Асимптотически упрощенные формулировки задач о статическом изгибе и свободных колебаниях пластины Рейсснера тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Сашст-Петербургский государственный технический-университет

РГб од

| ^ ' ..............На правах рукописи

Иванова Елена Александровна

УДК 539.3

АСИМПТОТИЧЕСКИ УПРОЩЕННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ О СТАТИЧЕСКОМ ИЗГИБЕ И СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ РЕЙССНЕРА

Спсппальность 01.02.04 — механика деформируемого -

твердого тела

Автореферат дрссертации на соискание ученой "степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1(394

Работа выполнена на кафедре "Теоретическая механика"

Санкт-Петербургского государственного технического университета

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор П.А.Жшшн

1

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор СД.Зегжда

— кандидат технических наук, доцент Ю.Г.Исполов

Ведущая организация — Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится в на засе-

дании специализированного Совета К.063.38.20 при Санкт-Петербургском государственном университет^ по адресу: 195261. С.-Петербург, ул. Политехническая, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГТУ. Автореферат разослан

"Ж " ./¿^¿Г/^Г 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета К.063.38.20

кандидат физико-математических наук,

доцент . В.Н.Носов

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ----------------

Актуальность темы. Задачи о колебаниях пластпн под действием ударных нагрузок часто встречаются в приложениях. В частности, этп задачи возникают при исследовании вопросов зашиты космических кораблей от ударов мнкрометеорптных частиц, воздействия ударных акустических полн на элементы конструкций и ряда других. Теория Кирхгофа, которой обычно пользуются в инженерных расчетах, к решению данных задач не применима. При решении обычных задач теории пластна, таких как задачи о статическом изгибе п колебаниях пластин под действием медленно меняющихся во времени нагрузок, использование теории Кирхгофа позволяет правильно определить все величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние пластины внутри области, однако приводит к недопустимо большим погрешностям при вычислении перерезывающих сил п крутящих моментов вблизи края пластины. В связи с этим, широкое распространение полупила уточненная теория пластпн, учитывающая инерцию вращения п деформацию поперечного сдвига. При всех достоинствах этой теории, она обладает п существенным недостатком. Недостаток теории пластин типа Рейсснера связан с тем, что она содержит быстро меняющиеся по пространственным координатам функции, наличие которых затрудняет ее численную реализацию. Эффективное использование численных методов при решении задач теории пластин типа Рейсснера возможно только при весьма специальном выборе координатных функций, основанном, прежде всеро на хорошем знании структуры решения задачи. В связи с этим, актуальным является таким образом переформулировать задачи о статическом изгибе п свободных колебаниях пластины Рейсснера , чтобы при пх численной реализации не нужно было находить быстро меняющиеся функции.

Цель работы:

1. Сформулировать приближенные уравнения, предназначенные для решения задач о статическом изгибе и низкочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера, в«которых изменение погранслойной функции по нормали к контуру пластины выражено аналитической зависимостью и прп чпелепной реализации которых требуется находить только медленно меняющиеся функции.

2. Разработать формулировки функционала потенциальной энергии и

л

функционала Гамильтона в задаче о низкочастотных свободных колебаниях пластины, зависящие не от самой погранслойной функцпп, а только от ее медленно меняющейся части.

3. Провести асимптотическое исследование задачи о высокочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера и предложить приближенную формулировку этой задачи, не содержащую быстро меняющихся по пространственным координатам функций.

Метод исследования. Вывод предлагаемых в диссертации приближенных уравнений основан на асимптотическом анализе уравнений теории пластин типа Рейсснера.

Научная новизна:

1. Предложена новая формулировка функционала потенциальной энергии в задаче о статическом изгибе пластины Рейсснера.

2. Предложена новая формулировка функционала Гамильтона в задаче о низкочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера.

3. Предложена приближенная формулировка задачи о высокочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных асимптотических методов, а также непосредственным сравнением решений, полученных по предложенным приближенным уравнениям, и точных решений.

Практическая ценность. Предложенные в работе формулировки задач о статическом изгибе и свободных колебаниях пластины допускают простую численную реализацию.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались

- па международной конференции "Asymptotics in Mechanics" (St.-Petersburg, 1984);

- на научных семинарах кафедры "Теоретическая механика" СПбГТУ;

- на научном семинаре кафедры "Прикладная и теоретическая механика" СПбГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав заключения и списка литературы. Основной текст занимает 147 страниц. Приложения включают 35 таблиц и 11 рисунков.

