Аппроксимационные критерии и эквивалентность конечно-различных характеристик гладкости функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ5 ОД г \ ШОН 1993

Академш наук Украют Ордена Трудоеого Червокого Прапора 1нстктут математики

На правах рукопису

Шах Лариса Георгивна

Апроксинашяш критерп та еквхвалеетшсть ск1нченно-р1зшщевих характеристик гдадкост1

ФУНКЦ1Й

01.01.01- катематичниЯ акал!з

Автореферат дисерташ на здсбуття вченогс ступени кандидата ф1зико-матемгтичних наук

КИ1Е - 1993

Роботу виконаш у вдаш теори фунгаци Хнституту иатемашм АН Украши.

НауковиЯ кер1вник - доктор ф1зико-натематкчних наук. 1ЕВЧЖ 1.0.

Офтши олоненти - доктор ф1з,иш-математичних наук.

професор ТАМРА30В П. И. кандидат ф шшв -математичних наук дадекг ГАЛАН Д.М. Провша уставзва - Дшпропетровський дзржавниа ушверситет

Захист дисерташ ыдбудаться ■ 1993р.

о _. годит на засшнн1 спещалшшажн ради Д 016.50.01 прк 1нстктут1 хатекатюси АН Украши за адресов:

252601 Ки1ВЧ.ГСП.вул.Терещенк1вська.з

3 дасертащею можна ознаяокитись в б1блютеш 1нституту.

Вчения секретар ^-^¡а^л^^ спвшалхзовано! ради ^у] ГУСАК Д. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИК РОБОТИ.

Актуальнють теми.ТеоР1я вкладення фушсщональних класш е важливим роздьтом теори .^функщя, якия иае чисельш застосування як в сак1Я теори фушсщя.так i в теори диференщалышх р1внянь.

Останн! 15 poidB В1тчизняниш1 та закордонними матема-тикани досл1джувалося питания про необх1дн1 1 достатш уко°к вкладення lotaciB НС фушсц1й.я1с1 визначаються за допоиогою посл1довност1 наякращих набт^енъ, в класи wr з обмеженою г-ю ПОХ1ДНОЮ, та б1льш загальш класи. Якщо для перюдичних функщя в1дпов1дн1 потам« в оси гяюму виршет.то в не перюдичшму випадку ряд питань залишалися вдаритими.Зо-крема.про вкладення класу Н[«] до класу функщя с" з непе-рервною ПОХ1Д1ЮЮ дробового порядку «>о,до класу К.¡.Бабенка Вгфункц1Я,що маюгъ r-1-y локально-абсолютно неперервну гашдну

С г! 2 г/2

на С-1.1) тг. | / (хХ1-х ) |<const <00 , та шших клас1в.

Значна чаг^ина роботи пов'язана з модулем гладкост!, запговадженим З.Д1щаном та В. Тонкой (дал1 и.г.Д.Т.).Вони застосували цю характеристику при дослдаеюи К-функдюкал1в,отрю<анн1 конструктивно! характеристики в терм1нах р1вном1рно! ощнки наближення функщя многочленами в 1нтегральннх метриках та при вивченш ряду 1нших питань.

В дисертади розгяядаюгься м.г.Д.Т. в р1вном1ршй метрит, через те ,що 1 в цьому випадку вони виявилися Еельми вдаяим апаратом в р1зних задачах теори апроксимацп. При цьому акцент робиться на отриманш зв'язку мм «.г.Д.Т. 1 модулем гяадкосп в1д функцп /-/(cos 1),сдал1 - тригоно-ттричний модуль гладкости.

На сьогодн1 ця тематика актуальна 1 штенсивно розшшасться у ряд1 монограф1й та статей ытчизняних 1 эакюрдонних иате цат hkib . (дав. ко но г раф и Ditziam z.Totik v..

йввчука 1.0. ,ро§оти de vore r.o.jlang, d.lev1a ran.d.lubinsky,

hkopoiun,m.ha6son.TXe.X.M.YuXZhollI . 0. Шевчук та 1нш1>. йета роботи. Зи&нодкення кеобхшшх 1 достатшх умов вкладення класу нг да класу функиШ в' та б!льи загяшн

класи, як1 харакгеризуюгься модулем гладкосп /Цщана -Топка, неперервними дохшими дробового порядку. г Дослдаенкя еквшшентноси модуля гладкосп /Цщана- Топка тригонометричному модулю гладкосп.

