Асимптоматика решений сингулярных дифференциально-операторных и интегро-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОДЕСНИЙ ДЕРЮШНИЙ УНІЕЕНЗШЕГ. л ім. ҐЛЛЕЧШОВА

На правах рукопису

КРАШВА Наталія Володимирівна

ҐІОМПШШ РОЗВ'ЯЗКІВ СИНГУЛЯРНИХ ДІІЖРЕЇЩІМЬШ-ОГІЕРАТОРІШ ТА ІНТБГРО-ДИЖРЕЩ ГАЛНПК . РІВНЯНЬ

01.01.02» - Диференціальні рівняння.

.Автореферат- -

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фі зяко-маїемакиїїях наук

Одеса 1993

Дисертацією е рушмо. \ ,, . ; , 0 .

Робота виконана в Одеському державному університеті ім. І Л.Мечникова.

Науковий керівник: кандидат фізкко-математячних

наук, доцент ІРАВОВСЬКА Р.Г.

Офіційні опоненти: доктор й>ізико-*іатематячнях

наук, професор СТРШК Т.Г.

кандидат фі зяко-математячних наук, професор КІІХ £.0.

Провідна організацій: Львівськая інститут прикладних

проблем механіки і математика ІН Україна

Захист відбудеться * Л/-С>г)7С> 2Х) р# на зв_

сіданні спеціалізованої вченої рад* К 05,01.02. до фізяко-матема-ткчнш наукам /математика/ в Одеському державному університеті

/270100, и.Одеса, вул. Петра Великого, 2/.

З дисертацією мозда ознайомитися у бібліотеці Одеського державного університету /270100, м.Одеса, вул. Радянської Армії24/. -

Автореферат розісланий ----139^£ р.

іічений секретар

спеціалізовано! вченої ради

Третяк 0.1,

ЗАГАЛЬНА. ХАРАКІЕРІС ЕГКЛ РОВОЇИ

Актуальність геми. Необхідність дослідження дшТеранпіально-операторімх рівнянь /ДОР/ і зокрема інтегуо-яиЬеувтітальнах рівнянь /ЩУ виникає при розв'язуванні багатьох задач у різних галузях природознавчих наук і в техніці. Стислий огляд шіншюшш, розвити? та застосування теорії ДОР і ІДР можна знайти у статті . ІІ.В.Азбелвііа [і] та джерелах, на які він посилається. ІІ.В.Азбелзв відзначає, що "... поруч з диференціальними рівняннями усе частіше з'являються ЦР та різні Гх "гібрвдя"... Вашншть загальні для широких класів рівнянь фувдаментальлі теорем і з'являються теорії різних узагальнень диференціальних рівнянь". Зупинимося ш методах

4

асимптотичних розвинень для ДОР.

Наприкінці ХУШ сторіччя Ейлпр поклав початок систематичному вивченім рівнянь з особлнвйстяшг г доставив питання про знаходження розв'язків рівнянь за допомогах ряців. В XIX сторіччі Ш.Бріо та іі.Бука використовували формальні ряди для розв'язку подібних задач. Нши було доведено, що у комплексній області деякі рівняння в око-ЛІ (О, о) зводяться до сингулярного рівняння вигладу

Враховуючи, що права частина рівняння (і) голоморфна в точи при деяких обмеженнях (Зулн здобуті голоморфні в точці X-О

1. Азбелзв ІЇ.В. 0 накоторих тенденциях в об-обадняях дифференциального уравнения //Дяф.уравввния.—1985.—Г.21, Л0.-С.1291-1304.

яке в узагальненням "класичного" рівняння Бріо та Бука

розв'язка даного рівняння /5 е Ш , /. Достатньо повне уявлен-

ня про історію та результати досліджень систем (і) за допомогам формальних рядів можна дістати, якщо квдатя.ионографт. В.О.Добро~

З

ВОЛЬСІКОГО [2] . -

Якщо аналітичні петард досліджень оиете* (і) яєйсшзгво застосувати, застосовують вкісні метода. Кавргпшах, ь;егод гладко; або кусково-гладких поверхонь без контакту. Чітке форыулэваняя цього , .

