Асимптотические разложение решений волнового уравнения для сингулярно возмущенных смешанных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

СКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ пм. М.В. ЛОМОНОСОВА

. МЕХАНИКО — МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ' ^ ^ 0/} На правах рукописи

ГАНЖА МАРИЯ ИВАНОВНА

УДК 517.9

асимптотическое разложение решений волнового уравнения з;ля сингулярно возмущённых смешанных задач

/01.01.02 — Дифференциальные уравнения /

0

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени хандпдата фиэияо — математических наук

/

МОСКВА 1993

V

Туреяег Ьу -

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений кеханико-катекатического факультета ¡.'.осковскогс государстэвнного университета имени К.ВЛсионосова.

Научный руководитель - доктор физякс-игтематических наук,

доцент Б-Р.ВаЙнОерг. Официальные оппонзик: доктор физико-математических наук, дрофессор В.В.Кучеренко, кандидат физико-иатеиатичетк:: наук, доцент В.Г.Сушка. Ведущая организация - Институт математики с ВЦ Уральского Отделения РАН.

Защита диссертации состоится l^rJMQjJ __1994 г.

в 16 час. С5 иин. на заседании специализированного совета Д.С53.С5.04 при Ыоскизском государственной университете имени 1!.В.Лшоносо-5<а;по адресу: II989S,ГСП,Иосжва,Ленинские горы, МГУ, ыехаиккР-катеиатический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией иоако ознакомиться в библиотеке иеханико-иатеиатического факультета КГУ (Главное здание, 14 этан).

Автореферат разослан 15 axpjvuuJ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.С53.С5.С4 иря Ш, профессор ЩЖ'оМ^

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математические исследования краевых задач для уравнений математической фпзикп, содержащих малый параметр, имеют дэкгую историю. Ещё в 19 в. в работах Далласа, Максвелла, Кирхгофа поучались конкретные задачи, фактически содержащие пограничные слои (упоминание об эточ см. в [1, 2]), но идея рассматривать пограничный слой при решении задачи об обтекании тела жидкостью с малой вязкостью была предложена в начале XX века Л. Прандтлем на III Математическом Конгрессе (си. [3]). Наиболее полное исследование математических вопросов, связанных с применением метода погранслоя для дифференциальных уравнений с частными производными, было дано в работах М.О. Вшпика и JI.A. Люстернпка [4, 5]. В этих работах для широкого класса систем дифференцсальных уравнений были указаны усло-

1. Ван-Дейк М. Методы возмущений в механике асиржостн. —М.: Мир, 1967.

2. Найфэ А.М. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976.

3. Prandtl L. Uber Fiussigkeitsbewegung bei sehr tleiner Reibung. -Ver-

hardlungen des dritten internationalen. Mathematiker Kongresses, Heidelberg, 1904, Leipzig.— 1905. — S. 484 - 491.

4. Вхшшк M.O., Люстерник JLA. Регулярное вырождение и пограничный слои для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. — УМЕ, 1957, 12, N 5, с. 3 -122.

5. Вшппк М.О., Люстррник Я.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряжённых и весамосовряжёнлых диффс-])енш1;льпы>. уравнений. -УМН, 1960,15, N 3, с. 3 - 80.

Typeset by Л^-ТеХ

зшг, при которых асимптотика, решения представляется в виде суммы внешнего (г. е. вне погранслоя) и внутреннего (внутри погралсзоя) разложений, причем внутреннее разложение состоит та функций, экспоненциально стремящихся к нулю вне пределов догранслоя. Такая ситуация была названа в [4] регулярным вырождением, а пограничный спой — экс-п онекциальным. ~ .

