Асимптотические и численно-аналитические методы исследования нелинейных задач низкочастотной электродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. ОСНОВНЬЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРОВОДЯЩИХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ СРЕДАХ.

§ I. Уравнения Максвелла

1.1. Общие нелинейные среды

1.2. Ферромагнитные среды

1.3. Вектор Умова-Пойнтинга

§ 2. Магнитные характеристики ферромагнетиков

2.1. Гистерезисная зависимость

2.2. Магнитная проницаемость.

2.3. Аппроксимация петель и основной кривой на- . магничивания

§ 3. Основные задачи для электромагнитного поля в массивных ферромагнитных телах

3.1. Плоская волна в массивных ферромагнитных телах

3.2. Случай линейной поляризации

§ 4. Асимптотическое разложение основных уравнений поля для ферромагнитного полупространства и пластины

4.1. Введение малого параметра

4.2. Асимптотическое разложение.

4.3. Теорема единственности

4.4. Анализ асимптотического разложения

4.5. Поле с круговой и линейной поляризацией

§ 5. Асимптотическое разложение основных уравнений поля для ферромагнитного цилиндра и его внешности.

5.1. Введение малого параметра

5.2. Асимптотическое разложение

5.3. Теорема единственности

ГЛАВА П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА,

ПЛАСТИНЫ И ЦИЛИНДРА

§ I. Исследование по первой гармонике и методу эквивалентной линеаризации одномерной линейно-поляризованной электромагнитной волны в ферромагнитном полупространстве и пластине

1.1. Решение по первой гармонике

1.2. Метод эквивалентной линеаризации

§ 2. Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений плоской электромагнитной волны в ферромагнитном. полупространстве

2.1. Введение малого параметра

2.2. Асимптотическое разложение

2.3. Исследование линейных задач

2.4. Анализ асимптотического разложения.

2.5. Анализ первого приближения

§ 3. Проекционно-сеточный метод решения задачи для ферромагнитной пластины

§ 4. Исследование по методу эквивалентной линеариза -ции плоских однородных электромагнитных волн в цилиндрических ферромагнитных телах.

4.1. Поперечное электромагнитное поле

4.2. Продольное электромагнитное поле

§ 5. Пространственно-периодические волны в ферромагнитном, полупространстве

5.1. Общий случай.

5.2. Точное решение в.случае, круговой.поляриза . ции

5.3. Случай линейной поляризации

§ 6. Вращающееся электромагнитное поле.в.цилиндричес.ких телах.

6.1. Общий случай.

6.2. Случай больших пространственных периодов.

ГЛАВА Ш. ЗАДАЧИ НА СОПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ ФЕРРОМАГНИТНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, ПЛАСТИНЫ И ЦИЛИНДРА

§ I. Электромагнитное поле б ферромагнитном полупространстве, возбуждаемое сторонним током,гармоническим по фазовой переменной

§ 2. Электромагнитное поле в телах цилиндрической формы, возбуждаемое сторонним током,гармоническим по фазовой переменной

§ 3. Одномерные задачи индукционного нагрева лен точными токами плоскослоистой проводящей среды.

Непрерывный рост единичной мощности современного 'электроэнергетического оборудования приводит к увеличению токов промышленной частоты , протекающих по его обмоткам. В свою очередь эти токи возбуждают сильные электромагнитные поля и токи проводимости в различных конструктивных элементах такого оборудования , что приводит к значительному выделению в них Джоулевого тепла. В связи с этим особенно актуальными становятся вопросы исследования низко -частотных электромагнитных полей в проводящих средах со сложной конфигурацией границ , поскольку их достоверное определение позволяет принять необходимые конструктивные решения уже на стадии проектирования уникального электроэнергетического оборудования.

Исследуемая проблема относится к классу векторных в общем случае нелинейных краевых задач для системы уравнений Максвелла в кусочно-однородных средах. Такие задачи являются сложными и до нас -тоящего времени не разработаны эффективные методы их решения.Трудности математического исследования здесь обусловливаются вектор -ноетью,сложной геометрией области и нелинейностью.

Среди этих задач особое место в практическом отношении зани -мают краевые задачи для ферромагнитной среды , а также задачи на сопряжение для непроводящей (воздушной) и проводящей ферромагнитной сред.

