский Л. П. О свойствах спектра элементарных возбуждений вблизи порога распада возбуждений // ЖЭТФ. — 1959. — Т. 36. — С. 1168.

85. Smith А. «Л, Cowley R. A., Woods A. D. В. et air, Roton-roton interactions and excitations in superfluid helium at large wavevectors //J- Phys. C. — 1977. — Vol. 10. — P. 543.

86. Fak В., Bossy ,/. Temperature Dependence of S(Q,E) in Liquid 4He Beyond the Roton // J. Low Temp. Phys. — 1998. — Vol. 112. — P. 1.

87. Кащеев В. H., Кривоглаз М. А. Влияние спин-спинового и спин-фоноппого взаимодействия в ферромагнетике па энергетическое распределение нейтронов // ФТТ. 1961. - Т. 3, № 5. - С. 1541.

88. Вакс В. Г., Ларкин А. И., Пикин С. А. Спиновые волны и корреляционные функции в ферромагнетике // ЖЭТФ. 1967. — Т. 53, № 3. - С. 1089.

89. Harris А. В. Energy Width of Spin Waves in the Heisenberg Ferromagnet // Phys. Rev. 1968. - Vol. 175, no. 2. - Pp. 674-679.

90. Halperin В. I., Hohenberg P. C. Hydrodynamic Theory of Spin Waves // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 188, no. 2. — Pp. 898-918.

91. Моносов Я. А. Нелинейный ферромагнитный резонанс. — Москва: Наука, 1971.- 376 с.

92. Cohen М. Н., Keffer F. Dipolar Sums in the Primitive Cubic Lattices // Phys. Rev. — 1955.-Vol. 99.-P. 1128.

93. Dyson F. General Theory of Spin-Wave Interactions // Phys. Rev. — 1956. — Vol. 102,- P. 1217.

94. Dyson F. Thermodynamic Behavior of an Ideal Ferromagnet // Phys. Rev. — 1956. — Vol. 102. P. 1230.

95. Малеев С. В. Рассеяние медленных нейтронов в ферромагнетиках // ЖЭТФ.— 1957.-Т. 33.-С. 1010.

96. Чубуков А. В., Каганов М. И. Взаимодействующие магпоны // УФН.— 1987.— Т. 153, № 4. С. 537.

97. Harris А. В., Kumar D., Halperin В. I., Hohenberg Р. С.; Dynamics of an Antifer-romagnet at Low Temperatures: Spin-Wave Damping and Hydrodynamics // Phys. Rev. B. — 1971. Vol. 3. - P. 961.

98. Loly P. D. Spin wave theory of the Heisenberg model for large spin and the classical limit // Ann. Phys. (N. Y.J. 1970. - Vol. 56. - P. 40.

99. Bohn H. G., Zinn W., Dorner В., Kollmar A.\ Neutron scattering study of spin waves and exchange interactions in ferromagnetic EuS // Phys. Rev. В. — 1980. — Vol. 22, no. 11. Pp. 5447-5452.

100. Everett G. E., Ketcham R. A. Temperature dependence of the first and the second order magnetocrystalline anisotropy constants in EuS //J. Phys. (ParisJ. — 1971. — Vol. 32. P. Cl-545.

101. Baltzer P. K., Wojtowicz P. J., Robbins M., Lopatin E.\ Exchange Interactions in Ferromagnetic Chromium Chalcogenide Spinels // Phys. Rev. — 1966. — Vol. 151, no. 2. Pp. 367-377.

102. Berger S. В., Pinch H. L. Ferromagnetic Resonance of Single Crystals of CdCr2S4 and CdCr2Se4 // J. Appl. Phys. 1967. - Vol. 38, no. 3. - P. 949.

103. Harris A. B. Effect of Dipolar Interactions on the Spin-Wave Spectrum of a Cubic Antiferromagnet 11 Phys. Rev. 1966. - Vol. 143. - P. 353.

104. Малеев С. В. Дипольные силы в двумерных и слоистых ферромагнетиках // ЖЭТФ. 1976. - Т. 70. - С. 2374.

105. Kashuba A., Abanov A., Pokrovsky V. L. Spin Diffusion in 2D XY Ferromagnet with Dipolar Interaction // Phys. Rev. Lett. 1996. — Vol. 77. — P. 2554.

106. Abanov A., Kashuba A., Pokrovsky V. L. Long-wavelength anomalous diffusion mode in the two-dimensional XY dipole magnet // Phys. Rev. B.— 1997.— Vol. 56.— P. 3181.

