Асимптотические свойства алгебр Неймана и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ КОММУТАТИВНОСТЬ В АЛГЕБРАХ

НЕЙМАНА И МОДУЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ

1.1. Предварительные сведения

1.2. Описание основной конструкции

1.3. Определение асимптотической алгебры и ее свойства.

1.4. Множество асимптотических отношений Араки-Вудса и асимптотические алгебры.

1.5. Центральные последовательности в факторе и асимптотические алгебры

1.6. Автоморфизмы алгебр Неймана и асимптотические; алгебры

1.7. Алгебраические инварианты факторов и асимптотические алгебры.

Глава П. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА С »ОЙ И ИНВАРИАНТЫ ВНЕШНЕЙ СОПРЯЖЕННОСТИ ДЛЯ АВТОМОРФИЗМОВ ИЗ НОРМАЛИЗАТОРОВ ПОЛНЫХ ГРУШ

ТИПА Ж

П.1. Полные группы преобразований пространства

Лебега и ассоциированные потоки.

П.2. Нормализаторы аппроксимативно конечных групп типа Ш 0 и свойства их элементов

П.З. Внешняя сопряженность автоморфизмов из нормализатора группы типа J!j

П.4. Внешняя сопряженность автоморфизмов из нормализатора группы типа Ж0 (продолжение)

П.5. Классы внешне сопряженных автоморфизмов из нормализаторов полных группы типа Щ (0<Ji <{)

П.6. Классы внешне сопряженных автоморфизмов из• нормализатора гиперфинитной полной группы типа Щ

Глава Ш. КЛАССЫ ВНЕШНЕ СОПРЯЖЕННЫХ АВТОМОРФИЗМОВ

ИНЪЕКТИВНЫХ ФАКТОРОВ ТИПА I

Ш.1. Автоморфизмы инъективных факторов типа Ж^

0 4Л<<{)

Ш.2. Автоморфизмы инъективных факторов М типа Ш с тем)

Ш.З. Автоморфизмы факторов Араки-Вудса типа М^ и инъективные факторы типа с почти-периодическим весом.

Глава 17. КЛАССИФИКАЦИЯ ГЛОБАЛЬНЫХ АЛГЕБР ТИПА Ш.

Глава У. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ АНТИЮМУТАЦИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ (КАС) КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ К' ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

У.1. Описание неприводимых представлений КАС и задача Л.Гординга и Уайтмана.

У.2. О коциклах динамических систем с плотным образом.

I. Настоящая работа относится к разделу математического анализа "топологические алгебры". Эта область существенно опирается и использует достижения функционаального анализа и теории операторов. Потребность в рассмотрении алгебр возникла в квантовой механике, поскольку наблюдаемые квантовой системы порождают алгебру операторов. В нынешний момент эта область характеризуется интенсивным внутренним развитием с одной стороны, с другой - расширяется сфера ее приложений. Если уже на первых порах создания теории было понятно, что она тесно связана с теорией операторов, теорией представлений и эргодической теорией, то теперь можно говорить об использовании алгебр операторов в аксиоматической квантовой теории поля (Р.Хааг, Д.Кастлер [I], С.Доплихер, Р.Хааг, Д.Робертс [2], В.Н.Сушко, С.С.Хоружий ¡4], Дж.Бисогнано, Е.Фишман [3] ,С.С.Хо-ружий [5]) в конструктивной теории поля (см., например, Дж.Глимм, А.Джаффе [6], Ю.Фрелих [7], Л.Гросс [8]). В квантовой статистической физике весьма плодотворным стал алгебраический подход, развитый первоначально в работе Р.Хаага,Н.Гу-генгольца и М.Вининка [9]. Неожиданным оказалось применение теории алгебр к изучению псевдодифференциальных операторов [10, II] ( см. также [144,145] ).

В самое последнее время набирает силу новое направление в теории алгебр операторов, которое в работе [12] называют некоммутативной геометрией. В работах из этого цикла устанавливаются и развиваются связи между теорией алгебр и алгебраической топологией, что позволяет получить новые результаты о структуре С* - алгебр и их классификации. Основы теории алгебр были заложены в 30-40 годы Ф.Мюрреем и

Дж. фон Нейманом, изучавших симметрические слабо (сильно замкнутые кольца операторов с единицей в гильбертовом пространстве [13| . Эти алгебры впоследствии стали называться алгебрами Неймана. Основатели теории сознавали важность подобных рассмотрений для квантовой физики. В частности, в [14| фон Нейман применил создаваемую теорию к построению бесконечного числа унитарно не эквивалентных неприводимых представлений канонических антикоммутационных соотношений квантовой теории поля, что по тем временам было довольно удивительным фактом.

Важным этапом в развитии теории алгебр явилась работа И.М.Гельфанда и М.А. Наймарка [15] . В ней авторы с помощью простой системы аксиом выделили среди банаховых алгебр с инволюцией класс алгебр, который впоследствии получил название С*-алгебр. Оказалось, что если ограничиться разумным классом банаховых алгебр, то для каждой такой алгебры В можно канонически построить обертывающую С -алгебру А » причем изучение представлений 3 в гильбертовы пространства сводятся к изучению представлений Д . Таким образом оказалось, что во многих вопросах А удобнее, чем 3 . Далее, алгебры Неймана сами будут С * -алгебрами, причем С*-алгебра М тогда и только тогда является алгеброй Неймана ( У/* -алгеброй) , если она - сопряженное пространство к некоторому банахову пространству М* , которое называется предщуалом М [16]

Изучением У1- и С*-алгебр в 50-60-е годы занималась большая группа математиков, среди которых такие известные как Ж.Диксмье, И.Капланский, Дж.Глимм, Г.Макки, И.Сигал- и С.Сакаи. В их работах были решены многие вопросы, касающиеся структуры и классификации алгебр (см. монографии [16) ,[18] ). Тем самым были заложены основы теории алгебр, охватывающие широкую проблематику и включающие содержательные нерешенные задачи. Новым этапом в развитии теории явились 50-е годы, годы становления аксиоматического подхода (аксиоматики) в квантовой теории поля. При рассмотрении бесконечной системы в аксиоматическом подходе предполагается, что наблюдаемые системы образуют С - алгебру А определенной структуры (алгебра квазилокальных наблюдаемых), тогда состояния системы суть состояг»* ния а) (т.е. позитивные функционалы) на этой о -алгебре A f динамика системы задается автоморфизмами С -алгебры. Более того, если -группа автоморфизмов (рс^Ж JR)C - алгебры наблюдаемых А , отвечающая пространственным трансляциям, то предполагается, что А является асимптотически абеле-вой относительно ^ , т.е. &/Т7 //Г^С^О, £>Л1~ 0 , где CL ,6 е А , С" , '] - коммутатор, // - Ц - норма на А . Далее, если по состоянию а) на А построить представление

UI алгебры А согласно конструкции I'ельфанда-Наймарка-Си-^ // гала (ГНС) [l7] , то слабое замыкание М = JU^CA) есть уже алгебра Неймана. Оказалось, что в наиболее физически интересных случаях эта алгебра (или фактор) имеет тип III по классификации Муррея- фон Неймана.

Аксиоматический подход расширил' круг проблем в теории алгебр, с одной стороны, и привнес новые идеи - с другой.