Низкочастотное электромагнитное поле в проводящей среде обла -дает резко выраженным поверхностным эффектом , характеризуемым глубиной проникновения & , а конструктивные элементы электроэнергетического оборудования , как правило , являются массивными в том смысле, что радиус кривизны их поверхности значительно превышает глубину проникновения [51,63]. Это позволяет с определенной погрешностью заменить массивные тела полупространством, пластиной , цилиндром или его внешностью и рассматривать соответствующие простейшие в плане геометрии нелинейные векторные краевые задачи и задачи на сопряжение. Основные характеристики электромагнитных процессов, рассчитанные по решениям таких задач, в значительной мере опре -деляют реальные электромагнитные процессы. Однако и для указан -ных нелинейных модельных задач практически отсутствуют эффективные методы их решения , позволяющие с достаточной для практики точностью и быстротой выполнять расчеты при конструкторской проработке электроэнергетических систем.

Первые исследования поверхностного эффекта в массивном ферромагнитном теле выполнены академиком Л.Р. Нейманом в 1949 году [51]. Рассматривая такое тело как полупространство , он свел проблему к решению нелинейной скалярной краевой задачи относительно комплексной амплитуды первой гармоники напряженности магнитного поля ьсо(3^(|н1)н = 0 , 0<а<оо , (i)

H(0) = HQ, НС°о ) = 0, где^(|Н1) - магнитная проницаемость по первой гармонике , впервые введенная В.К. Аркадьевым [2] .

В случае а ([НЬ = КIHI^ Vi - -|г ) им было получено i к точное решение задачи (I) которое широко использовалось в электротехнических расчетах для слабых ( н * i) и сильных (п. >{) полей.

Дальнейшие исследования поверхностного эффекта в массивных ферромагнитных телах проведены в работах А. А. Березовского , Л.П. Нижника , А.Н. Кравченко [3,10,11,15,16,46]. Ими введено получившее широкое распространение понятие эквивалентной магнитной про* ницаемости (IHI) , для определения которой получено диффе -ренциальное уравнение по годографу напряженности магнитного поляй d н н н w и система уравнений первого порядка г!п -~тСр)а +• 2(ё COS <р + simp) , df (3) dS ,, 6 где = (i+&2)(-!iCOsip-fsinip-6), dp р.г + лыр! , p = и ihi dp

При степенной зависимости ft (IHI) = KlHI^ найдены точные решения уравнений (2), (3), а при произвольной зависимости от IН I разработаны приближенные аналитические и численно-аналитические методы их решения как в гистерезисном, так и в безгистерезисном случаях. Установленная связь между системой петель гистерезиса B = B(H)t^(lrtl), поверхностным импедансом Z = ] /<г' и удельными поверхностными потерями р = 1/2 Re Elhjj2 позволила эффективно решать наиболее важные задачи поверхностного эффекта в ферромагнитных телах. Разработанные методы широко использовались при решении конкретных электротехнических задач по расчету электро -магнитных полей в баках трансформаторов [4,8,10], массивных элементах торцевых частей турбогенераторов [9,38,40,61,68,69] и в другом электроэнергетическом оборудовании.

Ряд авторов [34,35,59,74,75,79] при исследовании поверхностного эффекта использовали идею J1.P. Неймана о линеаризации нелинейного уравнения путем замены зависимости fx от напряженности магнитного поля зависимостью ^ от координаты. В случае кусочно-линейной аппроксимации проблема сводится к линейной задаче для слоистой среды и системе нелинейных уравнений для определения значения магнитной проницаемости в каждом слое.

Значительное число работ[1,25,28,29,53,54,75,80,81,88-91] посвящено численному интегрированию задач о распространении плоских электромагнитных волн в массивных проводящих ферромагнитных телах как в гистерезисном ,так и в безгистерезисном случаях. В этих работах путем применения однородных конечно-разностных схем проблема сведена к решению системы нелинейных уравнений относительно значений искомого поля в узлах сетки. Полученные здесь "точные" численные решения позволили оценить погрешность приближенных аналитических методов[I].

Следует отметить также целый ряд работ[7,26,45,79,80,87J,посвященных исследованию поверхностного эффекта проекционными метода -ми, применяемыми , как правило, к системе уравнений Максвелла по первой гармонике. В этом случае решение ищется в виде разложения по некоторой системе базисных функций , а коэффициенты разложения определяются из системы нелинейных уравнений.

