Априорные оценки и разрешимость начально-краевых задач для уравнений и систем со смешанной параболо-эллиптической структурой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НШОШЬНгй АКАДЕМИЯ НАУК РЕСШШИКИ КА&Ш!ТАН Институт теоретической и прикладной математики

РГ6 од

п - , На правах рукошюа

ЩРАШНОВ МАРАТ ЩУЛХАКОВИЧ

. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РАЗШЖМОСГЬ МЧА-ТЬНО-КРАЕВЬК ЗДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ К СИСТЕМ СО СМЕШАННОЙ ПАРА-Б010-ЭШПШБСКСЙ СТРУКТУРОЙ

01.ОТ.ог~Диф;^ронвдашаю уравнения

АВТОРЕФЕРАТ г-" зартадяи ка соискание учёной степогм доктора фаз шк очлатсг.'пгйтаоких наук

АлматаД994

Работа выполнена в Института теоретической л прикладной математики liAH Республдки Казахстан

Ведущая организация- Сагжу-Петврбургокоэ отделение Матвматичес: го анотитута вм.В.А.Отеклова РАН

ОВациальные одпонвкты-докгор ^^о-матсматесжих наук, . профессор Цухначёв BiB,

доктор ^за«о-матемагачвогж наук, • профессор Смагулев Ш.С, ,

доктор физико-математических наук, CHD ¿ишкулов К,А.

Защита состойся " / " JixxjJ^ 1994г.

в часов на заседании специализированного совета

Д 53.04.01 а Института теоретической в прикладной математики

HAH Республика Казехогая по адресу: 460021 ,г.Алматы,21,ул. Пушкина, 125,'

С диссертацией могло ознакомиться в библиотеке Инотитута теоретической а прикладной математики HAH Республики Казахе тик

Автореферат разослан " Ц' " ctuf.&DJi 1994г.

Учёный секретарь специализированного оовета.кандвдат фиэико-мато-

• штических наук Кулахметопа £

-3-

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ"--Антуальноогь темы. Теория параболических уравнений и систем благодаря своим саШ многообразным приложениям является одним из основных разделов современной теории уравнений в частных производных 1 и начало исследований по ной восходит яцё к Фурье,который ещё в начало прошлого века вывал уравнение теплопроводности и с тех пор параболические уравнения стала предметом кообозримого числа исследований,причём их поток с годами но уменьшается.Но в то ко время,можно ,повидимому .сказать.что создание разумной и стройной теории краевых задач для линейных параболических уравнений и систем с гладкими коэффициентами и в гладких областях к настоящему времени получило своё завершение,в связи с чем можно упомянуть известные монографии и фундаментальные работы И.Г.Пвтровокого,А .Н.Тихонова,М.С. Агранови-чарМ.И.Вишика,О.А.1адшонской,С. Д. Эйдельмана, В. А .Сол онник ов а ,В ,П. -1^ихайлова,0. А.Олейник,С.Н.КружкоЕа,А.М.Ильина,Е.И.Ки»та,A.C.Калашникова, A.Fru4maa , Т. Sh.iro\a и др.В линейной параболической теории

пользуются следующим .основным фактом: если -линейный

дифференциальный оператор (л.д.о,) а -его главная

часть в том смысле,что при выполняется равенство l^V^/^A"

- (в такал случае говорят,что оператор

i'j.ioqt порядок однородности .равный ),то оператор L будет

называться параболическим, если корни полинома Ц^Л»^,*} относительно р при удовлетворяют неравенствам Rep^i

.откуда непременно следует,что коэффициент при р* ( £ -степень поли;!ока 10 по переменной р ) не обращается в нуль ни при каком .В связи с этим следует заметить,что то-

то прикладные задачи математической физика приводят к необходимо- ' ста исследования принципиальных вопросов установления априорных оценок и разташимости краевых задач .для уравнений и систем,в которых приводеиное только что свойство параболических операторов нарушается и но этой причине для такого рода уравнений и систем нельзя пользоваться результатами извошоЗ теории.

В настоящей диссертационной работе проЕоденк исследования началь-о но-краевых задач для уравнений и систем со смешанной структурой в

следующем смысле:пусть -л.д.о.с комплексными,вообще

говоря,:-:оэСх$ициентами,зависявдш от I u-t в области Q.CR.*41 ,

причём для полинома ЦтД^^} шлеот место

Если обозначить через и -главные части

(I ОЛИ И О! "ОЕ Ц^СхД,^ и | для которнх имеют моего

то для главно.'; чаегк полинома Ц^-ЦС^А будот Ц^хДц

тогда

Определение I.Оператор ,ДДЯ которого ш.гает .мес-

то равенство (I),называется оператором со смешанной параболо-эллиптической структурой в точко (т, V) ,еслп выполняются следующие условия:

1)корни полинома ^(т^С^,^ степени "I относительно переменной р при люб ал вещественном § удовлетворяют условию

4 ^ (2)

2) при и имеет место .

Если неравенства (2) и (3) выполняются в каждой точко 0.

с одними и томи ко числами и §¿>0 ,то оператор и назы-

вается оператором с равномерно смешанной параболо-эллиптической структурой.Из определения I ясно,что корни полинома от-

носительно р удовлетворяют неравенству (2) при всех »

а также смешанный характер оператора С означает продставшость этого оператора в виде произведения -параболического и -эллиптического операторов. Пусть-тлеется система линейных дигаТаренциальных уравнений (с. л. д.;

^ЧхтЛ (4)

Определение 2.С.Л.Д.У, (4) назовём системой со смешанной парабо-ло-эллидтичеокой структурой,если

1)оператор ~является оператором со смешанно!!

пораболо-эллиптичеокой структурой в смысла определения I,

2 Существуют такав целые числа' и (<--!.,..., сто-

пень полинала относительно^ не превосходит

чиола (если ,то о ) л,кроме того,

X где £ -отепень полинала ^ по

переменной ^ .Нужно заметать,что условие 2) в определении 2 необходимо для того,чтобы сосватать системы о параболо-агшштачвской структурой произвольного вида.Известно,что такое общее требование на структуру сисгемн било введено В.А.Ссдошшковым в его фундаментальной работе в "Трудах ШАН СССР$ 1965,т.83" при нссяедованш начально-краевых задач для линейных параболических систем в наиболее общей форме.

