Асимптотические методы в контактной гидродинамике

Беспорточный, Александр Иванович

Асимптотические методы в контактной гидродинамике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Беспорточный, Александр Иванович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Асимптотические методы в контактной гидродинамике»

Автореферат диссертации на тему "Асимптотические методы в контактной гидродинамике"

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Беспорточный Александр Иванович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОНТАКТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

Специальность: 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На'правах рукописи УДК 532.516:621.89; 621.822; 539.3

21 АВГ 2014

Москва - 2014

005551881

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского физико-технического института (Государственного университета). Научный руководитель: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Гайфуллин Александр Марксович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Никитин Илья Степанович кандидат технических наук,

доцент Усов Павел Павлович Ведущая организация: Институт Прикладной Механики

им. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится « 2 В » СвН 201_У г. в —час. на

заседании диссертационного совета Д 403.004.01 в Центральном аэрогидродинамическом институте им. проф. Н.Е. Жуковского по адресу: 140180 г. Жуковский Московской обл., ул. Жуковского, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦАГИ.

и на.^слйте h ttp'.t/www. isSLgl г«

Автореферат разослан «_»_201_г

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор ^^ ^ижов В-М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Контактная гидродинамика— важная область гидродинамической теории смази:. Контактная гидродинамика является теоретической основой для расчета широкого класса узлов трения (опор качения и скольжения, шарниров, передач, уплотнений и др.).

В узлах трения (УТ) протекают сложные механические, физические и физико-химические процессы, связанные с взаимодействием поверхностей в относительном движении. Прежде всего, это процессы трения, изнашивания и смазки, которые широко распространены в природе и технике. Изучением многих из этих процессов занимается контактная гидродинамика.

Отсутствие понимания многих явлений в УТ, необходимость учета большого количества факторов, труднодоступность области контакта сильно осложняют не только теоретическое, но и экспериментальное исследование узлов трения. Многофакторность, отсутствие достаточного количества надежных критериев подобия и установленных закономерностей не позволяют адекватно переносить экспериментальные зависимости с одного узла трения на другой, а в рамках фиксированного УТ - с одного режима работа на другой.

Существующие инженерные методики расчета УТ, как правило, основаны на простейших геометрических и механических моделях и

используют различные эмпирические и полуэмпирические зависимости, диапазоны применимости которых либо очень ограничены, либо вовсе неизвестны. Поэтому этих методик совершенно недостаточно для расчета многих современных и, тем более, перспективных узлов трения.

Выход из данной ситуации видится в широком использовании комплексного (системного) подхода и математическом моделировании узлов трения. Весьма эффективными и целесообразными при моделировании узлов трения и других сложных объектов оказываются качественные, асимптотические и другие приближенные методы. Они помогают заметно продвинуться в понимании закономерностей явлений, наблюдаемых в узлах трения; выделить характерные режимы работы УТ, основные процессы, протекающие в них, и критерии подобия, их определяющие; получить приближенные функциональные зависимости, связывающие рабочие характеристики узла с условиями его эксплуатации.

Целью работы является разработка приближенных методов решения задач контактной гидродинамики, развитие инженерных методик расчета и оптимизации узлов трения на основе качественного и асимптотического анализа процессов, протекающих в УТ: течения вязкой несжимаемой жидкости в тонких слоях, разделяющих деформируемые тела; контактного взаимодействия упругих тел по узкой области.

Научная новизна.

1. Получено согласованное по давлению и толщине смазочной пленки приближенное решение задачи о тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства. Обоснована диаграмма типа Джонсона асимптотических режимов обильной смазки гидродинамического контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Найдены асимптотические диапазоны, применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.

2. Получена асимптотическая формула для центральной толщины смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.

3. Предложен оригинальный вывод уравнения, описывающего контакт упругих тел по узкой области.

4. Получены приближенные соотношения для определения несущей способности смазочной пленки радиального гидродинамического подшипника скольжения с частичным углом охвата в случае достаточно жесткого упругого вкладыша.

5. Обоснован метод гашения пульсаций выходного расхода с помощью свободно поворачивающейся пластинки при гидродинамическом нанесении покрытий на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника.

Практическая ценность.

1. Получены формулы для давления, толщины и формы смазочной пленки в тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Построены диаграммы типа Джонсона асимптотических режимов обильной смазки гидродинамического контакта цилиндра и жесткого основания. Указаны диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.

3. Предложена эффективная методика расчета распределения давления в контакте упругих тел по узкой области, позволяющая оптимизировать форму контактирующих тел (например, выбирать параметры двухрадиусной образующей профилированного ролика в роликовом подшипнике). Получены приближенные формулы для интегральных характеристик

контакта ролика с кольцами роликового подшипника, которые могут быть использованы при силовом расчете роликового подшипника.

4. Предложена формула для подбора податливости упругого достаточно жесткого вкладыша радиального гидродинамического подшипника скольжения с частичным углом охвата. Получена оценка толщины смазочной пленки на закритических режимах нагружения подшипника.

5. Получена оценка характерного размера свободно поворачивающейся пластинки для эффективного разглаживания неоднородностей при гидродинамическом нанесении покрытий на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника. Получена оценка критического угла схода ленты.

6. Результаты работы вошли в учебные пособия [1, 2].

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Приближенное решение задачи о тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства. Обоснование диаграммы типа Джонсона асимптотических режимов обильной смазки гидродинамического контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Асимптотические диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.

•2. Асимптотическое выражение для центральной толщины смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.

' 3. Оригинальный вывод уравнения, описывающего контакт упругих тел по узкой области. Численный метод решения этого уравнения с помощью полиномов Лежандра. Приближенные формулы для интегральных характеристик контакта ролика и колец радиального роликового подшипника при наличии перекоса.

4. Асимптотические режимы смазки тяжело нагруженного радиального гидродинамического подшипника скольжения с частичным углом охвата в случае достаточно жесткого упругого вкладыша. Качественное и асимптотическое обоснование режима посадки вала на упругий вкладыш при приближении нагрузки к предельной несущей способности подшипника.

5. Обоснование метода разглаживания неоднородностей с помощью свободно поворачивающейся пластинки при гидродинамическом нанесении покрытий на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника. Приближенные выражения, связывающие неоднородность толщины наносимого покрытия с нестабильностью внешних факторов.

