Краевые задачи для эллиптических систем на плоскости в классах типа Харди тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГВ ОД

О Ь " ■ На правах рукописи

АЛЕКСАНДРОВ АЛЕКСЕИ ВИКТОРОВИЧ

краевые задачи для

эллиптических

систем на плоскости

в классах типа харди

01.01.02—дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВЛАДИМИР 1998

ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

АЛЕКСАНДРОВ АЛЕКСЕИ ВИКТОРОВИЧ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ В КЛАССАХ ТИПА ХАРДИ

На правах рукописи

01.01.02 —диффереппиальпые уравнения

Автореферат диссертация па соискание учепой степени кандидата физико-математических даук

Владимир 1998

Работа выполнена ыа кафедре информатики Владимирского государственного педагогического университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Солдатов А.П.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

доцент Васильев В.Б.

кандидат физико-математических наук, доцент Жура H.A.

Ведущая организация — Факультет вычислительной

математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 9 января 1998 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К. 113.31.01 при Владимирском государственном педагогическом университете по адресу: 600024, Владимир, пр-т Строителей, 11, ауд. 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан ^ декабря 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент Г) Степапов С

о- <2—

УллоSis-. аь;-УУ---

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

В диссертации длл эллиптических систем второго порядка на плоскости

£0yesr = 0, u = ("'»•■■. «<), (1)

,j = l,2 Х>

изучаются краевые задачи в следующей постановке:

Au = f, f£L?{Г), 1 < Р < оо. (2)

Здесь Г - гладкая (ляпуповская) граница, вообще говоря, много-снлзпой области D, А - линейный оператор, действующий па гра-ничпые значения решений и и их частных производных ггх, Uy, вектор функция / является Lp- суммируемой. Граничные значения для и и Vu = (uXI wv) понимаются в смысле угловых предельных значений почти всюду на Г либо д смысле £р - предела последовательности сужений па контурах, стягивающихся к границе области.

Рассматриваются краевые задачи Дирихле, Пуанкаре, Нейма-па, а также различные варианты смешанных краевых задач. Многочисленные приложения подобных задач возникают в теории упругости и гидромеханике.

Классический теоретяко - функциональный метод основан на сведении задачи (1) - (2) к системе сингулярных интегральных уравнений па границе области и восходит к трудам А. Пуанкаре, Л. Гильберта, Т. Карлемапа, И.И. Привалова. Этот метод для гладких граничных данных развит в работах Н.И. Мусхелишвили, Ф.Л. Гахова, И.И. Векуа, А.В. Вицадзе.

Изучение краевых задач с граничными даппыми из Lp требует особых методов даже для одпого эллиптического оператора см.1, поскольку общая эллиптическая теория ориентировала па соболевские и гельдеровские пространства решений.

Теоретико - функциональный метод длл эллиптических уравнений распространен на случай граничных значений из Lp в работах В.В. Хведелидзе, Г.Ф. Манджавидзе, Н.П. Векуа, И.Б. Симоненко, И.И. Дапилюка и других авторов.

'Гущин Л.К., Михайлов В.П. О граничных значениях в Lp, р > 1 решений эллиптических уравпепий //Ми. сборник. - 1979.- Т. 108 (ISO), N1. - С. 2 - 20.

Для эллиптических систем (1) классический подход, основанный па общем представлении решений через аналитические по Луглису вектор - функции, развит в работах А.П. Солдатова2. Близкие методы применялись в исследовании краевых задач теории упругости и гидродинамики в работах Г.Бегера, P.P. Гилберта, Н.А. Жура, Р.Г Иеха, Г.Н. Хайла и других.

Основным инструментом изучения краевых задач (1) - (2) с граничными значениями из Lp служат классы типа Харди решений систем (1) - аналоги известных пространств гармонических функций3. Важным свойством решений, принадлежащих этим классам, является существование для пих Lp- суммируемых граничных значений ( как в смысле угловых пределов, так и в смысле Ьр- предела на стягивающихся к грапице области коптурах).

Цель работы. Введение классов типа Харди решений эллиптических систем на плоскости с постоянными коэффициентами. Изучение граничных свойств функций, принадлежащих введенным классам. Исследование в рамках постановки (2) вопросов нетеро-вости и разрешимости для краевых задач Дирихле, Пуанкаре, Неймана, смешанных, а также нелокальных смешанных краевых задач.