107. Dantziger M., Glinsmann B., Scheffler S. et al.\ In-plane dipole coupling anisotropy of a square ferromagnetic Heisenberg monolayer // Phys. Rev. B. — 2002. — Vol. 66. — P. 094416.

108. Henley C. L. Ordering due to disorder in a frustrated vector antiferromagnet // Phys. Rev. Lett. 1989. - Vol. 62. - P. 2056.

109. Villain J., Bidaux R., Carton J. P., Conte R.; Order as an effect of disorder // J. Phys. (Paris). 1980. - Vol. 41. - P. 1263.

110. Prakash S., Henley C. L. Ordering due to disorder in dipolar magnets on two-dimensional lattices // Phys. Rev. B. — 1990. — Vol. 42. — P. 6574.

111. DetBell K., Maclsaac A. B., Booth I. N., Whitehead J. P.; Dipolar-induced planar anisotropy in ultrathin magnetic films // Phys. Rev. B. — 1997. — Vol. 55. — P. 15108.

112. Carbognani A., Rastelli E., Regina S., Tassi A.-, Dipolar interaction and long-range order in the square planar rotator model // Phys. Rev. B.— 2000.— Vol. 62.— P. 1015.

113. Grechnev A., Irkhin V. Y., Katsnelson M. I., Eriksson O.; Thermodynamics of a two-dimensional Heisenberg ferromagnet with dipolar interaction // Phys. Rev. B. — 2005. Vol. 71. - P. 024427.

114. Pich C., Schwabl F. Order of two-dimensional isotropic dipolar antiferromagnets // Phys. Rev. B. 1993. - Vol. 47. - P. 7957.

115. Pethick C. J., Smith H. Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002.

116. Jaime M., Correa V. F., Harrison N. et al.] Magnetic-Field-Induced Condensation of Triplons in Han Purple Pigment BaCuSi206 // Phys. Rev. Lett. — 2004. Vol. 93. -P. 087203.

117. Nohadani 0., Wessel S., Normand B., Haas S.] Universal scaling at field-induced magnetic phase transitions // Phys. Rev. B. — 2004. — Vol. 69. — P. 220402(R).

118. Nikuni T., Oshikawa M., Oosawa A., Tanaka H.] Bose-Einstein Condensation of Dilute Magnons in TlCuCl3 // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 84. — P. 5868.

119. Oosawa A., Ishii M., Tanaka H. Field-induced three-dimensional magnetic ordering in the spin-gap system TICUCI3 //J. Phys.: Condens. Matter. — 1999. — Vol. 11,— P. 265.

120. Stone M. B., Broholm C., Reich D. H. et al] Quantum Criticality in an Organic Magnet // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 96. - P. 257203.

121. Cavadini N., Ruegg C., Furrer A. et al.] Triplet excitations in low-Hc spin-gap systems KCUCI3 and TICUCI3: An inelastic neutron scattering study // Phys. Rev. B. — 2002. — Vol. 65. P. 132415.

122. Oosawa A., Takarnasu T., Tatani K. et al.] Field-induced magnetic ordering in the quantum spin system KCuCl3 11 Phys. Rev. B. — 2002. — Vol. 66. — P. 104405.

123. Rabuffo I., Mercaldo M. T., Cesare L. D., DAuria A. C.\ Field-induced quantum criticality of systems with ferromagnetically coupled structural spin units // Phys. Lett. A. 2006. - Vol. 356. - P. 174.

124. Giamarchi T., Tsvelik A. M. Coupled ladders in a magnetic field 11 Phys. Rev. B.— 1999. — Vol. 59. P. 11398.

125. Radu T., Wilhelm H., Yushankhai V. et al] Bose-Einstein Condensation of Magnons in Cs2CuCl4 // Phys. Rev. Lett. 2005, — Vol. 95. — P. 127202.

126. Coldea R., Tennant D. A., Habicht K. et al.\ Direct Measurement of the Spin Hamil-tonian and Observation of Condensation of Magnons in the 2D Frustrated Quantum Magnet Cs2CuCl4 // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88. P. 137203.

127. Matsubara M., Matsuda H. A Lattice Model of Liquid Helium, I // Prog. Theor. Phys. — 1956. Vol. 16. - P. 569.

128. Батпыев Э. Г., Брагинский Л. С. Антиферромагпетик в сильном магнитном поле: аналогия с бозе-газом // ЖЭТФ. — 1984. — Т. 87. — С. 1361.

129. Батпыев Э. Г. Антиферромагнетик с произвольным спином в сильном магнитном поле // ЖЭТФ. 1985. - Т. 89, X" 7. - С. 308.

130. Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. — М.: Атомиздат, 1976. — 256 с.

131. Беляев С. Т. Применение методов квантовой теории поля к системе Бозе-час-тиц // ЖЭТФ. 1958. - Т. 34. - С. 417.

132. Беляев С. Т. Энергетический спектр неидеального бозе-газа // ЖЭТФ. — 1958. — Т. 34. С. 433.

133. Непомнящий Ю. А., Непомнящий А. А. К теории спектра бозе-системы с конденсатом в области малых импульсов // Письма в ЖЭТФ.— 1976.— Т. 21.— С. 3.

134. Непомнящий Ю. А., Непомнящий А. А. Инфракрасная расходимость в полевой теории бозе-системы с конденсатом // ЖЭТФ. — 1978. — Т. 75, № 9. — С. 976.

135. D'Auria А. С., Cesare L. D., Mercaldo М. Т., Rabvffo /.; Quantum critical properties of a spin- Heisenberg ferromagnet with easy-plane anisotropy in a transverse field // Phys. Lett. A. 2003. — Vol. 318. - P. 156.

136. DAuria A. C., Cesare L. D., Mercaldo M. Т., Rabuffo /.; Quantum criticality of a planar Heisenberg ferromagnet in a transverse magnetic field // Physica A. — 2005. — Vol. 351.-P. 294.

137. Gerber P. B. Quantum effects in the critical properties of the X-Y model in a transverse magnetic field: crossover scaling near zero temperature // J. Phys. C: Solid State Phys. 1978. - Vol. 11. - P. 5005.

138. Fang C. M., Tolsma P. R., van Brüggen C. F. et al.\ Electronic structure and magnetic properties of KCrSe4 // J. Phys.: Condens. Matter. — 1996. — Vol. 8. — P. 4381.

139. Kopinga K., Tinus A. M. C., de Jonge W. J. M. Magnetic behavior of the ferromagnetic quantum chain systems (Cßlln NH3)CuCl3 (CHAC) and (C6II„NH3)CuBr3 (CHAB) // Phys. Rev. B. 1982. - Vol. 25. - P. 4685.

140. Steiner M., Kakurai K., Kjems J. K. Experimental study of the spindynamics in the 1-D-ferromagnet with planar anisotropy, CsNiF3, in an external magnetic field // Z. Phys. B. 1983. - Vol. 53. - P. 117.

141. Pappas D. P., Kämper K.-P., Hopster H. Reversible transition between perpendicular and in-plane magnetization in ultrathin films // Phys. Rev. Lett. — 1990. — Vol. 64. — P. 3179.

142. Allenspach R., Stampanoni M., Bischof A. Magnetic domains in thin epitaxial Co/Au(lll) films // Phys. Rev. Lett. 1990. —Vol. 65.- P. 3344.

143. Yafet Y., Gyorgy E. M. Ferromagnetic strip domains in an atomic monolayer // Phys. Rev. B. 1988. - Vol. 38. - P. 9145.

144. Erickson R. P., Mills D. L. Magnetic instabilities in ultrathin ferromagnets // Phys. Rev. B. 1992. - Vol. 46. - P. 861.

145. Gubbiotti G., Carlotti G., Pini M. G. et air, Absence of stable collinear configurations in Ni(OOl) ultrathin films: Canted domain structure as ground state // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65. - P. 214420.

146. Чубуков А. В. Низкотемпературные свойства гейзенберговских ферромагнетиков с произвольным спином и формализм Голынтейна-Примакова // ЖЭТФ. — 1985.-Т. 89.- С. 1316.

147. Maleyev S. V. Cubic magnets with Dzyaloshinskii-Moriya interaction at low temperature // Phys. Rev. B. 2006. - Vol. 73. - P. 174402.

148. Syljuäsen O. P. Numerical evidence for unstable magnons at high fields in the Heisenberg antiferromagnet on the square lattice // Phys. Rev. B.— 2008.— Vol. 78, no. 18.- P. 180413(R).

149. Lüscher A., Läuchli A. M. Exact diagonalization study of the antiferroinagnetic spin-1/2 Heisenberg model on the square lattice in a magnetic field // Phys. Rev. B.— 2009.-Vol. 79, no. 19. P. 195102.

150. Woodward F. M., Albrecht A. S., Wynn С. M. et al.\ Two-dimensional S — 1/2 Heisenberg antiferromagnets: Synthesis, structure, and magnetic properties // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65, no. 14. - P. 144412.