Обоснованность и достоверность.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается использованием математических моделей, корректно описывающих рассматриваемые процессы, математической обоснованностью применяемых качественных и асимптотических методов анализа и вычислительных процедур, сравнением приближенных расчетов по асимптотической теории с результатами численных расчетов и, в свою очередь, сопоставлением результатов численного анализа с точными решениями, тестовыми задачами и экспериментальными данными.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзной научно-технической конференции "Обеспечение надёжности узлов трения машин" (г. Ворошиловград, 1988); на III Международной научно-технической конференции "Авиадвигатели XXI века" (г. Москва, ЦИАМ, декабрь 2010); на XXIII научно-технической конференции по аэродинамике (ЦАГИ, п. Володарского, март 2012); на 12, 13, 15, 53, 54, 55 научных конференциях Московского физико-технического института; на II Всесоюзном семинаре «Гидродинамика нанесения полимерных покрытий» (г. Переславль-Залесский, 1989); на научном семинаре ИМСС УрО РАН

(г Пермь, январь 2011); на Международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре имени С.М. Белоцерковского (г. Москва, 17 февраля 2011 года); на научном семинаре по механике сплошной среды имени JI.A. Галина (ИПМех РАН, г. Москва, 11 марта 2011 года); на научном семинаре кафедры физической механики МФТИ (июнь 2011); на научных семинарах кафедры высшей математики МФТИ.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 23 печатные работы, из них 4 работы [16, 17, 22,23] в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, двух приложений, списка литературы из 90 наименований. Объем диссертации составляет 225 страниц. Работа содержит 40 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, кратко освещено развитие и текущее состояние контактной гидродинамики. Сформулированы цели и задачи исследования. Обозначены научная новизна и практическая ценность работы. Перечислены положения, выносимые на защиту. Приведена информация о публикациях, об апробации полученных результатов и их достоверности. Описаны структура и объем диссертации.

Основное внимание в работе уделяется использованию методов качественного и асимптотического анализа при математическом моделировании различных процессов, протекающих в современных узлах трения: течения вязкой несжимаемой жидкости в тонких слоях, разделяющих деформируемые тела (главы 1, 3, 4, приложение 2); контактного взаимодействия упругих тел по узкой области (глава 2, приложение .1). Асимптотические методы используются при исследовании дифференциальных и интегральных уравнений.

В первой главе в разделе 1.1

г-

исследуется плоская стационарная задача о качении (возможно с проскальзыванием) бесконечного

цилиндра с упругим покрытием по тонкому слою вязкой смазочной

жидкости (см. рис. 1.1), нанесённому на а о с V

жесткое неподвижное основание Рис. 1.1. Качение цилиндра, (полупространство). К этой задаче сводится задача о контакте бесконечных цилиндров при наличии смазки. Жидкость считается ньютоновской, а силы инерции и гравитации, действующие на смазочный материал, полагаются пренебрежимо малыми по сравнению с силами вязкого трения. Течение жидкости внутри тонкой смазочной пленки, разделяющей контактирующие тела, описывается уравнением неразрывности, уравнением ползущего движения и уравнением энергии. Поперек смазочной пленки давление не изменяется. Если смазочный материал несжимаем, то в изотермическом приближении (которое в дальнейшем рассматривается) из уравнений течения жидкости следует одномерное стационарное уравнение Рейнольдса (1886), описывающее распределение давления в тонкой смазочной пленке, разделяющем цилиндр и полупространство (т.е. внутри области гидродинами" гского контакта). В прямоугольной декартовой системе координат ху'2, связанной с областью гидродинамического контакта цилиндра и основания (ось у направлена вдоль оси цилиндра, ось 2 -перпендикулярно контакту, а ось х - в направлении, противоположном направлению качения цилиндра) уравнение Рейнольдса имеет вид:

^ = 12 ц!/,^, 1б(в,с), (1.1.)

ах п

где р(х) - контактное давление, отсчитываемое от атмосферного; ц -

динамическая вязкость жидкости; ¡70 =({7 + шД)/2 (С/, со и Я -

соответственно скорость качения, угловая скорость вращения и радиус цилиндра); h(x) - толщина смазочной пленки, h0 - ее расходное значение (h0=q0/U0, где qa - расход жидкости между контактирующими телами); х = а и х = с - входная и выходная границы области гидродинамического контакта.

При контактных давлениях, значительно превышающих (по модулю) возможные капиллярные давления и напряжение разрыва жидкости, граничные условия для уравнения Рейнольдся (1.1.) имеют вид:

р(а) = р(с)= dp(c)!dx = 0. (1.2.)

В тяжело нагруженных гидродинамических контактах жестких тел расчетные значения толщины пленки оказываются нереально малыми/Чтобы расчеты соответствовали действительности, нужно учитывать деформацию тел в зоне контакта и заметный рост вязкости смазочного материала с повышением давления. Теория смазхи, учитывающая перечисленные явления, называется контактной гидродинамикой или упругогидродинамической теорией смазки. Контактная гидродинамика как наука возникла в работах A.M. Эртеля, А.Н. Грубина и А.И. Петрусевича в 1945 - 1951 гг. и впоследствии развивалась в работах многих авторов.

Зависимость вязкости от давления обычно аппроксимируется экспонентой (закон Баруса):

Д(р) = МоехР(£У)' О-3-)

где а - пьезокоэффициент вязкости, ц0 — вязкость при р — 0.

Если цилиндр жесткий и покрыт тонким упругим слоем, то упругое перемещение поверхности цилиндра пропорционально локальному, контактному давлению, что учитывается в выражении для формы зазора (толщины смазочной пленки):

дг2

h(x) = z0 + —— + Ср(х), хе(а,с), (1-4.)

гд - координата по оси 2 (аппликата) точки недеформированной поверхности цилиндра, соответствующей х = 0 (г = 0 соответствует поверхности основания); С = (1 + у)(1-2у)5с/[(1-у)£] - упругая постоянная покрытия цилиндра, 5С - толщина слоя покрытия, V и £ -коэффициент Пуассона и модуль упругости материала покрытия. Предполагается, что |а|« Я, |с|« Л, V < 0,5.

Уравнение нормировки замыкает определяющую систему уравнений:

Ж = ]р(х)сЬс. (1.5.)

Здесь V/ — нагрузка вдоль оси 2, приложенная к единице длины цилиндра.

Качественный анализ системы (1.1.)-(1.5.) позволил обосновать характерные особенности поведения давления и толщины смазочной пленки внутри области упруго-гидродинамического (УГД) контакта.

Из анализа системы (1.1.)-(1.5.) с помощью обратного гидродинамического метода Даусона и Хиггинсона (1959) с учетом результатов качественного анализа непосредственно следует, что толщина смазочной пленки формируется во входной зоне и определяется максимальным входным приведенным градиентом контактного давленияехр(-ар)фД&, если к(а) > \,5к0.

С помощью метода асимптотических сращиваемых разложений проводился анализ системы (1.1.) - (1.5.) в практически важном случае тяжелонагруженного гидродинамического контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства: К0 = 48ц01уг2/(рЛ3)« 1, где р. = ЪШ/(ЛЬ.) и 5. = Ъ;/(2К) = Ср. - соответственно максимальное давление и относительное упругое сближение, характеризующие сухой контакт цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания; Ь. = \l3CWIU2 -полуширина области сухого контакта. Выделены и детально исследованы характерные предельные (асимптотические) ситуации для режимов обильной

смазки (й(а)»Л0) гидродинамического контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства как в случае смазочной жидкости постоянной вязкости (режим 1УЕС по классификации Джонсона (1970): К0 «1, £>о4К «1> гДе 2о =аР-)' так и в случае жидкости переменной вязкости (режим РУЕС: У0«1, »1, д0У0 «1). Для каждой из этих

предельных ситуаций область гидродинамического контакта естественным образом разбивалась на ряд примыкающих друг к другу участков, построены согласованные по давлению и толщине смазочной пленки (при обильном смазывании) асимптотические решения во всей области течения (в главном приближении). Полученные результаты согласуются с результатами В.П.Ковалёва и М.А. Галахова (1982), решавшими аналогичную задачу асимптотическими методами, и результатами Д.С. Коднира (1961), численно решавшим аналогичную задачу. Толщина смазочной пленки при этом определяется сужением на малом участке входа в область высоких давлений и существенно зависит от того, успевает ли заметно измениться вязкость и/или проявиться упругие свойства покрытия цилиндра и в какой последовательности это произойдет прежде, чем входной градиент давления достигнет максимума. Определены асимптотические границы диапазона применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.

