Краевые задачи для лапласиана со сменой типа граничного условия на множествах, стягивающихся к кривой

Планида, Марина Юрьевна

Краевые задачи для лапласиана со сменой типа граничного условия на множествах, стягивающихся к кривой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Планида, Марина Юрьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Уфа МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Краевые задачи для лапласиана со сменой типа граничного условия на множествах, стягивающихся к кривой»

Автореферат диссертации на тему "Краевые задачи для лапласиана со сменой типа граничного условия на множествах, стягивающихся к кривой"

На правах рукописи

Планида Марина Юрьевна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛАПЛАСИАНА СО СМЕНОЙ ТИПА ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ НА МНОЖЕСТВАХ, СТЯГИВАЮЩИХСЯ К КРИВОЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2004

Работа выполнена в Башкирском государственном педагогическом

университете

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор P.P. Гадыльшин

доктор физико-математических наук, профессор Ф.Х. Мукминов кандидат физико-математических наук, доцент С.Г. Глебов

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится " 7 0 " декабря 2004 г. в 15 часов на заседании специализированного совета Д 002.057.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450000, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан "16" ноября 2004 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, к.ф.-м.н.

СВ. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Краевые задачи с различного рода сингулярными возмущениями привлекают внимание многих специалистов в области дифференциальных уравнений и математической физики. Интерес к этим задачам объясняется, с одной стороны, тем, что сингулярно возмущенные краевые задачи часто возникают как математические модели в различных приложениях, а с другой стороны, - наличием у этих задач разнообразных свойств, интересных с математической точки зрения. Примерами такого рода могут служить эллиптические краевые задачи для уравнений с малым параметром при старшей производной, краевые задачи в области с вырезанными малыми отверстиями, с тонкими включениями и щелями, с узкими отростками и каналами связи, краевые задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границы, с концентрированными массами, в областях с быстро осциллирующей границей, в перфорированных областях. Такие модели исследовали Н. С. Бахвалов, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, Ю. Д. Головатый, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Г. А. Ио-сифьян, С. М. Козлов, О. А. Ладыженская, Л. А. Люстерник, В. Г. Ма-зья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, О. А. Олейник, Г. П. Панасенко, Б. А. Пламеневский, Л. С. Понтрягин, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, J. M. Arrieta, R. Hempel, S. Jimbo, F. Murat, L. Seco, B. Simon, L. Tartar и многие другие. В этих задачах термин "сингулярное возмущение" понимается в том смысле, что не существует замены переменных, переводящей их в краевые задачи в фиксированных областях с фиксированными граничными условиями для оператора, представляющего собой малое возмущение оператора. Другими словами можно сказать, что это краевые задачи с сингулярно возмущенной топологией (области или граничных условий).

1 Самарский А. А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов. // ДАН СССР. - 1948. - Т. 6XJÖ-6.—G.631 63 fc—

- ulllunUtllLllii

ние для главного члена асимптотики собственного значения. Позднее аналогичные результаты получили Ю. Н. Днестровский, Sh. Ozawa, С. A. Swanson. Главный член асимптотики собственного значения для оператора Лапласа в двумерной области с малым отверстием были построены Sh. Ozawa2. Полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций краевых задач для оператора Лапласа в трехмерных областях в случае, когда в области есть малая полость, на границе которой задается условие Неймана, были получены В. Г. Ма-зьей, С. А. Назаровым и Б. А. Пламеневским3. Задачи со сменой типа граничного условия на малой части границы, стягивающейся в точку, были изучены Р. Р. Гадыльшиным4'5.

В определенном смысле развитием этих постановок являются краевые задачи, рассмотренные в диссертации. В ней изучаются спектральные задачи для трехмерного оператора Лапласа в ограниченной области с двумя типами сингулярных возмущений:

• на узкой полоске, стягивающейся к замкнутой гладкой кривой на границе, задается однородное граничное условие Неймана, а на остальной части - однородное граничное условие Дирихле;

• в области вырезается тонкое тело, диффеоморфное тору, также стягивающееся к замкнутой кривой (но уже лежащей внутри области); на границе этого тонкого тела задается однородное граничное условие Неймана, а на внешней границе - однородное граничное условие Дирихле.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы - доказательство теорем сходимости и построение асимптотических разложений по малому параметру собственных элементов (собственных значений и соответствующих собственных функций) рассматриваемых сингулярно

2Ozawa Sh. Spectra of domains with small spherical Neumann boundary. // J. Fac. Sei., Univ. Tokyo. - 1983. - Sect. I A 30. - P. 259-277.

3Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1984. - Т. 48. № 2. - С. 347-371.

4Гадылыпин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифф. уравнения. - 1986. - Т. 22. № 4,- С. 640-652.

5Гадыльшин Р. Р. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия. // Матем. заметки. - 1992. - Т. 52. № 4. - С. 42-55.

возмущенных краевых задач. Малым параметром является ширина полоски и диаметр сечения тонкого тела.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказана сходимость решений и собственных элементов рассматриваемых возмущенных краевых задач к решениям и собственным элементам предельной задачи Дирихле и получены равномерные по малому и спектральному параметрам оценки этих решений.

2. Построены и строго обоснованы полные асимптотические разложения по малому параметру собственных элементов оператора Лапласа для задачи со сменой типа граничного условия на узкой полоске. Получена явная формула для первого возмущенного члена асимптотики собственного значения.

3. Построены и строго обоснованы полные асимптотические разложения по малому параметру собственных элементов для задачи с вырезанным тонким телом. Получена явная формула для первого возмущенного члена асимптотики собственного значения.

