Математические методы и модели в проблеме распространения примесей в температурно-стратифицированной атмосфере тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи Сеиенчкн Евгений Андреевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ПРОБЛЕМЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРИМЕСЕЙ В ТЕКПЕРАТУРНО-(ГГРАТИФИЦИРОВАННОЙ АТМОСФЕРЕ

Й.Ш.оЪ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ставрополь-1997

Работа выполнена на кафедре математики Ставропольского государственного технического университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, академик МАИ, профессор

Наац Игорь Эдуардови

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, действительный член Российской Академии наук, профессор

Бабешко Владимир Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор

Перепелица Виталий Афанасьевич

доктор физико-математических наук

Скибин Юрий Николаевич

Ведущая организация: Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Защита состоится'30 1998 г. в {М час. на заседаню

диссертационного совета Д 064.11.03 в Ставропольском государственном техническом университете по адресу:

355038, Ставрополь, просп. Кулакова, 2, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставрополько-го государственного технического университета. Отзывы о диссертации в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять пс указанному выше адресу ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 064.11.03, кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы и направление научных исследований

Атмосфера представляет собой чрезвычайно сложный объект как для физических исследований, так и для математического моделирования различных процессов, протекающих в ней. Она очень неоднородна в пространстве и весьма изменчива во времени. Физические процессы, протекающие в атмосфере, как правило, нестационарны, неустойчивы, что затрудняет их изучение. Существенное влияние на эти процессы оказывают приток тепла в атмосферу, распределение температуры воздуха по высоте. Поэтому при изучении атмосферных процессов учитывается (прямо или косвенно) температурная стратификация атмосферы.

Несмотря на указанные сложности, в настоящее время исследованию физических процессов, протекающих в атмосфере, посвящено значительное число работ (монографий, журнальных статей). В физике оформились целые разделы, в рамках которых проводится целенаправленное изучение различных атмосферных явлений: физика атмосферы (общая метеорология), синоптическая метеорология (учение о закономерностях изменения погоды, методах ее предсказания для различных регионов Земли), климатология (учение о формировании и изменении климата в различных регионах Земли).

Масштабность изучения различных процессов, протекающих в температурно-стратифицированной атмосфере, обусловлена их огромным влиянием на хозяйственную деятельность и здоровье людей, на состояние животного и растительного мира. Стихийные бедствия, вызванные атмосферными процессами (засухи, ливни, градовые явления) наносят ощутимый урон экономике каждого государства, приводят к человеческим жертвам. В настоящее время во всевозрасгакицем масштабе наблюдается, к сожалению, еще одно негативное явление. В результате хозяйственной деятельности человечества в атмосферу выбрасывается значительное количество веществ, приносящих вред как здоровью людей, так и округкающей среде: со второй половины 80-х годов ежегодно выбрасывается более 300 млн. т оксида углерода, 120 млн. т золы, 50 млн. т всевозможных углеводородов и т.д. Турбулентными потоками эти вещества разносятся на значительные

расстояния, осаждаясь на земную поверхность и загрязняя ее. При этом содержание примесей в атмосфере зависит не только от объема промышленных выбросов, но, в значительной мере, и от метеорологических условий (скорости ветра, распределения температуры по высоте и т.д.).

Для описания и прогноза различных явлений, протекающих в атмосфере, в настоящее время все чаще прибегают к методам математического моделирования этих процессов. Проблемам математического моделирования различных процессов, протекающих в температурност-ратифицированном пограничном слое атмосферы, и особенно проблеме моделирования процесса рассеяния загрязнений в этом слое, посвящены также исследования, результаты которых изложены в диссертации и данном автореферате диссертации. Несмотря на значительное число научных работ в этом направлении, до настоящего времени не существует стройных теорий и математических моделей, результаты и выводы из которых всегда достаточно хорошо согласовывались бы с экспериментальными данными. Поэтому тема диссертационной работы "Математические методы и модели в проблеме распространения примесей в температурно-стратифицированной атмосфере" является актуальной. Полученные результаты представляют значительный интерес как для дальнейших теоретических исследований в этом направлении, так и для практического их применения.

Цель работ

1. Указать эффективные способы определения (вычисления) и прогноза всех параметров в математической модели пограничного слоя атмосферы, представляющей собой замкнутую систему дифференциальных уравнений в частных производных, которой удовлетворяют основные характеристики пограничного слоя: горизонтальные составляющие скорости ветра, потенциальная температура, средняя кинетическая энергия и масштаб турбулентности, коэффициент обмена и средняя скорость диссипации турбулентной энергии.

2. Найти аналитические решения задачи, описывающей в наиболее общей постановке изменения по высоте температуры воздуха.

3. Найти аналитические и приближенные решения задач, описывающих рассеяние различного рода примесей (легких, тяжелых, час-

тиц среднего размера) в температурно-стратифицированной атмосфере при как можно наименьшем числе различных ограничений в рассматриваемой задаче (на коэффициенты уравнения, на начальные и граничные условия).

4. Применить найденные аналитические и приближенные решения задач, описывающих рассеяние различного рода примесей (легких, тяжелых, частиц среднего размера) при исследовании некоторых конкретных задач экологии.

5. Построить и исследовать математическую модель блуждания частицы примеси в нестационарном пограничном слое атмосфере, позволяющую определять различные статистические моменты пространственных координат этой частицы.

Научная новизна результатов работ

1. Впервые предложен метод статистического прогноза параметров математической модели пограничного слоя атмосферы Лайхтма-на-Зшштинкевича.

2. Найдены аналитические решения различных обобщений задачи вертикального распространения тепла в атмосфере, в которых: а) учитываются нестационарные притоки тепла в атмосферу, б) вертикальная составляющая коэффициента обмена линейно зависит от высоты г и является периодической функцией времени Ь, в) температура на границе атмосфера-подстилающая поверхность задана ограниченной непрерывной (в частности периодической) функцией времена Ь.

3. Обобщены известные результаты аналитического реиешзд задачи, описывающей изменения средних значений концентрации примеси в температурно-стратифицированной атмосфере. Данная задача исследовалась многими авторами (ввиду ее значимости для практики). Однако в явном аналитическом виде она была решена лишь в самых простейших случаях: в стационарном режиме, в случае, когда все коэффициенты полуэмпирического уравнения являются константами, в случае, когда полуэмпирическое уравнение описывает лишь процесс вертикальной диффузии. При этом этом учитывались источники самого простого вида: мгновенный точечный, линейный бесконечной длины. В диссертации, при решении указанной задачи, предполагалось, чгс в полуэмпирическом уравнении:

а) только компоненты скорости Еетра и, зависящие от них, коэффициенты горизонтальной диффузии являются постоянными, коэффициент вертикальной диффузии задан в виде степенной функции аргумента (высоты) г;

0) коэффициент <х(1), характеризующий процессы распада и взаимодействия частиц примеси с частицами окружающей их среды, может быть отличным от нуля-,

в) коэффициент характеризующий скорость осаждения частиц примеси под воздействием гравитационных сил, может быть как равным нулю (легкие частицы), так и отличным от нуля (тяжелые и среднего размера частицы);

г) функция, описывающая источник примеси, может соответствовать источнику любого типа, реально встречающемуся на практике (точечному , линейному, плоскому, объемному мгновенного или непрерывного действия), лишь бы только не нарушались условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи.