Общал методика исследования. В работе используется общая теория эллиптических уравпепий, метод редукции краевых задач к системе сингулярпых интегральпых уравнений на границе, методы гармонического анализа, связанпые с классами Харди и сингулярными интегралами в Lp.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты.

1. Введены классы тина Харди решений эллиптических систем (l) и изучены их граничпые свойства: доказано существование почти всюду угловых граничных значений и+ 6 Lp(V) и сходимость и|г„ —> и+ в Lp на стягивающихся к границе коптурах Г„ .

2. В классах типа Харди приведены постановки краевых задач Дирихле, Пуанкаре, Неймапа, смешанных и нелокальных смешанных задач с граничными значениями из Lpt 1 < р < оо. Получены критерии нетеровости этих задач, формулы индекса и условия их разрешимости.

'Солдатов А.П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. Части I - II // Изв. РАН. Сер. матем. - 1991- Т. 55, NN 3,5.

'Дапилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. - М: 1975. -296 с.

3. Исследованы граничные свойства обобщенного интеграла типа Коши п классе Lp(Г), 1 < р < оо , с помощью которого описываются интегральные представления решений эллиптических систем. Введены и изучепы граничные свойства пространств типа Харди - Смирнова аналитических но Дуглису функций. Эти классы служат естественным обобщением пространств Смирнова Ep(D) аналитических функций. Для фупкций классов Ep(D) установлены векторные аналоги известных п аналитическом случае утверждений — теоремы едипствепности Привалова, теоремы Смирнова, теоремы Мусхелшнвили об интегральном представлении с действительной плотностью.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут найти применение в исследовании краевых задач для эллиптических систем па плоскости в шкалах L? — пространств. Результаты работы могут быть использовапы при решении прикладных задач плоской упругости и гидродинамики. Отдельные параграфы могут быть использованы для организация и проведения спецкурсов, примыкающим по своей тематике к методам теории функций.

Апробация работы. Результаты работы.докладывались на па-учпых конференциях профессорско - преподавательско'го состава ВГПУ (1987, 1988 гг. Секция "Дифференциальные уравнения и уравнения мат. физики", рук. секции проф. Жиков В.В.), на школе — конференции " Методы комплексного апализа и интегральные уравнения", посвященной памяти II.И. Мусхелшнвили (Сухуми 1987). Основные результаты были представлены в тезисах докладов па конференциях "Математические модели и краевые задачи" (Самара 1990, 1996), воропел<ской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач. Поптрягинские чтения VI -VII" (Воронеж 1996, 1997), а также докладывались и обсуждались па паучных семинарах Новгородского государственного уни-перситета под руководством проф. А.П. Солдатова (1994, 1996, 199G), Владимирского государственного педагогического университета под руководством проф. В.В. Жикова (1996), научного семинара факультета ВМиК МГУ под руководством чл. — корр. АН РАН, проф. Е.И. Моисеева (1997).

Публикации автора. Оспонньте результаты диссертации опубликованы в работах автора [1 - 7].

Структура и обьем работы. Работа состоит из введения, трех глав, включающих 12 параграфов, и изложена на 90 страницах. Нумерация параграфов, утверждений и формул отдельная п каждой главе. Список использованной литературы составляет 113 наименований.

Обзор содержания работы.

Во введении определеп круг решаемых задач, обоснована их актуальность. Приведен обзор литературы и имеющихся результатов в этой области. Сформулирована цель работы и кратко излагается содержание диссертации.

В первой глапе, состоящей из четырех параграфов, изложены результаты, связанные с введением и исследованием граничных свойств классов типа Харди - Смирпова Ер(0) аналитических по Дуглису функций и классов типа Харди ер(0) решений эллиптических систем (1).

В параграфе 1.1, являющимся подготовительным, определяются классы ЬР(Г), 1 < р < оо вектор функций на ляпуновских кривых Г , устанавливается ограниченность в этих классах субаддитивных интегральных операторов - максимальной функции Харда - Литтл-вуда

¥>(*„) =зирг-1 [ М01И.