Методика исследования. Решения краевых задач понимаются в обобщенном смысле. Сходимость решений возмущенных краевых задач к решениям предельной задачи и оценка решения доказываются в норме пространств Соболева и основано на анализе полюсов резольвенты для возмущенной и предельной задач. Асимптотики строятся в два этапа. Вначале проводится формальное построение асимптотических разложений, затем формальные асимптотики строго обосновываются. Формальное построение проводится на основе метода согласования асимптотических разложений. Обоснование формальных асимптотик осуществляется с помощью оценки обратного оператора.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении задач математической физики. Такие исследования проводятся в С.-Петербургском отделении Математического института РАН, Институте математики и механики УрО РАН (Екатеринбрг), Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (Уфа), Московском, Санкт-Петербургском, Башкирском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики с ВЦ УНЦ РАН, на семинаре кафедры математического анализа БашГПУ, на международных XXIII, XXIV и XXV конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2001, 2002, 2003), на региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2002), на международной конференции "Асимптотики решений дифференциальных уравнений" (Уфа, 2002), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в совокупности на десять параграфов, пяти иллюстраций и списка литературы, содержащего 84 наименования. Общий объем диссертации - 89 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

Первая глава посвящена изучению вопросов сходимости решений и собственных элементов возмущенных краевых задач для оператора Лапласа в областях с вырезанными тонкими трубками и со сменой типа граничного условия на узких полосках к решениям и собственным элементам предельной задачи Дирихле. Результаты этой главы используются для строгого обоснования асимптотик собственных элементов возмущенных задач, строящихся во второй и третей главах диссертации. Постановка задачи следующая. Пусть

односвязная ограниченная область с гладкой границей - за-

мкнутая кривая без самопересечений, лежащая либо на , либо в , Б - произвольное диффеоморфное отображение К3 на себя, такое, что образом 7 является единичная окружность, <гЕ - тор с осевой окружностью единичного радиуса и кругом поперечного сечения радиуса ,

- прообраз , где Если , то обозначим через

произвольную область, лежащую в ГПсте, Г£ = Г\7е (см. рис. 1).

Рисунок 1.

Если же 7 С П, то обозначим через сгЕ произвольную область, лежащую в <тс, П£ = П \ ае (см. рис. 2).

Рассматриваются два типа сингулярных возмущений краевой задачи Дирихле

- Дtí0 = Auo + / в П, ií0 = 0 на Г. (1)

К первому типу возмущений относится задача со сменой типа граничного условия на узкой полоске:

ди

-Ди£ = Ащ + / в П, —- =0 на <yt, щ = 0 на ГЕ, (2)

от

где - вектор внутренней нормали. Ко второму - краевая задача вне тонкого тела

ди

-Диг = Аие + /е в П£, -р-^- =0 на дае, ие = 0 на Г. (3)

от

Решения краевых задач (1)-(3) понимаются в обобщенном смысле. В первом параграфе первой главы изучается сходимость решений возмущенной задачи (2) и доказывается следующее утверждение

Рисунок 2.

Лемма 1. Пусть / (Е Ьг(П), К - произвольный компакт в комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи

Тогда существует число £о > 0 такое, что при л ю б < м и любом ХЕК существует единственное решение ие краевой задачи (2) и

Затем, с помощью леммы 1 доказывается следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов первой главы.

Теорема 1. Пусть Ао - собственное значение краевой задачи (4). Тогда

1) существует собственное значение \е краевой задачи

-Дфе = Аефе в П, фе=0 на ГЕ, =0 на ъ, (5)

сходящееся к Ао при е 0;

2) если кратность Ао равна N, то совокупная кратность собственных значений краевой задачи (5), сходящихся к Ао при £ 0, равна N, а для нормированных в £г(П) собственных функций имеет место сходимость

- ФоДцгЦП) 0 пРи £ 0» где нормированные в ¿2 (О) собственные функции краевой задачи (4), соответствующие Ао.

В конце первого параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметрам оценка решений краевой задачи (2).

Во втором параграфе первой главы изучается сходимость решений возмущенной задачи (3) и доказывается следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть £ 1,2 К - произвольный компакт в комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи (4)- Тогда существует число ео > 0 такое, что при любом £ < £р и любом Х^К существует единственноерешение щ краевойзадачи (3). Если, к тому же - сужение / € ¿г(^) яа Пе, то

И, наконец, с помощью леммы 2 доказывается теорема, являющаяся еще одним из основных результатов первой главы.

Теорема 2. Пусть Ао - собственное значение краевой задачи (4). Тогда

1) существует собственное значение Xе краевойзадачи

сходящееся к Ао при £ -> 0;

2) если кратность Ао равна N, то совокупная кратность собственных значений Xе'' краевой задачи (6), сходящихся к Ао при е равна N а для нормированных в ^(П) собственных функцййимеет место сходимость Ц^'1 — ^о^Ии^п,) ~~* 0 пРи £ О, где фо^ нормированные в 1/2(П) собственные функции краевой задачи (4), соответствующие Ао-

И, наконец, в конце второго параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметру оценка решений краевой задачи (3).

Замечание 1. Изучение вопросов сходимости решений и спектров возмущенных задач к соответствующим элементам предельных задач необходимо не только для строгого обоснования асимптотик собственных значений и собственных функций, но и представляет самостоятельный интерес. Области <гг и 7е не обязательно "замкнутые" трубки и полоски. Это могут быть трубки и полоски с концами, а так же области, стягивающиеся к точке. Вопросы сходимости при таких возмущениях исследовались достаточно широко (Р. Р. Гадыльшин, В. Г. Мазья, С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Ozawa).

Во второй главе диссертации строятся асимптотические разложения собственных элементов оператора Лапласа для задачи со сменой типа граничного условия на узкой полоске. Постановка задачи следующая. Пусть 7 С Г, 5 - натуральный параметр этой кривой, R(s, и) - параметрическое уравнение, п^, и) - вектор внутренней нормали поверхности Г. Параметр и определим следующим образом. Через каждую точку кривой перпендикулярно к ней проведем нормальную плоскость Обозначим 7 = ГПл",и = з/1- натуральный параметр на 7, причем У1 = 0 соответствует точкам кривой 7.

В окрестности введем координаты по правилу

х = + у2п(я,у1), где уг - расстояние до 7 вдоль внутренней

нормали. Положим 7е = {(уьО.в) : еД^) <у\< £/2(3)}, Гг = Г\7£, где /1М,/2(«)еС°°(7) (см. рис. 1).