__ ______________СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ-----------------------------

Во введении содержится обзор литературы, анализ состояния вопроса, формулируются цели диссертации и основные результаты. Обзор литературы включает работы В.Л.Бердичевского, В.В.Болотина, Ш.К.Галпмова, А.Л.Гольденвейзера, В.Т.Грпнченко, П.А.Жилина, С.А.Зегжды, В.Н.Москаленко, В.А.Палъмова, Р.Б.Рикардса, П.Е.Товстпка, Я.С.Уфлянда, П..Б. Мт<Шп'а, Е.Г^ззпег'а, О.С^епИе^укг'а и других авторов.

В первой главе рассмотрены задачи о статическом изгибе и низкочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера. Эти две, казалось бы, совершенно разные задачи имеют много общего. Величины, определяющие напряженно-деформированное состояние пластины, при статическом изгибе и низкочастотных свободных колебаниях имеют одинаковый характер изменения по пространственным координатам; асимптотические соотношения между т, ¿V, М, также одинаковы. Решения обсуждаемых задач содержат в себе медленно меняющиеся функции, проникающие во всю область пластины, и функции типа погранслоя, быстро затухающие при удалении от границы и медленно меняющиеся вдоль контура. Наличие погранслойных функций затрудняет численное решение данных задач. В диссертации предложены приближенные формулировки задач о статическом изгибе и низкочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера, устроенные таким образом, что при пх численной реализации требуется находить только медленно меняющуюся часть погранслойной функции и функцию, проникающую во всю область пластины.

Статический изгиб пластины. Предложена приближенная формулировка задачи о статическом изгибе пластины Рейсснера, позволяющая находить все величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние пластины с асимптотической ошибкой порядка 0(Л2) в сравнении с единицей. Уравнение1, описывающее проникающее внутрь области решение, совпадает с уравнением С.Жермен-Лагранжа

29 Д ДФ + ¿»АР = 0. (1)

Для функции, характеризующей пограислойяый эффект, получено аналитическое выражение

F(v,r) = /(r)[ (f<0), (2,

в котором неизвестной является только медленно меняющаяся функция /(г), зависящая от координаты на контуре пластины. Функция /(г) определяется из граничных условий. Следует подчеркнуть, что в отличие от теории Кпрхгофа, которая позволяет удовлетворить только двум условиям на контуре, в предложенной формулировке задачи учет погранслойной функции дает возможность удовлетворить всем граничным условиям, имеющим место в теории типа Рейсснера.

Величины, характеризующие напряженно-деформирован нос состояние пластины имеют вид:

„, = -*, * = УФ - Ш /{Г) ехр (Ш и) I, Я ~ D VA» + САГ [( - ^ (1 - /(г) г+

м = D [(l-Ai)VV$ + ^ДФ8] + [D( 1 - f'(r) (Uli - TT) -

-^(•-й-^'м^^Ыпг')-

Низкочастотные свободные колебания пластины. Предложена приближенная формулировка задачи о низкочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера, позволяющая находить собственные частоты и собственные формы колебаний пластины с асимптотической ошибкой порядка 0(Л2) в сравненнп с единицей. Уравнение, описывающее проникающее внутрь области решение, совпадает с классическим уравнением Кпрхгофа

£>ДДФ + рЛФ = 0.

И'

Выражение для функции, характеризующей- погранслойный эффект, в---------------

точности совпадает с тем, которое было получено в задаче о статическом изгпбе пластины (2). Формулы для вычисления т, Ф, /V, М имеют такой же вид, как и в задаче о статическом изгибе пластины (3).

Проведено асимптотическое сравнение предложенных формулировок задач о статическом изгибе и низкочастотных свободных колебаниях пластин с теорией Кирхгофа. В отлпчпе от большинства работ, посвященных обсуждению асимптотической точности теории Кирхгофа, где рассматриваются только три типа граничных условий (жесткая заделка, стесненное щарнпрное опнранпе п свободный край), в настоящей работе рассмотрены восемь возможных в теории Рейссяера типов граничных условий.