Прежде всего были предприняты усилия для изучения колец операторов с бесконечным числом образующих, удовлетворяющих каноническим коммутационным и антикоммутационным соотношениям (ККС и КАС) квантовой теории поля.(см., например, [20-41]). Первую попытку построить классификацию представлений ККС и КАС дали Л.Гординг и А.Уайтман. Их результаты изложены без доказательств в заметках [2Cj, [21] . Задачу построения представлений они свели к задаче построения квазиинвариантных мер для дискретных коммутативных групп автоморфизмов пространства .X с борелевской структурой, к построению 1 -коциклов для действия этих групп на . Зная квазиинвариантную меру и 1 -коцикл, можно строить представление ККС или КАС. Как отмечалось в обзорной статье А.А.Кириллова [42] , посвященной алгебраическим аспектам эргодической теории, задача построения квазиинвариантных эргодических мер и 1 -коциклов для произвольной локально компактной группы представляет большой интерес для теории представлений и эргодической теории, однако никаких подходов к решению этой задачи не было известно. В наших работах [37|, ¡38) дано строгое обоснование утверждений Л.Гординга и А.Уайтмана, решена поставленная ими проблема о существовании неприводимых \ »коциклов размерности } = 2,3,.?<х>, построены новые классы эргодических квазиинвариантных мер и получены новые результаты об эквивалентности представлений и когомологичности 1 -коциклов.

Особенно благотворно аксиоматика повлияла на развитие алгебр Неймана. С целью отыскания инвариантов для построения новых факторов типа Ц^ (проблема восходящая к фон Нейману) большие усилия были затрачены для изучения асимптотических свойств факторов типа ]11 . В [43] Ж.диксмье и Е.Лэнс ввели в рассмотрение понятие центральных последовательностей для Л,| - факторов. (Последовательность (осл) операторов из фактора М называется центральной, если она ограничена по норме и [1ГП [ос,ОСп] ~ 0 для ¥рсеМ ). Они

П — оО ту построили несколько новых факторов типа , отличающихся друг от друга и от ранее известных свойствами своих центральных последовательностей. Отметим, что похожие результаты близкими методами были получены почти одновременно в нашей совместной работе с А.М.Степиным [44]). Изучая свойства центральных последовательностей Д.Макдуфф [45] доказала существование континуума попарно не эквивалентных факторов типа II,, с сепарабельным предцуалом.

2. В связи с аксиоматикой значительно усилился интерес к факторам типа III , которые до той поры казались патологическими объектами. Изучая асимптотические свойства факторов типа £ Р.Т.Пауэре ¡46] доказал существование континуума попарно не эквивалентных факторов, распадающихся в бесконечное тензорное произведение факторов конечных типов 1П (п. <со). Факторы, построенные им стали называться факторами Пауэрса. Усовершенствуя подход Пауэрса в [~47] , X.Араки и Е.Дж.Вудс ввели новый инвариант - множество асимптотических отношений, с помощью которого удалось сильно подвинуться в классификации факторов типа Л! , распадающихся в бесконечное тензорное произведение факторов типа 1п (п<с*?). Такие факторы получили название факторов Араки-Вудса.

Важный класс факторов может быть построен по динамической системе (X,ji, Q ) , где (X , Jl) - пространство Лебега, а 0 - счетная эргодическая группа автоморфизмов

X.ji) действующих свободно. Оказывается, если мера ji -(j - инвариантна, то фактор VI*(X,ji9Cr) имеет тип Л , если же не существует Q - инвариантной меры на Ji , эквивалентной JI , то - тип jll . Именно таким способом фон Нейман [48] доказал существование факторов типа Ш . Г.А.Дай ¡49] ввел понятие траекторной эквивалентности для двух счетных групп Gr и автоморфизмов и назвал группу автоморфизмов (f аппроксимативно конечной (а.к.), если С[ траекторно эквивалентна группе Ж , (в этом случае также говорят, что имеет аппроксимируемое действие). Г.А.Дай доказал, что всякое действие счетной коммутативной группы аппроксимируемо. В нашей работе [50] доказано, что всякая счетная разрешимая группа имеет свободное аппроксимируемое действие,сохраняющее конечную меру.Впоследствии этот результат был усилен А.Конном и В.Кригером [51] .Тесно связаны с траекторной теорией динамических систем работы А.М.Вер-шика [52], [53] о ручных разбиениях пространства с мерой, которые возникают в пределе убывающей последовательности измеримых разбиений и работы А.М.Степина [54|, [55] о когомологи-ях траекторных разбиений.

Первоначально траекторная теория развивалась для динамических систем, сохраняющих конечную меру.

Интерес к факторам типа Ш привел к задаче построения траекторной теории для динамических систем, оставляющей меру квазиинвариантной. В нашей работе ¡57] были перенесены на случай Ж результаты Дая. В работах В.Кригера [58] была указана классификация групп автоморфизмов пространства Лебега типа И[ , аналогичная классификации факторов Араки-Вудса.

Однако естественный математический аппарат, позволивший начать систематическое изучение факторов типа ]П и групп преобразований типа Ш доставила теория Томиты модулярных операторов . Если М - алгебра Неймана в гильбертовом пространстве Н I а , где хеМ , ^еН , - точное нормальное (т.норм.) состояние на М > то по р молено построить в Н позитивный самосопряженный обратимый оператор Д^ , называемый модулярным,который опу (Э ределяет группу автоморфизмов (э ^еТИ) алгебры М согласно формуле = Д^хД"1* (хеМ, te]R) . Если

М , например, - фактор типа 1п , а (Э(ас) = ,5р (оеЬ.) , где хеМ , к , НГеМ+,то в £(х) = К1* а /Га ^ . Почти одновременно с возникновением модулярной теории, Р.Хааг и др. [9], изучая равновесные состояния бесконечной квантовой статистической системы, показали что если состояние бесконечной системы является пределом гиббсовских состояний в конечных объемах, то оно удовлетворяет граничным условиям Кубо-Мартина-Швингера (КМШ) относительно однопарап* метрической группы автоморфизмов и -алгебры наблюдаемых, которая определяет эволюцию системы во времени. Как показал М.Такесаки [60] т.норм, состояние ^ на алгебре Неймана является КМШ - состоянием относительно модулярной группы.

Первая попытка использовать модулярную теорию для построения новых инвариантов факторов типа Ш была предпринята в нашей работе [61] . В ней было введено множество £(М)= П ёрА^, где ей - т.норм, состояние на и , I - множество всех таких состояний, £>р Лц) - спектр Д^ , и доказано, что существуют факторы М , у которых 3(М) принимает значения К+ ; П£22 ) (0<Л<{)'-> {о,4}. Впоследствии в глубокой работе [62] А.Конн ссылаясь на наш результат, доказал, что инвариант для произвольного фактора М типа Ш. принимает только эти значения и в соответствии с ними ввел в рассмотрение факторы типа Ш ^ (1 У/ Лу/0).

Важную роль в изучении факторов типа ][1 играет теория двойственности М.Такесаки [б^ • Если М - фактор типа Ш ,

0>^ - его модулярная группа, то можно построить алгебру ./V- 1лГ* ( М ,<э , ) , являющуюся скрещенным произведением М на . Согласно имеет тип Л^ и может иметь центр 2 («АО Ф Е . Оказывается существует одно-параметрическая группа автоморфизмов е{ аеЮ алгебры Л , которую называют двойственной к (Че1К) , такая,что скрещенное произведение является фактором изоморфным М . Так как Я - центр Я, а 9jJsAutJ\¡ , где Aut Л - группа всех автоморфизмов Л , то (2 СЛ/))Я , поэтому сужение ^^ = 0 ^ есть эргодический поток на 2 СЮ . Оказывается не изоморфным потоком 0 ("ЬвЦр?) отвечают не изоморфные факторы М типа Ж .Тем самым классификация факторов типа Ж сводится к классификации эргодических потоков.

Напомним, что фактор М в сепарабельном гильбертовом пространстве Н называется аппроксимативно конечным (а.к,), или инъективным [64] , если существует возрастающая последовательность подфакторов типа 1„ (кеШ) такая, что м= (и м к) . Благодаря усилиям В.Кригера (бб! и А.Кон

К . на [66] удалось доказать, что а.к. факторы типа изоморфны тогда и только тогда, когда отвечающие им потоки изоморфны. Вопрос о том сколько существует не изоморфных а.к. факторов типа Ш ^ остается открытым ( III ^ - проблема) (см.

