Асимптотическое поведение собственных значений краевых задач в сильно связанных областях, с уменьшающими объемами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



г- 'С-'""'

7. и ХАРКШСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ

На правах рукопису

Св)щова Свгешя В1тал1Увпа

АСИМПТОТИЧНЕ ПОВОДЖЕННЯ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ В СИЛЬНО ЗВ'ЯЗАНИХ ОБЛАСТЯХ, ОБ'бМ ЯКИХ ЗМЕНЫПУбТЬСЯ

01.01.02 — диферецщальш р]вшшня

АВТОРЕФЕРАТ дисертащГ на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

Харюв — 1993

Дисертащею в рукопис

Робота виконана в Ф)зико-техшчному шститут! низышх температур АН УкраУпи, м.Хармв

Науковий кер!В1шк:

ОфщШш опоненти:

член-кор. АН Укра'ши, доктор ф1з.-мат. наук, професор

ХРУСЛОВ бвген Якович,

доктор ф5з.-мат. паук, професор

ПАНКОВ Олександр АндрШович,

кандидат ф]з.-мат. наук, старший науковий сшвробтшк КОВАЛЕВСЬКИЙ Олександр Альбертович

Пров1дна оргашзащя: 1нститут математики АН Укра'ши, м.Кшв

Захист дисертац!1 вщбудеться

3 'У^УУ^ 1993р.

о /б ^ годин] на заа'дашп спещал^зованоУ вченоУ ради К 053.06.02 Харювського державного ушверситету (310077, Харгав, пл.Свободи, 4, ауд. 6-48).

3 дисертащею можна ознайомитись у Центральшй науковШ б1блютещ ХДУ.

Автореферат роз1сланий £ иис/СЖ-^е- 1993 р.

Вчений секретар спещал1зовапоУ вченоУ ради

Сохш А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Акту альт сть теми. Питания про поводження розв'язюв спек-тральних задач для елштичних диференшальшх оператор1в в областях складно! структури, що маготь дуже роздр1бнену (пор1зану) межу, виникав в р1зноман5тних галузях ф!зики та мехашки (наприклад, в електродинашщ, радюф5зиш, теори пруж-ност! та 1шп.). Складна структура облас-п робить практично неможливим чисельний розв'язок таких задач. Тому припциповс значения набував питания про те, як о за яких умов початкову спектральну задачу можна замонити так званою "усередненою" задачею, що розглядаеться в значно прост1пий облает!. Знайти . розв'язок усередненоУ зaдaчi вабагато легше, тому що головноУ трудност!, пов'язаноУ з наявшетю складно! меж], у неЗГ немае. Основна в^мога, яка пред'являбться при такому усередненш — близьюсть розв'язюв початковоУ та усередненоТ задач.

Зараз теория усереднення интенсивно розвиваеться у багатьох кра'шах. Серед перших математичних праць, присвячепих цьому питанию, сл]д назвати пращ В.О.Марченка та б.Я.Хруслова, в яких вивчалось асимптотичне поводження при з —► оо розв'язюв л1шйних крайових задач елштичного типу в областях = П \ де П — деяка фшеована область в Л"(п > 2), а множила р(') 13 зросталням з стае все б!лып роздр)бпеною (пор!заною). Для опису асимтотики в цих роботах вперше були введет усереднеш р!вняння 1 межов! умови, як1 розглядалися в простих областях П.

Аналопчш питания для квазЫшйних диференц5альних р5внянъ вивчались в прадях 1.В.Скрипника, С.О.Ламонова, О.А.Ковалев-ського.

Паралельно з цими дослщженнями розвив£1лась теор1я усереднення диферепц] альних операторов з швидко коливпими коеф5щ-ентами. Вперше р1вняння з швидко коливними коеф5ц5ентами були розглянут! МЛ.Фрейдлоним, б.де Джордж1 та С.Снаньоло. Подальший розвиток теор1я усереднення диферешиальних операторов набула в прадях багатьох в]'тчизняних та закордон-иих математиков: М.С.Вахвалова, В.В.Жикова, О.А.Олойник, Г.Н.Панасенко, Ж.Дюво, б.Санчес-Паленсп, А.Бенсоуссана, Ж.Л.Ль онса, Дж.Папашколаоу та ]нш.