Предложена новая форма функционала потенциальной энергии в задаче о статическом изгибе пластины Рейсснера. Построение этого функционала реализовано в виде следующих этапов: 1. функционал потенциальной энергии записывается в терминах проникающей и погранслойной функции; 2.. та часть функционала, которая зависит от погранслойной функции, при помощи теоремы о дивергенции преобразовывается из интеграла по площади в контурный интеграл; 3. в полученный функционал подставляется выражение для погранслойной функции (2), в котором зависимость от коордпнаты по пормалп к контуру пластины выражена аналитически. В результате этих преобразований получается модифицированный функционал потенциальной энергии, в который погранслойная функция входпт только своей медленно меняющейся частью. Предлагаемый функционал потенциальной энергии отмеет вид:

Предложена новая форма функционала Гамильтона в задаче о низко частотных свободных колебаниях пластины Рейсснера. Структура этого

г

функционала аналогична структуре функционала энергии в задаче о С1 тическом изгибе пластины. Низкочастотный функционал Гамильтона име ет вид

В конце главы демонстрируется применение модифицированного функционала потенциальной энергии к решению ряда конкретных задач: задаче об изгибе круглой пластпны равномерно распределенным по контуру крутящим моментом; задачам об изгибе диарвирно опертых прямоугольных пластин под действием поверхностной нагрузки (сравниваются решения данных задач в случае стесненного и свободного шарнирного оппрания); задаче об изгибе прямоугольной пластины, три стороны которой шарнирно оперты, а на четверной стороне заданы перерезывающая сила и крутящий момент, подобранные таким образом, что асимптотически главный член решения этой задачи обращается в ноль.

Во второй главе рассмотрена задача о высокочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера. На основании асимптотического исследования дайной задачи установлено, что характер изменения величин, определяющих напряженно-деформированное состояние пластпны, при высокочастотных колебаниях существенным образом отличается от характера изменения этих величин при низкочастотных колебаниях и статическом изгибе. Это отлпчяе заключается в том, что при высокочастотных свободных колебаниях нет функции типа пограаслоя, но есть другая быстро меняющаяся по пространственным координатам функция, проникающая во всю область пластпны. Кроме того, асимптотические соотношения между величинами и), Ф, К, М при высокочастотных колебаниях оказываются совсем не такими, как при низкочастотных.

х

Предложена приближенная формулировка задачи о высокочастотных___________________

свободных Колебаниях пластины Рейсснера, позволяющая определять собственные частоты с асимптотической ошибкой порядка 0(НА) в сравнении с единицей и собственные формы с асимптотической ошибкой порядка 0(К) в сравнении с единицей. Дифференциальные уравнения имеют вид:

(7)

(Г+Г1-)ДФ-^Ф_£Ф = О, (8)

+ (9)

Заметим, что приведенная выше система дифференциальных уравнений имеет 6-ой порядок по пространственным координатам, что дает возможность удовлетворить всем граничным условиям, имеющим место в теории типа Рейсснера.

Для функций Ф, и у справедливы следующие асимптотические опенки:

- г 12СГ д<р д<р 1 9<р

Уравнения (7) к (8) на первый взгляд кажутся уравнениям типа ио-гранслоя, поскольку они содержат малые параметры при старших производных. Однако, более детальное исследование этих уравнений показывает, что асимптотически главные члены 2-го и 3-го слагаемых взаимно

уничтожаются, в результате чего функции Р и Ф представляют собой мед левно меняющиеся функции координат. Решение уравнения (9) представляет собой быстро меняющуюся функцию координат, которая, однако, не является функцией типа погранслоя (последнее обусловлено тем, что оба слагаемых в уравнении (9) имеют одинаковые знаки).

Величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние пластины, имеют вид:

Очевидно, что наличие быстро меняющейся по пространственным координатам функции, проникающей во всю область пластины, делает приведенную выше формулировку задачи о высокочастотных свободных колебаниях пластины практически не пригодной для численной реализации. В связи с этим, становится актуальным вопрос о том, можно ли сформулировать данную задачу без учета быстро меняющейся функции у?. Асимптотический анализ показал, что поперечный прогиб и> и тензор моментов которые в главных членах зависят от функция асимптотически малы по сравнению с вектором углов поворота и вектором поперечных сил ££, в главных членах от не зависящих. Поэтому формулировка задачи о высокочастотных свободных колебаниях без учета быстро меняющейся функции 1р в принципе имеет смысл. При исключении функции <р порядок системы дифференциальных уравнений понижается с б-го до 4-го, что приводит к необходимости три условия на ковтуре заменять двумя. Граничные условия в задаче для медленно меняющихся функций имеют следующий вид.