Задачи по определению электромагнитного поля в проводящих ферромагнитных средах по заданному стороннему току, расположенному в воздушной среде , как правило, рассматривались в линейной постановке [39,40,63-65,68,69,81].Нелинейные векторные задачи на сопря -жение практически не рассматривались.

Наряду с вопросами построения решения задач электродинамики проводящих сред весьма актуальное значение имеют вопросы теоретического их исследования. В этом плане фундаментальные результаты получены в работах [30,31,43,55,56].

В отличие от исследованных в диссертации рассматриваются более сложные выдвигаемые современной инженерной практикой задачи по расчету поверхностного эффекта . К ним относятся краевые задачи о распространении пространственно-неоднородных плоских волн в ферромагнитном полупространстве, пластине , цилиндре и его внешности , а также соответствующие задачи на сопряжение , когда ис -точниками поля являются сторонние токи , расположенные в воздухе.

Для получения приближенных аналитических решений нелинейных векторных задач использован метод эквивалентной (оптимальной) ли -неаризации [1,13,14,18]. Суть этого метода состоит в том, что для приближенного решения используется конструкция соответствующей линейной задачи , содержащая некоторые параметры. При этом краевые условия , условия периодичности и регулярности удовлетворяются точно , а произвольные параметры такой конструкции определяются из условий удовлетворения уравнениям Максвелла в смысле одного из приближенных методов (Бубнова-Галеркина , наименьших квадратов и др.). Проведенное сравнение с численным решением задачи о распространении плоской электромагнитной волны в ферромагнитном полупространстве показало , что погрешность в определении потерь незначи -тельна , а в определении поля существенна лишь на значительном расстоянии от поверхности , когда само поле уже мало [I] .

К простейшим нелинейным задачам применяются также асимптоти -ческий метод Крылова-Боголюбова-Митропольского ; метод, основанный на построении решения по первой гармонике ; проекционно-сеточный метод , применяемый к нелинейному интегро-дифференциальному урав -нению , эквивалентному исходной краевой задаче.

Диссертационная работа состоит из введения , трех глав и списка литературы.

1. Андреева Т.А., Березовский А.А. К расчету электромагнитного поля и потерь от вихревых токов в ферромагнитном полупространстве. - В кн.: Физико-технические приложения краевых задач.- Киев: Наук, думка, 1978, с. 184-189.

2. Аркадьев В.К. Электромагнитные процессы в металлах. В 2-х то -мах. ОНТИ,I935 - 230 е.; 1936 - 250 з.

3. Березовский А.А. К вопросу определения электромагнитного поля в ферромагнитных телах. Мат. физика, 1969, вып. 6, с. 23-37.

4. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики , ч.1 . Киев: Ин-т натем. АН УССР,1976. -452 с.

5. Березовский А.А. Периодические решения нелинейных задач теплопроводности. В кн.: Нелинейные задачи теплопроводности. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1983, с. 3-8.

6. Березовский А.А., Кравченко А.Н. , Нижник Л.П. Расчет добавоч -ных потерь в баках трансформаторов. Электричество, 1966,№ 9, с. 2-7.

7. Березовский А.А., Кравченко А.Н., Нижник Л.П. Расчет электромагнитного поля и добавочных потерь в конце:зых частях трубогене-раторов. Электричество , 1970 , № II, с. 6-1I.

8. Березовский А.А., Кравченко А.Н., Нижеик Л.П. Потери от вихревых токов в нелинейных ферромагнитньх телах. В кн.:Электромагнитные и полупроводниковые устройства преобразовательной техники. Киев: Наук.думка,1966,с. 133-149.

9. Березовский А.А., Кравченко А.Н. , Нижник Л.П. Поверхностный импеданс массивного ферромагнитного цилиндра. В кн.:Краевые задачи математической физики. Киев: Ин-т матем. АН УССР,I971, с. 45-51.

10. Березовский А.А. , Кравченко А.Н. , Юртин И.И. Расчет вращающегося магнитного поля и поверхностных потерь в цилиндрической области методом оптимальной линеаризации. Техническая электродинамика, 1984, № I, с. 27-32.

