Метод асимптотического расщепления в пространственных задачах деформирования слоистых конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК 539.3

ГОРЫНИН Глеб Леонидович

МЕТОД АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧАХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОИСТЫХ

КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2006

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Немировский Юрий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Корпев Владимир Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Паймушин Виталий Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Соловьев Юрий Ильич

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт прикладной

математики и механики Министерства образования и науки РФ (г. Томск)

Защита состоится «16» июня 2006 года в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 003.35.01 Института теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Институтская 4/1. Факс: (383) 330-72-68 E-mail: shulgin@itam.nsc.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ СО РАН. Автореферат разослан « У/ » ОМОл^ 2006 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003.35.01 доктор физико-математических наук,

профессор /5$. В.И. Самсонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Слоистые стержни и плиты являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Одну из ведущих ролей они играют в ракетно-космической и авиационной технике, автомобиле-и судостроении, химическом и энергетическом машиностроении, промышленном и жилищном строительстве. Для всех упомянутых отраслей проблема гарантированной работы этих элементов и конструкций, составленных из них, является безусловно актуальной.

Для многих типов материалов выход за пределы их упругого поведения равносилен инициации процесса разрушения. Поэтому для слоистых конструкций, составленных из таких материалов, умение рассчитать напряженно-деформированное состояние в упругой стадии работы с заданной точностью - равносильно умению предсказать начало процесса разрушения данной конструкции.

Расчету напряженно-деформированного состояния слоистых стержней и плит в упругой стадии посвящены многие сотни публикаций, достаточно назвать имена Агаловяна Л.А., Александрова А.Я., Алёхина В.В., Альтенбаха X., Андрианова И.В., Аннина Б.Д., Алфутова H.A., Амбарцумяна С.А., Андреева А.Н., Болотина В.В., Вайнберга Д.В., Вайнберга Е.Д., Васильева В.В., Векуа И.Н., Вериженко В.Я., Власова В.З., Войновского-Кригера С., Воровича И.И., Григолюка Э.И., Доннелла Л.Г., Дудченко A.A., Зиновьева П.А., Зверяева Е.М., Кильчевского H.A., Когана Ф.А., Колпакова А.Г, Колтунова М.А., Корнева В.М., Куликова Г.М., Куршина Л.М., Леонтьева H.H., Лехницкого С.Г., Лурье А.И., Лурье С.А., Немировского Ю.В., Немиша Ю.Н., Нерубайло Б.В., Новичкова Ю.Н, Образцова И.Ф., Огибалова П.М., Паймушина В. Н., Пикуля В.В., Пискунова В.Г., Понятовского В.В., Попова Б.Г., Присяжнюка

B.К., Рассказова А.О., Рейсснера Е., Ржаницына А.Р., Селезова И.Т., Соколовской И.И., Табакова П.Я., Терегулова И.Г., Тетерса Г.А., Тимошенко

C.П., Шленева М.А., Шульги H.A., Филина А.П., Хомы И.Ю. и др.

Однако эта задача не исчерпала себя и продолжает оставаться актуальной. Это связано с тем, что в большинстве случаев расчет основан на введении тех или иных гипотез о поведении конструкций (например, гипотеза плоских сечений или ее модификации), что является оправданным при наличии симметрий в сечении и практического опыта в использовании подобных

конструкций. Но, в общем случае произвольного слоистого сечения введение гипотез арпоп невозможно, и требуется полный расчет пространственного напряженно-деформированного состояния, без пренебрежения теми или иными компонентами тензора напряжений или вектора перемещений.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.

Краевая задача теории упругости для однородного тела включает в себя: 1) систему уравнений равновесия

Эх 3у дг где аар - компоненты тензора напряжений,

2) закон Гука

3

оар =Х68ар +2цеар, е=£еуу> (2)

у=1

где еар - компоненты линейного тензора деформаций,

3) соотношения Коши для линейного тензора деформаций

е«Р =2

, ос, р = {х,у,г}, (3)

ер да

4) краевые условия на всей поверхности тела либо для поверхностных нагрузок яа

Х>арпр=4а. а = {х,у,г}, (4)

р={х,у,2}

либо для заданных перемещений

ча=иа. а = {Х>У>2} ■ (5)

В постановке задачи (1)-(5) для однослойных тел доказаны теоремы существования и единственности решения. Однако в такой постановке удается получить точное решение задачи теории упругости лишь в очень немногих и подчас искусственных случаях.

Для задач изгиба и кручения стержней часто в соответствии с традицией, заложенной Сен-Венаном в середине XIX века, на торцевых поверхностях вместо распределенного поля сил (4) задаются интегральные характеристики этого поля — усилия, а вместо распределенного поля перемещений (4) — их некоторая интегральная характеристика (например, среднее перемещение или фиксированная точка). Для пластин - тоже самое задается на их кромке. Это делается с целью упрощения задачи. В дальнейшем пространственную задачу теории упругости, для которой условия (4) или (4) на некоторых участках поверхности тела заменены интегральными равенствами, будем называть пространственной задачей теории упругости в постановке Сен-Венана. Очевидно, что для такой задачи в отличие от краевой задачи теории упругости отсутствует единственность искомого решения. Поле напряжений, возникающее при решении задачи теории упругости в постановке Сен-Венана, по определению называется основным напряженным состоянием, соответствующее поле перемещений - основным полем перемещений. Решение задачи в постановке Сен-Венана в общем случае отличается от решения краевой задачи, их разность будем называть пограничным решением. Знаменитый принцип Сен-Венана утверждает, что это решение быстро убывает при удалении от торца - для балки, и при удалении от кромки - для пластины.

Целью диссертации является обоснование нового метода решения пространственных задач теории упругости в постановке Сен-Венана, таких как задача продольно-поперечного изгиба и кручения слоистых стержней и задача продольно-поперечного изгиба слоистых плит для достаточно широкого класса поверхностных, объемных и температурных нагрузок.

Данный метод назван его авторами, Горыниным Г.Л. и Немировским Ю.В., в монографии [1] методом асимптотического расщепления. Такое название связано с главным свойством метода - расщеплением исходной трехмерной задачи теории упругости в постановке Сен-Венана на одномерные и двумерные задачи, которые существенно проще исходной. Расщепление становится возможным благодаря двум основным идеям: первая — строится формальное асимптотическое решение пространственной задачи теории упругости, вторая — неизвестные вектор-функции перемещений и тензор-функции напряжений ищутся в виде степеней дифференциальных операторов от некоторых функций и рассматриваются как независимые величины. При

реализации первой идеи обычно используют понятие асимптотического ряда. Однако это понятие оказалось слишком узким для решения рассмотренного класса задач, поэтому вместо него в диссертации используется более широкое понятие асимптотической последовательности.

В диссертационной работе кроме метода асимптотического расщепления разработана теория пограничных решений для слоистых стержней и разработаны элементы теории пограничных слоев для слоистых плит. Данные разделы имеют вспомогательное значение.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ определяется следующими результатами, которые выносятся на защиту.

• Разработан новый метод решения задач пространственной теории упругости в постановке Сен-Венана - метод асимптотического расщепления. В общем случае метод дает асимптотическое решение задачи, однако для специальных достаточно широких классов нагрузок метод дает точное решение. Поэтому данный метод является источником новых аналитических решений для однородных и слоистых конструкций.

• Обосновано применение метода асимптотического расщепления к задачам продольно-поперечного изгиба и кручения слоистых стержней произвольного поперечного очертания. Установлено, что для поверхностных, объемных и температурных нагрузок, имеющих расщепленный характер и зависящих полиномиально от продольной координаты, метод дает точное аналитическое решение.

• Обосновано применение метода асимптотического расщепления к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых стержней, лежащих на упругом и жестком основаниях.

• Обосновано применение метода асимптотического расщепления к задачам свободных и вынужденных колебаний слоистых стержней. Установлено, что для достаточно тонких стержней метод позволяет получать двусторонние оценки частот собственных колебаний с любой наперед заданной точностью. Для вынужденных гармонических колебаний метод позволяет получать двусторонние оценки амплитуд вынужденных колебаний с любой наперед заданной точностью.

• Обосновано применение метода асимптотического расщепления к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых плит с произвольным

6

расположением и числом слоев. Установлено, что для поверхностных нагрузок, являющихся ш-гармоническими функциями, метод дает точное аналитическое решение.

• Обосновано применение метода асимптотического расщепления к задаче о действии сосредоточенной нагрузки на слоистые плиты. Установлено, что в общем случае действия поперечной сосредоточенной нагрузки имеют место как механизм поперечного изгиба слоистой плиты, так и механизм продольно-поперечного изгиба.

• Обосновано применение метода асимптотического расщепления к изучению кромочного эффекта в слоистых ортотропных композитах.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты работы могут использоваться при расчете и проектировании широкой номенклатуры элементов балочного и пластинчатого типов, изготавливаемых как из однородных, так и из слоистых и волокнистых материалов, и найти применение в конструкторских бюро и отраслевых НИИ авиа—, судо—, строительного и машиностроительного профилей.

Результаты исследований нашли применение в учебном процессе Югорского государственного университета (г. Ханты-Мансийск) в виде специального курса «Механика композиционных материалов».

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и совпадением для частных случаев с известными аналитическими решениями, полученными с помощью других методов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Материалы диссертации докладывались в виде пленарных докладов на IV-й Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, ТГУ, 2004) и V-м Всероссийском семинаре по оптимизации (Новосибирск, НГАСУ, 2005). Кроме того, материалы диссертации докладывались и обсуждались на: XVIII-й и XIX-й Всероссийской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности», ИТПМ СО РАН, (Кемерово, 2003 и Бийск, 2005), XXI-й Международной конференции по

теории оболочек и пластин (Саратов, СарГТУ, 2005), 9st Russian-Korean International Symposium on Science and Engineering (Novosibirsk, 2005), 1-й и 2-й Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, СамГТУ, 2004 и 2005), V Всероссийской научной конференции «Смешанные задачи механики деформируемых твердых тел» (Саратов, СарГУ, 2005), И-м Евразийском симпозиуме по прочности материалов и машин для регионов холодного климата, EURASTRENCOLD-2004 (Якутск, СО РАН, ЯФГУ, 2004), Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, СО РАН , 2004), 5-й и 6-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2002 и 2003), III Международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций» (Волгоград, ВолГАСА, 2003), XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий (Екатеринбург,УрО РАН, 2003), VI Международном симпозиуме "Современные проблемы прочности" имени В.А. Лихачёва (В. Новгород, 2003), Всероссийской конференции «Научно-технические проблемы в строительстве» (Новосибирск, НГАСУ, 2003), II Международном технологическом конгрессе «Военная техника, вооружение и технологии двойного применения в XXI веке» (Омск, 2003), Международной научно-технической конференция «Эффективные строительные конструкции: теория и практика» (Пенза, ПГАСУ, 2002), III-й Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, ТулГУ, 2002), IV-м Всероссийском семинаре по оптимизации (Новосибирск, НГАСУ, 2002), III-й Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, ТГУ, 2002).

В полном объеме материалы диссертации докладывались и обсуждались на: семинаре Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель - чл.-корр. РАН Фомин В.М., Новосибирск, 2006), семинаре Института гидродинамики им. М.В. Лаврентьева СО РАН (руководитель — чл.-корр. РАН Аннин Б.Д., Новосибирск, 2006), семинаре по математическому моделированию Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (руководитель - проф. Демиденко Г.В., Новосибирск, 2005), семинаре кафедры

«Прочность летательных аппаратов» Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, 2005), семинаре кафедры теории пластичности Московского государственного университета (руководители -проф. Ломакин Е.В. и проф. Александров В.М, Москва, 2005), расширенном семинаре кафедры «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета (руководитель - проф. Крысько В.А., Саратов, 2005), расширенном семинаре Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Министерства образования и науки РФ (Томск, 2005), расширенном семинаре кафедры «Строительные технологии и конструкции» Югорского государственного университета (Ханты-Мансийск, 2005).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 40 печатных работ, в том числе научная монография [1]. В автореферате приведен список, включающий 32 основные публикации.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 505 наименований. Общий объем диссертации составляет 474 страницы.

Автор считает своим долгом выразить глубокую и искреннюю признательность д.ф.-м.н., профессору Немировскому Юрию Владимировичу за ценные научные консультации и внимательное отношение к результатам работы на всех этапах ее выполнения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор основных подходов к решению задач расчета однослойных и многослойных стержней и плит. Существующие подходы схематически разделены на четыре основных класса.

К первому классу отнесены работы, связанные с разложением искомых функций в специальные ряды по поперечным координатам и построением на

их основе бесконечной системы дифференциальных уравнений с бесконечным числом неизвестных функций.

Ко второму классу отнесен поток исследований, основанный на введении эвристических предположений-гипотез о характере распределения тех или иных компонент тензора напряжений или вектора перемещений. Методы, основанные на этих подходах, как правило, не содержат регулярного процесса уточнения решения. В них трехмерная задача теории упругости попросту заменяется некоторой приближенной двумерной задачей, степень приближения которой в общем случае заранее не установлена и не ясна. Такие подходы доведены до разработок методов решения широкого круга прикладных задач и являются самыми многочисленными и распространенными.

К третьему классу отнесены исследования, связанные с асимптотическими методами интегрирования. Возникающая в этих методах (вследствие наличия малого геометрического параметра е - отношения поперечного размера к размеру в плане) сингулярно-возмущенная краевая задача разделяется на две отдельные задачи: а) задача для основного напряженно-деформированного состояния; б) задача для погранслоя с последующим сращиванием найденных решений при помощи краевых и начальных условий. При построении решения в уравнения, граничные и начальные условия подставляются представления искомых величин в виде степенного ряда по малому параметру и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра.

К четвертому классу отнесены исследования, в основе которых лежат численные методы, такие как метод конечных разностей, конечных элементов, дискретной ортогонализации и другие. Применение численных схем при увеличении числа слоев и уменьшении относительной толщины по отношению к характерному размеру в плане приводит к потере точности и, как следствие, необходимости находить специальные схемы дискретных разбиений, гарантирующих определенную уверенность в достижении достоверных результатов.

Сформулированы цели и задачи диссертации.

Первая глава диссертации посвящена задаче продольно-поперечного изгиба и кручения слоистого стержня. Рассматриваются только такие стержни, для которых отношение характерного поперечного размера к длине является малым числом е.

У X

Рис. 1. Слоистая балка под действием поперечной нагрузки

Уравнения равновесия для стержня в безразмерных переменных имеют вид

ФсЛ , Фау). , „ФсЛ п „ г/л

—--+—г—^ + е—--= 0, а = (х,у,г}; (6)

ох ду га

На боковой поверхности стержня поверхностная нагрузка связана с компонентами тензора напряжений

(<*ах\пх+(аау);пу = Ча > а = {х,у,г}, (7)

На границе между слоями перемещения и контактные напряжения (стап); должны быть непрерывны:

=0. а = {х.У.г}, М = М> (8)

(стап), = (а«х), пX + (^ау), "у

Считаем, что материал каждого слоя подчиняется закону Гука:

(<*аД =^е5ар+2ц;еар, 9 = ¿еуу > (9)

7=1

где компоненты линейного тензора деформаций еар связаны с

перемещениями с помощью выражений (3). Задача (6)-(9) является полукраевой [1], т.к. на торцах стержня не поставлены краевые условия. Для получения пространственной задачи теории упругости в постановке Сен-Венана достаточно в дополнение к равенствам (6)-(9) задать на каждом из торцов по два интегральных краевых условия - для изгиба в одной плоскости, для кручения и растяжения - по одному, в общем случае - по шесть условий.

В п. 1.1 рассмотрена задача о поперечном изгибе слоистой балки, имеющей симметричное поперечное сечение относительно оси х (рис.1). Предполагается, что нагрузка имеет расщепленный вид

Чх(Г,2) = ^(Г)рх(2), <^(Г)с1Г = 1, (10)

г

где Г- множество граничных точек поперечного сечения балки. Требование (10) не ограничивает общность рассматриваемых задач, т.к. любая непрерывная функция на поверхности может быть разложена в ряд Фурье, каждое из слагаемых которого имеет вид (10). Приведено представление для аппроксимаций поля перемещений и напряжений

(ахГ(г,е) = иГ(2)+ ¿и&^^е», (иу|»>(г,е)= ,

к=1 02 к=1 аг

к=1 аг к=1 йг

п-1 Л н2к+1„(п)

МП) = а,р е {х,у}, (12)

к=1

где п - номер асимптотического приближения. Представления (11)-(12) позволяют расщепить исходную полукраевую задачу (б)-(9) на ряд плоских рекуррентно структурированных двумерных задач в плоскости хОу, из

которых находятся характеристические функции и"к и (тар)|тЬ

12

между характеристическими функциями справедливы соотношения

йх ду

дх. ду ' (таа)| ^ =

/

/ /

щ

ер

¡.к

еиР

ТТ2 I '.к

V V

+(>-1 +2щ>

да

а,ре{х,у},а*р, внутри сечения выполняется система уравнений

дх ду v

4Л2к)

(13)

5х

Оу +(^|21С"1) = 0' ПРИ к = 1,пЛ = 1>5; (14)

о.

ду

на контуре сечения выполнены краевые условия

(^х)[2к) = (0Х2)МГхЧ(г)> (Хпу^) = 0, (тпг)[2к+')=0 , к = 1,п,

(^а)[т)=(Ча)!т)Пх+(туа|т)пу; (15)

на границах между слоями

М2к)=(ич М2к)=М2к)> М2к+1Чи2к+1),

и^к11^^, и|]£=и^к, к = 1,п, ¡^ = [1,5], (16)

где (0ар}2Ы\ (1х/2к) - характеристические изгибная и

сдвиговая

жесткости, вычисляемые по формулам 8

М2к+1>=-1 ^аР!2к+1)ЙР, (1х/2к) = -Х1[(х-с0Х^)?к^Р. (17) 1=13 1=1 ^

Кроме того, функция прогиба и ^(г) обязана удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению

г«».^^"-*.. о«

к=2 02

Если характеристические функции и функция прогиба удовлетворяют указанным условиям, то все уравнения задачи (6)-(9) удовлетворяются тождественно за исключением закона Гука для продольной нормальной компоненты и поперечных касательных компонент тензора напряжений:

2 +1 ( )

<1г

Если правые части равенств (19) стремятся к нулю при стремлении к нулю малого параметра, то формулы (10)-(11) дают асимптотическое решение полукраевой задачи (6)-(9). Поэтому из всех решений уравнения (18) выбираются только те, которые обеспечивают асимптотическую малость правых частей (19). Показано, что этим свойством обладают только те решения, которые являются регулярными возмущениями решений уравнения (18) при п=2, т.е. уравнения

ск4 "б4(ОвЯ"

(20)

Размерность многообразия таких решений равна четырем, поэтому для определения неизвестных констант интегрирования требуется ровно четыре условия на торцах, которые берутся из условия исходной задачи в постановке Сен-Венана.

Уравнение (18) при п=2 совпадает с уравнением прогибов, получаемом в классической теории балки при введении гипотезы Бернулли-Эйлера. Уравнение (18) при п=3 совпадает с уравнением прогибов, получаемом в уточненной теории изгиба балки Тимошенко:

6х

причем коэффициент р вычисляется на основе решений краевых задач (13)-(17), тогда как в теории Тимошенко его величина основана на эвристически принимаемых допущениях.

при номерах асимптотического приближения, удовлетворяющих неравенству

правые части равенств (19) обнуляются, поэтому формулы (10)-(11) дают точное аналитическое решение полукраевой задачи (6)-(9), и, следовательно, дают точное решение пространственной задачи об изгибе слоистой балки симметричного сечения в постановке Сен-Венана.

В п.1.2 построена техническая теория для балок с параллельными слоями. Показано, что при осреденнии по ширине сечения Ъ(х) поля касательных

напряжений (а кг )| в случае действия на балку равномерно распределенной по длине нагрузки и сосредоточенных сил получается поле напряжений, подчиняющееся формуле Журавского,

Таким образом, формула Журавского получена для слоистой балки произвольного симметричного сечения в рамках представлений пространственной теории упругости.

В п. 1.3 результаты, полученные в п. 1.1, применяются к исследованию поперечного изгиба слоистой балки при плоской деформации. Для случаев действия равномерно- и линейно-распределенной нагрузок на слоистую балку, состоящую из б слоев, получены точные решения, которые совпадают для одно- и трехслойной балок с ранее известными решениями.

В п. 1.4 получена система уравнений, описывающих поперечный изгиб слоистой балки произвольного поперечного сечения при действии нагрузки в двух поперечных направлениях

Если поперечная нагрузка рх (г) является многочленом степени т0, то

2

к=2 и2 аг

V

где иМ, . функции прогиба в направлении х и у; верхние индексы и, V

для коэффициентов системы показывают, что коэффициенты вычисляются на основе решений плоских краевых задач (13)-(17), составленных для изгиба в направлении осей х и у соответственно.

Установлено, что в случае поперечных нагрузок рх и ру, имеющих

расщепленный вид и являющихся многочленами степеней тх и ту, формулы

(10)-(11), для которых номер асимптотического приближения удовлетворяет неравенству

тах(тх,т„)+1

п >-у х у/— + 2,

2

дают точное аналитическое решение полукраевой задачи (6)-(9), и, следовательно, дают точное решение пространственной задачи об изгибе слоистой балки произвольного сечения в постановке Сен-Венана.

В п. 1.5 с помощью метода асимптотического расщепления дано решение задачи о кручении слоистого стержня под действием поверхностных и торцевых нагрузок. Для аппроксимаций полей перемещений и напряжений использованы представления:

М» - -(.-.,)*>♦ ХК,^".