методу е в роботах А.Цуаішара та РЛ .Ляпунова, а доклади паяй опис иокна знайтк у книжці Н.І.Гаврилова [3] . Багато математиків взко-

рнстсвують кей метод у дійсній області» Якісний метсд анаоттігшого продовженім розв'язків поблизу нерухомої особливої точка був запро-• , ■ » понований Р .Г.Грабовсьгсоо Ц4] . Продовжую та розвивай! сей мето?* Г.Є.Саікоза розглядає клас сястем рівнянь першого порядку, які не розв'язані відносно нохідшз!.

У даній роботі метод, який був запропонований РіГ»Грабовськш, застосовується для певного клас а сшауляршх ДОР типу Бріо та Букв

з. оператором, котркіі нае похідні вищого порядку» чші і вхзначЕДТьс/і

І

актуальність пославленої задачі. .

Велика кількість різшх задач, яхт відносяться практична до усіх взклішіх розділів ьіатсііахи'шої фізакі і да сших різишгаі®-нкх технічних питань,пов’язана з вжаванші бессельсвах функцій. Природно, що, у зв'язку з нєобхідністо практичного ваявашш, з'явилися роботи, в яках впечеться азлмптотяка рїзнаданігнях рівнянь типу Бесселя, зокрема, асимптотика гіпербессельовях та гіпвргео-иетршшах рівнянь. Це роблять, В.С.Адом<дас і О.Д.Лізарєв, М.Кохао і

2. Добровольский В.А. Очерка ‘разотнія аналитической теории дифференциальных уравнений.- Каев: Вшца школа, 1Э74.

3. Гаврилов Н.И. Метод теория сбыкновешшх диффереявдальных урав-некий.- М.: Вшпая шнола, 1962.

4. Грабоэская РЛ1. С квазгг-аналитическюс. решениях одного класса нелинейна* да^ференцаальнюс уравнений //Труда Одесск. ун-та,

Шп. 3.-1Э58.-С .89-108. ' ,

А

С.Окошик, МДуьухара. Побудову асяшгготяиг для узагальнення гіпер-йассельова рівішшя мокна знайти в одній з робіт О.А.Гінгаєва.

У зв'язку з цвм актуальной став задача побудова асшптотака для пеодоіо класу сшпуляршх ДОР типу Бесселя з одераторш, що має похідні вашого пораділу.

Тема дисертаційної роботи є частагаад. деркйоджвмшї тил к 240 “Асшпго'кгчна поведінка розв'язків неавтонданах звичайних диференціальних рівнянь", яка виконується та кафедрі диференціальних рівнянь Одеського деряунігарсагету. '

Об'єкт дослідження. У дійснігі області доолідауеться клас овя-муляршіх ДОР типу Басселя: вигляду , ' ■ ... .

де Ь €• Я+ ; пєМ '

Ц, - суть відображення, взагалі кйг^чя,' нелінійно, яке кожній функції у з деякого класу Лос-0П(СО> А„і) отавать у відповідність визначену однозначно функцій, від X та ^ , тобто

„ (Ул$)(х,ц)*Н.(х,ц).

До того н, ^ асашготочяо дорівішеться при X ~*+0 регулярному розв'язку рівшшня Бесселя.

У ксашлзксяій області досліджується: клас скяіуллршх ДОР тішу Ері о та Бука вигляду

%\л/'^[а+а.0(%)]&-[■£+4*■+(Ц.и/)(2,^ (3)

де Зщ (X ф О; Ф О '} п.єШ \

(а/>Яіь) V (Яе а.-()г+{)У, функції йсА). - аналітичні а #={&М<Д0 ,й^;&€(Г, Тг)|; До 71 \-Ccnih* розглядається на поверхні Рімана логаряф-

лічпої функції; _

-£шг (%) - & *(%)-0>4=цп\ л0>4^С ($);

\]а - суть відображення, взагалі кажуча, нелінійне, яке кожній функції (V є ЗЬс (&с - деякий клас аналітичних я Я) , п -разів кедарервно-дяференційоваадх в & функцій) ставеть у відповідність визначену однозначно функцію віл % та \У , тобто

(с/а#і(Ч и/;.

До того к, $ асимптотично дорі вшиться пря Х-+0 деякому розв’язку "скороченого" рівняння Й.И'-.