11. Березовский А.А. , Курбанов И. Периодические во времени плос -кие электромагнитные поля в полупространстве с общими материальными уравнениями. В кн.: Краевые задачи электродинамики проводящих сред. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1976, с. 37-57.

12. Березовский А.А., Курбанов И. Плоские электромагнитные волныв средах с общими материальными уравнениями. В кн.: Нелинейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1977, с. III-II3.

13. Березовский А.А. , Нижник Л.П. Поверхностные потери в нелинейном полупространстве. В кн.: Электромашиностроение и электрооборудование , вып. I, 1965, с. 23-32.

14. Березовский А.А. , Нижник Л.П. , Кравченко А.Н. Комплексное поверхностное сопротивление и эквивалентная магнитная проницаемость ферромагнитных сред, В кн.: Электромагнитные процессы в преобразовательных устройствах. Киев: Наук, думка,1967,с. 50-60.

15. Березовский А.А. , Плотницкий Т.А. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики проводящих сред. В кн.: Краевые задачи электродинамики проводящих сред. Киев: йн-т матем. АН УССР,1976, с. 139-148.

16. Березовский А.А. , Серденко Т.Г. Бегущее электромагнитное поле и потери от вихревых токов в ферромагнитном полупространстве. В кн.: Краевые задачи математической физики. Киев: йн-т матем. АН УССР, 1978, с. II5-I2I.

17. Березовский А.А. , Юртин Й.И. Поверхностный эффект в пластине.- В кн.: Нелинейные задачи электродинамики и упругости. Киев: йн-т матем. АН УССР, 1982, с. 9-18.

18. Березовский А.А., Юртин Й.И. Распространение плоских волн в ферромагнитном полупространстве. Киев: йн-т матем. АН УССР, 1983, с. 17-23.

19. Боголюбов Н.Н. , Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний . М.: Гостехиздат , 1958, - 408 с.

20. Бондаренко Б.А. Применение метода малого параметра для реше -ния задачи проникновения плоской электромагнитной волны в ферромагнитную среду. Изв. АН Латв. ССР.Сер. физ. и техн.наук, 1978, № 6, с. 91-98.

21. Бондарь Й.Л., Кучинская B.C., Петрушенко Е.й. Программы и ре -зультаты расчетов нестационарных электромагнитных полей в маесивных ферромагнитных цилиндрах с учетом гистерезиса . Киев: Ин-т электродинамики АН УССР,1975, 25 с.

22. Гординский Л.Д. О решении внутренних задач электродинамики проекционным методом. В кн.: Методы :д средства моделирования физических процессов. Киев: Ин-т матем. АН УССР,1979,с. 49-58.

23. Градштейн И.С. , Рыжик И.М. Таблицы интегралов , сумм , рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

24. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях. Матем.сб., 67, (109) , с. 609- 642.

25. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980, - 383 с.

26. Завьялов Ю.С. , Квасов Б.И., Мирошниченко Б.И. Методы сплайн функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

27. Зоммерффельд А. Электродинамика. М.: Изд. Иностранной литературы , 1958, 501 с.

28. Едуш В.Я. Приближенный расчет поверхностного эффекта в цилиндрическом проводе из ферромагнитного материала. Изв. вузов. Электромеханика , 1980, 1 7, с. 677-682.

29. Иванов Е.М., Пухова В.Е. Поверхностный эффект в цилиндрических ферромагнитных телах. Изв. вузов. Электромеханика,1964, № 7, с. 781-796.

30. Икрамов Р.З., Резаков А. Приближенный расчет магнитного поля нелинейной ферромагнитной среды. Изв., АН СССР. Энергия и транспорт , 1976, 14, с. 52-58.

31. Колесников П.М. Введение в нелинейную электродинамику. -Минск: Наука и техника, 1971, 382 с.

32. Кравченко А.Н. , Нижник Л.П. Электродинамические расчеты в электротехнике. Киев: Техника , 1977 , - 182 с.

33. Кунцевич А.В. Аналитическое выражение кривой намагничивания.- Изв. вузов. Электромеханика, 1971, й 2, с. 119-123.

34. Ладыженская О.А. , Солонников В.А. , Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.:Наука, 1967, - 736 с.

35. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир , 1972, 58? с.