2к (п)

(их)["> =-(у-а>(">(2)+ (22)

к=1

1 к=1 к=1 йг

= СС,М*>У}, (23)

к=1

где в [['•'(г) - функция закручивания; (тар)(ш\ К"к(х,у) -характеристические

функции тензора напряжений и вектора перемещений.

В п.1.6 на основе представлений (10)-(11) дано решение задачи о поперечном изгибе слоистой балки под действием объемных поперечных сил.

Параграфы 1.7 и 1.8 имеют вспомогательное значение по отношению к целям диссертации, в них построена теория пограничных решений, возникающих вблизи торцов слоистых стержней произвольного поперечного очертания. Обосновано применение принципа Сен-Венана к таким стержням. Установлено, что пограничные решения при кручении имеют более простую структуру, чем пограничные решения при изгибе. При изгибе пограничные решения затухают с одновременной осцилляцией, а при кручении затухание происходит без осцилляции.

В конце главы приведены основные выводы и результаты, полученные в главе 1.

Вторая глава диссертации посвящена задаче продольно-поперечного изгиба слоистого стержня под действием поверхностных, объемных и температурных нагрузок и предварительных деформаций.

В п.2.1 рассмотрен продольно-поперечный изгиб балки симметричного сечения (рис.1). В тех случаях, когда на слоистую балку кроме поперечных действуют продольные нагрузки (на боковой поверхности и на торцах), представления (11)-(12) для компонент вектора перемещений и тензора напряжений оказываются недостаточными, в добавление к ним требуется иной

закон аппроксимации:

- . -,

к=1 & к=1 ' / ч П л(2к-1)ш(п)

М"> - М-'-Еи2"»^^-1.

к=1 к=1

а,Рб{х,У}, (25)

к=1

где п- порядковый номер правила аппроксимации (номер асимптотического приближения); - функции продольного смещения сечения, равная

среднему продольному перемещению точек поперечного сечения; ,

(тар - характеристические функции, зависящие только от поперечных

координат х, у. Представления (24)-(25) и (11)-(12) позволяют расщепить исходную пространственную задачу в постановке Сен-Венана на ряд плоских двумерных задач в плоскости хОу, аналогичных краевым задачам (13)-(17), из

которых находятся характеристические функции , (тар . Функция

поперечного изгиба и^ и функция продольного смещения удовлетворяют системе уравнений:

к=2 & * 1 к=2 ск

-Е2к+Рх =0,

к-1 <^2к

3-Е2к+Рг=0, (26)

кГ0-

где коэффициенты (в / вычисляются по формуле (17), а коэффициенты рк-2)

на основе решении плоских задач в сечении:

(27)

В п.2.2 результаты, полученные в п.2.1, применяются к исследованию продольно-поперечного изгиба слоистой балки при плоской деформации. Для случаев действия равномерно- и линейно-распределенной нагрузок на слоистую балку, состоящую из б слоев, получены точные решения, которые совпадают для одно- и трехслойной балок' с известными решениями, выведенными с помощью функции Эри.

В п.2.3 рассмотрен продольно-поперечный изгиб балки произвольного сечения

(иЛ(п,п"'1}=к\(п)+к\(п)А<\мА<1(])> «,ре {х.у.г},

к^/^'^кр^^ + кр^-^кр^-^Ча^)/'), ¡я1>8. (28)

где (стар)^"^ — перемещения и напряжения, подчиняющиеся формулам

(11)-(12); (и£)>), (сГар|^ - функции, подчиняющиеся формулам (11)-(12) при взаимной замене переменной х на у; (и„ (сГар)^""'' — функции,

подчиняющиеся формулам (24)-(25); (егцр).^ - перемещения и

напряжения, подчиняющиеся формулам (22)-(23). Все краевые задачи в сечении балки для характеристических функций , и , (т„р

и ^Цс (тоф)Р не изменяются. Две функции прогиба и функция продольного

смещения являются решениями системы

п

-Z

к=2

/

п

-I

к=2

dz2k V xz/ d^ / 'kt2^xz/ dz21"1

0__2k

krr dz2k

e +Pz = 0 • (29)

В случае полиномиально заданных нагрузок рх, ру и pz со степенями

mx, rriy и mz соответственно для получения точного решения задачи в

постановке Сен-Венана достаточно выполнения неравенств

m max(mx,mv,m, -ll+l

nw>^- + 2; n>-V x y z-— + 2. (30)

w 2 2

В п.2.4 методом асимптотического расщепления решена задача о

температурном воздействии на слоистую балку. Решение основано на

представлениях для перемещений и напряжений (24)-(25) и (11)-(12). В

19

Рис, 2 Температурные напряжения в двухслойной балке; пограничные слои вблизи торцов

качестве примера рассмотрена задача о двухслойной балке с разными коэффициентами линейного расширения в однородном температурном поле. Показано, что взаимодействие слоев осуществляется только в узкой пограничной зоне вблизи торцов (рис.2), благодаря которому вдали от торцов балка претерпевает чистый изгиб с одновременным растяжением одного слоя и укорочением другого. Данный результат совпадает с решением этой же задачи другими методами.

В п.2.5 рассмотрена задача о воздействии на слоистую балку объемных продольных сил. Решение основано на представлениях для перемещений и напряжений (24)-(25) и (11)-(12). В случае объемных сил, полиномиально зависящих от продольной координаты ъ и имеющих расщепленный вид, получено точное решение задачи в постановке Сен-Венана.

В п.2.6 рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии предварительно-деформированной слоистой балки. Выявлен широкий класс предварительных деформаций слоев, для которых метод асимптотического расщепления позволяет получать точное решение указанной пространственной задачи в постановке Сен-Венана.

В п.2.7 показано, что случай продольно-поперечного изгиба ортотропной балки, ось которой совпадает с одним из направлений ортотропии для каждого слоя, принципиально ничем не отличается от случая изгиба изотропной балки, т.е. задача продольно-поперечного изгиба допускает асимптотическое расщепление и позволяет построить асимптотически расщепленное приближение любого порядка. В случае же полиномиальной нагрузки достаточно высокое приближение является точным решением пространственной задачи продольно-поперечного изгиба в постановке Сен-Венана.

В п.2.8 метод асимптотического расщепления распространен на случай продольно-поперечного изгиба слоистого стержня произвольного поперечного очертания, лежащего на упругом и жестком основаниях. Для данного типа задач метод не позволяет построить точное решение пространственной задачи теории упругости, все решения являются асимптотическими. Установлено, что уравнение изгиба классической теории балки на упругом основании выводится посредством применения метода асимптотического расщепления в качестве первого приближения. Установлены границы применимости классической теории для расчета напряженно-деформированного состояния балки.

В п.2.9 на основе применения метода асимптотического расщепления и метода пограничных решений получено аналитическое решение задачи о кромочном эффекте, возникающем при растяжении-сжатии и чистом изгибе слоистого стержня с ортотропными слоями.

В конце главы приведены основные выводы и результаты, полученные в главе 2.

Третья глава посвящена исследованию поперечных свободных и вынужденных гармонических колебаний слоистой балки. Установлено, что метод асимптотического расщепления применим к исследованию как свободных, так и вынужденных колебаний слоистого стержня. В отличие от статических задач не удается добиться точного выполнения пространственных уравнений теории упругости. Все полученные решения являются асимптотическими. С помощью приближений метода асимптотического

расщепления удается получить нижние и верхние оценки для частот сот (для свободных колебаний) и амплитуд ст (для вынужденных колебаний)

(п) < с(п+2) (п+3) (п+1)

(31)

Таблица 1

Зависимость отношения амплитуд вынужденных колебаний

ш в = 0.05 Е =0.1 8 = 0.125 е = 0.167

Дс42 Дс32 Дс42 Дс32 Дс42 Дс32 Дс42 Дс32

1 1.02 1.02 1.10 1.11 1.15 1.17 1.26 1.34

2 1.10 1.11 1.36 1.56 1.49 2.28 - -

3 1.21 1.26 1.49 5.20 - - - -

4 1.36 1.56 - - - - - -

5 1.50 2.28 - - - - - -

Метод позволяет на модельных примерах контролировать ошибку, которую дает метод конечных элементов при использовании любого типа элементов (балочные, плоские, объемные). Особенно эффективным метод асимптотического расщепления оказывается при исследовании вынужденных быстро осциллирующих колебаний для достаточно тонких слоистых стержней. Для анализа результатов рассматривается отношение п-го приближения

амплитуды к значению амплитуды по классической теории,

Асп2 =«&>/<$.

значения отношений для трехслойной балки сведены в таблице 1. Прочерки в таблице показывают, что для балки с данным параметром е, характеризующим высоту балки относительно ее длины, исследование амплитуды гармонически возбуждаемой т-ой гармоники методом асимтотического расщепления не представляется возможным.

В конце главы приведены основные выводы и результаты, полученные в главе 3.

Рис. 3 Распределенная нагрузка, приложенная к слоистой плите

Четвертая глава посвящена исследованию продольно-поперечного изгиба слоистых плит. Рассматриваются только такие плиты (рис. 3), для которых отношение толщины плиты к характерному размеру в плане является малым числом е.

Уравнения равновесия для плиты в безразмерных переменных имеют вид да г

Зстау 5стаг г ч

- + е-—+ е—— = 0, ае x,y.z

Эх ду dz Х * 1

(32)

На верхней и нижней поверхностях стержня поверхностная нагрузка связана с компонентами тензора напряжений

CTccx=-(qa)t при х = °. =(qa)b при X = 1, (33)

где (qa jj., (qa ^ - поперечные и продольные нагрузки на Bepxnefi(top) и нижней (bottom) поверхностях плиты. На границе между слоями компоненты вектора перемещений (иа); И тензора напряжения (стахД непрерывны:

(стах )i-i = fa ах )i. (ua )м = («а )i > а е {Х>У>2} ' i = 2, S . (34) Считаем, что материал каждого слоя подчиняется закону Гука:

(стар): =?Ч05ар +2|Л;еар, 6 = ¿Суу ,

у=1

где компоненты линейного тензора деформаций еар связаны с

перемещениями с помощью выражений (3). Задача (32)-(35) явдяется полукраевой, т.к. на кромке плиты не заданы краевые условия. Для получения пространственной задачи теории упругости в постановке Сен-Венана достаточно в дополнение к равенствам (32)-(35) задать на кромке плиты по два интегральных краевых условия - для плоской задачи в плане плиты и изгиба.

В п.4.1 исследуется изгиб слоистой плиты под действием поперечной нагрузки. В соответствии с основной идеей метода асимптотического расщепления компоненты тензора напряжений и вектора перемещений ищутся в виде конечных сумм степеней частных дифференциальных операторов, действующих в плоскости плиты. На основе проведенного анализа доказано, что задача (32)-(35) расщепляется, если перемещения и напряжения имеют вид:

к=1 п—1/

к=1

, а е {у,г};

(36)

■ - ^У02 к=1

к=2

ЗУ _к=1

ду [_к=1

сЬ2

к=1

к=1

к=1

> ае{у,г},

(37)

где

д4 | д' ду2 дг2

ш-я степень оператора Лапласа

а характеристические функции (х), (тар )Р(х) вычисляются по

рекуррентным формулам:

о ах

Ч У

о

dx+gk.

(38)

Кроме того, функция прогиба и^(у, г) обязана удовлетворять уравнению в частных производных

2,« Р^Д и0 в4 3),

(39)

к=2

где

(Огх)(т)

характеристическая жесткость, которая вычисляется

интегрированием по толщине характеристической функции, (Зк - отношение жесткостей

К = -X К , Рк = (аух /(0ух )(3) . (40)

1=1

Если характеристические функции и функция прогиба удовлетворяют указанным равенствам (36)-(39), то все уравнения задачи (32)-(35) удовлетворяются тождественно за исключением закона Гука для продольных компонент и поперечных касательных компонент тензора напряжений:

(аЛ") - ^ +2(-1; ¡г^-К^р «

г ч , ч / ч! Я2

"У1Ч-ШШ/] - -I' I

<3у

(а„<)!">-2и,(е„)!"> = -щи!;„-|-4<">иЫ82"1, аб{у,г). (41)

Если правые части равенств (41) стремятся к нулю при стремлении к нулю малого параметра, то формулы (36)-(37) дают асимптотическое решение полукраевой задачи (32)-(35). Поэтому из всех решений уравнения (39) выбираются только те, которые обеспечивают асимптотическую малость правых частей (41). Показано, что этим свойством обладают только те решения, которые являются регулярными возмущениями решений уравнения (39) при п=2, т.е. уравнения С. Жермен

Д(2)и(2)=_£х_ (42)

£

Для однозначного определения таких решений требуется ровно два условия на кромке плиты, они ставятся из условия исходной задачи в постановке Сен-Венана. Уравнение (39) при п=2 совпадает с уравнением изгиба, получаемом в классической теории однородных плит на основе введения гипотезы Кирхгофа-Лява. При п=3 уравнение (39) совпадает с уравнением изгиба, получаемом в уточненной теории Тимошенко-Доннелла:

• Р = Р,. (43)

Е Б,

причем коэффициент (3 вычисляется для слоистой плиты на основе вычислений по рекуррентным формулам (38) и (40), тогда как в теории Тимошенко-Доннелла его величина основана на эвристически принимаемых допущениях.

Если поперечная нагрузка р х (у, г) является ш-гармонической функцией переменных у и г, и номер асимптотического приближения удовлетворяет неравенству

п£гп + 3,

то правые части равенств (41) обнуляются, и формулы (36)-(37) дают точное аналитическое решение полукраевой задачи (32)-(35), и, следовательно, дают точное решение пространственной задачи об изгибе слоистой плиты в постановке Сен-Венана. Рассмотрен пример осесимметричного изгиба

26

круглой слоистой плиты под действием равномерной распределенной нагрузки (рис. 3), получены формулы для напряжений, справедливые для любого числа слоев с любыми упругими характеристиками:

<* = + + (т 2с2 + £) +

16 „2 4

М2) 2с2 |+(гтт);^ + (Т55)|2)(2с2 +^2)+М4)

где константа с2 определяется из условия на кромке плиты. Для однослойной однородной плиты данные выражения совпадают с классическим решением, полученным другим методом.

В п.4.2 рассмотрен продольно-поперечный изгиб слоистой плиты. В тех случаях, когда на слоистую плиты кроме поперечных действуют продольные нагрузки (на верхней и нижней поверхностях), представления (36)-(37) для компонент вектора перемещений и тензора напряжений оказываются недостаточными, в добавление к ним требуется иной закон аппроксимации:

к=1

)|п) = У0М + + ; (44)

к=1

М"»-Ш^Ф-Ч^-'. ип) - Ш^Ч^Ч'к1--1.

к=2 к=2

!к=1

= ХГ^^Д^О^ -ь(с« . аеМ, (45)

вычисляются по

где - вектор средних продольных перемещений, а

характеристические функции (Хух| \ ^

рекуррентным формулам:

^ц) = 1, (тсс)[2) = 0.

„Г" .(о^'Ч^Г*0

о о ^

= ][-(^|2 k+2)-W^+1ldX + C?+1. (46)

оч^

Функция поперечного изгиба и^^у, г) и вектор продольного смещения г) удовлетворяют системе уравнений в частных производных:

^М^дМцМ- =рх. (47)

к=2 к=2

где ру - вектор суммарной продольной нагрузки, действующей на плиту, а

коэффициенты находятся в виде интегралов от характеристических функций, вычисляемых по формулам и (46):

А«=(одвГ0. А?

мч

кроме того, в уравнениях (47) введены дифференциальные операторы, действующие в плоскости плиты:

» АлЛ") г , ч1 Эу1п)

0 ]- 5у & ' 0 ] у> еу т & •

О^Цга^уМ)).

(49)

Если характеристические функции и вектор продольного смещения удовлетворяют указанным равенствам (44)-(46), то все уравнения задачи (32)-(35) удовлетворяются тождественно за исключением закона Гука для продольных компонент и поперечных касательных компонент тензора напряжений:

Ып) Ып)=

'Л.2п-Г

,2п-1'

,2п-1

|п) - Щ (уух |п) = -щгУ^О^-'М"^2" • (48)

Если правые части равенств (48) стремятся к нулю при стремлении к нулю малого параметра, то формулы (44)-(45) дают асимптотическое решение полукраевой задачи (32)-(35). Поэтому из всех решений уравнения (39) выбираются только те, которые обеспечивают асимптотическую малость правых частей (48). В случае если векторное поле суммарной продольной нагрузки является градиентным, причем его потенциальная функция является ш-гармонической функцией переменных у и г, а поперечная нагрузка рх в свою очередь является ши -гармонической функцией переменных у и г, и номера асимптотических приближений удовлетворяют неравенствам

то компоненты вектора перемещений и тензора напряжений, вычисляемые как сумма формул (3б)-(37) и (44)-(45), дают точное решение пространственной задачи о продольно-поперечном изгибе слоистой плиты в постановке Сен-Венана независимо от числа и расположения слоев плиты.

Кроме того, в параграфе введено понятие сосредоточенной нагрузки с характерным размером площадки воздействия, на основе которого с помощью метода асимптотического расщепления дано решение задачи о действии на слоистую пластину сосредоточенной нагрузки в пространственной постановке. Главные отличия данного подхода от классического - это 1) учет двух механизмов деформации слоистой плиты: поперечный изгиб и продольные деформации 2) возможность оценки всех компонент тензора напряжений и вектора перемещений, как в области приложения сосредоточенной силы, так и вне ее.

п >т + 2 , пи >Мах(ти,т-1)+3 ,

Рис. 4 Круглая слоистая плита под действием распределенного по кромке закручивающего момента

П.4.3 имеет вспомогательное значение по отношению к целям диссертации, в нем рассмотрены два типа пограничных решений, возникающих вблизи кромок слоистых плит: градиентное и вихревое. Идея этих решений применительно к однородным плитам принадлежит Лурье А.И., в дальнейшем развивалась Воровичем И.И. и его учениками. В параграфе решена краевая задача о деформации слоистой плиты под действием осесимметричных крутящих моментов, распределенных по кромке плиты, в пространственной постановке (рис.4). Показано, что основное решение в этом случае тождественно равно нулю, и напряженно-деформированное состояние плиты определяется только вихревым пограничным решением.

В конце главы приведены основные выводы и результаты, полученные в главе 4.

В заключении подводятся итоги применения метода асимптотического расщепления к задачам деформирования слоистых конструкций. Отмечается, что метод асимптотического расщепления оказывается источником новых точных решений пространственных задач теории упругости для слоистых стержней и плит с самыми разнообразными структурами расположения слоев. Причем известные ранее аналитические решения для однородных однослойных конструкций, полученные либо с помощью функций Эри, либо символического метода Лурье, получаются также и с помощью метода асимптотического расщепления.

В плане исторической преемственности метод асимптотического расщепления является развитием идей, заложенных Навье, Пуассоном, Коши и Сен-Венаном, а далее Митчеллом и Альманзи.

Основные результаты диссертации опубликованы в одной монографии, статьях, опубликованных в рецензируемых журналах из списка ВАК, и трудах международных и российских конференций:

1. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Пространственные задачи изгиба и кручения слоистых конструкций. Метод асимптотического расщепления. - Новосибирск: Наука, 2004. - 408 с.

2. Горынин Г.Л. Метод асимптотического расщепления в задачах изгиба предварительно деформированных композитов // Вестник Тюменского государственного университета. — 2005. — № 1. — С. 42—50.

3. ( Горынин Г.Л. Асимптотическая теория расчета композитных балок на

упругом основании в трехмерной постановке // Известия вузов. Нефть и газ. - 2004. - № 3. - С. 89-96.

4. , Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Поперечные колебания слоистых

балок в трехмерной постановке // Прикл. механика. - 2005. — Т. 41(51), № 6. - С. 56-72.

5. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Методы расчета основного и пограничного напряженных состояний слоистых конструкций в пространственной постановке // Известия вузов. Строительство. - 2005. -№ 1 -С. 4-13.

6. * Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Асимптотический анализ

пространственной задачи теории упругости для круглых и кольцевых слоистых пластин // Вестник СамГУ. Естественно-научная серия. - 2005. -№2(36).-С. 92-105.

7. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Пограничный слой в слоистом стержне // Научный вестник НГТУ. - 2004. - № 1(16) . - С. 21-36.

8. » Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Метод асимптотического

расщепления пространственной теории слоистых пластин // Физическая мезомеханика. - 2004. — №7, спец. выпуск, часть 1. - С. 31-34.

9. г Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Продольно-поперечный изгиб

слоистых балок в трехмерной постановке // Прикл. механика и техн. физика. - 2004. - Т. 45, № 6 . - С. 133-143.

10. . Горынин ГЛ., Немировский Ю.В. Метод асимптотического

расщепления в задачах изгиба слоистых балок на упругом основании // Известия вузов. Строительство. — 2004. - № 12. — С. 4-10.

11. Горынин Г.Л. Расчет высокочастотных колебаний слоистой балки в трехмерной постановке И Труды 2 Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 01-03 июня 2005 г. Часть 1. - Самара: СамГТУ, 2005. - С. 88-91.

12. Горынин Г.Л. Расчет композитных балок на упругом основании на действие поперечной нагрузки в трехмерной постановке // Материалы III Международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций», 27-29 марта 2003 г., в 4-х ч. Волгоград: ВолГАСА, 2003. Ч. II. С. 35-37.

13. Горынин ГЛ. Расчет слоистой стойки на продольно-поперечную нагрузку//Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии: Сб. материалов Ш-й Международной научно-технической конференции. Тула: ТулГУ, 2002. С. 22-24.