При построении с помощью метода расщепления асимптотических приближений решения данной задачи указанные в пункте а) ограничения значительно ослаблены (при сохранении требований о существовании и единственности решения задачи): допускается, что скорость ветра вдоль оси 02 является непрерывной функцией аргумента 2, растущей на (О, не быстрее линейной функции.

4. Найденные аналитические решения задач рассеяния примеси в турбулентной атмосфере использованы для подробного исследования: задачи краткосрочного прогноза загрязнения приземного слоя промышленными выбросами; обратной задачи для источника примеси в полуэмпирическом уравнении турбулентной диффузии; для построения и изучения математических моделей: оценки количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность за заданное время, рассеяния примеси от криволинейного источника, оптимального размещения источника примеси в экологически значимой зоне.

5. Предложена математическая модель блуждания частицы примеси в турбулентной атмосфере, основанная на результатах теории стохастических дифференциальных уравнений. Подробно исследованы, возникающие в рамках этой модели, некоторые задачи оптимальной фильтрами случайных помех (шумов) в наблюдаемом процессе. Исследована задача построения оптимального линейного фильтра в случае вырождения матрицы ковариаций случайных шумов в наблюдаемом слу-

чайном процессе. Построена оценка сверху для почти оптимального линейного фильтра. Построены асимптотические оценки для нелинейного оптимального фильтра.

Научная и практическая значимость работ

1. На основании предложенного метода статистического прогноза параметров замкнутой математической модели пограничного слоя атмосферы можно осуществлять прогноз значений физических характеристик этого слоя (горизонтальных составляющих скорости ветра, потенциальной температуры и т.д.), прогноз средних значений концентрации примеси в этом слое.

2. Хорошо известно, что многие процессы, протекающие в атмосфере, существенно зависят от температуры окружающего,воздуха и ее изменений по высоте. Поэтому полученные аналитические формулы, описывающие (близко к реальной действительности) изменения температуры воздуха во времени и по высоте, представляют несомненный практический интерес.

3. В настоящее время вычислительная математика имеет большие достижения в вопросах численного решения различного рода краевых задач. Поэтому решение задачи, описывающей рассеяние ппимеси в турбулентной атмосфере, численными методами не представляет большого труда. Однако аналитические решения этой задачи не утратили своего значения до настоящего времени: они более обозримы, более удобны для практического применения, чем численные решения, позволяют сделать глубокие выводы о характере зависимости их значений от параметров задачи, от начальных и краевых условий.

4. Бурное развитие промышленности в индустриально развитых странах, приводящее к интенсивному выбросу в атмосферу различных отходов производства, поставило перед государственными органами этих стран•проблему зяниты окружающей среды от вредного воздействия промышенных выбросов, приносящих ощутимый вред здоровью людей, значительный ущеро экологически значимым зонам. В настоящее время в каждой промышленно развитой стране остро стоят вопросы об оценке степени загрязнения атмосферы и подстилающей поверхности промышленными выбросами, о размещении промышленных предприятий в экологически значимых зонах таким образом, чтобы вредное влияние

выбросов этих предприятий на окружную среду -было минимальным. Результаты исследований задачи краткосрочного поогноза загрязнения приземного слоя атмосферы, обратной задачи для источника примеси, предлагаемые математические модели оценки количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность, рассеяния примеси от криволинейного источника, оптимального размещения источника примеси в экологически значимой зоне могут быть использованы для решений данных экологически значимых задач.

5. Математическая модель блуждания частицы примеси в турбулентной атмосфере позволяет определять (вычислять) статистические моменты координат этой частицы, не прибегая 'к полуэмпирическим методам, часто используемым в настоящее время, в прикладных исследованиях.

Одной из важных задач, возникающей при. построении математической модели блувдания частицы в турбулентной атмосфере, является задача оптимальной фильтрации пространственных координат этой частицы от случайных помех. Связанная с ней задача построения оптимального линейного фильтра в случае вырождения матрицы ковариа-ций кумов в наблюдаемом процессе изучалась во многих работах. Однако для прикладных исследований полученные результаты во многих случаях оказываются малопригодными, т.к. во всех известных работах по данной проблеме при выводе оптимального фильтра используется операция дифференцирования вектора наблюдений. Операция численного дифференцирования является некорректной, что приводит в реальной ситуации к грубым искажениям значений оптимальной оценки ненаблюдаемого процесса (пространственных координат частицы). Прелагаемый в диссертации оптимальный линейный фильтр не предполагает использования операции дифференцирования вектора наблюдений, имеет простой вид и легко реализуем на практике.

В рассматриваемом случае вырождения матрицы ковариаций шумов в наблюдаемом процессе предложена оценка сверху для решения задачи о почти оптимальном линейном фильтре.

Исключительно сложной является задача построения оптимального нелинейного фильтра. В настоящее время данная проблема находится в стадии изучения и разработки различных методов ее решения. Полученные в этом направлении результаты еще далеки до окончательного решения этой проблемы, тем более до их.широкого применения в прикладных исследованиях. Построенные и приведенные в

диссертации асимптотические соотношения для оптимальной в средне-квадратическом • смысле оценки ненаблюдаемых компонент случайного процесса по результатам измерений наблюдаемых компонент этого процесса позволяют решить задачу нелинейной фильтрации, не прибегая ни к построению громоздких уравнений,' которым должна удовлетворять оптимальная, оценка, ни к различным способам упрощения (например, линеаризации) рассматриваемой системы стохастических дифференциальных уравнений.

Указанные результаты - по оптимальной фильтрации случайных процессов можно использовать не только для фильтрации значений пространственных координат блуждающей в турбулентной атмосфере частицы, ' но. и при изучении различных задач оптимального управления стохастическими объектами.

Положения, выносимые на защиту.

1. Методики дискретного и непрерывного статистического прогноза значений параметров математической модели пограничного слоя Лайхтмана-Зилитинкевича,. позволяющие осуществлять оперативный вероятностный прогноз значений основных характеристик пограничного слоя температурно-стратифицированной атмосферы.

2. Результаты исследований аналитическими методами (с применением метода- преобразования координат) нестационарных задач, описывающих, суточные изменения температуры воздуха вдоль оси Ог в турбулентном пограничном слое атмосферы, с непрерывно зависящими от времени и высоты.(в частности, периодически изменяющимися во времени) функцией источников притона тепла в атмосферу, функциями из начального и.граничного условий, с линейно зависящим от высоты и периодически изменяющимся с течением времени коэффициентом турбулентного, обмена. -

3. Результаты исследований аналитическими методами задач рассеяния примеси при постоянной скорости ветра в температур-но-стратифицированной атмосфере, учитывающих процессы распада л. взаимодействия частиц примеси с частицами и молекулами окружающей среды, процесс осаждения частиц примеси на подстилающую поверхность под воздействием гравитационных сил, источники примеси самого различного вида, реально встречающиеся на практике (точеч-

ные, линейные, плоские, объемные мгновенного и непрерывного действия).