Простейшим примером уравнения о парябодо-зллилтической структурой . является уравнение — »которое является частным

случаем псевдопараболических уравнений ила,по друзому.уравнений Соболвва-Гаяьперна.Болав общим уравнением о такой структурой является уравнение ^(ту^ »где и иЦ -эллиптические операторы порядков и 4т соогветственно.Для этого уравнения в связи с приложениями при описании движения вязкой жидкости в вихревой камера Н.Э.Ке&тшаном в цилиндре

( ^ -ограниченная область в Я*1) исследована краевая задача о данными в начальной момент времени и данными Дирихле искомой функции на боковой поверхности цилиндра,для которой доказана однозначная разрешимость задачи в классе функций 1фС Д} £ > (I 1)

и, ^(ол Н°> , ^ <Ьо __/

а т а ¡с-?, о в классе Функций ^ и- Ь ^зрД • 4 т'

Далее в книга "X.Раевский,К.Грёгер,К.Захарлас.Налинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения" для опера- • торта уравнений с операторами А и & .действующими из

,где К -сепарабельноо гильбертово пространотво

и 1С* -сопряжённое с ним,доказана однозначная разрешимость задачи

Коши: Ад*? -V а при 4 ^Цкпк*1) , 0.6 И. В классе

гункцнл

,которая,естественно предсо- *

лагает выполнение определённых условий,налагаемых на конструкцию

операторов 1\ р. , . ,,

Прг-сто'.'от? сяотомсП,которую можно отнести к системе со смешанной г:к :л:«? ^руктургй является система Ж Ж , ..

к\>0 .Эта система является линеаризо- * ванным вариантом нелинейной системы, вознакащай при описании фильтрации двухфазной несжимаемой ашдкооти и она не может быть разрешз- -на относательно производных' искомых функций по переменной и трудности,которыз вызывает последнее обстоятельство при числе ¡шал решении краевых задач,проанализированы А.Н.Коноваловым и их чкслонналу реиакио путём введения малого параметра посвящены работы ЮЛ .Белова ,А.Н,Коиовалова.К системам со смешанной параболо-эллиптичеокой структурой,очевидно.можно отнести так называемые полуэволциошше системы

о ^ ,, л .где IV ^, 1<Р<*

<!>>••• » -дифференциальные операторы

по нространотвоншш переменным,если считать,что эта система удовлетворяв:? услоашш определения 2.Необходимость исследований задач для палуэвсшоционишс систем путём их аппроксимации эволюционными возникает при численных расчётах различных задач механики сплошной среди и их теоретическому обоснованию посвящены работы различных авторов,в том числе и ЮЛ.Болоза,который исследовал задачу Коши для линейных подуэволюционных систем первого и второго порядков в гильбертовом пространство на основании свойств аапроксишрую щнх састем.Тематике теоретических исследований,посвященной краевым задачам для систем со смешанной структурой,пожалуй,могло отнести также исследования В.К.Ршаяко.а также таким доследованиям и численному репшшьрабогы И.Смагулоза и,наконец,ярким представителем оиотем уравнений оо смешанной параболо-эллиптической структурой является линеаризованная система уравнений Нявьо-Стокса. Исследованию принципиальных вопросов вывода априорных оценок и установлению разрешимости различных начально-краевых задач для сис-. темы Навьо-Стокса в собсяоаских и гёльдеровских пространствах посвящвяо большое количество работ.среди которых в идейном плане исследованиям автора настоящей диссертаций наиболее близки фундаментальные работы В.А..Солонникс©а и И.Ш.Могилевскогс.В заключение краткого обзора по тематике и актуальности диссертационной работы следует заметить,что детальный анализ линеаризованных задач является весьма полезным для изучения нелинейных уравнений и систем, ослао того,линеаризованные системы с чисто математической точки зрения представляют несомненный интерес,поскольку эти системы ке укладеваются е классические классы параболических и эллип-

таческах систем и изучение для них начально-краевых задач обладав г яркой специфичностью.

Целью работы являются поотроенке аналитического аппарата для изучения модельных задач а вывод оценок норм их решений;устаиовленйе априорных оценок а разрешимости начально-краевых задач для уравнений и онстеи со омевднкой парабол о-эллиптической структурой общего вида а соболевских -классах; установление таких хо оценок а разрешимости начально-краевых задач для частного класса уравнений а систем в соболевских Ц -классах с общим ,не обязательно равном 2; исследование полупространотвенннх начально-краевых задач в гбльдеровских классах.

Методика исследования. О работе применяется метод установления априорных" оценок и разрешимости краевых задач,основанный на локальном принципе Шаудера,заключающийся в том,что решение краевой задачи в произвольной точке области зависит от исходных данннх в достаточно малой окрестности этой точки,что приводит к необходимости сначала изучить модальные задача для уравнений и систем о постоянными коэффициентами,под которыми понимаются задача Копа, полупространстве иная краоевая и сметанная задача ,после чего априорные оценка п разрешимость при малых "I а при нулевых начальных условиях путём разбиения единицы а построения рогуляризирувдого оператора,ц далее с помощью использования теорем влаха нал а продолжения устанавливаются сначала для малых Ч .затем при любом конечном Т (о^Л&Т)• 3 работе существенно : ~ ~ использована теория функциональных пространств Соболева а техника получения оценок норм решений в функциональных пространствах Соболева.Гёльдера и пространствах с ляу-аиллевскими обобщёнными производными,введённых П.И.Дизоршшыы.. .

Научная новизна . В диссертации получены слодунцио основные ре- ■ зультагы:

1.Получены оценки решений задача Коли а общей полупростраяствон-юй задачи для линейной систем уравнений о постоянными коэффициентами и с параболо-эллилтичоской структурой произвольного вида в оо-5алевских -классах.Следует подчеркнуть,что изученные в работе гастош охпагьшают известные системы,кок например,линеаризованную застему Навьо-Стокса.полуэвалвдионние системы и др,

2.Результата,полученные в I) конкретизированы для случая одного уравнения.

3.Изучены вопросы установления априорных Ц-оценок решения начально-краевой задачи для уравнения с параболо- эллиптической структурой в общей постановке.

4.Установлены в соболевских Ц-классах теоремы существования и единственности качальао-краавой задачи общего вида для полуэволкь ционной системы Ь\ уравнений.

5.Получены оцанки решения полупространственной задачи с данными Дирихле для псевдопараболического уравнения высокого порядка в классах с лиувиллевскими обобщёнными производными и предполагающих использование теории мультипликаторов преобразования Фурье,

6.Установлена разрешимость задачи Дирихле для псевдопараболического уравнения в соболевских классах с <^7-1

7.Построена полупространствснная фундаментальная матрица решений (п.ф.м.р.)для распадающейся система уравнений,имеющей параболо-эл-лаптическую структуру и получены оценки п.ф.м.р.

в.Установлены априорные оценки и разрешимость начально-краевой задачи решения для распадающейся системы уравнений в соболовских -классах ( ^,>1 ) .имеющей приложение в теории фильтрации несжимаемой жидкости.

9.В одном частном случае распадающейся системы уравнений условия дополнительности выражены на "языке" коэффициентов задачи.

Ю.Для системы двух распадающихся уравнений выписаны полупрею транс 1 венныо потенциалы и получали гёльдеровские оценки решения полупроег-ранствеиной задачи.