36. Марчук Г.И., Агосиков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы . М.: Наука, 1981., - 416 с.

37. Митропольский Ю.А. , Березовский А.А., Данилевич Я.Б., Плот -ницкий Т.А. Метод интегральных уравнений на импедансных поверхностных в задачах низкочастотной электродинамики. Препринт 82.44,Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1982. 40 с.

38. Митропольский Ю.А. , Березовский А.А. , Нижник JI.П.,Кравченко А.Н. Математические методы исследования некоторых проблем электроэнергетики. В кн.: Математизация знаний и научнотехнический прогресс. Киев: Наук. думка, 1975, с. 79-81.

39. Мишин В.И., Собор И.В. Аппроксимация кривых намагничивания кубическими сплайнами. Изв. вузов. Эк:ергетика , 1978, № 7, с. 123-126.

40. Морс Ф.М. , Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х томах. М.: Иностранная литература , 1958 - 930 е.; I960 -- 886 с.

41. Мостовяк И.В. , Химюк И.В. К исследованию бегущего электромагнитного поля в трехслойной цилиндрической среде. Проблемы технической электродинамики. Киев: Наук, думка, 1971,27 ,с.127-130.

42. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир , 1976. - 455 с.

43. Нейман JI.P. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. J1.-М., Госэнергоиздат , 1949. - 190 с.

44. Олейник О.А. , Вентцель Т.Д. Первая краевая задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа.

45. Петрушенко Е.И. Вопросы расчета нестационарных электромагнитных полей в средах с гистерезисом. В кн.: Электрические цепи , передача и обработка информации. Киев: Наук, думка, 1979,с.116-121.

46. Петрушенко Е.И. К расчету поля в ферромагнитных средах с учетом гистерезиса. Доповш АН УРСР, 1971 , А, № 7, с. 644-647.

47. Плотницкий Т.А. Исследование внутренних задач электродинамики проводящих сред методом монотонных операторов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук.Киев: Ин-т матем. АН УССР,1974, - 15 с.

48. Плотницкий Т.А. О разрешимости некоторых задач электродинамики проводящих сред. В кн.: Линейные краевые задачи математической физики. Киев : йн-т матем. АН УССР, 1973.

49. Поливанов К.М. , Ферромагнетики. Л.-!!.: Госэнергоиздат , 1949. - ПО с.

50. Поливанов К.М, Вектор Умова. Его значение в электродинамике и электротехнике. Электричество , 1976., № 8, с. 1-8.

51. Селезова Л.В. Магнитоупругие колебания ферромагнитного цилиндра в переменном магнитном поле. В кн,.: Дифференциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 100-102.

52. Серденко Т.Г. , Юртин И.И. Поверхностный эффект в цилиндри -ческих ферромагнитных телах. В кн. Дифференциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1982, с. 94-99.

53. Стреттон Дж.А. Теория электромагнетизме. М.: Гостехиздат , 1948. - 539 с.

54. Теория и методы расчета асинхронных турбогенераторов. Под ред. Й.М. Постникова. Киев: Наук, думка, 1977 . - 176 с.

55. Тимофеев Б.Б. Специальные задачи теории поверхностного эффекта. Киев: Наук, думка, 1966. - 180 с.

56. Чагин Ю.Н. , Усенко А.П. Отражение электромагнитных волн на границе раздела ферромагнитная среда воздух. - В кн.Повышение качества электроэнергии на тепловых подстанциях.Омск, 1978, с. 86-90.

57. Шмулев И.И. Периодические решения первой краевой задачи для параболических уравнений. Мат.сб. Т.66(Ю8):3,с.398-4Ю.

58. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. - 443 с.

59. Электромагнитные процессы в торцевых частях электрических машин (А.И. Вольдек, Я.Б. Денилевич , В.И. Косячевский ,В.И. Яковлев. Л.:Энергоатомиздат, 1983.- 2.16 с.

60. Электромагнитные и тепловые процессы в концевых частях мощных турбогенераторов (исследование и расчеты). Под ред. И.М.Постникова. Киев: Ин-т электродинамики АЕ УССР, 1971, - 230 с.

61. Юртин И.И. Расчет электромагнитного поля и поверхностных по -терь в ферромагнитной пластине методом прямых. Техническая электродинамика, 1983, № I, с. 96-100.

