Функциональное исчисление и асимптотические конструкции в теории операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Шульман Татьяна Викторовна

Функциональное исчисление и асимптотические конструкции в теории операторов

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре Математического анализа Московского института электрошлси и математики (технического университета)

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

кандидат физико-математических наук, доцент

Чубаров Игорь Андреевич.

доктор физико-математических наук, доцент

Мануйлов Владимир Маркович.

кандидат физико-математических наук, доцент

Пирковский Алексей Юльевич.

Ведущая организация:

Воронежский Государственный Университет

Защита диссертации состоится "12" сентября 2006 г. в часов на заседании диссертационного совета К 212.133.01 в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Большой Трехсвятительский переулок, 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИЭМ. Автореферат разослан " " 2006 г.

Ученый секретарь \ к.ф.-м.н., доцент

диссертационного совета СО-ОлЗ Е. Р. Хакимуллин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория С*-алгебр, бурно развивающаяся в настоящее время, призвана выработать адекватный математический аппарат для квантовой физики и, в то же время, исследовать алгебраическую основу задач и конструкций операторной теории. Хотя главной особенностью этой теории является некоммутативность, так что ее разделы даже носят названия некоммутативная геометрия, некоммутативная теория вероятностей, одним из основных технических средств остается функциональное исчисление. Аппарат функционального исчисления, связывающий С*-алгебры с теорией функций, используется как в основных конструкциях, так и в оценках норм и спектров, операторных неравенствах и т.д.. По существу, возможность применения функционального исчисления в С*-алгебраической ситуации основана на спектральной теореме Гильберта-Шмидта-Вейля-фон Неймана. Эта возможность с успехом использовалась уже в первой, основополагающей работе И.М.Гельфанда-М.А.Наймарка. Ряд дальнейших глубоких результатов, основанных на использовании функционального исчисления был получен Арвесоном, Педерсеном, Хаагерупом, Войкулеску, Кунцем и многими другими исследователями.

Другим важным методом получения нужных объектов и необходимых оценок является метод асимптотических конструкций, состоящий в получении точных соотношений с помощью последовательностей приближенных и дальнейшей факторизации. Его основоположниками следует, по-видимому, считать Риффела и Макдафф, но истоки он берет в известных результатах Вейля и фон Неймана, а наиболее важные применения были получены в известной работе Конна о классификации факторов фон Неймана. Дальнейшее развитие метод получил в работах Конна, Хигсона, Войкулеску, Блакадара, Лоринга, Киршберга, Томсена и других исследователей.

В данной работе оба эти метода применяются в задачах классификации представлений соотношений (первая глава работы) и в задачах гомотопической теории С*-алгебр (вторая глава). В третьей главе функциональное исчисление становится не только методом, но и объектом исследования. Здесь отображения вида а /(о) (функциональные отображения) включаются в бо-

лее широкий класс отображений, ковариантных относительно унитарной эквивалентности, и их свойства изучаются в соответствующем более широком контексте.

Задачи расширения области применимости обоих методов, исследования их внутренней природы являются весьма актуальными.

Цель диссертации. Применение функционального исчисления и использование асимптотических конструкций для решения конкретных задач теории С*-алгебр и теории операторов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них отметим следующие:

1. Классификация по сложности теории представлений универсальных алгебр проекторных соотношений.

2. Доказательство существования асимптотического гомоморфизма из С*-алгебры Со(К2) ® А ® К в С*-алгебру яА ® К , который индуцирует естественное преобразование КК-функтора Каспарова в Е-функтор Конна и Хигсона (все указанные объекты будут определены ниже).

3. Доказательство асимптотической эквивалентности С*-алгебр Со (К2) ® А ® К и qA ® К; как следствие, дана характеризация Бифунктора Конна-Хигсона в терминах свободных С*-произведений.

4. Описание и исследование унитарно-ковариантных отображений в конечномерных и аппроксимативно-конечномерных С*-алгебрах.

Научная и практическая ценность. Работа имеет теоретическую направленность. Полученные результаты могут быть использованы при изучении устойчивости полиномиальных соотношений, в теории представлений *-алгебр, теории операторных неравенств, в гомотопической теории С*-алгебр, теории операторно-гладких классов функций, теории мультипликаторов Шура.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории операторов, теории функций, теории представлений, теории С*-алгебр (в частности, С*-алгебраической К-теории, теории расширений, теории операторного КК-функтора Каспарова, теории свободных С*-произведений, Е-теории Конна-Хигсона).

Публикации и апробирование. Результаты диссертации докладывались на конференции МФТИ (2001), на школах-симпозиумах по спектральным задачам КРОМШ (Крым 2002,2003,2004),

на семинаре Мехмата МГУ по некоммутативной геометрии и топологии (руководитель — А.С.Мищенко) (2003), на Санкт-Петербургской конференции по математическому анализу (2004), на международной конференции по операторным алгебрам в Словении (Блед 2005).

По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы — 101 страница.

Краткое содержание диссертации

В первой главе диссертации рассматриваются полиномиальные соотношения, их представления и соответствующие им универсальные С*-алгебры.

