Асимптотические методы в некоторых задачах математической физики, связанных с уравнениями типа sin-Гордона и геометрией псевдосферических поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правахрукописи

МАЕВСКИЙ ЕВГЕНИЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

Асимптотические методы в некоторых задачах математической физики,

связанных с уравнениями типа sin-Гордона и геометрией псевдосферических поверхностей

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. Г. ПОПОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С. Е. СТЕПАНОВ

кандидат физико-математических наук, сих. И. В. ГРИБКОВ

Ведущая организация: Московский педагогический

государственный университет

на заседании диссертационного совета К.501.001.17 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, ГСП-2, Воробьевы горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, физический факультет, аудитория СФА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан " 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К.501.001.17 в МГУ, доктор физико-математических наук

П. А. Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию некоторых классических решений уравнения sin-Гордона и связанных с ними псевдосферических поверхностей. Развитие данной тематики связано с фундаментальными исследованиями в геометрической школе II. В. Ефимова и Э. Г. Позняка. Было получено большое количество содержательных результатов по проблеме изометрических погружений метрик отрицательной кривизны в Е3, по вопросам, связанным с интерпретацией решений уравнения sin-Гордона как сетевого угла асимптотической сети на поверхности постоянной отрицательной кривизны, а также по более общей проблеме построения метрик постоянной отрицательной кривизны, связанных с различными нелинейными уравнениями математической физики.

В этих исследованиях применяются самые разнообразные методы: классические методы теории поверхностей и кривых, метод подвижного репера Картана; качественный анализ дифференциальных уравнений, метод обратной задачи теории рассеяния и асимптотические методы; численный анализ; различные алгебраические и топологические методы.

Цель работы. Исследование автомодельных решений квазилинейных диф -ференциальпых уравнений гиперболического типа и их геометрических интерпретаций — псевдосферических поверхностей в Е3.

Методы исследования. Применяются асимптотические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и второй метод Ляпунова. При исследовании геометрических приложений применяются методы теории поверхностей.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенная методика асимптотического исследования решений некоторых нелинейных уравнений математической физики может быть применена для других уравнений.

Апробация работы. Результаты докладывались на следующих научных семинарах и конференциях.

• III Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов", секция "Физика" (Москва, март 1998 г.),

• Научный семинар физического факультета МГУ по дифференциальной геометрии (апрель 1999 г.),

• Научный семинар кафедры мятемлтгк-и фгпичесупт фяхур ьтета МГУ

(сентябрь 2002 г.),

РОС НАЦИОНАЛЬНА! БИБЛИОТЕКА С11«м»4] О» МО

шл

• III Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, октябрь 2002 г.),

• Научный семинар по дифференциальным уравнениям Владимирского государственного педагогического университета (ноябрь 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы автором в 3 статьях; депонированы в ВИНИТИ 2 рукописи. Список публикаций автора по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, приложения, заключения и списка литературы из 77 наименований. Содержит 130 страниц.

Глава 1содержит результаты общего характера, связанные с уравнением sin-Гордона и геометрией псевдосферических поверхностей. В частности, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения sin-Гордона и теорема об однозначной определенности псевдосферической поверхности по ее ребру возврата. Ниже приведены, с незначительными сокращениями, формулировки обоих утверждений.

Задача Коши для уравнения sin-Гордона формулируется как задача с начальными значениями функции г(и, у) и ее производной га(и, и) на кривой

v = и/(и)

При этом предполагается и>(и) 6 С", п ^ 2 и ш'(и) > 0 па отрезке [1*1,112],

поэтому существует обратная функция о-'-1^') € С". Справедливо следующее утверждение.

Теорема (4). Пусть гр{и) €Е С^.иг] и <г(и) 6 СТ>~1[щ,и2]. Тогда в прямоугольнике П — [и^Иг] X [и;(и1), и;(иг)] существует единственное решение г(и, г) € С" (II) задачи Коши (1). Это решение может быть найдено как предел равномерно сходящейся последовательности г^(и,и), заданной ре-куррентно формулами

Содержание диссертации

(1) =V(")

) = <fi(u).

zo(u,v) = xp(u>-1(v))~ / (fl(x)dx,

U

w-'(i) t

u

ч{х)

Кривизна и кручение ребра как пространственной кривой однозначно определяются по уравнению прообраза ребра на плоскости (и, v) и по производной zu, заданной на ребре как функция от и. Соответствующие формулы получены Э. Г. Позняком. Указанное соответствие взаимно однозначно, т.е. по заданному ребру можно определить уравнение v — и;(и} и zu(u, ш(и)). А это — начальные данные для задачи Коши. Таким образом, можно найти решение уравнения sin-Гордона в некотором прямоугольнике, а вместе с ним восстановить и соответствующий фрагмент псевдосферической поверхности.

Теорема (7). Рассмотрим кривую в Е3, определенную радиус-вектором R(s), где s — естественный параметр. Рассмотрим связную часть L этой кривой (конечную или бесконечную), на которой кручение я ф ±1 и следующие функции принадлежат классу С3

Здесь k{s) — кривизна кривой, а е(s) — произвольная фиксированная функция, принимающяя значения ± 1. Пусть существует точка s о (а значит и некоторая ее окрестность), в которой кривизна оо > fc(é'o) > 0. Тогда существует прямоугольник [iti,U2] х [wj, vj] и ровно две (вообще говоря различных) псевдосферических поверхности, заданных на нем, для которых L является фрагментом ребра возврата.