II. Установлены гёльдеровские оценки полупространственной задачи Дирихле для псввдопараболического уравнения.

Достоверность результатов. Вов результаты диссертации сформулированы в виде теорем, леми и с-яедствий, математически строго доказаны.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В ней даны ответы на фундаментальные вопросы установления точных априорных оценок п разрешимости уравнений и систем со смешанной мрабало-аллйпгической структурой, результаты диссертации

мохут служить (дальнейшему развитии. теории таких уравнений»

Исследованные в работе задача имеют приложения & -различных разделах физики а механики. Выводы при их' изучении, полученные автором, являются теоретическим обоснованием практически важных проблем математической физика.

-3-

Апробапия работы.Разультаты работы докладывались на семинарах по уравнениям математической физика (руководитель члзн-корр. НАН РК Е.И.Ким),по хворой функций.фуикцаояальному анализу а двф-ферзнциальшш уравнениям (руководители член-корр.НАН РК М.О.Отол-базв.члея-корр.НАН РК Г.Ш.Кальменоа) ,по уравнениям механики сплоаь ной среда на факультета прикладной математики а механики КазГУ (руководитель доктор физ.-мат.наук Ш.С.Смаг/лов с присутствием Зав.Лаб.Института гидродинамики СО АН СССР .доктора физ.-мат.иаук В.Н.Монахова),а такав.на научных семинарах.руководимых акад.АН СССР О.А.Ладыженской о присутствие« доктора фаз.-мат.наук,проф. В.А.Солонникова,доктора физ.-мат.наук,проф.Н.Н.Уральцевой (ЖШ АЛ СССР.г.Санкт-Поторбург) .доктором фаз.-мат. наук, проф. А .Н.Коноваловым (ВЦ СО АН СССР,г.Новосибирск) .члой-корр.НАН РК.проф. Н.К.Блиевш (ИТПМ НАН РК) .докторами фаз.-мат.наух.проф.Д;У»Умбет-жановым и М.И.Рахимбердаевнм (ИТШ НАН РК),на 8-м и 9-м Республиканских межвузовских конференциях по математике и механике (Алма-ты,1984г.и 1989г.),на Х-Чехословацком и Советском совещании (г.Стара-Тура,ЧСФР,198а) ,на Всесоюзных конференциях пб классическим и неклассичаскш краевым задачам (Г.Куйбшев ,1987) ,по условно-корректным обратным задачам; ' (г.Алмати.1991) ,на международной конференции по ди^ерендиальнш я иятегральнш уравнениям (г.Самара,1292) .республиканской конференции по теории приближения а вложения йункцаоналышх пространствГ*~ (г.Караганда,1991),аа конференции по задача: для параболических' уравнений и их приложениям (г.Алматы,1991) .применению методов функционального анализа к задачаI.! математической физики.'' (г,Ал!{а?ы,1993) •

Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора -СЗН1 .

Структура диссертации. Диссертация объёмом ^^рстр.машияописного текста ссостоит из введения,пята глав и списка латоратури.Библиография содержат 139 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введения дан краткий обзор работ,относящихся к теме дисоорта-. ции и приведены основные результаты диссергадаи.В первой главе „ получены оценки реионий задачи Кош и полупроотраяствошюй задачи для системы и уравнения произвольного вида. Пусть имеется система уравнений с постоянными коэЖбицпентамл

^ о (5) ""

хда оператор удовлетворяет условиям'

определения 2.В §1.1 исследовала задача Коши определения ресе-няя системы (5) с начальным условием

гда дая элементов »состоящей из Ь строк

и 1П. столбцов,существуат такие целые числа ^ ,что степень

полинона (^С^.^Ц равна ,т.о.

Н0КТ°Р ЧЧл) 'предполагается финитным.Основнш усяоЗи<щ,обеслетаващим оценки решения задачи (5)-(6) является выполнение слсдтодого условия дополнительности: строки матрацы

-'^О^ф^/Ч/Л ( -матрица, взаимная по отношению к матрице )лиаоИио нвзавастш по модулю подшит =

«^Т при ( , ^ -постоян-

ная из (2)) и любом ^Ц.о или,другими словами,еола -ца,

элементами которой служат полиномы

являющиеся остатка.« а ог делания элементов матрицы на

ЩЛг,?) »го строки матрицы линейно независимы как

полиномы по пли ранг матрицы Ц^.^'^Ц ' (К Д - ¿у, И . причём при фиксированных Ч. и индекс ^ меняется от 1 до

с.) равен X.. .

Теорема 1.1.1. Лрч вшюлнэипл условия дополнительности, сформулированного выло.решение задйчп (5)-(6) подчиняется оценке

''V .РП *

Здооь и в дальнойпем чэроз о указанием снизу степени

оушироваиия по области а сварху порядков гладкости функций облзиачвна главная часть, соболеваких норм, -область ^70

и , Л -мерное эвклидово пространство.

В §1.2 приведены оценка решения задачи Кош в случае одного

уравнения

И)

где линейный дифйерециальный оператор оо смешанной

параболо-эллиптической структурой содержит только старшие членн,

Кроме того ~-вектор-столбец с элементами,

для которых с^Чс^Ц С^^Р) .Условна допошштольност»

для. задачи (7)-(8) форлулируется слодуювдш образ сш фушщда ^ (С^^) линейно независимы по модулю полинома ~

( -кореш полинома относительна р)

при ^р^-ЭД^и [\\t-0 или,другими словами,если =

*то Фу1155®111 линейно независим! пра

\\V4o «Это условие удобно формулировать в слэдухи.ой простой форлэ:определитель,составлецяцй из коэффициентов разлско-ния отличен от нуля,т.е.

. Теорема 1.2.1.При выполнении только что сформулированного условия дополнительности решение задачи Кош (7)-(8) подчиняется оценке

х «{£«» +х. Ч «¿^

' ££ * МЛ '

В §1.3 исследована в полупространстве

(тп>0, У,ОС-Г)

крао-

вал задача

гдо матричный да55орс1щ;;ал1)Жй оператор такой ж0>как

ив (5).матрица Й Р)\| «состоящая аз строк

'Ц л

к т. столбцов,обладает свойство;.', однородности =

• -фишшшП вектор,Условно дополнительно-сте для задачи (Э)-(Ю) йор;лу.гаруогся следующим образом: строки матрицы 'е) = --'.Х^',г) при любом фо и любам

р »удовлетворяющем условиям ¡¿е^-Ц'^ линейно шзза-

оисшш по модулю полинома М'&Иус) = ftWc?V>YÍtW•<$Iда

-«чрил ураэкоши ..а -корни

уравнения с подсяитчьныш шдалш.ш частями,или.по другому,если обозначить чороз оСО^'л^С") матрицу.злсг,тентами которой являются ПСШШС&Ы

ЛЕЛЛИ^'-Мкся остаткам?. от долепил матрицы сС: на И ! .то строки матрицы (Ч")'^ лшюйно не зависши как полипам по 'С или ранг матрицу '¿^^Л^Ч1^?.^ пз (^-»Си строки 1П. столбцов .где при фиксированных н 2 ицдокс с-, моггяотся от '3, до .раааи ' ^'с при вещественных