14. Горынин Г.Л. Распространение теории Тимошенко, учитывающей влияние сдвига, на случай перфорированных балок // Материалы международной научно-практической конференции «Город и транспорт». Часть II. Омск: СибАДИ, 1996. С. 139-141.

15. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Действие сосредоточенных нагрузок на слоистые плиты в пространственной постановке // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Труды 19 Всерос. конф., ИТПМ СО РАН, Бийск, 1-3 июля 2005 г. / Под ред. В.М. Фомина. - Новосибирск: изд-во «Параллель», 2005. - С. 101-110.

16. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. О пространственных краевых эффектах в слоистых плитах И Труды XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин. - Саратов: СГТУ, 2005. - С. 80-90.

17. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Метод асимптотического расщепления в задачах пространственного деформирования слоистых конструкций // V Российская конференция с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела», 22-26 августа 2005 г. - Саратов: СарГУ, 2005. - С. 99 -102.

18. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Методы расчета слоистых конструкций в пространственной постановке (пленарный доклад) // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докладов V-го Всероссийского семинара. Новосибирск: НГАСУ, 2005. - С. 100-109.

19. Горынин Г.Л., Каменцев Д.В. Анализ пространственного напряженного состояния слоистой балки // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докладов У-го Всероссийского семинара." Новосибирск: НГАСУ, 2005. - С. 92-100.

20. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Метод асимптотического расщепления в трехмерных задачах теории упругости для слоистых конструкций (пленарный доклад)// Доклады IV Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной

механики», Томск, 5-7 сентября 2004. Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 2004.-С. 9-14.

21. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Асимптотическая теория расчета многослойных армированных балок при низких температурах // Тр. 11-го Евразийского симпозиума по прочности материалов и машин для регионов холодного климата, Е1Л1А8Т11Е>ГСОЬВ-2004, Якутск, 2004. Часть III. - Якутск: изд-во СО РАН, ЯФГУ, 2004. - С. 50-60.

22. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Метод асимптотического расщепления в задаче о гармонических колебаниях композитной балки И Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 26-28 мая 2004 г. Часть 1. - Самара: СамГТУ, 2004. - С. 63-67.

23. Горынин ГЛ., Немировский Ю.В. Кручение составных стержней в 3-мерной постановке // Сб. трудов 6-ой Всероссийской научной конференции 29 ноября - 1 декабря 2003 г. Т.1. «Краевые задачи и математическое моделирование». Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2003. - С. 24-31.

24. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Поперечный изгиб многослойных плит в трехмерной постановке //Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Труды XVIII Межреспубликанской конференции, ИТПМ СО РАН, Кемерово, 1-3 июля 2003 г./ Под ред. В.М. Фомина. - Новосибирск: изд-во «Нонпарель». - С. 230-244.

25. Горынин ГЛ., Немировский Ю.В. Аналитический метод 3-П> расчета термоупругих композитных балок произвольного поперечного очертания // Сб. научных трудов VI международного симпозиума "Современные проблемы прочности" имени В.А. Лихачёва, т. II. В. Новгород, 2003. - С. 138-144.

26. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Асимптотический метод расчета композитных балок в плоской постановке // XXIII Российская школа по проблемам науки и технологий. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003.— С.6-9.

27. Немировский Ю.В., Горынин Г.Л. Асимптотическое решение краевой задачи изгиба удлиненных упругих тел//Сб. трудов 5-ой Всероссийской научной конференции 29 ноября - 1 декабря 2002 г. Т.1. «Краевые задачи

и математическое моделирование». Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2002. С. 48-54.

28. Горынин ГЛ., Немировский Ю.В. Расчет напряженного состояния слоистых балок произвольного поперечного очертания//Доклады III Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». Томск: ТГУ, 2002. - С. 152-153.

29. Немировский Ю.В., Горынин ГЛ. Расчет слоистых балок на поперечную нагрузку//Эффективные строительные конструкции: теория и практика: Сб. статей Международной научно-технической конференции. Пенза: ПГАСУ, 2002. С. 239-246.

30. Немировский Ю.В., Горынин ГЛ. Теория слоистых балок/ЯТроблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докладов IV-ro Всероссийского семинара. Новосибирск: НГАСУ, 2002. - С. 264-274.

31. Gorynin G.L., Nemirovsky Yu.V. Spatial boundary decisions in layered plates of a curvilinear outline // Proceeding of 9th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, Novosibirsk, 22-25 June, 2005. - Novosibirsk, 2005. - V.I - P. 447-451.

32. Nemirovsky U.V., Gorynin G.L. The theory of the layered beams under the action of cross loading//Advanced Studies in Mechanical Engineering. Yeungnam University, Korea, 2002. p. 9-16.

Подписано к печати 27 апреля 2006 г. Тираж 100 экз. Заказ № 1777. Отпечатано "Документ-Сервис", 630090, Новосибирск, Институтская 4/1, тел. 335-66-00

Оглавление.

Введение.

0.1. Однослойные конструкции

0.2. Многослойные конструкции.

0.3. Цели и задачи диссертации.

Глава

ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ СЛОИСТЫХ СТЕРЖНЕЙ.

1.1. Поперечный изгиб слоистой балки.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки.

1.1.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки.

1.1.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости

1.1.5. Исследование решений уравнения изгиба.

1.1.6. Краевые условия на торцах.

1.1.7. Изгиб балки под действием линейно распределенной нагрузки.

1.1.8. Изгиб балки под действием сосредоточенных нагрузок.

1.1.9. Гидродинамическая аналогия распределения касательных напряжений в сечении.

1.2. Слоистая балка с параллельными слоями.

1.2.1. Техническая теория слоистой балки.

1.2.2. Слоистая балка прямоугольного сечения.

1.3. Плоская деформация балки прямоугольного сечения.

1.4. Сложный поперечный изгиб слоистой балки.

1.4.1. Постановка задачи.

1.4.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки.

1.4.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки в специальном случае.

1.4.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости

1.4.5. Другой специальный случай.

1.4.6. Сложный поперечный изгиб. Общий случай.

1.4.7. Краевые условия на торцах.

1.4.8. Центр изгиба.

1.5. Кручение слоистых стержней.

1.5.1. Постановка задачи о кручении стержня.

1.5.2. Краевые задачи в сечении слоистого стержня.

1.5.3. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости.

1.5.4. Исследование решений уравнения кручения.

1.5.5. Краевые условия на торцах.

1.5.6. Гидродинамическая аналогия распределения касательных напряжений.

1.5.7. Кручение стержня под действием торцевых нагрузок.

1.5.8. Кручение многослойной трубы.

1.6. Действие на слоистую балку объемных поперечных сил.

1.6.1. Постановка специальной задачи.

1.6.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки.

1.6.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки в специальном случае.

1.6.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости

1.6.5. Общий случай.

1.6.6. Краевые условия на торцах.

1.6.7. Техническая теория балки.

1.7. Пограничный слой в слоистом стержне.

1.7.1. Постановка задачи.

1.7.2. Пограничная краевая задача.

1.7.3. Принцип Сен-Венана.

1.7.4. Пограничный слой при плоском изгибе слоистой балки.

1.8. Пограничный слой при кручении.

Пространственная теория упругости как замкнутая теория, обладающая почти математическим уровнем строгости в постановке своих задач, сложилась в трудах Навье, Пуассона, Коши в начале XIX века (см. например, Трусделл К. [411], Тимошенко С.П. [409], Бернштейн С.А. [43], Тодхантер и Пирсон [500]). Однако, задачи пространственной теории упругости - это краевые задачи для систем уравнений в частных производных, теория которых по существу отсутствует и по нынешний день. Поэтому математические трудности, возникшие перед создателями, во многих случаях поставили под сомнение ценность новой теории. Навье [471] и Пуассон [480] - первые из исследователей, кто успешно использовал трехмерную теорию упругости, для решения задачи об изгибе круглой пластины (1821, 1829 гг.). Уже при анализе задачи об изгибе балки Пуассон, столкнувшись с трудностями, вынужден был отказаться от «царского пути» и прибегнул к введению гипотезы плоских сечений и использованию уравнений равновесия для усилий. Коши использовал трехмерную теорию упругости для решения задачи кручения призматических стержней, удовлетворительные результаты были получены только для стержней с узким прямолинейным сечением [447]. В середине XIX века Сен-Венан [385] пошел дальше своих предшественников и сумел дать исчерпывающее решение задачи об изгибе и кручении однородной консоли произвольного поперечного сечения под действием сосредоточенной нагрузки на ее торце на основе пространственной теории упругости (1847-1856). Спустя почти пятьдесят лет, на рубеже XIX и XX веков, Митчелл [467] и Альманзи [444] сумели обобщить результат Сен-Венана, на основе пространственной теории упругости ими была решена задача об изгибе и кручении однородной консоли под действием распределенной нагрузки на ее боковой поверхности, полиномиально зависящей от продольной координаты.

Вторую половина XIX и три четверти XX века называют временем расцвета научно-технической революции, т.к. именно в это время такие хозяйственные отрасли, как железнодорожный транспорт, мостостроение, судостроение, авиация, космическая техника и т.п. получили невиданное развитие. Из сказанного выше следует, что на рубеже веков и в первой половине двадцатого века темпы развития теории точного расчета упругих конструкций явно не соответствовали общим темпам развития НТР и связанным с этим стремительно нарастающим потребностям в инженерных расчетах. По-видимому, это обстоятельство в двадцатом веке послужило главным фактором в охлаждении исследователей в массе своей к точному решению задач изгиба стержней и плит в пространственной постановке и обращению к более практичным методам, как правило, основанным на введении той или иной гипотезы.

По сравнению с задачами изгиба в задачах кручения составных стержней в пространственной постановке были достигнуты более законченные результаты, которые представлены в монографиях Мусхелишвили [266], Арутюняна Н.Х., Абрамяна Б.Л. [25] и Лехницкого [240].

Если характеризовать в целом процесс развития методов расчета стержней и плит на изгиб и другие виды нагружений, то можно сказать следующее. При построении математических методов исследования напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций (стержней, пластин, оболочек) исследователи всегда стремились свести решение трехмерных задач к совокупности решений некоторых более простых двумерных и одномерных задач. При этом, учитывая малый размер в поперечном направлении, авторы различными способами стремились избавиться от поперечной координаты, сводя проблему к решению краевых задач в плане (для пластин) или вдоль оси (для стержней). Способов понижения размерности решаемых задач разработано такое количество, что их детальный анализ далеко выходил бы за рамки допустимых объемов представляемой диссертации тем более, что анализ таких способов приведен в серии монографий Агаловяна JI.A. [2], Александрова А.Я. и др. [8-9], Алехина В.В., Аннина Б.Д., Колпакова А.Г. [12], Алфутова H.A., Зиновьева П.А., Попова Б.Г. [14], Амбарцумяна С.А. [16], Андреева А.Н., Немировского Ю.В. [23], Болотина В.В., Новичкова Ю.Н. [48], Вайнберга Д.В., Вайнберга Е.Д. [60], Васильева В.В. [65], Векуа И.Н. [76], Власова В.З., Леонтьева H.H. [83], Горынина Г.Л., Немировского Ю.В. [143], Григолюка Э.И., Куликова Г.М. [167], Григолюка Э.И., Селезова И.Т. [169], Доннелла Л.Г. [192], Кильчевского H.A. [211], Лехницкого С.Г. [239-241], Лурье А.И. [247], Образцова И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианова И.В. [303], Огибалова П.М., Колтунова М.А. [304], Пикуля В.В. [322-323], Рассказова А.О., Соколовской И.И., Шульги H.A. [362], Ржаницына А.Р. [368], Тимошенко С.П., Войновского-Кригера С. [405], Филина А.П. [417], Reismann Н. [483] и обзоров Александрова А.Я., Куршина Л.М. [10], Альтенбаха X. [15], Болотина В.В. [47], Васильева В.В. [66], Вериженко В.Я., Пискунова В.Г., Присяжнюка В.К., Табакова П.Я. [77], Вериженко В.Я., Присяжнюка В.К. [78], Воровича И.И. [92-93], Воровича И.И., Шленева М.А. [98], Григолюка Э.И., Когана Ф.А. [165], Григолюка Э.И., Куликова Г.М. [168], Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцова И.Ф. [193], Зверяева Е.М. [202], Куршина Л.М. [233], Немиша Ю.Н., Хомы И.Ю. [298], Пикуля В.В. [324], Пискунова В.Г., Рассказова А.О. [327], Тетерса Г.А. [404], Рейсснера Е. [488]. Поэтому схематически разделим существующие подходы на четыре основных класса и дадим краткий обзор и анализ исследований, примыкающих к рассматриваемым в диссертации вопросам исследования напряженно-деформированного состояния стержней и пластин.

0.1. Однослойные конструкции

Первый класс. К первому классу отнесем работы, связанные с разложением искомых функций в специальные ряды по поперечным координатам и построением на их основе бесконечной системы дифференциальных уравнений с бесконечным числом неизвестных функций. Родоначальником этого направления является Пуассон [480]. Присоединяя к полученной системе уравнений граничные и начальные условия, полученные из условий исходной задачи путем аналогичной процедуры разложения в ряды по заданным функциям, приходим к корректно поставленной задаче, точное решение которой связано с не меньшими трудностями, чем решение исходной трехмерной задачи. Поэтому для получения практических результатов (приближенных решений) обычно ограничиваются удержанием конечного числа членов ряда и соответствующих конечных систем уравнений. При использовании степенных рядов такой подход рассматривался в работах Бердичевского B.JI., Коца Л.Я. [42], Кильчевского H.A. [210-211], Муштари Х.М. [267], Немировского Ю.В. [271], Терегулова И.Г. [400].

Понятовский В.В. для построения уравнений равновесия и соответствующих краевых условий изотропных, анизотропных, трансверсально-изотропных и слоистых пластин разработал подход [340-342, 344-345], основанный на использовании вариационного принципа Кастильяно при разложении тангенциальных напряжений в ряды по полиномам Лежандра по поперечной координате и интегрировании уравнений равновесия для отыскания поперечных компонент напряжений. Идея разложения искомых функций по полиномам Лежандра по-видимому впервые была предложена Векуа И.Н. [74], в обобщенном виде изложена в монографии [76] и получила развитие в ряде работ его учеников и последователей [38, 72, 73, 106, 125-127, 173, 181-183, 198, 227, 425-427, 432, 434,439].

Главным недостатком методов разложения по поперечной координате является существенное повышение порядка основных разрешающих систем дифференциальных уравнений при увеличении количества удерживаемых в разложениях слагаемых, что приводит к необходимости преодоления значительных математических трудностей при попытке получения решений в высоких приближениях, что во многих случаях обесценивает прикладное значение таких теорий. Реальные решения обычно получаются при построении нулевого и первого приближений.

Еще один способ приведения трехмерной краевой задачи к двумерной основан на символическом методе А.И.Лурье [247], который позволяет получить широкий класс частных решений, удовлетворяющих неоднородным граничным условиям на лицевых поверхностях и однородные решения, удовлетворяющие условиям отсутствия напряжений на лицевых поверхностях. Путем комбинации этих решений удается с той или иной степенью точности добиться удовлетворения граничных условий на боковых поверхностях конструкции. Для однородных однослойных изотропных и анизотропных плит этот метод применялся в работах [7, 93,96,210,242, 246, 299, 353]. Близким к этим методам является метод начальных функций [82, 85-86], сущность которого состоит в представлении искомых напряжений и перемещений через напряжения и перемещения на отсчетной (начальной) поверхности и сводится к наховдению шести двумерных функций. При этом порядок разрешающей системы уравнений меняется и существенно нарастает с увеличением числа удерживаемых в разложениях членов. В работах [116, 331-333] разработаны варианты итерационных процедур уточнения теории, при которых на каждой итерации определяется не только вектор перемещения отсчетной поверхности, но и закон распределения перемещений по поперечной координате. В результате получаются гипотезы приведения, тождественно удовлетворяющие трехмерным уравнениям теории упругости и всем граничным условиям, принятым на данной итерации. На следующей итерации производится разложение вектора перемещений и уточнение его компонент. В работах Горбачева В.И., Победри Б.Е., Симакова В.А. [118-123] разработан операторный метод, который применяется как к неоднородным анизотропным однослойным полосам, так и к неоднородным анизотропным пластинам. В частных случаях метод позволяет получать точные решения.

Все вышеупомянутые подходы полезны тем, что теоретически они открывают возможность получения сколь угодно точных решений соответствующих трехмерных задач. Однако практическая реализация этих подходов технически сложна, не увязана с общими и единообразными методами решения возникающих краевых задач и реализована лишь при решении простейших конкретных задач.

Второй класс. Основной поток исследований, которые доведены до разработок методов решения широкого круга прикладных задач относится к другому классу, который связан с методами различных упрощений на основе принятия некоторых эвристических предположений-гипотез. Методы, основанные на этих подходах, как правило, не содержат регулярного процесса уточнения решения. В них трехмерная задача теории упругости попросту заменяется некоторой приближенной двумерной задачей, степень приближения которой в общем случае заранее не установлена и не ясна. Общий класс исследований, связанных с таким подходом, будем кратко называть классом гипотез. В рамках этого класса будем говорить далее о пластинах, учитывая, что задача о стержнях (балках) прямоугольного сечения в рамках таких подходов эквивалентна задаче цилиндрического поперечного или продольно-поперечного изгиба пластин. Первые исследования в этом направлении связаны с именами Бернулли, Эйлера, Софи Жермен, Кирхгофа [212, 463] и опирались при построении разрешающих уравнений на следующие основополагающие гипотезы: а) Прямолинейные волокна пластинки перпендикулярные к отсчетной плоскости до деформации, остаются после деформации прямолинейными и перпендикулярными к деформированной срединной поверхности и не изменяют при этом своей длины (гипотеза Кирхгофа-Лява). б) Нормальные напряжения на эквидистантных площадках настолько малы, что ими можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями (приближение плоского напряженного состояния). При использовании этих гипотез задача сводится к решению неоднородного бигармонического уравнения (уравнение С. Жермен) для одной разрешающей функции-прогиба. Это позволило разработать удобные аналитические и численные методы решения для широкого круга практических задач поперечного и продольно-поперечного изгиба, колебаний и устойчивости пластин различной формы при широком спектре условий закрепления и статических граничных условий. Соответствующая теория в настоящее время излагается практически во всех монографиях по теории упругости и теории пластин. Ее принято называть классической теорией пластин. Ввиду простоты она была обобщена на случай анизотропных, биметаллических и полиметаллических пластин [16, 60, 164-169, 192-193, 224, 230-231, 239, 272, 292, 304, 321-323, 334, 405, 483] и оказалась удобным инструментом для решения обратных задач рационального и оптимального проектирования [34,65,292,297,359].

С момента своего возникновения и по настоящее время классическая теория подвергается критике вследствие присущих ей внутренних противоречий. Например, совместное выполнение гипотез а) и б) приводит к нарушению закона Гука для поперечных нормальных и касательных напряжений. Чтобы избавиться от этих противоречий обычно предлагается считать теорию пригодной не для традиционного упругого материала, а для искусственного трансверсально-изотропного материала с бесконечными модулями упругости поперечного сжатия и поперечного сдвига. Такое приближение можно принять для материалов, подвергающихся специальным методам облучения, прокатки или поверхностного наклёпа [24, 243]. Тем не менее, даже в рамках таких положений в некоторых случаях классическая теория обладает неприемлемыми противоречиями и парадоксами. Например, очевидно, что при формулировке краевых статических условий на кромке пластины будем иметь шесть граничных условий, тогда как разрешающее уравнение имеет четвертый порядок. Установлено также, что классическая теория дает серьезные сбои в окрестностях локализованных воздействий. Детальный анализ недостатков и парадоксов классической теории пластин, установленных к настоящему времени, содержится, в частности, в работах [13, 66-70, 112-113, 199-200, 202,298,387,502].

С целью избавления от таких парадоксов исследователи пошли по пути смягчения некоторых гипотез классической теории. Соответствующие теории принято называть неклассическими теориями. Первые исследования в этом направлении для балок и пластин были выполнены С.П.Тимошенко [405-406, 407, 499], который в рамках гипотезы а) отказался от требования сохранения нормальности прямых поперечных линий (гипотеза прямых линий). Соответствующая теория носит название теории Тимошенко и свое полное изложение нашла в работах [51, 101, 102-103, 189, 319-321, 420]. Использование этой теории в ряде случаев даёт лучшее соответствие прогибов и частот колебаний экспериментальным значениям по сравнению с классической теорией [196, 418], но не избавляет от многих противоречий. В частности дает большие отклонения в зонах закреплений и сосредоточенных нагрузок [201]. Поэтому многие исследователи идут по пути дальнейшего смягчения гипотез путем учета обжатия и искривления нормали к недеформируемой поверхности [13, 16, 18, 21-23, 46, 66-70, 102-103, 129-131, 169, 174185, 199, 202, 292, 322, 326, 420, 436, 479, 484-488]. При всем многообразии указанных вариантов, отметим следующее: самый низкий порядок разрешающих уравнений, получающихся при таком подходе будет шестым, что позволяет избавиться от несоответствия между порядком разрешающих уравнений и количеством задаваемых на краю силовых характеристик. Уравнения такого типа принято называть уравнениями типа Э.Рейсснера, впервые последовательно установившего такое соответствие [484-485], проведшего анализ их особенностей и получившего на их основе ряд аналитических решений [486-488]. Анализ и обзор полученных к настоящему времени решений на основе теорий типа Рейсснера содержится в ряде обзоров и специальных статей [15-16,23, 26, 66, 99,101,108, 175,199].