Однако, для уравнений в частных производных случаи экспоненциалъ-кого погранслоя скорее исключение, чем правило. Часто коэффициенты внепшего разложения имеют особенности в каких-либо точках границы или даже внутри области. В такой ситуации равномерное асимптотическое разложение не может быть получено в виде суммы внепшего разложения и каких-либо рядов с ограниченными коэффициентами, а влияние погранфункций (коэффициентов внутреннего разложения) не ограничивается лишь узким погранслоем шириной 0 < е « 1, у > 0, как в случае регулярного вырождения. Задачи такого типа называют бисин-гулярными (в частности, задачи, рассматриваемые в диссертации, являются бисиагулярнымп). Известен целый ряд методов, предлагаемых для решения таких задач (метод ВКБ [6], метод осреднения Крылова — Боголюбова - Митропольского [7] п др.) В диссертации мы будем пользоваться методом согласования асимптотических разложений. Для уравнений с частными производными первые строгие математические результаты по обоснованию асимптотики, построенной этим методом, по-явшгась в 70-е годы. Так в [8] К.И. Бабенко была получена и обосновала асимпто-

6. Масдов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: Изд-во МГУ, 1965.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольсюш Ю.А. Асимптотические методы в

теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.

8. Бабенко К.И. Теорад возмущений стационарных течений вязкой не-

тика рсшсняял задаче об обтеюипш трехмерного гола жидкостью при малых телах Реинольдса, а з [9, 10j В.М. Баботсм, B.C. Буядыревыи п Н.Я. Кприичтшэвьш было проведено строгое математотесЕяс исследование а. р. решения для задачи дифракции коротких волн.

Большой интерес представляют исследовании решения краевых задач для эллиптического дифференциального уравнения в случае, когда граница области, в которой рассматривается задача, имеет особенность: углы, рёбра, разрезы и т. п. Построение а. р. решений краевых задач дле эллиптического уравнения в области с узкой ¡целью посвящены работы A.M. Ильина [21, 12, 13].

Построению а. р. спектральных характеристик задачи рассеяния на резонаторе Гелъмгольца методом согласования р. гтоешцеиы работы

сжимаемой жидкости при малых ■числах Рейнольдса. Препринт ИПМ. М., 1975, N 79.

9. Бабич В.М., Буядырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн.— М. : Наука, 1972.

10. Бабич В.М., Кирпичников НЛ. Метод погралслоя в задачах дифракции. Л.: — ЛГУ, 1974.

11. Ильин A.M. Краеваг задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щельга. I. Двумерный случай. —Мат. сборник.

— 1976. -99, N 4, с. 514 -537.

12. Ильин A.M. Красзгл задача для эллиптического уравнения второго походка ч области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. — Мат. сборник. — 1977. — 103, N 2, с. 265 -284.

13. Ильин А .М. Иссяедоранзе асимптотики эллпатпчесЕс^ краевой о а дата з области'с малым отверстием.—Труды сешшара им. И.П. Петровского.

— 1981. — вып. 6, с. 57 - 32.

з

Гадылышгял Р.Р- {14, 15, 16, 17]. Резонатором Геяьмгольна называется препятствие, полученное в результате вырезания малого отверстая линейных размеров порядка е по замкнутой поверхностп Г = ЗП, где П — ограипченаая область в Н3 с границей, дпф^еэморфпой сфере. В частности, в [16] рассматривались внутренние задачи Дирихле и Неймана для акустического резонатора. Гельмгопьца

(д+л2)ие = о, хеи*\г£,

ди' { - г,

"с = рц или — = р2 € Г£, — И:г1с = о(г~1), т оо,

от

где Л С В1 -ограниченная односвязная область с гладкой границей Го = ЗП, Ге = Го \¿¡>„ и>г — открытое односвяэное подмножество на Го, имеющее гладкую границу дыс и лежащее в шаре радиуса е с центром в точке го 6 Го, 0 < е « 1, г = |г|, п — внешняя нормаль, / 6 С°°(Го), ре — оператор сужения на Ге. Установлено, что полюса функции Грина рассма-

14. Гадылышш Р.Р. Сингулярно возмущённая задача для оператора Гель-мгольца. — В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УВД АН СССР, 1984, с. 18-35.

15. Гадылышш Р.Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной самосопряженной зллшггяческой задачи с малым параметром

в гранитных условиях. — Дпфф.уравненш, 1986, 22, N 4, с.640 - 652.

16. Гадылышш Р.Р. Асимптотика собственного значения эллиптической

краевой задачи с малым параметром в граничных условиях. — В кн. Асимптотические методы решения задач математической физпкн. Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1989.

17. Гадылышш Р.Р. Поверхностные потенциалы и метод согласования асимптотических разложений в задаче о резонаторе Гельмгольца. —.Алгебра и анализ. — 1592. — 4, N 2. — с. 88 - 115.