Глава 2 посвящена исследованию автомодельных решений х(т) уравнения хи„ = д(х), зависящих от произведения переменных т = 2%/vv, В основном, результаты этой главы доказаны для уравнений более общего вида

тх + х 4- т/(х, т) - 0. (2)

В параграфе 2.1 исследовано асимптотическое поведение решений уравнения (2) при т —*■ +оо. Результат получен в предположении, что достаточно гладкая правая часть обладает при дифференциру-

емой асимптотикой

В частности, к уравнениям такого вида относится третье уравнение Пенлеве и автомодельное уравнение sin-Гордона.

Методика построения асимптотических разложений состоит в следующем. С помощью линеаризации уравнения (2), находится семейство его приближенных решений

где в = т + ^/зоС? ^ 1п г + Далее вычисляется невязка

где Тц(0) — тригонометрические многочлены от в с коэффициентами, являющимися алгебраическими многочленами от /у. Теперь предположим, что х является точным решением, а С\ И С2 — некоторые функции С\{т) и С2{т), подлежащие определению из системы:

®(т) = 5(т;Сь<^)

х(т)=х'т(г;СиС2). (5)

Дифференцируем первое и второе уравнение в (5)

< х(т) = ~ х'т{т-СъС2)

и подставляем в исходное уравнение (2):

КсА + *"сА = -т~1Р[х- г]

Этот метод назван в работе методам вариации постоянных. Полученная система решается относительно С\,С2 и сводится к системе двух нелинейных интегральных уравнений для С\{т), С2(г). Доказывается, что эта система имеет решение, стремящееся к константе на бесконечности.

Теорема (9). Существуют решения уравнения (2), представимые при т —*

где в ~ т + 2 ^/п + ^/30С^ 1пг + С% о Сь С2 — постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

Асимптотические разложения (6) являются первыми слагаемыми абсолютно сходящихся при т £ (ri,+oc) рядов. Установлена оценка ri > е'1, которая, скорее всего, не является наилучшей. Сходимость равномерная на любом вложенном отрезке. Это следует из полученной в работе оценки для остаточного члена. В работе приведены коэффициенты разложений (6) до 0(т""3), а по полученным рекуррентным формулам эти разложения могут быть продолжены до любого порядка.

Далее применяется аппарат функций Ляпунова. Доказывается сформулированная ниже лемма об асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (2). В общем случае неавтономной правой части рассматривается функция Ляпунова

V{x, х, т) = х2 + 2ут~1хх + 2 F(x, г),

где

Лемма (2). Если начальные данные задачи Коти

тх + х + rf(x, t) = О

я(г0) = Р (7)

х(т0) = q

удовлетворяют условию тах(\р\, |<jrj) < ё, то решение х(т) и его производная х(т) стремятся к нулю при т +ос.

Положительное число £ зависит от f{x, г) и Tq и в каждом конкретном случае может быть найдено по формулам, приведенным в диссертации. В случае автономной правой части лемма может быть значительно усилена, если вместо искусственно введенной нормы рассматривать саму функцию Ляпунова

Определим максимальное значение этой функции

при котором соответствующая линия уровня еще не выходит за пределы полосы в которой

Лемма (3). Если начальные данные задачи Коши (7) удовлетворяют условию V°(p, q) < V°, то решение х(г) и его производная х{т) стремятся к нулю при т —* +ос.

В условиях леммы 2 или 3, для функции v(t) — х2 + ххт~1 + 2F(x, т) получено дифференциальное неравенство , в котором

т^г0> т, max(|x|,(i|) < h,

и может быть выбрано сколь угодно близким к 1. Из этого дифференциального неравенства следует оценка ||а:(т)|| = 0(г~1/2+<г) при любом а > 0. Эта оценка, в свою очередь, влечет оценку для варьируемой постоянной Ci(r) = Ofr1^10), которой оказывается достаточно для того, чтобы С\{т) и Сг(т) стремились к константам на бесконечности (в силу полученной для них системы интегральных уравнений). Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема (10,11). В условиях леммы 2 или 3, решение х(т) уравнения (2) и его производная х(т) обладают асимптотическим поведением (б).

Параграф 2.2 посвящен исследованию уравнений вида (2) при т —► 0. Правая часть /(х, г) теперь предполагается ограниченной и удовлетворяющей условию Липшица по х. В конце пункта 2.2.4 сформулирован результат об асимптотическом разложении до произвольного порядка. Первые слагаемые асимптотического разложения выглядят следующим образом.

Теорема. Решение задачи Коши (7) с правой частью, удовлетворяющей сформулированному выше условию, обладает при т —► 0 следующим поведением

x(r) = Ciln|r| + C2 + 0(T2) (8)

где Ci, Ci — постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

Разложения (8) также являются отрезками абсолютно сходящихся рядов при т G (0, +оо). Сходимость равномерная на любом вложенном отрезке. Метод построения асимптотики здесь также основан на методе вариации постоянных.