Характерное для этих теорий обстоятельство заключается в том, что их уравнения относятся к классу сильно «жёстких систем» дифференциальных уравнений, характеризующихся наличием двух типов решений: медленно меняющихся, определяющих основное состояние и быстро изменяющиеся в окрестностях краев и скачков нагрузок решений. Как известно, наличие быстро изменяющихся по координатам решений вызывает большие трудности при реализации численных методов расчета и требует разработки специальных алгоритмов устойчивого численного счета (см. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. [23]). Именно поэтому, несмотря на существующие в ряде работ [13, 66, 69, 502, 199, 202, 327,483] рекомендации по использованию при расчетах пластин теорий типа Рейсснера вместо классической теории, большинство исследователей опирается на последнюю. С одной стороны, учёт деформаций поперечного сдвига и обжатия в тонких однородных пластинах необходим только в специальных случаях и практически не уточняет результатов в традиционных задачах расчета пластин (например, при шарнирном опирании). С другой стороны, наличие резко выраженных краевых моментов при использовании ряда стандартных вычислительных процедур и программ может приводить к существенным ошибкам и создавать ложные оценки степени уточнения.

В то же время в работах [108,112-114] Гольденвейзер АЛ. отмечал, что недостатком теории Рейсснера является то, что «она исходит из гипотез, отражающих явления, происходящие вдали от края пластинки и в связи с этим в краевой зоне может давать результаты, далёкие от действительности». В дальнейшем А.П. Прусаков [354] на основе энергоасимптотического метода подтвердил это мнение, показав, что напряжения в заделке пластины средней толщины значительно превосходят те, которые даёт теория Рейсснера. Поэтому усилия по построению специальных численных и аналитических методов прямого интегрирования уравнений Рейсснера являются мало продуктивными.

Третий класс. Третья группа работ по сведению трёхмерных уравнений теории упругости тонкостенных конструкций (балок, пластин и оболочек) к двумерным уравнениям связана с асимптотическими методами интегрирования. Возникающие в этом методе (вследствие наличия малого геометрического параметра - отношения поперечного размера к размеру в плане) сингулярно-возмущенная краевая задача разделяется на две отдельные задачи: а) задача для основного напряженно-деформированного состояния; б) задача для погранслоя с последующим сращиванием найденных решений при помощи краевых и начальных условий. При построении регулярного решения в уравнения, граничные и начальные условия подставляются представления искомых величин в виде степенного ряда по малому параметру и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра. При этом для каждого приближения соблюдается полное соответствие между порядком уравнений и числом поставленных условий. Общая теория асимптотических методов представлена в работах [30, 35, 59, 71, 185, 225, 244, 256, 265, 269]. Применению асимптотических методов в области механики твердого тела посвящены работы Бахвалова Н.С., Опанасенко Г.П. [37], Ванина Г.А. [61], Зино И.Е.,

Троппа Э.А. [204], Ивлева Д.Д., Ершова JI.B. [206], Ильина A.M. [207]. Развитию асимптотических методов в теории балок, пластин и оболочек посвящены работы Агаловяна JI.A. [1-4], Агаловяна J1.A., Геворкян P.C. [5], Агаловяна M.JI. [6], Базаренко H.A., Воровича И.И. [31], Бугенко Ю.И. [52-57], Волоха К.Ю., Горшкова A.A. [88], Воровича И.И. [93], Воровича И.И., Кадомцева И., Устинова Ю.А. [95-96], Воровича И.И., Малкиной О.С. [97], Гольденвейзера АЛ. [108-115], Горынина ГЛ. [133-141], Горынина ГЛ., Каменцева Д.В. [142], Горынина ГЛ., Немировского Ю.В. [143-162, 285-287, 455, 473], Гузя А.Н., Немиша Ю.Н. [171], Гусейн-Заде М.И. [177-180], Елисеева В.В. [195], Колпакова А.Г. [220], Назарова С.А. [268], Никольской H.A., Проскуры A.B. [300], Образцова И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианова И.В. [303], Понятовского В.В. [343, 346347], Роменской Г.И., Шленева М.А. [371], Рябенкова Н.Г. [373], Сапонджяна О.М. [375], Саркисяна С.О. [380-382], Устинова Ю.А. [413-415], Шойхета Б.А. [440].

Преимущество такого подхода заключается в том, что уточнение регулярного решения осуществляется намного легче, чем в случае иных способов решений, так как для этого приходится лишь соответствующее число раз решать бигармонические уравнения типа уравнений классической теории пластин. Однако одним лишь этим решением невозможно описать все разнообразие условий, возникающих при закреплении торцов балок и кромок пластин. Для этого необходимо иметь принципиально иное решение -погранслойное и изучить степень его изменения при движении от краёв или точек разрыва нагрузок вглубь конструкции. В связи с этим в последние десятилетия активно развиваются работы по изучению, обоснованию и обобщению принципа Сен-Венана. Отметим здесь, в частности, работы [2, 41, 140, 150, 187, 306, 375, 385, 449]. Асимптотический метод позволил установить, что принцип Сен-Венана является справедливым для однородных балок, полос и пластин из изотропных и ортотропных материалов для широкого спектра краевых условий. В то же время установлено [2], что применение асимптотических методов для балок и пластин, изготовленных из материалов с ярко выраженной анизотропией может приводить к неверным результатам.

Для теории пограничного слоя в балках и плитах следует особо отметить пионерские работы Папковича П.Ф. [316-318] и Лурье А.И. [246], в которых были заложены ключевые идеи построения пограничных решений, хотя и без использования современной терминологии. Эти идеи получили свое развитие в работах Воровича И.И. и его учеников [7, 92-98, 413-415]. Для слоистых балок произвольного очертания и слоистых плит с произвольным расположением слоев соответствующая теория построена в работах Горынина ГЛ., Немировского Ю.В. [143,150,160,162].

Асимптотический метод во всех его вариантах оказывается полезным средством построения уточненных прикладных теорий [2,143,483,490].

Четвертый класс. Для анализа напряженно-деформированного состояния пластин и стержневых элементов в рамках классических и неклассических подходов широко используются также численные методы, такие как метод конечных разностей, конечных элементов, дискретной ортогонализации и другие. Наличие быстро изменяющихся по координатам решений вызывает большие трудности при реализации численных методов расчета. Эти затруднения особенно возрастают при уменьшении относительной толщины пластины, учете ослабленного сопротивления поперечным сдвигам и обжатию, вызывающих увеличения показателя изменяемости краевых эффектов и ухудшающие обусловленность систем уравнений применяемых методов и их сходимость. В связи с этим для каждого типа основополагающих уравнений приходится находить специальные схемы дискретных разбиений, гарантирующих определенную уверенность в достижении достоверных результатов. Это обстоятельство приводит к тому, что разработка численных методов решения неклассических задач поперечного и продольно поперечного изгиба развивается гораздо медленнее, чем создание новых вариантов теории. Не останавливаясь на анализе различных вариантов численных схем, который можно почерпнуть из упомянутых выше монографий и обзорных статей, отметим здесь ряд полезных работ, связанных с привлечением наиболее популярного ныне метода конечных элементов [203, 254, 257-261, 290-291, 296, 348, 473], в которых обсуждаются вопросы, связанные с диспропорцией в требованиях к аппроксимациям тангенциальных и поперечных перемещений, с построением эффективных высокоточных элементов, построением автоматизированных процедур триангуляции плоских областей со сгущением и разрешением узлов и эффективных численных схем интегрирования двумерных краевых задач с большими градиентами решения.

0.2. Многослойные конструкции

Описанные выше четыре основных подхода к построению решения задач напряженно-деформирования пластин и стержней, относились к однослойным конструкциям. К современным конструкциям предъявляются многообразные и очень жесткие требования по обеспечению необходимых качеств по материалоёмкости, экономическим показателям, теплопроводности, жесткости, кратковременной и длительной прочности, виброзащите, звукопоглощению, радиационной и коррозионной стойкости и другим, которые никакой материал в рамках однослойной конструкции обеспечить не может. В связи с этим в течение последних пятидесяти лет активно развиваются подходы к расчету и анализу поведения многослойных конструкций. Существующие к настоящему времени технологические приемы позволяют соединять практически без ограничений материалы различной природы: дерево, пластмассы, резины, металлы, бетоны, графиты в любых сочетаниях. В частности, здесь можно отметить технологии склейки, сварки взрывом, диффузионной сварки, холодного и плазменного газодинамического напыления [8, 190, 214, 222, 224, 230-231, 310, 363]. В ряде случаев конструкция из однородного материала может приобрести неоднородные свойства (стать слоистой) вследствие специальных способов поверхностной обработки: глубокого пластического деформирования при прокатке, дробеструйной обработки, магнитно-ультрозвуковой наплавки, электронно-дуговой наплавки и др. [24,190,243]. Учитывая, что слоистые конструкции используются в качестве несущих элементов наиболее важных объектов аэрокосмической, судостроительной и машиностроительной техники и в современных объектах стройиндустрии, становится понятным тот громадный интерес, который проявляют специалисты отечественной и мировой науки к развитию теоретических подходов и численных методов расчета слоистых конструкций. Развитие теории многослойных конструкций идет практически теми же путями, что и теории однородных конструкций. Это естественно, поскольку любой вариант теории многослойной конструкции должен сводиться при определенных предельных переходах к однородным конструкциям. Поэтому выполненные к настоящему времени исследования можно также разделить на четыре вышеупомянутых группы. По мере развития теории слоистых конструкций анализ её достижений находил отражение в обзорах [10,15,33,4647, 102-103, 165, 169, 193, 222, 233, 272, 298, 325, 327, 404, 464, 480, 488] и монографиях [8, 14, 16, 23, 48, 143, 224, 239-240, 297, 320, 323]. Проведенный анализ развития теории слоистых конструкций показывает, что хотя число публикаций по рассматриваемой проблеме измеряется тысячами, но распределение их по вышеупомянутым четырем группам далеко неравномерно. Работы, касающиеся использования координатных и асимптотических рядов для приведения многоконтактных пространственных задач теории упругости к более простым двумерным задачам, исчисляются единицами и носят разрозненный характер [1-6, 52-57, 333, 343, 346-347, 381-382, 413]. Подавляющее число исследований по слоистым конструкциям связано с методом гипотез. Их, в свою очередь, можно разбить на два больших подкласса, названных в обзоре Пискунова В.Г., Рассказова А.О. [327] соответственно дискретно-структурными и непрерывно-структурными теориями слоистых конструкций. Для дискретно-структурных моделей характерно использование различных кинематических гипотез (типа Кирхгофа-Лява, Тимошенко, Рейсснера и др.) для жестких и мягких слоев при выполнении требований сплошности пакета. Разрешающие системы уравнений дискретно-структурных теорий многослойных пластин при различных вариациях дополнительных упрощающих положений были получены в работах [8,26,32,46-48,77-78,166,168-177,255,323, 349,352,450,464,505]. Выбор системы кинематических гипотез для слоистых конструкций определяется деформативными и геометрическими параметрами слоёв и является достаточно широким. В рамках такого подхода можно достаточно точно аппроксимировать поле перемещений каждого слоя и описать тонкие эффекты, связанные с локальными особенностями деформирования отдельных слоев. Однако реальное решение конкретных задач при большом числе слоёв связано с большими, иногда непреодолимыми трудностями. Дело в том, что порядок разрешающих систем уравнений при таком подходе зависит от числа слоёв и быстро нарастает как с увеличением слоёв, так и с усложнением аппроксимаций кинематических характеристик. Следует также отметить, что всякое изменение структуры пакета слоёв требует изменения системы гипотез, соответствующей модификации разрешающей системы дифференциальных уравнений и пересмотра процедуры её численного интегрирования, что вносит в расчет дополнительные трудности и затрудняет выбор рациональных конструктивных схем. Возможно, поэтому в литературе практически отсутствуют публикации численных исследований напряженно-деформированного состояния слоистых конструкций (с числом слоёв большим трёх) выполненных в такой постановке. Обстоятельные обзоры с классификацией принимаемых гипотез и критическим анализом получающихся результатов содержатся в работах [168, 327], что позволяет не останавливаться здесь на анализе большого количества конкретных публикаций этого направления.

При построении непрерывно-структурных теорий слоистых конструкций авторы используют единую кинематическую гипотезу для всего пакета слоев, обеспечивающую сплошность конструкции с частичным или полным обеспечением реальной податливости материалов на поперечные сдвиги и обжатия. Вывод разрешающих систем уравнений опирается при учёте принятых кинематических гипотез на вариационные принципы Лагранжа или Рейсснера. При этом получаются непротиворечивые с точки зрения вариационных принципов варианты систем дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, различающиеся между собой по структуре, широте охвата учитываемых факторов и границами применимости. В этом случае устанавливаются системы внутренних усилий, соответствующие принятым геометрическим моделям деформирования и формулируются соответствующие корректные краевые усилия. Хотя порядки разрешающих систем уравнений в этом случае также нарастают по мере усложнения принимаемых кинематических гипотез, достоинство такого подхода состоит в том, что при принятии некоторой кинематической гипотезы, порядок разрешающей системы уравнений далее не зависит ни от числа слоев, ни от их трансформации, что существенно упрощает разработку численных схем решения и позволяет расширить множество решаемых задач. С общей характеристикой работ этого направления, включающей в себя оценку пределов применимости используемых кинематических и статических гипотез можно ознакомиться в работах [21-23, 101-103, 167, 193, 357, 362 и др.]. В [255] разработан метод, объединяющий дискретно-непрерывно-структурные подходы к построению математической модели слоистых плит. На его основе конструкция по толщине разделяется на полосы (однородные или слоистые), объединенные условиями контакта. Пакет полос рассчитывается на основе дискретно-структурного подхода. Такой метод позволяет учесть структурные особенности элементов слоистого пакета и увеличить точность результатов, приблизив их к данным трехмерного решения. Сравнительный анализ результатов расчета слоистых конструкций с использованием различных вариантов двумерных непрерывно-структурных моделей выполнен в работах [17-18, 21-22, 49, 313, 350, 388, 482 и др.]. Такой сравнительный анализ ввиду оправданного и неизбежного появления многих «уточненных» вариантов уравнений слоистых конструкций позволяет выявить характер и степень влияния трансверсальных деформаций, уточнить взаимные границы пригодности прикладных двумерных уравнений и в их рамках выделить наиболее простые и достаточно надежные (с вычислительной точки зрения) подходы к анализу поведения слоистых конструкций. Однако уверенный выбор того или иного из упоминаемых вариантов приближенных неклассических теорий многослойных стержней и пластин должен опираться на всесторонние сравнения с расчетами многоконтактных задач теории упругости кусочно-однородных и кусочно-неоднородных тел и на сравнение с прямыми экспериментами, выполненными над конструкциями.

Экспериментальные исследования. Достоверность теоретических построений всегда подвергается независимой экспертизе путем сравнения результатов расчета с экспериментами. Если классические теории для однородных пластин и стержней в течение последних двух веков подвергались многочисленным и разнообразным экспериментальным проверкам, то количество целевых экспериментальных исследований по проверке неклассических вариантов теорий однородных и слоистых стержней и пластин не столь велико, не носит характера всесторонних испытаний и ожидает еще своих исследователей. Приведем здесь обзор некоторых испытаний, относящихся к предмету, исследуемому в данной монографии. Наиболее полное описание результатов экспериментальных исследований для трехслойных балок и пластин с легкими заполнителями можно почерпнуть в источниках [8-9, 27, 51, 99, 224, 307-308, 361-362,

370, 397]. Приведенные в них экспериментальные данные отличаются достаточной полнотой и обстоятельностью описания. В испытуемых трехслойных конструкциях в качестве обшивок (жестких слоев) использовались металлы, а в качестве заполнителей (лёгких или мягких слоев) - пенопласта и органическое стекло. Испытывались свободно-опертые балки при воздействии равномерно-распределенных нагрузок [308], синусоидально распределенных нагрузок [9], сосредоточенных сил [27]. В [9] приведены также экспериментальные данные по изгибу трехслойных свободно-опертых по контуру пластин при равномерно распределенной поперечной нагрузке. В [308] представлены результаты опытного определения частот колебаний шарнирно-опертых трехслойных балок и пластин. Результаты экспериментов по изгибу коротких защемленных по краям двутавровых балок при нагружении сосредоточенной силой описаны в [99]. Сравнительные данные испытаний трехслойных шарнирно-опертых и защемленных балок-полос приведены в монографии [224]. Экспериментальные данные показывают необходимость построения неклассических вариантов теории изгиба слоистых балок и плит, особенно в случае несимметричных структур сечения и существенного отличия материалов слоев. Экспериментальные данные для пластин несимметричной структуры с числом слоев больше трех для случаев статического и динамического изгибов приведены в работах [361-362].

Решение многоконтактных краевых задач теории упругости на сегодняшний день (за исключением единичных частных и искусственных случаев) не представляется возможным. Существенного прогресса здесь можно было бы добиться за счет разработки процедуры расщепления общих пространственных уравнений многоконтактных краевых задач кусочно-однородных и кусочно-неоднородных тел. Однако, несмотря на неоднократные указания в необходимости разработки такого направления в различных обзорных статьях, начиная с середины прошлого века [98, 167, 169 и др.] попытки продвижения в этом направлении до сих пор носили разрозненный характер единичных исследований для некоторых частных ситуаций [2, 52, 110, 197, 247, 268, 344, 346, 365, 444,467].

0.3 Цели и задачи диссертации

Краевая задача теории упругости для однородного тела включает в себя (Васидзу

К. [64]):

1) систему уравнений равновесия где <уар - компоненты тензора напряжении, 2) закон Гука з стар = Шар + 2цеар, 0 = , (2) у=1 где еар - компоненты линейного тензора деформаций, 3) соотношения Коши для линейного тензора деформаций 1 е«Р = 2 М а,Р = {х,у,г}, (3) Эр да

4) краевые условия на всей поверхности тела либо для поверхностных нагрузок

2>сфпр=Яа> а = {х,у,г}, (4)

Р={х,у,2} либо для заданных перемещений иа=и®, сс = {х,у,г}. (5)

В постановке (1)-(5) доказаны теоремы существования и единственности решения (Новацкий В. [301]). Однако в такой постановке удается получить точное решение задачи теории упругости лишь в очень немногих и подчас искусственных случаях.

Пространственная задача теории упругости в постановке Сен-Венана. Для задач изгиба и кручения стержней очень часто на торцевых поверхностях вместо распределенного поля сил (4) задаются интегральные характеристики этого поля - усилия, а вместо распределенного поля перемещений (5) - их некоторая интегральная характеристика (например, среднее перемещение). Для пластин - тоже самое задается на их кромке. Это делается с целью упрощения задачи. Такая постановка тесно связана с именем Сен-Венана, именно в такой постановке им была решена задача об изгибе консоли (Сен-Венан Б. [385]) и было дано правдоподобное обоснование такого подхода в виде знаменитого принципа Сен-Венана. В дальнейшем пространственную задачу теории упругости, для которой условия (4) или (5) на некоторых участках поверхности тела заменены интегральными равенствами, будем называть пространственной задачей теории упругости в постановке Сен-Венана. Очевидно, что для такой задачи в отличие от краевой задачи теории упругости отсутствует единственность искомого решения. Поле напряжений, возникающее при решении задачи теории упругости в постановке Сен-Венана, по определению будем называть основным напряженным состоянием для краевой задачи теории упругости. Соответствующее поле перемещений будем называть основным полем перемещений для краевой задачи теории упругости.

Введенная терминология своим главным основанием имеет то обстоятельство, что все теории балок и пластин, основанные на введении гипотез, фактически стремятся приблизиться к решению не краевой задачи теории упругости, а задачи теории упругости в постановке Сен-Венана. Таким образом, такая постановка задачи фактически существует, однако терминологически не фиксирована.

Решение задачи в постановке Сен-Венана в общем случае отличается от решения краевой задачи, их разность будем называть пограничным решением. Принцип Сен-Венана утверждает, что это решение быстро убывает при удалении от торца - для балки, и при удалении от кромки - для пластины.

Целью диссертации является изложение и обоснование нового метода решения пространственных задач теории упругости в постановке Сен-Венана, таких как задача продольно-поперечного изгиба и кручения слоистых стержней и задача продольно-поперечного изгиба плит для достаточно широкого класса действующих нагрузок. Достижение данной цели включает в себя решение следующих задач:

• Обоснование и применение метода к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых стержней произвольного поперечного очертания. Выявление класса поверхностных, объемных, температурных и иных нагрузок, при которых метод дает точное аналитическое решение данной задачи.

• Обоснование и применение метода к задачам кручения слоистых стержней произвольного поперечного очертания. Выявление класса поверхностных нагрузок, при которых метод дает точное аналитическое решение данной задачи.

• Изучение возможности применения данного метода к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых стержней, лежащих на упругом или жестком основаниях.

• Изучение возможности применения данного метода к задачам свободных и вынужденных колебаний слоистых стержней.

• Обоснование и применение метода к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых плит с произвольным расположением и числом слоев. Выявление класса поверхностных нагрузок, при которых метод дает точное аналитическое решение этой задачи.

• Изучение возможности применения данного метода к решению задач о действии сосредоточенных нагрузок на слоистые плиты.

• Изучение возможности применения данного метода к объяснению явления кромочного эффекта в слоистых композитах.