Дана дисертащя присвячена досл!дженню асимптотичного

з

поводження при а —»сю розв'язюв другоГ та третьоГ крайових задач для р^внявня Гельмгольца та розв'язюв р!внянь вшц!х порядюв в областях П^') С П С IV1 (п > 2), шкроструктура яких ускладшовться з ростом я, а також вивченню асимнотики власних зыачень ! власыих функцШ цих крайових задач. •

Аналог!чн! питания розглядались у ряда праць. Так, наприклад, задача про асимптотичне поводження розв'язюв другоТ крайово! задач! дослщжуваласъ в роботах б.Я.Хруслова, Д.Чюранеску та С.Полен, третьоТ крайово! задач! — в працях ВЛ.Сукретного, Л.В.Верлянда ! М.В.Гончаренко. Усередненню ршнянь вищих порядюв в областях Ь складною границею присвячен! роботи е.Я.Хруслова, Л.В.Верлянда ! 1.Ю.Чудиновича, а спектральн! задач! теорн усереднення розглядали М. Ваш натан, О.С.Шамаев, Т.А.Мельник. Треба, однак, в!дзначити, що уама перел!ченими авторами припускалося, що 13 зростанням в м!ра областей залишаеться обмеженою знизу д елкою сталою, яка не зал ежить в1д а. Виникав питания, чи можлива побудова теори усереднення крайових задач при в!дмов1 в1д умови обмеження знизу мдри облает! Розв'язок цього штання пов'язаний !з введен-

иям правильних понять компактное™ та зб1жност1 функц!й, виз-начених в областях, об'вм яких прямув до нуля. Пе, в свою чергу, вимагае узагальнення ноняття сильно'] зв'язност! таких областей. Вивчешш спектра крайових задач в областях, об'вм яких змен-шувться, пов'язане з досл!джепшш асимптотичного поводженля розв'язюв вар!ащйних задач, шо вимагае правильного впроваджен-ня енергегичних характеристик таких областей: характеристик пров^дпост] ! поглинання на меж!. Розв'язку цих задач ! присвя-чена ця робота.

Метою роботи в доопдження асимптотичного поводження власних значень 1 власних функщй оператора Лапласа та пол!-гармошчного оператора в сильно зв'язаних областях, об'ем яких зменьшувться, а також виведення усереднених рдвнянь для розв'язюв в!дпов)дних крайових задач.

Загальна методика роботи. У дисертад!) застосоваяо метода теори диферепщальних р!внянь в частшших пох!дних, функцюналь-ного алал!зу, а також вар!ац!йн! метода досл!дження крайових задач.

Наукова новизна. У дисертаци одержано таю нов1 результата:

а) введено поняття сильно! зв'язноеп областей, об'ем яких змен-шувться, вивчеш питаттня зб^жносп 1 компактност! послщовност) функщй, заданих на таких областях;

б) дослщжено асимтотичне поводження розв'язюв другоУ та третьоУ крайових задач для р1вняння Гельмгольца в сильно зв'язаних областях, об'ем яких зменыпуеться;

в) вивчена асимптотика власних значень та власних функщй оператора _ Л алласа в областях такоУ структури;

г) дослщжено асимптотичне поводження розв'язюв р1внянь вищих порядюв в сильно зв'язаних областях, об'ем яких зменьшуеться;

д) вивчена асимптотика власних значень та власних функщй полшармошчного оператора в областях такоУ структури;

Теоретична та практична щншсть результат1в. Результата, одержат в дисертащУ, та розвинеш в шй метода можуть бути вико-ристаш для дослщження асимптотичного поводження розв'язюв крайових задач для елштичних диференщальних оператор1в дов!льного порядку в областях складноУ м!кроструктури з р]зномаштними типами крайових умов. Виведеш в дисертащУ усереднеш р^вняння можуть бути застосоваш в радюф1зиц] при дослщженш коливань волокнистих структур.