В параграфе 2.3 рассмотрено приложение полученных результатов к автомодельному уравнению sin-Гордона

tz" + z' = sin г, (9)

где t = т2/4 = uv. Доказана следующая теорема.

Теорема (15). Любое решение уравнения (9), не являющееся монотонным, обладает при t +00 асимптотическим поведением

где m€Z определяется из начальныхусловий.

Далее эти результаты применяются в следующей главе при исследовании псевдосферических поверхностей Амслера.

Глава 3. В этой главе исследованы псевдосферические поверхности, соответствующие автомодельным решениям z(t) уравнения sin-Гордона, зависящим от произведения переменных t = uv (поверхности Амслера). Такие решения удовлетворяют уравнению (9), являющемуся частным случаем третьего уравнения Пенлеве. Поверхность Амслера известна как псевдосферическая поверхность, содержащая две пересекающихся прямолинейных образующих. Для этого решение уравнения (9) должно быть непрерывно в нуле. В диссертации термин "поверхность Амслера", употребляется в более широком смысле: это поверхность, соответствующая произвольному решению уравнения (9) на полупрямой (0, +00).

Применяются известные асимптотические методы, описанные в пункте 3.1.3, к уравнениям Френе для основного триедра асимптотической поло-

и полосы, связанной с ребром возврата поверхности Амслера, соответствующим значению

1 \ /0 Uqu-1 О WM

m = -Uqu'1 0 1 - ttu'2 ra .

n / и V 0 -1 + í.u"2 0 / \n /

Здесь 1 — вектор касательной к базовой линии полосы, n — вектор нормали к поверхности и m — вектор геодезической нормали поверхностной полосы. Получены асимптотические разложения для асимптотической линии регулярной поверхности Амслера в окрестности точки и = 0

X{U,VQ) — г(0,ио) + (t>Q sin2 ZQ + 1)"1/2{0, t>0SÍnz0,l}u+

где и для асимптотической линии общей поверхности Амслера

при Получены асимптотические разложения для ребра возврата

поверхности Амслера в окрестности произвольной точки

и при

г(и, £,/и) = {0,0,1}и+ д^сови, — <»} + 0(и~2).

Остаточные члены произвольного порядка во всех формулах оценены по модулю. Все асимптотические разложения являются отрезками абсолютно и равномерно сходящихся рядов. Разложения для асимптотической линии могут быть применены для построения поверхности Амслера в окрестности асимптотической линии. Одно из таких возможных построений — в окрестности прямолинейной образующей — проведено в пункте 3.3.4.

В параграфе 3.4 получено гиперболическое уравнение для радиус-вектора г(и, v) поверхности Амслера

- (иг„ + г/г„ - Г)зт.г(£) = 0. (10)

Данное уравнение выводится из системы деривационных уравнений благодаря равенству Разделение переменных для пего реализуется следующим образом. Будем искать решение уравнения (10) в виде ряда

предполагая, что он допускает двойное почленное дифференцирование по обоим переменным. Тогда для х^(£) получим уравнение

Это уравнение исследовано асимптотическими методами.

Уравнение (10) следующим образом используется в пунктах 3.4.3 - 5 для приближенного построения поверхности Амслера в окрестности фрагмента ребра. Пусть известен радиус-вектор К.(м) = г(и, и))„=<>/а некоторого ребра и его направляющий вектор 1(и) = ги(и, Тогда радиус-вектор поверхности Амслера является единственным решением следующей задачи Коши для уравнения (10):

Пусть теперь Щи) и 1(и) известны не точно: И(и) = И'0'(и) +

1(и) = 1<°>(и) + ще ВЛ)(и), 1<1>(и) — остаточные члены, для которых

имеются оценки по норме пространства . Тогда если яв-

ляется решением задачи

(12)

при некотором (малом) N(14, г>), для которого известна оценка по норме пространства СП(К иг] х [г>1, иг]), а г;) является решением задачи

(13)

то их сумма Г = г'0' + г^ является решением исходной задачи (11). Правую часть N(u, v) подбираем таким образом, чтобы задача (12) решалась точно методом разделения переменных. Задачу (13) не решаем, а лишь оцениваем по норме пространства C"([ui, U2] х [гц, г?г]) ее решение, пользуясь формулой Римана.

Показано, что если невязки R/^u), N(u,t;) малы в пространствах

(по норме меньше то и решение задачи (13) мало в пространстве (по норме меньше <5) в прямоугольнике, непересекаюгцем линию uv = Iq, на которой /{to) = 0. Кривизна поверхности, определяемой радиус-

вектором (и, v), является гладкой (рациональной) функцией от векторов

^ \ ^uu' • • • 1

всюду, где знаменатель в уравнении Гаусса отделен от нуля |rl° ^|2|ri°'j2—

(ri0)r[0))2 > v2. Последнее неравенство будет выполнено при достаточно

2 _

малом 5 в области, в которой |ru| |г„| — (гиг„) = sinг(и, v) > 2и . Таким образом, из рассматриваемого прямоугольника необходимо выбросить окрестность линии uv = í,. На таком множестве v) —* —1 при 6 —► 0,

а следовательно, и при £ —> 0.

