Асимптотические методы исследования движения приземного слоя атмосферы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

% < " • и ' «И ' /

/

Институт проблем механики РАН

На правах рукописи

Алферов Олег Сергеевич

Асимптотические методы исследования движения приземного слоя атмосферы

(01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Петров А. Г.

Москва — 1999

Содержание

Введение .................................................................3

1. Общая постановка задачи........................................5

Приближение пограничного слоя...............................10

Модели турбулентности.........................................17

Влияние вязкого подслоя........................................23

Безразмерные переменные и малые параметры ..............26

2. Течение над однородной по горизонтали плоской поверхностью под действием силы Кориолиса и градиента давления с различными условиями на верхней границе____29

Течение без градиента давления...............................29

Течение без трения на верхней границе.......................43

Течение с большим градиентом давления.....................58

Течение с условием геострофичности ветра на верхней

границе ...........................................................60

Сравнение с натурными наблюдениями .......................68

3. Двумерное обтекание холма....................................72

Течение вдали от холма. Закон затухания возмущений.....78

Течение вблизи холма. Отрыв линий тока ....................88

Сравнение с экспериментом в аэродинамической трубе.....99

Заключение........................................................... 105

Литература........................................................... 107

Введение

Детальное описание распределения основных характеристик воздушных и водных масс необходимо для успешного решения многих теоретических и практических задач, связанных с физикой атмосферы и окружающей среды. Возрастающее вмешательство человека в окружающую среду увеличивает риск возникновения очагов и источников загрязнения атмосферы. При оценке возможных последствий антропогенного воздействия на окружающую среду существенную роль играют математические модели атмосферы, поскольку они позволяют определить такие характеристики атмосферных течений, как направление и скорость ветра, давление и коэффициент турбулентной вязкости, на основе которых строятся модели распространения загрязнений.

Исходные уравнения являются нелинейными, что сильно затрудняет их аналитическое решение. Для получения таких решений приходится принимать различные допущения. Так, в ранних исследованиях течений в атмосфере применялись в основном априорные модели турбулентности, например, модель Экмана с постоянной вязкостью. Такое упрощение позволило качественно объяснить поведение характеристик течения в атмосфере, однако оно не дает количественного согласия с наблюдениями.

В последнее время, в связи с появлением быстродействующих компьютеров, широкое распространение получили численные методы решения полных уравнений движения. Это снизило интерес к аналитическим методам в целом и повысило интерес к сложным моделям турбулентности, однако затраты вычислительных ресурсов для расчета полных уравнений движения являются весьма высокими, тогда как результат может сильно искажаться погрешностями аппроксимации.

Преимуществами же аналитических решений, по сравнению с чи-

сленными, являются: простота обоснования справедливости полученного решения, простота сравнения с экспериментом и возможность детального анализа зависимости решения от параметров, входящих в задачу, когда их количество велико.

Таким образом, достоверность аналитического решения существенно выше численного.

Решение исходных нелинейных уравнений, описывающих движение атмосферы, может быть существенно упрощено учетом особенностей течения и наличием малых параметров. Разложение по малым параметрам и построение асимптотических решений позволяет выразить аналитически характеристики течения для широкого круга задач.

Будут рассмотрены задачи, к которым можно применить модели турбулентности без привлечения каких-либо эмпирических констант, которые невозможно непосредственно определить из эксперимента. В модель будут входить только константы, которые хорошо изучены как эмпирически, так и теоретически, такие, как ае « 0,4 — константа Кармана и Zo — высота шероховатости.

Целью диссертации является построение простых аналитических зависимостей характеристик течения от многих параметров, входящих в систему, на основе одно- и двухпараметрических моделей турбулентности. Их достоверность обосновывается: а) применением хорошо апробированных аналитических методов решения соответствующих краевых задач, б) сравнением теоретических результатов с результатами лабораторных экспериментов и натурных наблюдений, в) сравнением с результатами численных расчетов других авторов.

Полученные разложения могут быть применены как для описания приземного слоя атмосферы в случае устойчивой стратификации, так и для тестирования численных методов расчета течений в атмосфере.