Полиномиальным соотношением называется равенство вида

/(о1,..., ап, ,..., а*) = 0 (1)

где / — полином от 2п некоммутирующих переменных, т.е. элемент соответствующей свободной ассоциативной алгебры. Представлением такого соотношения называется любой набор операторов (Тх, ...,Г„) в гильбертовом пространстве, удовлетворяющий условию

/(Т1,...,Т„,Т£,...,Т£) =0, (2)

где под 27 понимается оператор, сопряженный к Г,-.

Универсальной С*-алгеброй соотношения (1) называется С*-алгебра А с выделенной системой образующих (а1,...,а„), такая что для элементов а, и их сопряженных выполнено равенство (1) и любому представлению (Тх, ...,ТП) соотношения (1) соответствует *-представление 7г алгебры А, такое что 7г(а;) = Т<.

Аналогично определяются представления и С*-алгебры наборов соотношений.

При изучении операторных представлений и свойств соответствующих универсальных С*-алгебр важную роль играет рассмотрение представлений соотношений в С*-алгебрах различных специальных классов (алгебр типа I, ядерных, точных, аппроксимативно-конечномерных). Напомним, что С*-алгебра называется

алгеброй типа I, если в образе любого неприводимого представления есть компактные операторы,

ядерной— если С*-норма на ее тензорных произведениях единственна,

точной — если тензорное умножение на нее сохраняет короткие точные последовательности С*-алгебр,

аппроксимативно-конечномерной (сокращенно, АГ-алгеброй) — если она содержит возрастающую последовательность конечномерных подалгебр с плотным объединением. Если, к тому же, каждая из этих конечномерных подалгебр изоморфна полной матричной алгебре, то С*-алгебра называется равномерно гиперфинитной.

Один из основных результатов главы (Теорема 1.1.6) утверждает, что соотношение, представимое в аппроксимативно-конечномерной С*-алгебре, асимптотически представимо в конечномерных С*-алгебрах. Это означает, что оно является пределом (в топологии "поточечной" сходимости на соответствующей свободной алгебре) последовательности соотношений, каждое из которых имеет представление операторами в конечномерных пространствах.

Значительная часть результатов главы относится к представлениям соотношений специального вида:

га

{Рг - Р*Ух = !>« = ¿О. (3)

<=1

А € С. Они соответствуют наборам ортогональных проекторов Р1,Р2,...,Рп, связанных условием

Х>=А1. (4)

1=1

Поскольку все проекторы ограничены, то существует универсальная С*-алгебра Тп,\-

Наборы проекторов, удовлетворяющих условию (4), привлекали внимание многих исследователей. В недавнее время им был посвящен цикл работ Ю. С. Самойленко, С. А. Кругляка, В. И. Рабановича, В. А. Поповича и других.

В частности, в этих работах было получено полное описание множества Е„ всех А, для которых проекторы, удовлетворяющие

(4), существуют. Оказалось, что £п представляет собой объединение "основного" отрезка [ап,/3„] и двух последовательностей точек, сходящихся к его концам. Следующий шаг должен состоять в описании, для каждого А € Еп, всех наборов проекторов, удовлетворяющих (4) (и, прежде всего, в ответе на вопрос о возможности такого описания). Таким образом, речь идет о классификации представлений соотношения (3), или, что эквивалентно, С*-алгебры Рп,х-

Вопросы сложности описания представлений С*-алгебры А можно ставить в терминах принадлежности А к тому или иному классу С*-алгебр. Наиболее простым, с этой точки зрения, является класс С*-алгебр типа I. Среди вопросов, оставшихся открытыми в цикле работ Ю. Самойленко и др. отметим вопрос о принадлежности к этому классу алгебры Тп,х при А = ап и А = /?„. В Следствии 1.2.2 настоящей работы дан отрицательный ответ на этот вопрос. Более того, показано, что при этих значениях А не существует унитальных гомоморфизмов алгебры Тп,\ в С*-алгебру типа I. Если, для произвольной С*-алгебры А, обозначить через £П(Л) множество тех значений А, для которых в этой алгебре найдутся п проекторов, в сумме дающих А1, то сформулированный результат означает, что числа а„ и ¡Зп не принадлежат £П(Л), если А — С*-алгебра типа I.

Затем рассматриваются вопросы об аппроксимативной конечномерности, ядерности и точности алгебр "РП1х-"

Теорема 1.2.8.. Для любой АГ-алгебры А множество £П(А) счетно.

Теорема 1.2.9.. Если А — равномерно-гиперфинитная алгебра индекса к, то множество состоит из всех чисел . А € вида р/д, где для некоторого

Теорема 1.2.13. Для каждого п > 6 существует отрезок /„, целиком содержащийся в Е„, такой что для любой точки А из этого отрезка алгебра Тп,\ не точна.

При п > 10 имеем /„ Э [5; п — 5].

Таким образом, для большинства (в смысле меры) значений А € Е„, алгебры а не являются точными и, тем более, ядерными (а следовательно, и аппроксимативно конечномерными).