151. Lancaster Т., Blundell S. J., Brooks M. L. et al.\ Magnetic order in the S = 1/2 two-dimensional molecular antiferromagnet copper pyrazine Perchlorate Cu(Pz)2(C104)2 // Phys. Rev. В. ~ 2007. Vol. 75. - P. 094421.

152. Coomer F. C., Bondah-Jagalu V., Grant K. J. et al.\ Neutron diffraction studies of nuclear and magnetic structures in the S = 1/2 square Heisenberg antiferromagnets (d6 5CAP)2CuX4 (X = Br and CI) // Phys. Rev. В. - 2007.- Vol. 75, no. 9,-P. 094424.

153. Schick M. Two-Dimensional System of Hard-Core Bosons // Phys. Rev. A. — 1971. — Vol. 3. P. 1067.

154. Zhitomirsky М. Е., Nikuni Т. Magnetization curve of a square-lattice Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. В. — 1998. —Vol. 57. — P. 5013.

155. Yang M. S., Mutter К. H. The two dimensional antiferromagnetic Heisenberg model in the presence of an external field // Z. Phys. B. — 1997. — Vol. 104. — P. 117.

156. Голосов Д. И., Чубуков А. В. О поведении антиферромагнетика во внешнем магнитном поле // ФТТ. 1988. — Т. 30, № 5. — С. 1542.

157. Starykh О. A., Chuhukov А. V., Abanov A. G. Flat spin-wave dispersion in a triangular antiferromagnet // Phys. Rev. B. — 2006. — Vol. 74, no. 18. — P. 180403.

158. Cherriyshev A. L., Zhitomirsky M. E. Magnon Decay in Noncollinear Quantum An-tiferromagnets // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 97. — P. 207202.

159. Zheng W., Fjaerestad J. O., Singh R. R. P. et al.\ Anomalous Excitation Spectra of Frustrated Quantum Antiferromagnets // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96, no. 5. — P. 057201.

160. Zheng W., Fjaerestad J. O., Singh R. R. P. et al.; Excitation spectra of the spin-1/2 triangular-lattice Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. B. — 2006. — Vol. 74, no. 22. — P. 224420.

161. Hamer C. J., Zheng W., Arndt P. Third-order spin-wave theory for the Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. B. — 1992. Vol. 46. - P. 6276.

162. Hamer C. JZheng W., Oitmaa J. Spin-wave stiffness of the Heisenberg antiferromagnet at zero temperature // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 50. — P. 6877.

163. Igarashi J., Watabe A. Quantum corrections to the spin-correlation function and the spin-stiffness constant in a two-dimensional Heisenberg antiferromagnet at zero temperature // Phys. Rev. В.- 1991. —Vol. 44, no. 10, —P. 5057.

164. Zheng W., Hamer C. J. Spin-wave theory and finite-size scaling for the Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. B. — 1993. Vol. 47. — P. 7961.

165. Kopietz P. Magnon damping in the two-dimensional quantum Heisenberg antiferromagnet at short wavelengths // Phys. Rev. B. — 1990. — Vol. 41. — P. 9228.

166. Costilla G. E., Chakravarty S. Spin-wave expansion of the staggered magnetization of a square-lattice Heisenberg antiferromagnet at T = 0 // Phys. Rev. В. — 1991.— Vol. 43. P. 13687.

167. Canali С. M., Girvin S. M., Wallin M. Spin-wave velocity renormalization in the two-dimensional Heisenberg antiferromagnet at zero temperature // Phys. Rev. B. — 1992, —Vol. 45.- P. 10131.

168. Maleyev S. V. Spin-Wave Interaction and Renormalization of Magnetic Anisotropy in 2D Antiferromagnets // Phys. Rev. Lett. 2000. — Vol. 85, no. 15. - P. 3281.

169. Chernyshev A. L., Zhitomirsky M. E. Hydrodynamic relation in a two-dimensional Heisenberg antiferromagnet in a field // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 79, no. 17. — P. 174402.

170. Kreisel A., Sauli F., Hasselmann N., Kopietz P.] Quantum Heisenberg antiferromagnets in a uniform magnetic field: Nonanalytic magnetic field dependence of the magnon spectrum // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 78, no. 3. — P. 035127.

171. Braune S., Maleyev S. V. Longitudinal spin fluctuations in quasi-2D antiferromagnets ¡¡Z. Phys. B. 1990. - Vol. 81. — P. 69.

172. Малеев С. В. Рассеяние поляризованных нейтронов в магнетиках // УФН.— 2002. Т. 172, № 6. — С. 617.