Мета роботи. 7 дійсній'області: отримати достатні умова існування та асимптотичне зобразаення розв’язків рівняння (2) в достат- • ньо мал склу правшу нівоколі нудя. У комплексній області: отримати достатні умова існування та асимптотичне зображення аналітичних розв'язків рівняння (3) в йЭ .

Методика досліджень. 7 дисертації використовуються:. принцип нерухомої точки Шаудера [б] , топологічний принцип Важевського [б}, ыетод поверхонь без контакту [зЗ , ідеї методу аналітичного продовження розв’язків поблизу особливої точжя [4] .

Наукова новизна та основні результати. які виносяться на захист»

1. Вказані достатні умові існування і досліджено питання про кількість розв’язків певних класів сингулярних ДОР типу Бесселя {2) у дійсній області і типу Бріо та Буже (3) у комплексній.

2. Побудовано асимптотику для розв’язків дашх рівнянь не тільки для невідомої функції, але й для її похідних до П-го порядку, у випадку рівняння (2) , та до (л+(/-го порядку, у випадку рівняння (3) •

3. Досліджені певні ІДР, які належать до класів ДОР. типу Бесселя, а також типу Бріо та Буке.

5. Хартман <5. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.:Мир,19?0.

6. Канторович Л.В., Дкилоа Г.П. 'Зункционалытй анализ.- М.:Наука, 1984.

Усі результати, що були перелічені» е новими.

Теоретична та практична цінність. Дана дисертація носять теоретичний характер. Отримані в нііі результати і розвинені методи .розширюють клас ДОР, для яких можлива побудова асимптотичного роз-. ложання поблизу особливої точки, що лежить на межі області. Результат дисертації можуть знайти практичне використання, кола досліджуються рі зні задачі механіка, електротехніка, атшної та адерної фізики, фізхіиії, математичної біології та інші.

Публікації га апробація роботи. Основні результати дисертації відображені а Э опублікованих роботах, список яких наведено в кінці автореферату, 3 спільних робіт науковому керівнику належать постановки задач та ідеї методу Гх розв'язку. Результати авторам отримані самостійно. Основні результати дисертації доповідались на наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь Одеського держуніверситету /керівник доц. В.;/і.6втухоц/, кафедри вищої математики $ 1 Одеського державного політехнічного універслтагу /керівник проф. В.В.Яовіков/, відділу теорії дді{вреиціальнах рівнянь інституту прикладних проблвм механіки і математики АН України /керівник

проф. Б.ЯХкоробагатшо/, на ХУ Всесоизній школі по теорії опера-еорів в функціональних просторах УУльянівськ, 1990р./, на иколі "Сучасні методи якісної теорії крайових задач" /Воронеж,1391р./.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, двох розділів та списку літератури /143 яайленування/, загальним обсягом 149 сторінок.

З,'Лат ДИСЕРТАЦІЇ.

Вступ дає стислий огляд;, і аналіз сучасного стену проблем, які пявчаиться в дисертації. В ньому ваклздаатхся основні результати, які були отримані автором.

В пашсиу розділі у дійсній області досліджується клас сингулярних ДОР типу Бесседя і.2), В §1.1. ставиться задача; дря яких

умовах на оператор 1/п в достанім малому правому півоколі нуля існують розв'язки рівняння (з) , яз;і асшюотггшо дорівЕватьея при X -* + 0 зрізаній сумі формального степашвого раду і відлові-двать реіуларншу розв’язку рівняння Бесселя.

В § 1.1. доведено допоміжні лшй і зроблено деякі добудови.

Для точності запропонованого методу дослідження рівшшня оператор 1/п. исзяачнла через '

Н/гг) .

Далі вводиться до розглзду бапахів просгір X функцій ХєСП >(&, йЛ) , для яких Х^}(0)-0 . ]-ОЯ-і , І

Я*Ц= (пал Іха>(*)! .

>=лл-і '

х е С о, д„ і

Потім на давшу простору вводяться клас фупзцій

*В = [*бХ : 11*Ы<?}, 0<^еоп^

причому - опукла, айюЕвна, гамкнеш ьшогши.