Методи дослшешш. В робоп використаш метода теорп функщй.зокрема, методи теорп наблюдения функщй та теорп 1нтерполх®ашш функщя.

Новизна результапв та 1х наукова шшисть.Основн1 результати дисертацп е новикиЛх змют полягае в наступному:

- доведена екв1валенгн1сть модуля гладкосп /Цщана -Топка та тригонометричного модуля гладкост1 для непарних натуральних к,- доведена точшсть за порядком ошкки тригонометричного

модуля гладкосп через модуль гладкост1 Дицана -Тот1ка для парних натуралышх к,- знайден1 необх!дн1 та достатн1 умови вкладення класу функщя н .який характеризуется посл1довн1стю найкращих набл'^ень, до класу К.I.Бабенка,а також до узагальненого класу К Л. Бабенка;

- знайден1 необхш! та достатн1 умови вкладення класу }уккц1й н до класу функщя, що иаеть неперервну пох1дну дробового порядку.

Результати дисертацп маюгь теоретичния характер 1 можуть бути використаш. в р1зних задачах теорп функщя, теорп наближення функщя.

Апробашя роботи. Результати дисертацп допов1дались на Всесошнт школ1 з теорп функщя см.Одеса 1991 р.),на Ы1жнародн1й конференцп пам'яп М.Кравчука см.йпв 1992 р.), на наукових сем1нарах в1дщлу теорп функщя 1нституту математики АН Украши, на пауковому сем1нар1 з теорп функщй Дшпропетровського державного ун1верситет.у. Публ1каш1.По тем1 дисертацп опубл1ковано 4. роботи, список яких наведено в к1нщ автореферату.

Структура 1 об'ем роботи. Дисертащя обсягом 100 стор1нок . машинопису. Складаеться 13 вступу, трьох розд1л1в та списку л1тератури . що М1стить 56 найменувань.

3MICT РОБОТИ.

Значна частика дисертаци сза вийняткоц §§ 1.1 i 3.2 >

пов'язана з модулями гладкост1«к(«./).запроваджеюош Дщшшы

та в.Тонком .д) характеристик ¿>ko. лприводять наступш задач!:

А. Поставлена КЛ.Бабенком - задача про вивчення iipocTopy

функщя /«7Сх),як1 масть на (-1.1) локально-абсолютно иеперервну r-i -у похищу i т^-сих.що

| /Crjcx)ci-x2>r^a|á M-const <00

маЯже для bcix х« I :=[ -1,11.

Надал1 просир таких функщя/=/(х> будемо гозначати через Вг.

В.Одержяння конструктивно! характеристики наближення в терм1нах ргвжшрно! отнки наближення функцн, а не

п0т0чкюво1 сц1нки.

Дисертац1я складаеться 13 введения та трьох розд1л1в.

Першия розд1л шсить допомжния характер.Проте 1 в ньо-му доведен1 теорема ш та теорема 1.2.1 .raci масть, на наш погляд саиост!Яния шерес.

В § ti наводяться необхиш надаш факти про к-у

Р131ШЦЙ

к „ i »к к-1 к Д С/.х) = ) (-D С ) /<*♦ lh)

Ь I— i "О i

функцн / в точц1 х«1 з кроком h«R.a також про модуль гладкосп порядку k,k«n

к

<",,(«•./)- SUP 6UP |Д <Лх)|

0<h:St хгх, х+кЫз1 h

функцн /, неперервно! на I </<ЮС1». Означаеться також множила мажорант Ф та шюжина к-мажорант Фк.Будемо писати

* « Ф.яюцо

р<0) - О,

*><t) - не спадае на t о.®). C« О,»)).

Будеио писати v «Фк,якщо *> «Ф та КО К»)

Дал1 наводиться в1домост1 про так зЕану екстремальну функцш

1 С х хСх-и>

F Cx.P>k>« - I - pCiödu , (1)

tk-iilJ 1 к

и

введену 1.0. Шевчуком.

Екстремалыа функщя буде використана у § 2.3. Тут у % 1.1, за допомогою функцп (1) доведена

Теорема ш.Нехая - позитивна на

со/г функщя така.що

lim traCO -О, r>m-k,

i -»о

Ягацо р ^Фк,то 1снуе функщя / «ШО.т така.що

f -OC*<t3);

" Cts / j [ 0.11 >4 k <>.<* I "oCpitJ);

w(t;f 11 0.11 )* oCaCt>w et; / » [ 0,11 )>. k f>,a m p.a

Теорема 1.1.1 уточнюе теорему Р.Несселя та Е.Виасерена у

тому смисл1,що не мютить додатково! умови и» **лэ/1к-®.

t-0

Зазначимо такой, цо наше доведения значно простше, нйк доведения Р.Несселя та Е.Вшсерена, тону що ix доведения побудовано на метод1 резонансу, якия, в сбою чергу, е розвиткон метода С.М.Лозшського 1 А. А. Пр1валова.