трхгоаемой задан! при закрывании отверсгпя стремятся к квадратным корням то собственных значений задачи Дирихле пап Неймана соответственно в Й. Построена полная асимптотика по малому параметру с такого полюса те, стремящегося при закрывашта отверстия к ко, где

— простое собственное значение. В [15] аналогичный результат получен для случая, когда — двукратное собственное значение внутренней задачи Неймана.

Для гиперболических уравнений и.систем асимптотические методы е, в частности, метод согласования а. р. применялись в следующих ситуацп-¿х. В [18, 19] для пшер бодической системы уравнений в частных производных первого порядка, в которой начальные функции быстр с» стремятся к своим пределам на бесконечности, Калягин Л.А. методом согласования построил асимптотическое разложение решения ло малому параметру £, равномерное в области

где М — положительная константа. В этих задачах сингулярный характер возмущения связан с большим промежутком'времена I ~ е-1, а' погранедой располагается вдоль характеристик.

Рель работы. В диссертации решается задача о построении асимптотических разложений решений смешанных задач для волнового уравнения в следующей формулировке. Пусть Q — неограниченная область в

18. Калягин Л.А. Длинноволновые асимптотики решении нелинейных уравнений с дисперсией. — ДАН СССР. — 1986. — 288, N 4. — с. 80Э

- 813.

1Э. Калякнн Л. А. Метод сращивания в задаче о дякзнезолвовой модуляции нелинейных плоских волн с дисперсией. — Тр. Моск. мат. о-ва. -1990.-53 — с. 3 - 41.

Н3 (возможно, Ц = К1) с кусочно-гладкой копотной границей Г а а < со— фикспрованная кснсганта такая, что Г лезсит внутхш шара |х| < а. Череп П( будем обозначать ограниченную подобласть (2 с бесконечно гладкой конечной границей Г«, гомотетичную с центром в ауле н коэффициентом £ фиксированной области СЯ, диффеоморфнойшару, (¡с = \ П.. При £ —> 0 область О, стягивается в точку. В первой н второй главах диссертации рассматриваются (внешние) смешанные задачи

{□»(*,«,£) = г €<?«,*> О,

*Ь=о = иИ«=о=0, ^ (1)

«|«г.=0 "

и

1Ои(х,«,е) = 0, х€(?«,е>0,

где □ = ^г - Д; функциид(х), ф{х) б С^Ю^ШпЮ.) нгорр^ПП. = в, Барр фпС1* = 0. Отметим, что в первой главе (3 — И5, таким образом, заедали (1) а (2) рассматриваются во внешности исчезающего препятствия. Во агорой главе = Н3 \ Й, где Й — замыкание ограниченной области в И3 с гладкой иелавушечной границей (т. е. разрывы матрицы Грявь для задачи (2) уходя на бесконечность при * —» оо (в смысле определений [20])). Следовательно, область = К3 \ (Й ПП,) является внешностью неловушечного я исчезающего при е —» 0 препятствий. В третьей гла-Н: рассматривается смешанная задача для волнового уравнения в Q^ — ■■■аешяооти резонатора Гельмгояьпа Г«

' ¡ОД,с)»'/(*>3. (г,«)еС.хЯ+

= <|«=о = о, же<г«, (з)

20. Вайнберг Б-Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. — М- МГУ, 1982.

Где /(х, ОбС^п /(х, () = 0 при х € И3 Цель наавк исследований

— построить полное асимптотическое разложение но параметру £ при £ —»0 решений рассматриваемых задач.

Научная новизна работы. Результаты диссертация яяыются новыми. Основные результаты заключаются в следующем.

1. задач (1) и (2) во внешности исчезающего премтсхвня построено ионное а. р., равномерное по Доказано также, тго *ля коэффилиен- • тов а. р. решения задачи (1) справедлив принцип предежьноп амплитуды (см. [20], [23.]), т. е. коэффициенты выходят на периодический режим при

* —» со. При исследовании задачи (2) доказано, что при 1-* со локальная энергия приближённого решения (суммы любого конечного числа членов а. р.) стремится к нулю.