В полном соответствии с классификацией Джонсона выделены четыре асимптотических режима обильной смазки (к(а)» к0) контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства [17]:

1) режим изовязкой смазки жестких тел (1УЯ):

/С =0,816^™' =4,895ц0С/0Д/Г = 0,153Ро5.;

2) обобщенный режим изовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием (1УЕС): Уа«\, 1, \a\-c»

tf™1 = 0,894= 0,243^5.;

3) режим пьезовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием

(pvec): v0«1, Q*v<> «1' N'-1с»'

4) обобщенный режим пьезовязкой смазки жестких men (pvr): ар™ =2,\\9QJJVo»\, h™/8. = 0,252(&Г0)2'3 »1, М» V^f7,

^Г1' =0,816^PVR) =0,252(eoro)2/38. = 1,666[(ац0г/0)2ЛГ.

Различные асимптотические режимы смазки наглядно представлены в виде схематической диаграммы (аналог диаграммы Джонсона) в плоскости безразмерных параметров V0 и Q0V0 (см. рис. 1.2). Таким образом, с помощью асимптотических сращиваемых разложений обоснована диаграмма режимов смазки типа Джонсона.

На рис. 1.2 сплошные линии - линии уровня безразмерной

минимальной толщины смазочной пленки ИтЬ/5,, полученные в результате численного решения

системы (1.1.) - (1.5.); пунктирные линии -асимптотические линии уровня /гтш/5. для соответствующих режимов смазки.

В разделе 1.2 развитый асимптотический подход использовался для анализа (на уровне оценки порядков величин) структуры течения в случае тяжело нагруженного гидродинамического (линейного) контакта бесконечного упругого цилиндра и жесткого полупространства.

Рис. 1.2. Асимптотические режимы смазки.

Задача о контакте упругого цилиндра и жесткого полупространства при наличии смазочной пленки описывается системой (1.1.) - (1.5.), в которой соотношение (1.4.) заменено соотношением, учитывающим контактную деформацию поверхности упругого цилиндра:

где £' = 2£/(1-V2), V и Е - коэффициент Пуассона и модуль упругости

материала цилиндра.

Толщина смазочной пленки формируется в зоне входа, точнее на малом участке, расположенном между входной зоной низких давлений и областью высоких давлений, и существенно зависит от того, успевает ли заметно измениться вязкость прежде, чем входной градиент давления достигнет максимума. При этом совместный эффект упругих деформаций и переменной вязкости состоит в возрастании минимальной толщины смазочной пленки по сравнению с толщиной пленки для постоянной вязкости и жесткого цилиндра.

В разделе 1.3 рассматривается двумерный контакт упругого ролика и жесткого полупространства при наличии смазки. В случае тяжело нагруженного двумерного гидродинамического контакта упругого ролика конечной длины и жесткого основания толщина смазочной пленки формируется в узкой входной зоне, расположенной вблизи входной границы области сухого упругого контакта ролика и полупространства. При этом, как показано М.А. Галаховым и В.П. Ковалевым (1982), течение во входной зоне, нужно рассматривать в сечении, проведенном по нормали к входной границе области сухого упругого контакта, и на эту же нормаль проектируется скорость качения. В каждом таком сечении во входной зоне двумерная упруго-гидродинамическая задача сводится к одномерной задаче о линейном

(1.6.)

контакте бесконечного упругого цилиндра и жесткого полупространства при наличии смазки.

Изложенный подход, в частности, позволил получить асимптотическое выражение для толщины смазочной пленки в центре тяжело нагруженного эллиптического контакта упругого ролика с однорадиусной образующей и жесткого полупространства при обильной подаче в контакт смазочной жидкости постоянной вязкости. Так, при качении со скоростью и упругого шара радиуса Я по слою жидкости постоянной вязкости ц0, нанесённому на жесткое неподвижное основание, толщина Л4. плёнки в центре тяжело нагруженного кругового точечного контакта приближенно равна кс =3,55[ц0С/0/(£"Д)]3/г(£'Л2/Р)2/15Л, что хорошо согласуется с численными расчетами Хэмрока и Даусона (1978) и формулой Л'™) = 3,34[ц0г7о/(£,Л)]0И(£"Л2/Р)°'22й, полученной путем аппроксимации результатов этих расчетов. Здесь 1/0= (£/ + охй)/2, со-угловая скорость вращения шара, Р - нагрузка, прижимающая шар к полупространству.

В соответствии с классификацией Джонсона выделены четыре асимптотических режима обильной смазки контакта упругого ролика с однорадиусной образующей и жесткого полупространства [17]. Проведено сравнение асимптотической теории с численным решением двумерной упруго-гидродинамической задачи и экспериментальными данными.

В разделе 1.4 обсуждается влияние тепловыделения, сжимаемости и неньютоновского поведения жидкости на толщину смазочной пленки.

Во второй главе рассмотрена задача о контакте упругих тел по узкой области на примере контакта профилированного ролика с

Рис. 2.1. Область контакта.

одним из колец роликового подшипника качения. Прямоугольная декартовая система координат хуг связана с областью контакта £2 (см. рис. 2.1), ось х направлена вдоль области контакта, ось у - поперек, ось 2 -перпендикулярно контакту, а начало координат находится на пересечении средней линии дорожки качения и средней линии области контакта. В предположении, что каждое из контактирующих тел в окрестности контакта можно представить как упругое полупространство, а влияние сил трения, возникающих при контакте ролика с дорожкой качения, на нормальное перемещение поверхностей контактирующих тел не значительно, распределение контактного давления р(х,у) описывается следующей системой:

. 2 гг (х,у)еП, (2.1.)

\\р(х,у)с1хс1у = Р, р(х,у) |(„)6эа=0' (2-2-)

где £' = 2[(l-v?)/£;+(l-v22)/£;,r', Е, (/ = 1,2) - модули упругости контактирующих тел, v,. (¿ = 1,2) - коэффициенты Пуассона (индексом 1 обозначаются величины, относящиеся к ролику, индексом 2- величины, относящиеся к дорожке качения); Р - нормальная нагрузка, сжимающая тела; 5 - сближение контактирующих тел (относительное нормальное перемещение точек этих тел, расположенных достаточно далеко от области контакта); Ry(x) - приведенный радиус кривизны контактирующих тел в сечении х = const; уср(.х) - средняя линия области контакта; /(х) -расстояние между точками соприкасающихся недеформированных тел, которые при контакте принадлежат средней линии.