Общая постановка задачи

Рассмотрим общую модель динамики атмосферы при условии устойчивой или безразличной стратификации. В этом случае конвекция отсутствует, поэтому силы плавучести и термодинамические эффекты вносят малый вклад, который в настоящей работе рассматриваться не будет.

Тот факт, что характерная толщина слоя атмосферы (примерно 50% всей массы атмосферы заключено в слое от земной поверхности до высоты 5 км, а 75% —- до высоты 10 км [1]) незначительна по сравнению с радиусом Земли, равным примерно 6366 км, при изучении движения атмосферы позволяет пренебрегать кривизной поверхности Земли [2].

Движение воздуха в верхних слоях тонкого приземного слоя обусловлено в первую очередь балансом градиента давления в горизонтальном направлении и отклоняющей силы Кориолиса, возникающей в результате вращения Земли. В нижних слоях значительное влияние оказывают силы вязкого и турбулентного трения, рельеф и характер подстилающей поверхности. На распределение давлений в атмосфере определяющее влияние оказывает сила тяжести.

В самом общем виде, в прямоугольной системе координат, связанной с поверхностью Земли, с осью направленной вверх, уравнения

неразрывности и движения запишутся, как [1, 3]

^ + сНу (рУ) = О,

¿К

р

(И дх

вУу дР

(И дУ

<1Уг дР

+ 2р(3 х У]у +

дХ ВТ

+

дТтл, Ж

+

хг

дУ дг '

+

дТуу дТ„

(1)

+

уг

дХ ' дУ ' дг '

т^ дТг11 дТ2

дг

рд + 2р[П х + + +

гг

дХ дУ дг '

где £ — время, 14, К,, Т4 — компоненты осредненного вектора скорости ветра V в направлении декартовых координат X, У, г соответственно, Р — осредненное давление, р — осредненная плотность, ->

О — вектор угловой скорости вращения Земли, направленный вдоль

—

оси вращения, равный по модулю | О, | = 1,16 • Ю-5 1/с, д — ускорение свободного падения.

Связь между плотностью р и давлением Р устанавливается общим уравнением состояния газа

Р = рЯТс

(2)

где К = 2,9 • 102 м2/(с2 • °К) — универсальная газовая постоянная, Т° — абсолютная температура. Распределение температур в толще течения зависит, вообще говоря, от многих факторов, таких как суточные колебания потока солнечной радиации, испарение и конденсация влаги. Но в то же время типичные суточные колебания температуры не превосходят 5 7°К, что составляет всего около 2%, причем амплитуда этих колебаний убывает с высотой [1]. Поэтому для описания возмущений, вносимых в поток внешними факторами,

при наличии устойчивости движения атмосферы, распределение температуры можно считать заданным и близким к т. н. "стандартной атмосфере" [4].

Стратификация атмосферного пограничного слоя связана главным образом с наличием вертикального градиента температуры. Эффекты стратификации рассматриваются в монографиях [1, 3, 10, 38]. Общие свойства таких течений и обзор литературы приведен в недавнем исследовании [38].

В атмосфере эффекты стратификации характеризуются безраз-

(ЗдН3АТ°

мерным числом Грасгофа вг =---, где символом в обозначен

иг

термический коэффициент расширения воздуха, символом ДТ° — разность температур между нижней и верхней границами слоя высоты Н.

При малом или отрицательном числе Грасгофа вг течение в атмосфере устойчиво и конвекция отсутствует. При увеличении Сг устойчивость может нарушиться и течение будет иметь качествено иной характер.

Устойчивость атмосферы и условия возникновения конвекции при различных вертикальных распределениях температуры Т° были качественно исследованы в работах [5, 6], где показано, что сила Ко-риолиса, обусловленная вращением Земли, оказывает существенный стабилизирующий эффект на воздушный поток, в связи с чем критическое число Грасгофа Сгкр увеличивается в несколько раз. Этот факт позволяет значительно расширить диапазон применимости к атмосферным течениям приближения тонкого слоя, на основании которого мы будем строить аналитические разложения.