Тепер приаустшо, и» для деяких С Є (0+ &) і номера //>() » при оудА-якаду 0 *■ І^о И С , існують пзетійні С; (С). ї= /,/Ум. * галі, що пря підстановці зрізаної суші

/з (х,д-£“ С; М

• ІО\ +Г1 ґ)( „<&'*'М+П+і \ гтт V . /І

в рівняная (2) едаргуєко вираз С/( X / Х-*,+0 •

ОЗНАЧЕННЯ. Назвемо (4) "ігайге розв'йзкш* рівняння (2) » якщо лря підстановці (4) в рівняння (2) виконується наступна умова

х5^д Ш+(и+ {) (х.С*)*х%¥п(кСо)+

+ х"З/Ьгі (ХАЇ'І(у> ^ ^Ап. Л/г)="^4/х»^)

де %+аЄ СП~4(й>,Лоі) * ЧР*«»ЧГ 1^_(^С)=0(^Л ? Щ?11

Пшиидеио у рівнянні (2)

до Ш- нова невідома функція з JC .

■Запровадимо функцій F (zj) , яка дозволяв запюгавг от-

ратор 'J- , після лоретворашя. (5) , у вигляді

причому

НхАУп-і(0))~$ (*> X > Гх S/t^f'XjCc)] а) ,

і те Еластяягсті. L. на класі функцій JQ .

L, Ллт будь-якою олзмента з J3 ВИКОНУЄТЬСЯ умом: і/ функція F(x,zXn(%)hF(x.x) озш^она в о&яасті

[fx/rj£[((С?л^) 9<!ґ<п, £с>0} %0 - фіксована;

2/для боіх (К,%)& У (^^{(OjOjj і будь-якого ^/7н

Я -а похідна функції о силу рівняння е функціса шг.іяду^

F“>U.x,YM(Z))*<PK(x,xXM»-.

-/ рє С°: (У^АЛ^ЧС)]) ■ л=4 :

4/ існує додатна постійна с£> , що для воіх

(х,х)є У(&/л)\{(0,0){ С У(Хо,Є)\{що)\

знайдуться додатні постійні > і-0,п.Ч » такі, що

5/ існують неперервні функції

YMl,W0.+»h VfoH? і X:(0,^h(0,i-^),%(0h0

^ Цз позначення вказув па те, що при послідовному {/2-і)-кратному дафаронціюванні функції в сялу рівняння найвищий порядок похід,- • вої по % залишається рівним (п-і) , тобто не підважується.

такі, до при будь-якому Хє(0, Хо) і Jє(C>+■oo)

\fUX-, к>) - Ґ(кк ЙУ)1* [т. Щтм

для віх (Х,Х,-ХЛ)£: ^(зеу)\{(0,0)\

• де 1-0 І ^=- £“< П при J~ о ,

а £ - 0,~П-Х і )>- п. при ^>о\

Тепер після заміни (ь) рівняння (2) дриііиае вяглвд

(еі •

' [РкхУп., (*)) -р(х, 0, 1£, ^] .

Розв'язок доставленої задачі для рівняная (2) зводиться до розв'язування допоміжної задачі для рівняння (б) : при яких умовах на функцш І~ в достатньо шлему правилу півоколі нуля існують розв’язка рівняння (є) , які задовольняють оцінкам

при Х"**0 ■ Р^ОП.’ (7)

Побудуєм адяопараиетричяу сім ’а операторів Л(Сс) (роль парапет/І ч . /Ч/

ра грає Се) такт чяяш: дав і дьному фіксованому елементу X поставимо у відповідність розв'язок з Л рівняння

-уті [Р(х, х, Уа., (%)) ~р(х,0, Уп-, (0)) ],

лкліі задовольняє на £0, До~1 оцінкам _і

ІЬСІ,(Х)\4&іХп~і , 0<6^0СМЬ> j=0n-l.

В § 1.2., використовуюча, метод поверхонь без контакту та топологічная принцип Вагеаського, доведено, що ^! ЛСо) од-

нозначно визначений.

А § 1.3. доводяться неперервність оператора Л на $Ь . а § 1.4. ДОВОДЯТЬСЯ відпоєна ЕОШЩКГНІСІЬ $ [Л] в Л> .