и ярц -Как й флучао параболических систем.усло-

вно дополнительности является необходимым"« достаточным условием существования единственного решения краевой задачи для системы обыкновенных дис$Ьеронц!Шькых уравнений

-13В отлично от параболглоакой теория «сследовалея начально-кряз-вых задач для системы с параболической структурой показали,чго выполнение условия дополнительности иске'2 оказаться ие достаточным для того,чтобы подучить оценки рэкзнш в соболевских пли галь-церсвских класс ах. По этой прцчшю в работе накладывается ещэ ряд условий на структуру полупростраиствошюй йундилеитальной матрицы решений (п.ф.м.р.) задачи (XI),для формулировки которых куако

записать решение задачи (II),которое и.'еот вид да

¡ц^О^^Л^ -элементы взаимной матрицы по птяоаекия к матраце ^((^сс,^, о/,^ -элементы правой обратной матрицу ^Г" , -онтур,охватывающий всо л -псдш1а<ч,

зязанные с следующим образа:: если ? {у^-^^-0

¿^(^^-С^.Еслн чороз ^обозначить

шражение р я предо одсешть,что имеет ¿юс-

*о неравенство

до ^¡Д^оф удовлетворяет условна однородности

Георема 1.3.2.Пусть выполняется услозко допашйтчтааоохй.сфор-лирозаннсе выше для задачи (9)-(Ю) .^г/якции ^с гству (12) л пусть .Тогда элементы п.3>.м;р. подчиняются

шко

..-14,4

1 ^ L (wr-.üíW

. Q-W1SK (13)

Теорема 1.3.3.Пусть выполнены все условия теоремы 1.3.2,причём в оценке (13) jiL таковы,что ^ А .Тогда роша-1Шо задачи (S)-IO) подчиняется оценке

j=i -v» ¿г.

( -подирострзпсгво Ул*о в?"*4).

Тоорсма 1.3.4.Пусть выполняются все условия теоремы 1.3.2,при-чём а оценке (13) -j к l'j таксш.что ,(j Ц'.^г+А приJa-a^tn;

0 ?Г>_____Щ» 'м'ШОЛ 1Ц!ОТСЯ

Мсга-гяпи £ ... и яри этих значениях

j и t имоэт гзсто представления

1 огда рошенко задачи (9)-(Ю) подчшюгся оценке

^Ппм " 1

Vi

Теорема 1,3-5,Пуо51> вапсдшттся всо условия теоремы 1.3.2,причём о оценка (13) J.j a & такооы,что ijпри jii,.,,^

1« !>...,,а пра . (»»vi,...,»«} е^г-^^г

Тогда решение задача (9)-(ÍD) подчиняется оцоике JBi

-15В заключение §1.3 в качестве примеров применения теорем 1.3.4 и 1.3,5 рассмотрены первая и вторая краевые задача для однородной оиотеш Навье-Стскса,для которых все условия сформулироваишЬс тоором выполняются и поэтому справедливы выписанные оценки,совпадающие о ранее полученными В.А.Солоншшовш результатами. Далее отдельно рассмотрена полупространственная краевая задача для случая одного уравнения

Аналогично таг/,как и в случае системы,для этой задачи доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.4.2,Пусть выполняется условие дополнительности,сформулированное для задачи (14)-(15) .функции /^(^Д.Х} .определяющие явный вид решения преобразованной по ®урьа задачи .удовлетворяет условию

Учад Цад,(16)

где для 1Шеег место условао однородности

Тогда функция

Л^ (фундаментальный- вектор решений)

подчиняется оценке

Л, г ^ •

Теорема 1.4.3. Пу с г ь выполняются условия теоремы 1.4.2.Тогда а) если число сЦв ^равенство ТХбягаково.что с!« .Тогда решение задачи (14)-(15) подчиняется оценке

-16, е i • к

Ц-.^ -А^ . е. . ■

б) воля л -ЧИСЛО 1ЮДОЛОО, ТО UM0QI место

в)кршо того.п случае,когда число -цолоо,а 4

' *

сценка случая 6} сохраняются.В качестве приора,нллюетрирущего иримсиешю тоорсми !.<1.3,рассмотрена иолупространствэниал крае. вал задача с дама 'Дирихле ¡' показано,что все условия теорема 1.4.3 выполнены дал этой задачи н её рошенио шлоог одонку,сспи дакж^ю с результатом автора,полученного в 1У-главо в классо суунк-ЦИЙ С суммчруомши В -0Т0П0Ш1 0б0бщёН!ШВД производными.

Во второй главе устанавливаются апраоршо оцонкк общой начально-краевой задачи для уравнении со смокашюй параболо-эллшште-ской.структурой,которая формулируемся следующим образа;: в цилиндре О^-Л^.т} (^ограниченная область с границей и № )иайт;1 рошенио уравнения

' '^Wtibf'SpA«^ wo

^ > } (I?)

с начальным

и краевыми условиями

где,но уменьшая общности.оператор ЦуД,^,^ мскно записать в" виде Ц^'ф -- Х- 2_

п оператор 1Д*) . шоот порядок однородности,разный

(^^г , еС%-рав1ШЙ & , №(•) -равный % . Предполагается,что выполняется слсдуюцио условия дополнительно-ста:

а) в каждой точке (^2-, ( о Smo,*^) и при любом касательном папанскн («ОО^Му-Л^ ЬодшшчнШ

воктор. внутренней нормали) линейно независимы по модуля полинона п ^-^Сх^^^^Г^х-тДСтЛь^ ,гдо %Д -корна полинема ,а -корни полинома сО^ХО^ ошоспгялыю 1: с положитольнша кшщш.::1 частями,

при а $+-0.Другими словами,вып&с.чио этого усло-

вия означает,что но существует необ^ащаю'дахся одновременно в нуль

постоянных .чтобы полипом ДСЛ!ЛСЯ

С> линейно нооапиекмы по модулю солпногла

" или, другими

словами,еели "то функции

линойно независимы при «Краю того,?рг!буэтсЯ|ЧТо15ц

задача (17)-(19) была "хороао"г.оставлона,чго означаем выполнение

следущэго естественного услсзпя:нрп Ч.-^ по заданяда'^ЕКЦ!Ш1,!

долкны однозначно спродолятюи фунтпдил и все со пропшзод-

пио по 1 .В диссертации это условно сформулировано в баю о тсч-

глх формулировках,означаю^о: продполсконпо однозначной разрогаи-

мосги эллиптических краевых задач ,патучошщ лрц Ь=о из урат>~

ноная (17) .начальных услсвзй (10). и краозих условий(19).