Мы будем рассматривать течение в диапазоне чисел Грасгофа меньше критического, Сг < Сгкр, когда эффекты, связанные со стратификацией [1, 3, 10, 38, 5, 6] несущественны.

Компоненты тензора вязких напряжений Т^, г = 1... 3, 7 = 1... 3, для осредненного движения в соответствии с гипотезой Буссинеска примем в виде [3, 7, 8, 9]

ТЦ = руБ^ Д,- = Щ + Щ - сИУ У, (3)

где Иц — тензор скоростей деформации среднего движения, — единичный тензор, и — коэффициент кинематической турбулентной вязкости. Как будет показано ниже, при рассмотрении моделей турбулентности, коэффициент турбулентной вязкости V имеет порядок

V ~ С/Я, (4)

где II — характерная горизонтальная составляющая скорости, Н — характерный вертикальный масштаб. Например, из гипотезы Пранд-тля (12) соотношение (4) следует автоматически [10, 11].

Формула, устанавливающая зависимость коэффициента турбулентной вязкости V от характеристик течения и пространственных координат, может включать в себя несколько эмпирических констант. Так, гипотеза Колмогорова-Монина (15), рассматриваемая ниже, содержит, помимо хорошо известных из гипотезы Прандтля констант ае и эмпирические константы аь и с. Модели турбулентности, зависящие от большего числа констант, мы рассматривать не будем.

Нижняя граница течения совпадает с земной поверхностью. Она определяется, как поверхность, высота которой над уровнем Z = 0 задается функцией Ща(Х/Ао, У/А0), где Н0 и А0 — характерный вертикальный и горизонтальный соответственно размеры неоднородно-стей рельефа. Будем предполагать неровности достаточно гладкими и имеющими малую высоту по сравнению с их протяженностью:

Щ <С Ао, |сг| ~ 1, ^гас!сг| ~ 1.

В качестве граничного условия на нижней границе принимается обычное условие равенства нулю вектора скорости на твердой стенке:

Я = Ноа{Х/Ао, У/Ао) : V = 0. (5)

Для определенности, область течения считается ограниченной сверху постоянной высотой Н, много большей характерных высот неровностей рельефа Щ. На больших высотах в атмосфере сила трения перестает играть существенную роль, и течение определяется балансом сил инерции, силы Кориолиса и градиента давления. Поэтому на верхней границе Н изучаемого нижнего слоя атмосферы обычно принимается условие непрерывности скорости и давления:

г = Н: V = ~и, Р = Р0,

—>

где и и Ро — скорость ветра и давление соответственно на высоте Н вне изучаемого слоя атмосферы.

Если верхняя граница нижнего слоя Z = Н совпадает с высотой инверсии, то условие непрерывности вектора скорости может нарушаться. В этом случае на нижний слой действует касательное напряжение Т/и зависящее от разности скоростей верхнего и нижнего потоков.

Некоторую информацию о виде этой зависимости можно получить, используя теорию подобия и размерностей. Область газа, в которой происходит взаимодействие верхнего и нижнего течений, является тонким слоем, поэтому градиент давления не оказывает влияния на величину касательного напряжения в нижнем слое. Она также не может зависеть от расстояния до поверхности Земли Н, так как данный эффект должен сохраняться при устремлении Н —5- оо. Среди определяющих параметров остаются плотность воздуха и скорости течения в верхнем и нижнем слоях.

Воспользуемся принципом относительности Галиллея, который утверждает, что вид математических формул, выражающих физические закономерности, не может зависеть от выбора инерциальной системы отсчета. Рассмотрим систему отсчета, движущуюся в данный момент времени со скоростью, равной скорости течения в нижнем

потоке. Тогда количество определяющих параметров уменьшится и

—V > —!►

станет равным двум: Ть = Ть\р, и — V). Из тензорного характера этой зависимости [4, 39] следует коллинеарность векторов касательного напряжения Т% и относительной скорости верхнего потока —)> —»

и -V.