Апробавдя роботи. Результата роботи доповщались. на сем1-нарах в5дд1лу математичного моделювання ф1зичпих процеав ФТ1НТ АН УкраУни, XXII науково-техшчшй конференщУ молодих досл1дниюв ФТ1НТ АН Украл пи (1991р.) та мажнароднШ конференщУ "НелЫйш межов1 задач1" (с.Ласш, 1993р.).

Публ1кащУ. Основш результата дисертащУ опублжоваш в роботах [1-4].

Об'ем та структура дисерташУ. Лисертащя складаеться ¡з вступу 1 чотирьох розд1Л)в. Загальний об'ем дисерташУ 126 сторшок друко-ваного тексту. Список л1тератури м!стить у соб1 61 найменування.

ЗМ1СТ РОБОТИ

Перший роздш присвячений досл!дженню зб1жност1 1 ком-пактност! посл1довност1 функщй, заданих в областях, об'ем яких зменыпубться. Доводиться достатня умова компактносп послщовност) функщй, для чого даеться означения сильно'] зв'язност! послщовносп областей та, нарепгп, наводиться приклади областей, що задовольшпоть умову сильно! зв'язност] та об'ем яких

областей, що задовольняють умову сильно] зв'язноеп та об'ем яких зменыпуеться.

Нехай П - довдльна обмежена область в Rn (п > 2), а П^ -шдмножина Л при кожному фжсованому s. Припускаеться, що област1 О« залежать вгд параметра а так, що при а —► оо вони стають усе бшьш розгалуженими, тез О« —► 0 та для будь-яко] кул1 Вс С П радиуса е > 0 при досить великих з (з > з(з)) виконуеться

HepiBHÍCTb

тез (ФпВс)>СептезФ, (1)

де С не зал ежить в5д з.

Нехай к — довшьне невщ'бмне число, а а — (ai,qj,... ,an) — мультшндекс.

Означения 1. Функщя и(х), визначена на облает] F, нал ежить класу Lip(k,M,F), якщо вона к раз1в неперервно диференцШовна, i при цьому для будь-яких точок х та у, що належать F, виконуються HepiBHOCTi

\ГУи(х)\<М при |a|<Jb, \Dau(x) - Dau(y)\ < М\х - у\ при |а| = к. Клас Lip(k,M,F) при к = 0 будемо позначати Lip(M,F,).

Означения 2. Послщовшсть функщй (uW(x) € IK^fiW), з = 1,2,...} зб!гаеться в Wf(ftW) функци и(х) 6 якщо кнуе

апроксимуюча послщовшсть функцШ {и^(а:) € Ыр(к,См,£1), М = 1,2,...}, що зб1гаеться до и(х) в fV2k(fl), i така, що •

lim Вт-, ЛцМ — uji/llLj/ní.u = 0.

м—со тез fí(')

Зб1жшсть в Wj(ftW) при к = 0 природно надал] нази-вати зб]жшстю в Lj(fíW). бдишсть гранично! функци и(х) забезпечуетъся умовою (1).

Означения 3. Послщовшсть функцШ {tiM(a:) G W^ffl^), з = 1,2,...} називавться компактною в якщо з будь-якоГ и

шдпослщовпоеп можна вдщлити шдпослщовшсть, що зб1гавться в ÍVfCíiM) до деяко! функци и(х) G Wf(íl).

В §2 роздалу I установлюються достатш умови на област1 що забезпечують компактшсть в IVf (!}(')) послщовност! визначених

s

на них функцШ. Для цього впроваджуеться таке озпачепня сильно']' зв'язпост!:

Означення 4. Облает! П« задовольняють умову сильно) Зв'яЗНОСП, ЯКЩО ДЛЯ будь-яко! ПОСЛ1ДОВПОСТ1 функций {и^'(х) е С3(П(')), 5 = 1,2,...} тако'У, що ||иМ||^1(п(1)) < С тез П('\ де стала С тд з не залежить, та для будь-якого М (М = 1,2,...) ¡спують шдмножини С та = \ так;, що

««(я) € ир(М,П$),

та при М —+ оо, з> з(М)

тез = «(

= 0<1)тез п(,)-

Осповний результат роздшу Г може бути сформульовапий у такому виг ляда.