Область контакта £1= {(х,у):х~ <х< х+,у~(х) < у й у+(х)}

неизвестна, х~ и - концы области контакта, границы у'(х) и у*(х)

области контакта связаны со средней линией _уср(х) и полушириной области 6(х) соотношениями: усг (х) = [3Г (х) + ^+ (х)]/2, Ь(х) = [>+(х) - у~(х)]/2.

Область контакта считается узкой, если ее характерный размер 1Х в продольном направлении (вдоль оси х) много больше характерного размера

поперечный радиус кривизны. Безразмерный параметр ц = [1п(4 / е)]"1 при этом также достаточно мал.

В случае узкой области контакта (е «1) при решении системы (2.1.) -(2.2.) пользуются методом плоских сечений, полагая, что в каждом поперечном сечении (х = const) происходит контакт двух цилиндров. Профиль давления в поперечном направлении при этом представляет собой половину эллипса:

где ра(х) - максимальное значение давления в сечении.

Погонная нагрузка q(x), которая в каждом сечении х = const определяется как площадь под графиком р(х,у) в этом сечении, связана с Ро(х) и Ь(х) следующими соотношениями: р0(х) = ^]q(x)E'/(2nRy(x)),

в поперечном направлении (вдоль оси у), т.е.

где R'y - характерный приведенный

р{х,у) = Л WV1 - ь - лр«]2/б20),

b{x)=^q{x)Ry{x)linE').

Тогда из системы (2.1.), (2.2.) вытекает система относительно q(x) :

q{x-) = q{x+) = 0.

(2.4.)

Уравнение (2.3.)- нелинейное одномерное интегральное с неизвестными границами. Существуют алгоритмы непосредственного численного решения данного уравнения. Применение асимптотических методов позволило значительную часть выкладок в этих алгоритмах провести до конца аналитически (в соответствующем приближении), существенно упростить уравнение (2.3.) и, оставаясь в рамках предположения об узости области контакта, свести его к виду [1,6]:

Уравнение (2.5.) было независимо получено Калкером (1972) и А.Н. Бурмистровым (1987). В настоящей работе предложен оригинальный вывод этого уравнения, в общих чертах напоминающий численный алгоритм, который обычно используют при решении задачи о контакте упругих тел по узкой области.

С учетом малости параметра ц разработан эффективный алгоритм численного решения системы (2.5.), (2.4.), в основу которого положен метод Бубнова-Галеркина и тот факт, что собственными функциями интегрального оператора, входящего в уравнение (2.5.), являются полиномы Лежандра. Используя указанный алгоритм, были проведены численные расчеты различных вариантов контакта ролика с двухрадиусной образующей и внутреннего кольца радиального роликового подшипника, получены эпюры контактных давлений. Результаты расчетов были использованы для выбора оптимальных параметров двухрадиусной образующей ролика из условия обеспечения достаточной долговечности подшипникового узла.

На рис. 2.2 представлено сопоставление расчетных (по изложенной выше теории) значений контактных давлений с экспериментальными данными Хартнета и Кэннела (1980). Каждый из вариантов (а) и (б) относился к определенной комбинации значений нагрузки Р и угла перекоса

Щх+ -х)(х-х~)

Ъ\х)

= 5-Дх). (2.5.)

ролика 9. Экспериментальные значения отмечены крестиками, а результаты теоретических расчетов представлены сплошными кривыми. Видно, что в обоих вариантах согласие между теорией и экспериментом оказалось хорошим.

Рис. 2.2. Сравнение экспериментальных и теоретических результатов. В силу малости параметра ц из уравнения (2.5.) в главном приближении следует

?(х) = яцЯ'-[5-/(*)]/4, (2.6.)

причем, если какой-либо из концов области контакта (х~ или/и х+) фиксирован (острая кромка), то соответствующее условие (2.4.) опускается.

В качестве практически важного примера рассматривался контакт цилиндрического ролика длины Ья. с прямолинейной образующей и внутреннего кольца радиального роликового подшипника. В этом случае при наличии перекоса 9>0: /(х) = 0(х + £,г/2), -Ь„!2<х<х\ Из решения системы «нулевого» приближения (2.6.), (2.4.) получено выражение для упругого сближения 5 ролика с кольцом:

5 = 4Р/(яц£,1(К) + ^е/2 при 0<9<ес, 5 = Л/8/'е/(я(хЕ") при 9>9С, где критическое значение угла перекоса 0С =%Р/(щ\Е'1}ц.). Момент сил относительно середины ролика при этом равен М - 48, 0 < 0 < 0С.

В третьей главе

методологический подход, развитый

в первой главе, применяется для

анализа течения смазочной жидкости

постоянной вязкости между жестким

валом и тонким упругим вкладышем,

закрепленным в жестком корпусе

радиального гидродинамического

подшипника скольжения с

частичным углом охвата, меньшим

л (см. рис. 3.1). Вкладыш считается

Рис. 3.1. Подшипник скольжения.

достаточно жестким (маленькая

податливость): У0 = 6ц0соЛ2С/Д3 « 1, где ц0 - вязкость смазочной жидкости; со - угловая скорость вращения вала; Я ~ Я1 = Я2, Я2 - радиус вала, Я1 -внутренний радиус поверхности вкладыша; радиальный зазор в подшипнике А=Я1-Я2«Я; а упругая постоянная вкладыша С определяется также, как и упругая постоянная покрытия цилиндра в первой главе. Предполагается, что выходной сектор вкладыша больше входного и меньше л/2: О < г? < V]/ < л/2, где ¿¡(у) - угол между передней (задней) кромкой вкладыша и линией действия нагрузки.

Если нагрузка ТУ на единицу длины вала значительна (коэффициент нагруженности В0 =^Д2/(6ц0озД3)»1), но упругие перемещения поверхности вкладыша ещё малы (режим ГУН), минимальная толщина смазочной пленки — 0,816 Л0 = 2,448 ¡10<х>Я3/(АТУ), где /г0 - расходная толщина.

Исследована асимптотическая ситуация, когда нагрузка достаточно велика и становится заметной упругая деформация вкладыша (режим 1УЕС: У0«1, В0» 1, 1 < л ~ 5/Д < 1/созг?, где 6- эксцентриситет (радиальное

смещение оси вала относительно оси корпуса)). Минимальная толщина смазочной пленки в этом случае падает существенно медленнее с увеличением нагрузки, чем, если бы вкладыш был абсолютно жестким (К0 = 0), и определяется следующими приближенными соотношениями:

кт.т = 0,8941Ао = 0,8941ДЛ/4К0/(27л/Х2 -1), Ж =

АЯ С

Ьгссо51-л1-А х V х2

Определены асимптотические диапазоны применимости этих соотношений.

Оба указанных 1000-= режима смазки наглядно представлены в виде схематической диаграммы в плоскости безразмерных параметров У0 и В0 (см. рис. 3.2). На рис. 3.2 сплошные линии - линии уровня безразмерной

минимальной толщины смазочной пленки ИтЫ/А,

Рис. 3.2. Асимптотические режимы смазки.

полученные в результате численного решения определяющей системы при г5 = я/3; пунктирные линии - асимптотические линии уровня /гт1п/А для соответствующих режимов смазки.

Видно, что несущая способность смазочной пленки (коэффициент нагруженности В0) как функция безразмерной податливости Уд вкладыша имеет максимум, положение которого зависит от минимальной толщины смазочной пленки.