4. Результаты исследований по асимптотическим методам решения задач рассеяния примеси в температурно-стратифицированной атмосфере с непрерывно изменяющейся по высоте скоростью ветра, основанные на редукции (на каждом достаточно малом временном интервале) исходной задачи в трехмерном пространстве к нескольким одномерным и последующему применению к полученным задачам аналитических (а не численных, как обычно) методов решения.

5. Математические модели, построенные на основе найденных аналитических и приближенных решений задач рассеяния примеси в температурно стратифицированной атмосфере, экологически значимых задач: краткосрочного прогноза загрязнения приземного слоя промышленными выбросами, обратной задачи для источника примеси, определения (расчета) значений количества примеси, выпадающей из атмосферы на подстилающую поверхность за заданное время, определения (расчета) значений концентрации примеси в пограничном слое атмосферы от криволинейного источника, оптимального размещения источника примеси в экологически значимой зоне.

6. Математическая модель блуждания частицы примеси в турбулентной атмосфере, представляющая собой систему стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, которым удовлетворяют координаты блуждающей частицы, и позволяющая: установить связь между данными стохастическими уравнениями и полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии, указать эффективный способ вычисления статистических моментов блуждающей частицы, учесть (через коэффициенты системы) влияние вертикальных изменений температуры воздуха на положение частицы в пространстве.

7. Результьтаты исследований по оптимальной линейной и нелинейной фильтрации случайных процессов в п-мерном евклидовом пространстве, полученные в результате изучения предложенной математической модели блуждания частицы примеси в атмосфере и позво-ляляющие: построить оптимальный линейный фильтр в задаче.линейной фильтрации случайных процессов при■вырождении матрицы ковариаций шума в наблюдаемом процессе без дополнительных требований диффе-ренцируемости компонент вектора наблюдений, найти .¡постоить) оценку сверху для решения почти оптимального линейного фильтра, построить в задаче нелинейной фильтрации случайных процессов

асимптотические соотношения для оптимальной в среднеквадратичес-ком смысле оценки ненаблюдаемых компонент случайного процесса по наблюдаемым компонентам.

Апробация работ

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на 1 Всесоюзной конференции "Корреляционно-экстремальные системы управления" (Томск, 1979), на 1 Всесоюзной конференции "Оптими&а-ция динамических систем" (Минск, 1980), на Всесоюзном совещании-семинаре "Проблемы оптимизации и управления динамическими системами в машино-и приборостроении" (Москва, 1987), на 1 Международной конференции "Математика, компьютер, управление и инвестиции" (Москва, 1993), на 2 Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1995), на 1 Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1995), . на Международной школе-семинаре "Передача, обработка и отображение информации" (Теберда, 1995), на 2 Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Москва, 1995), на 4 Всероссийской конференции "Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования" (Тамбов, 1995), на Международной конференции "12 th International conference on Clouds and Precipitation" (Zurich, Switzerland, 1996), на 4 Международной конференции "Циклы природы и общества" (Ставрополь, 1996), на межвузовской конференции "Лейбниц - мыслитель, философ, человек" (Ставрополь, 1996), на 3 Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Москва, 1996), на научных конференциях Ставропольского государственного технического университета (Ставрополь, 1989, 1992, 1994, 1995, 1996).

По теме диссертации опубликовано 36 научных работ. Среди них 2 монографии, 2 научных отчета.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, восьми глав, заключения и списка литературы; она изложена на 356 страницах машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении определены объект исследования, указаны методы, с помощью которых проводились исследования, изложенные в диссертации; раскрывается актуальность разработанной темы, ее научная новизна и практическая значимость; приведено краткое описание результатов, изложенных в каждой главе диссертации; сформулированы и перечислены основные положения диссертационного исследования, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации - вводная. В ней кратко изложены основы физической модели пограничного слоя (раздел 1.1), приведена (в разделе 1.2) математическая модель этого слоя, представлявшая собой замкнутую систему дифференциальных уравнений в частных производных, которая связывает и описывает основные характеристики этого слоя: и.у - горизонтальные составляющие скорости ветра, 6 - потенциальную температуру воздуха, Ь2 - величину, пропорцио-иаш кую средней кинетической энергии турбулентности, К - коэффициент турбулентности вдоль оси Ог, г - среднюю скорость диссипации (перехода) турбулентной энергии, 1 - масштаб турбулентности. Если ьвести безразмерные переменные

fz и V 8 - е00

^ » Й., гп = — , ип - - , = - , 8П =

в 6 6 е

(1)

П .2 ь2 Г Км

1п " . Ьп = -5- , =

е ' "' б2 е2 те2

то указанная модель (система дифференциальных уравнений в частных производкис с заданными граничными условиями) имеет вид:

Эип э зип зуп а зуп

- *УП + - Кп - , - - - (ип- 1) + - Кп — •

Ып 'дгп 32П 31 п Эгп Эгп

ЗВп 3 Э8п

— * ед-Кп- ,

81 р. дгп дгп

ьп 8ЬП п -1 -1

ип=0, Уп=0, 9П = Э1П- , — = О, 1п = эеЯо при гп = 1?о>

2з1тр 32п

2

ип -* 1, о, еп - о, ьп - о при гп •*

В главе 1 приведена также математическая модель рассеяния примеси в турбулентной атмосфере, представляющая собой так называемое полуэмпирическое турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями; указаны известные аналитические методы решения данной задачи (раздел 1.3).

Во второй главе изложены результаты исследований, посвященных построению и развитию методов статистического прогноза значений параметров од, «сь Ко. Зщ математической модели пограничного слоя атмосферы (2). Без задания значений этих параметров модель (2), очевидно, будет недоопределенной.

В 2.1 описана взаимосвязь стратификации атмосферы с динамическими характеристиками пограничного слоя. Приведены известные экспериментальные данные этой взаимосвязи. Описан механизм влияния стратификации атмосферы на значения параметров «н, «о и зависящего от них параметра «о, и механизм влияния значений модуля скорости геострофического ветра Б на значения у3 (скорость сухого осаждения примеси), {?0, Евд.

На основе статистического материала, изложенного в 2.1, в разделе 2.2 предложена вероятностная модель прогноза распределения значений параметров од, «а, од. Ко. Зт, существенно зависящих от температурной стратификации атмосферы. В термин "прогноз

распределения значений параметров" будем вкладывать следующий смысл. Пусть 83 обозначает либо од . либо «а ,... либо Бщ в фиксированный момент б. Область значений 83 разобьем (произвольным образом) на п подобластей (интервалов), где п=1,2, 3,... выбирается в зависимости от постановки рассматриваемой задачи и размера таблиц 1-7, приведенных в 2.1. В кадцом таком частичном интервале Са1-1,а1),1=1,...п, все значения 83 заменяем одним средним значением

83, 1=1,...п.

В 2.2 показано, что 63 можно интерпретировать как некоторый одномерный случайный ипроцесс.Обозначим через Рь 1=1,...п, вероятность того, что Оз примет значение в [а^-ьа!), т.е. ^ = Р(83 е е [а^г.ах)), 1 = 1, ... п. Тогда полную статистическую характеристику 83 в момент э дает ряд распределения, представляющий собой таблицу

_ _ _

61 е2 е3 8П

Р1 Р2 Рз Рп

Пусть в момент 1 известно значение 81, равное в, т.е. 81 = В Вычислим условные вероятности

Р1 = Р « 8з е Са^-ьа! )>| 6Ь = в), 1 = 1, .... п, и рассмотрим таблицу

_ _ _ __

8а 02 8з 8п

Р1 -V Р2 Рз . . . Рп

которую назовем рядом распределения с условными вероятностями.