Теорема 2.4,1. Пусть для задачи (17)-(13) ешслионп сформулировали ванные висе условия д ол олант о ль и о ст и . равномерно выподнгштся условия,при которых били внзодоны оценки рошнин иолупрсстрчнс?-вотшх из первой дшвн с "з-гмореяенними" в произвольной точке (^'Г')^ иоздЗйтонтамл.а тагасо-условие "хорошог!" постановки зздачи.Кромо того,пусть койфпцясши уравнения (17) шоу? ограниченные произзодше соответственно видов ^^'О^Ч'Л'О

коэффщионты начальных условий (10) нмеюог огршшоннно производные производные вида ^е^ (Ц^НЗС^-«, ),коос!ф:щд-

енты граничных условий- '

.Функция шее? представление вида -£(*;<) =

■ Т~о? > гг^.а такжо имеют ыесго естественные условия соглашу

сования.Тогда рвшнио задачи (17)-(Г9) подчиняется оценке

В работе разбираются также важные часггшо олучаи теоремы 2 АН в зависимости от расположения операций дифференцирования по £ с по в краевых операторах ':пусть

а)если Э^ШЪ) & ,то норма

>т ' .

г ' оценивается через, кормы функций 15

без какого-либо представления функция в специальном виде,

б)если жо дли п (2°) пиоет мосто

^ (^¿г)

и если в формулировке теоремы 2.4.1 заменить представление -^Д) на представление вида > г»

и допустить выполнение всех ооталышх условий теоремы 2.4.1,то . суша норм „ , . .

^ КЧо * 1

оценивается через нормы функций ^^ и ^ .

В третьей главе излагаются результаты,касоодюся разрешимости в с оболовских классах с суммируемыми во 2-стеиоии обобщёнными производными следующей задцчиггробуется найти .вектор-функцию К^-Ь} ,для которой в цилиндре О сД х^.Т) зшолдяотся система уравнений

' (21)

^аЧЧ^-.^А--»*) , ,яа нижнем

основания цилиидра-качальное условие

а на его боковой поверхности паевые

(23),

В система (21) -»^.^^^»а для пош1шоа '

существуют цолыо числа я^ ,что

причём постоянные удобно фиксировать требованием .!'

Глав ¡игл требованном на структуру системы являотся требована«

смешанности оператора = зм^лотавдэооя

в том,что ЦЛ имеет вид ЦхД "

• .является параболическим оператором порядка • ДС^ ,а -эллиптическим одоратором порядка .Опера-

тор ¡¿СгЭ.ч а (23) продставляот собой матрчпу с элементами

цДт(|. у .которые являются л.д,о.,удовлзтворладнм условию . одифодносгц »Необходило заметить,что

систама (21) охватшзаот систолы вида ^--Ад'д^]*

а такжо линеаризованную систему Нааьв-Стскса.имащие многочисленные приложения,поэтому начально-краевая задача (21)-(23) является в определенной степени обобщением мзвзсгтпцх начальпо-кра^; евых задач,не укладов ающихся в классычаскую теорию параболических и эллиптических уравнэний.Условио дополаительаоста для задачи (21)—(23) формулируется следующим образам:в каздой точка и при У$С*)4о строки матрицы АС*, р) ^

л , . ч . , .где .линейно

независаии по модулю полинома

-А^ЛЛгиЛ « Г\ Сх-.-сГЛ^ьЛ ^д^) (здесь,попрожному \XxNt ' " -единичный вектор внешней нормали,

-вектор.ла^азщй в карательной плоскости, -корни полинома иг,С71(,((Ь'С0\1 ^ , ^ -полинома и'Ч'^/СЫо}) .Другими ело-вшли,выполнение условия дополнительное:!* равносильно сладувдим ут-Л1 -мл

воргдашждмосяя^' -шгрцца,элементами которой являются полино-• \ (;),,

ыы о*Цу.'!= с',-;^-г, "С .являющиеся остатками от деле-

ния матрицы Л* на М+ ,то строки матрицы 4г<!. линейно неза-июшш'цак полшюш "по-с ила ранг матрицы ' 8 >осо~

тояцой из (^г^г отроки столбцов,равен

при ляйоы а Далесрредполагаохал тасга.что для задачи (21)-(23) выполняется условие "хоровой" постановка задачи,оаначшзцее возмокнссп. однозначного определения фунвдй п. всех их производит; ио Ч при -¡.=о .В дксаертоцни оти условия сформулированы в качество продпаяогшшй однозначной разрешимости эллиптических нраевы;; задач, полученных есгесйвэншл образам из системы (21),начальных услошШ (22) а краевых условий (23) .различая при этом случаи и . Для того ,чгсои изложить основ ¡шо разультауц Ш-главы, нужно привести сначала следу1яи:о опрздолеийЯ' .к^г /л Определенно 3.Множество фушздий ^ О ^^ * .удовлетворяющих условиям называется пространством ' ' ^ соответствии с этил определением 1Г ,всла (с =0,4,...^-Определение 4 .Пусть функция & К\4 .Будем го-

ворить.что .-[' удовлетворяв? нулевым начальным уеловкям,если 0 -

С**0» Аналогично,будем говорить,

что удовлетворяют нулевым началь-

____ . 1 »V . 1

шал условиям, если

Определенно 5.Будем говорить,что задача (81)-(23) является зчда-

чс;1 с нулевыми чачальшА'-ти условиями, соли Ч\ (х) и все дашшо задачи удовлетворяют пулевым начальным условиям. Итак,если задача (21)-23) ость задача о.нулевыми начальными ус-лопдима,то это значит,чго в ней все '.^со ц.крамо того,в опт/ предположения "хорошо!!" постановки уш&шутш там эллиптические задачи тлеют только трнвиальшэ роаоийЯрЧто обеспечивает принадлежность функций ' пространствам ',/ (Л или

о ' .Имеют мое то слодувцпо тоорешс

Тоорема 3.3.1 .Пусть для задачи (21)-(23) вцпояняются условия дополнительности, ейормуляровашшо выше и «нполнтотся равномерно по Гс условия,надогаошо на ядра ровюний полупрострапстзошах задач в локальной систомо коордштт с начала.; в точно л обсс-почивакмдо вместо с условиями дополнительности сцопки.праводЗпныо в тооремо 1.3.3,коэффициенты (21)имоют огршотегшна производные .