Полученные результаты дают возможность "различить" алгебры Тп,\:

Теорема 1.2.17. Среди алгебр Тп,\ имеется континуум попарно неизоморфных.

В завершающем разделе первой главы рассматривается вопрос о топологической структуре множества 5П всех операторов, представимых в виде суммы п проекторов.

Теорема 1.2.19. Пусть оператор Т принадлежит Если ||Г||е < 1, то Т € 5„.

Здесь ||Т||е — существенная норма, т.е. норма образа оператора Т в алгебре Калкина (фактор-алгебре алгебры всех операторов по идеалу К(Н) компактных операторов).

Как следствие, мы получаем, что пересечение множества 5П с К{Н) замкнуто.

Теперь рассмотрим класс операторов, весьма далекий от класса компактных операторов.

Теорема 1.2.21. Пусть Д £ — эрмитов оператор, спектр которого совпадает с точечным спектром и спектральная кратность бесконечна. Тогда существует б > 0, такое что если ЦТ — Д||е < е, то Т £„.

Этот результат заметно усиливает утверждение о замкнутости множества Е„ из работы С. А. Кругляка, В. И. Рабановича и Ю.С. Самойленко1.

Во второй главе диссертации рассматриваются асимптотические конструкции, играющие важную роль в теории С*-алгебр: асимптотические гомоморфизмы и классы их гомотопической эквивалентности. В результате исследования этих конструкций получено новое описание Е-функтора Конна-Хигсона, формально аналогичное данному Й.Кунцем описанию КК-функтора Каспа-рова, и выведен ряд следствий, связывающих эти теории.

Прежде, чем формулировать конкретные результаты, дадим необходимые определения.

13десь и далее имеется в виду цикл работ, начатый работой С. А. Кругляк, В. И. Рабанович, Ю. С. Самойленко, О суммах проекторов, Функц. анализ и его прил., 36, вып. 3, 20-35 (2002).

Пусть А,В — С*-алгебры. Гомоморфизмы из Л в £

называются гомотопными, если существует гомоморфизм Ф : А ->.В® С[0,1], такой что ег^оФ = <р{ при г = О,1. Здесь еу0,еу1 : В ® С[0,1] -> В — гомоморфизмы, сопоставляющие В-значной функции ее значения в точках 0 и 1 соответствено. Множество гомотопических классов гомоморфизмов из А в В обозначается через [Л, В].

В 1975 году Г.Г.Каспаров дал конструкцию операторного КК-функтора, т.е. специального бифунктора и КК(А,В) из категории С*-алгебр в категорию абелевых групп, объединившую С*-алгебраическую К-теорию и теорию расширений С*-алгебр, что привело к решению ряда фундаментальных задач теории операторных алгебр и гомотопической топологии. В 1987 году Й.Кунц показал, что КК{А, В) можно определить как [дА, В ® К]\ здесь К — С*-алгебра всех компактных операторов сепара-бельного гильбертова пространства, а qA — замкнутый идеал в свободном С*-произведении А* А, порожденный всеми разностями ¿1(0) — ¿2(а), а 6 А, где ¿1, ¿2 — канонические вложения А на первый и второй сомножитель в А * А. Хорошо известно, что [?А,В ® К\ = [<?А ® К, В ® К\ и, значит, К К (А, В) =

Пусть снова А, В — С*-алгебры. Асимптотическим гомоморфизмом из АвВ называется семейство отображений (^¿)(е[0,оо) : А В, обладающее следующими свойствами:

1) для любого а е. А отображение Ь фь(а) из [0, оо) в В является непрерывным;

и) для любых а, Ь 6 А, А € С

. Цщ^оо ||<Ма*) - <Ма)*Ц = О

. 1ш1*_юо ||фь(а + АЪ) - фг(а) - А^(Ь)|| = 0;

• Нт^«, ||&(а&) - &(«)<ШИ = 0.

Два асимптотических гомоморфизма (ФЧ)гф,оо)>(Ф\)гф,оо) '■ А В называются гомотопными, если существует асимптотический гомоморфизм (Ф^ер.оо) : А В ® С[0,1], такой что ег< о Ф4 = ф1 при г = 0,1. Множество гомотопических классов асимптотических гомоморфизмов из А в В обозначается [[А, В]].

Е-функтором Конна и Хигсона называется бифунктор Е(А, В), где Е{А, В) = [[C0(R) ® А, С0(К) ® В ® К]].

Хорошо известно, что [[C0(t)® A,C0(R)®B®K]] = [[С0(К2)® А ® К, В ® К]] и, значит, Е(А, В) = [[С0(Е2) ® А ® К, В ® К]].

В своей основополагающей работе об асимптотических гомоморфизмах Конн и Хигсон доказали, что существует естественное преобразование I операторного КК-функтора в Е-функтор.