Под прогнозом распределения значений 83 в момент б > Ь будем понимать ряд распределения 83 (или некоторая его часть, если рассматривается часть значений 83 ) с условными или с абсолютными

вероятностями, построенный для момента э.

В 2.2 и 2.3 предложен и подробно описан алгоритм определения (вычисления) вероятностей

Р1. Рг. Рэ.....Рп . Рь Рг. Рз. ••• . Рп .

основанный на свойствах матриц переходных вероятностей однородных цепей Маркова.

В 2.4 методы статистического прогноза, разработанные в 2.2, 2.3, использованы для краткосрочного прогноза распределения средних значений основных параметров пограничного слоя: Ь2(средней кинетической энергии турбулентности), е (средней скорости диссипации турбулентной энергии) и 1 (масштаба турбулентности, пути смещения).

В 2.4 предложена также достаточно простая ( для исследования ее численными методами) замкнутая математическая модель, которую удобно использовать для первоначальной оценки основных характеристик ■пограничного слоя атмосферы. Эта модель не содержит громоздкого уравнения диссипации.

В 2.5 анализируются достоинства и недостатки статистических моделей из 2.2-2.4. Основными достоинствами моделей краткосрочного прогноза значений указанных параметров являются: 1) малый объем требуемой информации об этих параметрах, получаемой экспериментальным путем, необходимой для достаточно уверенного прогноза их значений (для прогноза значений aH.ocQ.aD.Ro,Уз необходимы только оперативные данные о скорости ветра; для прогноза значений Зщ к ним добавляются оперативные данные о распределении температуры по высоте, включая температуру атмосферы на уровне почвы; для краткосрочного прогноза значений Ь,е,1 также необходимы лишь оперативные данные о скорости ветра); 2) доступность получения указанной информации (оперативные данные о скорости ветра на уровне флюгера, распределении температуры по высоте пограничного слоя и температуре верхнего слоя почвы могут быть получены практически на любой метеостанции); 3) простота обработки полученной информации ( не представляет большого труда построить с помощью ЭВМ ряды распределения С.ан.ао.ао,Vs.Ro.Sm).

К.недостаткам указанной модели следует отнести следующие моменты: 1) при краткосрочном прогнозе значений параметров погра-

ничного слоя мы будем получать не конкретные значения, а всего лишь (вероятностные) ряды распределений значений этих параметров; 2) точность оценки значений прогнозируемых параметров, очевидно, не будет высокой (хотя и будет вполне достаточной для предварительной, грубой, их оценки ).

Указанные выше недостатки не снижают практическую значимость данной модели хотя бы потому, что к настоящему времени не существует другой альтернативной модели подобного типа.

Для количественной оценки меры того, что параметр 8 примет прогнозируемые значения, в 2.5 введены величины H(8) - апостериорная энтропия прогнозируемых (на момент s) значений параметра 8 , и 1(8) - величина, характеризующая среднее количество сохранившейся (на момент s) информации о каждом прогнозируемом значении параметра 8. Указаны способы вычисления H(8), 1(8).

Глава 3 посвящена построению и изучению стохастической модели прогноза значений горизонтальных компонентов U, V скорости 6 геострофического ветра, непрерывно зависящих от времени t (U(t) -проекция скорости G(t) в момент t на ось Ox, V(t) - проекция скорости G(t) в момент t на ось Оу). Поскольку параметры ocH»°iQ»<*D,Vs.Ro.Sm математической модели (2) могут быть выражены через модуль G, то предложенная в главе 3 модель позволяет осуществлять также стохастический прогноз значений этих параметров.

В 3.1 приведены основные результаты теории оптимальной фильтрации и прогноза состояний линейных стохастических систем (результаты теории Калмана-Бьюси).

В 3.2 предложена стохастическая модель прогноза значений U, V по результатам наблюдений за значениями градиента grad р поля давления р = p(t,x,y,z). Эта модель имеет вид:

d V(t) = AiV(t) dt + 6id vfi(t), V(t0) = V0 , d U(t) = A2U(t) dt + 62d w2(t), U(t0) = U0 ,

ni(t) = Hi.V(t) + Qi vi(t), H2(t) = H2U(t) + 02 v2(t),

где i>i(t), иг(t) - результаты наблюдений sa значениями grad р, компоненты которого заданы в системе координат Лагранжа, Qivi(t), Q2V2(t) - помехи (шумы) в наблюдениях, Ai,Hi,6i,Qj, 1=1,2,- за-

данные постоянные, wi(t), W2(t) - независимые, как между собой, так так и относительно vi(t), V2(t), винеровские случайные процессы. Данная система стохастических дифференциальных уравнений записана в форме Ито. На основании результатов теории оптимальной линейной фильтрации и прогноза состояний линейных стохастических систем предложены способ построения оптимальной в среднеквадрати-ческом смысле оценки V0(t), U0(t) значений V(t), (J(t) и способ оптимального прогноза этих значений.

Прежде, чем решать задачи оптимальной фильтрации и прогноза значений UCt), V(t) из рассмотренной в 3.2 модели, необходимо предварительно решить следующую задачу идентификации: по результатам измерений iu(t), i=l» 2, te[t0,t(1)] процессов U(t), V(t) оценить значения коэффициентов Qi, Ai, 6i, i = 1, 2, в указанных выше уравнениях таким образом, чтобы значения процессов T)i(t) ,ti2(t) ,U(t) ,V(t), моделируемые этими уравнениями, были адекватны реальным (измеряемым, оцениваемым) значениям процессов ni(t),7i2(t),U(t),V(t) при tect0,T3. В 3.3 данная задача решена путем минимизации по Ai,6j,Qi, 1=1,2, в стационарном режиме решений дифференциальных уравнений, заданных в двумерном пространстве, которым удовлетворяют математическое ожидание и корреляционная матрица двумерного процесса (U(t), V(t)).

При решении задачи (2) численными методами возникают (на каждом шаге вычислений) случайные ошибки, которые могут иметь самую различную природу (ошибки, вызванные сбоями в работе ЭВМ и т.д.). В 3.4 предложен способ фильтрации такого рода ошибок.

Глава 4 посвящена построению аналитическими методами решений задач', описывающих (в различной постановке) изменения по высоте температуры воздуха T(t,z) в приземном слое атмосферы.

В 4.1 исследована задача

ЭТ Э ЗТ

— = — Kz — , 2>0, К2 = kz+v, k=const, v=const,

at dz dz

T(to.z) = <p(z), T(t,0) = Tn , Tn = const,

где K2 - вертикальная составляющая коэффициента обмена , Тп = const - температура верхнего слоя почвы в момент времени t (предполагается, что Тп,ф(2), К2 конкретно заданы) Методом преобра-

зования координат построено аналитическое решение этой задачи. В 4.2 найдено аналитическое решение более общей задачи:

зт а эт

— = — К2 — , 2>0, К2 = кг+у, к=согш1, у=сопз1, 91 дг дг

T(to.z) ж ф (z), z > 0, T(t,0) = +(t) .