<~ Г) кез^шхмтппг (23) таете кмоят ограничен-

ные производные задача (21)-(23)«Ос

с нулевыми начальными условиям при достаточно малом гкзог единствошюо рсп;э;а:о.длл которого справедлива оцонгл

Теорема 3.3.2,Пусть п формулировке теорем«, 3.3.1 слова "ебоспо-чивающие-вмпсто с условиями допааннталымохА от^гп:-'.ггр"2• •

п'тоорем? 1,3;3" заменены па олова "соо.соцшш.цривадэшше э те о- • ре ко Г.3,4" и пусть »кроме того,Функции ^Су«) представляются ,

в™ ^ Л (24)

Тогда задача (21)-(23) о нулевым« кечалышмй условиями имэот «дня- . ствениоа решение,для которого спрредахяво неравенство

^ ^Цп 3 -«Ох

-22Ч' 'С-Аоеитмиогчпо. Теорема 3.3,3. Пусть в фородлировке теоремы 3.3.1 слова "обес-•дечивавдае вместо о условиями допоянительнооти оценка,приведённые вместо с условиями "заменены на слова "»..оценки,приведённые в теореме X.3.5".Тогда задача (21)-(23) с нулевыми начальными условиями при достаточно малом 1 имеет единственное решение, для которого справедливо неравенство из теоремы 3.3.1. Для. установления разрешимости задачи (21)-(23) в цилиндре произвольной высоты требуется также выполнение условий согласования, в связи с|чем приведём следующее

Определение 6.Будок говорить,что для задачи (21)~(23) вылолняют-оя условия согласования порядка ,если

)

1*0

(здесь <иМх\ ,

Ц}. <

Теорема 3.5.1 .Пусть выполнены' условия дополнительности,условие "хорошей" постановки,а также условия.обеспочивщие оценки из теорем 1.3.3 или 1.3.5 ы условия согласования порядка .

Тогда при выполнения ещё условий гладкооти коэффициентов1 и поверхности,указанных в теоремах 3.3.1-3.3.3 существует единственное решение задачи(М)-(23) ,для которого имеет место оценка

Теорема 3,5.2.ЕсЛи в формулировке Теоремы 3.5.1 слова"условия, обеопечиващие оценка из теорем 1.3.3 или 1.3.5" за!ленены на "условия,обеспечивающие оценки из теоремы 1.3.4" и,кроме того, функции Я^вуО имеют предсталения вида (24) ,то существует едцн-• отвенное решение задачи (24)-(27),для которого справедливо но-

равенство

Результаты,полученные а 17 и У-главохг диссертационной работы посвящены исследованиям начально-краевых задач для частных «лас-сов уравнений и систем со'смешанной, параболо-аллиптичоской структурой. Эти исследования отличаются от излаженных результатов том, . • что оценки решений и их разрешимость устанавливаются или в соболевских классах с суммируемыми в 0, -степени обобщёнными производными или 2 случае модельных задач-в гёльдеровских классах,что требует при изучения модольпкх задач применения совершенно другой техники, продполагещой либо использования аппарата теории мультипликаторов преобразования Фурье,геоно опязанной с теорией ц'0' ,изучен-ых П.И.Липор:аимм,либо лсотроэнгл явного вида полупностранствен-ных потенциалов или в случае геладорояекдх классов приютнония.. техника,аналогичной тохнако получения оцоияк тепловых потенциалов. ... Один из основных результатов.,полученных а XI-глава.касается полегания априорных оценок начально-краевой задача о данными Дирихле на бок013ой «оверхносга цилиндра' (Л -ограниченная обдаоть а с границей 8 );

(.^н г^и, _ Д«Ц. „ , «1^-и.Ы, (25)

V V*. ¿и» * "V» '

Уелозшши соялооояания и условиями "хорошей" постановка этой задачи являются следующие предположенияг

^ и, - ЪМ^{иI = % До) .

и далоо.если обозначить ц(4)(х) >г'° олвдущая эляяпппе-

ская краевая задача

додана бить однозначно разрешимой,причём последние краевые ус-ловля подучены из краевых условий в (25) путём ди^фэренцирова-1шл каких-либо & условий.

Теорема 4.4.2.Пусть выполняются условия согласовании и условие "хорошей" постановки .функция представляется в виде

&ч\= л? рал

» 11 шеогг место неравенство

вДУ ); {>ч -целые числа).Тогда решение сгсормулиро-вашюй выа» задача (25) при подчиняется оценке

Теорема 4.4,3.При виаолнекии условий тоорзш 4.4,2 существует единственное решение задачи (25) в гсяассе функций

I Т Г

Не обходи.ю заметить,что моделышо задачи в случае в ра-

боте изучены такого с помсцьа другой техники,отличной от техники использования теории пространств ,а именно реиония задач

Ноши и палупростракствешюй задачи непосредственно выражены через потенциалы,которые оценены путём использования техники,примененной В.А.Оолоишковкм при исследовании начально-краевых задач для йшмариэованной систеш Навьа-Стокса.

-25В заключение 1У-глави ■ обобщаются вопроси уст«шовя5Н«я априорных оценок д разрешимости общей начально-краевой задачи, дан ураз-110 кия

цце , 1»4(Л -эллиптические опорыорц второго порядка,

в соболевских класса:; с сумжруоынма в <}• -степени обобщ&шымп производннми.В работа при выполнения некоторых алгебраических условий,связывающих операторы уравнения к краевых услозий,получены оцеккг. суммы норм решения полулространотвсшю» краевой . задачи в класс о функций а ^ ,н <ц .. ,

лА-ч Й-г[ гЛггЛ ! Г л л-'/ ^

Этот результат сформулирован в качестве теорем! <¿.6,1.3 гяорзмэ 4.6,2 установлены сценки решения лолупрострааытвошюЗ задачи для но однородного урашгопия о начальной функци-

ей и общими краевыми условиями,Используя з'га гооро.ул,

ыошо вывести априорные оцонкп ц установить резрегшмооть общей начально-краевой задачи для псовдопараболяческого уравнения .

В §5.1 построена полупространствешш ф/вдемоцталькая матрица решений (П.Ф.М.Р.) следующей задачи в ;

(СЗ)

Условие дополнительности для задачи (27}-(2Э) формулируется дующим образом:

пусть -натуральные числа,которые ■могут пришибать

значения £ я пусть

:о поводу сформулированного условия додолшгехшости необходимо

Тогда кри и . У^

У...,

замвтать.что в частном случае двух уравнений (27)»реловиа дополнительности ысашо поревести на "язык"коэффицивнгов и выразить в более простой форме.Так,если рассвотреть смешанную полупрост-ранственяую задачу для оистош -Ддц=о й-^о^и-^Д),ГД0

НАМо^,

услоан!