Обозначим = {х = (2/1,2/2,5) : з £ 7, < ц}, [•] - целая часть

числа. Основным результатом второй главы является следующая

Теорема 3. Пусть Ао - простое собственное значение краевой задачи (4), фа - соответствующая нормированная в Ьг (П) собственная функция. Тогда асимптотика собственного значения А£ возмущенной задачи (5), сходящегося к Ао при £ —0, имеет вид

оо [2] ¿=0 ¿=0

где V - линейный дифференциальный оператор второго порядка:

1>и + №){&-№)> (8)

/5(з) Е С°°(7) зависят от геометрии 7 и П. Асимптотики соответствующей собственной функции ф€ в норме И^1 имеют вид

оо [з]

ф,(х) = М*) + Т,Т,е1+']1*еф2+1Лх) в П\5£21/3) (9) ¿=0 ¿=0

00 [т1]

<M*) = £££tlnÎ£^(-;s) в пп522г1/2. (ю)

J=1 j=o е

Замечание 2. В случае, когда 7 - плоская кривая (например, 7 С П П {х3 = 0», в (8) имеем a(s) = 0(«) - +Л0), где |к| -

кривизна кривой 7.

Доказательство теоремы 3 проводится следующим образом. В первом параграфе методом согласования асимптотических разложений (на формальном уровне) строится первый член теории возмущений собственного значения краевой задачи (5). Коэффициенты рядов (9), (10) являются сингулярными решениями некоторых модельных задач, не содержащих малый параметр е. Во втором параграфе исследуются решения задачи Дирихле с заданными особенностями на кривой необходимые при построении асимптотики собственной функции (9) вне окрестности кривой В третьем параграфе найдены решения уравнения Пуассона в полуплоскости с растущей правой частью, также необходимые при построении асимптотики собственной функции (10) в окрестности кривой 7. Ряды (9), (10) не определяются независимо друг от друга и лишь их согласование позволяет построить эти ряды полностью. В четвертом параграфе строится формальное асимптотическое решение рассматриваемой задачи и обоснование построенных асимптотик. Это и завершает доказательство теоремы 3. И, наконец, в конце четвертого параграфа с помощью построенных асимптотик выписываются оценки для собственных значений лапласиана при других типах сингулярных возмущений. А именно, в случае когда на узкой полоске задается третье краевой условие и когда не является гомотетией.

В третьей главе диссертации строятся и строго обосновываются полные асимптотические разложения по малому параметру собственных элементов для задачи с вырезанным тонким телом. Постановка задачи следующая. Пусть - уравнение кривой - единичный касательный вектор к 7, n(s) - произвольное бесконечно дифференцируемое векторное поле единичных нормалей на кривой 7- На этой кривой зададим векторное поле b(s) по правилу b(s) = векторное произведение. В каждой точке кривой будем рассматривать декартову систему координат, определяемую репером Координаты, связанные с векторами , обозначим через у\ и j/2 соответственно. Тогда! = r(s) +J/in(s)+ií2b(s). Обозначим через и односвязную ограниченную область в Е2 с гладкой

£_1!Й

Рисунок 3.

границей, ие = {у £ Е2 : е~1у £ и>}, ст£ = {х € Е3 : в £ 7,у £ изе}, = П \ (см. рис. 2,3).

Теорема 4. Пусть Ао - простое собственное значение предельной задачи (4), фо ~ соответствующая нормированная в собственная функция. Тогда асимптотика собственного значения Xе возмущенной задачи (6), сходящегося к Ао при е 0, имеет вид (7), где

М - положительно определенная, симметричная 2x2 матрица, зависящая от области и, вектор-функция e(s) £ С°°(7) зависит от геометрии кривой 7 и введенного на ней векторного поля n(s), символ ■ обозначает скалярное произведение в К2. Асимптотики соответствующей собственной функции фс в норме W}, имеют вид (9) в Пг \S21/2 и

(П)

J Чуфо\у=оМ ■ (V„Vo|y=o + Ф)Фо\у=о) ds,

¡=0 i=о где но,о =фо{х)\т

Замечание 3. В случае, когдакривая 7 - плоская, в формуле (11) вектор е(в) = |к| - кривизна кривой 7.

Замечание 4. В случае, когда и - единичный круг М = 2жЕ, Е - единичная матрица второго порядка.

Рисунок 4.

Замечание 5. Пусть - круг радиуса Я > 1 с центром в начале координат, П = 5д X (—7г/2,7г/2), 7 - окружность единичного радиуса с центром в начале координат на плоскости - круг единичного

радиуса, а£ = (см. рис. 3). Используя явный вид собственной функции для предельной задачи Дирихле (4) и варьируя Я показывается, что первая поправка может принимать как значение

так и значение

То есть, разность Ае — Ао не является знакоопределенной.

Подобное явление возникало в краевых задачах для оператора Лапласа в двумерных и трехмерных областях с вырезанным малым отверстием в случае, когда на границе отверстия задавалось условие Неймана, а отверстие стягивалось к точке2,3 .

Схема доказательства теоремы 4 аналогична схеме доказательства теоремы 3. В первом параграфе строится первый возмущенный член асимптотики собственного значения краевой задачи (6). Во втором параграфе строится внешнее разложение собственной функции (9), а в третьем - внутреннее разложение собственной функции (12), коэффициенты которого являются решениями уравнения Пуассона в с растущей правой частью. В четвертом параграфе строится формальное асимптотическое решение рассматриваемой задачи и обоснование построенных асимптотик. Это завершает доказательство теоремы 4.

Выражаю самую искреннюю благодарность моему научному руководителю Гадыльшину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Планида М. Ю. О сходимости решений сингулярно возмущенных краевых задач для лапласиана. // Матем. заметки. - 2002. - Т. 71. Вып. 6. - С.867-877.

[2] Планида М. Ю. Об асимптотике собственных значений для цилиндра, теплоизолированного на узкой полосе. // ЖВМиМФ. - 2003. -Т. 43. № 3. - С. 422-432.