Глава 4 содержит классификацию псевдосферических поверхностей, соответствующих двухсолитонным решениям уравнения зт-Гордона. Несмотря на то, что двухсолитонные решения

(14)

известны давно, такой классификации до сих пор проведено не было. Предложенная классификация проводится на основании анализа ребер возврата

поверхности как кривых в пространстве и является, таким образом, иллюстрацией к сформулированной выше теореме 7, поскольку псевдосферическая поверхность однозначно определяется совокупностью своих ребер возврата.

Геодезическая кривизна и кручение ребер возврата псевдосферических поверхности выражаются через решение z(и, v) по формулам, полученным Э. Г. Позняком. В частном случае решения (14), на псевдосферической поверхности имеется три ребра возврата: г = 0 и г = ±7Г. Удается представить геодезическую кривизну и кручение (х) ребер как функции переменной х =ри + и/р и проанализировать знаки этих выражений.

Для ребра z = 0:

к _2(р+д) 1

3 1 сЬа;'

для ребер

РЯ~ 1. И + 1'

область определения переменной х находится из таблицы

В результате все поверхности, соответствующие двухсолитонным решениям подразделяются на 8 классов. Предварительно отметим, что ребра г = ±7Г конгруэнтны и поверхность при и, и —» ±оо асимптотически "стремится" к прямой, которую мы примем за ось декартовой системы координат

• Тип 1. При следующих значениях параметров: (|р| — 1)(|<7| — 1) > 0, рд > 0. Ребро г = 7Г содержит точку, в которой меняется знак х, и дугу с точкой возврата (в которой бесконечны), расположенной между двумя точками смены знака кд. Ребро г = 0 — кривая с постоянным кручением х / Оиограниченной кд постоянного знака.

• Тип 2. При следующих значениях параметров: (|р| — 1)(|д| — 0, р<7 < 0. Ребро г = тг — кривая с ограниченной кд постоянного знака и ограниченным х постоянного знака. Ребро г = 0 — кривая с постоянным кручением и ограниченной постоянного знака.

- Подтип 2а при всех значениях параметров. Ребро z = 0 не является плоской кривой

* Случай 2а1 при следующих значениях параметров: |р| 1 и

ф 1. Ребро г = 7Г асимптотически при й —* ±оо стремится к оси ОС.

* Случай 2а2 при следующих значениях параметров: |р| — 1 или

1^1 = 1. Ребро г — тг асимптотически при л —► +оо стремится к окружности, лежащей в плоскости, параллельной координатной плоскости При оно стремится к оси

• Тип 3. При следующих значениях параметров: (|р| — 1)(|?| — 1) < О, pq > 0. Ребро г — тг содержит дугу с точкой возврата (в которой кд и х бесконечны), расположенной между двумя точками смены знака

- Подтип За при следующих значениях параметров: щ ф 1. Ребро z — 0 — кривая с постоянным х ф 0 и ограниченной к3 постоянного знака.

* Случал 3а1 при следующих значениях параметров: |р| ф 1 и

Ребро асимптотически при стремится к

оси

* Случай За2 при следующих значениях параметров: ]р| = 1 или |(7| = 1. Ребро г — 7Г асимптотически при: й —» +оо стремится к окружности, лежащей в плоскости, параллельной координатной плоскости При оно стремится к оси

- Подтип 3б при следующих значениях параметров: pq — 1. Ребро z = 0 — плоская кривая с самопересечением, напоминающая декартов лист. Поверхность в этом случае является поверхностью Иоахимсталя (поверхность, образованная ортогональными траекториями однопараметрического семейства сфер, центры которых лежат па оси 0£).

• Тип 4. При следующих значениях параметров: (|р| — 1)(|<7| — 1) < 0, pq < 0. Ребро х = 7Г содержит точку, в которой меняется знак х. Геодезическая кривизна ребра ограничена и не меняет знак.

- Подтип 4а при следующих значениях параметров: pq ф — 1. Ребро г = 0 — кривая с постоянным х Ф 0 и ограниченной к3 > 0.

- Подтип 4б при следующих значениях параметров: pq = — 1. Ребро z = 0 — точка (острие). Поверхность в этом случае также является поверхностью Иоахимсталя.

Основные результаты диссертации

1. Предложен метод построения асимптотического разложения малых решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, оснований на методе вариации постоянных и втором методе Ляпунова.

2. Построена асимптотика решений на бесконечности и в нуле для уравнений вида

где функция /(х, Ь) обладает при {х, () —► (0, +оо) следующим дифференцируемым асимптотическим разложением:

К уравнениям такого вида относятся уравнения для третьей трансцендентной функцией Пенлеве и уравнения типа зт-Гордона. Полученный результат применяется в основном к уравнению зт-Гордона и далее — к псевдосферическим поверхностям.

3. Исследована псевдосферическая поверхность, соответствующая автомодельному решению уравнения зт-Гордона (поверхность Амслера). Для ее радиус-вектора получено линейное уравнение второго порядка гиперболического типа, которое далее исследовано методом разделения переменных и асимптотическими методами. Получены асимптотические разложения для радиус-вектора ребра возврата поверхности Амслера в окрестности конечной точки (в степенной ряд) и на бесконечности. Получено асимптотическое разложение радиус-вектора поверхности Амслера в окрестности ребра. Получены асимптотические разложения для радиус-вектора асимптотических линий в окрестности конечной точки и на бесконечности. Эти разложения применяются для получения асимптотического разложения радиус-вектора поверхности Амслера в окрестности асимптотической линии.