Напомним, что если F и G — два ковариантных функтора из категории Л в категорию В, то естественным преобразованием функтора F в функтор G называется такой набор отображений ф{А) € Мог в (F(A),G(A)) (где А пробегает ОЬ(*4)), что для любого ф € Могд(А, В) коммутативна диаграмма

F(A) F(B)

G(A) G(B)

Аналогично определяется естественное преобразование кон-травариантных функторов. Под естественным преобразованием бифункторов понимают такой набор отображений ф(А,В) € Мот в (F(A,B)}G(A,B)), который при фиксированном В является естественным преобразованием функторов F( , В) и <?( ,В), а при фиксированном А является естественным преобразованием функторов F(A, ) и G(A, ).

Таким образом, преобразованию I соответствует согласованный набор отображений Та,в ■ КК(А,В) Е(А, В). В настоящей работе установлено, что это преобразование индуцировано морфизмом аргументов:

Теорема 2.2.3. Существует асимптотический гомоморфизм из Со (К2) ® А® К в qA ® К , который индуцирует естественное преобразование I: К К (А, В) — [qA ® К, В ® К] -» [[C0(R2) ® А® К, В ® К]] = Е(А, В).

Две С*-алгебры А л В называются асимптотически эквивалентными, если существуют асимптотические гомоморфизмы изЛвВиизВвЛ, композиции которых гомотопны тождественным гомоморфизмам id а и ids соответсовенно.

Основным результатом второй главы является

Теорема 2.2.10. С*-алгебры С0(Е2) @ А®К и асимп-

тотически эквивалентны.

Как следствие, мы получаем новое описание Е-функтораг

Следствие 2.2.11. Е(А,В) = [[?Л,В ® К]].

Будучи аналогичным описанию Кунца КК-теории, это описание Е-функтора подчеркивает и разницу между Е-теорией и КК-теорией, позволяя увидеть, почему естественное преобразование КК-функтора в Е-функтор — не изоморфизм. Действительно, из Следствия 2.2.11 видно, что причиной является то, что не всякий асимптотический гомоморфизм из алгебры дА гомотопен "настоящему" *-гомоморфизму.

Вопрос о том, когда асимптотический гомоморфизм гомотопен »-гомоморфизму неоднократно ставился (в различных модификациях). Первый фундаментальный результат был получен в 1983 году: Д. Войкулеску, отвечая на вопрос П. Халмоша о существовании пары почти коммутирующих унитарных матриц, "не близких" к паре коммутирующих унитарных матриц, построил пример асимптотического гомоморфизма из С(Т) в К+, который не гомотопен никакому *-гомоморфизму из С(Т) в К+. Однако для некоторых С*-алгебр любой асимптотический гомоморфизм в любую другую С*-алгебру гомотопен ¡«-гомоморфизму. Например, нетрудно доказать, что таким свойством обладают все полупроективные алгебры. Напомним, что С*-алгебра А называется полупроективной, если для любого гомоморфизма / : А —»• В/3, где 3 — иЛ, найдется такой номер га и гомоморфизм / : А —>■ В/Зп, что диаграмма

В/Зп

П;

А—^В/3

коммутативна. Здесь д означает каноническую сюръекцию В/Зп —► В/3.

В 1997 году Т. Лоринг показал, что любой асимптотический гомоморфизм из С*-алгебры дС в любую другую С-алгебру гомотопен *-гомоморфизму. Одним из следствий теоремы 2.2.10

является результат, показывающий, что С в теореме Лоринга можно заменить на произвольную ядерную С*-алгебру:

Следствие 2.2.12. Пусть А и В — С*-алгебры, причем В стабильна, а А ядерна. Тогда всякий асимптотический гомоморфизм из дА в В гомотопен »-гомоморфизму из дА в В.

Поскольку К-функтор допускает описание в терминах гомоморфизмов из алгебры дС (действительно, Ко(В) = К К {С, В) = ^С, В]), то изучение различных свойств С*-алгебры qC проводилось во многих работах (Й. Кунца, Т. Лоринга, М. Дадарлата и др.). Этой алгебре посвящен и раздел 2.3 диссертации.

Один из естественно возникающих здесь вопросов состоит в следующем: можно ли для А — С. усилить утверждение Теоремы 2.2.10, заменив асимптотическую эквивалентность С*-алгебр яА ® К и Со (К2) <2> А ® К обычной гомотопической эквивалентностью. Ответ оказывается отрицательным:

Теорема 2.3.3. С"*-алгебры Со (К2) ®К и qC® К не являются гомотопически эквивалентными.

Рассмотрены, при А = С, и некоторые геометрические свойства асимптотической эквивалентности, построенной в Теореме 2.2.10. Так, обе С*-алгебры qC ® К и С0(К2) ® К имеют естественную структуру непрерывных полей С*-алгебр (над одной и той же базой — отрезком [0,1]) и Следствие 2.3.9 показывает, что построенная эквивалентность не является послойной, т.е. не отображает слой в слой.