В 4.3 построено аналитическое решение задачи прогноза суточного хода температуры воздуха по высоте в приземном слое атмосферы в наиболее общей постановке, учитывающей как периодичность изменений по времени коэффициента К2, так и различные источники притока тепла в атмосферу s(t,z) (результаты из 4.1, 4.2 являются частными случаями данного результата):

9Т 9 ат

— » — Kz — + s(t,z), Кz = (kz + v)(ai + a2cos(ot)),

at az az

k=const, v=const, ai=const, a2=const, u=const,

T(t0,z) - »(z), z > 0, T(t,0) = tit).

Решение этой задачи имеет вид:

ait + — sin(»t)

аг о

ait0+ — sin(wto) ы

X

oo

2 /V

/2я(кг + v)

Г( ^ /2(k2 + V) - / ü2 \ x j4[ait+— sln(«t)--^-— Jexp(- -

/2 (kz+v) - |/2v~

к t/ái(t-t0)+ (аг/о»)(sin(<rit)-sin(wt0)

где

б(Т),2) =

s(tí,2)

ai+a2C0s(<ar г(и))

sOi.z) = £ (г 1(n),z), ф(и) = ф(Г 1 (т»)>,

<Kt) - функция из граничного условия, г-1(п) - функция, обратная по отношению к

аг

т» = r(t)= ait + — sin(<i>t) , w

q ;n ,z)

2 / tí (n - X) (kz + v)

exp<

( /2(kz + v) - /2(ki, + v) )' 2 kz(T) - X)

exp<~

( ^2(kz + v) + /2(k¡i + v) - 2 /zv~

2 k2(n - X) "

В главе 5 аналитическими методами исследованы математические модели, описывающие в различной постановке изменения средних значений концентрации примеси и, х, у, г) в турбулентной атмосфере при постоянной скорости ветра. В общем виде эти математические модели представляют собой полуэмпирическое уравнение

3q 9q 9q

— +u — -w — + aq 3t Эх 3z

Э 9q 8 8q + — Ky — + — K2 — + f, Эу Эу dz dz

K*

3q

Эх Эх

t £ [t0, T3,

(3)

с начальным

q(t0,x,y,z) = q>(x,y,z)

(4)

и граничными

{ K2 ^ + wq } = (vsq } v dz ' z=z^ v )

2=z0

(5)

q(t,x,y,z) - 0, xz + y2 + z2 -

(6)

условиями. Здесь u - скорость ветра вдоль оси Ox, w - средняя скорость осаждения частиц примеси на подстилающую поверхность, a - коэффициент, характеризующий изменения значений концентрации примеси либо за счет взаимодействия ее с окружающей средой, либо аа счет превращения ее в другие виды примеси (например, в результате радиактивкого распада1, Кх, Ку, Kz - коэффициентами турбулентной диффузии соответственно вдоль осей Ox, Оу, Oz, f - функция, описывающая источник примеси. В этой главе предполагается, что

u = const, w = const, a. = a(t), Kx = Ky = k0u, kG = const.

K2 = kzzn , кг = const, n = const, О - n < г,

(7)

<x(t) - непрерывная функция аргумента t e [t0,T], q(t,x,y,z) непрерывно дифференцируема no t e tt0, "Л и дважды - по (x.y,z) e 6 fi, Si =i(X,y,2): X € (- »), у 6 (- oo), z e iZo, «)}, zo?0.

ОЭ

f задана в таком виде, при котором не нарушаются условия существования и единственности решения задачи (3)-(7).

В 5.1 указаны способы упрощения математической мод,- »'н (3)-(7). Приведенные здесь результаты и соотношения использованы для решения более конкретных задач.

В 5.2 изучаются процессы рассеяния в турбулентной атмосфере различных видов примесей (легких, тяжелых, частиц среднего размера) от мгновенного точечного источника, расположенного в точке с координатами (0,0,Н), при условии, что фоновая концентрация этой примеси не учитывается. Указаны способы построения аналитических решений данной задачи для легкой, тяжелой примесей, для частиц среднего размера.

В последующи разделах данной главы изучаются процессы рассеяния указанных типов примесей от различного вида непрерывно действующих источников с учетом фоновой концентрации1примеси. В 5.3 изучена задача, описывающая изменения средних значений концентрации легкой примеси в турбулентном приземном слое атмосферы от различного вида источников (при условии отражения этой примеси), в 5.4 - тяжелой, в 5.5 изучена диффузия частиц примеси среднего размера. Во всех этих разделах найдены аналитические решения рассматриваемых задач.

В 5.7 указан способ построения гауссового приближения решения задачи, описывающей рассеяние примеси от мгновенного точечного источника при более слабых, чем в предыдущих параграфах, ограничениях на коэффициенты уравнения (8): предполагается, что Кх, Ку, Kz являются непрерывными функциями аргумента z, г > 0, растущими не быстрее линейной функции.

В 5.8 найдено аналитическое решение задачи, описывающей рассеяние примеси от мгновенного точечного источника для того случая, когда Kz линейно зависит от z: Kz = ci2 + cz, ci = const , С2 = const.

В главе б задача (3)-(7) изучается при более слабых, чем в главе 5, ограничениях на коэффициенты полуэмпирического уравнения, начальные и граничные условия. Предполагается, что коэффициенты уравнения (3) и ф(х,у,z) из начального условия (4) удовлетворяют условиям: <d=const; a(t) непрерывна при t>C; и, Кх.Ку,Кг являются непрерывно дифференцируемыми функциями аргумента z, г>0: u=u(z), Kx=Kx(z), Ky=Ky(z), KZ=K2(2), причемKz(z) = KoZh . Ко -

» const > О , n=const , О < n < 2, a u=u(z), Kx= Kx(z), Ky= Ky(z) растут не быстрее некоторой линейной функции, q»(x,y,z) непрерывна по совокупности своих аргументов, <p(x,y,z) 0 при x2+y2+z2 -» «>, z > 0. Поскольку построить точное решение задачи (3)-(7), сформулированной в столь общем виде, практически невозможно, то для ее решений (описывающих изменения в пограничном слое атмосферы средних значений концентрации различных видов примесей - легкой, тяжелой, частиц среднего размера) построены асимптотические приближения. Эти построения осуществляются путем расщепления рассматриваемой задачи на задачи более простого вида по следующей схеме. Интервал [t0, Т] разбивается на частичные интервалы Cti,ti+i), i= = 0,1,2,..., достаточно малой длины. На каждом интервале [ti,ti+i), i •= 0,1,2,..., задача (3)-(7) редуцируется к последовательному решению некоторых одномерных задач, решение каждой из которых может быть построено аналитическими методами. После решения (на каждом интервале Cti.ti+i), i = 0,1,2,...,) полученных одномерных задач легко построить на этих же интервалах Cti.tj+i), 1 » 0,1,2,..., асимптотические приближения решения задачи (3)-(7).

Подробному изложению указанного метода построения приближенных решений задачи (3)-(7) посвящен раздел 6.1.