4. Исследованы и классифицированы псевдосферические поверхности, соответствующие двухсолитонным решения уравнения зт-Гордона, по геометрическим характеристикам их ребер возврата. Выделено восемь характерных случаев.

5. Доказана теорема о локальной однозначной определенности псевдосферической поверхности по ее ребру возврата.

Список литературы

[1] Маевский Е.В. Асимптотическое поведение решений одного квазилинейного уравнения второго порядка. // ЖВМ и МФ, 1998, № 10, с. 16541660

[2] Маевский Е.В. Двухсолитонные решения уравнения зт-Гордона и связанные с ними псевдосферические поверхности. // Вестник МГУ, Физика. Астрономия, 2002, № 3, с. 10-13

[3] Маевский Е.В. Асимптотика решений некоторых квазилинейных уравнений второго порядка. // Деп. в ВИНИТИ 09.10.2002, № 1696-В2002, 39 с.

[4] Маевский Е.В. О псевдосферической поверхности Амслера. // Деп. в ВИНИТИ 09.10.2002, № 1695-В2002,33 с.

[5] Маевский Е.В. Асимптотическое поведение автомодельных решений некоторых квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка. // РЖ "Обозрение прикладной и промышленной математики", 2002, т. 9, вып. 2, с. 415-416

!ü 17267

Введение.

1. Уравнение вт-Гордона и псевдосферические поверхности.

1.1 Уравнение эт-Гордона.

1.1.1 Задача Гурса для уравнения эт-Гордона.

1.1.2 Задача Коши для уравнения эт-Гордона.

1.1.3 Метод разделения переменных.

1.1.4 Метод малого параметра.

1.1.5 Автомодельные решения.

1.1.6 Преобразование Бэклунда.

1.1.7 Конечнозонные решения.

1.2 Псевдосферические поверхности.

1.2.1 Основные уравнения теории поверхностей.

1.2.2 Асимптотические координаты.

1.2.3 Линии кривизны. Поверхности Иоахимсталя.

1.2.4 Геометрическое преобразование Бэклунда.

1.2.5 Классические псевдосферические поверхности.

2. Асимптотика решений уравнений второго порядка. щ, 2.1 Асимптотика осциллирующих решений.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Построение приближенного решения.

2.1.3 Метод вариации постоянных.

2.1.4 Метод последовательных приближений.

2.1.5 Асимптотические разложения.

2.1.6 Асимптотическая устойчивость в общем случае.

2.1.7 Случай автономной правой части.

2.1.8 Асимптотика решения и его производной.

2.1.9 Осциллируемость решений.

2.2 Асимптотика решений в окрестности особой точки.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Построение приближенного решения.

2.2.3 Метод вариации постоянных.

2.2.4 Метод последовательных приближений.

Работа посвящена исследованию некоторых классических решений уравнения эт-Гордона и связанных с ними поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Развитие данной тематики связано с фундаментальными исследованиями в геометрической школе Н.Б. Ефимова и Э.Г. Позняка. Было получено большое количество содержательных результатов по проблеме изометрических погружений метрик отрицательной кривизны в Е3: [14,15, 29, 47, 48], по вопросам, связанным с интерпретацией решений уравнения эш-Гордона как сетевого угла асимптотической сети на поверхности постоянной отрицательной кривизны: [28, 30, 31], а также по более общей проблеме построения метрик постоянной отрицательной кривизны, связанных с различными нелинейными уравнениями математической физики: [17, 32].

Б диссертации исследовано автомодельное решение, зависящее от произведения переменных, и показано как можно приближенно построить соответствующую псевдосферическую поверхность Амсле-ра в окрестности отрезка ее ребра возврата. С этой цели получено и исследовано линейное уравнение гиперболического типа для радиус-вектора поверхности. Исследован и другие способы построения поверхности Амслера — по асимптотическим линиям в окрестности прямолинейной образующей. Исследованы и классифицированы поверхности, соответствующие двухсолитонным решениям уравнения эт-Гордона. Найдено точное выражение для их радиус-вектора. Доказана теорема о локальной однозначной определенности фрагмента псевдосферической поверхности по фрагменту ее ребра. Основные результаты диссертации отражены в опубликованных работах [20, 21, 22, 23].

В геометрии уравнение эт-Гордона связано с существованием на поверхностях в Е3 специальных сетей, называемых чебышевскими. Эти сети характеризуются тем условием, что в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Чебышевскую сеть образуют, например, нити куска ткани, натянутой на поверхность [45]. Пусть линии чебышевской сети взяты за координатные так, что координаты и и V являются их естественными параметрами (такие координаты будем называть чебышевскими) — в этом случае первая квадратичная форма поверхности принимает вид

Q{u, V) = du2 + 2 cos z(i¿, v)dudv + dv2, где z(u,v) — угол, под которым пересекаются линии чебышевской сети в точке (и, v). Пусть гауссова кривизна поверхности в этих координатах равна К (и, v). П.Л. Чебышев показал, что угол z(u, v) удовлетворяет уравнению Чебышева zuv = -К(и, V) sin z. (1)