Ш.З, где получено продвижение в решении этого вопроса [67]) 3. Перейдем к изложению результатов настоящей работы. В гл. I разработана общая теория асимптотической коммутативности в алгебрах Неймана, представляющая собой новый подход в изучении асимптотических свойств алгебр типа |П .Эта теория используется для исследования асимптотических инвариантов Араки-Вудса с точки зрения модулярной теории, построения новых инвариантов и изучения асимптотических свойств автоморфизмов алгебр. Теория дает необходимый аппарат для изучения асимптотически абелевых алгебр Неймана и позволяет решить некоторые проблемы в связи с такими алгебрами. В гл.П и Ш исследуется задача об описании классов внешне сопряженных автоморфизмов а.к. факторов типа Ш ^ (0 < Л4 {) и доказывается, что всякий а.к. фактор типа jjl^ с почти-периодическим весом изоморфен фактору Араки-Вудса типа J[l ^ , что представляет собой шаг в понимании - проблемы. В гл. iy строится классификация глобальных алгебр типа ill , аналогичная известной классификации факторов, и доказывается, что всякая алгебра типа Ш с сепарабельным предцуалом однозначно разлагается в прямой интеграл алгебр типа ]Ц ^ (О4 В гл.У дано описание неприводимых представлений канонических антикоммутационных соотношений квантовой теории поля и решена проблема Л.Гординга и А.Уайтмана о существовании неприводимых представлений ( i - коциклов) с функцией размерности = Эти результаты используются для доказательства того, что всякая сепарабелъная локально-компактная разрешимая группа является образом коцикла эргодического действия группы Ж . Тем самым получено продвижение в решении вопроса, поставленного Г.В.Макки ¡68] , ранее подобные результаты были известны лишь для связных нильпотентных групп Ли [125] .

Подробнее остановимся на результатах гл. I. Использоваri* ние С -алгебр в математической физике (см. ¡69-73] , [81-83^) значительно стимулировало интерес к асимптотическим свойствам алгебр Неймана, изучению которых было посвящено большое число работ [74-85] , [95]. В этих исследованиях построены новые инварианты, как мы уже упоминали, изучались асимптотически абелевые алгебры Неймана, асимптотические свойства автоморфизмов и состояний на алгебрах Неймана. В гл. I строится общая теория асимптотической коммутативности в алгебрах Неймана, позволяющая с единых позиций получить все ранее известные результаты в этой области и по новому их осмыслить, установить новые факты и решить некоторые проблемы, о чем речь пойдет ниже.

Согласно этой теории всякому фактору М канонически ставится в соответствие алгебра Неймана , где У свободный ультрафильтр на Ш . Элементами С^ служат ограниченные по норме последовательности X = (Хп) операторов; из М такие, что 3- ¿1171 [х,х1!] = 0 для любого л г 1 а

Хбп , где - коммутатор, а знак # означает наличие или отсутствие знака сопряжения -Х- . Такие последовательности естественно называть V - центральными ( I/ -ц.п). Всякое точное нормальное (т.норм) состояние ^э на М определяет т.норм, состояние /э (х) — ¿¿ГП /э Сх ) гъг и V у J п> на Ь у , которое в силу кластерности ^ на /V/ не зависит от выбора уЭ на М , Поэтому по уэ можно определить модулярный оператор Д и модулярную группу (3 аеШ) алгебры С м . Тогда если П (оь) - оператор из -у ' ' у

См , отвечающий 17 - ц.п. Х= (осп), то в, (П (х))=П&(х)1

Р \ Р ^ к/1 ^ где (ос) = (осп)) и (о - модулярная группа М , отвечающая состоянию ^ . Можно показать, что 5р -3 СМ)» где о мы писали в п.2 ЯрА^О является замкнутой подгруппой мультипликативной группы и £> рАу не зависит от выбора 11 . Если ЛЕ^рА-ц является собственным значением /\у , то Л принадлежит

А(М) , множеству асимптотических отношений фактора М - инварианту Араки-Вудса, о котором ш писали в п.2. Оказывается $рАц—А(М) и мы получаем интерпретацию инварианта Араки-Вудса в терминах мо/ч V дулярных операторов. Можно показать, что См может быть алгеброй или фактором типа Шл (о <Л ^ \ ) (см* 1У.1) г коммутативной алгеброй, либо (С . Тип СУИ , наличие у См центра - инварианты исходного фактора М .

Покажем как такая теория применяется к изучению асимптотически абелевых факторов. Пусть М - фактор, р - т.норм, состояние на М , ^ - автоморфизм М , причем = р для простоты) и В- Ьт [у] = 0 для Такая ситуация встречается в физических приложениях (см. подробнее 1.4). Соответствие у: х отображает фактор М на ~ инвариантную подалгебру Неймана ^ (М) алгебры . Поэтому 3(М) , следовательно, $рДр=ЗрАхг и ¿рАр= А(М) = В(М). Этот важный факт в разной степени общности доказывался в работах X. Араки [81], Е.Штормера [82] и Д.Тестарда [83] различными методами. Он является простым следствием развитой теории.

В [77] С.Сакаи впервые доказад существование асимптотически абелевого фактора типа М1 . Его ученик М.С.Глазер [78] доказал, что фактор не может быть асимптотически абелевым. Возник вопрос о существовании асимптотически абелевых факторов типа Л! . Существование было доказано почти одновременно в работах А.Конна, Е.Дж.Вудса ¡84] и в нашей работе [74] В работе [84] были сформулированы две проблемы: I) существуют ли асимптотически абелевые факторы типа Шо ; 2) если 0 -автоморфизм М такой, что я- &т [@п(ее) = 0 то существует ли т.норм, состояние р на М такое, что Теория асимптотических алгебр С^ позволяет получить ответы на эти вопросы (см. 1.6 и 1.7).

Пусть М - фактор, - группа его автоморфизмов

Если ВеАиЬ М, х=Гхп)еС^ , то ё (х)==(в(осп))е^ (см. 1.7), поэтому отображение 8 • (хп) -+- В (х)=(В (хп)) определяет автоморфизм 0у алгебры С^ • Поскольку уЭ^ не зависит от выбора т.норм, состояния ^ на М , то ^Э^. = , но тогда аф^}' = (с^, где (<£) централизатор ^ в что (С^ ) совпадает с асимптотическим централизатором фактора М »введенным А.Конном [85]). Через 0^. обозначим сужение на (См) » а чеРез период 0 . Оказывается, 0и обладает еще некоторыми интересными свойствами (см. 1.7), что позволяет применить асимптотические методы для изучения элементов Ди^ М . На этом пути можно получить теоремы о факторизации автоморфизмов, которые используются в гл.П и Ш. Приведем типичный пример подобной теоремы. Пусть А (М) = Ш+(=ЗрЛи), тогда М^К^М, где К^ - стандартный фактор Араки-Вудса типа Ш^. В этом случае для 0е Аи1 М существует унитарный оператор и из М такой, что В°Ас1иЕ

М сопряжен 0 ® 5 е (М® 7? ), где £ - станоо дартный автоморфизм Н^о , причем ра($) = 0 (тобр^СВ)) (см. 1.7).

Отображение 0 из А(АМ в /4^ С^ - гомоморфизм. Пусть 0 принадлежит ядру этого гомоморфизма, т.е. . Такой 0 называется центрально-тривиальным.