В 6.2 указанным методом решена задача, описывающая изменения в пограничном слое атмосферы средних значений концентрации легкой, в 6.3 - тяжелой примесей, в 6.4 - частиц среднего размера.

Результаты, полученные в главах 5, 6, использованы в главе 7 для решения конкретных задач экологии.

В 7.1 предложена математическая модель краткосрочного (оперативного) прогноза загрязнения температурно-стратифицированного приземного слоя промышленными выбросами. Данная модель учитывает аномальные метеоусловия, существующие в приземном слое: штилевые слои, слои приподнятых инверсий, туманы, смоги.

В 7.2 изучена обратная задача для • источника , позволяющая оценить по значениям концентрации q(t,x,y,z) примеси в атмосфере мощность Q источника выбросов в приземный слой этой примеси.

В 7.3 указан способ расчета количества примеси, выпадающей из атмосферы на подстилающую поверхность.

Обычно, при изучении рассеяния примеси в атмосфере, предполагается, что источник примеси в пространстве может быть либо то-

чечным, либо линейным, либо плоским (площадочным), либо объемным. Однако в реальной действительности встречаются и криволинейные источники. Например, криволинейным источником можно считать участок извилистой дороги с подъемами, спусками, на котором наблюдается интенсивное движение транспорта, загрязняющего атмосферу вредными (для окружающей среды) веществами, содержащимися в выхлопных газах. В 7.4 предложена математическая модель для расчета средних значений концентрации примеси д(Ь,х,у,2) в приземном слое атмосферы от такого вида источников.

В 7.5 предложена математическая модель размещения источника примеси в экологически значимой зоне (или возле нее) таким образом, чтобы загрязнение атмосферы и подстилающей поверхности в этой зоне было минимальным. Подобная задача изучалась в монографии Г.И. Марчука "Математическое моделирование в проблеме окружающей среды". В этой работе данная проблема решается путем минимизации некоторой функции, зависящей от решения так называемой сопряженной задачи (3)-(7). В 7.5 для решения указанной задачи привлекаются решения прямой задачи (3)-(7), которые были найдены в гл. 5,6. Данный подход менее формализован и более удобен для его практической реализации.

В 7.6 введено понятие устойчивости решения д^.х.у.г) задачи (3)-(7) к изменениям (возмущениям) функции источника примеси Г и фоновой концентрации ф(1,х,у,г). Приведенные результаты об устойчивости д(Ь,х,у,2) позволяют строго обосновать часто используемое на практике положение: малым изменениям фоновой концентрации <р и мощности источника С при неизменных метеоусловиях соответствуют малые изменения значений средней концентрации примеси в атмосфере.

Глава 8 посвящена изучению и построению математической модели для такого физического явления, как блуждание частицы примеси в температурно-стратифицированной атмосфере. Поскольку данное явление имеет очевидные сходства с таким, как блуждание взвешенной частицы в жидкости или газе, то для описания этого явления естественно использовать аппарат теории стохастических дифференциальных уравнений, который применяется для описания диффузии частиц в жидкости или газе.

В 8.1 с помощью теории стохастических дифференциальных уравнений (в форме Ито) построена математическая модель блуждания

частицы примеси в турбулентной атмосфере (см. раздел 8.1). В рамках этой модели можно указать способ вычисления различных моментов случайных координат блуждающей частицы (раздел 8.2) (например, первый начальный момент характеризует средние значения координат блузедающей в пространстве частицы, второй центральный момент является мерой рассеяния частиц примеси в пространстве). Если производятся измерения координат блуждающей частицы, то в этом случае возникает задача фильтрации случайных шумов в результатах измерений (наблюдений). Эта задача изучается (для n-мерного, п > 1, пространства) в разделах 8.3-8.6. В 8.3 изучается задача построения оптимального линейного фильтра в случае вырождения матрицы ковариаций шумов наблюдаемых значений координат частицы; в 8.4 построена оценка сверху для так называемого почти оптимального линейного фильтра. В 8.5 указан способ построения плотности вероятностей перехода случайного процесса, первые координаты которого - ненаблюдаемые, а последующие - наблюдаемые координаты блуждающей частицы.

Итогом этой главы является следующая теорема, ' доказанная в 8.6 и представляющая интерес не только в области теории турбулентной диффузии, но и в области теории оптимального управления стохастическими системами.

Теорема. Пусть для процесса £,n(t) со значениями в Еп, удовлетворяющего задаче

d£,n(t) = a(t,«,n(t))dt + b(t,6,n(t))dwn(t), t e £t0. T3, f;n(t0) = *no ,

выполнены все условия теорем 8.5.2, 8.5.4. Пусть р0(хп) - плотность распределения вероятностей случайного вектора г,п0 = Uo.Tlo)- Тогда для оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки

KGUt)) = M(£,(t)/T)(t)) = (M(.£,i(t)/и(t)),...,M(£,k(11 /ti(t) )

k-мерной компоненты s,(t) по результатам наблюдений за I-мерной компонентой 7)(t) (к+1)-мерного процесса s,n(t) = (£,(t V,n(t )). n=k+l,

ft(t) = (s.ni(t),...,i,nk(t)), l»(t) . ,(ni(tl,.'..,4l(t)) =

(£nk+l(t),... ,ï.nk+l(t)), справедливо соотношение:

МОиСО/Ш)) = гдо

с[ао,хп-Д,уп)

I Ро(хп)д(^,хпД,уп)с1хп Е Е

рук |пРо(хпЖЬ0,хпд.уп)с1хп 1-1,...,к,

( |уп-хп|2 л

ехр{--+ 2(1,уп)-г(10,хп)}>

+ оач0)2 у1- ла)

(2Я(Ыо))

п/2

>с 1+

1

аЧ0)Ус!у $ва+уач0), хп + ^Ь^ Ьп+у(уп-хп)р(у,11п))аЬпу

рО,Г1п) =

1

1 п

ехр{--- £ (ГЛ)2} •

2у(1-У ) 1=1 /

(2ЯУ(1-У2))п/2

Хп= (XI----- Хк,Хк+1.....Хк.+1), Уп= (У1,. ■ •, Ук.Ук+1. • • •,Ук+1) .

хк=(хь-...Хк), Ук=(У1,...,Ук), х1=(хк+1,...,Хк+1), У1=(Ук+1,-...УЧ+1), Ьп=(Ь1,...,Ьк,Ьк+1,...,Нк+1) -

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ I! БК20ДЫ

Разработан метод статистического прогноза параметре»!-. ан,«о,ап.Уз» Ко.^.В математической модели пограничного слоя атмосферы, представляющей собой замкнутую систему дифференциальных уравнений в частных производных, которым удовлетворяют основные характеристики этого слоя: и,'/,е,1,Ь2,8,К. Предложены дискретный и непрерывный варианты такого прогноза. Математическая модель подробно описана в монографиях Зилитинкевича С.С. Динамика пограничного слоя атмосферы. -Л. -.Гидрометеоиздат, 1970. -292 е., Лайх-тмана Д.Л. Физика пограничного слоя атмосферы.-Л.: Гидрометеоиздат, 1970. -292 с. Однако, только после указания способа пропгсга значений параметров ан.йсьосо.Уз.^Зт.б модель мокно считать

окончательно построенной. Используя результаты прогноза значений ftH.CQ.rtD.Vs.Ro.Sm.G. очевидно, можно осуществить прогноз значений основных характеристик пограничного слоя: U,V,e,l,b2,8,K. Результатами прогноза значений U.V.K можно воспользоваться для прогноза изменения во времени и по высоте значений температуры воздуха T(t,z) и изменения во времени и в пространстве значений концентрации примеси q(t,x,y,z): по U,V можно определить скорость ветра и вдоль оси Ох (для этого необходимо декартову систему координат переориентировать таким образом, чтобы вектор скорости ветра был направлен вдоль Ох),затем по и и К определить коэффициенты уравнений, которым удовлетворяют T(t,z), q(t,x,y,z), воспользовавшись соотношениями: Км = (KGz)/f, К2= од Км, Кх = Ку = k0u, k0= const, f - параметр Кориолиса.