На псевдосферической поверхности (К = — 1) чебышевскую сеть образуют асимптотические линии. Чтобы подчеркнуть выбор в качестве координат (и, V) естественных параметров этих линий, а также то, что в качестве чебышевской сети взята именно сеть асимптотических, будем называть координаты (и, г;) асимптотическими чебышев-скими координатами. Обратим внимание на то, что при этом фиксируется определенный вид обеих квадратичных форм поверхности. Сетевой угол z{u, v) в этом случае должен удовлетворять уравнению sin-Гордона

Zuv = Sin г. (2)

Псевдосферическая поверхность имеет метрику кривизны К = —1, поэтому эту поверхность можно рассматривать как изометрическое погружение фрагмента плоскости Лобачевского А2 в Е3. При этом подразумевается, что отображение г, переводящее каждую точку (u,v) некоторой области U С R2 в точку поверхности, трижды непрерывно дифференцируемо {регулярность погружения) и обладает тем свойством, что векторы ru, rv линейно независимы, т.е.

Г2 гыг„ 2 uVv Гv sin2 Z ф О всюду в области Ы.

В следующей фундаментальной теореме [5] фактически утверждается невозможность регулярного изометрического погружения всей плоскости Лобачевского А2 в Е3.

Теорема 1 (Теорема Д. Гильберта).

В трехмерном евклидовом пространстве Е3 не существует полной регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны.

Доказательство теоремы [5,34] опирается на следующее утверждение об уравнении эт-Гордона, также принадлежащее Гильберту.

Лемма 1. Любое гладкое решение уравнения эт-Гордона достигает значений, кратных -к.

Псевдосферическая поверхность с заданным сетевым углом асимптотической чебьппевской сети может быть "склеена" из своих асимп-^ тотических линий. Э.Г. Позняк доказал в [28] следующую теорему.

Теорема 2 (Теорема Э.Г. Позняка).

Пусть функция г (и, у) € С4(М2) — решение уравнения эт-Гордона. Тогда существует такая, заданная на всей плоскости (и, у), вектор-функция г(и, у), что график этой функции в любой области, где г(и, у) ф 7г тг, представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны К = —1. При этом координатная сеть (и, у) на указанной поверхности является сетью асимптотических линий, а г{и,у) — сетевой угол. Значениям г = пп соответствуют особенности (ребра, острия) поверхности.

Имеется большое количество работ по геометрии псевдосферических поверхностей. Из "классики" начала ХХ-го века, отметим обзор Е.Коддингтона (1905) [65], посвященный изложению результатов, полученных в геометрии псевдосферических поверхностей с 1827 по т 1887 год. Также необходимо упомянуть известный четырехтомный трактат Г.Дарбу "Лекции по общей теории поверхностей" [66] и учебник Л.Бьянки "Лекции по дифференциальной геометрии" [58]. Б последние десятилетия ощущается новый всплеск интереса к классической геометрии поверхностей, вызванный глубокими взаимосвязями, обнаруженными между солитонными уравнениями математической физики и некоторыми типами поверхностей (поверхностями постоянной кривизны, поверхностями Бейнгартена и другими). Среди новых работ отметим работы А.И.Бобенко [59, 60], Ю.А.Аминова [53, 54], А.М.Каллини и Т.А.Ивея [62, 63], ЯЛ.Кислинского [64].

Перечислим некоторые физические явления, описываемые уравнением эт-Гордона: эффект самоиндуцированной прозрачности в двухуровневой среде [8], динамика блоховских стенок в ферромагнитных кристаллах [8,44], процессы в джозефсоновском контакте [8], возмущенные состояния элементарных частиц [75].

Поскольку в физической интерпретации в переменных и или у обычно участвует время, то для физических явлений, описываемых уравнением эт-Гордона, псевдосферическая поверхность является ана-^ логом фазовой плоскости [35], на которой реальный физический процесс изображается как кривая.

Заключение

1. Предложен метод построения асимптотического разложения малых решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, основанный на методе вариации постоянных и втором методе Ляпунова.

2. Построена асимптотика решений на бесконечности и в нуле для уравнений вида гх" + х' = /(х, *), где функция /(х,£) обладает при (х, £) —> (0,+оо) следующим дифференцируемым асимптотическим разложением: х, ¿) = (-1 + оЛ-Ч2 + (ЗГ1 + . .)х + (т*"1/2 + 5Г1 + . .)х2 +.

К уравнениям такого вида относятся уравнения для третьей трансцендентной функцией Пенлеве и уравнения типа эт-Гордона. Полученный результат применяется в основном к уравнению эт-Гордона и далее — к псевдосферическим поверхностям.

3. Исследована псевдосферическая поверхность, соответствующая автомодельному решению уравнения эт-Гордона (поверхность Амсле-ра). Для ее радиус-вектора получено линейное уравнение второго порядка гиперболического типа, которое далее исследовано методом разделения переменных и асимптотическими методами. Получены асимптотические разложения для радиус-вектора ребра возврата поверхности Амслера в окрестности конечной точки (в степенной ряд) и на бесконечности. Получено асимптотическое разложение радиус-вектора поверхности Амслера в окрестности ребра. Получены асимптотические разложения для радиус-вектора асимптотических линий в окрестности конечной точки и на бесконечности. Эти разложения применяются для получения асимптотического разложения радиус-вектора поверхности Амслера в окрестности асимптотической линии.