Установлено, что по достижении погонной нагрузкой критического значения 1УС = №с(г9) = (АЛ/С)[(г5/собг?)-втг?], соответствующего эксцентриситету Хс = Хс(тЗ) = 1/созг?, входная толщина смазочной пленки И_

резко уменьшается фактически до нуля: = А(ЖС -Ж)/Жс +0 при \\г рр _ о. Вал начинает касаться недеформированной передней кромки вкладыша и тем самым перекрывается доступ смазочного материала в область упруго-гидродинамического (УГД) контакта. Вслед за входной толщиной к_ резко уменьшается (также почти до нуля) толщина смазочной пленки между валом и вкладышем во всей области УГД-контакта, при этом она оказывается фактически постоянной (клиновидность смазочной пленки также резко уменьшается). Поверхность вкладыша вступает практически в непосредственное соприкосновение с поверхностью вала. При нагрузках выше критической ( IV >ЖС) реализуется режим почти сухого (граничного) трения: поверхности вала и вкладыша разделяет очень тоненькая смазочная пленка, толщина которой практически постоянна (равна своему расходному значению) и определяется радиусом закругления г_ передней кромки

вкладыша [2]: А ~ А « А^ «А, [й- й0| /й0 ~ л/Д7/ Я « 1 при

Д « г_ « Я, если упругая деформация передней кромки порядка А.

Таким образом, несущая способность смазочного слоя оказывается конечной, причем как в случае жесткого вкладыша Г0«1 (маленькая податливость), так и в случае мягкого вкладыша У0»1 (большая податливость).

Из сказанного следует важный практический вывод. Для нагруженного радиального гидродинамического подшипника скольжения можно (и нужно) так подобрать жесткость и геометрические размеры вкладыша, исходя из соотношения: С = (А/?/РГтах )[(г?/соз г5) - гт гЭ], чтобы на основных режимах работы подшипника была обеспечена оптимальная минимальная толщина смазочной пленки. Здесь Жтах - максимальная эксплуатационная нагрузка на единицу длины вала. При этом нужно предусмотреть некоторый запас по жесткости (или геометрическим размерам), чтобы возможное повышение

нагрузки на вал не привело к возникновению режима почти сухого трения поверхностей вала и вкладыша.

В четвертой главе асимптотический подход используется при анализе работы устройства для гидродинамического нанесения покрытий (желатиносодержащих и других) на гибкую подложку (ленту) по принципу ленточного подшипника. Жидкий материал покрытия вязкости ц под давлением подается через узкую щель в распределительном устройстве (поливочной головке) и заполняет зазор А между лентой и неподвижной рабочей поверхностью устройства, смазывая ленту (рис. 4.1а). Подложка плотно прижимается к поверхности устройства и протягивается вдоль нее со скоростью и. Под действием сил вязкого трения жидкость увлекается движущейся лентой, оставаясь на ней после выхода ленты из зоны контактирования с поверхностью поливочной головки. Рабочая поверхность поливочной головки состоит из двух цилиндрических секторов одинакового радиуса У?, которые смещены друг относительно друга.

При установившемся течении толщина й„ наносимого покрытия определяется интенсивностью подачи материала покрытия и скоростью движения ленты и: й_ = Ч0/и, где - приходящийся на единицу ширины ленты подаваемый расход жидкости.

Рис. 4.1. Устройство для нанесения покрытий по принципу ленточного подшипника в отсутствие (а) и при наличии (б) пластинки.

Теория ленточных подшипников позволяет детально проанализировать процесс нанесения покрытий рассматриваемым способом [2]. Проведенные ранее экспериментальные исследования показали, что нестабильность технологических факторов приводит к заметной неоднородности толщины наносимого покрытия и тем самым ухудшает его качество. В частности, высокочастотные колебания угла схода ленты вызывают пульсации объема выходной зоны, что приводит к возмущению выходного расхода жидкости и, следовательно, к короткопериодической неоднородности толщины наносимого покрытия.

В экспериментах также показано, что небольшое усовершенствование устройства для нанесения покрытий позволяет практически полностью устранить указанную неоднородность. Таким усовершенствованием является свободно поворачивающаяся пластинка, прикрепленная к выходной кромке устройства (рис. 4.1 б), которая как бы прилипает к ленте, практически полностью отслеживает колебания угла схода ленты и разглаживает жидкую пленку, наносимую на ленту. На практике вместо пластинки часто используется гибкая полоска.

Проведено теоретическое обоснование метода уменьшения пульсации выходного расхода [22]. Для приближенного описания гидродинамического процесса в рабочей части устройства уравнения теории ленточного подшипника (нестационарное уравнение Рейнольдса; соотношение между натяжением Т абсолютно гибкой невесомой ленты и давлением р в жидкости; уравнение, определяющее изменение натяжения Т ленты под действием касательного напряжения т, действующего на ленту со стороны жидкости) дополнены соотношениями, учитывающими конструктивные особенности поливочной головки. Проведен приближенный анализ стационарного течения в рабочей зоне и исследован процесс распространения малых возмущений. С помощью асимптотических и

численных методов исследовано течение жидкости между лентой и пластиной при колебаниях угла схода ленты.

В разделе 4.1 представлена математическая модель течения жидкости в узком зазоре между неподвижной рабочей поверхностью устройства и движущейся лентой в отсутствие свободно поворачивающейся пластинки. Вся область течения разбивается на три зоны: входную, центральную и выходную. Течение жидкости под действием градиента давления оказывается заметным только во входной и выходной зонах, представляющих собой типичные погранслои с точки зрения теории сращиваемых асимптотических разложений, причем выходная зона не оказывает никакого влияния на входную. В центральной зоне течение жидкости можно с большей точностью рассматривать как чисто сдвиговое (простое течение Куэтга).

В разделах 4.2, 4.3 и 4.4 последовательно проведено исследование стационарного течения и распространения малых возмущений соответственно в центральной, входной и выходной зонах с учетом условий согласования характеристик течения и возмущений на участках перекрытия центральной зоны с входной и выходной. Это позволило получить качественную картину всего течения и найти приближенные выражения, связывающие неоднородность толщины наносимого покрытия с нестабильностью внешних факторов. Указанные выражения представлены в разделе 4.5. Получена оценка критического угла схода ленты.

Малые гармонические пульсации д'0е'°" подаваемого из распределительного устройства расхода жидкости приводят к возмущениям течения, которые распространяются вниз по потоку в виде затухающих бегущих волн. Здесь д'0 - комплексная амплитуда пульсаций; со - круговая частота колебаний; / - время. Получен известный результат, что показатель затухания волны приблизительно пропорционален четвертой степени

частоты со. Бегущие волны, зарождающиеся во входной зоне, практически полностью затухают в центральной зоне, если их частота превышает некоторую пороговую величину. Получена оценка пороговой частоты.