Если 0^= Ы для некоторого свободного ультрафильтра X/ , то 1с1 для всякого другого ультрафильтра У . Следовательно, группа центрально-тривиальных автоморфизмов - инвариант М . Этот инвариант используется для построения не изоморфных факторов типа Ш ^ (О < Л4 с различными группами центрально-тривиальных автоморфизмов (см. 1.8, а также [90]),

4. Во второй и третьей главах настоящей работы изучаются автоморфизмы аппроксимативно конечных (а.к.) алгебр типа Ш и исследуются инварианты внешнего сопряжения автоморфизмов. Изучение автоморфизмов - важное направление в теории алгебр, оно диктуется как внутренней логикой развития самой теории, так и приложениями. Изучая группу Aut М , где М - фактор, можно надеяться построить новые инварианты М, как мы уже отмечали Еыше. Теперь напомним, что конструкция скрещенного произведения позволяет строить новые алгебры из более простых алгебр и их групп автоморфизмов. При этом оказывается, что одна и та же группа может иметь на алгебре не эквивалентные (внешне не сопряженные) действия, поэтому скрещенные произведения, построенные по этим действиям могут быть неизоморфными. В связи с этим возникает вопрос об отыскании инвариантов внешнего сопряжения (эквивалентности) для действия фиксированной группы как группы автоморфизмов фактора. Понятно, что подобное изучение нужно начать с группы % , но тогда мы приходим к задаче описания классов внешне сопряженных автоморфизмов группы АиЪ М , вполне естественной с алгебраической точки зрения. Эти вопросы и рассматриваются в гл. П иШ. Отметим, что изучение автоморфизмов в этом плане представляет интерес и для математической физики, поскольку автоморфизмы алгебр наблюдаемых описывают динамику физических систем, перенос заряда (см., например [2], [4]) и т.п.

Перейдем к обсуждению результатов гл. А. Пусть пространство Лебега, Аи1(Х, - группа автоморфизмов и T€/4ut (XyJi) • Полная группа ГТ] состоит из тех U Aut (X, JJ-) » ДО1 которых для почти всех (п.в.) х€Х орбита (Un ос)пе% содержится в (Т" ) п£% .Будем предполагать, что Т действует эргодически и рассмотрим группу MTl-tReAut (Х,]±) : [Т]} ,кото— рую естественно назвать нормализатором [Т] . Два автоморфизма , Я2еУ\I[Т] называются внешне сопряженными, если существует FeN[T] и QefTJ такие, что ~R^=PR P'1Q, Задача описания инвариантов внешнего сопряжения является естественным обобщением задачи об изучении инвариантов обычного сопряжения в классической эргодической теории, которая имеет здесь ряд достижений, примером может служить энтропия автоморфизма Колмогорова-Синая, являющаяся инвариантом сопряжения.

В случае, когда Т сохраняет меру (конечную или (о -конечную), т.е.Т имеет тип Ц , в [51]была найдена полная система инвариантов внешнего сопряжения, которая для RcJVfT] состоит из двух чисел: р(Т^)= triJn (п eJV, "Rne [TJ ) »внешний период R , и mod Я = clji (Рос. ) = con$t для п.в. эсеХ . Таким образом, в случае сохранения меры задача внешнего сопряжения оказалась проще задачи обычного сопряжения.

В главе П изучаются инварианты внешнего сопряжения для элементов МТ] , когда I имеет тип Щ ,т.е. на X не существует Т - инвариантной меры, эквивалентной JI [91]. Классических результатов в этом случае никаких не известно. В качестве первого инварианта мы берем р (~R) , где ReJVCT] , в качестве второго - модуль К (mod Я ) , который теперь определяется следующим образом. IIo[TJ канонически строится эргодический поток (Т) (telR), действующий в пространстве Лебега (Xoiji). Этот поток аналогичен потокам, о которых мы писали в п.2. Группу С (W)= AutQ(o,J±), bCWt= WfoC (telR)j естественно назвать централизатором потока. Существует канонический гомоморфизм из JVLT] в C(W)» ядру которого принадлежит СТ] с М [ Т J . Образ К е N[T] при этом гомоморфизме назовем mod~R . Важный результат, состоит в следующем.

ТЕОРЕМА 4.1. Для всякого оС^СШ) существует ReNCT] такой, что modK-cC .

Основной результат можно сформулировать так:

ТЕОРЕМ 4.2. Автоморфизмы К^Т^бЛ/ГТ] внешне сопряжены тогда и только тогда, когда р (К^ = р (R2) и существует ffeCiW) такой, что /тюс/R2 = ^/770 (в частности , при modR^ mod R2).

Теоремы 4.1 и 4.2 сводят изучение классов внешне сопряженных элементов WCT] к изучению классов сопряженных элементов группы СШ) » что является ранее не рассматривавшейся задачей эргодической теории. В некоторых случаях группа СШ) - коммутативна, например, когда поток W (Т) имеет дискретный спектр. Тогда полная система инвариантов состоит из двух чисел р (К) и mod ft , как и в случае типа М .Такая ситуация, в частности, встречается, когда поток IV" (Т) - тривиален (тип й^ ) или периодичен с периодом - (In Л) (тип И'^д).

В чисто техническом отношении типы III, и Ш отличают— 1 — о ся. а тип Л!л(о<А<1) является промежуточным. При рассмотрении типов (CKjU'I) приходится использовать асимптотические методы, развитые в гл. I.

Перейдем к гл. Ш. Пусть М - фактор, Aüt М - его группа автоморфизмов, Int М - группа внутренних автоморфизмов. В /¡ut М можно ввести топологию ( il - топологию [93] ) относительно которой A ut М - топологическая группа,пусть Int М - замыкание Int М в этой топологии. Два автоморфизма О/ И и 2 ИЗ мм называются внешне сопряженными, если существует fyüt М и унитарный оператор V из И такой, что 02 = fo B^f^Ac/V.

В гл. Ш изучаются классы внешне сопряженных автоморфизмов а.к. факторов типа Jl1 ^ (о^Я</1) , а.к. факторы типа II! J с почти-периодическим весом и их автоморфизмы. Случай факторов типа'J был исследован А.Конном [95] , случай факторов типа Jjj рассмотрен в наших работах [89, 90 , 67 , 92].

Если а.к. фактор М имеет тип Mtд (о^А<1) , то М может быть представлен в виде М= W*(A , оС, Ж) > скрещенного произведения коммутативной алгебры А = <£°°CX,fi) , где (X,ß) - пространство Лебега, на эргодический автоморфизм оев Aut (X, ji) [бб] . Отсюда следует, что рассмотрения гл. П являются частным случаем изучения внешнего сопряжения для факторов. Как мы уже отмечали в п.2, по М можно канонически построить пространство Лебега СХ0 ,ji J и эргодический поток Wt(MJ (telR) в (Хо ,jlj . Поток Wt(M) Определяет фактор М однозначно с точностью до изоморфизма. Положим С(М) {cCeAut (Jo,juo): оС wt = Щ Существует канонический гомоморфизм J5 — modjз из AutM В 01 И) , называемый фундаментальным [97] . В силу результатов гл. П он оказывается эпиморфизмом. В гл. Ш доказывается, что ядром этого гомоморфизма является группа Int М . Отсюда легко следует, что если для автоморфизмов j3- (1= 1,2) выполнено равенство modjЪ= modß2 = Wt (ielR) , то они внешне сопряжены при условии, что их периоды согласованы. Для а.к. факторов И , у которых Т(M) = (t • G^IntM) =PÛ, доказано, что автоморфизмы ß/j и j3£ внешне сопряжены тогда и только тогда, когда их модули сопряжены в С(М) при условии, что их периоды согласованы. Таким образом, задача описания классов внешне сопряженных автоморфизмов Aut И сводится к задаче описания классов сопряженных элементов группы С (М) . Следовательно, когда с (м) коммутативна (например, в случае типа Ej\ (0<Л</!)) можно полностью описать классы внешне сопряженных элементов группы Aut M . Из сказанного следует также, что всякий автоморфизм ß из Aüt M при некоторых незначительных ограничениях внешне сопряжен автоморфизму ^ , который индуцирован из M [ocj (напомним, что М= W*(/4 ,оС , Z ) и А = <£°°(Х ,ß)).