Кинематические граничные условия:

= УФ +Я = <7йГ(УФ + УГхП), (10) М = 1> [(1 - + <р) + рД(Ф + V») 2 + х в - а х V УР)].

(И)

ю

0Ф

дт

дТ

ди

= 0.

(12)

Силовые граничные условия:

= 0, — 0.

(13)

(14)

Здесь условия (11) и(12) представляют собой условия равенства нулю углов поворота вокруг касательной и вокруг нормали к контуру; условия (13) и (14) представляют собой условия равенства нулю приведенного изгибающего момента момента. »

Замена трех граничных условий двумя производится в соответствии со следующим правилом: условия

1. Ф„|е=0, Фг|с=0, ш|с = 0,

2. Ф„|е = 0, фг|с = 0,

3. М„|е = 0, Фг|с = 0. ЛГ„|е « 0

заменяются кинематическими условиями (11) и (12); условия

1. Ф„|с = 0, Мг|с=0, «||с = 0,

2. Ф„|е = 0, Мг= 0, N.|с = 0,

3. Л/„|е = о, мг\с = о,

заменяются условиями (11) и (14); условия

м„|с = 0, фг|с = 0, Нс = о

заменяются условиями (12) И (13);

условия

М„|е = 0, Мг|г = 0, =0

заменяются силовыми условиями (13) и (14).

Функционал Гамильтона в задаче о высокочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера без учета быстро меняющейся по пространственный координатам функции имеет вид:

+-/<д*?]г2><1 -ЫМ"

Проведен асимптотический анализ задачи о вынужденных колебаниях пластины Рейсснера, в результате которого установлено, что учет высокочастотных форм колебаний в наибольшей степени сказывается при вычислении вектора поперечных сил, в меньшей степени — при вычислении вектора углов поворота и тензора моментов и практически не заметен при вычислении поперечного прогиба.

В конце главы обсуждается физический смысл полученных результатов.

Третья глава посвящена решению конкретных задач, демонстрирующий применение предложенных приближенных уравнений. Задачи, рассмотренные в третьей главе, хорошо известны: это задачи об осесимме-тричных свободных колебаниях круглых пластин и задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин, две противоположные стороны которых шарнирно оперты. В отличие от других подобных исследований, в данной работе анализируются решения указанных выше задач при всех возможных типах граничных условий.

В первых двух пунктах третьей главы содержится асимптотическое исследование задач о свободных колебаниях круглых и прямоугольных плат стин. Показано, что решения обсуждаемыхЪадач, построенные по предяо-

женным в диссертации приближенным теориям, при всех типах граничных условий асимптотически следуют из решений по теории типа Рейссне-ра, что подтверждает правильность предложенных формулировок задач.

Третий и четвертый пункты посвящены исследованию реальной точности предложенных в диссертации формулировок задач о низкочастотных и высокочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера. Под реальной точностью понимается относительное отличие значения величины, вычисленной по приближенной теории, от значения той же величины, вычисленной по теории типа Рейсснера при данном конкретном значении малого параметра. Вычисления проводились для прямоугольных пластин размером а = Ь=1,Л = 0,1иЛ = 0,04 при всех типах граничных условий. Вычислялись как собственные частоты, так и собственные формы колебаний пластины.

В третьем пункте рассмотрена задача о низкочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера и проведено сравнение реальной точности предложенной в диссертации приближенной формулировки данной задачи с реальной точностью теории Кирхгофа. Представляется интересным тот факт, что при двух типах граничных условий (Ф^,. = О, Фг|с = О, = О и = О, Мт|с = О, ЛГ„|С = 0) использование теории Кирхгофа приводит к недопустимо большим погрешностям даже при вычислении собственных частот, в то время как погрешности, возникающие при использовании предложенной приближенной теории, при этих типах граничных условий оказываются такими же, как и при всех остальных. При других типах граничных условий результаты решения обсуждаемых задач по теории Кирхгофа и предложенной приближенной теории заметно отличаются только значениями перерезывающих сил и крутящих моментов вблизи края пластины.

