Асимптотические методы спектрального анализа эрмитовых матриц Якоби тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Матрицы Якоби и их основные свойства

1.1. Основные понятия.

1.2. Дискретный оператор Шредингера и дискретный оператор струны.

1.3. Теория субординации Гильберт-Пирсона.

1.3.1. Основные положения.

1.3.2. Трансфер-матрицы

1.3.3. Обобщенная лемма Бенке-Штольца.

1.4. Некоторые подходы к спектральному анализу матриц Якоби

1.4.1. Квазиклассический метод.

1.4.2. Гладкий метод Штольца.

Глава 2. Равномерная и гладкая теоремы типа Левинсона для дискретных систем.

2.1. Равномерная теорема типа Левинсона для дискретных систем

2.2. Гладкость решений параметрических линейных систем

Глава 3. Матрицы Якоби с быстрорастущими весами.

3.1. Дискретные операторы струны с быстрорастущими степенными весами

3.1.1. Самосопряженность для класса Костюченко-Мирзоева

3.1.2. Асимптотическое поведение обобщенных собственных векторов

3.1.3. Спектральный анализ операторов класса Костюченко-Мирзоева

Глава 4. Асимптотика собственных значений матриц Якоби при наличии периодических модуляций матричных элементов

4.1. Метод последовательной диагонализации.

4.2. Модель Джейнса-Каммингса.

В этой работе рассматриваются бесконечные эрмитовы трех-диагональные матрицы, матрицы Якоби, вида ы h 0 h <72 b2

0 ь2

О О Л

1) где b = {6Г1}^=1 С R+ и q = С К. Эта матрица может быть рассмотрена как матричное представление некоторого оператора J в l2(N). Ясно, что для последовательностей и, v € //m(N), т.е. имеющих конечное число ненулевых элементов, имеет место следующее соотношение

Ju, v)p = (it, Jv)p

Следовательно, оператор J с областью определения ljin(N) — симметричный оператор. Будучи симметричным, оператор J допускает замыкание. Главная цель наших исследований — изучение спектральных свойств замкнутого оператора J := J с помощью различных асимптотических методов. Ясно, что индексы дефекта оператора J одинаковы, так как матрица (1) вещественная. Более того, нетрудно показать, что единственно возможными значениями индексов дефекта являются (0, 0) и (1,1).

Когда рассматривают матрицы Якоби, изучают также трех-членные рекуррентные соотношения, теорию ортогональных1 полиномов и аналитическую теорию непрерывных дробей. Значительное количество результатов во всех этих областях было накоплено на протяжении длинной истории математических исследований. Изучение трех-членных рекуррентных соотношений восходит к работам Чебышева и Маркова. Стилтьес использовал затем рекуррентные соотношения и их связь с непрерывными дробями, когда исследовал так называемую проблему моментов [1]. Но несмотря на давнее происхождение и огромное количество накопленных результатов, вопрос о спектральных свойствах матриц Якоби, в зависимости от поведения последовательностей b = и q — {qn}nLi, изучен далеко не полностью.

Ортогональных, по отношению к весовой фуикции.

Введение 2

В современной математической физике спектральная теория якобиевых матриц сама по себе занимает важное место, так как операторы, соответствующие таким матрицам, могут рассматриваться, как дискретные аналоги операторов, имеющих ясную физическую интерпретацию. Действительно, якобиевы матрицы являются дискретным аналогом одномерных операторов Штурма-Лиувилля. В пределах этого класса дискретных операторов, мы выделяем так называемые дискретные операторы Шредин-гера и дискретные операторы струны. Более того, роль бесконечных трех-диагональных матриц в теории операторов выходит далеко за пределы анализа разностных операторов. С одной стороны, спектральная теория таких матриц играет важную роль в общей теории симметричных операторов в гильбертовом пространстве, как это иллюстрирует теорема Стоуна (см. теорему 1.1.1) в частном случае самосопряженных операторов. С другой стороны, теория операторов Якоби служит мостом к другим математическим областям вне теории операторов, в частности, к таким областям, о которых мы уже говорили: теория ортогональных полиномов и теория непрерывных дробей.