Пусть теперь M имеет тип . В [47] показано,что все факторы Араки-Вудса типа Щ^ изоморфны между собой.Пусть 'R^ такой фактор, до сих пор неизвестно все ли а.к. факторы типа изоморфны - проблема). В Ш.З доказано, что Aut Ilit Reo и с учетом этого факта, а также асимптотических свойств скрещенных произведений (см. гл. I) доказывается, что всякий а.к. фактор типа , обладающий т.норм, почти-периодическим весом, изоморфен Я ^ . Тем самым сделан шаг в понимании III i - проблемы.

6. В 1У строится классификация глобальных алгебр типа Ш , аналогичная известной классификации факторов типа Ж . Вводятся в рассмотрение глобальные алгебры типа —Л Такая классификация оказывается полезной при изучении алгебр в несепарабельных пространствах, для которых не известны теоремы о разложении в прямой интеграл факторов. Типичным примером подобных алгебр служат асимптотические алгебры главы I, классификация которых полезна для изучения алгебр Неймана в сепарабельных пространствах. Любопытно, что алгебры типа сохраняют основные свойства факторов типа А<И ) , соответственно. Однако вывести эти результаты непосредственно из соответствующих результатов для факторов затруднительно, их легче получить по аналогии. Важность этих фактов очевидна. Введение глобальных алгебр типа ]11 оказывается полезным и для изучения алгебр Неймана в сепарабельных гильбертовых пространствах еще и по следующей причине. Всякая алгебра Неймана И типа Ш в се-парабельном гильбертовом пространстве разлагается в прямой интеграл М = /ф М^С^^СЛ) алгебр М^ типа Шл (о4М1), где /\= [о, 4] , а - борелевская мера на А . Класс мер, эквивалентных <э , - инвариант алгебры М при алгебраическом изоморфизме алгебр (см. ¡98] ).

7. Изучение бесконечных систем в квантовой физике приводит к задаче изучения колец операторов с бесконечным числом образующих (см. [29]), удовлетворяющих каноническим коммутационным или антикоммутационным соотношениям (по другой терминологии - бозевским и фермиевским соответственно соотношениям коммутации).

Впервые представления перестановочных соотношений с бесконечным числом образующих в сепарабельном гильбертовом пространстве построил В.А.Фок, затем фон Нейман [14] и К.0.Фридрихе [99 при разных обстоятельствах обнаружили существование бесконечного числа неприводимых попарно унитарно не эквивалентных представлений перестановочных соотношений. Этот факт казался сначала странным, так как в случае конечного числа образующих существует лишь одно,с точностью до унитарной эквивалентности неприводимое представление (для канонических коммутационных соотношений (ККС) это доказал' фон Нейман,для канонических антикоммутационных соотношений -П.Йордан).После известных работ Р.Хаага по теории рассеяния в аксиоматике стало понятно,что в системах со взаимодействием представления ККС и КАС будут,как правило, Нефоковскими.

Первую попытку построить полную классификацию представлений ЖС и КАС квантовой теории поля дали Л.Гординг и А.Уай-тман [20] .Весьма важным обстоятельством является тот факт, что подход Л.Гординга и А.Уайтмана дает единый метод для изучения представлений ККС и КАС. До настоящего времени подход Л.Гординга и А.Уайтмана является единственным, который дает описание КАС. Что касается ККС, то для их описания существуют другие подходы,развитые в работах[27,28,32]. Непосредственно эти подходы на случай КАС не переносятся.

Дальнейшее развитие подход Л.Гординга и А.Уайтмана получил в работах А.Гишарде [26,41] и в наших работах [33-38] .

В У.1 после изложения основных моментов теории Гордин-га-Уайтмана мы даем решение поставленной ими проблемы о существовании неприводимых представлений с коциклами разных размерностей,попутно приводим описание неприводимых представлений КАС, известное на нынешний момент. Конструкция неприводимых представлений с ^ =2,3,.,со любопытна еще и тем, что точно так же можно построить фактор-представления КАС типов 100и ¡11 ^ (0<Л4/1) с фиксированной квазиинвариантной мерой.

Теория представлений КАС помимо физических [29] имеет интересные приложения к теории представлений (см., например, [130, 132]) и эргодической теории (см. обзорную статью А.А.Кириллова [42]). В У.2 мы приводим новое приложение КАС к эргодической теории. Пусть на пространстве Лебега (Ji9ji) эргодически действует группа ]R , или, как принято говорить, пусть задан поток. Согласно теореме Амброза flOO) всякий эрго-дический поток изоморфен специальному потоку. Обобщая понятие специального потока Г.В.Макки [68] ввел понятие потока Пуанкаре для произвольной локально-компактной группы (строгие определения даны в 7.2) и поставил вопрос для каких локально-компактных групп G всякое их эргодическое действие изоморфно потоку Пуанкаре. В У".2 доказано, что всякое эргодическое действие сепарабельной локально-компактной разрешимой группы изоморфно потоку Пуанкаре. До этого результата подобные факты были известны лишь для отдельных примеров нильпотентных и коммутативных групп [125].

8. Перечислим основные положения диссертации, выносящиеся на защиту:

I) Построена общая теория асимптотической коммутативности в алгебрах Неймана, разработан соответствующий математический аппарат. В рамках этой теории получены все ранее известные асимптотические инварианты для факторов типа Щ , найдены новые инварианты, изучены асимптотические свойства автоморфизмов факторов, в том числе доказаны новые теоремы о факторизации автоморфизмов. Теория применяется к изучению асимптотических абелевых факторов. Доказано, что для таких факторов множество асимптотических отношений совпадает со множеством точек спектра модулярного оператора, решены две проблемы:

2) Доказано, что все факторы типа Ж0 (как и что было доказано другими авторами) не являются асимптотически абелевыми (задача А. Конна, Е.Дж. Вудса).

3) Доказано, что если фактор М является асимптотически абелевым относительно своего автоморфизма 0 , т.е.

В- tirn [9П(ос),у] = 0 для всех йС,уеМ , то на М существует точное нормальное 0 - инвариантное состояние, что решает задачу А.Конна, Е.Дж.Вудса.

4) Пусть Т - эргодический автоморфизм пространства Лебега типа Ш -его полная группа, JV[TJ - нормализатор полной группы. Указана полная система инвариантов внешней сопряженности для элементов из нормализатора <N[T] , а именно, внешний период автоморфизма и его модуль. Для случая, когда Т имеет тип , модуль есть элемент компактной коммутативной группы и можно полностью описать классы внешне сопряженных элементов нормализатора

МТ].

5) Пусть М - фактор типа Щ j (0Sj\<4) , Aüt М -его группа автоморфизмов, W^(M) (telR) - гладкий поток весов,

- централизатор потока фундаментальный гомоморфизм из AutM в С(М) .

Для аппроксимативно конечных факторов типа Ш ^ (о^Л</1) впервые доказано, что фундаментальный гомоморфизм является эпиморфизмом, а его ядро есть Int М .Отсюда следует, что если oC,j3 - автоморфизмы М , у которых modoC = modß=W^(M), то oL и J3 внешне сопряжены, если у них периоды согласованы. Этот результат позволяет описать классы внешне сопряженных автоморфизмов для аппроксимативно конечных факторов типа i[lj\ (о <Л</1) , поскольку у них

6) Пусть М - аппроксимативно конечный фактор типа И ,

•у которого Т(М) = : &±е:ЫМ} 0 • Доказано, что два автоморфизма оС и ^ внешне сопряжены тогда и только тогда, когда сопряжены их модули в группе С(М), а периоды согласованы.

7) Доказано, что все аппроксимативно конечные факторы типа , обладающие точным нормальным полуконечным почти-периодическим весом изоморфны фактору Араки-Вудса типа Ш£ , тем самым получено продвижение в решении Ш ^ - проблемы.

Доказательство использует тот факт,что /\=1/7¿"7?со» доказательство которого приводится впервые, а также некоторые асимптотические свойства скрещенных произведений (см. I) .