[3] Planida M. Yu. Asymptotics for eigenvalues of Laplacian with Neumann boundary condition on a thin tube cut out. // C. R. Mecanique. - 2003. - 1. 331. № 8. - P. 531-536.

[4] Планида М. Ю. Асимптотики собственных элементов оператора Лапласа со сменой типа граничного условия на узкой уплощенной полосе. // Матем. заметки. - 2004. - Т. 75. Вып. 2. - С. 236-252.

[5] Планида М. Ю. Об асимптотике собственных значений лапласиана в области с граничным условием Неймана на вырезанной тонкой трубке. // ЖВМиМФ. - 2004. - Т. 44. № 4. - С. 745-758.

Лиц. на издат. дат. Б848421 от 03.112000 г. Подписано в печать 10.112004. Формат 60X84/16. Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman. Опкчагано на ризографе. Усл. печ л. -1,4 Уч.-юд п.-1,2 Тираж 100 экз. Заказ № -/^Ц

Издательство БГПУ 450000, г.Уфа, ул. Октябрьской революции, За

>236 9 8

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Планида, Марина Юрьевна

Введение

Глава 1. Сходимость решений возмущенных задач

§1. Сходимость решений и собственных элементов в задаче со сменой типа граничного условия на узкой полоске.

§2. Сходимость решений и собственных элементов в задаче с вырезанным тонким телом.

Глава 2. Асимптотики собственных элементов в задаче со сменой типа граничного условия на узкой полоске

§1. Построение первых членов асимптотик.

§2. Внешнее разложение.

§3. Внутреннее разложение.

§4. Доказательство теоремы 0.3.

Глава 3. Асимптотики собственных элементов в задаче с вырезанным тонким телом

§1. Построение первых членов асимптотик.

§2. Внешнее разложение.

§3. Внутреннее разложение.

§4. Доказательство теоремы 0.4.

Введение диссертация по математике, на тему "Краевые задачи для лапласиана со сменой типа граничного условия на множествах, стягивающихся к кривой"

Краевые задачи с различного рода сингулярными возмущениями привлекают внимание многих специалистов в области дифференциальных уравнений и математической физики. Интерес к этим задачам объясняется, с одной стороны, тем, что сингулярно возмущенные краевые задачи часто возникают как математические модели в различных приложениях, а с другой стороны, - наличием у этих задач разнообразных свойств, интересных с математической точки зрения. Примерами такого рода могут служить эллиптические краевые задачи для уравнений с малым параметром при старшей производной, краевые задачи в области с вырезанными малыми отверстиями, с тонкими включениями и щелями, с узкими отростками и каналами связи, краевые задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границы, с концентрированными массами, в областях с быстро осциллирующей границей, в перфорированных областях. Такие модели исследовали Н. С. Бахвалов, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, Ю. Д. Головатый, В. В. Жи-ков, А. М. Ильин, Г. А. Иосифьян, С. М. Козлов, О. А. Ладыженская, JI. А. Люстерник, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, О. А. Олей-ник, Г. П. Панасенко, Б. А. Пламеневский, Л. С. Понтрягин, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, J. М. Arrieta, R. Hempel, S. Jimbo, F. Murat, L. Seco, B. Simon, L. Tartar и многие другие (см., например, [1, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17, 19, 22, 23, 24, 26, 29, 30, 31, 36,42,46, 51, 54, 55, 56, 57, 62, 64, 66,67, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 78]). В этих задачах термин "сингулярное возмущение "понимается в том смысле, что не существует замены переменных, переводящей их в краевые задачи в фиксированных областях с фиксированными граничными условиями для оператора, представляющего собой малое возмущение оператора (то есть, эти задачи не являются регулярными в смысле [38]). Другими словами можно сказать, что это краевые задачи с сингулярно возмущенной топологией (области или граничных условий).

Отдельный интерес представляют краевые задачи на собственные значения для оператора Лапласа в сингулярно возмущенных областях. Одной из первых работ, в которой рассматривалась сингулярно возмущенная задача на собственные значения, является статья А. А. Самарского [63]. В ней рассмотрена задача на собственные значения для оператора Лапласа в трехмерной ограниченной области с малым отверстием. Для этой задачи было получено асимптотическое представление для главного члена асимптотики собственного значения. Позднее аналогичные результаты получили Ю. Н. Днестровский, Sh. Ozawa, С. A. Swanson [28, 79, 84]. Главный член асимптотики собственного значения для оператора Лапласа в двумерной области с малым отверстием были построены Sh. Ozawa [81]. Полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций краевых задач для оператора Лапласа в трехмерных областях в случае, когда в области есть малая полость, на границе которой задается условие Неймана, были получены В. Г. Мазьей, С. А. Назаровым и Б. А. Пламеневским в [45]. Задачи со сменой типа граничного условия на малой части границы, стягивающейся в точку, были изучены Р. Р. Гадыльшиным в [14, 16, 20, 21].

Основной целью диссертации является доказательство теорем сходимости и построение асимптотических разложений по малому параметру собственных элементов (собственных значений и соответствующих собственных функций) рассматриваемых сингулярно возмущенных краевых задач. Малым параметром является ширина полоски и диаметр сечения тора. Для построения асимптотик применяется метод согласования асимптотических разложений [11, 36, 52]. И хотя идеи этого метода были высказаны достаточно давно, а сам метод получил широкое распространение в механике, однако, строгие обоснования асимптотик решений дифференциальных уравнений с частными производными методом согласования асимптотических разложений появились сравнительно недавно в работах В.М. Бабича и его учеников [3, 4, б, 5, 39], A.M. Ильина и его учеников [23, 25, 35, 36, 37, 53, 70], В.Г. Мазьи, С.А. Назарова, Б.А. Пла-меневского [44, 45, 49, 50], М.В. Федорюка [67, 68] и других.