На частотах выше пороговой возмущение течения в выходной зоне, приводящее к пульсациям ц\еш выходного расхода и, следовательно, неоднородности /¿е'0" толщины наносимого покрытия, в значительной степени определяется колебанием Р'е'°" угла схода ленты: K/h„=q'Jq0=KtV'/V°' где ^- безразмерная передаточная функция выходной зоны, связывающая колебания угла схода ленты с пульсациями выходного расхода; ро = s+jR = (/го/Д)(6цС//Г+)""3; s*k = А0(6цЕ//Г+Гуз -характерный продольный гидродинамический масштаб выходной зоны; Г = Т_ +\iUs+/h0 - выходное, а Г - входное натяжение единицы ширины ленты; h0 = 2q0/U - расходное значение толщины смазочной пленки,

разделяющей ленту и поверхность поливочной головки

В разделе 4.6 исследован используемый на практике способ гашения пульсаций выходного расхода с помощью дополнительного устройства в виде свободно поворачивающейся пластинки, прикрепленной к выходной острой кромке поливочной головки (рис. 4.1 б). Оснащение поливочной головки свободно поворачивающейся пластинкой приводит к изменению картины течения жидкости лишь в выходной зоне. Развита теория течения жидкости на дополнительном участке (вдоль пластины). Проведенный асимптотический анализ развития возмущений на дополнительном участке при малых значениях безразмерного параметра v+

и длине пластины /»^ показал, что установка пластины приводит к значительному уменьшению амплитуды пульсаций выходного расхода. Это способствует существенному улучшению качества наносимого покрытия за счет уменьшения его неоднородности.

Выводы асимптотической теории подтверждаются результатами

Рис. 4.2. Зависимость безразмерной передаточной функции выходной зоны | от безразмерной частоты П+ =2со^/С/ в отсутствие (о) и при наличии

(б) пластинки длины / = Сплошные линии - численный расчет,

штриховые — асимптотическая теория.

Выводы.

1. С помощью асимптотических сращиваемых разложений получены формулы для давления, толщины и формы смазочной пленки в тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Обоснована диаграмма типа Джонсона асимптотических режимов смазки гидродинамического контакта цилиндра и жесткого основания. Найдены диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.

2. Получено асимптотическое выражение для центральной толщины смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.

3. С помощью асимптотических методов выведено уравнение, описывающее контакт упругих тел по узкой области.

4. Предложен метод расчета распределения давления в контакте упругих тел по узкой области, позволяющий оптимизировать форму контактирующих тел (например, выбирать параметры двухрадиусной образующей профилированного ролика в роликовом подшипнике).

Получены приближенные выражения для интегральных характеристик контакта цилиндрического ролика и внутреннего кольца радиального подшипника при наличии перекоса.

5. Получены приближенные формулы для давления, толщины и формы смазочной пленки в тяжело нагруженном радиальном гидродинамическом подшипнике скольжения с частичным углом охвата в случае достаточно жесткого упругого вкладыша. Выделены асимптотические режимы смазки.

6. Проведен качественный, асимптотический и численный анализ режима «посадки» вала на упругий вкладыш в радиальном гидродинамическом подшипнике скольжения с частичным углом охвата при приближении нагрузки к предельной несущей способности подшипника. Получена оценка толщины смазочной пленки на закритических режимах нагружения. Предложена формула для подбора податливости упругого достаточно жесткого вкладыша.

7. Исследовано влияние нестабильности различных внешних факторов на неоднородность толщины покрытия, наносимого на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника. Получены приближенные выражения, связывающие неоднородность толщины наносимого покрытия с нестабильностью внешних факторов. Обоснован метод уменьшения неоднородностей с помощью свободно поворачивающейся пластинки. Получены оценки пороговой частоты, критического угла схода ленты и характерного размера свободно поворачивающейся пластинки.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Галахов М.А. Изнашивание и смазывание узлов трения: Учеб. пособие для слушателей заоч. курсов повышения квалификации инженеров-конструкторов в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1989, 72 с.

2. Беспорточный А.И., Галахов М.А. Математическое моделирование в триботехнике: Учеб. пособие. - М.: МФТИ, 1991. - 88 с.

3. Беспорточный А.И., Галахов М.А. К расчёту долговечности роликовых подшипников и зубчатых передач. - Тезисы докладов Ш Московской научно-технической конференции "Триботехника - машиностроению". -

' Москва, 1987, с. 106-107.

4. Алфёров О.Ю., Беспорточный А.И. К расчёту ресурса опор главного вала ГТД. - В кн.: Тезисы докладов II Межреспубликанской студенческой научной конференции "Актуальные проблемы авиастроения". Туполевские чтения - 1987. Секция "Проблемы авиадвигателестроения" -Казань: КАИ, 1987, с. 6.

5. Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Галахов М.А. О контакте упругих тел по узкой эллиптической области. - В кн.: Труды XII научной конференции молодых учёных и специалистов МФТИ. - М.: МФТИ, 1987. - Деп в ВИНИТИ от 31.08.87, № 6380-В87.

6. Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Галахов М.А. Об асимптотике одного двойного интеграла по узкой области. - В кн.: Труды XII научной конференции молодых учёных и специалистов МФТИ. -М.: МФТИ, 1987. - Деп. в ВИНИТИ от 31.08.87, № 6380-В87.

7. Беспорточный А.И., Галахов М.А., Мартынов В.В. Об асимптотическом поведении двойных интегралов по узким областям. - М.: МФТИ, 1988 -Деп. в ВИНИТИ от 28.01.88, № 823-В88.

8. Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Галахов М.А. О сведении одного двойного интеграла к однократному // Некоторые проблемы математики в задачах физики и механики: Междувед. сб. / М.: МФТИ, 1988, с. 4-8.

9. Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Галахов М.А. Применение метода последовательных приближений для решения интегрального уравнения теории контакта упругих тел по узкой области // Некоторые проблемы математики в задачах физики и механики: Междувед. сб. / М • МФТИ 1988, с. 9-14.

Ю.Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Галахов М.А. Предельная несущая способность гидродинамического подшипника скольжения. - В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Обеспечение надёжности узлов трения машин". - Ворошиловград 1988 с. 149-150. '

11.Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Галахов М.А. Метод расчёта контактного давления и выбор параметров двухрадиусной образующей для роликовых подшипников. - В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Обеспечение надёжности узлов трения машин". - Ворошиловград, 1988, с. 151-152.

12.Анфёров О.Ю., Беспорточный А.И., Галахов М.А. Аппроксимационные формулы для решения задачи Герца. - В кн.: Тезисы докладов областной научно-технической конференции "Повышение долговечности и качества подшипниковых узлов". - Пермь, 1989, с. 20-21.

13.Беспорточный А.И., Галахов М.А., Сироткин В.А. Качественный анализ задачи о контакте цилиндров с упругим покрытием при наличии смазки. // Некоторые проблемы математики в задачах физики, механики, экономики: Междувед. сб. / М.: МФТИ, 1990, с. 4-6.

14.Беспорточный А.И., Галахов М.А. О моделировании сложных объектов. -Труды 15 конференции молодых учёных Московского физико-технического института, Долгопрудный, 28 марта - 7 апр., 1990: Ч. 1., с. 149-154 / Моск. физ.-техн. ин-т. - М., 1990. - 191 с. - Деп. в ВИНИТИ от 10.12.90, №6174-В90.

15.Беспорточный А.И. Контакт цилиндров с упругим покрытием при наличии смазки: асимптотические режимы // Труды 53 научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VI. Аэромеханика и летательная техника. -М.: МФТИ, 2010. - С. 6-7.