Данный метод назван его авторами, Горыниным Г.Л. и Немировским Ю.В., в монографии [143] методом асимптотического расщепления. Такое название связано с главным свойством метода - расщеплением исходной трехмерной задачи теории упругости в постановке Сен-Венана на одномерные и двумерные задачи, которые существенно проще исходной. Расщепление становится возможным благодаря двум основным идеям: первая - строится формальное асимптотическое решение пространственной задачи теории упругости, вторая - неизвестные вектор-функции перемещений и тензор-функции напряжений ищутся в виде степеней дифференциальных операторов от некоторых функций и рассматриваются как независимые величины. При реализации первой идеи обычно используют понятие асимптотического ряда. Однако это понятие оказалось слишком узким для решения рассмотренного класса задач, поэтому вместо него в диссертации используется более широкое понятие асимптотической последовательности. Вторая идея ранее использовалась в завуалированном и половинчатом виде (например, в работах Доннелла [ 192] и символическом методе Лурье [247]), однако систематическое развитие и анализ получила только в вышеупомянутой монографии [143] и работах [133-142, 144-162, 285-287, 455, 472]. Метод является существенно новым, поэтому закономерно возникает целый ряд новых понятий: полукраевая задача, номинальный порядок дифференциального уравнения, номинальное линейное подмногообразие решений, линейное многообразие асимптотически расщепленных приближений, характеристические функции вектора перемещений и тензора напряжений, характеристические жесткости (сдвиговая, изгибная и пр.) и другие.

Все задачи решаются в геометрически и физически линейной постановке. Слоистые конструкции считаются состоящими из слоев с упругими изотропными свойствами, быть может, непрерывно меняющимися внутри слоя. Лишь в двух параграфах рассматриваются ортотропные материалы.

В диссертационной работе кроме метода асимптотического расщепления разработана теория пограничных решений для слоистых стержней и разработаны элементы теории пограничных решений для слоистых плит. Данные разделы имеют вспомогательное значение, т.к. без учета пограничных слоев результаты, полученные методом асимптотического расщепления, подчас приводят к парадоксальным ситуациям. Для разрешения подобных парадоксов и были разработаны соответствующие разделы теории пограничного слоя.

Основные выводы и результаты, полученные в главе 4

• Метод асимптотического расщепления распространен на решение пространственной задачи продольно-поперечного изгиба слоистой изотропной плиты в постановке Сен-Венана. Сущность метода состоит в представлении искомых перемещений и напряжений в виде сумм, состоящих из частных дифференциальных операторов, действующих в плоскости плиты, коэффициенты которых являются характеристическими функциями. Посредством такого представления удается добиться расщепления исходной пространственной задачи на краевые задачи меньшей размерности для характеристических функций и краевую задачу, включающую в себя уравнения продольно-поперечного изгиба и интегральные условия на кромке плиты. При этом все уравнения полукраевой задачи теории упругости выполняются точно за исключением закона Гука, который выполняется асимптотически. Увеличение порядка асимптотического приближения увеличивает точность выполнения закона Гука. Порядок приближения считается достаточным, когда точность, с которой из эксперимента известны упругие постоянные, совпадает с точностью асимптотического приближения закона Гука.

• Для характеристических функций получены явные рекуррентные формулы, позволяющие их вычислить в виде конечной последовательности определенных интегралов по поперечной переменной. Выведены три уравнения продольно-поперечного изгиба слоистой плиты, которые являются регулярными возмущениями уравнения С. Жермен и системы уравнений в перемещениях плоской задачи теории упругости.

• В случае поперечных поверхностных сил и потенциальных продольных сил, которые зависят от координат в плоскости плиты как ш-гармонические функции, указанный метод позволяет построить точное решение пространственной задачи продольно-поперечного изгиба слоистой изотропной плиты в постановке Сен-Венана.

• Установлено, что уравнения поперечного изгиба таких широко распространенных теорий изгиба пластины, как классическая теория (гипотеза Кирхгофа-Лява), уточненная теория Тимошенко-Доннелла и уточненная теория Рейсснера являются уравнениями изгиба, получающимися при первом, втором и третьем приближении метода асимптотического расщепления соответственно. В отличие от этих теорий метод асимптотического расщепления на основе решения уравнений изгиба позволяет получить все компоненты тензора напряжений и тем самым оценить вклад каждой компоненты в напряженно-деформированное состояние слоистой плиты. Метод асимптотического расщепления позволяет однозначно определять значение констант, которые в уточненных теориях вводятся эвристическим путем.

• Введено понятие сосредоточенной нагрузки с характерным размером площадки воздействия, на основе которого с помощью метода асимптотического расщепления дано решение задачи о действии на слоистую пластину сосредоточенной нагрузки в пространственной постановке. Главные отличия данного подхода от классического - это 1) учет двух механизмов деформации слоистой плиты: поперечный изгиб и продольные деформации 2) возможность оценки всех компонент тензора напряжений и вектора перемещений, как в области приложения сосредоточенной силы, так и вне ее.

• Построена теория двух типов пограничных слоев, возникающих вблизи кромки слоистой плиты: потенциальный и вихревой. Теория справедлива для плит с любой структурой расположения слоев, внутри каждого слоя материал считается однородным и изотропным. С помощью метода асимптотического расщепления и использования данных пограничных решений дано решение задачи о деформации слоистой плиты под действием крутящих моментов, распределенных по ее кромке.

Заключение

В диссертационной работе представлен новый метод решения пространственных задач теории упругости в постановке Сен-Венана - метод асимптотическою расщепления. Отличительной особенностью метода является единый подход с единым набором руководящих понятий и идей к существенно разным статическим и динамическим задачам теории упругости. Метод позволяет решать и задачи продольно-поперечного изгиба слоистых стержней произвольного поперечного очертания с одновременным их кручением, и задачи свободных и вынужденных колебаний таких стержней, и задачи деформирования слоистых стержней, лежащих на упругом и жестком основаниях, и задачи продольно-поперечного изгиба слоистых плит.

Сущность метода состоит в представлении искомых перемещений и напряжений в виде конечных сумм, состоящих из степеней дифференциальных операторов, действующих в продольных направлениях для стержней и плит, коэффициенты которых являются характеристическими функциями, зависящими от поперечных переменных. Посредством такого представления удается расщепить исходную пространственную задачу на краевые задачи меньшей размерности для характеристических функций и краевую задачу, состоящую из обыкновенных дифференциальных уравнений продольно-поперечного изгиба и интегральных условий на торцах стержня. При этом все уравнения задачи теории упругости в постановке Сен-Венана выполняются точно за исключением закона Гука, который выполняется приближенно асимптотически. Увеличение порядка асимптотического приближения увеличивает точность выполнения закона Гука. Порядок приближения считается достаточным и не требующим дальнейшего увеличения, когда точность, с которой из эксперимента известны упругие постоянные, совпадает с точностью асимптотического приближения.

Ограничениями на применение метода асимптотического расщепления являются для стержней - требование неизменности сечения по длине стержня, для плит - требование независимости линейного среза от положения в плоскости плиты. Кроме того, для применения метода необходимо, чтобы нагрузка, действующая на тело (будь то поверхностные или объемные силы, или температурные нагрузки, или предварительные деформации), имела расщепленный вид по пространственным переменным. Указанное требование к нагрузке принципиально не ограничивает области применения метода, т.к. любая нагрузка, будучи кусочно-непрерывной функцией, заданной в ограниченном пространстве, всегда может быть разложена в ряд типа Фурье, слагаемые которого имеют расщепленный вид. В силу линейности задач справедлив принцип суперпозиции, и метод асимптотического расщепления может быть применен к каждому слагаемому ряда в отдельности.

Главным отличием данного метода от других асимптотических методов применительно к задачам статики является то, что, как уже говорилось выше, решение ищется в таком виде, что все уравнения задачи теории упругости в постановке Сен-Венана выполняются тождественно, и только лишь выполнение закона Гука имеет асимптотический характер, поэтому для любого приближения тождественно выполняются уравнения равновесия для внутренних усилий, кроме того, найдены формулы оценивающие точность полученного приближения. Другие асимптотические методы (например, Агаловян Л.А.[1-2], Бутенко Ю.И. [52-57], Гольденвейзер А.Л. [109-114] и др.) этими свойствами не обладают, что в определенных ситуациях, например, при не достаточно малых значениях параметра 8, очевидно, должно приводить к абсурдным результатам. Для динамических задач метод позволяет строить приближения, которые одновременно являются оценками снизу и сверху искомых динамических величин (частоты собственных колебаний - для свободных колебаний слоистых стержней и амплитуды колебаний - для вынужденных колебаний стержней).

Разработанный метод является асимптотическим методом, т.е. позволяет получать асимптотические решения пространственной задачи теории упругости в постановке Сен-Венана. Однако для достаточно широкого класса нагрузок (полиномиальные - для стержней, ш-гармонические для плит) достаточно высокое асимптотическое приближение перестает быть асимптотическим решением и превращается в точное решение пространственной задачи теории упругости в постановке Сен-Венана. Таким образом, метод асимптотического расщепления оказывается источником новых точных решений пространственных задач теории упругости для слоистых стержней и плит с самыми разнообразными структурами расположения слоев, причем внутри каждого слоя упругие характеристики материала могут непрерывно меняться в поперечном направлении. Интересно отметить, что известные ранее аналитические решения для однородных однослойных конструкций, полученные либо с помощью функций Эри, либо символического метода Лурье, получаются также и с помощью метода асимптотического расщепления. Данное обстоятельство является важным свидетельством в пользу достоверности результатов, получаемым с помощью метода асимптотического расщепления. Для метода асимптотического расщепления количество слоев чаще всего не является принципиальным фактором, поэтому решения задач для однослойных конструкций достаточно просто обобщаются и на многослойные.

Метод асимптотического расщепления является методом решения задач пространственной теории упругости, поэтому он не требует привлечения каких-либо гипотез о значимости или не значимости тех или иных перемещений и напряжений, с его помощью в аналитической форме находятся все компоненты тензора напряжений и вектора перемещений, что является чрезвычайно важным как с теоретической, так и с практической стороны. Однако особое теоретическое значение метод приобретает в связи с тем, что основные уравнения ранее известных приближенных теорий (такие как классическая теория балки, основанная на гипотезе Эйлера-Бернулли и формуле Журавского, уточненная теория балки Тимошенко, классическая теория пластин, основанная на гипотезе Кирхгофа-Лява, уточненная теория пластин Тимошенко-Доннелла и др.) выводятся с помощью метода асимптотического расщепления в качестве асимптотических приближений некоторого порядка, что наделяет эти теории новым смыслом и позволяет с единых позиций оценить границы их теоретической применимости. Если же учесть, что именно с использованием этих теорий во всем мире разработаны многочисленные пакеты прикладных программ по расчету конструкций, то указанное теоретическое значение метода приобретает и соответствующее прикладное значение.

В плане исторической преемственности метод асимптотического расщепления является развитием идей, заложенных Навье, Пуассоном, Коши и Сен-Венаном, а далее Митчеллом и Альманзи.

В диссертационной работе кроме метода асимптотического расщепления, разработана теория пограничных слоев для слоистых стержней и разработаны элементы теории пограничных слоев для слоистых плит. Данные разделы имеют вспомогательное значение, т.к. без учета пограничных слоев результаты, полученные методом асимптотического расщепления, подчас приводят к парадоксальным ситуациям, подобно тому, как это имело место в главе 2 в задаче о равномерном нагреве двухслойной балки и в задаче о предварительно деформированной двухслойной балки или в главе 4 в задаче о кручении круглой пластины распределенным по кромке закручивающим моментом. Для устранения подобных парадоксов и в качестве упреждающего ответа на соответствующие упреки в адрес метода и были разработаны соответствующие разделы теории пограничного слоя. Кроме того, могло создаться впечатление, что широко известное явление кромочного эффекта в слоистых композитах противоречит тем решениям, которые дает метод асимптотического расщепления. Поэтому для решения задачи о кромочном эффекте в главе 2 в дополнение к методу асимптотического расщепления была разработана теория кромочных решений, как частный случай общей теории пограничных решений, и явление кромочного эффекта получило аналитическое объяснение не только для традиционно рассматриваемого случая одноосного растяжения композита, но и для случая чистого изгиба композита.

Апробация результатов диссертации. Диссертационная работа докладывалась и обсуждалась на: семинаре Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель - чл.-корр. РАН Фомин В.М., Новосибирск, 2006), семинаре Института гидродинамики им. М.В. Лаврентьева СО РАН (руководитель - чл.-корр. РАН Аннин Б.Д., Новосибирск, 2006), семинаре по математическому моделированию Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (руководитель - проф. Демиденко Г.В., Новосибирск, 2005), семинаре кафедры теории пластичности Московского государственного университета (руководители - проф. Ломакин Е.В. и проф. Александров В.М., Москва, 2005), расширенном семинаре кафедры «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета (руководитель - проф. Крысько В.А., Саратов, 2005), расширенном семинаре Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Министерства образования и науки РФ (Томск, 2005), семинаре кафедры «Прочность летательных аппаратов» Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, 2005), расширенном семинаре кафедры «Строительные технологии и конструкции» Югорского государственного университета (Ханты-Мансийск, 2005).

Материалы диссертации докладывались в виде пленарных докладов на IV-й Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, ТГУ, 2004) и V-м Всероссийском семинаре по оптимизации (Новосибирск, НГАСУ, 2005). Кроме того, материалы диссертации докладывались и обсуждались на: XVIII-й и XIX-й Всероссийской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности», ИТПМ СО РАН, (Кемерово, 2003 и Бийск, 2005), XXI-й Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, СарГТУ, 2005), 9st Russian-Korean International Symposium on Science and Engineering (Novosibirsk, 2005), 1-й и 2-й Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, СамГТУ, 2004 и 2005), V Всероссийской научной конференции «Смешанные задачи механики деформируемых твердых тел» (Саратов, СарГУ, 2005), Н-м Евразийском симпозиуме по прочности материалов и машин для регионов холодного климата, EURASTRENCOLD-2004 (Якутск, СО РАН, ЯФГУ, 2004), Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, СО РАН , 2004), 5-й и 6-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2002 и 2003), III Международной научнотехнической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций» (Волгоград, ВолГАСА, 2003), XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий (Екатеринбург, УрО РАН, 2003), VI Международном симпозиуме "Современные проблемы прочности" имени В.А. Лихачёва (В. Новгород, 2003), Всероссийской конференции «Научно-технические проблемы в строительстве» (Новосибирск, НГАСУ, 2003), II Международном технологическом конгрессе «Военная техника, вооружение и технологии двойного применения в XXI веке» (Омск, 2003), Международной научно-технической конференция «Эффективные строительные конструкции: теория и практика» (Пенза, ПГАСУ, 2002), III-й Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, ТулГУ, 2002), IV-м Всероссийском семинаре по оптимизации (Новосибирск, НГАСУ, 2002), III-й Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, ТГУ, 2002).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 40 научных работах автора, из них: одна - научная монография ([143], изд-во «Наука», 408 е.), 9 - публикации в рецензируемых журналах из списка ВАК ([138], [139], [150], [152], [153], [155], [157], [161], [162]), 22 - статьи, опубликованные в трудах международных и российских научных конференций ([130], [133], [136], [141], [142], [144-149], [151], [154], [156], [158160], [285-287], [455], [473]), 8 - статей, опубликованных в трудах научных конференций и научных сборниках регионального уровня. Из указанных 40 научных работ: 14 -написаны без соавторов, 1 - в соавторстве с аспирантом Каменцевым Д.В. (ЮГУ, г. Ханты-Мансийск), 25 - в соавторстве с д.ф.-м.н., проф. Немировским Ю.В. (ИТПМ СО РАН, г. Новосибирск).

В заключение автор приносит слова благодарности научному консультанту Юрию Владимировичу Немировскому, доктору физико-математических наук, профессору, главному научному сотруднику ИТПМ СО РАН, под сердечным покровительством которого и вдумчивой критикой, сопровождаемой неизменно благожелательными советами, создавалась эта рукопись.

1. Агаловян JI.A. О погранслое пластинок // Докл. АН АрмССР. 1972. - Т.45, № 3. -С. 149-155.

2. Агаловян JI.A. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука, 1997.-414 с.

3. Агаловян JI.A. К асимптотическому методу решения динамических смешанных задач анизотропных полос и пластин // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000, № 3. - С. 8-11.

4. Агаловян JI.A. Асимптотика решений классических и неклассических краевых задач статики и динамики тонких тел// Прикл. механика. 2002. - Т. 38, № 7. - С. 3-24.

5. Агаловян JI.A., Геворкян P.C. Об асимптотическом решении смешанных трехмерных задач для двухслойных анизотропных пластинок // Прикл. математика и механика. 1986. - Т. 50, вып. 2. - С. 271-278.

6. Аксентян O.K., Ворович И.И. Напряженное состояние плиты малой толщины // Прикл. математика и механика. 1963. - Т. 27, вып. 6. - С. 1057-1074.

7. Александров А.Я., Бородин И.Я., Павлов В.В. Конструкции с заполнителем из пенопласта. М.: Машиностроение, 1972. - 211 с.

8. Александров А.Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М., Прусаков А.П. Расчет трехслойных панелей. М.: Оборонгиз, 1960.

9. Александров А.Я., Куршин Л.М. Многослойные пластины и оболочки // Тр. VII Всесюз. конф. по теор. оболочек и пластин, Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970. -С. 714-721.

10. Алексеев А.Е. Изгиб трехслойной ортотропной балки // Прикл. механика и техн. физика. 1995. - Т. 36, №. 3. - С. 158-166.

11. Алёхин В.В., Аннин Б.Д., Колпаков А.Г. Синтез слоистых материалов и конструкций. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение , 1988.

12. Алфутов H.A. О некоторых парадоксах теории тонких упругих пластин // Изв. РАН. МТТ. 1992. - №3. - С. 65-72.

13. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.

14. Альтенбах X. Основные направления теории многослойных тонкостенныхконструкций. Обзор // Механика композит, материалов. 1998. - Т. 34, № 3. - С. 333— 348.

15. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость, колебания. М.: Наука, 1987. - 360 с.

16. Андреев А.Н. К расчету круглых слоистых пластин // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1977. - Вып. 28.-С. 3-13.

17. Андреев А.Н. О напряженном состоянии и устойчивости слоистых балок и стержней // Изв. вузов. Стр-во и архитектура. 1983. - №3. - С. 51-54.

18. Андреев А.Н. Расчет слоистых круговых арок и цилиндрических покрытий при ограниченном сопротивлении поперечному сдвигу // Строит, механика и расчет сооружений. 1985. - №5. - С. 23-26.

19. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории изгиба и колебаний упругих многослойных анизотропных пластин // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Сб. статей. Горький, 1977. - Вып. 7. - С. 29-34.

20. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Об одном варианте теории упругих многослойных анизотропных пластин // Прикл. механика. 1978. - Т. 14, № 7. - С. 55-62.

21. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. - 288 с.

22. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел: Монография. М: Издательство АСВ, 2002. - 288 с.

23. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Наука, 1963. - 686 с.

24. Артюхин Ю.П. Модифицированная теория Голанда-Рейсснера склеенных пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1975. - Вып. XI. - С. 136-147.

25. Архангородский А.Г., Розендент Б.Я. Трехслойные конструкции в судостроении и судоремонте. Калининград: Калинингр. книжное изд-во, 1968.

26. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Л.: Машиностроение, 1972. - 216 с.

27. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. - 560 с.

28. Бабич В.М., Булдырев В.С. Искусство асимптотики // Вестник ЛГУ. 1977. - № 13. - Вып. 3.-С. 3-11.

29. Базаренко H.A., Ворович И.И. Асимптотическое поведение решения задач теории упругости для полого цилиндра конечной длины при малой толщине // Прикл. математика и механика. 1965. - Т. 29, вып. 6. - С. 1035-1052.

30. Баев JI.B. Применение приближенной теории слоистых пластин, учитывающей поперечный сдвиг // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1980. - Вып. 4. С. 11-18.

31. Баев JI.B., Чулков П.П. К расчету слоистых пластин // Механика полимеров. -1969. №6.-С. 11-18.

32. Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. JL: Машиностроение, 1988. - 224 с.

33. Баранцев Р.Г. Об асимптотологии // Вестник Ленинград ун-та. 1976. - № 1. - С. 69-71.

34. Барейшис Й., Гаруцкас Д. Напряженное состояние многослойного конструкционного элемента, нагруженного статической нагрузкой, и оптимизация слоистых балок и стержней // Механика композитных материалов. 2000. - Т. 36, № 5.-С. 593-606.

35. Бахвалов Н.С., Опанасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. -М.: Наука, 1984.-352 с.

36. Бегин М.В., Хома И.Ю., Ярема П.Ф. Построение общего решения уравнений равновесия изгиба пластины в установившемся температурном поле // Прикл. механика. 1978. - Т.14, вып. 1. - С. 97-101.

37. Белякова Т.А., Шестериков С.А. Изгиб неоднородной пластины при сжимающих напряжениях, действующих в ее плоскости // Изв. РАН. МТТ. 2002. - №4. - С. 134— 144.

38. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.-448 с.

39. Бердичевский B.JI. К доказательству принципа Сен-Венана для тел произвольной формы // Прикл. математика и механика. 1974. - Т. 38, Вып. 5. - С. 851-854.

40. Бердичевский В.Л., Коц Л.Я. Об уравнениях, описывающих поперечные колебания анизотропных пластин // В кн.: Избранные проблемы прикладной механики. -М., 1974.-С. 103-111.

41. Бернштейн С.А. Избранные труды по строительной механике. М.: Гос. изд-во по стр-ву, арх. и стр. материалам, 1961.-452 с.

42. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 504 с.

43. Богомолова O.A., Немировский Ю.В. Методика определения физико-механических характеристик материалов многослойных покрытий // В кн.: Актуальные проблемы транспорта азиатской части России. Новосибирск: Изд-во СГУПС, 2001. - С. 127— 135.