Асимптотические разложения выводятся по следующей схеме. Вначале методом согласования асимптотических разложений строятся формальные асимптотические решения. Формальное построение завершается доказательством того, что построенные асимптотические ряды являются формальным асимптотическим решением. Это означает, что частичные суммы данных рядов удовлетворяют исходной возмущенной задачи с точностью до невязок малого порядка. Причем порядок малости должен увеличиваться при увеличении числа членов в частичных суммах. На следующем этапе формально построенные асимптотики строго обосновываются. Под обоснованием асимптотик понимается получение оценки для разности между истинными собственными-элементами и формально построенными асимптотическими рядами. Подобное обоснование необходимо, так как формальное построение само по себе не может гарантировать, что полученные формальные асимптотические разложения действительно асимптотики истинных собственных элементов.

Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.

В первой главе доказывается сходимость решений и собственных элементов рассматриваемых возмущенных краевых задач к решениям и собственным элементам предельной задачи Дирихле. Затем выводятся равномерные по малому и спектральному параметрам оценки этих решений. Результаты этой главы используются для строгого обоснования асимптотик собственных элементов возмущенных задач, строящихся в остальных двух главах диссертации. Постановка задачи следующая. Пусть х = {х\, Х2, хз), О, С М3 - односвязная ограниченная область с гладкой границей Г, 7 G С°° - замкнутая кривая без самопересечений, лежащая либо на Г, либо в Q, F - произвольное диффеоморфное отображение К3 на себя, такое, что образом 7 является единичная окружность, а6 - тор с осевой окружностью единичного радиуса и кругом поперечного сечения радиуса е, а£ - прообраз сг£, где 0 < £ < 1. Если 7 С Г, то обозначим через 7е произвольную область, лежащую в ГПсге, Ге = Г\7е (см. рис. 1). Если же 7 С П, то обозначим через сгЕ произвольную область, лежащую

Рисунок 1. в (7е, Qe = Q \ а£ (см. рис. 2).

Рассматриваются два типа сингулярных возмущений краевой задачи

Рисунок 2.

Дирихле Д^о = Хщ + / в ft, uo-0 на Г. (0.1)

К первому типу возмущений относится задача со сменой типа граничного условия на узкой полоске: ди£

А и£ — А и£ + / в ft, —— = 0 на 7е, и£ = 0 на Г£, (0.2) от где т - вектор внутренней нормали. Ко второму - краевая задача вне тонкого тела ди£ /\и£ = Хи£ + f£ в fte, •—— = 0 на дсг£, и£ = 0 на Г. (0.3) от

Решения краевых задач (0.1), (0.2), (0.3) понимаются в обобщенном смысле [43, 47, 65]. В первом параграфе первой главы на основе методик работ [14, 15] изучается сходимость решений возмущенной задачи (0.2) и доказывается следующее утверждение.

Лемма 0.1. Пусть f £ Z/2(ft); К - произвольный компакт в комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи

-Аф0 = AqV'o eft, = 0 ма Г. (0.4)

Тогда существует число £о > 0 такое, что при любом £< £q и любом \ (Е К существует единственное решение и£ краевой задачи (0.2) и имеет место сходимость

IK-uoll^Hn) (°-5)

Затем, с помощью леммы 0.1 доказывается следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов первой главы.

Теорема 0.1. Пусть До - собственное значение краевой задачи Дирихле (0.4). Тогда

1) существует собственное значение \£ краевой задачи дф

-Аф£ = Х£ф£ в П, ф£ = 0 на Ге, —— = 0 на j£, (0.6) от сходящееся к До при г —> 0;

2) если кратность До равна N, то совокупная кратность собственных значений \£j краевой задачи (0.6), сходящихся к До при е —> 0, равна N, а для нормированных в Ьг(^) собственных функций феj имеет место сходимость \\4>e,i — 0 при £ —> 0; гдефо^ нормированные в L/2 (Г2) собственные функции краевой задачи (0.4), соответствующие

До

В конце первого параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметрам оценка решений краевой задачи (0.2).

Аналогично поступаем в случае задачи вне тонкого тора. Во втором параграфе первой главы изучается сходимость решений возмущенной задачи (0.3) и доказывается следующее утверждение.

Лемма 0.2. Пусть f£ 6 Z/2(Q£), К - произвольный компакт в комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи (0.4). Тогда существует число £q > 0 такое, что при любом £ < £о и любом Д € К существует единственное решение и£ краевой задачи (0.3). Если, к тому же f£ - сужение / £ ^(fi) на Qe, то имеет место сходимость

IIи£ - и0\\щш 0. (0.7)

И, наконец, с помощью леммы 0.2 доказывается теорема, являющаяся еще одним из основных результатов первой главы.

Теорема 0.2. Пусть Ао - собственное значение краевой задачи (0.4)-Тогда

1) существует собственное значение Xе краевой задачи дф£

-Аф£ = Х £ф£ в n£i -f = 0 ш да£1 ф£ = 0 на Г, (0.8) от сходящееся к Ао при е —0;

2) если кратность Ао равна N, то совокупная кратность собственных значений Х£,г краевой задачи (0.8), сходящихся к Ао при £ —> 0, равна N, а для нормированных в ^(fi) собственных функций ф£,г имеет место сходимость \\Фе,г~~0 прие —> 0, гдефо^ нормированные в Lсобственные функции краевой задачи (0.4), соответствующие

А0.

В конце второго параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметрам оценка решений краевой задачи (0.3).

Замечание 0.1. Изучение вопросов сходимости решений и собственных элементов возмущенных задач необходимо не только для строгого обоснования асимптотик собственных элементов, но и представляет самостоятельный интерес. Области сге и 7£ не обязательно "замкнутые" трубки и полоски. Это могут быть трубки и полоски с концами, а так же области, стягивающиеся к точке. Вопросы сходимости при таких возмущениях исследовались достаточно широко (см., например, [14, 15, 18, 45, 80]).

Результаты первой главы опубликованы в [58].