В § 1.5. зро&лано основний висновок з попередніх параграфів

про виконання всіх умов принципу Шаудера. Отже, існує хоча б одна нерухома тачка з *0 оператора ^(Се) , що відповідає параметру 0<ІС,І< С і для якої на [ДАе] виконується умова

- ШКх.Сс)* *в(*АІ

їо(*&)- розв'язок рівняння (б) „ який задовольняв оцінкам (7) , бо оператор ЛС„) будувався так, щоб його нерухома точка сула розв'язком рівняная (б) . Таким члнш, була доведена ТЕОРЕМА 1.1. Нехай функція Р {у: ^Упч (х)) з рівшшня (б)^мае властивості Ь. на класі функцій <$Ь . Тоді знайдуться такі & іН достатньо велике <£>() і настільки мале Д1>(іїс)>0, що на ІД Лої існує, принаймні,однопараметрична сім'я розв'язків ХС(Х,СЄ) рівняння (б) , які мають разом з похідними до гг-то порядку на ££> АЛ оцінкя . . . .

\х,ш№*п> ■ щах-'О.л^Тя.

Для кашого паршвтра 0<|С01<С- такий розв'язок хоча б один.'

Задача» поставлена для рівняння (б) , розв 'язана. Повергаємося до задачі для рівняння (2) . Враховуюче заміну (б) , вірна ОСНОВНА ІЕСРЕМА 1.2. Нехай для деяких С^(0 + °°) і номера №(). пра будь-якшу 0<\Со|< С , функція вигляду (4) «г "майже розв'язком" рівняння (2) . Крім того, функція Г(X, ' яка

має властивості її, на & , така» ща після заміни (б) рівнян-

ня (2) прапускає зо<Зраяення вигляду (в) . Тоді у рівнянні (2) тшу Бесселя на £0,Д,1 існує принаймні однопарамогрична сім'я розв'язків і/0(х, С0) , що мають асимитотаку •

ЧЛ*Л)4*л$/иі№)Т+0(*а^*р) т Х-++0-Р-Ф'

Для кожного параметра 0<ІС„І<$ 13x011 розв'язок хоча б один.

В § 1.6. наведено приклад ДОР /взагалі кажучи, ШУ типу у'(л) .

‘““"**,*♦*/*[«4 (Є)

0 ЦМ -1 ’ •

її

тух еС-^ , П-Я , Внаслідок ваявносгі оператора класична теорія рівняна* Бесселя не прагре. Перевіряємо виконання умов, теорєш 1.2: 1/ знаходимо "майже розв *язек" рівняная (8}

УНебТг І~СоЄіЯ\{0! у = )(^^х(х,с0);

2/ вводимо функцій х

С^5т,Щ>(ЦцхсИ)] Ь , ч

да*****.

СкЧІа.гУ

шф к:;'№*г№ ■

• ■ • х*ХіА2 , ,

Для даної функцгї викону&ться всг властивості Ь. на класі лО :•

В салу основної теореми у рівнянні (в) на [0,4.], Лс^ : , '

існує, принаймні, однодарамеїрігша сім'я розв’язків, що маогь асишь

Для кошюго параметра Се£ (ї. \{0] такий розв'язок хоча <5 один.

В другому шзяілі у комплексній області досліджується клас сингулярних ДОР типу Бріо та Еуке (з) . В § 2.1. ставиться задача: яри яках умовах на оператор І/а. зникаючі разом зі своїми похід-няші в точці 4,-0 аналітичні в ЯЗ ,/г-разів неперервно-дифз-ренційовані в с0 розв'язка рівняння (3) існують і задовольнить

сцінкал (?) п/ ІЇтЧ-р \ п —, х

и/ (х)~(/(І£\ ) ащ Х,*О,р*0'МІ. (з)

В § 2.1., міркуючи аналогічно з § 1.1. першого розділу, на початку вводиться до розгляду .бянахів простір У\_ аналвтичаах в одшзв'язнаї області с£) функцій ]№ (%>) • С (®) * яких (0)-0 , ) = 0,/1 , і

' Ш і

І|№Ик* IV «І •

&£ *> . Потій на даному просторі вводиться клас функцій

Далі, аналогічна з першим розділом, розв'язок поставленої задачі для рівняння (3) засдаться де розв'язування доломікноГ задачі: про існування аналітичного в Ю , П -разів шяорервно-диферевційо-ванаго -в с& розв'язку рівняння

гГ4а>а.(хПІіН^Ш^'+£Р(гЖ(Ю). <“»

япяй задовольняє* оцінкам

. ' ‘ь . \4<р)(у)-0(іі\п ‘ р) при .