В 1992 году теория субординации, развитая несколькими годами раньше как инструмент для спектрального анализа обыкновенных дифференциальных операторов, Гильберт и Пирсоном, [24] [23], была успешно перенесена в дискретную область [37]. Таким образом, то, что в начале было важным инструментом для анализа операторов Штурма-Лиувилля, стало также важным инструментом и для определения спектральных свойств разностных операторов, чьи матричные представления являются бесконечными эрмитовыми трех-диагональными матрицами.

Пусть оператор J самосопряжен2, и рассмотрим следующее рекуррентное уравнение с вещественным параметром Л: где 6 = (вга}5£=1 и q = — последовательности, введенные выше.

Решения этой системы называются обобщенными собственными векторами оператора J соответствующими Л. Уравнение (2) напоминает операторное уравнение для определения собственных векторов оператора J, т. е. Ju = Aw, но оно не содержит "начальное условие"

Спектральная теорема позволяет также рассматривать спектральную меру, связанную с оператором J через формулу

2Это необходимое условие для применения результатов теории субординации. В главе

1 мы представим критерии для определения самосопряженности bn-iun-i + qnun + bnun +1 = Лun п > 1

2) q\U\ + 6iU2 = Хщ

3)

Введение где ё\ — первый ортонормированный вектор базиса, в котором J имеет представление (1).

Теория субординации сводит спектральный анализ матриц Якоби к асимптотическому анализу соответствующих обобщенных собственных векторов, точнее к вопросу о существовании и свойствам так называемых субординационных решений. Нетривиальное решение и уравнения (2) называется субординационным если для любого другого решения v (2), которое линейно независимо от и, выполняется. y^JV lim

N-+00 ип s-yN

Z^n= 1 0

Теория субординации утверждает, во-первых, что абсолютная непрерывная часть fj,ac спектральной меры /л — это сужение /г на множество всех Л таких, что не существует субординационного решения. Во-вторых, сужение IX на множество всех Л таких, что существует субординационное решение, удовлетворяющее начальному условию (3), но не принадлежащее I2, является сингулярной непрерывной частью [лас спектральной меры \х. Кроме того, оказывается, что собственные векторы оператора J являются субординационными решениями так, что чисто точечная часть спектральной меры црр — это сужение /л на множество всех Л таких, что существует субординационное решение, удовлетворяющее начальному условию (3) и находящееся в I2. К тому же, все эти множества, которые определяют разложение спектральной меры, являются оптимальными в вполне определенном смысле3. Здесь уместно отметить, что теория субординации оказала большую услугу математической физике, переведя на строгий математический язык аналогичные критерии, используемые физиками для определения различных частей спектра оператора Шредингера на основе поведения решений уравнения.

Таким образом, спектральные свойства оператора J полностью определяются асимптотикой обобщенных собственных векторов. Более того, мы не обязаны знать асимптотическое поведение собственных векторов, достаточно установить существование субординационных решений, проверить удовлетворяют ли они "начальному условию" и принадлежат ли пространству I2. Например, когда изучается абсолютная непрерывная часть спектра, очень грубая информация о быстроте возрастания решение оказывается достаточной для определения отсутствия субординационных решений (см. лемма 1.3.1).

Различные методы спектрального анализа, использующие теорию субординации, применяются для изучения спектральных свойств якобие-вых матриц. Эти методы либо выявляют асимптотическое поведение решений (2), либо дают оценку роста этих решений. В главе 1 мы применяем

3Все детали в разделе 1.3

Введение 4 некоторые из этих методов для анализа конкретных классов якобиевых матриц и проводим сравнительный анализ этих методов.