Л,

с краевыми условиями вида

юане дополнительности можно формулировать следующим образом: пусть величины & а ^ определены соотношениями

Величины ^ и ^ таковы,что и в олучао ^^о числа & а ^ ^произвольны ,а в случаа выполняется неравенство

^{.З.^.Р. для задачи (27)-(29) имеет вид следующей блочной матра-

цы

кг1> -е

Теорема 5.1 Л .При выполнении условия дополнительности функции удовлэгворяют оцояке

а функции -оценке

-

3,

-е

Теорема 5;1.2.При выполнения условия дополнительности функции удовлетворяют оцение

&л*е

а

о для функций .представленных з видо

,гд0 ^^ -фундаментальное решение

уравнения ЛаллаЬа, имеет моего

Г416 (мМ)^

Далее,в §5,3,изучив сначала модельные задачи,а затем с помощью применения обычной схемы Шаудора получены в цилиндре оцонки рошеняя начально-краевой задачи для уравнения (27) о начальными функциями 6сг4у„ ^ и краевыми условиями

в результата чего доказана

Теорема 5.3.2.При выполнении условия дополнительности,необходи-. мых условий согласования и представимости функций в виде

решение сформулпровашой задачи при • подчшшотся неравеи-ству ' £,. с,^ .....(^ч & ^

В том яе

долженпя по параметру,предложенным О.ЛДадаквпской для параболических и эллиптических задач,устанавливается разрешимость задачи в классе функций

\ • (<-1- '«• ц ' Ч'« , <

Сладует сказать,что этот метод является отличим от метода,связанного с принципом локальности Шаудера и прнмэнЗнного в других главах диссертации. +

§5.5 посвшцён установлению гёльдеровекпх оценок решения в Гц, полупростраяственной задачи:

-ад-

Ч-^» (20)

^ V V*'4

.Теорема 5.5.1.При выполнении условия дополнительности,сформулированного выше.решение однородной полупространственной задачи (т.е. в (28) ^Мзо, ) подчиняется оценке

(обозначения <•> означают главную часть гёльдеровских норм) Нужно заметить,что для системы (28) (т.е. ^о^+О ) оказалось, что для оценка решения через нормы, известных функций не достают. до требовать приведённой вше гладкости решения,а необходимо ещё дополнительно оценить величину

в результата чего доказана теорема 5.5.2,устанавливающая оценки ■ суммы главных чсссой норм решения через нормы функций $ ^ и0> 1° также через нормы функций О'Д в. ^ ^->,свя-эанных с ^(>,-0 специальным образом. •

Наконец,в заключение У-главы,приведены гёльдеровекие оценки решения в ^ псевдопарабсишчеокого уравнения

с условиями и данными

Дирихле Ы

V0

Основные поло&ення диссертации опубликованы в следующих работах: .

1.Абдрахманов М.А.Поотроение и оцинка матрицы Грина одной модельной задачи для системы уравнений смешанного типа. //Вестник АН КазССФ-1982*№12я С.57-67

2.Абдрахманов М.А,Условия разрешимости и оценки решения одной задачи для системы уравнений смешанного типа.//В сб."Уравнения о разрывными коэффициентами и их приложения"/-Алма-Ата,"Наука", I985-C.5-II.

3.Абдрахманов М.А.Об условиях разрешимости и оценки решения одной задачи для системы уравнзний смешанного типа в полупростран-стве/Диффорснц.ураЪнения.-1986-Т.22,]52,С.344-345 .Статья полностью депонирована ВИЕИТИ,Ш234-84 Доп.,25стр.

4.Абдрахманаа МД.Разрепшмосгь начально-краовой задачи для системы уравнений смешанного типа в собесовских пространствах./Известия АН КазССР,серия физ.-маг.-1985,КЗ-С.З-7.

5.Абдрахмаяов М.А.Оценки решения однородной полупространственной задачи для системы уравнений смешанного типа в гЗльдеровских классах.//Вестник АН КазССР.Деп.ВШЗЮТ.^ТГЭ-бЗ доп.,47стр.

6.Абдрахманов М.А. L^-one.'iKit рошопия одной задачи для системы, уравнений смешанного типа в ограниченной области.//Диф$ер.уравне-ния-1936-Т.22,Г4-0.629-640.

7.Абдрахмаяов М.А.Оценка решения одной полупрострапотваяной за- ' дачи для системы уравнений смешанного типа- в гёльдеровских пространствах. //Тезисы докладов Юбилейной отчётно-научной конференции

по математике и мзханико IШ АН КазССР/-Алма-Ата-"Наука"Д986-С.3-4.

8.Абдрахмаяов М.АЛостроение и оценка, полупростраяотвенной фундаментальной иатр!1цы рзшеиий для системы уравнений эллплтико-па-рабсл::~сского тша.//Известия АН КазССР.Серия фяз.-мат.-138о-Гб-С.3-7.

Э.Абдрахканов И.А.Об Оцйнко некоторых интегралов,связанных с исследованном начально-краевых задач для системы эллиптико-пара-болическогп тша.//В сб/'Теоретичоскио и прикладные вопросы .дифференциальных у рав нош1й"/-Карагачда Д986—-С. 37-45.

Ю.Абдрахманов М.А.Об априорных оценках решений начально-краевых задач для системы эллшткко-параболичоского гила.//Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции "Классичоскио и яекласси-чоскио краевые задачи..."/-Куйбыпев,1987-С.З-4.

П.Абдрахманов М.А.Оценки решения неоднородной псдупространОтвен^*-ной задачи для системы двух уравнений смешанного типа в гёльдеровских классах./Ди<|феронц.урпвнония-1988-Т.24 ,Ш-С .2005-2007. Статья полностью депонирована ВЖТИ,402I-B88,27стр.

12.Абдрахманов Ц.А.Оцеюш решения полупроотранотввнной начально-краевой задача для оиотемн уравнений эллиптико-параболичвско-го типа в щ -клаосах.//Ди$ф8рЭ{щ.уравкения-1989-Т.25,Jf2-G. 330-331 .Статья полноогыз депонирована ВИНШ,4021-В88,27стр.

13.Абдрахманов Ц.А.Фундаментальная матрица' решений оаотеш двух уравнений смешанного гида а её оценка.//Ь об."'Теории функций,уравнения математической физики и их прилсшшия"/Каз1У-Алма-Ата,1987-С.3-7.

14.Абдравлаиов [Д.А .Оценки решения начально-краевой задачи для система уравнений эллштико-параболнческого типа в соболевских классах.//Известия АН КазССР,серия фнз.-мат.-1988-йЗ-С.З-7.

15.Абдрахмйасш U.A.Энергетические неравенства и теоремы разрешимости первой краевой задачи для параболо-эллиптической системы двух уравнений.//Вестник АН КазССР-1988-Л9-С.50-55.

16.Абдрахманов М. А.Априорные L^-оценки начально-краевых задач для снстош двух уравнений,имеющей общую параболо-эллиптическую огруктуру.//Резше докладов Х-Чехословацко-Советского совещания-1988-г.С тара-Тура,ЧСФР.

17. Абдрахманов ИДТАприорные оценки начально-краевой задачи для сиотоми со смешанной параболо-эллиптической структурой./А1звостия АН КазССР.Сория Физ,-маг.-1989-Я5-С.3-8.

18.Абдрахманов U.A.Об априорних оцонках и разрешимости начально-краевых задач для системы со смешанной параболо-эллиптической

отруктурой.//Тезисы докладоеВсесоюзной конференции по условно-корректным задачам./-1989-Краоноярск-Алыа-Ата-С. 4.

19.Абдрахмаясш U.A.Оценки в лиувиллевских классах решения полу-пространотвенной задачи с общим граничными условиями для псевдо-парабодачоского уравнения.//Тезисы IX-роспубликанской можвузов-ской конференции по математике и механике.-1989-Алма-Ата.