2. Для задач (1) и (2) во внешности неловушечного и исчезающего препятствий также построено полное а. р., равномерное по 4, и доказан принцип предельной амплитуды для коэффициентов разложения решения задача (1) а убывание локальной энергии приближённого решения задачи (2).

3. Построено полное а. р. решения нестационарной смешанной задачи доя резонатора Гельмгояьца. Доказано, что главный чжен асимптотики

— решение внутренней предельной задачи (т. е. задача внутри замкнутого резонатора) — приближает решение с точностью до у/с-

Методы исследования. Использованы методы согласования асимптотических разложений, методы теории функций юмапюашого переменного, теория возмущении.

Теоретическая я практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть яаюлкювааы в задачах ди-

21. Эйдус Д.М. Принцип предельной амплитуды. — УМП, 1969, 24, вып.

3, 91- 156.

фракции я построения решения сингулярно возмущённых задач.

Аптюбадщя работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнении механико-математического факультета МГУ, на "V Сибирской школе по алгебре и анализу в Иркутске в 1991 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 10 параграфов и списка литературы, содержащего 53 наименования. Объём диссертации — 109 листов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Перейдём к более подробному описанию результатов диссертации. В первой главе диссертации исследуются задачи (1), (2) в случае, когда С}с ~ С} \ Пе — внешность' исчезающего при е —» 0 препятствия. Через В* будем обозначать пространство Соболева с обычной нормой; Н'а С Я* — подпространство, состоящее из функций, равных нулю при \х\ > а; Щь) = Я'(<2П(1х| < Ь}); Е'м = Н'(дп{р < |х| < Ь}); Я'-7 = {/г : Ле~т< £ Я'}- Решения рассматриваемых задач понимаются в сильном смысле (см. [20, с. 234]). В первом параграфе получены краевые задачи для коэффициентов а. р. Коэффициенты внешнего разложения решения задачи (1) являются решениями смешанных задач вида

I = (мь)Л«=с = о,

где ¿к,о — символ Кронекера; коаффяциенты внутреннего разложения

з

являются реигенпялд задач Пуассона

Ыг.^о, и

причем г1_х = и_2 = 0, в которых 4 играет роль параметра:

т;ь(е,о) = ы',(е>о)=о.

Коэффициенты внешнего разложения для задачи (2) являются решениями задач

г Пль{х,г) = о, (г, г) е н3 х и+,

1«ь|1=о=0, Ы'.|(=о =

где - символ Кровекера, а коэффициенты внутреннего разложения — задач (7). Решения задач' (6) и (6') при Л > 1 ищутся в классе функции, имеющих а. р. при х —♦ 0 вида ■

оо

«к(».Ов X) (8)

где и^- — однородные по х порядка ] функции, т. е. для любого р > О Ик^(рх, 4) = Решения задач (7) ищутся в классе функцпй,

имеющих прп £ —» со а. р. вида

во

«*(£,*)= ЕЧ-;- (9)

где — однородные по £ порядка функции. Во втором параграфе получены условия согласования внешнего п внутреннего разложений п построены асимптотические разложения решении задач (1) и (2). Основной результат данного параграфа следующий.

Теорема 1. Существуют а ощаатсчво определяются фувата т п являющиеся решениями задач (б) л (7) соответственно, которые имеют а.' р. веда (8) а (9) соответственно, для которых выполняются условия согласования

«М Ь > 0, ; > -к- (10)

В третьем параграфе докалывается справедливо ступрянципа. предельной амршзуды для коэффициентов щ(х,4) д ~ > 0, а. р. решении задачи (1), а именно:

Теорема 2. Существует такая константа Т<оо г такие функции и» (ж) я что при 1 > Г для всех Ь > О

где «*((,£) — гоэффшогеатм а. р. решения задачи прячем

функции й*(х), «¿(С), ^ > 0, яжыются решениями задач

- «Л* « §{ |х|-1) при |х| -ОС, где функция р(х) ез задачи (1), и

{Д5* = -и2»*-*. й-г = г 0,

соответственно.

Доказало, что фувыщя

где х(Е) — гладкая срезающая функция

, л Г 1, >1 < 1, - тл

ю

является приошкхеяньш решением задачи

«Ir. «О,

й = Ш1*Г1). ^-twü-gíN-1) вря'Н-оо, . для которого выполняется оценка: дня любого Ь > О

где постоянная^ С не зависит от е.