В третьей главе диссертации рассматриваются отображения Р: А, —^ А, где А3 — множество эрмитовых элементов фиксированной С*-алгебры А, ковариантные относительно унитарного сопряжения, т.е. удовлетворяющие условию

Р(и*аи) = иТ(а)и (5)

для всех а £ Ал и всех унитарных и € А. Примером является любое отображение о н* Ф(а), где ф — фиксированная непрерывная функция на вещественной оси. Интерес к аналитическим свойствам таких "отображений функционального исчисления" явился основной причиной для выделения, свойства унитарной ковариантности и изучения общих унитарно-ковариантных отображений. В первом разделе главы рассматривается случай, когда А

есть М„, алгебра всех матриц порядка п, или, что то же, А = С{Н), алгебра линейных операторов в конечномерном гильбертовом пространстве Н. Оказывается, что произвольные унитарно-ковариантные отображения, в этом случае, также могут задаваться функционально, но в качестве символов приходится брать функции п переменных, симметричные по всем переменным, кроме первого. Чтобы дать точное описание, введем некоторые обозначения.

Пусть I — конечный или бесконечный интервал вещественной оси Л. Через С] (Н) мы будем обозначать множество тех эрмитовых операторов, спектры которых лежат в I.

Пусть — это пространство всех функций на симметричных по всем переменным, кроме первой (такие функции мы называем, для краткости, почти симметричными).

Для оператора Т е С\(Н) обозначим через а{Т) = {Аь..., А*} его спектр. Для каждого г < к, Р(Г) — это соответствующий спектральный проектор. Пусть А — точка из отвечающая произвольному упорядочению множества сг(Т), причем кратные собственные значения повторяются. Множество всех таких точек обозначим через о(Т). Через ¿?;(Т) (1 < г < к) обозначается множество тех А € <т(Г), у которых первая координата равна А*.

Если функция / принадлежит Т\, то во всех точках А € с?(Т),' она принимает одно и то же значение, которое мы будем записывать в виде /(^¿(Т)). Положим

= (б) •=1

Нетрудно проверить, что отображение Р/ унитарно-ковариантно.

Теорема 3.1.1. Каждое унитарно-ковариантное отображение на £}(#) совпадает с 2</, для некоторой функции / е

Далее исследуются аналитические свойства отображений 2</.

Теоремы 3.1.10, 3.1.18, 3.1.19. Отображение Г/

(¡) непрерывно в точке А € £}(#) тогда и только тогда, когда / непрерывна во всех точках А € <?(Л);

(и) дифференцируемо по Фреше в точке А е (Я) тогда и только тогда, когда функция / дифференцируема во всех точках А 6 <?(Л);

(ш) липшицево на Ц (Н) тогда и только тогда, когда функция / липшицева на I".

Это утверждение и для случая обычного функционального исчисления усиливает известные результаты. В этом случае, часть (И) дает:

Следствие 3.1.20. Если ф — дифференцируемая функция на интервале, содержащем спектр матрицы А, то отображение Т ф{Т) дифференцируемо по Фреше в точке А.

В литературе (см., например, книгу И. М. Глазмана, Ю. И. Любича "Конечномерный линейный анализ" и приведенные там ссылки) дифференцируемость по Фреше доказывается в предположении непрерывности производной функции ф. Следствие 3.1.20 показывает, что требование непрерывности производной здесь излишне.

Унитарно-ковариантные отображения (для фиксированного интервала I) образуют алгебру относительно операций поточечного сложения и умножения на число. Ее подалгебра, состоящая из непрерывных отображений, является топологической алгеброй относительно поточечной сходимости. Если I компактен, то эта алгебра является банаховой. Следующий результат утверждает, что она порождена весьма простыми отображениями:

Теорема 3.1.12. Банахова алгебра КС^Н) порождается тождественным отображением и отображениями А ^(Ак)1, к = 0,...,п.

В дальнейших разделах приведенные выше результаты (частично) переносятся на все конечномерные С*-алгебры, алгебру всех компактных операторов и равномерно-гиперфинитные алгебры.; Мы сформулируем здесь два утверждения, которые в контексте данной главы играют вспомогательную роль, но могут представлять и независимый интерес.

Следствие 3.3.9. Пусть Я — компактный самосопряженный оператор. Тогда для каждого компактного самосопряженного оператора Т найдется такой унитарный оператор и — V(Т), что

0) [и*ти,щ = о,

(ц) \\и*Ти - Д|| < 2||Т - Д||,

(ш) ||[Е7,Д]|| <3||Г-Я||.

Теорема 3.4.3. Пусть А — иНР-алгебра. Тогда, для любого самосопряженного элемента а € Л, спектр которого конечен, (а)" = С* (а, 1).

Здесь под (а)" понимается бикоммутант элемента а, т.е. множество всех элементов, перестановочных со всеми элементами, перестановочными с о, а символом С*(а, 1) обозначена С*-алгебра, порожденная а и единицей алгебры А.

Последний раздел главы посвящен изучению отображений, ковариантных относительно подобия.

Пусть X — конечномерное пространство над С, С(Х) — алгебра всех операторов, действующих в X. Отображение .Р, определенное на некотором множестве С С Ь(Х) матриц и принимающее значения в С(Х), называется ковариантным относительно подобия, если

^{у-^ту) =

для любого Те С и любого обратимого оператора V 6 £(,¥). Мы будем, также, называть такие отображения (!?(Л')-ковариантными, понимая под в(Х) группу всех обратимых операторов в X к имея в виду ее действие сопряжениями на £(Х).