Ясно, что для того, чтобы полностью воспользоваться преимуществами теории субординации мы должны знать, как получить детальный асимптотический анализ решений разностных уравнений. Исследования в этой области имеют длинную, но не очень хорошо известную историю. Пуанкаре получил основополагающий результат об асимптотике решений разностных уравнений, который впоследствии был улучшен Перроном. Более точное описание асимптотического поведения решений дискретных линейных систем дается в так называемой дискретной теореме Левинсона, которая является аналогом хорошо известной теоремы Левинсона об асимптотиках решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений [12]. Дискретная версия теоремы Левинсона была доказана не так уж давно ([10], [22]) с использованием тех же выкладок, которые были в доказательстве первоначальной теоремы Левинсона в случае дифференциальных уравнений, а именно, метода последовательных приближений для решения уравнения полученного методом вариации произвольных постоянных. Более современный подход к этой проблеме имеется в [25], где доказываются различные дискретные версии теоремы Левинсона. Тем не менее, когда изучаются спектральные свойства матриц Якоби, оказывается, что полный спектральный анализ спектра оператора требует обобщения дискретной теоремы Левинсона, чтобы можно было иметь дело с параметрическими рекуррентными уравнениями, которые порождаются уравнениями, эквивалентными уравнению (2). Рассмотрим более детально смысл этих утверждений.

Спектральный анализ на основе теории субординации не является полным в том смысле, что остается без ответа вопрос о том, имеют ли чисто точечные компоненты спектра точки накопления в любом конечном интервале. Чтобы установить, когда якобиев оператор, на самом деле, имеет дискретный спектр в некотором интервале, мы развили метод, который заполняет этот пробел в теории субординации не выходя за рамки идеи приведения спектрального анализа к асимптотическому анализу. Однако, в этом случае, мы должны иметь оценки асимптотического остатка, равномерные по отношению к спектральному параметру. Здесь следует отметить, что существуют другие методы, которые позволяют определить, имеет ли яко-биева матрица дискретный спектр, например, метод квадратичных форм. Тем не менее, во многих случаях, наш подход проще и основан на асимптотическом поведении решений, т. е. в духе теории субординации.

Обычная дискретная версия теоремы Левинсона (схожая к той которая была использована в [32]) утверждает, что если мы имеем последовательность d х d матриц {Vn}^=l такую, что (НК-и — £ ll и такую, что она сходится к постоянной матрице V, имеющей ненулевые собственные значения попарно различные по модулю и последовательность d х d мат

Введение риц {-Rnj^ljL такую, что {находится в ^(N), тогда для некоторого т G N существует базис {xi^}f=1 в пространстве решений рекуррентного соотношения (vn + Rn)^ Для п > т , где det(Kt + Rn) О4 Vn е N, такой, что п-1

JP/IR'-Al

О при п оо, где — собственные значения матрицы Vn такие, что Un —* при п —> оо, и pk собственные векторы матрицы V соответствующие

В действительности, уравнение (2) порождает параметрическую рекуррентную систему уравнений. "Стандартная" теорема Левинсона, примененная к таким системам, дает параметрическую асимптотику решений. Но в определенных случаях, система введет себя равномерно по отношению к этому параметру и мы можем воспользоваться этим. Рассмотрим параметрическую дискретную линейную систему (К(А) + Д„(А))4*>(А) для п € N VA <= 3

4) где det(14(A) + Rn(А)) 0 для всех п € N и всех А в произвольном интервале 3 действительной оси. В главе 2 нам удалось доказать, что если последовательности d х d матриц, {К(А)}^! и {JR„(A)}^=1, удовлетворяют следующим условиям i. Vn(X) =4 V при п —> оо. V имеет собственные значения {г^}£=1 различные по модулю и отличные от нуля. ii. {supAe3||yn+i(A) - К (А) П}^! € Iх iii. Существует С > 0 такой, что J2™=i ||Я„(А)|| < С для всех А 6 3. iv. Для любого б > 0 существует Ne такой что VA е 3 имеется оо Е n=Nc

1|Яп(А)||<б: тогда существует т € N и базис {a$^(A)}f=1 в пространстве решений уравнения (4) для п>т такой что га-1 supll^AJ/n^W-Pfcl