г>0 7гп|(-(о|<г максимального оператора типа Гильберта

(§<р)(¿о) = Бир -

г>0 тг

УГп|(-(о|>г

'Гп|!-1о|>г

И соотвегстпующего сингулярного интеграла

(5р)(М = 1ппЛ [ »(Мо) 6 Я(Г х Г).

Г-.0 тгг ./Гп|1-<о|>г

Здесь //(Г) - класс непрерывных по Гельдеру функций с некоторым показателем 0 < с < 1 .

Далее вводятся классы Ер(0), 1 < р < оо аналитических по Дуглису функций. Пусть J - фиксированная С'* треугольная матрица со спектром, расположенным в верхней полуплоскости. Вектор функцию Ф(г) называем аналитической но Дуглису, если она удовлетворяет в области Б системе эллиптических уравнений

Фу - ./Ф, = 0. (3)

Г,

Класс EP(D) фупкцнй Ф характеризуется условием

l$k(£>) = sup |Ф|£,,(г„) < оо. (4)

п>0

Здесь последовательность контуров Гп С D,n = 0,1,..., аппроксимирует границу области 3D = Г в классе ляпуновских кривых. Если область D является неограниченной, то к определению класса Ep(D) добавляется условие

sup |Ф(г)| < оо, М>л

описывающее поведение Ф па бесконечности.

Для аналитических по Дуглису функций (Ф(оо) = 0 в случае не-ограпиченпых областей ) справедливо ип'тегральпое представление

ад = и*+(о, (5)

Здесь [¿i] = l'dx + J-dy - матричный дифферепциал, аналогичные обозначения здесь и ниже приняты для матриц - фупкций [г]* = (l'iie z + J-Im г)*1, к = 0, ±1, ±2,..., а Ф+ — грапичные значения фупкции Ф.

Введем необходимые определения и договоримся о том, как по-пимать грапичные значепия. Пусть Г является гладкой границей, вообще говоря, мпогосвязной области D. Для фупкции Ф(г), заданной в D , грапичные зпачепия Ф+(£) понимаем п смысле угловых пределов в круговых секторах S(i) раствора 0 < в < 7Г, с биссектрисами вдоль впутреппей пормали в t € Г. Сопоставим Ф(г) также пекасательпую максимальную функцию

Ф(0 = sup | Ф ( Z ) |. (6)

'65(0

Граничные свойства функций Ф (Е Ep(D) устанавливаются для обобщенного интеграла типа Когаи

(Iy)r(z) = I V kj(t- z-,z,t)y(t) dth dt = dtx + » dt2, z $ Г, (7)

частным случаем которого является представление (5). Здесь матричные ядра kj(£-,z,t), j — 1,2 по переменной ^ 6 С удовлетворяют вещественному условию однородности kj(q£) = q~lkj(£), q € R, q ф 0, и по переменным z, t - некоторым условиям гладкости.

Приведем содержание теорем параграфа 1.2 в виде свойств обобщенного иптеграла (7): Ф(г) = (/</5)р(г), tp Е Ьр(Г) , 1 < р < оо.

(a) Некасательная максимальная функция Ф принадлежит классу £Р(Г) , с оценкой нормы

|$1мг) < const |у|х,дг) , (8)

где постоянная const > 0 зависит от ядер kj и не зависит от >р .

(b) Функция Ф(г) имеет почти всюду на Г угловые предельные значения Ф+(£) , для которых справедлив соответствующий аналог формул Сохоцкого - Племеля.

(c) Оператор <рФ+ ограничен в Lp(Г).

(d.) Пусть Гц С i?, тг = 0,1,..., последовательность гладких контуров, стягивающихся к границе области Г . Тогда последовательность сужений Ф(г)|г„ сходится в Lp к угловылi граничным значениям Ф+ .

Доказательство (d) опирается на свойство (8) некасательной максимальной функции Ф .

Для аналитических по ДуглиСу функций класса Ef{D) справедливо также следующее утверждение:

Теорема 1.6. Пусть область D имеет ляпуновскую границу, и 1 < р < оо .

(a) Включение Ф 6 Ep(D), (Ф(сю) = 0) равносильно тому, что Ф имеет почти всюду угловые граничные значения Ф+ 6 Ьр(Г) , и справедлив аналог формулы Koniu (/Ф+)(г) = Ф(^) •

(b) Оператор сужения Ф|в0 ограничен Ep(D) —> Ep(Dq) для любой noдoблacvгu Dg С D с ляпуповской границей.