8) Построена классификация глобальных алгебр типа Ж , введены в рассмотрение алгебры типа Ш ^ (О ^ , доказано, что они сохраняют в основном свойства факторов соответствующих типов и классифицируются потоками.

Доказано, что всякая алгебра Неймана М типа Ж в сепа-рабельном гильбертовом пространстве однозначно представима в виде прямого интеграла алгебр М^ типа Ж ^ * где А - единичный отрезок (А- ГО,4]), а &(А) Л- борелевс-кая мера на /1 . Таким образом, класс мер на А > эквивалентных (о , - инвариант алгебры М при изоморфизме.

9) Приведено описание неприводимых представлений канонических антикоммутационных соотношений (КАС) квантовой теории поля. Решена задача, поставленная Л.Гордингом и А.Уайтманом о существовании неприводимых представлений (I - коциклов) с функцией размерности } = 2,3,., оо .

10) Теория представлений КАС использована в эргодической теории для доказательства того, что всякая сепарабельная локально-компактная разрешимая группа является образом коцикла эргодического действия группы . Тем самым получено продвижение в решении задачи, поставленной Г.В.Макки. Ранее подобный результат был известен лишь для некоторых коммутативных и связных нильпотентных групп Ли.

9. В заключение я выражаю глубокую благодарность проф. В.А.Марченко за внимание и поддержку, без которого осуществление этой работы вряд ли было бы возможным. Я приношу благодарность моим сотрудникам и ученикам С.И.Безуглому, Г.Г.Демяненко и Н.И.Нессонову за полезные обсуждения результатов этой работы.

1. R. Haag, Kastler D. An algebraic approach to quantum field theory. 1964, 5, p. 848-864.

2. S. Doplicher, R. Haag, J.E. Roberts. Field observables and gauge transformation. Commun. Math, phys I, 1969, 13, p. 1-23; II, 1969, Л, p. 173-200.

3. J. Bisognano, E.H. Wichman. On the quality condition for a hermitian scalar field. J. Math. Phys., 1975, 16,p. 985-1007.

4. В.Н.Сушко, С.С.Хоружид. Векторные состояния на алгебрах наблюдаемых и правило суперотбора ТМФ, 1970, 4,с. I7I-I94.

5. С.С.Xоружий. Поля и алгебры наблюдаемых в моделях с правилами суперотбора I, ТШ>, 1975, 25, I) 3, с. 291306; П 1976, 26, }Ь I, с.3-15.

6. J. Glimm, A. Jaffe. The ) quantum field theory without cutoffs. III. The physical vacuum. Acta Math. 1970, 125, p. 203-267.

7. Jurg Frohlich. The charged sectors of quantum electrodynamics in framework of local observables* Commun. Math,. ?hys. 1979, 66, p. 223-265.

8. L. Gross, Existence and uniqueness of physical ground states. J. Punct. Anal., 1972, 10, N 1, p. 52-109.

9. R. Haag, H.H. Hugenholtz and H. Winnink. On the equilibrium states in quantum statistical mechanics. Commun, math, phys., 1967, 5, p. 215-236.

10. L.A. Coburn, Moyer R.D., Singer I.M. С -algebras of almost periodic pseudo-differential operators . Acta Math., 1973, 130, N 3-4, p. 279-307.

11. М.А.Шубин. Спектральная теория и индекс эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами. Успехи мат.наук, 1979, 34, вып.2, с.95-135.

12. E.G. Effros. Aspect of NON-commutative geometry. Collog. Inst. CNP.S, 1979, N 274, p. 135-156.

13. P.J. Murray, von Neumann J. On rings of operators I,II, IY. Ann. Math. 1936, 37, p. 116-229; Trans Amer. Math. Soc. 1937, 41, p. 208-248; Ann Math., 1943, 44» P-808.

14. J. von Neumann. On infinite direct products. Compositio Math., 1938, 6, p. 1-77.

15. И.М.Гельфанд, М.А.Наимарк. О включении нормированногокольца в кольцо операторов в гильбертовом пространстве,1943, 12, с.197-213.г»* 1\У*

16. S. Sakai. С algebx^as and ™ - algebras. Springer-Verlag. Beгlin-New-York, 1971.

17. М.А.Наймарк. Нормированные кольца, М., "Наука", 1968.

18. Е.Диксмье. С алгебры и их представления.Пер, с фр., М., "Наука", 1974.

19. J. Dixmier. Les algébres d'operateurs dans l'espace hilbertien, 2e-ed., Gauthier-Villars, Paris, 1969.

20. L. Garding, A.S. Wightman. Representation of anticommutation relations. Proc. Nat. Acad. Sei USA, 1954, 40,N 7, p. 617-621.о

21. L. Garding, A.S. Wightman. Representation of commutation relations. Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1954, 40, N 7, p. 622-625.

22. R. Haag. On quantum field theory Kgl. Dauske Vid. Sels. Matem-Fys., 1955, 29, N 12.

23. H. Araki. A lattice of von Neumann algebras associated with the quantum theory of free Bose field. Journ Math. Phys. 1963, 4, p. 1343-1362.

24. H. Araki, W. Wyss. Representation of the canonical anticommutation relations. Helv. Phys. Acta, 1964, 37,N 2, p. 136-159.

25. H. Araki, E.J. Woods. Representation of the canonical commutation relations describing a nonrelativistic infinite Bose gas. Gourn. Math. Phys., 1963, 4, N 5, p. 637641 •

26. A. Guichardet . Produits teusoriel infinis et representation des relations d'anticommutation. Aun Sei. Ее. Norm., 1966, 83, p. 1-52.

27. I. E. Segal. Distributions in Hilbert space and canonicalsystems of operator. Trans. Amer. Math. Soc., 1958, 88, N 1, p. 12-76.i.e. Segal. Tensor algebras over Hilber space.Ann Math.1956, 63, p. 160-175.

28. О.И.Завьялов, В.Н.Сушко. Канонические переменные вфизике бесконечных систем. ТМФ, 1969, I, të 2,c.I53-I8I.

29. Shale, P. Stinespring. Spinor representation of infinite orthogonal groups. Journ Math, and Mech. 1965, 14, N 2, p. 315-322.

30. D. Shale, P. Stinespring. States of Clifford algebra. Ann. Math., 1964, 80, p. 365-381.

31. И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин. Обобщенные функции, вып.4, M., Физматгиз, 1958.

32. В.Я.Голодец. К вопросу о неприводимых представлениях коммутационных и антикоммутационных соотношений. Успехи мат.наук, 1965, 20, вып.2, с.175-182.

33. В.Я.Голодец. О фактор-представлениях типаИ для коммутационных и антикоммутационных соотношений. Успехи мат. наук, 1965, 20, вып.6, с.68-72.

34. В.Я.Голодец. О фактор-представлениях антикоммутационных соотношений, ДАН СССР, 1966 , 167» Я1, 19-22.

35. В.Я.Голодец. Об эквивалентности квазиинвариантных мер, Матем. сб. 1967, 72, .•$ 4, с.19-22.

36. В.Я.Голодец. Описание представлений антикоммутационных соотношений. Успехи матем.наук, 1969, 24, вып.4, с.3-64.

37. В.Я.Голодец. Фактор-представления антикоммутационных соотношений. Труды М.М.О, 1972, 22, с.3-62.

38. Ф.А.Березин. Несколько замечаний о представлениях соотношений коммутации. Успехи мат.наук, 1969, 24, вып.4,с.65-88.

39. Ф.А.Березин. Метод вторичного квантования, М., "Наука", 1965.

40. A. Guichardet. Algebres d'observables associées aux relations de commutation. Armand Colin, Paris, 1968.

41. A.A.Кириллob.Динамические системы, факторы и представления групп. Успехи мат.наук, 1967, 22, вып.5, с.67-80.

42. J* Dixmier, E.G. Lance. Deux noweaux facteurs de type IIr Inwent. Math., 1969, 17, p. 226-234.

43. В.Я.Голодец, А.М.Степда. О факторах типа J\ со свойством F . Матем. физика, функц.анализ, ФТИНТ АН УССР, Харьков, вып. I, 1969, 229-249.