Рівняння (іо) одержане з (3) заміно» .

, ¥ЄХ . (11)

Діюча- аналзгічга з першим розділом, побудуємо оператора №

/глля /(V + і //> £е & будуємо ^ , ЕОЛІТ /А^МЬ*(]о'УДУ0І« У?+ /. Відзначило, що щ>я побудові операторів ^ було запропоновано' розглянута дві сім'ї гладких крнвлз, причому таких, що через кохяу точку області $ повинна проходам одна і тідшг одна нрава хоя-ної з горе сімей. Перша сім'я -од сім'я променів, друга сім'я - сім'я дуг кіл. І тоді поставлвна задача для рівняння (10) була зведена до аналогічної задачі для дійсної сястшлг двох рівнянь типу Бріо таї Бука.

В § 2.2.. за долемагоа» цих сімай гладких кривих запропоновано

• /V /Ч» —— •

два способи яобудсвяг V"Же <%> розв'язну (Д~У/){%) в од і доведено тзєтгешя, цр побудований двома способами неперервная роз-в'язон єдиний, претоау ($*№)є Сп~() • З цьому параграфі ви-

користовувала: ідеї їла йду аналітачнага продовження розв’язків поблизу особливої точки. ■

/4

В § 2,3. доводиться аналітичність розв'язку (/І Ж)(х) 3 & *

Га сформульовані умови: на и*Ж 1Ш). які забезпечують побуцо-. ву оператора , причому Д* однозначно визначений в «8 (^однозначний в розумінні задачі Коша) і «Д* ! «В.

В § 2.4. доводяться неперервність оператора на ай • . •

В § 2.5. доводиться достатня умова ріаносіешневої неперервності послідовності аналітичних функцій комплексної змінної га відвос-на компактність Jl* [Л~\ в .

В 5 2.6. зроблено основний висновок про виконання всіх умов прігяцзпу іііаудера, на сенові якого була сформульована ІЕОРША 3.1. Нехай функція з рівняння (іо) мао влас-

тивості jj, на класі функцій «З . Тоді знайдуться такі достатньо в еліпса <£>0 1 настільки мале Ас(^)уО * т а існує розв'язок рівняння (ю) , якай ыаз в Ю разш з. похідяша до (п-Н) -га порядку ОЦІНКИ , ■

ІГМН&ІІҐ', [У°мТ'-0(шм-‘) ЩЖХ’С

При /Vе/Е+! N> &С&. такай розв'язок хоча один, при /Ує$+*. N<Ria~(rn-i) - принаймні однолараметрочна сім'я таких розв'язків. '

Задача, поставлена для рівняння (іО) , розв'язана. Ьрахавувж заьііну (її) » вірна

ОСНОВНА ‘ТЕОРЕМА 2.2. Нехай функція р(z,W, Yn. (WJ) - яка ыаз- влас-

тявасті 1». на , така, що після заміна (її) рівняння (3)

нрлпусказ зображання вяглнду (ю) . Тоді у рівнянні (з) типу Бріо

та Буже існує зшкаачгй разом зі сваїмк похідршш в точці %-О

розв'язок' г причому він аналітичний в Я) , tb -разів неаа-

рервно-дяференційоваиЕй в <© і задовольнив асимптотичним оціп-

кам (э) яри %-*0, : : .

Пра такЕй розв 'язок хоча йодии. ,

Ера у\l£iHt'.ti<lk(l-(n+l)- дргшашш огнопаршетрігчна сім'я такие розв'язків. • . _ .. . , ,

В § 2.7. наведено пхшиїад ДОР /взагалі каїї^чя, ІДР/ толу

Бріо та Бука , > %' , »

a w'= [u Х%Х)* j , (і2)

о

їут ЛЛ; йеМ^хЧих)1; і^~Лі

Н^мШ= х'/Ф’РфФЯііі* **Vі'■'.