ТЬхже в атом параграфе построено приближённое решение задачи (1)

(i-x(iL))fуиМ+хф^ЫМ, 03)

* ЬхО V кжО

и доказана следующая оценка. Игорем» 3. Для любого М > 0

аде постоянная С se зависят от t в с.

Следствие 4. Дох любого целого М > 0 существует такая коясгаята С = С(М), не зддисящая от < я £, что

«(r,t(e) = e~iw'v(xte) + с^Ии,

где

В четвертом параграфе подучены аналогичные результаты для решения задачи (2), а именно:

Теорема 1'. Для любого к > 0 существуют л одиоавячяо определяются функции иь, V* —решелпя задач (&), (7) имеющие а. р. (8), (9) соответственно, для которых: выполняются условия согласования л существует такое Т < оо, тто для всех 1>Т

ик = = 0.

Теорема 3'. Для любого делого М > 0 функция (формула

(1.13)) удовлетворяет неравенству

¡¡и(г, г,е) - ¿М*, £)Ц < СГ^.,

где постоянная С не зависит от 1 и е.

Вторая гласа диссертации посвящена исследованию задач (1) и (2) в случае, когда является внешностью двух препятствий, одно.из которых — П, — имеет размеры порядка к, а второе — Я — неловушечное.

В первом параграфе доказываются вспомогательные утверждения. В частности получены краевые задачи для коэффициентов разложения. Для коэффициентов внешнего разложения задачи (1)

" □«*(«,«) =4,ое-^(а:), г £ <? = В3 \П,* > 0,к > О,

- 'и*1*=о = Ы;к=о = 0, (14)

. «*|«г = о.

Для коэффициентов внелшего разложения задачи (2)

!Пи4(х,<)=0, хе<2 = И3\П,1>0,к>0,

"*|£=о = (140

«4|а<г=0,

ще-£к,о — символ Кровекера. Для коэффициентов внутреннего разложения зада-: (1) и (2) — задачи (7). Во втором параграфе построены г.. р. зада^!) и (2). .

Теорема 5. Существуют л однозяачно определяются функции vj, п v¡,, к > 0, — peiuc-нпя гшддч (14) а (7) в области Q = R3 \ Í1 соответственна, тикие что для их я. р. (8) л (9) соответственно выполняются условия согласования (12).

Теорема 5'. Существуют и однозначно определяются фузгппя t¡k п к > 0, — решения задач (14'.) и (7) соответственно, такие что для их а. р. (8) ir (9J в области Q ~R3\Q соответственно выполняются условия согласования (12) п существуют такие положительные константы С я а, что для всех 5>0л0<р<Ь

Также в этом параграфе доказан принцип предельной амплитуды для коэффициентов а. р.

Теорема 6. Для любого k>Q коэффициенты uj., щ а. р. решения оадачп (1) удовлетворяют условиям: существуют такие функция ük и щ, к > О, — решения задач

' (Д + üJ2)úk(x) = —5fc,og(a:), < «i|ao = О,

. «* = fi(M-1)i fgj-twü^Sdxi-1),

ir

Г ASfc = W2ífc_2, fc > 0, ¿}_! = v_2 = о,

l»fc|r, =0,

соответственно, что при t —+ оо

■Uk(x, —» üt(i), в смысле пространства. #(ь,р)» £)е""' —• в смысле пространства Я*Ь).

Кроме того, доказано, что функция

м м

GM(x,t,s) = (l-x( * *

vf ifeí ve

где х(г) — гладкая ч>еоаюш;ш функция (12), является приближённым решением задачи

| (Д + и*)й(х) = -¿?(х), *еП3\<?е, .

I = О

с условиями получения на бесконечности.

Теорема 7. Для любого целого М > 0 приближенные решения 11м (формула (13)) задач: (1) л (2) удовлетворяют неравенству

где — точное решение соответствующей оадгта, а постоянная

С — ве оявнспт от * я е.