Аез г±

О, при п —> оо ,

4Это условие необходимо для того, чтобы пространство решений было размерности d

Введение 6 где {vn\ A)}f=1 собственные значения матрицы Vn(X) такие, что i>n\X) =3 при п —> со, и р/с собственный вектор матрицы V, соответствующие

Кроме того, выкладки, использованный в доказательстве теоремы Левинсона, позволяют доказать равномерную равностепенную непрерывность решений уравнения (4), т.е. мы нашли, что существует базис {£n^(A)}jj!=1 в пространстве решений уравнений и т € N такие, что sup sup||£W(A + ДА) - -> 0, при ДА -> О, п>т АбЗ при условии, что последовательности {К1(А)}^11 и {йп(А)}^=1 равномерно равностепенно непрерывны для всех п > N\ (N\ € N) и для всех А £ 3.

Результаты главы 2 позволяют доказать дискретность спектра некоторых якобиевых матриц для которых до сих пор можно было доказать только, что спектр чисто точечный в некотором интервале вещественной оси. Стоит отметить, что разработанный метод доказательства дискретности может быть применен в ряде подобных случаев. В доказательстве дискретности спектра мы используем равномерность асимптотического остатка и равномерно равностепенную непрерывность решений параметрической дискретно линейной системы порожденным уравнением (2) а также симметрические свойства якобиевых операторов.

Глава 3 посвящена дискретным операторам струны с быстрорастущими весами. Дискретный оператор струны это якобиева матрица вида (1) для которой последовательность q = 0. Такие матрицы Якоби с медленно растущими весами были исследованы в ряде статей ([18], [19], [31], [32], [33]). Однако, спектральные свойства дискретных операторов струны с быстро растущими весами не тщательно изучены. В этой главе мы выбираем модель дискретного оператора струны, которая является достаточно простой для анализа и в то же время, она позволяет нам обнаружить особенности дискретных операторов струны с быстро возрастающими весами и сделать некоторые обобщения.

Спектральный анализ осуществляется здесь посредством теории субординации. Мы не рассмотрим простейшую ситуацию с быстрорастущими весами, когда веса дискретного оператора струны J определены как Ъп = па для п (Е N и а > 1, так как в этом случае J не обладает самосопряженностью. Мы тогда "возмущаем" эту простую модель таким образом, чтобы получилась характерная модель ситуации с быстрорастущими весами и одновременно мы имели контроль над самосопряженностью оператора. При таких соображениях оказывается, что следующие веса появляются естественным образом

Ьп = па{ 1 + ^), (5) v п' где а > 1 и сп+2 = сп для всех п £ N.

Введение

Сначала мы показываем, используя критерий Костюченко-Мирзоева, что оператор J с q = 0 и веса b определенные соотношением (5) является самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда ci - с2| > а - 1

6)

Далее мы даем обобщение этого результата для случая произвольной четной периодичности последовательности {cTi}^Lх, т.е. cn+2j = сп для всех п € N при фиксированном j £ N. Мы нашли, что в этом случае J — самосопряженный оператор тогда и только тогда, когда

2? п=1

J'(«-1)

Оказывается, как показано в третьей главе, что если предполагать нечетную периодичность последовательности т.е. cn+2j-i = сп для всех neN при фиксированном j е N, то для оператора J имеет место случай предельного круга, другими словами нет самосопряженности.

Для асимптотического анализа обобщенных собственных векторов оператора J нам пришлось развить новую методику. Конечно нетрудно найти уравнение вида (4), эквивалентное уравнению (2), тем не менее, для этого случая теорема Левинсона не может быть применена, так как постоянная матрица, соответствующая V имела бы одинаковые собственные значения. Эта проблема преодолима, если мы используем уравнение (1-17) взамен и берем произведение, группируя по блокам. Здесь следует отметить, что процедура группировки по блокам была применена ранее для спектрального анализа матриц Якоби [31] и [33]. Совместное использование квазиклассического метода и процедуры группировки по блокам дает, в случае когда J имеет q = 0 а Ь определяется соотношением (5), что обобщенные собственные векторы оператора, соответствующие Л имеют следующие асимптотическое поведение = +0(1)) у = 1,2, (7) где А = и /?2 =

Таким образом если для оператора J имеет место случай предельной точки, т.е. верно неравенство (6), тогда соответствующее рекуррентное уравнение (2) имеет субординационное решение для любого Л € М. Это решение всегда принадлежит пространству l2(N).