4. Исследованы и классифицированы псевдосферические поверхности, соответствующие двухсолитонным решения уравнения эт-Гор-дона, по геометрическим характеристикам их ребер возврата. Выделено восемь характерных случаев.

5. Доказана теорема о локальной однозначной определенности псевдосферической поверхности по ее ребру возврата.

1. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: Гос. науч.-техн. изд-во Украины, 1939.

2. Бакельман И.Я., Вернер A.JL, Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию "в целом", М.: Наука, 1973

3. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

5. Гильберт Д. Основания геометрии (добавление V), Гостехиздат, 1948.

6. Грибков И.В. Некоторые решения уравнения синус-Гордона, получаемые с помощью преобразования Бэклунда. / /УМН 1978- 33, вып.2 с.191-192

7. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии, т.1, М.: Мир, 1982.

8. Давыдов A.C. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Науко-ва думка,1984

9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука,1967.

10. Дубровин Б.А. Тета-функции и нелинейные уравнения. //УМН- 1981 36, вып.2 - с.11-80

11. Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

12. Дубровин Б.А., Натанзон С.М. Вещественные двухзонные решения уравнения sine-Gordon. / / Функ. анализ и его прил. 1982 -16, вып.1 - с.27-43

13. Ефимов Н.В. Поверхности с медленно изменяющейся отрицательной кривизной. //УМН 1966 - 21, №5 - с.3-58

14. Ефимов H.B. Невозможность в трехмерном евклидовом пространстве полной регулярной поверхности с отрицательной верхней гранью гауссовой кривизны. //ДАН СССР 1963 - 150, № 6 - с.1206-1209

15. Ефимов Н.В. Возникновение особенностей на поверхностях отрицательной кривизны. //Мат. сб. 1964 - 64, №2- с.286-320

16. Зададаев С.А. Решения типа бегущих волн уравнения sin-Гордона и псевдосферические поверхности. //Вестник МГУ Сер. мат., мех. 1994, № 2

17. Зададаев С. А. Л2 -представления уравнений математической физики и постановка спектрально-эволюционной задачи. //Вестник МГУ, Сер. физ., астр. 1998, №5 - с.29-32

18. Козел В.А., Котляров В.П. Конечнозонные решения уравнения sine-Gordon. Препринт ФТИНТ АН УССР, №9-77, Харьков, 1977

19. Лэм Дж. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983

20. Маевский Е.В. Асимптотическое поведение решений одного квазилинейного уравнения второго порядка. / / ЖВМ и МФ 1998 -№10

21. Маевский Е.В. Двухсолитонные решения уравнения sin-Гордона и связанные с ними псевдосферические поверхности. // Вестник МГУ, Сер. физ., астр. 2002, № 3

22. Маевский Е.В. Асимптотика решений некоторых квазилинейных уравнений второго порядка / / Деп. в ВИНИТИ 09.10.2002, № 1696 - В 2002

23. Маевский Е.В. О псевдосферической поверхности Амслера //Деп. в ВИНИТИ 09.10.2002, № 1695 - В 2002

24. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях, Новокузнецк: ИО НФ-МИ, 1998

25. Новиков С.П. (ред.) Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980

26. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Гостехиздат, 1956.

27. Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия, М.: Наука, 1974

28. Позняк Э.Г. Геометрическая интерпретация регулярных решений уравнения zxy = sin 2 // Дифф. уравнения. 1979 - 15, № 7.

29. Позняк Э.Г. О регулярной реализации в целом двумерных метрик отрицательной кривизны // Укр. геом. сб. 1966, № 3 -с.78-92.

30. Позняк Э.Г. Геометрические исследования, связанные с уравнением sin-Гордона. //Итоги науки и техники, Проблемы геометрии, ВИНИТИ -1977 8, с.225-241

31. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия уравнения sin-Гордона //Итоги науки и техники, Проблемы геометрии, ВИНИТИ -1991 23, с.99-130.

32. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия Лобачевского и уравнения математической физики.//ДАН 1993 - 332, № 4

33. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Уравнение синус-Гордона: геометрия и физика. //Новое в жизни, науке и технике Сер. мат., киб. 1991, №6, М.: Знание.

34. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия, М.: МГУ, 1990

35. Попов А.Г. Аналог фазового пространства для уравнения sin-Гордона //Вестник МГУ, Сер. физ., астр.-1989 30, № 4 - с.19-22

36. Рождественский Б.Л. Система квазилинейных уравнений теории поверхностей. //ДАН СССР 1962 - 143, № 1

37. Розендорн Э.Р. Поверхности отрицательной кривизны //Совр. проблемы мат. Фунд. направления 1989 - 48, с.98-195

38. Смирнов А.О. Вещественные эллиптические решения уравнения "sine-Gordon". //Мат. сборник 1990 - 181, №6-с.804-812

39. Смирнов А.О. 3-эллиптические решения уравнения "sine-Gordon". //Мат. заметки 1997 - 62, вып.З - с.440-452

40. Тихомиров Д.В. Исследование псевдосферической поверхности, отвечающей двухсолитонному решению уравнения sin-Гордона. / / Вестник МГУ, Сер. физ., астр. 2001, № 1

41. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М., 1962.

42. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Изд-во ин. лит., 1957.

43. Фиников С.П. Теория поверхностей. M.-JL: ГТТИ, 1934

44. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. М.: Мир, 1977

45. Чебьппев ПЛ. О кройке одежды //УМН 1946 - вып.2(12), Nbl

46. Чередник И.В. Об условиях вещественности в "конечнозонном интегрировании". //ДАН СССР 1980 - 252, Nq5 - с.1104-1108

47. Шикин Е.В. Об изометрическом погружении двумерных многообразий отрицательной кривизны методом Дарбу //Мат. заметки 1980 - 27, №5-с.779-794

48. Шикин Е.В. Об изометрическом погружении в трехмерное евклидово пространство двумерных многообразий отрицательной кривизны //Мат. заметки 1982 - 31, № 4 - с.601-612

49. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одной переменной. М.: Наука, 1979

50. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 197951. ¡Пуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963

51. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции, М.: Наука, 1964

52. Aminov Yu.A., Cieslinski J.L. On the regularity of the Backlund transformation for pseudospherical surfaces. //J. of Math. Phys., Analysis, Geometry 2003, №4-P.469-480

53. Aminov Yu.A., Tikhonova O. On special isometric immersions of regions of Lobachevsky space into Euclidean space. //J. of Math. Phys., Analysis, Geometry 2003, №1- P.3-11

54. Amsler M.-H. Des surfaces a courbure negative constante dans l'espace a trois dimensions et de leurs singularites //Math. Ann. -1955, № 3 P.234-256

55. Andreev V.A., Brezhnev Yu.v. Darboux transformation, positons and general superposition formula for the sine-Gordon equation.//Phys. Letters A. 1995 - 207, p.58-66

56. Beltrami E. Sulla superficie di rotazione che serve di tipo alle superficie pseudosferiche. / /Giorn. di Mat. 1872 - 10, Opere 2.

57. Bianchi L. Lezioni di geometria differenziale. V. 1, Parte 2. Bologna, 1927

58. Bobenko A.I. Surfaces in terms of 2 by 2 matrices. Old and new integrable cases. // В сборнике Harmonic Maps and Integrable Systems, Aspects of Mathematics, V.23, eds. Fordy A.P., Wood J.C. (Vieweg, Brunswick, 1994)

59. Bobenko A.I., Kitaev A.V. On asymptotic cones of surfaces with constant curvature and the third Painleve equation. / /Manuscripta Math. 1998 - 97, pp.489-516

60. Bureau F.J. Differential equations with fixed critical points. //Ann. Math. Pur. Appl. 1964 - 64, P.229 - 364.

61. Callini A., Ivey T.A. Topology and sine-gordon evolution of constant torsion curves. //Knot Theory Ramifications 1998, №6 - pp.719746

62. Callini A., Ivey T.A. Backlund transformations and knuts of constant torsion. //Knot Theory Ramifications 2002, №2 - pp.1-31

63. Cieslinski J.L. The spectral interpretation of n-spaces of constant negative curvature immmersed in R2n1. //Phys. Letters A. 1997 - 236 - pp.425-430

64. Coddington E. A brief account of the historical development of pseudospherical surfaces from 1827 to 1887. Lancaster, 1905.

65. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. P.3, V.7, Chap.10-13, Paris, 1894.

66. Dobriner H. Die Flachen constanter Krummung mit einem System sphärischer Krummungslinien dargestellt mit Hilfe von Thetafunctionen zweier Variabein. //Acta Math., V.9, 1886-1887, pp.73-104

67. Enneper A. Analytisch-geometrische Untersuchungen. Gottinger Nachrichten, 1868.

68. Fay J. Theta-functions on Riemann surface. Lecture Notes in Math. V.352. Springer-Verlag, 1973

69. Hoffman R. Discrete Amsler surfaces and a discrete Painleve third equation. //Discrete integrable geometry and physics (Vienna, 1996), Oxford Lecture Ser. Math. Appl., V.16, Oxford Univ. Press, N.Y., 1999

70. Its A.R., Novokshenov V.Yu. The isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equations. Lect. Notes in Math., V.1191, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1986

71. Klein J.J. Geometric interpretation of the solutions of the sine-Gordon equation. //J. Math. Phys., V.26, №9,1985

72. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux transformation and solitons. Springer, Berlin, 1991.

73. Nemeth S.Z. Backlund transformations of n -dimensional constant torsion curves. //Publ. Math. Debrecen, V.53, №3-4, 1998, pp.271279

74. Skyrme T.H.R. Particle state of a quantized meson field. //Proc. Roy. Soc., 1981, V.A262, P.237.

75. Steuerwald R. Uber Enneper7 sehe Flachen and Backlund" sehe Transfomation //Abh. Bayer. Akad. 1936 Heft 40

76. Wissler Ch. Globale Tschbyscheff-Netze auf Riemannischen Mannigfaltigkeiten und Fortsetzung von Flächen konstanter negativer Krümmung. //Comment, math, helv., V.47, №3, pp.348-372,1972