16.Беспорточный А.И. Режимы смазки контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства // Научный вестник МГТУ ГА. - 2011. - №163. - С. 138-143.

17.Беспорточный А.И. Асимптотические режимы гидродинамического контакта жестких цнлнндров, покрытых тонкими упругими слоями // Труды МФТИ. - 2011. - Т. 3, № 1. - С. 28-34.

18.Беспорточный А.И. Контакт упругих цилиндров при наличии смазки: асимптотические режимы // Труды 54 научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Аэромеханика и летательная техника. - М.: МФТИ, 2011. - С. 84-85.

19.Беспорточный А.И. Об асимптотических режимах гидродинамической смазки упругих цилиндров // Механика и процессы управления. Том 1. - Материалы ХХХХ1 Всероссийского симпозиума. - М.: РАН, 2011. - С. 187-193.

2Л.Беспорточный А.И. Об асимптотических режимах гидродинамической смазки упругих роликов // Материалы XXIII научно-технической конференции по аэродинамике. - ЦАГИ, 2012. - С. 36-37.

21.Беспорточный А.И. Об асимптотических режимах

упругогидродинамической смазки эллиптических контактов // Труды 55 научной конференции МФТИ. - Аэрофизика и космические исследования. Т. 1.-Москва-Долгопрудный-Жуковский. — 2012.-С. 83-84.

И.Беспорточный А.И. Гидродинамическое нанесение покрытий по принципу ленточного подшипника // Изв. РАН. МЖГ. 2013. № 1. С. 65-77.

23.Беспорточный А.И. Асимптотические режимы гидродинамического контакта упругого цилиндра и жесткого полупространства // Труды МФТИ. - 2013. - Т. 5, № 2. - С. 4-12.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Беспорточный, Александр Иванович, Москва

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

БЕСПОРТОЧНЫЙ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОНТАКТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

Специальность: 01.02.05-Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Гайфуллин А.М.

Москва - 2014

На правах рукописи УДК 532.516:621.89; 621.822; 539.3

04201460820

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................3

ГЛАВА 1. КОНТАКТ ЦИЛИНДРА И ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НАЛИЧИИ СМАЗКИ.........................................................................................16

§ 1. Контакт цилиндра с упругим покрытием и жесткого

полупространства при наличии смазки..................................................16

§ 2. Контакт упругого цилиндра и жесткого полупространства при

наличии смазки...............................................................................................54

§ 3. Двумерный контакт упругого ролика и жесткого

полупространства при наличии смазки..................................................66

§ 4. Влияние тепловыделения и сжимаемости жидкости на толщину смазочной пленки........................................................................89

ГЛАВА 2. КОНТАКТ УПРУГИХ ТЕЛ ПО УЗКОЙ ОБЛАСТИ................91

ГЛАВА 3. СЛОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ЖЕСТКИМ ВАЛОМ И ТОНКИМ УПРУГИМ ВКЛАДЫШЕМ, ЗАКРЕПЛЕННЫМ В ЖЕСТКОМ КОРПУСЕ....................................................................................123

ГЛАВА 4. НАНЕСЕНИЕ ПОКРЫТИЙ ПО ПРИНЦИПУ ЛЕНТОЧНОГО ПОДШИПНИКА................................................................................................142

§ 1. Математическая модель.....................................................................144

§ 2. Центральная зона...................................................................................152

§ 3. Входная зона............................................................................................157

§ 4. Выходная зона.........................................................................................173

§ 5. Определение неоднородности толщины наносимого покрытия.

.............................................................................................................................182

§ 6. Методы уменьшения неоднородности толщины наносимого покрытия.........................................................................................................185

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ...........................................................................197

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. КОНТАКТ УПРУГИХ ТЕЛ ПО УЗКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ...................................................................199

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. К ВОПРОСУ О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ................................................................205

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..............................................................................216

ВВЕДЕНИЕ

Отказы узлов трения (опор качения и скольжения, шарниров, передач, уплотнений и др.) являются, как правило, основной причиной выхода современной техники из строя. Поломка ответственного узла ведет к остановке или даже аварии всего агрегата. Поэтому повышение ресурса, надежности и качества узлов трения непосредственно приводит к росту ресурса, надежности и качества машин и приборов.

Узлы трения (УТ) служат для обеспечения подвижности в сочленениях, относительного перемещения сопряженных тел в механических системах. Функциональное назначение конкретных УТ во многом определяется назначением машин или механизмов, в которых они используются.

Современные УТ работают в широком диапазоне условий эксплуатации, к ним предъявляются разнообразные и, порой, противоречивые требования: надежность и точность, долговечность и грузоподъемность, термостойкость и теплонагруженность, быстроходность и стабильность, малые и большие коэффициенты трения, легкость, миниатюрность, экономия энергии и материалов, безопасность и экологичность, простота в использовании и обслуживании, технологичность, взаимозаменяемость, умеренная стоимость при изготовлении. Более того, развитие техники приводит к постоянному ужесточению этих требований и условий эксплуатации. Очевидно, прогресс в области УТ невозможен без глубоких теоретических, экспериментальных, конструкторских и изобретательских разработок и исследований, способных его обеспечить.

В узлах трения протекают сложные механические, физические и физико-химические процессы, связанные с взаимодействием поверхностей в относительном движении. Прежде всего, это процессы трения, изнашивания и смазки, которые широко распространены в природе и технике (трение тектонических плит, трение в суставах, шарнирах, подшипниках, трение

ледокола о лед и т.д.). Изучением многих из этих процессов занимается контактная гидродинамика, которая является теоретической основой для расчета широкого класса узлов трения.

Контактная гидродинамика имеет дело с течением смазочной жидкости в тонких слоях, разделяющих деформируемые тела, при больших нагрузках, градиентах скорости, температуры, малых временах процесса. В таких условиях материалы проявляют необычные свойства, о которых нет или мало числовых данных, качественных представлений. Топография и свойства поверхностей, внешняя среда и малые химические добавки в смазочный материал сильно влияют на характер взаимодействия поверхностей (малые отклонения вызывают большие изменения). Разнообразие и взаимное влияние процессов, происходящих в УТ, требуют одновременного учета большого количества факторов. Все это существенно усложняет анализ явлений, затрудняет развитие контактной гидродинамика как науки и получение на ее основе полезных прикладных результатов, ограничивает применение численных методов и вычислительных средств: точность, достигнутая применением численных методов, порой сводится на нет приближённым соответствием принятой модели реальному явлению.

Отсутствие понимания многих явлений в УТ, необходимость учета большого количества факторов, труднодоступность области контакта сильно осложняют не только теоретическое, но и экспериментальное исследование узлов трения. Натурный (промышленный) эксперимент в условиях, максимально приближенных к условиям эксплуатации, стендовые испытания часто преобладают над физическим и модельным экспериментами. Многофакторность, отсутствие достаточного количества надежных критериев подобия и установленных закономерностей не позволяют адекватно переносить экспериментальные зависимости с одного узла трения на другой, а в рамках фиксированного УТ- с одного режима работа на другой.