Этот последний результат вместе с результатами теории субординации позволяют нам заключить, что оператор J с q = 0 и Ъ вида (5) имеет чисто точечный спектр даже в случае предельной точки, т. е. когда удовлетворяется условие (6).

Естественно задаваться теперь вопросом о наличии точек накопления в спектре оператора J. Здесь результаты получены в главе 2 позволяют

Введение нам ответить на этот вопрос. Как известно, в рамках теории субординации мы не можем определить имеет ли оператор J дискретный спектр. Однако, посредством равномерной и гладкой теорем типа Левинсона для дискретных линейных систем нам удалось доказать, что оператор J с q = 0 и b вида (5) имеет дискретный спектр. Отметим здесь, что при доказательстве этого факта, мы существенно использовали ортогональность собственных векторов.

В главе 4 нашей главной целью является нахождение точную асимптотику собственных значений дискретного оператора Штурма-Лиувилля J со следующими последовательностями q и b bn = ВпЛ/п и qn = п2 + £п п Е N, (8) где последовательности {<Вп}„ем и состоят из действительных чисел и являются Т периодическими, т. е. Вп — Вп+.т и £п — £п+-т для всех п £ N (Т > 1). Мы пользуемся здесь так называемым методом последовательной диагонализации, который был уже успешно применен в [27] для нахождения точного асимптотического поведения спектра определенного якобиева оператора. Идея лежащая на основе метода последовательной диагонализации восходит к методу оператора преобразования. Очень кратко можно перефразировать эту идею так: при определенных условиях на J мы можем найти диагональную матрицу 5, скажем Ji, подобно первоначальной матрице J с точностью до некоторой компактной матрицы. Тогда оказывается, что можно оценить расстояние между собственными значениями матрицы J и собственными значениями полученной матрицы J\. Более того, прием для нахождения матрицы J\ позволяет получить последующую подобную матрицу J2 с точностью до некоторой другой компактной матрицы такой, что можно оценить расстояние между собственными значениями матриц J и J2 более точно. Таким образом эта процедура применяется повторно несколько раз, что позволяет найти асимптотическое поведение собственных векторов оператора J с произвольной точностью. Здесь следует отметить, что подобный подход, в связи с дифференциальными операторами, был недавно предложен А. Соболевым.

Так же как в работе [27], класс операторов рассмотрен здесь представляет интерес для физиков. На сомом деле, мы получаем асимптотику собственных значений якобиевой матрицы соответствующей модифицированной модели Джейнса-Каммингса с аддитивными и мультипликативными модуляциями. Так как нас больше интересует влияние модуляции на асимптотическое поведение собственных значений, мы меняем якобиеву матрицу, соответствующую модели Джейнса-Каммингса с тем, чтобы подчеркивать роль модуляции и одновременно упростить вычисления необходимые

5Или но крайней мере матрицу такую, что асимптотическое поведение ее собственные значения может быть легко определено

Введение при применении метода последовательной диагонализации. Таким образом, мы находим асимптотику собственных значений с периодическими модуляциями и выявляем взаимодействие между аддитивными и мультипликативными модуляциями. Мы приводим здесь точную формулировку этих результатов.

Если оператор J имеет матричное представление (1) с последовательностями q и b определенными

Ъп = В0л/п qn = п2 + £0 п е N, где Во и £о принадлежат R, тогда спектр оператора имеет следующее асимптотическое поведение при п —> оо

2 Bl-ABQ 1

П5/2 где собственные значения занумерованные в порядке возрастания.