Кроме того, для функций класса Ep(D) имеют место соответствующие аналоги теорем Привалова и Смирвова.

Следствие 1.2 (аналог теоремы Смирнова).

Пусть Ф G Ep(D) и Ф+ 6 L'p(D), 1 < р < р' < оо. Тогда Ф £

MD) •

Следствие 1.3 (аналог теоремы едипстпелности Привалова).

Пусть Ф £ Ep(D) , и на дуге Г0 границы Ф+ = 0. Тогда Ф = 0 < области D .

В параграфе 1.4 вводятся классы типа Харди e.p{D) решенш эллиптических систем (1), приведенных к каноническому виду

д2и дги д2и

--ai т;--а0 —— = 0. (9

ду2 дхду дхг

Условие эллиптичности заключается в том, что соответствующий характеристический мпогочлеп р (z) = det (z2 — a\z — а0) не имеет действительных корней.

Принадлежность решений и классам ep(D) определяется условием

SUP Ммг„) < °°> (10)

п>0

и в случае неограничеш1ЫХ областей добавляется требование:

|Vu(2)| < const(|2|)-2, \z\ > R. ■• (11)

Связь решений u(z) эллиптических систем (1) с аналитическими по Дуглису функциями дается формулой-'

u(z) = Re b Ф{г), (12)

где постоянные Ctxl матрицы 6 и У в (3) однозначно определяются по коэффициентам системы (9). Условие слабой связанности систем, пведепное Д.В. Бицадэе, в терминах предыдущего представления выражается условием det b ф 0. Если в представлении решений эллиптических систем (12) функции Ф £ Ep(D), 1 < р < со , то очевидно, что и 6 eT(D) , решения имеют почти всюду на границе области углопые гранпчпые зпачения

и+ = Re 6Ф+,_ и+ € £„(Г),

и сужепия и|Гп —+ и+ по Lp - норме. Это следует из устаповлепных свойств классов Ep{D) ■ Вопрос об эквивалентности включений и £ ep{D) и Ф £ Ep(D) а представлении (12) подробно рассматривается по второй главе.

Вторая глава посвящена исследованию в классах решепий типа Харди краевой задачи Дирихле

"+ = /, /б£р(Г), 1 < р < оо. (13)

Изучение задачи (13) позволяет в термипах представления решений через аналитические по Дуглису функции сформулировать необходимые и достаточные условия для того, чтобы решения систем и принадлежали классу ep(D), вылепить влияние слабой свяэаппо-сти п сильпоп эллиптичности па разрешимость этой задачи. Рассматривается также задача Дирихле для сопряженпых (в смысле

обобщения условий Коши - Римана) функций, тесно связанная с исследованием обобщенной задачи Неймана.

В параграфе 2.1 устанавливается теорема об интегральном представлении с действительной плотностью £ ЬР(Г) аналитических по Дуглису функций. В случае классического интеграла типа Коши в классах Гельдера этот результат установлен II.И. Мусхели-швили. Область считаем тп - связной, обладающей границей Г ='Г1 и ... и Гт, и в случае ограпиченпой области для определенности считаем, что Гт "охватывает" все остальпые компоненты границы.

Теорема 2.1 .Пусть Ф £ Ер(0), 1 < р < оо, и т(В)=1 (0) характеристика ограниченной (неограниченной) области. В случае г(1)) =0 полагаем такмсе Ф(оо) = 0 . Тогда существует однозначное представление

¿1гг JГ

с действительной плотностью <р(1) £ Ьр(Г) и £ £ К/ , причем случай г(£)) = 0 влечет £ = 0 . Па рлотность накладываются дополнительные условия

[ <р(0|Л|=0 для j = 1,2,...,т-г. (15)

Уг,

Это утверждение используется далее в редукции краевых задач для решений (1) к системе уравпепий на грапице.

В параграфе 2.2 исследуется задача Дирихле (13). В теореме 2.2 устанавливается критерий фредгольмовости задачи Дирихле для таких решений и, в представлении (12) для которых функция Ф £ Ерф), 1<р<оо.