Теорема 1.1.1 доведена в сп1льн1й робот 1 з I. О. Шевчуком. Bei наступи результат« дисертаци доведен1 автором самостиша.

У § 12 оэначаеться модуль гладкосп ¿>ко./).

Позначимо

. к г— к-1

Д С/.Х) - ) С-1) /с Х- fch/2 + 1W

h I— 1иО

- снметричн" К-у Р13НИЩ0 функци / В ТОЧЦ1 х з кроком ь.

Означен ч 1.г.1.Нер1вном1рним модулем неперервност1

сюдулек гладкост! Д1щана- Тот пса? порядку к назвемо ФУНКЦ1Ю

'•/>.- SUP SUP . ... |Д г С/. *)1

0<h<l xltKikMl-O' /г)ell hC 1 -х > >

Дал1 наюдяться властивосп модуля ^О./г.зокрема, доведений З.Дщланом та B.Totikom аналог hbpibhocti Маршо.: .

Wj(t,/)<ctJ(|

а Vй'"

du +■ n/jjX <а>

Дв OSt<!»/» - так/уСкЗ |, х«1

Тут 1 иадал1 с. -додатн1 числа сстал1),як! можуть задежати т1лыси В1д к.

Проте, на В1дм1ну В1д звичайного к-то модуля гяадкост!

«*,.(»./> нер1вн1сть (S) не завжди забезпечуе о держания бажаких оцшок.Тому вмюа пот,..;ба уточнит и шо

HepiBHicTb. А сане доведана наступив

Теорема 1.S.1. Якщо /*са>. с x±vm 1-Л1 ^^ . то

J J г psb <"kC«»/}

|Д С/»х>|<с h * . du +

р 1 J h u1 *

♦С P

I Г 2 Vu'/J 1

-hjrr du - c

J OS h u J * 3

рЛ\ u'

де p-pch, yOm he+hC1-x2il/a.

У § 2.1 доведена

Теорема аи.Ддя будь-яко! функцп та

будь-якого k.k^n, мае Mtcue нер1вн1сть

3 (tj/) s с './). к

У § 2.2 доведена

Теорема 2.г.1.Для будь-якох функцп /^cci) та будь-якого непарного k.k«n, мае мюце нер1вшсть

«> С«-;?} i ci^t(t./>+ t*»/«). k 1

Насл1док теорем 21.1 и 2.2.1.

Для будь-якоз функцп /«CCD та будь-якого непарного к, мае мюце нер1вн1сть:

с^ ct;/) < caC «■*»/»,),

зокрема.

<"kCt./) i с«« Ctf/Э £ с «*'кСt./),

де с-сск.»/»,).

Для парних к справедлива наступна

Теорема 2.2.2. Для будь-якш функц.. /«ссю та будь-якого парного к «м мае Micue нер!вн1сть к .

» <.ип i el С -<»« ♦ «/"jJ.t^IO.U.

к J t к.t

u

У § 2.3 дослшуеться точшсть останньо1 ощнки. Тут доведена

Теорема азлНехая к -парне,Для будь-яко1 функци р «Фк знаядеться фунвдя /«cm така.що.

clP<t)< <sk(t./) <

але

k i "Vе"'п

и, Ct; 7) > ct С -du + l/l ),

k J t k»t

u

де 0.11.

В третьому роздш вивчаеться зв'язок ник просторами функщй.ш означаться за допомогою

диференшально-р1зшщевих сп1вв1дношень та просторами фуисшй, як1 означаться апроксимашйними умоваки.

Нехай сг. r«N,- npocTip г раз неперервно д1феретцйованих на I функшй /»•

Е„(/>»и inf »/-рп - величина ¡гаягсрацого наблкження

фуншй /*=ст многочленаш! р® Pn. Pn- npocTip алгебраш-них многочлешв степени < п ;

~ спаяна поел 1довнлсть позитивних чисел.-

У работах б.П.Дрлженко та е. А.Севастьянова (для г-и, 1.0. Шевчука <для г>1),дав. також мназзом. Т.ХЕ . показано, що умова

.гг-1.