44. Болотин В.В. К теории слоистых плит // Изв. АН СССР, Отд. Техн. Наук. Механика и машиностроение. 1963. - № 3. - С. 65-72.

45. Болотин В.В. Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин // Расчеты на прочность. -М.: Машиностроение, 1965.-Вып. 11.-С. 31—63.

46. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980.-375 с.

47. Бондарь А.Г., Рассказов А.О. Исследование изгиба многослойной пластины на основе конечносдвиговой теории//Прикл. механика. 1982.-Т. 18,№ 12. - С. 59-63.

48. Броуде Б.М. Предельное состояние стальных балок. М.: Стройиздат, 1953. - 215 с.

49. Брюккер Л.Э. Некоторые варианты упрощения уравнений изгиба трёхслойных пластин // Расчеты элементов авиационных конструкций: Сб. статей. М.: Машиностроение, 1965. - Вып.З. - С. 74-99.

50. Бутенко Ю.И. Вариационно-асимптотические методы построения неклассических методов расчета стержней и пластин. Казань: ЗАО «Новое знание», 2001. - 320 с.

51. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимптотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала. Ч. 1. //Изв. РАН. МТТ.2001.-№4,-С. 91-72.

52. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимптотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала. Ч. II. // Изв. РАН. МТТ.2002.-№1.- С. 177-178.

53. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимптотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала. Ч. III. //Изв. РАН. МТТ. -2002.-№2.-С. 163-177.

54. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимптотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала. Ч. IV. //Изв. РАН. МТТ. -2002.-№3.- С. 192-207.

55. Бутенко Ю.И. Построение асимптотически «точной» теории расчета многослойной конструкции // Механика композиционных материалов и конструкций. 2003. - Т. 9, №2.-С. 205-230.

56. Быстрое В.М., Коханенко Ю.В. Анализ затухания краевых эффектов Сен-Венана в транверсально-изотропной матрице с изотропным покрытием // Механика композитных материалов. 2002. - Т. 38, № 2. - С. 147-160.

57. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464 с.

58. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластинки, диски, балки-стенки. Киев: Госстройиздат УССР, 1959. - 1049 с.

59. Ванин Г.А. Метод усреднения в теории упругости композиционных материалов // Прикл. механика. 1984. - Т. 20, № 12. - С. 39^15.

60. Ван Фо Фы Конструкции из армированных пластмасс. Киев: Техшка, 1971. - 220с.

61. Ван Фо Фы Теория армированных материалов с покрытиями. Киев: Наук, думка, 1971.-232 с.

62. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.-542 с.

63. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. - 269 с.

64. Васильев В.В. О теории тонких пластин //Изв. РАН. МТТ. 1992. - №3. - С. 26-47.

65. Васильев В.В. К дискуссии по классической теории пластин //Изв. РАН. МТТ. -1995.-№4.-С. 140-150.

66. Васильев В.В. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин //Изв. РАН. МТТ. 1997. - №3. - С. 150-155.

67. Васильев В.В. Классическая теория пластин история и современный анализ //Изв. РАН. МТТ. - 1998. - №3. - С. 45-58.

68. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин //Изв. РАН. МТТ. 1990. - №2. - С. 158-167.

69. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. - 272 с.

70. Вашакнадзе Т. С. Система Векуа для анизотропных упругих пластин // Тр. ин-та прикл. матем. Тбилис. гос. ун-та. -1989. -№34. С. 73-79.

71. Вашакнадзе Т.С. Некоторые вопросы математической теории анизотропных упругих пластин. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1986, - 176 с.

72. Векуа И.Н. Об одном методе расчета призматических оболочек // Тр. Тбилис. математ. ин-та. АН ГрузССР. 1955. - Вып.21. - С. 191-253.

73. Векуа И.Н. Об интегрировании системы уравнений упругого равновесия пластинки // Докл. АН СССР. 1969. - Т. 186, № 3. - С. 541-544.

74. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 286 с.

75. Вериженко В.Я., Пискунов В.Г., Присяжнюк В.К., Табаков П.Я. Уточненная динамическая теория многослойных оболочек и пластин. Исходные гипотезы и соотношения модели // Пробл. прочности. 1996. - № 6. - С. 61-69.

76. Вериженко В.Я., Присяжнюк В.К. Модели линейного и нелинейного деформирования многослойных конструкций и их реализация // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1985. -№ 47. - С. 52-57.

77. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. 1957. - Т. XII, вып. 5(77).

78. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. - 436 с.

79. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.; JI.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

80. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975. - 224 с.

81. Власов В.З. Избранные труды: В 3 т. Т. II. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 507 с.

82. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М. : Физматгиз, 1960.-491 с.

83. Волков А.Н. Теория толстых оболочек на основе метода начальных функций // Прикл. механика. 1971. -Т.7, вып. 1. - С. 42-47.

84. Волков А.Н. Построение теории многослойных толстых оболочек // Тр. ун-та дружбы народов им. Патриса Лумумбы. 1977. - Т.83, №10. - С. 17-28.

85. Волох К.Ю., Горшков A.A. Итерационный метод расчета трехслойных пластин //Строительная механика и расчет сооружений, 1991, №2. С. 41- 45.

86. Волох К.Ю., Горшков A.A. Метод возмущений в теории трехслойных пластин //Изв. РАН. МТТ. 1992. -№3. - С. 73-78.

87. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А. Краевые эффекты в напряженном состоянии тонкой упругой прослойки // Прикл. механика и техн. физика. 1999. - Т. 40, №. 2. - С. 189— 195.

88. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А. Уравнения упругого анизотропного слоя // Прикл. механика и техн. физика. 2004. - Т. 45, №. 2. - С. 188-198.

89. Воробьев B.C., Шорр Б.Ф. Теория закрученных стержней. Киев: Наук, думка, 1983.- 186с.

90. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Тр. II Всесюз. съезда по теоретич. и прикл. механике. Механика твердого тела. М.: Наука, 1965. - Вып. 3. - С. 116-136.

91. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек // Материалы 1 Всесоюзн. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси: ТГУ, 1975. - С. 51- 149.

92. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Науч. мир, 1999. - 246 с.

93. Ворович И.И., Кадомцев И.Г. Качественное исследование напряженно-деформированного состояния трехслойной плиты // Прикл. математика и механика -1970. Т. 34. Вып. 5. - С. 870-876.

94. Ворович И.И., Кадомцев И., Устинов Ю.А. К теории неоднородных по толщине плит// Изв. АН СССР. МТТ.- 1975.- №3.-С. 119-129.

95. Ворович И.И., Малкина О.С. Асимптотический метод решения задачи теории упругости о толстой плите // Тр. VI Всесюз. конф. по теории оболочек и пластин. -М.:Наука, 1966. -С.251-254.

96. Ворович И.И., Шленев М.А. Пластины и оболочки // Механика-1963. Итоги науки. -М.: ВИНИТИ, 1965.-С. 91-177.

97. Гаврилов Ю.М. Энергетическая и графоаналитическая трактовка составляющих перемещений чистого и стесненного сдвига коротких балок // Прикл. механика. -1970.-Т. 6, вып. 5.-С. 99-107.

98. Галеркин Б.Г. Упругие прямоугольные и треугольные свободно опертые толстые плиты, подверженные изгибу // ДАН СССР.- 1931. Т. 18, № 10. - С. 273-280.

99. Галимов Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 1990.-136 с.

100. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1967. - Вып. 5. - С. 66-92.

101. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1970. - Вып. 6-7. - С. 23-64.

102. Геворкян P.C. Асимптотика пограничного слоя для одного класса краевых задач анизотропных пластин. // Изв. АН Арм. ССР, Механика. 1984. - Т. 37, №6. - С. 315.

103. Геракович К. Т. Кромочные эффекты в слоистых композитах // Прикладная механика композитов: Сб. статей 1986-1988 гг. Пер. с англ. М.: Мир, 1989. С. 295341.

104. Гогиа А. А. Описание системы программ для расчета пластин и цилиндрических оболочек по теории И.Н.Векуа // Докл. расшир. заседания семин. ин-та прикл. матем. им. И.Н.Векуа. Тбилиси, 1989. - Вып. 4, №2. - С. 57-60.

105. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. - 392 с.

106. Гольденвейзер АЛ. К теории изгиба пластинок Рейсснера // Изв. АН СССР. ОТН. -1958.-№4.-С. 102-109.

107. Гольденвейзер АЛ. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикл. математика и механика. 1962. -Т.26, вып.4. - С. 668-686.

108. Гольденвейзер АЛ. Общая теория упругих тел (оболочки, покрытия, прокладки) // Известия РАН. МТТ. 1992, № 3. - С. 5-17.

109. Гольденвейзер A.JI. О внутреннем и краевом расчетах тонких упругих тел // Прикл. математика и механика. 1995. - Т. 59, вып. 6. - С. 1019-1032.

110. Гольденвейзер АЛ. О приближенных методах расчета тонких упругих пластин и оболочек //Изв. РАН. МТТ. 1997. -№3. - С. 134-149.

111. Гольденвейзер АЛ. Замечания о статье В.В. Васильева «Об асимптотическом методе обоснования теории пластин» //Изв. РАН. МТТ. 1997. - №4. - С. 150-158.

112. Гольденвейзер АЛ., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейснера // Изв. АН СССР. МТТ.- 1990.- №6.-С. 124-138.

113. Гольденвейзер АЛ., Колос A.B. К построению двумерных уравнений теории упругих тонких пластин // Прикл. математика и механика. 1965. - Т.29, вып.1. - С. 141-155.

114. Гондлях A.B. Итерационно-аналитическая теория деформирования многослойных оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. -Киев: Будивельник, 1988.-№53.-С. 33-57.

115. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластин и оболочек: Справочник. Киев: Наук, думка, 1964.-288 с.

116. Горбачев В.И. Об одном подходе к решению задач теории упругости для длинной неоднородной по ширине анизотропной полосы // Упругость и неупругость. 4.2. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 35-39.

117. Горбачев В.И., Победря Б.Е. Об упругом равновесии неоднородных полос // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - №5. - С. 111-118.

118. Горбачев В.И., Симаков В.А. Задача о равновесии неоднородной полосы // Веста. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. - №4. - С. 66-70.

119. Горбачев В.И., Симаков В.А. Операторный метод решения задачи о равновесии неоднородной анизотропной полосы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. -№5.-С. 63-68.

120. Горбачев В.И., Симаков В.А. Операторный метод решения задач о равновесии упругой неоднородной анизотропной плиты // Изв. АН СССР. МТТ. 2004. - №2. -С. 55-118.

121. Горбачев В.И., Толстых О.Ю. Об одном подходе к построению технической теории неоднородной анизотропной балки // Изв. АН СССР. МТТ. 2005. - №6. - С. 137— 144.

122. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. М.: Стройиздат, 1984. - 679 с.

123. Горделиани Д.Г. О точности одного варианта теории тонких оболочек // Докл. АН СССР. 1974. - Т.216, №4. - С. 751-754.

124. Горделиани Д.Г., Евсеев Е.Г, Комуджишвили О численных расчетах некоторых пластин и оболочек на основе теории акад. И.Н.Векуа // Тр. X Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин, Кутаиси, 1975 г. -Тбилиси, 1975.-Т.1.-С. 63-66.

125. Горделиани Д.Г. , Самарский A.A. Некоторые задачи термоупругости пластин и оболочек и метод суммарной аппроксимации // В сб.: Комплексный анализ и его приложения. -М.: Наука, 1978.-С. 173-186.

126. Горынин Г.Л. Продольно-поперечный изгиб стержня под действием периодической нагрузки//Исследования по статистической радиотехнике, дифференциальным уравнениям и алгебре: Сб. научн. тр./ИИТПМ СО РАН. Омск, 1992. - С. 81-84.

127. Горынин Г.Л. Кубическая теория поперечного изгиба перфорированной балки/ОмГУ. Омск, 1995.- 18 с.-Деп. в ВИНИТИ, №1049.-В-95.

128. Горынин Г.Л. Распространение теории Тимошенко, учитывающей влияние сдвига, на случай перфорированных балок // Материалы междунар. науч.-практ. конф. «Город и транспорт». Омск: СибАДИ, 1996. - Ч. II. - С. 139-141.

129. Горынин Г.Л. Учет влияния сдвига на динамику перфорированной балки// Сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмГТУ, 1997. - Кн. 1. - С. 90-95.

130. Горынин Г.Л. Расчет плиты сводчатого поперечного сечения на действие локальной нагрузки // Механика процессов и машин: Сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2000. -С. 91-93.

131. Горынин Г.Л. Расчет слоистой стойки на продольно-поперечную нагрузку//Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии: Сб. материалов III Междунар. науч.-техн. конф. Тула: ТулГУ, 2002. - С. 22-23.

132. Горынин Г.Л. Асимптотическая теория продольно-поперечного изгиба композитных балок в трехмерной постановке // Образование, наука и техника: XXI век: Сб. науч. статей /Югорский гос. ун-т. Шадринск: Изд-во ПО «Исеть», 2003. -С. 95-105.

133. Горынин Г.Л. Расчет слоистых балок-стенок // Труды НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 2003. - Т. 6, №6(27). - С. 164-170.

134. Горынин Г.Л. Асимптотическая теория расчета композитных балок на упругом основании в трехмерной постановке// Известия вузов. Нефть и газ. 2004. -№ 3. - С. 89-96.

135. Горынин Г.Л. Метод асимптотического расщепления в задачах изгиба предварительно деформированных композитов // Вестник Тюменского государственного университета. 2005. - № 1. - С. 42-50.

136. Горынин Г.Л. О структуре пограничного слоя в слоистых плитах // Образование, наука и техника: XXI век Сб. науч. статей. Выпуск 3/ Сост. O.A. Яворук. - Ханты-Мансийск: ЮГУ, 2005. - С. 78-87.

137. Горынин Г.Л. Расчет высокочастотных колебаний слоистой балки в трехмерной постановке // Труды 2 Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 01-03 июня 2005 г. Часть 1. Самара: СамГТУ, 2005. - С. 88-91.

138. Горынин Г.Л., Каменцев Д.В. Анализ пространственного напряженного состояния слоистой балки // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докладов V-ro Всероссийского семинара. Новосибирск: НГАСУ, 2005. С. 92-100.

139. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Пространственные задачи изгиба и кручения слоистых конструкций. Метод асимптотического расщепления. Новосибирск: Наука, 2004.-408 с.

140. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Расчет напряженного состояния слоистых балок произвольного поперечного очертания // Докл. III Всерос. конф. «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. -С.152-153.

141. Горынин ГЛ., Немировский Ю.В. Асимптотический метод расчета композитных балок в плоской постановке // XXIII Российская шк. по проблемам науки и технологий. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - С. 6-9.

142. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Пограничный слой в слоистом стержне // Научный вестник НГТУ. -2004. -№ 1(16). С. 21-36.

143. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Метод асимптотического расщепления пространственной теории слоистых пластин // Физическая мезомеханика. 2004. -№7, спец. выпуск, часть 1. - С. 31-34.

144. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Продольно-поперечный изгиб слоистых балок в трехмерной постановке // Прикл. механика и техн. физика. 2004. - Т. 45, № 6 . - С. 133-143.

145. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Метод асимптотического расщепления в задачах изгиба слоистых балок на упругом основании // Известия вузов. Строительство. -2004.-№ 12.-С. 4-10.

146. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Методы расчета слоистых конструкций в пространственной постановке (пленарный доклад) // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докладов V-ro Всероссийского семинара. Новосибирск: НГАСУ, 2005. С. 100-109.

147. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Асимптотический анализ пространственной задачи теории упругости для круглых и кольцевых слоистых пластин // Вестник СамГУ. Естественно-научная серия. 2005. - № 2(36). - С. 92-105.

148. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. О пространственных краевых эффектах в слоистых плитах // Труды XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов: СГТУ, 2005. - С. 80-90.

149. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Поперечные колебания слоистых балок в трехмерной постановке // Прикладная механика. 2005. - Т. 41(51), № 6. - С. 56-72.

150. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Методы расчета основного и пограничного напряженных состояний слоистых конструкций в пространственной постановке // Известия вузов. Строительство. 2006. -№ 1 - С. 4-13.

151. Гофман М.Н., Космодамианский A.C. Об установившихся крутильных колебаниях многослойного ортотропного вала // Прикл. механика. 1993. - Т. 29, № 11. - С. 3540.

152. Григолюк Э.И. Тонкие биметаллические оболочки и пластины // Инженерный сборник. 1953. - Вып. 17. - С. 69-120.

153. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикл. механика. 1972. - Т. 8, № 6. - С. 3-17.

154. Григолюк Э.И., Корнев В.М. Обоснование уравнений трехслойных пластин несимметричной структуры с жестким заполнителем // Инж. журн. МТТ. 1966. - № 6.-С. 89-97.

155. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. - 287 с.

156. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек // Механика композит, материалов. 1988. - № 2. - С. 287298.

157. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика деформируемых твердых тел. М.: ВИНИТИ, 1973.-273 с.

158. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. К.: Вища шк., 1982. - 352 с.

159. Гузь А.Н., Коханенко Ю.В. Краевые эффекты в композитах // Прикл. механика. -1995.-Т. 31, № 3. С. 3-23.

160. Гуляев В.И., Чибиряков В.К. Численное решение задач нестационарной термоупругости для пластины // В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наук, думка, 1973., - Вып. 13. - С. 97-101.

161. Гуртовой А.Г., Пискунов В.Г. Новые расчетные модели и сравнение приближенных уточненных моделей с точными решениями задач изгиба слоистых ортотропных пластин// Механика композитных материалов. 1988. -№ 1. - С. 79-84.

162. Гуртовой А.Г., Пискунов В.Г. О сравнительном анализе уточненных моделей слоистых ортотропных пластин // Прикл. механика. 1998. - Т.34, № 1. - С. 79-84.

163. Гусейн-Заде М.И. Построение теории изгиба слоистых пластинок // Тр. VI Всесюз. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. - С. 367-378.

164. Гусейн-Заде М.И. Асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений тонкой пластинки // Прикл. математика и механика. 1974. - Т.38, вып. 6. - С. 10721078.

165. Гусейн-Заде М.И. Асимптотический анализ граничных и начальных условий в динамике тонких пластинок // Прикл. математика и механика. 1978. - Т.42, вып. 5. -С.899-907.

166. Гусейн-Заде М.И. Напряженное состояние погранслоя для слоистых пластинок // Тр. VII Всесюз. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1970. - С. 638-643.

167. Гусейн-Заде М.И. О необходимых и достаточных условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости // Прикл. математика и механика. 1965. - Т.29, вып. 4. - С. 752-759.

168. Гюнтнер А.Ф. Расчет круглой пластинки переменной толщины на кососимметричную нагрузку по методу И.Н.Векуа // Изв. Тбилис. НИИ сооруж. и гидроэнерг. 1971. - Вып. 21, №55. - С. 65-66.

169. Гюнтнер А.Ф. Расчет пластинок на упругом основании по теории оболочек И.Н.Векуа // Сообщения АН ГрузССР. 1972. - Вып.66, №2. - С. 353-356.

170. Даревский В.М. О статических граничных условиях в классической теории оболочек и пластин //Изв. РАН.МТТ.- 1995.-№4.-С. 129-132.

171. Демчук О.Н. Расчет слоистых оболочек и пластин на основе сдвиговой теории итерационного типа//Пробл. прочности, 1988.-№ 1.-С. 100-106.

172. Джакалья Г.Е. Методы теории возмущения для нелинейных систем. М.: Наука, 1979.-320 с.

173. Джанелидзе Г.Ю. Определение перерезывающих сил при изгибе опертых тонких пластин //Прикл. математика и механика. 1946.-Т.10, вып.2.-С. 221-228.

174. Джанелидзе Г.Ю. Принцип Сен-Венана (к столетию принципа) // Тр. Ленингр. политехи, ин-та- 1958. №192. - С. 7-20.

175. Джанелидзе Г.Ю. Задача Альманзи // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. Динамика и прочность машин. 1960. - №210. - С. 25-38.

176. Джилавян С.А. Температурные задачи анизотропных пластин с учетом поперечных деформаций // Матер. II Всесоюзн. научно-технич. конфер. Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов. Ереван, 1984. - Т.1.-С. 229-235.

177. Дерибас A.A. Физика упрочнения и сварки взрывом. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1972. - 188 с.

178. Добрачев В.М., Литвинов Е.В. Распределение напряжений в стенке-перемычке перфорированной балки // Изв. вузов. Строительство. 2002. -№10. - С. 124-128.

179. Доннелл Л.Г. Балки, пластины, оболочки. М.: Наука, 1982. - 567 с.

180. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1983.-Т.15.-С. 3-68.

181. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983. - 198 с.

182. Елисеев В.В. Механика упругих тел. Спб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. - 341 с.

183. Енджиевский JI.B., Юрченко A.A. Анализ алгоритмов определения прогибов стальных составных двутавровых балок с учетом деформации сдвига // Изв. вузов. Строительство. 2002. -№10. - С. 129-134.

184. Ерохин И.П. Исследование напряженного состояния в балках, составленных из материалов с разными модулями упругости // Тр. Ленингр. ин-та путей сообщения .Л.: ЛИИПС, 1938. вып. 5. - С. 20^6.

185. Жгенти B.C. Пограничный слой для уравнения равновесия тонкой пластинки И.Н.Векуа // В сб.: Комплексный анализ и его приложения. М.: Наука, 1978. - С. 228-236.

186. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин //Изв. РАН. МТТ. -1992. №3. - С. 48-64.