Теорема 1.1. Нехай облает! П*-1' С О задовольняють умову сильно'/ зв'язност) 1 умову (1). Тод! будь-яка послздовшсть функцШ {и«(*) е И^(ПМ), а = 1,2,...} така^що НиМЦ^.^ < Стез П<4>, де стала С в!д з не залежить, компактна в

В §3 роздал у I будуються деяы типов! приклади плоских областей, що мають властив!сть тез П^*) —► 0 при з —► оо 1 задовольняють в той же час умову сильно! зв'язность

В другому роздал! розглядавться друга крайова задача: вивча-вться асимптотичне поводження розв'язюв другоУ крайовоУ задач! для р1вняння Гельмгольца, досл]ДЖувться задача на власш значения для оператора Лапласа в сильно зв'язаних областях ¡з крайовою умовою Неймана, знаходяться коефщ!енти усереднених р1вшшь в ряд! окремих випадюв.

В §1 розглядавться така крайова задача:

Ди«(») - А'цМ(*) = /'Н*)» * е % (2)

^ = 0, х € Ш«, (3)

ап

т

де /(''(х) е ¿2(П^). Для вивчення асимптотичного поводження при з —у оо вводяться так! локальш енергетичш характеристики областей Нехай — куб ¡з центром у точщ х° £ 1 ребрами довжиною Л > 0, що орзентоваш за координатними осями, а I — дов1льний вектор в й". Розглянемо величину

Ф|(з,х°, Л) = Ма« / {| У»« |2 +Л-2~7 | и»М -(х-х°,1) \2}<1х, (4)

де аМ = , 7 —.дов1льне додатне число, а М береться в клаа

фушавй 6 П Я'*)). Функщонал Ф/(з,х°,/1) квадратичпий

в1дносно I 1 може бути зображений у в иг ляда

ФЁ «</(«,МО-

Тензор {оу(л,х°,Л), »",7 = 1,2,...,п} виберемо за головеу кшьюсну характеристику пров]дност1 областей П^*'. Локальну ю лью сну характеристику гщльност! областей Г^'Э в П введемо за допомогою функцп

_./. -О ^ _ те*(К1 П П('))тез П

т{з'х 'л)"-^¡Гпй-' (5)

Основний результат §1 полягае в наступному твердженш. Теорема 2.1. Нехай.послщовшсть областей задовольняе умову сильноУ зв'язност!! в кожшй точщ х 6 П виконуються умови:

1) 11т 15т =

: А-О'-оо д» ^ /»

2) для деякого 7 > О

Иш м М^Л) = ит ш = {х)

де 6(1), а,; (я) — неперервш в П функцп, Ь(х) > Ь0 > 0, а тензор {а;;(х), I,] = 1,2,...,п} додатно означений;

3) послщовшсть функщй /(*) зб!гаеться в до функцп /(х) €

Тод1 розв'язок задач] (2)-(3) зб5гаеться в до

функцп и(х), що в розв'язком такоТ крайовоТ задачи

п ' Я Я,,

£ яг^^яг) - = Я*Ж*). * 6 П'

¿^'=»1 ОХ,- ОХ;

це ^ = £¡¿=1 ач(х) соз(п1хдщ — пох!дна по конормал1 до ЗП.

Ловедення щв! теореми, яке проводиться вар1ацШним методом, цано в §2 роздшу II.

В §3 розглядаеться така задача на власш значения:

-Ди<*> = Аи('), х € П('\

^ = 0, х 6 апм.

дп

ГГозначимо через 0 <

. власш числа Ц1в1 задачу зану-лероваш в порядку неспадання з врахуванням Гх кратносто, а через 4 > щ\х)у... в1дпов]дн1 Ум власш функщУ там, що

Розглянемо також таку задачу на власш значения в облает! П : п д ди

^ = 0, х € дП. ди

хе 6(х),а,;(х) — иеперервш в П функщУ, Ь(х) > 60 > 0, тензор а,-у, = 1,2,...,п} додатно означений. Позначимо через 0 < ^ < А2 < ... власш значения щеУ задач], занумеровал! в порядку [еспадання з врахуванням Ух кратност!, а через щ, 111(2), и2(х),...— пдповщш Ум власш функщУ, ортонормоваш в простор] Ьь3{П) 1з 1агою 6(х).