20.Абдрахманов М.А.Гёльдеровокцо оценки моделышх задач для псев-допараболичеокого уравнения.//Вестник АН КазССР-1990-М-С.62-67.

21 .Абдрахманов М.А. L^ -оценки решен:« модельных начально-краевых задач для системы двух уравнений общего вида,имеющей смешан-^ ную параболо-эллиптическую структуру.//Диф$ер.ур-ия-1990-Т.26,№9-0.1634-1635.Статья полностью депонирована ВИНИТИ, Jf2382-B90,26стр. 22.Абдрахманов М.А.Алриорнне L, -оценки решения начально-краевой задачи для системы двух уравнений общего вида,имеющей смешанную параболо-эллклтичаскую структуру.//Ди^фар.ур-ия-1990-Т.26,И2-С.2163-2165.

23.Абдрахманов М.А.Оценни, решений модельных задач для псевдопараболического уравнения.//Динамика оплошной среды.-Нов-ок-1990-Вып.95-С.З-23.

24.Абдрахмаяов М.А.Разрбпшмооть задачи Дирихле для поевдопарабо-личеокого уравнения в соболевоких клаосах.//Дшшшт оплошкой среды.-Нов-ск-1991-Вш1.101-С.3-20,

25.Абдрахманов М,А;0 разрешимости задачи Дирихле для поездопара-бодичеокого уравнения в соболевоких классах.//Тезисы докладов конф. "Краевые задачи и ия спектральные вопросы для днф.уравнений"/-Алма-Ата,1991-С .4.

26.Абдрахманов H.A.О лиувиллевоиих клаосах П.И.Лизоркина к пх применение при исследовании начально-краевых задач для уравнений и систем со смешанной парабол о-эллштачоакой структурой. //То зисы докладов респ.конф."Теория приближения и вложения функциональных пространств"/-Караганда,1991-С.48.

27.Абдрахманов М.А.Оцоши решанля палупространоувенной задачи Дирихле для псевдопарабодического уравнения вноокого порядка в

1Д^-классах.//Веогипк АН КазССР.Доп.ВШТИ,3784-В91,46отр.

28.Абдрахманов H.A.О начально-краевых задачах да системы уравнений со смешанной параболо-эллиптичосксй отруктурой.//Тезисн конф."Задачл для параболических уравнений и их прЕЛОзояия"-Ал.{а-Ата,1991~С,3-4.

29.Абдрахмаяов М.А. L^-оцонии рошонай общих краевых задач для уравнения со смешанной парабодо-эллиптичеокой структурой.//Записка научных семинаров'ЛОМИ АН СССР-г.Са1ШТ-Петербург-1991;т.197-С.4-27.

30.Абдрахманов LI.А.Разрешимость задачи Дирихле для псевдопараболического уравнония высокого порядка в соболевоких классах. //Известия АН РК.Серия йиз.-мат.-1992-^3-0.3-9.

31.Абдрахманов М.А.Об оцонках а разрешимости яачальяо-краовнх задач для уравнония со смешанной дараболо-эллппгической структурой.//Тезисы международно!: конференция "Дифференциальные и интегральные ;-равнеш1Я..."-г.Са1.!ара-1992-С.З-4.

32.Абдрахманов Неразрешимость начально-краевых задач для сис-то.'.ш уравнений со смешанной парабало-эллиптической структурой. //Тознсы кояф.'Ирг-МОнонно истодов функционального анализа к задачам математической ф:1зг.кп"-Ах1агы-1993-С.5-€.

33.Абдрахманов М.А.Априорные оценки решения общей начально-краевой задачи для уравнения со смешанной параболо-эляиптмчйской структурой.//Цеп .ВШИ, К2856-В93-45отр.

34,Абдрахманоа М.А. -оценки решений модельных краевых задач для оиогемы уравнений оо смешанной параболо-эллиптичеокой струк-турой./Диф$вр.ур-ия-1994-Т ;30-М.

Автор очитает своим приятным долгам ¡выразить признательность член-корр.НАН РК,профессору Е.И.Кшлу,обратившему в своё время внимание на аежяооть исследований по тематике данной диссертации, 8а его полезные и ценные ооветы при обсуждении полученных результатов ,

/

ВВДрахманов Марат Абдулхак уды' ПЛРАБОЛА-ЭЛЛШШШЫК АРАЛАО КШШВДУ ТЕВДЕУЛЕР МЕН ВуЙЕЛЕР БАСТАШ^-ШЕТТГК ЕСШТКР1Н1Н, АПРИОРЛИК; БА^АЛАШ МЕН ШЕЖЛУ1

Парабола-эллиптикалнц аралао курылывды теццеулер мен жуйелер бастап^ы-ш9тт1й эсвлтэрШн, априорлыц багалау хэнз шоой'лу мв-свлолор1 карастырышран.Жалпы турде бер1лгон гвндаулер мен яу-йолор модельд1к аооптор иепймдерШн, Соболев Lj -кс!$от1г1н-дег1 баралары алтшя.олар Шаудор схомаснньн, кемаг1мвн ак,нрлы айма^тагы еоептерлдн, априорлык, багалау мен шешлу мэоелолор1нв пайдалшшлрая.Апрнорлы^ багалау ме||в8ш1.мнЦ бар болу мвовлоло-pj. тэж1рибел1к мэн! бар есентер ушн гендоулер мен жуйолордСн, дорбес жагдайларында Соболев Ц^1' иец1от1г1адо зорттолгон. Модольдх осептердхн, кейб!р жагд'айларында олардан, шеш1мдор1 и потендиалдардыц кемогГ.мен айкгчя турде жазатын таддамды аппарат к^ршшп.осн шеп1вдерд1'н, Гёльдор кен1ст1г1вдег1 де багала-рн ' алннган. . =. • • •

'. . Abdral-JirnaAoV naiat Abdul!:)iakovlah' A Priori Eatltsatee and tHe Solvability erf the Initially-Boundary ГгоМетэ for the' Equatioao &ЙД Syotsaa with Ulxed Fiti-abolic-Elliptioal Structure

The problems of a priori eotiisatea eotabllohment end boundary value probleaa solvability for the equatioau and oyatemo with nixed parabolio-elliptical otruotuxo are inventigated. Tho eati&at«n of the model problema oolutlona for the equations and syateras of the derived type in Sobolev' ~ olaBoeo, which are applied at a priori estimates deducing and the «solvability in the limited domain with the help of Shouder'o oohena ore obtained. iha queotlona of a priori estimates exiotenoe trnd thr probletse solvability for the frequent class of equationo end eyatene with applied valuoa, In Sobolev'a clausea are otudied there. In the eaaea of

model problems the analytical devioe of their solutions presenting through the potentials, allowing to get the eetiaatea no la Gyol'der classes la created.