о 5

З сяду основної теореші 2.2., через те, ща /іІ^ЯеСЦ У рівнянні (12) існує хоча <1 один зникаючий разом зі своїмя похідними а точці %-0 розв'язок, причому він аиалітатшій а <&3{&/&/<А неаерервно-даференціііаваняй в й і задовольняв асимптотичний оцін-

[уЧоШ(Р}-0(ШН‘,>) ара £->0 . р~бХ .

Треда відзначити, що результати» які одержані у дійсній та кшд ж келій областях, взаємозв ‘язаяі один а одним. Так, задача дослідження рівняння (2) типу Бесселя заміно» зводилася до задачі дідаеншг рівняння (б) , яке в свао чергу в рівнянаш (з) тану Бріо та Буке. А годі можна говорити, іде отримані достатні умови існування та асимптотичне зображення розв 'язків рівняння типу Бесселя не тільки у дійсній, але й в комплексній області. Проте клас операторів у комплексні і) області для даного рівняння більш вузький ні* у ДІЙСНІЙ. !

Крім того, для застосування якісного методу у дійсній області досліджувалось одна рівняння тану Бріо та Буке, а у комплексній -система двох рівнянь типу Бріо та Букв. Тому результати у дійсній

і комплексній областях не перекрвваоті один одного. хоча мають спільну методику. -

Основні результати дисертації ві&оОрагені в публікаціях:

1. Крапова Н.В. Асшдтотиіш решеняй одного аатвгро-дифїврвндяально-го уравнения второго порядка тяпа уравнения Бесселя //Дев. в УкрЙШШИ 26.02.90., *352-У|вО,-2ІС.

2. Крапова Н.В. Об асямятогическсм разложении решеняй одного дн!фэ-ренцнально-ооераторного уравнения //Тбз. докл. ХУ В се союз. шк. по теория операторов е функц.ар-вах.-Ульяновск,1ЭЭ0.-Т.1.-С.132.

З.Грайсйская &раяиаа В .В. Сингулярное урдатениэ второго до-рад® 6 йвлвввйша оператором //Два. в УкрШИШИ 04,07,31»,

»©ЭЗ*УйН, 16с, . ! -

4» фабШСйая Р.Г.» Кршава Н«В. Об аммптатаческда пввадаяяя реве-йай оДноп) класса. Ди^фервнцааяьно-слвратефанх уравнений та ураВйеШя Ёвсоейй .//З^шгис^шв^дифферайшальные ур-* И1р: йралой* З&в. докл. 3 £ёэерс-£евкаэско 2 решвн»канф.- И^хачрала, 2Э91.-С.50. ' - '

5. ГраЗйВйкая ?-.£., Крайгйа Н.З, 0 <зущэ<дааваша г. количестве авали-гяческях $еаенай йдною класса сянгудярацх даФФврешраЛьво-опе-рагорных ургйаейий юащ £р4о и Еука //1ьз^окл.шк*"Сввр0ыеиш1в квтодав Теория краевых задач".-Воронеж, 2992.-С.35.

6. Крапива Н.В. й-ошлатототесвде поведете а существование ашлатн-ческах зрбпевяй для сясгем еявгулярши диф^ренпдалкво-адератср-

. ша уравнений //Гей.докл^Респуйл.научнг>-41егад.Еон&. ,шсв.200-лв-гт со дкя рсвдешш НА Лобачевского .<-С|десса, J392.-C.121.

7. Краяава Н.В. Аап.штаиша решения одного класса уравшний с операторам, содераавдш проязводша высшего варадка //Твз.лохлМеяахзг-'&рмаШл.ксш$.*Ляпуяавсше чтения".-Харьков, 3992.-С.92.

8. Грановская Р.Г., Крапива Н.В. К вопросу о существовании аналитических решений ди^ренпдапьЕо-операторпого уравкекшг типа Брао и Букв //Теа» Ш1шар.ко»$.»ярасвяч. лам'лт! ак. Ы.П.Краачука.-КгйСв-Луцьк, 3992.-С.51-.

9. Грабсзская Р.Г., Крапива Н.В. Об одном классе сингулярных дифЕе-

ренциадьно-чшэрагоряых уравяеяяй тала Бряо и Буке //Цеп. в УкрШТЭИ 26.10.32., К 1734-УкЭ2, 65с. ; .

. . .

' ' ' . . 6Пч. 30К. А№. •'И' а 'I 9А