Теорема 2.3 рассматривает для и € ер(£)), 1 < р < оо задачи Дирихле (13) специального вида на контурах Г,,, п = 0,1,..., участвующих. В определении класса ер(В). Путем предельного перехода по п —> оо для этих задач показала эквивалентность вложепий •и £ ер(£*) и Ф £ Ер(Б) в представлении (12) для слабо связаппых систем. Содержание теорем 2.2, 2.3 удобно сформулировать в виде единого утверждения.

Теорема 2.2 - 2.3.

(а) При 1 < р < оо условие слабой связанности эллиптической системы необходимо и достаточно для эквивалентности включений и £ ер(£)) и Ф £ Ерф) в представлении реи/ений (12).

(Ь) Задача Дирихле (13) в классе решений ep(D) , 1 < р < с» фред-голъмова тогда и только тогда, когда эллипти-'сеская система (1) слабо связана.

Свойство Lp - сходимости сужений u|pn к угловым граничным значениям и+ позволяет рассматривать задачу .Дирихле для решений и G cp(D) в аппроксимативном смысле. Краевые условия задачи Дирихле в этом случае понимаются как существование предела в Ьр(Г):

lim Мг„ °7n- /L(Г) = 0, (16)

n—IOO У\ t +

где 7П - последовательность сдвигов -уп : Г —+ Гп .

Теорема 2.4 служит переформулировкой утверждения (Ь) для задачи (16).

В параграфе 2.3 n качестве следствия предыдущего параграфа показапо, что для класса эллиптических по Сомильлпо систем (1), выделяемых условием

J2 (bijVihi > о (17)

>,У = 1,2

для любых ненулевых векторов 771, щ é Rf, задача Дирихле (13) ( а следовательно и (16)) в классе ep(D), 1 < р < 00 одпозпачно разрешима.

В параграфе 2.4 рассматривается задача Дирихле для сопряженных ( в смысле обобщепил условий Коши - Римапа ) фупкций, которая может возникать, например d том случае, когда для (1) рассматривается обобщенная задача Неймана:

£ ¿и < = /, / 6 ¿„(Г), ¿ц G Rfx'. (18)

i,J = I.2

Здесь v(t) = (^i(t), ^з(О) ~ единичный вектор внешней нормали к грапиде в точке i G Г.

Назовем вектор функцию v сопряженной к и, если ее градиент Vv = (vxl,vxI) связан с Vu матричным равенством

Vv = dVu ,d = (dij)\. (19)

ч j

- — Hj

Матрица d G jr2'*2' эдесь блочная, и ее элементы связаны с коэффициентами системы (l) соотношениями

d-i 1 = d|2(-a72,(lii)i ^и ~ ^п = аи(а» + ап))- (20)

Краевое условие обобщенной задачи Неймана для v можно переписать в виде

dv/da = /, / € МГ), (21)

и после интегрирования (21) по параметру длины дуги Г свести исследование (18) к изучению задаче Дирихле для сопряженной функции V.

Теорема 2.6. Пусть область D ограничена и односвязна, решение и слабо связанной эллиптической системы (1) принадлежит классу ер(D), 1 < р < оо, и коэффициенты матрицы d таковы, что dи = 0, det¿i2 ф 0 и du коммутирует с коэффициентами a¡, i = 0,1 канонической системы. Тогда краевая задача (18) нетерова, причем сопряженная функция v является решением той же эллиптической системы (l).

При произвольном выборе коэффициентов d¡j, i,j = 1,2 условия слабой связанности системы (1) недостаточно для нетеровости краевой задачи (18). Для иллюстрации этого факта рассмотрена задача (18) для эллиптической системы типа Лапласа и приведеп пример коэффициентов d¡¡ таких, что сопряженная функция v является решением сильно связанной эллиптической системы A.B. Ви-цадзе. Однородная задача Дирихле для нее, как известно, имеет бесконечное число линейно независимых решений.

В третьей главе работы рассмотрения ведутся в классах решений эллиптических систем ep(D), 1 < р < оо, которые включают в себя все решения и систем (1), для которых 2Í вектор градиента Vk = (их, иу)' принадлежит классу еД£)) (с условием (11) па бесконечности). Изучаются краевые задачи Пуанкаре, Неймана, смешапнал и нелокальная смешанная задачи.