Получены формулы для расчета значений температуры воздуха T(t,z) вдоль оси Oz. Данные результаты являются наиболее общими из всех известных в настоящее время результатов, полученных в результате исследования аналитическими методами физической задачи об изменении значений температуры воздуха вдоль оси Oz (результаты исследований данной задачи аналитическими методами приведены, например, в указанных выше монографиях Зилитинкевича С.С. и Лайх-тмана Д.Л.).

Существенно обобщены все известные результаты решения (аналитическими методами) задачи, описывающей рассеяние примеси в пограничном слое атмосферы (см., например, монографию Семенчина Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии.- Ставрополь: СКИУУ, 1993. -142 е.). Полученные формулы для расчета значений концентрации примеси q(t,x,y,z) в турбулентной атмосфере позволяют осуществлять как краткосрочный (в пределах 3 суток), так и долгосрочный (свыше 3 суток) прогноз изменений во времени и в пространстве значений q(t,x,y,z). В инструктивном документе "Методика расчета концентраций в атмосферном воздухе вредных веществ, содержащихся в выбросах предприятий. ОНД-86. Госкомгидромет" (Л.: Гидрометеоиздат, 1987.- 94 с.) также приведены формулы для прогноза изменений значений q(t,x,y,z). Эти формулы получены полуэмпирическими методами на основе численных решений задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере и теоретически мало обоснованы. Полученные в диссертации выражения (формулы) для расчета q(t,x,y,z) сво-

бодны от этого недостатка.

Исследованы задача краткосрочного прогноза загрязнения приземного слоя промышленными выбросами, обратной задача для источника примеси в полуэмпирическом уравнении турбулентной диффузии, построены математические модели оценки количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность за заданное время, рассеяния примеси от криволинейного источника, оптимального размещения источника примеси в экологически значимой зоне. В монографии Бер-лянда М.Е. "Современные проблемы атмосферной диффузии" (Л.: Гид-рометеоиздат, 1975.-448 с.) поставлена глобальная проблема об оценке допустимых нагрузок на биосферу в целом в результате научно-технической и промышленной деятельности людей. Отмечено, что основой решения данной проблемы должны стать теоретическое моделирование и направленная постановка эксперимента. Важной составной частью данной глобальной проблемы является проблема оценки допустимых нагрузок на биосферу в результате промышленных выбросов в атмосферу. Проведенные исследования позволяют решить или указать способы решения многих задач, возникающих в рамках данной проблемы.

Предложены: оптимальный линейный фильтр в случае вырождения матрицы ковариаций шумов в наблюдаемом случайном процессе, оценка сверху решения почти оптимального линейного фильтра, асимптотические соотношения для оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки ненаблюдаемых компонент случайного процесса по наблюдаемым компонентам в задаче нелинейной фильтрации случайных процессов. Эти результаты позволяют расширить круг прикладных задач, которые могут быть исследованы в рамках теории стохастической фильтрации. Важные результаты в теории нелинейной фильтрации случайных процессов принадлежат Р.Л. Стратоновичу' и Г.Дж.' Кушнеру. Ими было получено стохастическое интегро-дифференциальное уравнение в частных-производных, которому удовлетворяет апостериорная условная плотность распределения случайного процесса. По этой плотности нетрудно определить (в среднеквадратическом смысле) оценку ненаблюдаемых компонент случайного процесса по наблюдаемым. В-известной монографии Липцера Р.Ш.., Ширяева А.Н. "Статистика случайных процессов" (М.: Наука, 1974.- 696 с.) получено стохастическое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет указанная оптимальная оценка. Однако эти уравнения имеют сложный вид.

Построение точных решений этих уравнений даже в простейших случаях, как правило, не представляется возможным. Затруднительным является даже численное решение этих уравнений. Поэтому в прикладных исследованиях данные результаты малопригодны. Полученные асимптотические соотношения для оптимальной в среднеквадратичен ком смысле оценки ненаблюдаемых компонент случайного процесса по наблюдаемым имеют достаточно простой вид и без особого труда с помощью ЭВМ могут быть реализованы на практике.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ R0 ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Математические модели и численные методы в задачах экологии. Модели переноса загрязнений. Качественная теория: Отчет с НИР(промежуточ.) за 1991-1992 г.г. / Ставроп. политехи, ин-т. Каф. прикл. математики и программирования / Рук. И.Э. Наац. Отв. исп. Е.А. Семенчин. ВНТИцентр; N Г.Р.01930003007.- М.,1992.-56 с.

2. Математические модели и численные задачи экологии. Аналитические методы в задачах переноса, рассеяния и фильтрации загрязнений в природных средах: Отчет о НИР (промежуточ.) за 1992-1993 г.г. /Ставроп. политехи, ин-т. Каф. прикл. математики и программирования / Рук. И.Э.Наац. Отв. исп. Е.А. Семенчин. ВНТИцентр; N Г.Р. 02930005136.- М.', 1993.- 76 с.

3. Naats I.E., Ekba Ya.A., Kaplan L.G., Semenshin E.A. //Non-stationary model of admixture distribution in the cloudu atmosphere: 12th International Conference on Clouds and Precipitation. V.2.- Zurich, Switzerland, 1996.- P. 899-900.

4. Haau И.Э., Семенчин E.A. Математическое моделирование динамики пограничного слоя атмосферы в задачах мониторинга окружающей среды.- Ставрополь: Изд-йо СГПУ, 1995.- 196с.

5. Наац И.Э., Семенчин Ё.А. Оптимальные среднеквадратические оценки в задаче численного решения параболических уравнений //Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования: Материалы 4 Всерос. науч. КОНф. ТВВАИУ.- Тамбов, 1995.- С. 194-195.

6. Семенчин Е.А. О преобразовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии // Вероятностные процессы и управление: Меэшуз. сб. / Кубан. гос. ун-т.- Краснодар: Изд-во ун-та, 1977.

С.59 - 84.

7. Семенчин Е.А. Некоторые вопросы теории оптимальных систеу // Вероятностные процессы и управление: Межвуз. сб. / Кубан. гос. ун-т.- Краснодар: Изд-во ун-та, 1979. - С.68 - 71.