44. Д.Макдуфф. К структуре i факторов. Успехи матем. наук, 1970, 25, вып.6, с.29-51.

45. R.T. Powers. Representation of uniformly hyperfinite algebras and their associated von Neumann rings.Ann. Math. , 1967, 86, p. 138-171.

46. H. Araki, E.J. Woods. A classifications of factors.Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ. 1968, 3, Ser. A.,p. 51-130.

47. J. von Neumann. On rings of operators III. Ann. Math.,1940, 41» P- 94-161.

48. H.A. Dye. On groups of measure preserving transformation I, II. Amer. J. Math., 1959, 81, p. 119-159; 1963,85, p. 551-576.

49. В.Я.Голодец. Скрещенные произведения неймановских алгебр. Успехи мат.наук, 1971, 24, вып.5, с.3-50.

50. A. Connes, v7. Krieger, Measure space automorphisms thenormalizer of their full groups and approximate fini-teness. J. Func. Analysis, 1977, 2£, p. 336-352.

51. А.М.Вершик. Устройство ручных разбиений. Успехи мат. наук, 1972, 27, Ш 2,0.195-196.

52. А.М.Вершик. Неизмеримые разбиения, траекторная теория, алгебры операторов, ДАН СССР, 1971, 199, В 5, с.1004-1006.

53. А.М.Степин. 0 когомологиях групп автоморфизмов пространства Лебега. Функц. анализ и его прилож., 1971, 5, вып.2, с.91-92.

54. А.М.Степин. Об энтропийном инварианте убывающих последовательностей измеримых разбиений. Функ.анализ и его прилож., 1971, 5, вып.З, с.80-84.

55. В.Я.Голодец. О классах аппроксимативно конечных факторов. Функ. анализ и его прилож., 1970, 4, с. 14-20.

56. В.Я.Голодец. О группах преобразований пространства с мерой. Препринт, ФТИНТ АН УССР, Харьков, 1969, 73с.

57. W. Krieger. On non-singular tranformation of measure space I, II, Z. Wahrscheilichkeitstheorie vera. Geb. 1969, 11, p. 83-119.

58. W. Krieger. On the Araki-Woods asymptotic ratio set and non-singular transformation of measure space. Lecture Hotes in Math., 1970, 160, p. 158-177.

59. M. Takesaki, Tomita's theory of modular hilbert algebras and its applications. Lecture Notes in Math. ,1970, 128,

60. В.Я.Голодец. Спектральные свойства модулярных операторов. Функ.анализ и его прилож., 1972, 6, I,с.70-72.

61. A. Gonnes. Une classifications de facteurs de type III. Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., 46ser;ie, 1973, 6, p. 133-252.

62. M. Takesaki. Duality for crossed products and structure of v. Neumann algebras of type III. Acta. Math. 1973, 131, N 3-4, p. 249-310.

63. A. Connes. A classifications of infective factors (cases 1 ). Ann., Math., 1976, 104, p. 73-115.

64. W. Krieger. On ergodic flows and the isomorphisms of factors. Math. Ann., 1976, 223, p. 19-70.

65. A. Connes. On hyperfinite factors of the type IIIq and Krieger's factor. J. Funct. Anal., 1975, 1J3, p. 318327.

66. В.Я.Голодец. Автоморфизмы алгебр фон Неймана и аппроксимативно конечные факторы тнпа.]^ с почти-периодическим весом. Функц. анализ и его прилок., 1980, 14, вып. 2,с.54-55.

67. G.W. Mackey. Ergodic theory and virtual groups. Math. Ann., 1966, 166, p. 187-207.

68. Д.Рюэль. Статистическая механика, строгие результаты, пер. с анг., М., "Мир", 1971.

69. D.W. Robinson. Statistical mechanics of quantum spin systems I, II. Commun Math. Phys., 1967, 6, p. 151-160; 1968, 7, p. 337-348.

70. D.W. Robinson . Return to equilibrium. Commun. Math. Phys., 1973, 31, p. 171-189.

71. R» Haag, D. Kastler, E. Trych-Pohlmeyer. Stability and equilibrium, Commun.Math.Phys., 1974, 38, p. 173-194.

72. H. Araki. Gibbs states of one dimensional quantum lattice. Commun. Math. Phys., 1969, 14, p. 120-157.

73. ВЛ.Голодец. К вопросу о локальных возмущениях динамики бесконечных систем. Теор.мат. физика, 1975, 23, Ш, с.300-309.

74. S. Doplicher, D. Kastler, Е. St^rmer. Invariant states and asymptotic abelianess. J. Funct. Anal., 1969, 3, p. 419-434.

75. D. Mcduff. Central sequences and hyperfinite farctors. Proc. London Math,Soc.,1970, 21, p. 443-361.

76. S* Sakai. Asymptotically abelian II.j-factors. Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ. 1968/69, ser. A, 4, p. 299307.

77. M.S. Glaser. Asymptotic abeilianess of infinite factors. Trans. Amer. Math. Soc.,1973, 178, p. 147-163.

78. H. Araki. Asymptotic ratio set and property ^ .Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., 1970, ser.A.,6,p. 443-46O.

79. H. Araki. Remark on spectra of modular operator of von Neumann algebras. Commun. Math. Phys., 1972, 28, p. 267277.

80. H. Araki. A classifications of factors II. Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., 1969, 4, ser. A,p.585-593.

81. E. St^rmer. Spectra of states and asymptotically aberllian L -algebras. Commun. Math. Phys., 1972, 28, p. 279-294.

82. D. Testard. Asymptotic ratio set of von Neumann algebras generated by temperature states in statistical mechanics. Report Math. Phys., 1977, 12, N 1, p. 115-118.

83. A. Connes, E.J. Woods. Existence de facteurs infinis asymptotiquement abeliens. C.r. Acad. Sci., 1974, A279, N 6, p. 189-191 .

84. A. Connes. Almost periodic states and factors of type III. J. Punct. Anal., 1974, l£, p. 415-445.

85. В.Я.Голодец. Модулярные операторы и множество асимптотических отношений. Функц. анализ и его прилож., 1973, 7, В З.с.77-78.

86. В.Я.Голодец. Асимптотическая алгебра, ее применение к изучению модулярных операторов и их спектральных свойств ДАН CCCP,IS75, 220, lb I, с.15-18.

87. В.Я.Голодец. Спектральные свойства модулярных операторов и множество асимптотических отношений. Изв. АН,сер. матем.,1975, 39,J¿ 9, с.635-656.

88. В.Я.Голодец. Модулярные операторы и асимптотическая коммутативность в алгебрах фон Неймана. Успехи мат.наук, 1978, 23, вып.1, с.43-94.

89. В.Я.Голодец, Н.Н.Нессонов. Асимптотическая алгебра в внешне сопряженные классы автоморфизмов факторов. Изв. АН СССР, сер.матем., 1980, 44, Ja 6, с.510-532.

90. С.И.Безуглый, В.Я.Голодец.Группы преобразований пространства с мерой и инварианты внешней сопряженности для автоморфизмов из нормализаторов полных групп типа , ДАН СССР, 1980, 254, гё I, C.II-I4.

91. В.Я.Голодец. Об автоморфизмах инъективных факторов типа||0. Препринт 4-80, ФТИНТ АН УССР, Харьков-1980, 32с.

92. U. Haagerup. The standard form of von Neumann algebras.Math. Scand., 1976, 37, p. 271-283.

93. A. Connes. Periodic automorphisms of the hyperfinite factor of type ГЦ. Acta Sci. Math., 1977,39,p.39-66.

94. A. Connes, M. Takesaki. The flow of weights on factors of type III.Tohoku Math.Journ.,1977,29, N4,p.473-575.

95. В.Я.Голодец. О редукции алгебр типа.]] , функц. анализ и его прилож., 1975, Ji= 4,с J-7.