В параграфе 3.1 доказано, что при 1 < р < оо справедливо вложение класса ep(D) в класс H(D) непрерывных но Гельдеру функций.

В параграфе 3.2 изучена краевая задача Пуанкаре;

+ А2и+ + Л0и+) |г = /, / 6 ЬР(Г), 1 < р < оо. (22)

Здесь Ai, 1 = 0,1,2 -непрерывные по Гельдеру па границе области Г действительные 1 X I матриц - функции.

Теорема 3.1. Пусть область Dm- связна, u r(D) - характеристика области, принимающая значение 1 (0), если область ограничена (не ограничена).

Для петерооости задачи (1) - (22) в классе необходимо и

достаточно условие

det G(t) = det (Л1(«)6 + A2(t)b J) ^ 0, Vi £ Г. (23)

При выполнении условия (23) индекс задачи эг равен

ве = -- [arg detG(f)]r + 21 (2r - m). (24)

7Г

Здесь [ ]г означает приращение функции, стоящей в квадратных скобках, при однократном обходе контура Г в положителъиолг направлении.

В качестве следствия этой теоремы получепо необходимое и достаточное условие для фредгольмовости краевой задачи Неймана, которое также заключается в условии слабой связанности системы (1).

В параграфе 3.3 рассмотрела смешанпал краевая задача, возникающая тогда, когда всюду па границе па различные компопепты вектора - решения и накладываются различные по типу краевые условия:

А({) u(0k = /и f[eLp(r,Rr)

Я,(*К(0|г + B>(t)uy(t)\v + ВД«(*)|г = h, h 6 Lp(r,R«-''>) '

(25)

Здесь A(t) является непрерывной действительной (! х I матриц -функцией на Г, 0 < I' < I, а В\, В?; Во соответственно (I — ¿') х I матрицы, являющиеся также непрерывными и действительными.

Сопоставим оператору Lu краевого условия (25) блочную 1 X I матриц - функцию

(yl Ь д 1 + А b J з2

.................. (26)

5, Ь + В-г Ь J

где з 1 и з2 - коордипаты единичного касательного вектора в точке грапицы £ € Г.

Пусть для коэффициентов в (25) справедливы следующие вложения : А 6 //'(!') £ //(Г), г = 0,1,2. В теореме 3.'2 результат теоремы 3.1 переформулирован для смешанпой задачи но отношению к матрице функции С(<), задаваемой в формуле (26). Доказательство теоремы 3.2 основано на приведении задачи (25) к нетерово -эквивалентной задаче Пуанкаре.

Теорема 3.2 также допускает формулировку в аппроксимативпом смысле на стягивающихся коптурах Гп в виде краевого условия:

lim |(L(uno7n)) - /| =0. (27)

n—»oo pv '

Здесь Lu - оператор краевого ус'ловия (25) действует па сужения решепия и и его частпых производных на Г„, снесенпые сдвигами 7„ па границу.

В параграфе 3.4 в т - связной области D с границей Г = Ti,..., Гт, имеющей естественную ориентацию по отношепию к D, рассматривается иелокальнал смешанная краепал задача. Для гладкого коптура Го, ориентированного против часовой стрелки, определим сдвиги

ау : Го Гу, «у G Я'(Г0), j = 1,..., m. (28)

Общую картипу соотношений ориентации Гу по отпотепшо к Г0 опишем с помощью т - вектора сигнатуры

е = (ei,...,em),

_ ( 1, если Гу ориентирован против часовой стрелки (29) 3 | -1 в противном случае.

Нелокальная смешанная задача заключается в отыскании решения и по краевым условиям

/ EyLi АИ о ау = /,-, i=l,..., тп0,

I E"UBhut ° <*i + ° "i + Щ 0 = 9i> i = mо + 1, ■.. ■

(30)

Здесь Ац, Bfj,Blj,Bfj наборы непрерывных действительных Ixt матриц фупкций па Г0, и в краевом условии (30) задается ровно ml скалярных линейных соотношений.

Сопоставим задаче (30) па Г0 блочную mixmi матриц фупкцию следующей структуры:

Г(Л-\Г U М™ Г (Л - I ЛУа»К1 Ь + Аца2\а>Д Ъ J, »=l,...,mo, G(t) - lG,y(0J, . - | B]jb -f Bfj Ь J, i = m0+l.....