Следствие 8. Для решения задачи (1) выполняется соотношение где

В третьей главе диссертации строится а. р. решения смешанной задачи для волнового уравнения во внешности резонатора Гельш'охьца. Пусть П — ограыичявная область в ^ с гладкой Г1>анпцей Г, диффео-морфной сфех)е. Будем считать, что начало координат принадлежит Г и с некоторой окрестности начала координат поверхность Г совпадает с плоскостью {хз = 0}. Через а обозначим ограниченную область на Г, такую что а С Г П {гз = 0). Область ас получается из а гомотетией с центром в нуле и коэффициентом С > 0;

ге = г\<ге, е = {13 = о}\.г, ог = к3\г£, а' = н3\п.

В области <3, = Р(3 \ Ге рассмотрим задачу (3).

Построение асимптотического разложения исследуемой задачи и получение условий согласования а. р. проводится во втором параграфе. В случае резонатора Гельыгольца будет два знешнпх разложения: внутри резонатора

оо -

и(х,г,Е)=^£кик(х,1): х е П, I € [0,Т], (15)

1=0

и вне

оо

ТГ{х,г,е) = £ Ло4(а:,*), ' х еП'г г € [О, Т]. (16)

Задачи для определения коэффициентов этих разложений имеют вид

«1=|«=о = «к',|»=о =0, ■ х € А, (17)

«л|вя\{0> = о» •

где ¿¡к,а — символ Кронекера;

' СЪь(х,0 = 0, (®,4) £ П' х (О,Г),

ю*|<=о = =0, а: € Я', (18)

„ «>»|вп'\{о} =0,

. Внутреннее разложение строится в виде

(19)

Ь=1

и коэффициенты г>ь внутреннего разложения будут решениями задач

• Г Д»ь(€, 0 =

Ь*Ь = о, <е(о, г),

причем = и0 = 0. .

(20)

Теорема 9. Существуют и однозначно определяются фунгцпн щ, v>k я Vk —решения зздлч (17), (18) я (20) соответственно, п.меюпшё а. р. вода

со

«fc(z,t)= 22 и*о(м)>

со

Vlk{x,t) = Wkj(x,t),

j=-fc

где Ukj, tutj однородные по x порядка j, a i»jt,-i однородные по £ порядка . —j, соответственно, такпе что выполняются условия согласования

uktk-j(x,t) =vfk_j(x,t), .vik,k-j(c,t) = v7k_}.(x,t), к > OJ 2 -& + 1.

В третьем параграфе строится приближённое решение задача (3) м м м

üM = (i- х(4))(е*)+е «'»л*«*))+е • *).

V fc=0 Jfe=0 V fc=0

(21)

где x(i) — срезающая функция (12), иь, uij., fc > 0, — коэффициенты соответствующих внешних (15), (16) разложений, продолженные нулём в П' и в П соответственно, hj., fe > 1, — коэффициенты внутреннего разложения (19).

Теорема 10. Для любого целого М > 0 функция Djf (формула. (21)) ятляется решением смешанной задачи

□ÖWOc.i.e) ='/(*, i) +fi(ear1), (Sft) € IL = (О,Г) х Qvarej>silon, Ö* ко = ФмУАил = 0, х £ R3 \ Ге, Öiflr. =0, «6(0,Г). .

Следствие 11. Для лкюаги целого М > О

Иф.М)- Г>м(х,£,£)1|япц.)

где константа С зависит от £.

Следствие 12. Продплж'::.г решение ч0(х, Ь) предельная задач." ("17) нулем в П'. Тогда ' ,

где постоянная С не зависят от £.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Борису Руфпмовпчу Вайнбергу за постановку задачи и полезные обсуждения работы, а также профессору Николаю Христовичу Розову за большое внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликовали в следующих работах:

1. Ганжа М.И. Асимптотическое разложение решения нестационар-нон задачи о резонаторе с малым отверстием.— Рукой, деп. в ВИНИТИ, 1991, N 276-В91.

2. Ганжа М.И. Асимптотика решения "задачи о резонаторе Гель-мгольца. — Тезисы V Сибирской школы по алгебре и анализу, Иркутск, 1991.

3. ЛвшзЫ.И. Метод сращивания асимптотических-разложений Для решения- смешанной задачи дшг волнового уравнения

• в пространства с "препятствиями. - руксп, дгя. в ВШТГГИ 1994, 544 - В94.