Следует здесь подчеркивать, что постоянная В0 присутствует только в члене ^ асимптотического разложения. Совершено другая картина получается при присутствии модуляции. Действительно, если J имеет матричное представление (1) с последовательностями q и b определенными (8), где вещественные последовательности {Вп}п€ц и {£n}neN удовлетворяют Дг = Вп+т и £п — £„+т для всех п £ N (Т > 1), тогда собственные значения {Ап}~=1 оператора J имеют следующую асимптотику, когда п —> оо

А П = п2 + £п +

В1

-1

В2 1

2 ^ + где собственные значения занумерованные в порядке возрастания. Таким образом мы нашли, что при модуляции роль последовательности {B^^Lj в асимптотике собственных значений Ап усиливается скачком. Заметим также, как это показывает простейшая постановка, что мультипликативные и аддитивные модуляции сокращают друг друга.

Наконец, отметим, что метод последовательной диагонализации позволяет также получить асимптотическое разложение собственных векторов оператора J.

1. Ахиезер Н. И., Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа связанные с нею, Ф.М., Москва, 1961.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, Москва, 1966.

3. БерезанскиЙ Ю. М., Разложение по собсъвенным функциям само-сопряо/сенных операторов, Наукова думка, Киев, 1965.

4. Бирман М. Ш., Соломяк М. 3., Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, Издательство ЛГУ, Ленинград, 1980.5. гохберг И. Д., КреЙН М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, Наука, Москва, 1965.

5. Костюченко А. Г., Мирзоев К. А., Трехчленные рекуррентные соотношения с матричными коэффициентами. Вполне неопределенный случай, Матем. заметки, 63(1998) 709-716.

6. Костюченко А. Г., Мирзоев К. А., Обобщенные якобиевы матрицы и индексы дефекта обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами, Функциональный анализ и его приложения, 33(1999) 30-45.

7. Behncke Н., Absolute continuity of Hamiltonians with von Neumann-Wigner potentials, Proc. Amer. Math. Soc., 111(1991) 373-384.

8. Behncke H., Absolute continuity of Hamiltonians with von Neumann-Wigner potentials ii, Manuscripta Math., 71(1991) 163-181.

9. Benzaid Z., Lutz D. A., Asymptotic representation of solutions of perturbed systems of linear difference equations, Studies Appl. Math., 77(1987) 195-221.Литература 82

10. Courant J., John F., Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1., volume 1, Springer-Verlag, New York, 1999.

11. Cycon H. L., Froese R. G., Kirsh W., Simon В., Schrddinger Operators with Applications to Quantum Mechanics and Global Geometry, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 1987.

12. Dombrowski J., Tridiagonal matrix representations of cyclic self-adjoint operators, Pacific J. Math., 114(1984) 325-334.

13. Dombrowski J., Tridiagonal matrix representations of cyclic self-adjoint operators ii, Pacific J. Math., 120(1985) 47-53.

14. Dombrowski J., Spectral measures corresponding to orthogonal polynomials with unbounded recurrence coefficients, Constr. Aprox., 5(1989) 371-381.

15. Dombrowski J., Absolutely continuous measures for systems of orthogonal polynomials with unbounded recurrence coefficients, Constr. Aprox., 8(1992) 161-167.

16. Dombrowski J., Pedersen S., Orthogonal polynomials, spectral measures, and absolute continuity, J. Сотр. Appl. Math., 65(1995) 115124.

17. Dombrowski J., Pedersen S., Spectral measures and Jacobi matrices related to Laguerre-type systems of orthogonal polynomials, Constr. Aprox., 13(1997) 421-433.

18. Dynkin E. M., Naboko S. N., Yakovlev S. I., The boundary of finiteness of the singular spectrum in the self-adjoint friedrichs model, St. Petersburg Math J., 3(1992) 299-311.

19. Elaydi S. N., An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag, New York, 1999.

20. Gilbert D., On subordinacy and analysis of the spectrum of Schrodinger operators with two singular end points, Proc. Roy. Soc. Edinb., 112A(1989) 213-229.Литература 83

21. Gilbert D., Pearson D., On subordinacy and analysis of the spectrum of one dimensional Schrodinger operators, J. Math. Anal. Appl., 128(1987) 30-56.