(31)

Здесь b, J определяются по коэффициентам эллиптической системы, и как и выше s(t) = (si, S2) единичпый вектор касательной на

Г0.

В зависимости от сигнатуры сдвигов е положим

счо=кэдг. ' (32)

Теорема 3.3. Пусть граница Г является ляпуновским контуром, 1 < р < оо , и для коэффициентов и правых ■частей в (30) справедливы следующие включения : А,, £ //'(Го), /■ 6 />Р(Г0), г = 1,...,тпо, А" 6 //(Го), п = 0,1,2 , д1 е ¿Р(Го), г' = т0 + 1,....

Тогда для петеровости задачи (1) - (30) в классе решений 1 <

р < оо необходимо и достаточно условие

сЫ 0'(1) ^ 0, Vt& Г0, (33)

при соблюдении которого индекс задачи

а: = -- [аг3 Св(г)]Р + 11 (2г - т). (34)

7Г °

В качестве приложения этого параграфа рассмотрена нелокальная краевая задача типа Карлемапа со сдвигом, мепяющим ориентацию. Пусть В - конечна, двухсвязпа.и Г;, Г 2 компоненты грапицы Б, снабженной естественной ориентацией по отпошению к 1). В соответствии с принятым соглашением Г2 "охватывает"^ . Обозначим а сдвиг Г) —+ Гз.

Задача типа Карлемапа для решений и(г) £ эллиптиче-

ской системы (1) определяется краевым условием

Л(^и+(*) + Уи+(0 о а = /(£), * е Г„ /6 Ьр{Г,)- (35)

Здесь А(Ь) - И X 21 непрерывная матрица функция класса //(Г1) .

Теорема 3.4. Задача типа Карлемапа (35) (V £ //') в классе решений и б £р(/}) нетерова тогда и только тогда, когда

¿еЮ0(1) фОУ1€Ги

г , , _ ( АпЬ + |6 \'

При выполнении условия (36) индекс задачи (35) равен ве = --[а^сЫО0(/)]г .

7Г

Б частности, если матрица Л(<) скалярна и всюду отлична от пуля, то задана фредголъмова для любой эллиптической систслш. В случае А{1) = —1 задача типа Карлемана однозначно разрешили!.

В заключение автор выражает глубокую и искренпюю благодарность паучному руководителю, доктору фиэико - математических паук профессору Солдатову Александру Павловичу аа постановки »адач, внимание,'советы и замечания па протлжепил всей работы.

Публикации автора но теме диссертации

[1] Александров A.B., Солдатов А.П. Граничные свойства интеграла типа Коши. Lr- случай // Лифф. уравнения. - 1991.-Т.27, N1.-С. 3-7.

[2] Александров A.B. Об одной смешанной краевой задаче для эллиптических систем второго порядка на плоскости. - Материалы конференций молодых ученых 1993 - 1994 гг. - Владимир, ВГНУ, 1995, с. 120 - 124.

' I

[3] Алексапдров A.B. Краевые задачи для эллиптических систем в классах тина Харди. -" Поптрягипские чтенш! - УП":Тезисы докладов школы — Воронеж: ВГУ, 1990. - С. 11.

I

[4] Александров A.B. Классы типа Харди решений эллиптических систем второго порядка па плоскости. Рук деп. ВИНИТИ РАН, N 2474 - В 96, 1996г.

[5] Александров A.B. Смешанная краевая задача для эллиптических систем второго порядка в классах типа Харди. Рук деп. ВИНИТИ РАН N 2473 - В 96, 1996г.

[6] Александров A.B. Граничпые свойства обобщенного интеграла типа Коши в классах Ьр(Г) . -" Понтрлгинские чтения - VIII" :Тезисы докладов школы. Воронеж: ВГУ, - 1997. - С. 6.

[7] Александров A.B. Задача Пуанкаре для систем второго порядка на плоскости в классах типа Харди // Лифф. уравнения. -1997. - т.33, N8. - С.1069 - 1075.

Тир. 100 эк. Тиггог/эй^иЯ 3~<jatr Jdtponfi'&jp'kffcf.