Мы рассматриваем случай, когда € состоит из диагонализуе-мых операторов с различными собственными значениями, спектры которых находятся в данном множестве Л С С.

Дадим более точные определения. Пусть *П — множество всех диагонализуемых операторов, а Ш1 — множество всех операторов "общего положения" ,то есть операторов, все собственные значения которых различны. Это множество (в отличие от 9Т) открыто, и его дополнение является многообразием меньшей размерности. Таким образом, в него входят "почти все" операторы (откуда и термин "операторы общего положения").

Зафиксируем подмножество Л С С (оно может быть областью, кривой, компактным интервалом и т.д.) и положим

Шг> = {Т 6 ЯЛ : а(Т) С Я}, = {Т € 91: £г(Г) С !>}.

Мы будем рассматривать ковариантные отображения, определенные на таких семействах операторов.

Ясно, что обычное функциональное исчисление естественно определяется на 91. Конструкция, аналогичная приводившейся выше для унитарно-ковариантных отображений (см. формулу (6)), позволяет сопоставить почти симметричной функции / на Юп ковариантное относительно подобия отображение Р?.

Теоремы З.5.2., 3.5.8., 3.5.10. (1) Всякое ковариантное относительно подобия отображение на ЭДо имеет вид F¡, где / — почти симметричная функция.

(и) Отображение Р/ непрерывно в точке А € Шо тогда и только тогда, когда функция / непрерывна во всех точках д{А).

(ш) Если функция / является локально лишшщевой на £>", то отображение Р/ локально липшицево на Шп.

Вопрос о непрерывности Р} в точках из \ более сложен. Показано, что принципиально он сводится к вопросу о непрерывности в точках А = А1, где А 6 Л. В теореме 3.5.14 получен критерий непрерывности, однако мы его не приводим, ввиду его громоздкости. Приведем лишь следствия, относящиеся к случаю, когда кратности собственных значений не превосходят двойки.

Следствие 3.5.18. Пусть А — диагонализуемый оператор, кратности всех собственных значений «1, которого не превосходят 2. Для того, чтобы отображение Р/ было непрерывно в точке А, необходимо и достаточно, чтобы функция / была непрерывной в окрестности точки ~ос = (ах,...,а*) и, для любых ¿,2, таких что а* = щ, функция (/¿(А) — /,(А))/(А* — А_,) была ограниченной в окрестности этой точки.

Представляет интерес и вопрос об условиях, при которых отображение может быть продолжено по непрерывности в точки, не принадлежащие 01с- Следующее утверждение отвечает на этот вопрос в случае пространства размерности 2 (в этом случае, оператор, не принадлежащий — это жорданова клетка 7(а), а € С).

Теорема 3.5.19. Отображение Р{ продолжается по непрерывности в точку ./(а) тогда и только тогда, когда существует

конечный предел

Мы закончим результатом, относящемуся уже к обычному функциональному исчислению.

Следствие 3.5.21. Заданное на отображение Т ф(Т) продолжается по непрерывности в точку J(a) тогда и только тогда, когда существует конечный предел по множеству D

1. Получен ряд общих результатов о представимости полиномиальных соотношений в С*-алгебрах.

2. Иследована структура универсальных алгебр РП1х проек-торных соотношений (3), в частности, доказано существование континуума неизоморфных алгебр Тп,\ и получены ответы на вопросы о принадлежности этих С*-алгебр к типу I, их ядерно-сти и точности.

3. Доказано существование асимптотического гомоморфизма из Со (К2)® А® К в дА ® К , который индуцирует естественное преобразование I: КК(А,В) = [яА®К,В®К] ->• [[С0(К2) ® А® К, В ® К]] = Е(А, В) КК-функтора в Е-функтор.

4. Доказана асимптотическая эквивалентность С*-алгебр Со (К2)® А®К и qA®K; как следствие, дана характеризация Е-функтора Конна-Хигсона в терминах свободных С*-произведений.

5. Построена теория унитарно-ковариантных отображений в С*-алгебрах, получено их функциональное описание и исследованы аналитические свойства. В конечномерном случае изучены отображения, ковариантные относительно подобия. Указаны применения к анализу функциональных отображений.

В заключение я хочу поблагодарить своего научного руководителя И.А.Чубарова.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 05-01-00923.

(8)

Основные результаты диссертации

Публикации по теме диссертации

1. Шульмая Т. В., Ковариантные отображения и сферические функции, Тезисы докладов третьей международной конференции по моделированию и оптимизации систем, Вологда, 220-221.

2. Shulman Т. V., On covariant maps of matrices, Spectral and evolutionary problems, Proc. Of the Eleventh Crimean Autumn Math. School-Symposium, vol. 11 (2001), 77-79.

3. Shulman Т. V., On covariant maps of matrices, Methods of Funct. Analysis and Topology, vol. 9, no. 3 (2003), 252-261.

4. Шульман Т. В., О суммах проекторов в С*-алгебрах, Функциональный анализ и его приложения, 37, вып.4 (2003), 91-92.