22. J anas J., Moszynski M., Asymptotics of solutions of difference equations and spectral properties of some Jacobi matrices, Technical report, Institute of Applied Mathematics, Warsaw University, 2001.

23. Janas J., Moszynski M., Alternative approaches to the absolute continuity of Jacobi matrices with monotonic weights, Integr. equ. Oper. theory, 43(2002) 397-416.

24. JANAS J., NABOKO S. N., Exact asymptotics of eigenvalues of unbounded Jacobi matrices: Successive diagonalization approach. Preprint.

25. Janas J., Naboko S. N., Spectral analysis of self-adjoint Jacobi matrices with periodically modulated entries. Preprint.

26. Janas J., Naboko S. N., On the point spectrum of some Jacobi matrices, J. Operator Theory, 40(1998) 113-132.

27. Janas J., Naboko S. N., Jacobi matrices with absolutely continuous spectrum, Proc. Amer. Math. Soc., 127(1999) 791-800.

28. Janas J., Naboko S. N., Asymptotics of generalized eigenvectors for unbounded Jacobi matrices with power-like weights, Pauli matrices commutation relations and Cesaro averaging, Operator Theory: Adv. and Appl, 117(2000). Volume dedicated to M.G. Krein.

29. Janas J., Naboko S. N., On subordination properties of one-dimensional discrete Schrodinger operator, in Proc. 17th Operator Theory Conference, 2000 .

30. Janas J., Naboko S. N., Infinite Jacobi matrices with unbounded entries. Asymptotics of eigenvalues and the transformation operator approach, Preprint 2002:9 LUTFMA-5017-2002, (2002).

31. KATO Т., Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, second edition, 1980.Литература 84

32. Khan S., Pearson D., Subordinacy and spectral theory for infinite matrices, Helv. Phys. Acta, 65(1992) 505-527.

33. KlSELEV A., Absolutely continuous spectrum of one dimensional Schrodinger operators and Jacobi matrices with slowly decreasing potentials, Commun. Math. Phys., 179(1996) 377-400.

34. Lo C. F., Liu K. L., Ng К. M., The multiquantum intensity-dependent Jaynes-Cummings model with the counter-rotating term, Physica A, 265(1999) 557-564.

35. Naboko S. N., On the singular spectrum of discrete Schrodinger operator., Ecole Polytechnique, Seminaire 1993-1994- Equations aux derivees partielles. Expose 2, (1993).

36. Naboko S. N., Yakovlev S., The discrete Schrodinger operator, the point spectrum lying on the continuous spectrum, St. Petersburg Math J., 3(1993) 559-668.

37. Ng К. M., Lo C. F., LlU K. L., Exact eigenstates of the two-photon Jaynes-Cummings model with the counter-rotating term, Eur. Phys. J. D, 6(1998) 119-126.

38. Ng К. M., Lo C. F., LlU K. L., Exact eigenstates of the intensity-dependent Jaynes-Cummings model with the counter-rotating term, Physica A, 275(2000) 463-474.

39. Olver F. W., Asymptotic and Special Functions, A.P., New York, London, 1974.

40. Reed M., Simon В., Methods of Modern Mathematical Physics, volume

41. Functional Analysis, Academic Press, New York London, 1972.

42. Reed M., Simon В., Methods of Modern Mathematical Physics, volume

43. Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, New York London, 1975.

44. SlLVA L. О., Two approaches to the spectral analysis of discrete string operators, in Book of Abstracts of the Research Seminar: Spectral Analysis of Differential and Difference Operators, Stefan Banach International Mathematical Center, Warsaw, 2001 .

45. SlLVA L. O., Spectral properties of Jacobi matrices with rapidly growing power-like weights, Operator Theory: Adv. and Appi, 132(2002) 387-394.

46. SIMON В., Jacobi matrices with decaying potential and dense point spectrum, Commun. Math. Phys., 87(1982) 253-258.

47. Tur E. A., Jaynes-Cummings model: A solution without the rotating wave approximation, Optics and Spectroscopy, 89(2000) 574-588.