Во второй главе диссертации строятся и строго обосновываются полные асимптотики собственных элементов лапласиана для задачи со сменой типа граничного условия на узкой полоске. Постановка задачи следующая. Пусть 7 С Г, s - натуральный параметр этой кривой, R = R(s, и) - параметрическое уравнение, 11(5, и) - вектор внутренней нормали поверхности Г. Параметр и определим следующим образом. Через каждую точку кривой 7 перпендикулярно к ней проведем нормальную плоскость 7Г. Обозначим 7 = ГП7г, и = у\ - натуральный параметр на у, причем 2/1 = 0 соответствует точкам кривой 7.

В окрестности 7 введем координаты (г/,s), у = (г/1,2/2), по правилу ж = R(s, 2/1) + 2/2n(s, 2/1)» ГДе У2 ~ расстояние до 7 вдоль внутренней нормали. Положим 7е = {(2/1,0,5) : efi(s) < 2/1 < Ге = Г\7е, где fi(s)j2(s)eC°°(7) (см. рис. 1).

Обозначим = {ж = (2/i,2/2>s) : 5 £ 7j М < ['] ~ Целая часть числа. Основным результатом второй главы является следующая

Теорема 0.3. Пустъ Ао - простое собственное значение краевой задачи (0-4), Фо - соответствующая нормированная в собственная функция. Тогда асимптотика собственного значения Х£ возмущенной задачи (0.6), сходящегося к Ао при е —> 0, имеет вид

00 [2]

А, = Ао + J2 Е ^ ln'£ A2+W>

1=0 j=о

А2,о = ^/(5?)2(/2-Л)2а*, (оло)

W = / - AJ^da, * > 1, (0.11) 7 где V - линейный дифференциальный оператор второго порядка:

Vu := (a{s)^2 + ((/2 - /i)2u) , (0.12) o;(s),/?(s) Е С00(7) зависят от геометрии у и Q. Асимптотики соответствующей собственной функции ф£ в норме W^ имеют вид

00 [2] ф£(х) = ф0(х) + ^2^2е2+1УЕф2+и(х) в Q\S2£l/2, (0.13)

00 ['г1] ф£(Х) = lnj£Vi'j(f;s) в Qnslew (°-14) i=1 j=0 где v^o определяется в (2.7).

Замечание 0.2. В случае, когда 7 - плоская кривая (например, 7 С ПП {х3 = 0}), в (0.12) имеем a{s) = /3{s) = + где \к\ кривизна кривой 7.

Доказательство теоремы 0.3 проводится следующим образом. В первом параграфе методом согласования асимптотических разложений (на формальном уровне) строится первый член теории возмущений собственного значения краевой задачи (0.6). Коэффициенты рядов (0.13), (0.14) являются сингулярными решениями некоторых модельных задач, не содержащих малый параметр е. Во втором параграфе исследуются решения задачи Дирихле с заданными особенностями на кривой 7, необходимые при построении асимптотики собственной функции (0.13) вне окрестности кривой 7. В третьем параграфе найдены решения уравнения Пуассона в полуплоскости с растущей правой частью, также необходимые при построении асимптотики собственной функции (0.14) в окрестности кривой 7. Ряды (0.13), (0.14) не определяются независимо друг от друга и лишь их согласование позволяет построить эти ряды полностью. В четвертом параграфе строится формальное асимптотическое решение рассматриваемой.задачи, и.обоснование построенных асимптотик. Это и завершает доказательство теоремы 0.3. И, наконец, в конце четвертого параграфа, с помощью построенных асимптотик, выписываются оценки для собственных значений лапласиана при других типах сингулярных возмущений. А именно, в случае когда на узкой полоске задается третье краевое условие и когда 7е не является гомотетией.

Основные результаты второй главы опубликованы в [59, 60].

В третьей главе диссертации строятся и строго обосновываются полные асимптотические разложения по малому параметру собственных элементов для задачи с вырезанным тонким телом. Постановка задачи еледующая. Пусть 7СО. r = r(s) - уравнение кривой 7, t(s) - единичный касательный вектор к 7, n(s) - произвольное бесконечно дифференцируемое векторное поле единичных нормалей на кривой 7. На этой кривой зададим векторное поле b(s) по правилу b(s) = [t(s),n(s)], где [■,•] векторное произведение. В каждой точке кривой будем рассматривать декартову систему координат, определяемую репером (t(s), n(s), b(s)). Координаты, связанные с векторами n(s) и b(s), обозначим через у\ и г/2 соответственно. Тогда х = r(s) + yin(s) + г/гМв). Обозначим через и односвязную ограниченную область в Ж2 с гладкой границей, сое — {у Е Ж2 : е~1у Е u;}, cre = {х Е R3 : 5 G 7> У £ fte = ft \ (см. рис. 2,3). Следующая теорема является основным результатом третьей главы.

Теорема 0.4. Пусть Ао - простое собственное значение предельной задачи (0-4), Фо - соответствующая нормированная в Li{Q) собственная функция. Тогда асимптотика собственного значения Xе возмущенной задачи (0.8), сходящегося к Aq при е —> 0, имеет вид (0.9), где

6~ У2

Рисунок 3.

0.15)

Vyil>o\y=oM • (V^0|y=o + e(s)^oli/=o) ds,

М - положительно определенная, симметричная 2x2 матрица из (3.20), зависящая от области и>, вектор-функция e(s) £ С°°(7) зависит от геометрии кривой у и введенного на ней векторного поля n(s); символ • обозначает скалярное произведение в Ж2. Асимптотики соответствующей собственной функции *ф£ в норме W\, имеют вид (0.13) в£1е\ Sj/2 и

0.16)

00 L 2 j

Фе(х) = YH2£iln' £Vi>j (-;s) в n i=0 j=0 где i>o,o (f; s) = ifto{x)\y, a 1*1,0 определяется в (3.21).

Замечание 0.3. В случае, когда кривая 7 - плоская, в формуле (0.15) вектор e(s) = ^0, |«| - кривизна кривой 7.

Рисунок 4.