5. Шульман Т. В., Эквивалентность С*-алгебр qC и С0(М2) в асимптотической категории, Мат. Заметки, 77, вып. 5 (2005), 788-796.

Заказ №719. Объем 1 пл. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ООО «Петроруш». г. Москва, ул. Палнха-2а, теп. 250-92-06 www.postator.ru

Введение

1 Представления полиномиальных соотношений и суммы проекторов в С*-алгебрах

1.1 Представимость соотношений в С*-алгебрах специальных классов

1.1.1 Представления в алгебрах типа I.

1.1.2 Представления в AF-алгебрах.

1.1.3 Представления в С*-алгебрах со следом.

1.2 Представления проекторных соотношений

1.2.1 £„(Л) для С*-алгебр типа I

1.2.2 Следы на универсальных алгебрах соотношений (1.8)

1.2.3 £„(Л) для AF-алгебр.

1.2.4 Ядерность и точность.

1.2.5 Дополнительные результаты об алгебрах Vn,\.

1.2.6 Операторы, представимые в виде суммы проекторов.

2 Асимптотическая эквивалентность некоторых С*-алгебр

2.1 Предварительные сведения.

2.1.1 Некоторые определения из теории категорий

2.1.2 Бифунктор Касиарова

2.1.3 Асимптотические гомоморфизмы и Е-теория

2.1.4 Расширения С*-алгебр.

2.2 Асимптотическая эквивалентность С*-алгебр qA ® К и Со(М2) ® А ® К

2.2.1 Конструкция асимптотического гомоморфизма из C0(M2)®A®K в qA <g> К

2.2.2 Построение обратного отображения.

2.2.3 Доказательство основного утверждения.

2.3 Случай А = С.

2.3.1 qC®K и Со(К2) ® К не являются гомотонически эквивалентными

2.3.2 Геометрические свойства асимптотической эквивалентности между qC ® К и Со (К2) ® К.

3 Унитарно-ковариантные отображения в С*-алгебрах

3.1 Унитарно-ковариантные отображения в алгебре матриц.

3.1.1 Функциональная реализация.

3.1.2 Непрерывность унитарно-ковариангных отображений.

3.1.3 Непрерывные унитарно-ковариантные отображения и симметрические многочлены.

3.1.4 Условия лиишицевости унитарно-ковариантного отображения

3.1.5 Дифференцируемость по Фреше.

3.2 Унитарно-ковариантные отображения в конечномерных С*-алгебрах

3.3 Ковариантные отображения в алгебре компактных операторов.

3.4 Унитарно-ковариантные отображения в UHF-алгебрах.

3.5 Отображения, ковариантные относительно подобия.

3.5.1 Функциональная реализация.

3.5.2 Непрерывность на fflo.

3.5.3 Локальная лшшшцевость на Шо.

3.5.4 Непрерывность на 9t.

3.5.5 Непрерывность отображений, ковариантных относительно подобия, в случае пространства размерности 2.

Теория С*-алгебр, бурно развивающаяся и настоящее время, призвана выработать адекватный математический аппарат для квантовой физики и, в то же время, исследовать алгебраическую основу задач и конструкций операторной теории. Хотя главной особенностью этой теории является некоммутативность, так что ее разделы даже носят названия некоммутативная геометрия, некоммутативная теория вероятностей, одним из основных технических средств остается функциональное исчисление. Аппарат функционального исчисления, связывающий С*-алгебры с теорией функций, используется как в основных конструкциях, так и в оценках норм и спектров, операторных неравенствах и т.д. По существу, возможность применения функционального исчисления в С*-алгебраической ситуации основана на спектральной теореме Гильберта-Шмидта-Вейля-фон Неймана. Эта возможность с успехом использовалась уже в первой, основополагающей работе И.М.Гельфанда-М.А.Наймарка. Ряд дальнейших глубоких результатов, основанных на использовании функционального исчислении был получен Арвесоном, Педерсеном, Хаагерупом, Войкулеску, Кунцем и многими другими исследователями.

Другим важным методом получения нужных объектов и необходимых оценок является метод асимптотических конструкций, состоящий в получении точных соотношений с помощью последовательностей приближенных и дальнейшей факторизации. Его основоположниками следует, новидимому, считать Риффела и Макдафф, но истоки он берет в известных результатах Вейля и фон Неймана, а наиболее важные применения были получены в известной работе Конна о классификации факторов фон Неймана. Дальнейшее развитие метод получил в работах Конна, Хигсона, Войкулеску, Блакадара, Лоринга, Киршберга, Томсена и других исследователей.

В данной работе оба этих метода применяются в задачах классификации представлений соотношений (первая глава работы) и в задачах гомотопической теории С*-алгебр (вторая глава). В третьей главе функциональное исчисление становится не только методом, но и объектом исследования. Здесь отображения вида a н-» f(a) (функциональные отображения) включаются в более широкий класс отображений, ковариаптпых относительно унитарной эквивалентности, и их свойства изучаются в соответствующем более широком контексте.