Основний результ роздолу II описуеться такою теоремою. Теорема 2.2 Нехай при « оо виконуються умови 1) 1 2) ■еореми 2.1. Тод1 при кожному » Ит,_оо А;'' = А,-, причому зб!жшсть >1вном1рна в1дносно » < N. При цьому, яюцо власне значения А, фосте, то в!дп0в1дна

Ар

власна функщя зб1гаеться в

(о власноУ функщУ «¡(х), яка в]дпов!дае А,-; якщо А;— кратне власне начення, то можна виддлити шдпосл]довшсть {и[*'(х), з = з^ —» о}, що збшаеться в ¿2(П^) до деякоУ лгайноУ комбшащУ власних

>уНКЩЙ, В1ДНОВ1ДИИХ А^

яю утвореш об'еднанням двох систем паралельпих вузьких смужок. Аналопчш обчислення проводяться в §5 для областей з випад-ковою межею. Розглянуто випадок, коли област1 П(') с Л2 утвореш розташованими вздовж координатних осей тонкими випадковими смужками, б1чн! меж! яких описуються випадковими функщями у вигляд] (для смужок, що напрямлеш вздовж ос! 0з?1):

х$(хиш) = 6] + ¿ЙОГ"*! + ± ^{¿Гех1 + а,(у),а;)

а = о,±1,±2,...),

де 0 < 9 < |, 4 = о(6) при а оо, а;(ш) та —

посл!довност! випадкових величин, а 72(£,о;) ] (¿(1,ш) — одном]рн! випадков1 процеси, як! мають певш властивост1, причому процес сташонарний та метрично транзитивний. Паказано, що в цьому випадку

"чЮ = {ЯШЯ-ЩУ ^ =

де — символ Кронекера, а {■)— знак математичного спод1вання.

В третьому розд!л! дисертащ! досл!джубться третя крайова задача в сильно зв'язаних областях, об'ем яких зменьшувться. В §§1,2 розглядавться така крайова задача:

Ди« - Д2и« = /«(¡с), х е (6)

ЗиМ

дп

Эй«

+ оМ(*)иМ = 0, х е (7)

„ =0, хедп, (8)

ап

де б Ш(')— частина меж! облает! така, що

дП = 0, а('\х)— нев!д'емна функщя, що задовольняв умову слабкого

погливанил па мели облает!

ъ+твз У •««ад <

де В(х,р)— куля з центром в точщ х ! рад!усом р, 0 < р < 1, стала С не залежить в1д з.

ю

де В(х,р)— куля з центром в точщ х 1 рад!усом р, 0 < р < 1, стала С не залежить вщ 5.

Локальн! характеристики пров!дност! та гщльност! областей ипроваджуються так само, як 1 для-друго!' крайово1 задач!, по формулам (4)-(5). Кшьюсна характеристика поглинапня на ме>ю дП^ задаеться за допомогою функщ!

inf O.W tXO

де inf береться в KJiaci функщй t>«(x) € ^(Ä^nii«), а довшьна додатна стала. Доведена наступна теорема.

Теорема 3.1. Нехай поапдовшсть областей fi« задовольняе умову сильно!" зв'язност! та в кожн!й точщ х € П виконуються умови:

' А-о'-°° hn

2) для деякого 7 > О

lim ш = ,im HS = aij{x)t

А-0«~оо hn А—О'-400 hn VW»

3) для деякого в > 7

Иа lim = Hm lim ^bä = ф),

A-.0i-.oo hn A—0'—00 hn

де b(x), a;;(x), c(x) — неперервш в П функцй', b(x) > b0 > 0, а тензор {al;(x), i,j = 1,2,... ,п} додатно означений,

4) посл!довщсть функц!й зб!гавться в до функцй' /(х) € £а(П).

Тод! розв'язок и«(х) задач! (6)-(8) зб!гаеться в до

функцй ti(x), що в розв'язком крайово! задач!