Замечание 0.4. Пусть Sr - круг радиуса R > 1 с центром в начале координат, Q — Sji х (—7г/2, 7г/2), 7 - окружность единичного радиуса с центром в начале координат на плоскости £3 = 0, ш - круг единичного радиуса, а£ = (см. рис. 4). Используя явный вид собственной функции для предельной задачи Дирихле (0.4) и варьируя R в конце четвертого параграфа будет показано, что первая поправка может принимать как значение

Л2,о = -27r||V^o||i2(7) < 0» так и значение

Л2)о = ttAoHVoIIi2(7) > 0.

То есть, разность А<г — Ао не является знакоопределенной.

Схема доказательства теоремы 0.4 аналогична схеме доказательства теоремы 0.3. В первом параграфе строится первый возмущенный член асимптотики собственного значения краевой задачи (0.8). Во втором параграфе строится внешнее разложение собственной функции (0.13), а в третьем - внутреннее разложение собственной функции (0.16), коэффициенты которого являются решениями уравнения Пуассона в R2 \ ш с растущей правой частью. В четвертом параграфе строится формальное асимптотическое решение рассматриваемой задачи и обоснование построенных асимптотик. Это завершает доказательство теоремы 0.4.

Основные результаты третьей главы опубликованы в [61, 82].

Выражаю самую искреннюю благодарность моему научному руководителю Гадылынину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Планида, Марина Юрьевна, Уфа

1. Аргатов И. И., Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи Си-ньорини с малым участком свободной границы. // Сиб. мат. журнал.- 1994. Т. 35. № 2. - С. 258-277.

2. Аргатов И. И., Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи Си-ньорини с препятствием на тонком продолговатом множестве. // Мат. сборник. 1996. - Т. 187. № 10. - С. 3-32.

3. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 с.

4. Бабич В. М. О строгом оправдании коротковолнового приближения в трехмерном случае. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1973.- Т. 34. С. 23-51.

5. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. 125 с.

6. Бабич В. М., Егоров С. А. Решение задачи о каустике с помощью локальных разложений: Сб. "Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн". Вып. XII. Л., 1988. С. 4-14.

7. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984 г. 352 с.

8. Борисов Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий // Мат. сборник. 2002. - Т. 193. № 7. - С. 37-68.

9. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов Лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. - Т. 67. № 6. - С. 23-70.

10. Бутузов В. Ф. Об асимптотике решения сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа в прямоугольной области. // Дифф. уравнения. 1975. - Т. 11. № 6.- С. 1030-1041.

11. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 с.

12. Васильева А. Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 г.г. // Успехи мат. наук. 1976. - Т. 31. № 6. -С. 102-122.

13. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // Успехи мат. наук. 1957. - Т. 12. № 5. - С. 3-122.

14. Гадыльшин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифф. уравнения. 1986. - Т. 22. № 4 - С. 640-652.

15. Гадыльшин Р. Р. Спектр эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении граничных условий: Сб. науч. тр. "Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений". Уфа: БНЦ УрО АН СССР 1988. - С. 3-15.

16. Гадыльшин Р. Р. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия. // Матем. заметки. 1992. - Т. 52. № 4. - С. 4255.

17. Гадыльшин P.P. Асимптотика второй собственной частоты для системы двух тел, соединенных тонкой перемычкой. // ТМФ. 1993. -Т. 97. № 1. - С.68-77.

18. Гадыльшин Р. Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. И. Сходимость и оценки. // Матем. заметки. 1993. - Т. 54, № 6. -С. 10-21.

19. Гадыльшин Р. Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. II. Асимптотики. // Матем. заметки. 1994. - Т. 55, № 1. - С. 20-34.

20. Гадыльшин Р. Р. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закрепленной на малом участке границы. // Сиб. мат. журнал. 1993. - Т. 34. № 3. - С. 43-61.

21. Гадыльшин Р. Р. О возмущении спектра лапласиана при смене типа граничного условия на малой части границы. //ЖВМиМФ. 1996. -Т. 36. № 7. - С. 77-88.

22. Гадыльшин Р. Р. Об асимптотике собственных значений для периодически закрепленной мембраны // Алгебра и анализ. 1998. - Т. 10. Вып. 1. - С. 3-19.

23. Гадыльшин Р. Р., Ильин А. М. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью. // Мат. сборник. 1998. -Т. 189. № 4. - С. 25-48.

24. Гадыльшин Р. Р. Асимптотики собственных значений краевой задачи с быстро осциллирующими граничными условиями // Дифф. уравнения. 1999. - Т. 35. № 4. - С. 540-551.

25. Гадыльшин Р. Р. Системы резонаторов // Изв. РАН. Сер. матем. -2000. Т. 64. № 3. - С. 51-96.

26. Головатый Ю. Д., Назаров С. А., Олейник О. А. Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с концентрированными возмущениями. // Труды Мат. Ин-та АН СССР. 1990. - Т. 192. - С. 42-60.

27. Данилин А. Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной элиптической задачи в области с малой полостью. // Мат. сборник. 1998. - Т. 189. № 11. - С. 27-60.

28. Днестровский Ю. Н. Об изменении собственных чисел при изменении границы областей. // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 1964. - № 9. - С. 61-74.

29. Егер В., Олейник О. А., Шамаев А. С. О задаче усреднения для уравнения Лапласа в частично перфорированной области // Доклады АН. 1993. - Т. 333. № 4. - С. 424-427.

30. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993. 462 с.

31. Жиков В. В., Рычаго М. Е. Усреднение нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. - Т. 61. № 1. - С. 70-88.

32. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай. // Мат. сборник. 1976. - Т. 99. № 4. - С. 514-537.

33. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. // Мат. сборник. 1977. - Т. 103. № 2. - С. 265-284.

34. Ильин А. М. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием. // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981. - Т. 6. - С. 57-82.

35. Ильин А. М., Сулейманов Б. И. Асимптотика функции Грина для эллиптического уравнения второго порядка вблизи границы области. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1983. - Т. 47. № 6. - С. 149-165.

36. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

37. Калякин Л. А. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. I. Прямолинейное течение в прямоугольном канале. Сверхпроводящая стенка, перпендикулярная магнитному полю. // Дифф. уравнения. 1979. - Т. 15. № 4. - С. 668-680.

38. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. -740 с.

39. Киселев А. П. Фокусировка ВКБ-решений уравнения А + к2п2(х)]и — 0, к -¥ оо. // Записки научных семинаров ЛОМИ. -1975. Т. 51. - С. 123-128.

40. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1979. 274 с.

41. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

42. Ладыженская О. А. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными. // Вестник ЛГУ. 1957. Т. 7. - № 2. -С. 104-120.

43. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.

44. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1981. 207 с.

45. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. - Т. 48. № 2. - С. 347-371.

46. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с.

47. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

48. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 431 с.

49. Назаров С. А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. I. Задача в конусе. // Сиб. мат. журнал. 1981. - Т. 22. № 4. - С. 142-163.

50. Назаров С. А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. II. Задача в ограниченной области. // Сиб. мат. журнал. 1984. - Т. 25. № 5. - С. 132-152.

51. Назаров С. А., Паукшто М. В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л.: Ленинградский университет, 1984. -92 с.

52. Найфе А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1986. 455 с.

53. Новокшенов В. Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями. // Дифф. уравнения. 1976. - Т. 12. № 10. - С. 625-637.

54. Олейник О. А. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных. // Мат. сборник. 1952. - Т. 31. № 1. - С. 104-117.

55. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.

56. Олейник О. А., Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстро меняющимся типом граничных условий // УМН. 1993. - Т. 48. - Вып. 6(294). - С. 163-165.

57. Олейник О. А., Шамаев А. С. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с условиями Дирихле на границе полостей // Доклады АН. 1994. -Т. 337. № 2. - С. 168-171.

58. Планида М. Ю. О сходимости решений сингулярно возмущенных краевых задач для лапласиана. // Матем. заметки. 2002. - Т. 71. Вып. 6. - С.867-877.

59. Планида М. Ю. Об асимптотике собственных значений для цилиндра, теплоизолированного на узкой полосе. // ЖВМиМФ. 2003. -Т. 43. № 3. - С. 422-432.

60. Планида М. Ю. Асимптотики собственных элементов оператора Лапласа со сменой типа граничного условия на узкой уплощенной полосе. // Матем. заметки. 2004. - Т. 75. Вып. 2. - С. 236-252.

61. Планида М. Ю. Об асимптотике собственных значений лапласиана в области с граничным условием Неймана на вырезанной тонкой трубке. // ЖВМиМФ. 2004. - Т. 44. № 4. - С. 745-758.

62. Понтрягин Л. С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. - Т. 21. - С. 605-626.

63. Самарский А. А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов. // ДАН СССР. 1948. - Т. 63. № 6. - С. 631-634.

64. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

65. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

66. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. // Мат. сборник. 1948. - Т. 22. № 2. - С. 193-204.

67. Федорюк М. В. Асимптотика решения задачи Дирихле для оператора Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. - Т. 45. № 1. - С. 167-186.

68. Федорюк М. В. Задача Дирихле для оператора Лапласа во внешности тонкого тела вращения. // Труды семинара С. Л. Соболева. -№ 1. Новосибирск. - 1980. - С. 113-131.

69. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сборник. 1993. - Т. 184. № 6. - С. 99-150.

70. Шайгарданов Ю.З. Об асимптотике решения краевой задачи для одного параболического уравнения четвертого порядка. // Дифф. уравнения. 1979. - Т. 15. - С. 668-680.

71. Arrieta J. М. Neumann eigenvalue problems on exterior perturbations of the domain. // J. Differ. Equat. 1995. - V. 118. - P. 54-103.

72. Geer J. F, Keller J. B. Uniform asymptotic solutions for potential flow around a thin airfoil and the electrostatic potential about a thin conductor. // SIAM J. Appl. Math. 1968. - V. 16. - P. 75-101.

73. Hempel R., Seco L., Simon B. The essential spectrum of Neumann Laplacians on some bounded singular domains. // J. Funct. Anal. 1991.- V. 102. P. 448-483.

74. Jimbo S. The singularity perturbed domain and the characterization for the eigenfunctions with Neumann boundary condition. // J. Diff. Equations. 1989. - V 77. - P. 322-350.

75. Kaplun S. The role of coordinate systems in boundary layer theory. Z. angev. Math. Phys. - 1954. - V. 5. - P. 111-135.

76. Kaplun S., Lagerstrom P.A, Asymptotic expansions of Navier-Stokes solution for small Reynolds numbers. // J. Math, and Mech. 1957.- V. 6. P. 585-593.

77. Lagerstrom P.A., Cole J.D. Examples illustrating expansion procedures for Navier-Stokes equations. // J. Rat. Mech. Anal. 1955. - V. 4. -P. 817-882.

78. Murat F., Tartar L. Calcul des variations et homogeneisation. // R. 84012. Paris. Universite Pierre et Marie Curie, Centre National de la Recherche Scientifique, Laboratoire d'analyse numerique. 1984.

79. Ozawa Sh. Singular Hadamard's variation of domains and eigenvalues of Laplacian. // Proc. Jap. Acad. 1980. - V. A 56. - P. 351-357.

80. Ozawa Sh. Singular variation of domains and eigenvalues of the Laplacian. // Duke Math. J. 1981. - V. 48. - P. 767-778.

81. Ozawa Sh. Spectra of domains with small spherical Neumann boundary // J. Fac. Sci., Univ. Tokyo. 1983. - Sect. I A 30. - P. 259-277.

82. Planida M. Yu. Asymptotics for eigenvalues of Laplacian with Neumann boundary condition on a thin tube cut out // C. R. Mecanique. 2003. - t. 331. № 8. - P. 531-536.

83. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia Ё. Vibration and Coupling of Continuous Systems. Asymptotic Methods. Berlin: Springer-Verlag, 1989.

84. Swanson C. A. Asymptotic variontional formulae for eigenvalues. // Canad. Math. Bull. 1963. - V. 6. № 1. - P. 15-25.