Окончательно, из теории размерностей и принципа Галиллея вытекает единственное соотношение с единственным безразмерным параметром, зависящим от физических свойств среды:

Тн = Ср(и -У)\и -VI

причем С > 0. Приведенное соотношение адекватно описывает взаимодействие между двумя различными средами, например, между водой и воздухом [12]. Оно также позволяет описать условие непрерывности вектора скорости на верхней границе при С —> оо и условие отсутствия трения при (7 = 0. Однако вопрос о физической реализации промежуточных значений С пока остается открытым. Поэтому при решении конкретных краевых задач мы рассмотрим подробно случаи С — 0 л С —>• оо, а решение при промежуточных значениях С будет рассматриваться ограниченно.

Приближение пограничного слоя

Пограничным слоем в течении вязкой жидкости называется тонкая в поперечном к потоку направлении область, где, в отличие от окружающего ее безвихревого потока, движение является вихревым

и характеризуется резкими изменениями скорости и завихренности в поперечном к потоку направлении.

Как было показано еще Гельмгольцем, в задаче описания движении верхних слоев атмосферы над областями большой протяженности, порядка целого континента, роль вязкости незначительна, в том смысле, что велико число Рейнольдса Ие = Ы1/р, где и — характерная скорость, ь> — коэффициент кинематической вязкости, Ь — радиус земного шара [2].

Слой воздуха в непосредственной близости от земной поверхности, в котором происходит резкое изменение скорости от максимального значения до нуля, называется планетарным пограничным слоем атмосферы. Изменение скорости с высотой обуславливает значительные величины касательного напряжения, в связи с чем этот слой называют также слоем трения. Распределение скоростей в слое трения определяется балансом уже не только градиента давления и силы Ко-риолиса, но также и сил касательного напряжения.

В уравнения движения и неразрывности входят полные производстве вУх сП4 Ар ные скоростей и плотности по времени ——, ——, —— и —, в ка-

<И аЬ т М

ждую из которых входит частная производная по времени и конвективная часть. Сделаем оценку для частных производных по времени по сравнению с конвективными частями. Изменение во времени характеристик течения в атмосфере связано прежде всего с вращением Земли, поэтому временной масштаб их изменения измеряется сутками, £ ~ 105 с. В то же время, типичная величина скорости на высоте Н « 103 м составляет около V ~ 10 м/с. Отсюда следует, что конвективные производные будут больше частных производных по времени приблизительно в 1Л/Н « 103 -г 102 раз [2], что позволит нам не рассматривать их при проведении асимптотического анализа течения, поскольку такие факторы, как сила Кориолиса или неровно-

сти подстилающей поверхности могут оказывать значительно большее влияние на течение.

Принимая во внимание, что высота пограничного слоя атмосферы Н составляет величину порядка одного километра, что обычно много меньше характерных горизонтальных масштабов изменения характеристик течения, и гладкость самой подстилающей поверхности, используем приближение тонкого слоя.

Из уравнения неразрывности и условия прилипания на нижней границе следует, что вертикальная составляющая скорости мала по сравнению с горизонтальной:

1 ? ЩрУг) д(РУ,)\

у'-р1{ ах + ду ) ^

О

что дает оценку для характерных вертикальных составляющих скорости:

т, ин

Уг ~ —, (6)

где 11 — характерная горизонтальная составляющая скорости, Н — толщина слоя, А — характерный горизонтальный масштаб, Н.

Оценим порядки слагаемых в уравнении движения (1) в направлении Z. Как непосредственно следует из (3), (4) и (6), для слагаемых, входящих в последнее уравнение (1), верны следующие оценки:

Хдх удУ хог р '

дТуг дТ%2 о л—л - ~ - - го ои А.

дх дУ дг р '

Учитывая соотношения Н А, | 1 VА~г и и2А'1 д, выде-

12

лим два главных слагаемых, которые представляют собой основное уравнение гидростатики:

дР

-Р9 = 0. (7)

dZ

Ошибка, допускаемая при отбрасывании остальных слагаемых этого уравнения, не превосходит 1,5 • 10_3 [1, 2].

Гидростатический закон изменения давления с высотой позволяет сделать оценку для изменения плотности с высотой. Подставляя общее уравнение состояния (2) в формулу (7) и пренебрегая зависим