96. К.О. Freidrichs. Mathematical aspect of the quantum theory of fields.N-Y.,Inter.sci.Public.,Inc.,1953 •

97. В.А^Рохлин. Избранные вопросы метрической теории динамических систем. Успехи мат.наук, 1949, 4, № 2,57-128.

98. В.Я.Голодец. Условные ожидания, модулярные автоморфизмы и скрещенные произведения алгебр типа jjj . Препринт, ФТИНТ АН УССР, Харьков, 1971,27 с. .

99. В.Я.Голодец. Условные ожидания и модулярные автоморфизмы неймановских алгебр. Функц. анализ и его прилож., 1972, 6, J6 3,с.77-78.

100. В.Я.Голодец, Н.И.Нессонов. Инвариантные состояния на асимптотически абелевых алгебрах типа Щ . Функц. анализ и его прилож., 1979, 13, № 2^.80-82.

101. С.И.Безуглый, В.Я.Голодец. Топологические свойства полных групп автоморфизмов пространства с мерой. Сибирский матем.журнал, 1980, 21, № 2р.3-13.

102. S.I. Bezuglyi, V. Ya. Golodets. Hyperfinite and II1 actions for nonamenable groups.J. Funct.Anal. 198<|, 39,30-44»

103. Combes P. Poids sur une О -algebre. J. Math, pures et appl., 1968, 47, N 1, p. 57-100.

104. F. Combes. Poids et esperances conditionnelles dans les algebres de von Neumann. Bull. Soc. Math. France, 1971,99, p. 73-112.

105. F. Combes. Poids associe a une algebre hilbertienne a gauche. Compos. Math., 1971, 23, N 1, p. 49-77.

106. V. Haagerup. Normal weigths on W*-algebras. J. Funct. Anal., 1975, 11, N 3, p. 302-317.

107. H. Дэнфорд, Дж. Шварц. Линейные операторы I, М., ИЛ, 1962.

108. F.B. Wright. A reduction for algebras of finite type. Ann. Math., 1954, 60, p. 560-570.

109. I. Kaplansky. Projection in Banach algebras. Ann.Math., 1951, 53, N 2, p. 235-249.

110. G.K. Pedersen, M. Takesaki. The Radon-Nikodym theorem for von Neumann algebras. Acta Math., 1973, 130,p. 53-87.

111. R. Herman, M. Takesaki. States and automorphism group of operator algebra. Commun. Math. Phys., 1970, 19, p. 142-160.

112. L. Pukanszky. Some example of factors. Publ. Math. Debrezen, 1956, p. 135-156.

113. M. Takesaki. On the conjugate space of operator algebra. Tohoku. Math. J., 1958, 10, p. 194-203.

114. M. Takesaki. Conditional expectation in von Neumann algebras. J. Funct. Anal., 1972, % p. 306-321.

115. M. Takesaki. The structure of a von Neumann algebra with a homogeneous periodic state. Acta. Math., 1973, 131, p. 79-121.

116. Т. Hamachi, J. Oka, M. Osikawa. Plows associated with ergodic non-sinjular transformation groups. Publ. Res. Inst. Math.Sc.,Kyoto Univ.,1975, 11,p. 31-50.

117. В.А.Рохлин. Об основных понятиях теории меры. Матем. сб.,, 1949, 25, № 1,0107-150.

118. К.Куратовский. Топология, т.1, М., Мир, 1966,

119. P. Feldman, P. Hahn, С.С. Moore. Orbit structure and countable sections for actions of continuous groups Adv. in Math., 1978, 28, p. 186-230.

120. A. Connes, E. Stunner. Homogenety of the state space of factors of type III1. J. Funct. Anal., 1978, 28, N 2, p. 187-420.

121. R.J. Zimmer. Random walks on compact groups and the existence of cocycles. Israel J. Math., 1977, 26, p. 84-90.

122. R.J. Zimmer. Cocycles and the structure of ergodic groups actions. Israel J. Math., 1977, 26, p• 214220.

123. П.Халмош. Теория меры, M., М., 1953.

124. А.А.Кириллов. Элементы теории представлений, М., "Наука", 1972.

125. А.И.Плеснер. Спектральная теория линейных операторов. М., "Наука", I96S.

126. Р.С.Исмагилов. О неприводимых циклах, связанных с динамической системой. Функц. анализ и его прилож., 1969, 3, вып.З, с.92-93.

127. S. Stratila, D. Voiculescu. Representations of AF-algebras and. of the group XI( do) . Lecture Note in Math., 486, Springer-Verlag, Berlin-N-York, 1975,p. 169■

128. В.И.Коломыцев, Ю.С.Самойленко. 0 счетном наборе коммутирующих самосопряженных операторов и канонических коммутационных соотношениях.- В кн. Методы функционального анализа в задачах математической физики. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978, с.115-128.

129. В.И.Коломыцев, Ю.С.Самойленко. 0 счетном наборе коммутирующих самосопряженных операторов и алгебре локальных наблюдаемых. Укр.мат.журнал, 1979, 31, № 4, с.365-371.

130. A. Connes, P. Chez, R. Lima, D. Testard, E.J. Woods. Review of "Grossed product of von Neumann algebras" of Golodets, preprint. Centre de Physique Théorique. -CNRS, Marseille (France), aupril 1973, p. 1-10.

131. A. Connes. On the classifications of von Neumann algebras and their automorphisms. Symposia Math., 1976,XX, p. 435-378.

132. M. Choda. Normal expectations and crossed products of von Neumann algebras. Proc. Japan Acad., 1974, 50,N 9, p. 738-742.

133. J» Haga. Crossed products of von Neumann algebras by compact groups. Tohoku Math. Joura., 1976, 28, p. 511522.

134. G.A. Elliot, E.J. Woods. The equivalence of various definitions for a properly infinite von Neumann algebra to be approximately finite dimensional.Proc. Amer. Math. Soc., 1976, 60, p. 175-178.о

135. Н.И.Нессонов. 0 структуре факторов типа(ИЛ Укр.мат.журнал, 1980, 32, № 3, с.348-354.

136. Н.И.Нессонов. Автоморфизмы аппроксимативно-конечных факторов типаВ кн. Теория операторов в функциональных пространствах и ее прилож. Сб.н.тр., Киев, "Наукова думка", 1981, с.98-107.

137. В.Я.Голодец. 0 структуре алгебр фон Неймана, дуальных к алгебрам, построенным по динамическим системам. Функц. анализ и его прилож., 1975, 9, № 3, с.87-88.

138. С.И.Безуглый. Группы типа |Ц и некоторые условия аппроксимируемости групп автоморфязмов пространства с мерой. ФТИНТ АН УССР, Харьков, 1981. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 19 февраля 1981 г., № 776-81 ДЕП.

139. N. Riedel. Disintegration of KMS-states and reduction of standard von Neumann algebras. Tech.Univ. München preprint, M 8020. 1980, 76 p.

140. Д.С.Мищенко, А.Т.Фоменко. Индекс эллиптических операторов над С -алгебрами, Изв. АН СССР, сер.мат., 1979, 43, № 4, с.831-859.

141. А.С.Мищенко. Банаховы алгебры, псевдодифференциальные операторы и их приложение к K-теории. Успехи мат.наук, 1979, 34, вып. 6, с.67-79.

142. Г.Г.Каспаров. Операторный K-функтор и расширения С"*~- алгебр. Изв. АН СССР, сер.матем. 1980, JS 3, 44,с.571-636.

143. Ю.М.Березанский. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, Киев, "Наукова думка",1965, 800 с.

144. В.Я.Голодец. Об изоморфизме аппроксимативно конечных факторов типа Ш 1 с почти-периодическим весом. Матем.заметки, 1981, 30, В 5, с.669-678.