187. Жилин П.А. О классической теории пластин и преобразовании Кельвина-Тэта //Изв. РАН. МТТ.-1995.-№4.-С. 133-139.

188. Жилин П.А., Ильичева Т.П. Анализ применимости теории типа Тимошенко при сосредоточенном воздействии на пластинку //ПМТФ. 1984. — №1. — С. 150-156.

189. Зверяев Е.М. Анализ гипотез, используемых при построении теории балок и плит // Прикл. математика и механика. 2003. - Т. 67, вып. 3. - С. 472-481.

190. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975 . - 541 с.

191. Зино И.Е., Тропп Э.А. Асимптотические методы в задачах теплопроводности и термоупругости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. - 224 с.

192. Иванов A.B., Чулков П.П. Учет поперечных деформаций заполнителя в задачах устойчивости трехслойных пластин с различными несущими слоями // Изв. АН СССР. МТТ. 1970.-№1.-С. 105-114.

193. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. -М.: Наука, 1978.-208 с.

194. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решения краевых задач. -М.: Наука, 1989.-336 с.

195. Карножицкий В.П., Ингульцов В.Л. Влияние температурных напряжений на устойчивость трехслойной панели крыла несимметричной структуры// Сб. ст.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. К.: Наук, думка, 1966. - Вып.6 - С. 205-212.

196. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 1951. - Т. 77, №1. - С. 11-14.

197. Кильчевский H.A. Анализ различных методов приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным и исследование постановки краевых задач теории оболочек // Тр. П Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Киев, 1962. - С. 58-69.

198. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Изд-во АН УССР, 1963.-352 с.

199. Кирхгоф Г. Механика (Лекции по математической физике). М.: Изд-во АН СССР, 1962.-402 с.

200. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наук, думка, 1970.-240 с.

201. Ковальчук Л.М., Турковский С.Б., Пискунов Ю.В., Варфоломеев Ю.А., Ковальчук С.Л. Деревянные конструкции в строительстве. М.: Стройиздат, 1995. -248 с.

202. Колесников C.B. Уточненная теория колебаний многослойной ортотропной пластины // Прикл. математика и механика. 1993. - Т.57, № 5. - С. 160-165.

203. Колос A.B. Об уточнении классической теории изгиба круглых пластинок // Прикл. математика и механика. 1964. - Т. 28, вып. 3. - С. 582-588.

204. Колос A.B. Методы уточнения классической теории изгиба и растяжения пластинок // Прикл. математика и механика. 1965. - Т. 29, вып. 4. - С. 771-781.

205. Колпаков А.Г. К задаче теории балок с начальными напряжениями // Прикл. механика и техн. физика.-1992.-№ 6.-С. 139-144.

206. Колпаков А.Г. К задаче термоупругости неоднородных пластинок // Прикл. математика и механика. 1992. - Т.56, вып. 3. - С. 487-494.

207. Колпаков А.Г. Асимптотическая задача термоупругости балок // Прикл. механика и техн.физика.-1995.-Т.36. №5.-С. 135-144.

208. Колпаков А.Г. Дополнение к статье «К задаче термоупругости неоднородных пластинок» // Прикл. математика и механика. 1995. - Т.59, вып. 5. - С. 860-861.

209. Композиционные материалы: Справочник / Под общ. ред. В.В. Васильева и Ю.М. Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.

210. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1965. - 272 с.

211. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной механике. М.: Мир, 1972. - 274 с.

212. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 334 с.

213. Крылов Н.В., Шленов М.А. К теории плит И.Н.Векуа // Изв.АН СССР, МТТ. -1974. №6.-С. 154-158.

214. Кузьмич А.Н. Связанные колебания пластин и стержней // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1975. - Вып. XI. - С. 327-335.

215. Кулиш В.И. Клееные деревянные мосты с железобетонной плитой. М.: Транспорт, 1979.-160 с.

216. Кулиш В.И., Белуцкий И.Ю., Цуканов В.П. Приемы усиления приопорных зон клееных деревянных балок автодорожных мостов. Хабаровск: Хабаров, политех, ин-т, 1989.-95 с.

217. Кунташев П.А., Немировский Ю.В. О сходимости метода возмущений в задачах теории упругости неоднородных тел // Известия АН СССР. МТТ. 1985. - №3. -С.75-78.

218. Куршин JI.M. Обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек // Расчет пространственных конструкций. М.: Гос. изд-во по строительству, архитектуре и строит, матер, 1962. - Вып. 7. - С. 163-192.

219. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного -М.: Наука, 1965.-716 с.

220. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. -408 с.

221. Лампси Б.Б. Прочность двутавровых балок // Изв. вузов. Строительство. 1959. - № 1.-С. 10-13.

222. Лейбензои Л.С. Краткий курс теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1942.-304 с.

223. Лещенко А.П. Новые начала строительной механики тонкостенных конструкций. -М.: Стройиздат, 1995. 720 с.

224. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластины. -М.: Гостехиздат, 1957.-463 с.

225. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971.-240 с.

226. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 415 с.

227. Лехницкий С.Г. Упругое равновесие транверсально изотропного слоя и толстой плиты // Прикл. математика и механика. 1962. -Т.26. Вып. 4, С. 687-692.

228. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. - 215 с.

229. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. -398 с.

230. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир, 1982. - 542 с.

231. Лурье А.И. К теории толстых плит // Прикл. математика и механика. 1942. -Т.6, вып. 2,3.

232. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. -540 с.

233. Лурье А.И. Задача Митчелла // Строительная механика: Юбил. сб. статей к 80-летию И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1966. - 304 с.

234. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

235. Лурье С.А., Белов П.А. О корректности классической и прикладных теорий пластин // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. - Т. 3, № 1. - С. 96104.

236. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935. - 635 с.

237. Малинин H.H. Кто есть кто в сопротивлении материалов. М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2002.-248 с.

238. Манукян М.М., Саркисян B.C. Кручение призматических стержней, составленных из различных материалов с учетом нелинейной ползучести // Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат.наук. 1963. - Т. 16, № 3. - С. 65-82.

239. Манухин В.А., Постнов В.А. Построение гибридных конечных элементов для расчета пластинчатых конструкций // Известия РАН. МТТ. 1992. 3. С. 79-86.

240. Марчук A.B. Обобщение дискретно- и непрерывно-структурных подходов к построению математической модели расчета слоистых плит и массивов // Механика композит, материалов. -1996. Т. 32, № 3. - С. 377-387.

241. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965.-549 с.

242. Матвеев А.Д., Немировский Ю.В. Решение задачи изгиба неоднородных пластин методом виртуальных работ//Известия АН СССР. МТТ. 1986. - №4. - С. 174-183.

243. Матвеев А.Д., Немировский Ю.В. Построение устойчивых решений по методу конечных элементов и новых разностных отношений для задач кручения стержней и изгиба пластин // Известия СО АН СССР, сер. техн. наук. 1987. - Вып.З. - С. 110— 118.

244. Матвеев А.Д., Немировский Ю.В. Энергетический метод определения матрицы жесткости двумерных и трехмерных высокоточных элементов // Механика твердого деформируемого тела: Сб. статей. Томск: Изд-во ТГУ, 1988. - С. 95- 107.

245. Матвеев А.Д., Немировский Ю.В. Решение задачи изгиба анизотропных неоднородных пластин Кирхгофа методом виртуальных работ // Механика и моделирование технологических процессов. HAH Казахстана. 1994 . - №1. - С. 310.

246. Матвеев А.Д., Немировский Ю.В. Аналитическое построение матриц жесткости анизотропных неоднородных элементов высокого порядка трехмерной теории упругости // Прикладные задачи механики сплошных сред: Сб. статей. Воронеж: ВГУ, 1999.-С. 168-176.

247. Мелан Э, Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: Физматгиз, 1958. - 400 с.

248. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. -512 с.

249. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. - 247 с.

250. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. -400 с.

251. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

252. Муштари Х.М. Теория изгиба плит средней толщины // Изв. АН СССР, ОТН, Механ. и машиностроение. 1959. - №2. С. 107-113.

253. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Том I. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга (ИДМИ), 2002.-408 с.

254. Найфэ А. Методы возмущений. -М.: Мир, 1976.-455 с.

255. Недорезов П.Ф. Кручение многослойного полого вала касательными усилиями, распределенными по боковой поверхности (точное решение) // Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений, равновесии и колебании упругих тел. -1964.-С. 75-87.

256. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин //Механика полимеров. 1972. -№ 5. - С. 861-873.

257. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучивание конструктивно анизотропных и неоднородных оболочек и пластин // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1976. - Т.9. - С. 5-154.

258. Немировский Ю.В. Некоторые вопросы разрушения тонкостенных изгибаемых конструкций из армированных пластиков // Механика композит, материалов. 1979. -№ 2.-С. 326-330.

259. Немировский Ю.В. Разрушение армированных балок при комбинированном нагружении // Механика композиционных материалов (АН Латв. ССР, Рига). 1983. - № 4. - С. 674-682.

260. Немировский Ю.В. Проектирование многослойных равнопрочных плит // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докл. 1 межрегион, семинара. -Новосибирск: НГАСУ, 1996. С. 61-68.

261. Немировский Ю.В. Оптимальные и равнопрочные балки и арки в условиях ползучести // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докладов II Всеросс. семинара. Новосибирск: НГАСУ, 1997. - 4.2. - С. 33-38.

262. Немировский Ю.В. Равнопрочные слоистые стержни при гармонических нагружениях // Изв. вузов. Строительство. 1999. -№ 12. - С. 20-25.

263. Немировский Ю.В. Динамический изгиб упруго-пластических балок // Научный вестник НГТУ. 2001. -№ 1(10) - С. 75-86.

264. Немировский Ю.В. Синтез плоских ферменных композитных конструкций // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докладов IV Всеросс. семинара. Новосибирск: НГАСУ, 2002. - С. 274-281.

265. Немировский Ю.В. Мозаичное проектирование слоистых балок // Изв вузов. Строительство.-2002.-№ 10.-С. 14-19.

266. Немировский Ю.В. Мозаичное проектирование слоистых балок // В кн.: Проблемы механики тонких деформируемых тел. Институт механики HAH Армении. Ереван, 2002.-С. 241-250.

267. Немировский Ю.В., Богомолова O.A. Диагностика физико-механических характеристик материалов в конструкциях с многослойными покрытиями // В кн.: Наука производству. ИТПМ СО РАН. - Новосибирск, 2003. - №4(60). - С. 45-52.

268. Немировский Ю.В., Горынин Г.Л. Теория слоистых балок // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докладов IV Всеросс. семинара. -Новосибирск: НГАСУ, 2002. С. 264-274.

269. Немировский Ю.В., Горынин Г.Л. Расчет слоистых балок на поперечную нагрузку // Эффективные строительные конструкции: теория и практика: Сб. статей Междунар. науч -техн. конф. Пенза: ПГАСУ, 2002. - С. 239-246.

270. Немировский Ю.В., Кунташев П.А. О решении в напряжениях задачи термоупругости неоднородных тел по методу малого параметра // Прикл. математика и механика. 1985. - Т. 49, вып. 2. - С. 344-347.

271. Немировский Ю.В., Мищенко A.B. Синтез равнопрочных слоистых стержневых конструкций при гармонических воздействиях // В кн.: Неоднородные конструкции. Труды XXX Уральского семинара (УРО РАН). Екатеринбург, 2002. - С. 26-34.

272. Немировский Ю.В., Пятаев С.Ф. Триангуляция двумерной многосвязной области со сгущением и разрежением сетки. // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Сб. статей. Нижний Новгород: изд-во Нижегород. ун-та. 1998. -Вып. 59-С. 146-155.

273. Немировский Ю.В., Пятаев С.Ф. Автоматизированная триангуляция многосвязных областей со сгущением и разрежением узлов // Вычислительные технологии. ИВТ СО РАН. // 2000. Т.5, №2. - С. 82-91.

274. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1986. - 165 с.

275. Немировский Ю.В., Сакс Э.Э. О равнопрочных формах упругих круглых валов при сложном кручении // Машиноведение. 1972. -№ 1. - С. 103-109.

276. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Применение методов теории возмущений в задачах поперечного изгиба пластин с равнонапряженной арматурой // Механика композ. материалов и конструкций. 1997. - Т. 3, № 3. - С. 3-22.

277. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Численное интегрирование двумерных краевых задач с большими градиентами решения // Вычислительные технологии. ИВТ СО РАН. // 2000. Т.5, №4. - С. 82-96.

278. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное проектирование армированных конструкций. Новосибирск: Наука, 2002. - 488 с.

279. Немиш Ю.Н., Хома И.Ю. Напряженно-деформированное состояние нетонких оболочек и пластин. Обобщенная теория (обзор) // Прикл. механика. 1993. - Т. 29, № 11.-С. 3-33.

280. Нигул У.К. О применении символического метода А.ИЛурье к анализу напряженных состояний и двумерных теорий упругих плит // Прикл. математика и механика. 1963. - Т. 27, вып. 3. - С. 583-588.

281. Никольская H.A., Проскура A.B. Асимптотический вывод нелинейных уравнений изгиба тонких многослойных ортотропных пластин. //Вестник ЛГУ, Математика, Астрономия. Л. 1987, Деп. В ВИНИТИ. 10.03.87, №1714-В87

282. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

283. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек.-Л.: Политехника, 1991.-656 с.

284. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1991. -415 с.

285. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969. -695 с.

286. Огибалов П.М., Суворова Ю.В. Механика армированных пластиков. М.: Изд-во МГУ, 1965.-479 с.

287. Олейник O.A., Иосифьян Г.А. Принцип Сен-Венана для смешанной задачи теории упругости и его приложения // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 233, №5. - С. 824-827.

288. Остерник Э.Г. Анизотропные слоистые пластины средней толщины // Изв. АН АрмССР. Механика. 1967. -Т.20, №5. - С. 48-57.

289. Остерник Э.С. Экспериментальное исследование деформации нормали и способа осуществления краевых условий у слоистых пластин // Тр. VIII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. -М.: Наука, 1973.

290. Паймушин В.Н., Иванов В.И., Хусаинов В.Р. Анализ собственных колебаний трехслойной пластины с использованием для заполнителя уравнений теории упругости // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. - Т. 8, № 2.-С. 197-213.

291. Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем: Справочник. М.: Машиностроение, 1991.-270 с.

292. Панферов И.В. Несимметричная температурная смешанная задача для транверсально-изотропного упругого слоя // Прикл. математика и механика. 2001. -Т.65, вып. 6.-С. 1059-1064.

293. Панферов И.В. Равномерный нагрев и изгиб двухслойной пластины // Прикл. математика и механика. 2003. - Т.67, вып. 3. - С. 512-520.

294. Парцевский В.В. Расслоение в полимерных композитах. Обзор. // Изв. РАН. МТТ. -2003.-№5.-С. 62-94.

295. Патлашенко И.Ю. Анализ некоторых вариантов приближенных теорий расчета многослойных пластин // Прикл. механика. 1987. - Т. 23, № 7. - С. 67-72.

296. Папкович П.Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939. - 640 с.

297. Папкович П.Ф. Труды по строительной механики корабля, в 4-х т. Л.: Судпромгиз, 1962.

298. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы // Докл. АН СССР. 1940. - Т. 27, №4.

299. Папкович П.Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит // Прикл. математика и механика. 1941. - Т. 5, вып. 3. - С. 359-374.

300. Пелех Б.Л. Обобщённая теория оболочек. Львов: Изд-во Львов, госун-та, 1978. -159с.

301. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев: Наук, думка, 1982. - 295 с.

302. Петрашень Г.И., Молоткова Л.А. О колебаниях однородных и слоистых пластин // Теория оболочек и пластин: Сб. статей Ереван: АН АрмССР,1964. - С. 788-794.

303. Пикуль В.В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек. М.: Наука, 1977.- 151 с.

304. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.: Наука, 1985. - 182 с.

305. Пикуль В.В. К проблеме построения физически корректной теории оболочек // Известия РАН. МТТ. 1992, № 3. - С. 18-25.

306. Пискунов В.Г. Многослойные балки и пластины // Сб.: Метод конечных элементов. -Киев: Вищашкола, 1981.-С. 100-120.

307. Пискунов В.Г., Гриневицкий В.Г. Вариант сдвиговой аналитической модели напряженно-деформированного состояния неоднородных композитных балок // Механика композитных материалов. 2004. - Т. 40, № 5. - С. 633-645.

308. Пискунов В.Г., Рассказов А.О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек // Прикл. механика. 2002. - Т. 38, № 2. - С. 22-57.

309. Пискунов В.Г., Рябов А. Ф., Сидиков A.C. Уравнения колебаний многослойных пластинок // Расчет пространственных строительных конструкций. Куйбышев, 1971.-Вып. 2.-С. 40-46.

310. Пискунов В.Г., Сипетов B.C., Туйменов Ш.Ш. Изгиб толстой трансверсально-изотропной плиты поперечной нагрузкой // Прикл. механика. 1987. - Т.23, № 11.-С. 21-26.

311. Пискунов В.Г., Сипетов B.C., Туйменов Ш.Ш. Решение задач статики для слоистых ортотропных плит в пространственной постановке // Прикл. механика. -1990. -Т.26, № 2. С. 41-49.

312. Плеханов A.B. О построении теории изгиба многослойных пластин средней толщины // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1977. - № 31. -С. 67-72.

313. Плеханов A.B. Об уточнении напряженного состояния анизотропных пластин // Изв. вузов. Строительство. 1997. -№ 3. - С. 19-23.

314. Плеханов A.B., Прусаков А.П. Об одном асимптотическом методе построения теории изгиба пластин средней толщины // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - №3. - С. 84-90.

315. Плешков П.Ф. Теория расчета деревянных составных стержней. Л.: Стройиздат, 1962.-230 с.

316. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов.- М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

317. Победря Б. Е. Принципы вычислительной механики композитов // Механика композитных материалов. 1996. - Т. 32, № 6. - С. 729-746.

318. Поляков В. А., Жигун И.Г., Хнтров В.В. Оценка напряжений в зоне кромочного эффекта при растяжении слоистых композитов // Механика композитных материалов. 1987.-№5.-С. 787-796.

319. Поляков В. А., Перов Ю.Ю. Экспериментальные методы оценки кромочного эффекта. Обзор // Механика композитных материалов. 1989. -№ 2. - С. 318-331.

320. Помази Л.П. Об устойчивости многослойных пластин // Изв. вузов. Машиностроение. 1966. - № 2. - С. 29-34.

321. Понятовский В.В. К теории пластин средней толщины // Прикл. математика и механика. 1962. - Т. 26, вып. 2. - С. 335-341.

322. Понятовский В.В. К теории изгиба анизотропных пластинок // Прикл. математика и механика. 1964. - Т. 28, вып. 6. - С. 1033-1039.

323. Понятовский В.В. Уточненная теория трансверсально-изотропных пластин // Прикл. математика и механика. 1967. - Т. 31, вып. 6. - С. 72-92.

324. Понятовский В.В. Применение асимптотического метода интегрирования к задаче равновесия тонкого бруса, произвольно нагруженного по боковой поверхности // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. -№ 5. - С. 139-143.

325. Понятовский В.В. Уравнения теории слоистых пластин // Прикл. математика и механика. 1968. - Т. 32, вып. 7. - С. 53-61.

326. Понятовский В.В. Уравнения теории анизотропных пластинок // Исследования по теории упругости и пластичности. Л.: Изд. Ленинград, госун-та, 1965. - №4. - С.З-28.

327. Понятовский В.В. Асимптотические разложения в линейной теории плоских стержней // Проблемы механики твердого деформируемого тела: Сб. статей. Л.: Судостроение, 1970.-С. 341-351.

328. Понятовский В.В. Вывод уравнений тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля из уравнений теории упругости методом асимптотического интегрирования // Исслед. по упругости и пластичности. Л.: ЛГУ, 1980. - Вып. 13. - С. 40-48.

329. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 342с.

330. Присекин В.Л., Пустовой Н.В. Уравнения изгиба многослойных пластин // Науч. вестн. НГТУ. 1996. -№ 2. - С. 69-77.

331. Присяжнюк В.К., Пискунов В.Г. Учет поперечного обжатия в задачах изгиба многослойных ортотропных пластин // Прикл. механика. 1986. - Т. 22, № 7. - С. 6672.

332. Прокопов В.К. Применение символического метода к выводу уравнений теории плит //Прикл. математика и механика. 1965.-Т. 29, вып. 5. - С. 902-919.

333. Прокопов В.К., Груздев Ю.А. Полимоментная теория равновесия толстых плит // Прикл. математика и механика. 1968. - Т. 32, вып. 2. - С. 344-352.

334. Прохоров В.К. Применение символического метода к выводу уравнений теории плит // Прикл. математика и механика. 1965. - Т. 29, вып. 5. - С. 902-919.

335. Прусаков А.П. О построении теории изгиба пластин средней толщины энергоасимптотическим методом // Прикл. механика. 1975. - Т. 11, № 10. - С. 44-51.

336. Прусаков А.П. К теории изгиба слоистых плит // Прикл. механика. 1997. - Т. 33, № 3. - С. 64-70.

337. Прусаков А.П. О построении погранслоя для пологой оболочки энергоасимптотическим методом // Прикл. механика. 2000. - Т.36, вып. 1. - С. 99104.

338. Прусаков А.П., Миличенко С.А. Об одной итерационной теории существенно неоднородных пластин // Расчеты элементов конструкций. Трехслойные пластины и оболочки. -М.: Машиностроение, 1985.-С. 189-200.