8. Семенчин Е.А. Об исследовании задачи управления диффузионными процессами методом преобразования уравнения Колмогорова //Вероятностные процессы и управление: Межвуз. сб. / Кубан. гос. ун-т.- Краснодар: Изд-во ун-та, 1979. - С.140 - 146.

9. Семенчин Е.А. Применение методов преобразования случайных процессов з теории оптимального управления стохастическими системами. - Саратов: Кзд-во СГУ, 1986. - 36 с.

10. Семенчин Е.А. О построении модели решения задач в КАОС //Методы и системы технической диагностики: Межвуз. сб. /Сарат. гос. ун-т.- Саратов: Изд-во ун-та, 1987.- С. 20-22.

11. Семенчин Е.А. Об одном способе построения функции Белл-мана для управляемых стохастических систем //Проблемы оптимизации и управления динамическими системами в машино- и приборостроении: Тез. докл. Всесоюз. науч. совещания-семинара. МИЗМ. - М., 1987.-С. 84.

12. Семенчин Е.А. Оптимальное управление быстропротекающими случайными процессами // Методы исследования и проектирования элементов и систем автоматического управления: Межвуз. сб. /Моск. ин-т электрон, машиностроения.- М.: Изд-во МИШ, 1990. - С. 33-35.

13. Семенчин Е.А. Оптимальное управление некоторыми случайными процессами диффузионного типа // 18 конф. по итогам НИР ППС за 1988 г.: Материалы науч. конф. СтПИ.- Ставрополь, 1989.- С. 107.

14. Семенчин Е.А. Фильтрация при вырожденной помехе в канале наблюдения // 19 конф. по итогам НИР ППС за 1989 г.: Материалы науч. конф. СтПИ.- Ставрополь, 1990.- С. 149.

15. Семенчин Е.А. Методические указания "Цепи Маркова" курса теории вероятностей и математической статистики для инженерно- экономических - специальностей.- Ставрополь: Изд-во СтПИ, 1989.28 с.

16. Семенчин Е.А. Об оценке решения почти оптимального линейного фильтра // Автоматика и телемеханика.- 1991.- N 12. -С.84-91.

17. Семенчин Е.А. Фильтрация при вырождении матрицы ковариа-ций шума в наблюдаемом процессе // Изв..СКНЦ высш. шк. Естественные науки.- 1991.- N:3.- С.4-11.

18. Семенчин Е.А. Диффузия легкой примеси в турбулентной атмосфере // Сб. докл. науч. конф. ППС Ставроп. политех, ин-та. Фак-т экономики и систем управления: Материалы науч. конф. СтПИ. - Ставрополь, 1992. - С. 54-57.

19. Семенчин Е.А. Об асимптотической оценке решения нелинейного оптимального фильтра // Математика, компьютер, управление и инвестиции: Тез. докл. 1 Междунар. науч. конф.- М., 1993,- С. 68.

20. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии.- Ставрополь: СКИУУ, 1993. -142 с.

21. Семенчин Е.А. Обратная задача источника для уравнения переноса примеси в приземном слое атмосферы //Актуальные проблемы фундаментальных наук: Труды 2 Междунар. науч. конф. Техносфера -Информ.- М., 1994. - С. 54-56.

22. Семенчин Е.А. Об одной обратной задаче в математической модели турбулентной диффузии // Обратные и некорректно поставленные задачи: Тез. докл. Междунар. науч. конф. МГУ. - М., 1995.- С. 45.

23. Семенчин Е.А. Количество информации о значениях прогнозируемых параметров математической модели пограничного слоя атмосферы // Передача, обработка и отображение информации: Труды междунар. школы-семинара. - Ставрополь, 1995. - С.97-100.

24. Семенчин Е.А. Нелинейная оптимальная фильтрация диффузионных процессов с помощью метода расщепления // Математика. Компьютер. Образование: Тез. докл. 2 Междунар. конф. МГУ. - М. , 1995.- С. 150.

25. Семенчин Е.А. Редукция некоторых тройных несобственных интегралов к квадратурным формулам // Сев.-Кавк. науч.-философский альманах.- 1996. Вып. 3.- С. 70-71.

26. Семенчин Е.А..;Периодические колебания температуры воздуха в приземном слое атмосферы // Циклы природы и общества:. Труды 4 Междунар. науч. конф.- 4.1.- Ставрополь, 1996.- С. 279-280.

27. Семенчин Е.А. Стохастическая модель прогноза рассеяния примеси в турбулентной атмосфере // 26 науч.-тех. конф. по результатам НИР ППС за 1995 г. , посвященная 25-летию создания вуза: Тез. докл.- Т. 1.- Ставрополь, 1996.- С. 7.

28. Сеыенчин Е.А. Определение статистических моментов координат диффундирующих частиц примеси в турбулентной атмосфере //Вест.. Ставроп. гос. ун-та. Физ.-мат. науки,- Вып.5.-1997.- С. 51-56. -

29. Семенчин Е.А., Аверин C.B. Идентификация параметров в стохастической модели'оценки компонентов вектора скорости геострофического, ветра // Лейбниц - мыслитель, философ, человек: Тез. докл. Межвузов, конф. СтГТУ.- Ставрополь, 1996.- С. 39.

30. Семенчин Е.А'., Ивинский И.И. Краткосрочный прогноз загрязнения приземного слоя атмосферы. // Конф. ППС Ставроп. гос. политех, ин-та. Фак-т электрон.- энергет. систем: Сб. докл. науч. конф. - Ставрополь, 1992. С. 56-58.

31. Семенчин Е.А., Сербина Л.И. Элементы теории устойчивости динамических систем.- Ставрополь: Йзд-во СтГТУ, 1995.- 36 с.

32. Семенчин Е.А., Сербина Л.И. Математическая модель движения частицы примеси в турбулентной атмосфере // Математика. Компьютер. Образование: Труды 3 Междунар. науч. конф. МГУ.- М., 1996,- С. 272-276.

33. Семенчин Е.'А., Стебенько H.A. Краткосрочный прогноз изменения температуры воздуха // Науч.конф. ППС Ставроп. гос. политех. ин-та: Тез. докл. - Т.1. - Ставрополь, 1994. - С.40.

34. Семенчин Е.А., Стебенько H.A. Об одной замкнутой математической модели пограничного слоя атмосферы // XXV науч.-тех. конф. по результатам НИР ППС Ставроп. гос. политех, ин-та за 1994 г.: Тез.докл.- Т.3.- Ставрополь, 1995."- С.45.

35. Семенчин Е.А., Черкасов И.Д. Об управлении диффузионными процессами с помощью метода преобразования координат // Корреляционно-экстремальные системы" управлёния: Труды 1 Всесоюз. науч. конф. ТПИ.- Томск, 1979.- С. 170-171.

36. Семенчин Е.А., Черкасов И.Д. Об об оптимальном управлении диффузионным процессом с вероятностным критерием качества //Оптимизация динамический систем: Труды 1 Всесоюз. науч. конф. БПИ.- Минск,"1980.- С. 170-171.

Подписало к печати 16.12.1997 г. Фомат 60x84 1/16 Усл. иЗЧ. л. 2,0 Тираж 100 экз. Заказ N 29

Ставропольский государственный технический университет Копировально-множительный участок СтГТУ 355038, г. Ставрополь, проспект Кулакова, 2