я Q. Оц

£ яг(аи(х)^г) - ^(Ф - е(х)и = /(x)b(x), х G П,

0=1 ох,- öXj

Р- = 0, х 6 дП. ои

В §3 розд!лу III ця теорема застосовуеться для досл!дження такоТ задач! на власн! значения:

-Ди('> = Au«, х е nw, и

^ + = 0, * е дФ\

an

ди^

—— = 0, ie an.

an

Позначимо через A« < A« < .. . власш значения mei задачу занумерован! в порядку неспадгшня !з врахуванням ix кратностей, а через ui"'(x), ... в!днов!дш im власш функцй', що ортогональш

в простор! Li(ii^) i мають норму (а^)-1/2.

Будемо також розглядати таку задачу на власш значения:

п д ди

~ Е яТ(ву(*)яГ-)+ с(г)и = ЛЬ(a:)u• хеП>

¡¿п 1 ах{ axj

du

— = 0, хбдП,

OV

де 6(ж), ау(х), с(х) — неперервш в П функцп, Ь(х) >Ь0>0, с(х) > 0, а тензор {ay(as), i,j = 1,2,...,п} додатно означений. Позначимо через Ai < Аз < ... та t4*'(a;), и%\х),... власш значения та власш функцй* Hiei задач! в!дпов!дно. При цьому Ai занумерован! ¡з враху-•ванням кратност!, а щ(х) ортонормовал! в простор! Lj(fl) i3 вагою Ь(х).

Основний результат роздшу III полягав в наступному.

Теорема 3.2. Нехай при s —► оо виконуються умови 1)-3) теореми 3.1. Тод! при кожному »' lim,-,«, А^ = А,-, причому зб!жн!сть р1вном!рна в!дносно > < N. При цьому, якщо власне значения А; просте, то в!дпов!дна Ар власна функщя и\'\х) зб!габться в ¿2(fiM) до власноУ функцп щ(х), яка в!дпов!дав А,-; якщо А,-— кратне власне значения, то можна видшити п!дносл!довшсть а = —►

оо}, що зб!гаеться в ¿з(Л^) до деяко! л!н!йиоГ комбшаци власних функц!й, в!днов)дних А,-.

В §4 розд!лу III наведеш приклада явного обчислення гранично! функцп иоглииання с(х).

Четвертий розд!л дисертацн присвячений крайовим задачам для р!внянь вшц их порядив. В §§1,2 розглядаетьсятака крайова задача

у слабюй постановщ):

/' £ ^D0,tiW(a!)I>0!»(a!) + AiuW(a!)»(a;)}da:= J f'\x)v{x)dx, n(') ll"l=m a' ) n(')

te uW(x) G v(x)— довольна функщя ia /«(*) G

Введемо основш юлыасш характеристики областей ii^. Поз-ичимо через R = сукушпсть дШсних чисел, зану-

дерованих мультшндексом р = (/ii,/i2,...,/i„); Pq(x) = {•Ро/1(ж)}м=т> ie Ро^ = -¿¿(х- х0)*1. Покладемо (Л,Р0) = R^Pq^x). Розглянемо

I куб! АГд величину

+ Е1 £ \D°{wM - (Д, Po))|J}dx,

к-0 |а|-*

ie 7 > 0, a inf шукавться в njiaci функщй w^(x) G П fi^).

Справедлива р^вшсть Фл(з,а;0,Л) = E|A|=|,|=m aM(s,x°,h)R1Rli. Гензор {ам(з,х0,}i), = |i7| = m} оберемо за одну з юльюсних сарактеристик областей П^'К Локальну характеристику щшьност! )бластей ßW в П введемо так само, як це було зроблено рашше, а :аме за допомогою функци т(з,а;0,Л). Доведена така теорема.