339. Прусаков А.П., Растеряев Ю.К. Изгиб, устойчивость и колебания многослойных пластин несимметричного строения // Тр. VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин,Днепропетровск, 1969. -М., 1970.-С.518-523.

340. Пустовой Н.В., Расторгуев Г.И. Оптимальное проектирование стержней и подкрепленных пластин на основе минимизации энергии деформации. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. 317 с.

341. Работнов Ю.Н. Механика композитов // Вестн. АН СССР. 1979. -№ 5. - С. 50-58.

342. Рассказов А.О., Соколовская И.И. Экспериментальное исследование статики и динамики многослойных пластин // Прикл. механика. 1981. - Т. 17, № 2. - С. 65-70.

343. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга H.A. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. Киев: Вища шк., 1986. - 192 с.

344. Расчеты элементов авиационных конструкций. Трехслойные пластины и оболочки / Под ред. А.Я. Александрова и др. М.: Машиностроение, 1985. - 203 с.

345. Раппопорт P.M. Задача Буссинеска для слоистого упругого полупространства // Тр. Ленинград, политехи, ин-та им. М.И. Калинина. Л., 1948. - Вып. 5. - С. 3-18.

346. Раппопорт P.M. Расчет балок, составленных из материалов с различными механическими характеристиками// Тр. Ленинград, политехи, ин-та им. М.И. Калинина. Л., 1948. - Вып. 5. - С. 52-74.

347. Раппопорт P.M. Некоторые задачи теории изгиба толстых многослойных плит // Известия Всесоюз. научно-исследов. ин-та. -1970. т. 80. - С. 76-100.

348. Раппопорт P.M. К теории расчета слоистых плит // В сб.: Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1970. - Вып. ХШ. - С. 82-98.

349. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. М.: Стройиздат, 1986. - 130 с.

350. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.-589 с.

351. Розендент В.Я. Экспериментальное исследование и выбор параметров трехслойной балки при поперечном изгибе // Тр. Калинингр. техн. ин-та рыбной промышленности. -1962.- Вып. XVI.

352. Роменская Г.И., Шленев М.А. Асимптотический метод решения трехмерной задачи о транверсальноизотропной плите // Тр. IX Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1975. - С. 85-88.

353. Руководство по проектированию стальных балок с перфорированной стенкой. -М.: ЦНИИПСК, 1978.

354. Сапонджян О.М. Изгиб тонких упругих плит. Ереван: Айастан, 1975.-435 с.

355. Сапонджян О.М. Принцип Сен-Венана для смещений // Известия АН АрмССР. Механика.-Т. XXII, №2.

356. Саркисян B.C. Кручение многослойных призматических стержней прямоугольного поперечного сечения с учетом линейной ползучести // Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук. 1959. - № 4. - С. 35-55.

357. Саркисян B.C. Изгиб составных призматических стержней // Докл. АН АрмССР. -1964. Т.39, № 4. - С. 207-216.

358. Саркисян B.C. Кручение неортотропных составных призматических стержней // Докл. АН АрмССР. 1965. - Т.40, № 2. - С. 81-87.

359. Саркисян B.C. Кручение анизотропных (неортотропных) составных валов переменного диаметра //Докл. АН АрмССР. 1968. - Т.47, № 4. - С. 208-213.

360. Саркисян С.О. Асимптотическая теория и вариационное уравнение задачи изгиба упругой тонкой пластинки по моментной теории упругости // Докл. HAH Армении. -1999.-Т. 99, №3.-С. 216-225.

361. Саркисян С.О., Фарманян А.Ж. О пограничном слое пластинки по моментной теории упругости // Прикладные и математические аспекты естествознания: Матер, междунар. конф. Ереван: Ноян Топан, 1999. -Т.З. - С. 51-55.

362. Светлицкий В.А. Механика стержней: В 2 ч. М.: Высшая школа, 1987. - 317с.

363. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. - Т. I. - 536 с.

364. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. /Под ред. и со вступ. статьей Г.Ю. Джанелидзе. Сер. «Классики естествознания». М.: Физматгиз, 1961.-518с.

365. Симонян A.M., Саноян Ю.Г. Об особенностях сопротивления слоистых композитов температурным воздействиям // Изв. АН СССР. МТТ. 2005. - №6. - С. 130-136.

366. Синицын E.H. Выпучивание пластины из слоистого стеклопластика под действием продольных сил // Изв. вузов. Машиностроение. 1966. - № 10. - С. 20-24.

367. Сипетова Н.Г. Сопоставление некоторых уточненных моделей расчета многослойных пластин // Расчет пространственных строительных конструкций. -Куйбышев, 1987.-С. 115-118.

368. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978.- 192 с.

369. Сметанкина Н.В., Сотрихин С.Ю., Шупиков А.Н. Динамика многослойных пластин при импульсном и ударном нагружении // Тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1994.-Т.З.-С. 180-185.

370. Смирнов А.Ф., Александров A.B. и др. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1968.-600 с.

371. Спигирев В.Ф. Вариант математической теории многослойных оболочек и пластин // Теория и методы исследования пластин и оболочек сложной формы. Казань, 1987. -С. 90-95.

372. СниП Н-23-81* Стальные конструкции/Госстрой СССР. М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1990.-96 с.

373. Соболев C.J1. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 230 с.

374. Сриниваз, Йога Pao Некоторые результаты точного расчета толстых многослойных плит при колебаниях и выпучивании // Прикл. механика. 1970. - Т. 6 № 3. - С. 295296.

375. Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В., Яровая A.B. Колебания круглых трехслойных пластин под действием поверхностных нагрузок различной формы // Проблемы прочности. 2003. - № 4. - С. 32-39.

376. Тамплон Ф.Ф., Некрасов В.К. Трехслойные пластины с предварительно напряженными обшивками // Тр. III междунар. конф. по предварительно напряженным конструкциям. 1968. - С. 423-429.

377. Тарнопольский Ю.М., Розе A.B. Искривление поперечных сечений при деформировании ориентированных стеклопластиков // Механика полимеров. 1965. - № 5. - С. 107-113.

378. Тарнопольский Ю.М., Розе A.B., Поляков В.А. Учет сдвигов при изгибе ориентированных стеклопластиков // Механика полимеров. 1965. 2. - С. 38-46.

379. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек // Прикл. математика и механика. 1962. - Т. 26, вып. 2. - С. 346-350.

380. Терегулов И.Г. Расчет пластинок из ориентированного пластика // Труды VI Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. М.: Наука, 1966. - С. 799-803.

381. Терегулов И.Г. К теории многослойных анизотропных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970. - Вып. 6-7. - С. 762— 767.

382. Терегулов И.Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1984. - 472 с.

383. Тетере Г.А. Пластинки и оболочки из полимерных и композиционных материалов: (Обзор) // Механика полимеров. 1977. -№ 3. - С. 486-493.

384. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.-635с.

385. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1965.-T. I.-364 с.

386. Тимошенко С.П. Теория упругости. M., JL: ОНТИ, ГТТИ, 1934. - 452 с.

387. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. - 444 с.

388. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. М.: Наука, 1957. -344 с.

389. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.-724 с.

390. Трусделл К. Очерки по истории механики. М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2002.-316 с.

391. Ульяшина А.Н. Напряженно-деформированное состояние ортотропных слоистых плит // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. -№ 1. - С. 145-154.

392. Устинов Ю.А. Некоторые свойства однородных решений неоднородных плит // ДАН СССР.- 1974.-Т. 216, №4. -С. 755-758.

393. Устинов Ю.А. О структуре погранслоя в слоистых плитах // ДАН СССР 1976. -Т. 229, №4.-С.325-328.

394. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе // Прикл. математика и механика. 1973. -Т. 37, вып. 4.-С. 706-714.

395. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Наука, 1963.-367 с.

396. Филин А.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1978.-Т.Н.-616 с.

397. Филиппов АЛ. Колебания деформируемых систем. М.: Физматгиз, 1970. -734 с.

398. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Гостехиздат, 1947. - 300 с.

399. Фирсанов В.В. Об уточнении классической теории прямоугольных пластинок из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. - Т. 8, № 1. - С. 28-64.

400. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1965.-T.I.-606 с.

401. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966.-T.III.-656 с.

402. Хатиашвили Г.М. Задача Альманси-Митчеля для составного бруса // Тр. вычисл. центра ГрузССР. 1961. - Т. II. - С. 213-239.

403. Хачатрян Т.Т. К теории изгиба и сжатия толстых плит // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.мат.наук. 1963. - Т. 16, №6.

404. Хома И.Ю. О краевых задачах теории пластин И.Н.Векуа при учете моментов второго порядка // Прикл. механика. 1972. - Т.8, №4. - С.77-85.

405. Хома И.Ю. Общее решение системы уравнений равновесия изгиба пластин теории И.Н.Векуа в третьем приближении //Доклады АН УРСР, сер.А. 1972. - №1. - С.83-86.

406. Хома И.Ю., Медведев З.А. Об общем решении уравнений равновесия пластин из материалов с тонкой слоистой структурой // Прикл. механика. 1985. - Т. 21, С. 7079.

407. Хомич В.М. Определение прогибов стальных двутавровых балок с учетом деформаций сдвига: Межвуз. тематич. сб. тр. // Металлические конструкции и испытание сооружений. -JI.: ЛИСИ, 1979. С. 95-99.

408. Хорошун Л.П. О построении уравнений слоистых пластин и оболочек // Прикл. механика.-1978.-Т. 14, № 10.-С.3-21.

409. Хорошун Л.П. Концепция смеси в построении теории слоистых пластин и оболочек //Прикл.механика.-1985.-Т.21, № 10.-С. 110-118.

410. Хорошун Л.П., Бабич Д.В. Термоупругость слоистых пластин и оболочек с конечной сдвиговой жесткостью // Тепловые напряжения в элементах конструкций. -Киев: Наук, думка, 1980. № 20. - С. 10-15.

411. Хрджиянц И.Ф. Плита И.Н.Векуа на упругом основании // В кн.: Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1978. - С. 50-58.

412. Чен К., Джиблин П., Ирвинг A. MATLAB в математических исследованиях. М.: Мир, 2001.-346 с.

413. Чибиряков В.К., Смоляр A.M. Напряженно-деформированное состояние кусочно-неоднородных пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений. -1986. -№48.-С. 48-53.

414. Чебонян К.С. Напряжения в составных упругих телах. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1987.-338 с.

415. Шалдырван В.А. Об одном варианте построения уточненных теорий изгиба транстропных плит // Изв. АН АрмССР. Механика. 1980. - Т. 33, № 2. - С. 55-63.

416. Шерман Д.И. Плоская деформация в изотропной неоднородной среде // Прикл. математика и механика. 1943. - Т. VII, вып. 4. - С. 301-309.

417. Ширинкулов Т.Ш. Изгиб неравномерно нагретых составных анизотропных пластин // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела. Алма-ата: Гылым, 1992.-Ч.З.-С. 165-176.

418. Шленев М.А. Асимптотический метод решения краевых задач теории плит И.Н.Векуа // Мат. 1 Всесоюзн. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. - С. 269-289.

419. Шойхет Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры // Прикл. математика и механика. 1973. - Т. 38, вып. 5. - С. 914-924.

420. Шулькин Ю.В. Теория упругих стержневых конструкций. М.: Наука, 1969. - 269 с.

421. Щуко В.Ю., Репин В.А. Повышение надежности работы армированных деревянных балок на действие сдвигающих усилий // Эффективные строительные конструкции: теория и практика: Сб. статей Междунар. науч.-техн. конф. Пенза: ПГАСУ, 2002. -С.333-339.

422. Ahmed К. Stability of multilayered composite plates // Fibre Sci. and Technol. 1975. -№8.-P. 81-89.

423. Almansi E. Sopra la deformazione dei cylindri sollecitati lateralmente // Rendiconti della Reale Accad. dei Lincei. 1901. - Ser. 6, №10. - P. 333-338; 400-408.

424. Bensonssan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures// Studies in mfth. And appl. Amsterdam: North-Holland, 1978. - V. 5. - 700 p.

425. Bernoulli J. Veritable hypothese de la resisrance des solides, avec la demonstration de la courbure des corps, qui font resort, 1705, Qeuvres compl Geneve, 1744. - T. 2.

426. Cauchy A. Sur l'equilibre et le mouvement d'une plaque solide.- Dans: Exercice de mathematique, 1828,3.

427. Clebsch A. Theorie de l'elasticite des corps solides. Paris, 1883 (с комментариями Б. Сен-Венана).

428. Choi, Horgan G.O. Sant-Venant's principal and end effects in anisotropic elasticity // Trans ASME: J. Appl. Mech. 1970. - Vol. 40, №2. - P. 606-607.

429. Chow T.S. Theory of unsymmetric laminated plates // J. Appl. Phisics. 1975. - Vol. 46, №1.-P. 219-221.

430. Di Sciuva Marco Geometrically nonlinear theory of multilayered plates with interlayer slips//AIAAJ.- 1997.-Vol.35, №11.-P. 1753-1759.

431. Donnell L. Discussion on paper by E. Reissner // Journal Appl. Mech., Trans. ASME. -1946. Vol. 13, №3 - P. 249-250.

432. Donnell L., Drucker D., Goodier J.N. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Trans. ASME. 1946. - Vol. 68. - P. A249-A252.

433. Friedrichs K.O., Dressier R.F. A boundary-layer theory for elastic plates // Comm. Pure and Appl. Math. 1961. - Vol.14, №1.

434. Green A.E. On the linear theory of thin elastic shells // Proc. Roy. Soc. 1962. - A 266 №1325.-pp. 143-160. (Русск. пер. в журн. «Механика, Период. Сб. пер. иностр. статей» 1963, №2)

435. Hanna N.F., Leissa A.W. A higher order shear deformation theory for the vibration of thick plates // J. Sound and Vibr. 1994. - Vol. 170, №4. - P. 545-555.

436. Hencky H. Uber die Berucksichugung der Schubverzerrung in ebenen Platten // Ing. Arch. 1947. Bd. 16.H. l.-S. 72-76.

437. Herakovich C. Composite laminates with negative through-the-thick-ness poisson's ratios //J. Composite Materials. 1984. - Vol. 18 - P. 447.

438. Jones R.M., Morgan H.S., Whitney J.M. Buckling and vibration of antisymmetrically laminated angle ply rectangular plates // Trans. ASME. 1973. - Vol. 40, №4 - P. 11431144.

439. Khatua T.P.,Cheung Y.K. Bending and vibrations of multilayer sandwich beams and plates // Int. Journ. Numer Meth. Eng. 1973. - №1. - P. 5-10.

440. Kicher T.P., Mandel J.F. A study of the buckling laminated composite plates // AIAA Journal. -1971.-Vol. 9, №4. -P. 605-613.

441. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe//J. reine und angew. Math. 1850. Bd. 40.1. S. 51-88.

442. Librescu L., Reddy J. A few remarks concerning several refined theories of anisotropic composite laminated plates // Int. J. Eng. Sci. 1989. - Vol. 27, №5. - P. 515-527.

443. Matveyev S.A., Nemirovsky Yu.V. The general theory of thermoelastic multilayers road plates, reinforced with geosyntetic materials // Proc. Of the 3-th European Geosyntetics Conference. Munich, Germang, 2004. - V.II. - P.739-744.

444. Mau S.T. A refined laminated plate theory // Trans ASME: J. Appl. Mech. 1973. - Vol. 40, №2. - P. 606-607.

445. Michell I.H. The Theory of Uniformly Loaded Beams // Quart. Journ. Math. 1900. -№32.-P. 28-42.

446. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on Flexural motions of isotropic elastic plates//J. Appl. Mech. 1951. V.18. No. 1. P. 31-38.

447. Morgenstern D. Herleitung der Plattens theories aus der dreidimensionalen Elastizitatstheorie //Archiv. Ration/ Mech. And. Analisis, 1959. №. 4.

448. Morgenstern L. Bernoullische hypothesen bei balken und Plattentheorie //ZAMM, 1959. vol. 39.

449. Navier, Resume des lecons, donnees a l'ecole des ponts et chausses sur l'application de la mecanique a Petablissement des constructions et des machines. Paris, 1-изд. 1826, 2-е изд. 1833,3-е изд. 1864 (с комментариями Б. Сен-Венана).

450. Nemirovsky Yu.V. On bending and vibration of reinforced and bireinforced elastic and vibroelastic shells HZ. Angew, Math, und Mech. 1972 - Vol. 52, № 10. P. 327-331.

451. Nemirovsky Yu.V., Gorynin G.L. The theory of the layered beams under the action of cross loading//Advanced Studies in Mechanical Engineering. Yeungnam University, Korea, 2002.-P. 9-16.

452. Noor A.K., Burton W.S. Three-dimensional solutions for antisimmetrically laminated anisotropic plates //J. Appl. Mech. ASME. 1990. - V.57. - P. 182-187.

453. Pagano N.J. Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending // J.Comput. Mater. 1969. - № 3. - P.398-411.

454. Pagano N.J. Exact solution for rectangular bidirectional composities sanlwich plates // J. Comput. Mater. 1979. -№ 4. - P.20-34.

455. Pagano N.J. ,HatfleIds S.J. Elastic behaviour of multilayered bidirectional composites // A1AA J. 1972. - V.10, №7. - P. 931-933.

456. Phan N.D., Reddy J.N. Analysis of laminated composite plates using a higher-order shear of deformation theory // Int. J. Numer. Math. Eng. 1985. - Vol. 21, №12. - P. 22012219.

457. Poisson S. Sur l'equilibre et ie mouvement des corps elastiques//Mem. L'Acad. Sci. Paris. -1829. 8. - P.357-570,623-627.

458. Reddy J.N. A review of refined theories of laminated composite plates// Snock. Vibr. Dig. -1990.-№22.-P. 3-17.

459. Reddy J.N., Khdeir A.A. Buckling and vibration of laminated composite plates using various plate theories//AIAA J.- 1989.-Vol. 27, №12.-P. 184-191.

460. Reismann H. Elastic plates, theory and application. N.J.: John Wiley and Sons, 1988. -381 p.

461. Reissner E. On the theory of bending of elastics plates // J. Math, and Phys. 1944. - Vol. 33.-P. 184-191.

462. Reissner E. Effect of transverse shear deformation on bending of elastic plates // J. Appl. Mech. 1945. - Vol. 12, №2 - P. A66-A77.

463. Reissner E. Finite deflections of Sandwich Plates// J. of Aer. Sci. 1948. - Vol. 15, №17. -P. 17-23.

464. Reissner E. Note on effect of transverce shear deformation in laminated anisotropic plates // Comput. Mech. and Eng. 1979. - Vol. 20, №2. - P. 203-209.

465. Reissner E. Reflections on the theory of elastic plates // J. Appl. Rev. 1985. - Vol. 38, №11-P. 1453-1464.

466. Reissner E. On a mixed variational theorem and on shear deformable plate theory // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1986. - Vol. 23, No.2 - P. 194-198.

467. Reissner E. Asymptotic considerations for tranverse bending of orthotropic sheardeformable plates // ZAMP. 1989. - Vol. 40, No.4 - P. 543-557.

468. Rhatua T.P., Cheung U.K. Bending and vibrations of multilager sandwich beams and plates // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1973. - № 1. - P.5-10.

469. Saturin Vladislav G., Hodges Devey H. On asymptotically correct liner laminated plate theory // J. Solids and Struct. 1996. - Vol. 33, №25. - P. 3649-3671.

470. Savoia M., Reddy J.N. A variational approach to three dimensional elasticity solutions of laminatod composite plates // J. Appl. Mech. Trans ASME. - 1992. - V.59. - P. 166-175.

471. Simmonds J.G. An asymptotic analysis of end effects in the axisymmetric deformation of elastic tubers weak in shear: Higher order shell theories are inadequate and unnecessary // Intern. J. Solid and Structures. 1992. - V.29, №20. - P. 2441-2461.

472. Soler A.I. Higher orther effects in thick rectangular elastic beams // Int. J. Solids Structures. 1968. - V.4, №7. - P. 723-739.

473. Srinivas S., Rao A.K., Joga Rao C.Y. Flexure of simple supported Thick Homogeneous and laminated rectangular plates // Zeitschrift Augewandte Mathematik and Mechanik. -1969.-No. 48.-P. 449-458.

474. Sternberg E. On Saint-Venant's principle // Quarterly of Appl. Math. 1954. - Vol. 11, №4.-P. 49-71.

475. Thomson W., Tait P.G. Theatise on Natural Philosophy. P.2. Cambridge: Univ. Press. -1890.-527 p.

476. Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential eguation for transverse vibrations of prismatic bars // Phylos. Magazine. 1921. - V. 41.

477. Todhunter I., Pearson K. A History of the Theory of Elasticity and of the strength of materials. -N.-Y.: Dover. I960. - V.2, pt. 2. - 546 p.

478. Toupin R.A. Saint-Venant's principle // Arch. Ration. Mech. And Analysis. 1965. - Vol. 11, №4.-P.49-71.

479. Vasiliev V.V. Modern conceptions of plate theory // Composite structures. 2000. - Vol. 48.-P. 39^18.

480. Von Mises R. On Saint-Venant's principle // Bull. Amer. Math. Soc. 1945. - Vol. 51, №8.-P. 555-562.

481. Widera O.E. An asymptotic theory for moderate large deflection of anisotropic plates // Journal of Engineering Math. 1969. - Vol. 3, №3. - P. 39^18.

482. Yiang Xiaoyn, Shang Xiangzhou, Chen Baipin Nonliner threedimensional analysis of composite laminates plates// Appl. Math, and Mech. Eng. Ed. 1996. - V.17, no. 1. - P. 621-632.