62. Юртин И.И. Бегущий токовый слой под ферромагнитным полупространством. В кн.: Нелинейные краевые гадачи. Киев: Ин-т матем. АН УССР,1980, с. I71—175•

63. Юртин И.И. Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений плоской электромагнитной волны в ферромагнитном полупространстве. В кн.: Нелинейные краевые задачи электродинамики и упругости, Киев: Ин-т матем.АН УССР, 1982,с. 19-24.

64. Юртин И.И. Комплексное поверхностное сопротивление и эквивалентное магнитная проницаемость. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. Киев: Ин-т матем.АН УССР,1982, с. 103-106.

65. Beckert U. Ein Verfahren zur Berechnung der Werbelstromerschei-nungen in ferromagnetischen Zylindern. Elektrie,1979,33, IT4, 201-205.

66. Bechert U. Numerische Berechnung der Wirbelstromerscheinungen in ferromagnetischen Zulindern bei feldstarkeabhangiger Perme-abilitat. Z. elek. Inform, und Energietechn., 1977, 7, IT 1,pp. 75-90.

67. Bechert U., Rieck H. Darstellung von Magnetisierungskurven durch kubische SplinerFunktionen. Z. elek. Inform.und Ener -gietechn., 1980, 10, N1, s. 69-73.

68. Berezowsky A.A., 3£ravchenko А.Ж., Mzhnik L.P., Sisunenko 0.1. Calculation of losses in tanks of transformers. International Symposium on Electrodynamics forces and losses in transformers.- Lodz, 1979, p. 66-74.

69. Beresowsky A.A., ^ordinsky L.D. Calcule.tion of electromagnetic field and of losses in the cylindrical channel with nonhomoge-neous engagements. International Symposium on Electrodyna -mics forces and losses in transformers, - Lodz, 1979, p.342-350

70. Biro 0. Variational method for numerical calculation stationary magnetic field in ferromagnetic medium. Int. Wiss. Kollog. Ilmenau, 1978, Heft 4* Vortragsr. B.1, B.2 p. 85-94.

71. Infer M., Apostolides A. An analysis of eddy-current and saturation and hysteresis characteristics. IEEE Trans. Power Ap-par. and Syst., 1976, 95, N 6, p. 1786-1793.

72. International conference on numerical Methods in Electrical and Magnetic Field Problems. S. Margherita Ligure, June 1-4,1976, Preprihts. Gen ova, Int. Cent. Co:.nput. Aided Des, s.a,v,- pp. 366.

73. Machczynski W., Krakowski M. Eddy-current losses in a ferro -magnetic plate due to currents in parallel conductors. Arch.elektrotechn. (PRL), 1977, 26, Ж 2, p. 215-225.

74. Mayergoyz I. Theoretical investigation of the nonlinear skin effect. Arch. Electrotechn. (W-Berlin), 1981, 64, nH 3-4, p. 153-162.

75. ITayfeh A.H., Asfar O.K. An analitical solution on the nonlinear eddy-current losses in ferromagnetic materials. IEEE Trans. Magn., 1974, vol. 10, N 2, p. 327-331.

76. Santesmasses I.G., Ayala I., Cacher A.H. Analytical approximation of dynamic hysteresis loop and its application to a series ferroresonant circuit. Proc. Inst. Else. Eng., 1970, 117, N 1 p. 234-240.

77. Sikora I., Wincenciak S. Zastosowanie metody skonczonego do analizy pola elektromagnetyczych w srodiv/iskach nieliniov/ych о symetrii osioweg. Rezpr. electrotechn., 1978, I! 4, 767-780.

78. Zakrewski K. Analisa pola elektromagnetycznego w masuwnym ze-lazie metoda numeryczna. Arch, elektrotechn. (PRL), 1969,18, И 3, 569-585.

79. Zakrewski K. Pole elektromagnetyczne w massywnym zelazie. -Arch, elektrotechn. (PRL), 1970, 19, N 4, 681-695.

80. Zakrewski K. Modelommie matematyczne pola elektromagnetycznego i straty w masyvmym zelazie z uwzglednieniem nieliniowosci sro-dowiska. Zesz. nauk. P. Lodz, 1970, nlJ 112, 223-232.