Теорема 4.1. Нехай послщовшсть областей

пм

задовольняв

гмову сильно? зв'язност! i в кожюй точщ х G П виконуються умови:

-4) lim lim m(s>x>h) _ ь^д) ' А-о«-°° hn v '

2) Um Um «wC*.«.*) = lim US fffikfi*) = (x)

ie Ь(ж), aM{x) — неперервш в ft функци, ¿(ж) > £>о > 0, =

г/1 = т} додатно означений тензор,

1) посл1довшсть функщй зб1гаеться в ¿2(0^) до функци /(х) G Тода розв'язок задач! (9) зб5гавться в W2m-1(iiW) до функци

и{х), що е розв'язком крайово? задач!:

/1 Е am{x)Dflu{x)D,,v{x) + A26(x)u(a:)t>(x) 1 dx =

n Ы»М=»» J

= / /(e)6(*)«(*)dx, il

де v(x)— довшьна-функщя !з Wjm(n). Доведешш теореми 4.1 давться в §2.

В §3 роздшу IV теорема 4.1 застосовуеться для вивчення задач! на власн! значения для пол!гармон!чного оператора:

/ Е T^Dan(-,\x)Dav{x)dx = А / uW{x)v{x)dx,

де v(a)— довольна функция 13 W™^')).

Позначимо через 0 < А^ < А^ < ... власш значения nie'i задач!, занумерован! ¡з врахуванням Гх кратност!, а через Uo,u['\x)fv$i\x),... в!дпов!дн! im власн! функцн, яю ортогональш в простор! ! мають норму (а^)-1'2.

Розглянемо також задачу на власш значения в облает! П:

/ Е alir,Dßu{x)D"v{x) = \ f b(x)u(x)v(x)dx, il М=1ч|=т П

де v(x)— довшьна функц!я 5з U^m(ii), 6(а>), а^{х) — неперервн! в П функцп, Ь{х) > Ь0 > 0, {aw(a;),|p| = \т)\ = т} додатно означений тензор.

Позначимо через 0 < Aj < А? < ... власн! значения nie! задач!, занумерован! в порядку неспадання з врахуванням Тх кратност!, а через u0,ui(a;),u2(x),...— в!дцов!дн! im власш функцн, ортонормоваш в простор! L\(0,) !з вагою Ь(х).

Основний результат розд!лу може бути сформульований у такому виг ляда.

Теорема 4.2. Нехай при з —* оо викоиуються умови 1),2) теореми 4.1. Тод1 при кожному i lim,.,,» = А;, причому зб!жн!сть р!вном!рна в!дносно i < N. При цьому, якщо власне значения А; просте, то в!дпов!дна А^ власна функц!я зб^гаеться в до власноТ функцн и,(ас); якщо А; - кратне власне значения, то !снуе шдпосл!довн!сть з = s* —♦ оо},

и

яка зб^гаеться в IV™ '(¡Г^1') до деякоТ л^шйпоУ комбшац11 власних фупкцШ, В1дцов!дш1х А,-.

В §4 виртуеться задача про в^льш коливання тонкоУ ¡зотропноУ нлат1вки, що складавться ¡з двох ортогональних систем пар-алелышх вузьких смужок. Показано, що в цьому випадку усеред-непа крайова задача описуе вшьш коливання сущльиоУ плат!вки, але вже ортотропноУ.

ПУБЛ1КАЦН ЗА ТЕМОЮ ЛИСЕРТАПП

1) Сиищепа Е.В. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи в областях уменьшающегося объема. В кн. Теория операторов, субгармонические функшш. Сб.научн. трудов.- Киев: Наук, думка, 1991.- С.126-134

2) Свищева Е.В. Вторая краевая задача в областях уменьшающегося объема. XXII паучно-техпическая конференция молодых исследователей ФТИНТ АН Украины. Тезисы докладов.- Харьков, 1991,-С.83-84

3) Свшцева Е.В. Третья краевая задача для уравнения Гельмгольца в областях малой мсрщ / Физ.-техн. ин-т низк. темпер. АН Укр.-Харьков, 1992,- 17 е.- Леп. в ВИНИТИ 24.04.92, N 1399-В92

4) Свгацева Е.В. Осредпение уравнений высших порядков в областях малой меры // Теория функций, фупк. анализ и их прил., 1993, вып.58- С.95-106

Ответственный за выпуск Д.Г.Шепельский_

Подписано к печати 13.10.93г. Физ. п.л. 1

Уч.-изд. л. 1. Заказ N 74 Тираж 100 экз. _

Ротапринт ФТИНТ АН Украины. 310164, Харьков, пр.Ленина,47