Существующие инженерные методики расчета УТ, как правило, основаны на простейших геометрических и механических моделях и используют различные эмпирические и полуэмпирические зависимости, диапазоны применимости которых либо очень ограничены, либо вовсе неизвестны. Поэтому этих методик совершенно недостаточно для расчета многих современных и, тем более, перспективных узлов трения.

Положение в теоретической, экспериментальной и особенно прикладной контактной гидродинамике усугубляется быстротой смены поколений УТ, внедрением новых принципов, изобретательских и конструкторских разработок, постоянным и все возрастающим ужесточением требований, предъявляемых к УТ, и условий их эксплуатации (вплоть до экстремальных).

Выход из данной ситуации видится в широком использовании комплексного (системного) подхода и математическом моделировании узлов трения.

Узел трения - сложный объект, состоящий из взаимодействующих подобъектов (частей), каждый из которых, взятый отдельно, находится в некоторых условиях и проявляется своими характеристиками. Математическое описание подобъекта сводится к заданию оператора, связывающего условия и характеристики. Взаимодействие подобъектов означает, что некоторые характеристики одних (характеристики взаимодействия) являются условиями для других. Из операторов, условий и характеристик отдельных подобъектов формируются (агрегируются) оператор, (входные) условия и (выходные) характеристики, определяющие функционирование сложного объекта как целого и позволяющие описывать взаимодействие данного объекта с другими.

Математическое моделирование сложных объектов (систем), таким образом, включает следующие основные этапы:

1) разбиение сложного объекта (системы) на подобъекты (подсистемы) — анализ;

2) определение условий и характеристик для каждого из выделенных подобъектов, установление (задание) количественной связи между ними;

3) определение характеристик взаимодействия, моделирование взаимодействия различных подобъектов;

4) "сборка" действующей модели объекта (системы) - синтез, агрегирование его входных условий и выходных характеристик;

5) исследование поведения сложного объекта (системы) на основе его математической модели.

В зависимости от поставленной задачи (оценка эффективности новых изобретений и конструкций, расчет эксплуатационных характеристик УТ, учет влияния на них изменения тех или иных внешних условий, оптимальный выбор параметров узла, диагностика состояния УТ) требуются математические модели разного уровня и назначения. Уровень математической модели определяется полнотой и детальностью разбиения сложного объекта на подобъекты; адекватностью, подробностью и точностью описания как отдельных подобъектов, так и механизма взаимодействия их между собой. Использование математических моделей разного уровня превращает математическое моделирование в универсальное, гибкое, мобильное и экономичное средство исследования сложных объектов.

На различных этапах математического моделирования естественным образом возникает необходимость применения тех или иных математических методов и вычислительных средств. Весьма эффективными и целесообразными при моделировании узлов трения и других сложных объектов оказываются качественные, асимптотические и другие приближенные методы. Они помогают заметно продвинуться в понимании закономерностей явлений, наблюдаемых в узлах трения; выделить характерные режимы работы УТ, основные процессы, протекающие в них, и

критерии подобия, их определяющие; получить приближенные функциональные зависимости, связывавшие рабочие характеристики узла с условиями его эксплуатации. Приближенные и асимптотические методы решения задач контактной гидродинамики развивались в работах многих советских, российских и зарубежных исследователей.

Контактная гидродинамика - важная область гидродинамической теории смазки. Основоположниками гидродинамической теории смазки являются: Николай Павлович Петров (1836-1920), выдвинувший в 1883 году гидродинамическую природу трения в концентрическом радиальном подшипнике и определивший функциональное соотношение между силой трения и параметрами подшипника [59, 60]; Бошан Тауэр (1845-1904), открывший в 1883 году высокие давления масляной пленки в радиальных подшипниках [90]; Осборн Рейнольде (1842-1912), представивший в 1886 году дифференциальное уравнение [87], объясняющее гидродинамическую природу процесса смазки; Арнольд Зоммерфельд (1868-1951), построивший в 1904 году аналитическое решение задачи о смазке радиального подшипника бесконечной длины [89]. Работы Н.П. Петрова, О. Рейнольдса и А. Зоммерфельда побудили Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина в 1904 году к решению задачи о движении смазочного слоя между шипом и подшипником [44]. В 1916 году Мартин [85] применил гидродинамическую теорию смазки к зубцам шестерен, но его подход привел к нереально малым толщинам смазочной пленки. Чтобы в тяжелонагруженных контактах расчетные толщины пленок соответствовали результатам измерений, нужно учитывать деформацию тел в зоне контакта и заметный рост вязкости смазочного материала с повышением давления. Теория смазки, учитывающая перечисленные явления, называется контактной гидродинамикой или упругогидродинамической теорией (УГД-теорией) смазки. УГД-теория смазки как наука возникла в работах A.M. Эртеля [72], А.Н. Грубина [42], А.И. Петрусевича [61] в 1945- 1951 годах и впоследствии развивалась в

работах П.Л. Капицы [45], Д. Даусона [77, 79], Хиггинсона [77], Д.С. Коднира [46], К. Херребруха [65], К. Джонсона [43, 81], Гринвуда [78], М.А. Галахова [38, 39, 41, 47, 13, 21], А.Н. Бурмистрова [47], В.П. Ковалева [38, 47], П.П. Усова [41], И.И. Кудиша [51, 52], Б. Хемрока [79], Биссета [75, 76]. Однако до сих пор не построены полные (согласованные по давлению во всей области контакта) асимптотические решения для многих важных тяжелонагруженных режимов упругогидродинамического контакта цилиндров.

Методы решения контактных задач теории упругости развивались в работах Генриха Герца (1857-1894), опубликовавшего в 1882 году свою классическую работу "О контакте упругих тел" [80], Г. Лундберга [84], И.Я. Штаермана [68, 69], Л.А. Галина [36, 23], В.М. Александрова [1, 2, 3, 4, 55], К. Джонсона [43], Калкера [82, 83, 86], Кэннела [53], Сивашинского [88], М.А. Галахова [40, 41, 37, 13, 5], А.Н. Бурмистрова [40, 33, 34, 35], И.И. Аргатова [15, 55]. Тем не менее, вопрос о распределении давления в контакте тел качения с дорожкой качения по-прежнему актуален, например, при проектировании подшипников.

Целью данной работы является разработка приближенных методов решения задач контактной гидродинамики, развитие инженерных методик расчета и оптимизации узлов трения на основе качественного и асимптотического анализа процессов, протекающих в УТ: течения вязкой несжимаемой жидкости в тонких слоях, разделяющих деформируемые тела; контактного взаимодействия упругих тел по узкой области.

Научная новизна.

покрытием и жесткого основания. Найдены асимптотические диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.

3. Предложен оригинальный вывод уравнения, описывающего контакт упругих тел по узкой области.

Практическая ценность.

приближенные формулы для интегральных характеристик контакта ролика с кольцами роликового подшипника, которые могут быть использованы при силовом расчете роликового подшипника.

6. Результаты работы вошли в учебные пособия [13,21].

Основные положения, выносимые на защиту.

2. Асимптотическое выражение для центральной толщины смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.

3. Оригинальный вывод уравнения, описывающего контакт упругих тел по узкой области. Численный метод решения этого уравнения с помощью полиномов