В четвертом пункте рассмотрена задача о высокочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера. Результаты проведенного исследования показали, что реальная точность предложенной в диссертации приближенной формулировки данной задачи при всех типах граничных условий достаточно высока.

В последнем, пятом пункте третьей главы рассмотрены задачи о вынужденных колебаниях прямоугольных сластив под действием ударных нагрузок. Решения построены в виде рядов по собственным формам. Показано, что применение предложенных приближенных уравнений, описывающих свободные колебания пластин, позволяют правильно оценить по-

рядок возникающих напряжений, в то время как значения напряжений, вычисленных по теории Кирхгофа, отличаются на порядок и более (последнее говорит о неприменимости теории Кирхгофа). Кроме того, установлено, что учет ограниченного числа собственных форм (в случае действия быстро меняющихся во времени нагрузок) приводит к таким большим погрешностям, что при учете малого числа собственных форм не имеет значения, какие уравнения использовать для решения задачи о свободных колебаниях — точные или приближенные.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработана новая форма функционала потенциальной энергии в задаче о статическом изгибе пластины Рейсснера. Предложенный модифицированный функционал энергии устроен таким образом, что погранслойная функция входит в него только своей медленно меняющейся частью, и это делает предложенный функционал удобным для использования в численных процедурах.

2. По аналогии с модифицированным функционалом потенциальной энергии разработан модифицированный функционал Гамильтона в задаче о низкочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера.

3. Рассмотрен вопрос об асимптотическом переходе от теории типа Рейсснера к теории Кирхгофа при всех возможных типах граничных условий.

4. Проведен асимптотический анализ задачи о высокочастотных свободных колебаниях пластины Рейсснера, на основании которого оценены асимптотические порядки и установлен характер изменения по пространственным координатам величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние пластины. Предложены две приближенные формулировки задачи о высокочастотных свободных колебаниях, одна из которых не содержит быстро меняющихся по пространственным координатам функций. Предложена вариационная формулировка задачи без учета быстро меняющихся функций.

5. Проведено асимптотическое исследование задачи о вынужденных колебаниях пластины Рейсснера и оценен относительный вклад в решение низкочастотных и высокочастотных колебаний в зависимости от скорости изменения внешней нагрузки.

----6. Построены решения задач о свободных колебаниях круглых и прямоугольных пластин по теории типа Рейсснера, по предложенным приближенным теориям и по теории Кирхгофа. Проведено асимптотическое сравнение этих решений. Для прямоугольных пластин проведено сравнение численных результатов.

7. Решен ряд задач о колебаниях прямоугольных пластин под действием ударных нагрузок (решения строились в виде рядов по собственным формам). Проведено сравнение численных результатов решения этих задач по теории типа Рейсснера, по предложенным в дпесертаппп приближенным теориям п по теории Кирхгофа.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Иванова Е.А. Асимптотическое разделение колебаний в динамике пластин типа Рейсснера // Ленпнгр. гос. техн. ун-т. - С.-Пб., 1992. - 90 с. -Деп. в ВИНИТИ 20.10.92. N 300Э-В92.

2. Иванова Е.А. Асимптотическое разделение колебаний в динамике пластин тппа Рейсснера // Труды СПбГТУ. - 1993. - N 446. С. 185-187.

3. Иванова Е.А. Решение задач о низкочастотных свободных колебаниях прямоугольных пластин по теории типа Рейсснера // С.-Петерб. гос. техн. ун-т. С.-Пб., 1994. 30 с. - Деп. в ВИНИТИ 06.07.94. N 1679 - В94.

4. Иванова Е.А. Решение задач о высокочастотных свободных колебаниях прямоугольных пластин по теории тппа Рейсснера // С.-Петерб. гос. техн. ун-т. С.-Пб., 1994. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ 06.07.94. N 1680 - В94.

5. Ivanova Е.А. Asymptotic Hamilton's functionals in the problems of low-frequencial and high-frequeudal free vibrations of the Reissner's plate // Int. rouf. Asyinptotics in Mechanics. - Book of abstracts. -S.-Pb., 1994. - P. 52.