необхща 1 достатня для того, щоб

I— 1«1 1

Н[ ё) < с ([ 0.11 >. («

У § 3.1 доведена

Теорема 3.1.1 Нехай гем. Умова

У" -!«-*<. 1-1

необх1дна 1 достатня для того, щоб

неё] с в .

Поэначино Й{к.еЛ1- {/««*кО./)«ОС*><гэ)},в0Н[-НСр,П

При будемо писати / « вгй[к.1?Л] ,яицо /« вг

г^г г ✓г * £г>

та |(1+х> С1-*-кр) Д С/

р

при всix X. Х+гр <5 0-1.1).

Теорема 3.1.2. НехаЯ к««, Умова

п"к У " с0(г<1"О) 1*1 1

ивобх1дна 1 достат л для того, щоб

Теореми 3.1.1 и 3.1.2 с наслшсахи б1льш загально! теоремы 3.1.3.

Теорема 3.1.3. Нехая к^.г^м, Укова

п"к V с У гг 1Г"'. 0(Р<1ЛО>

¿-1-1 I— 1»п+1

необх1дна 1 достатня для того, щоб

Н[ С\ сВгй[ к, Р, I).

Теореми 3.1.1 - 3.1.3 добре узгоджуюгься з 1х аналогами для перюдичного випадку.

У § 3.2 дана позитивна в1дпов1дь на припущення б.П.Долженко про те. шо спос1б доведения ствв ¡ношения (4) дозволяе встановити аналопчне твердгсення для простору функция, як1 масть неперервну пох1дну дробового порядку

Нехая в >о,а ,*?-<<*>, де [«1- шла частика

м - дробова частина так.що 0<г?<1.

Дробовою П0Х1ДН0Ю Маршо функци /« С« 0,11) порядку

а® сои) називаеться вираз

/<*) а с 1-х /С*)-/<х+1> Ю /Хх)» -в + - | -¡ы-М,

де ГС1-а) - гама-функцт.

Дробовою ПОХ1ДНОЮ Марио функци /е СГС[ 0,1] ) порядку а>1 називаеться вирас

<1 г

ю°7х*> (—- ] ( о"/]<*> С5>

У точц! х = 1 покладемо

<Оа/Х1> Ив Юа/Хх),

С6>

х-1

надо гранкця в С6 ) 1снуе. Позначимо

С* - {/«/«Сг» <0а/Х>О«С0.

Мае «1сце наступна

Т.ореха 3.2.3.Умова

Зауваження.Похщш 0е/ означена формулами (5) ,С6>,

називаеться правою дробовою гешдною. Лналогмш. твердоення справедлив1 1 для л1во! гюхщш дробового поряжу.

На зак1нчекня висловлюю диру вдячшсть науковому кершовсу 1горю Олександровичу Иевчуку за постановку задач 1 постыну увагу 1 тдтримку в робот!.

необхша 1 достатня для того, щоб

Нг(*] с с".

it

Ochobhi положения диеертаци опубл1кован1 в наступних роботах:

1. Шах Л. Г. Связи между некоторыми конструкт' и к-го модуля непрерывности // Тези Шжнародно! конференци.присвячено! пам"ят1 академ1ка М.П.Кравчука (22-29 вересня 1992 р.).-

-¡СШВ - ЛуЦЪК. 1992-С. 247

2. Шах Л. Г. Об апщюксккадшкшн условии непрерывности дробной производной // Укр. мат. журн.-1992.- 44.N 12.-

С. 1719-1723.

3. Шах Л.Г. .Шевчук И.А. Об одном отрицательном результате, связанном с неравенством Маршо //Ряды Фурье:Теория и приложения. -Киев: Ин-т математики АН Украины. -1992.-С. 160-166.

4-, Шах Л. Г. Об эквивалентности некоторых конструкция к-х модулей непрерывности //Ряды Фурье:Теория и приложения.-Киев: Ин-т математики АН Украины. -1992.-С. 154-159.

Идп. до друку 10.05.93. Формат 60x84/16. 11агпр друк. Офс.друк. Ум. друк. арк. 0,93. Ум. фар(5о-в1д<5. 0,93. Обл.-вид. арк. 0,6. Тираж 100 пр. Зам. {.$9 Безкоштовно.

]&ддруковано в 1нстятум математики АН Украйни 252601 Ки1в 4, ГСП, вул. Терещешавська, 3