Задачи расширения области применимости обоих методов, исследования их внутренней природы являются весьма актуальными.

Целью диссертации является применение функционального исчисления и использование асимптотических конструкций для решения конкретных задач теории С*-алгебр и теории операторов.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них отметим следующие:

1. Классификация по сложности теории представлений универсальных алгебр проекторных соотношений.

2. Доказательство существования асимптотического гомоморфизма из С*-алгебры Со (К2) <Э А ® К в С*-алгебру qA ® К , который индуцирует естественное преобразование КК-функтора Каспарова в Е-функтор Конна и Хигсона (указанные объекты будут определены в главе 2).

3. Доказательство асимптотической эквивалентности С*-алгебр Со(М2)® А®К и qA® К; как следствие, дана характеризация Е-функтора Конна-Хигсоиа в терминах свободных С*-ироизьедений.

4. Описание и исследование унитарно-ковариантных отображений в конечномерных и аппроксимативно-конечномерных С*-алгебрах.

Работа имеет теоретическую направленность. Полученные результаты могут быть использованы при изучении устойчивости полиномиальных соотношений, в теории представлений *-алгебр, теории операторных неравенств, в гомотопической теории С*-алгебр, теории операторно-гладких классов функций, теории мультипликаторов Шура.

В диссертации используются методы теории операторов, теории функций, теории представлений, теории С*-алгебр (в частности, С*-алгебраической К-теории, теории расширений, теории операторного КК-функтора Каспарова, теории свободных С*-нроизведений, Е-теории Конна-Хигсона).

Результаты диссертации докладывались на конференции МФТИ (2001 г.), на школах-симпозиумах по спектральным задачам КРОМШ (Крым 2002,2003,2004), на семинаре Мехмата МГУ по некоммутативной геометрии и топологии (руководитель

А.С.Мищенко) (2003), на Санкт-Петербургской конференции но математическому анализу (2004 г.), на международной конференции по операторным алгебрам в Словении (Блед 2005).

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы

1. P.Halmos, A Hilbert Space Problem Book, van Nostrand, 19G7.

2. I.Ts.Gohberg and M.G.Kreyn, Introduction to the Theory of Linear Nonselj'adjoint Operators in Hilbert Spaces, Nauka, Moscow, 1965.

3. И.М.Глазман, Ю.И.Любич, Конечномерный Линейный Анализ, Наука, Москва, 1969.

4. G.Bennett, Shur multipliers, Duke Math. J., 44, 603-639 (1977).

5. А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, Москва, 1971.

6. Н. Бурбаки, Спектральная теория, серия Элементы Математики, М. Мир, 1972.

7. J. Gliinm, Type I C*-algebras, Ann. Math. 73, 572-612 (1961).

8. V. Ostrovskyi, Yu. Sainoilenko, Introduction to the Theory of Representation of Finitely Presented *-Algebras, Reviews in mathematics and mathematical physics, Vol. 11, Part 1, Moscow, 1999.

9. E. Kirchberg, N. Phillips, Embedding of exact C*-algebras in the Cuntz algebra 02, J. Reine Angew, Math. 525, 17-53 (2000).

10. E. Kirchberg, On subalgebras of the CAR-algebra, J. Functional Analysis, 129, no.l, 35-63 (1995).

11. P. Wu, Additive combinations of operators, Functional Analysis and Operator Theory, Banach center publications, Vol. 30, Warszawa, 1994.

12. K. R. Davidson, C*-Algebras by Examples, Fields Institute Monographs, 1995.

13. A. Connes, Noncommutative geometry, Academic Press, 1994.

14. J.Cuntz, A new look at KK-theory, K-theory 1 (1987), 31-51.

15. J. Cuntz, Generalized homomorphisms between C*-algebras and KK-theory, Proc. of Math. Pliys. Conf. (ZIF Bielefeld 1981), Springer Lecture Notes in Math. 1031, 180-195.

16. Г. Г. Каспаров, Операторный К-функтор и расширения С*-алгебр, Известия Академии Наук СССР, Серия Математическая 44 номер 3, 571-636 (1980).

17. A.Connes, N.Higson, Deformations, morphisjries asymptotiques et K-theorie bivariante, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser.I Math. 311 , 101-106 (1990).

18. T.Loring, Perturbation questions in the Cuntz Picture of K-theory, K-theory 11:161-193(1997).

19. T.Loring, K-theory and asymptotically commuting matrices, Can.J. Math.,Vol.XL, no.1, 197-216 (1988).

20. T.Loring, Almost multiplicative maps between C*-algebras, Operator Algebras and Quantum Field Theory. Internat.Press, 111-122 (1997).

21. W.Arveson, Notes on extensions of C*-algebras, Duke Math.J.44, 329-355 (1977).

22. B.Blackadar, K-theory for Operator Algebras, Math.Sci.Res.Inst. Publ.5, Springer-Verlag, New York, 1986.

23. K. Thomsen, К. K. Jensen, Elements of KK-theory, Birkhauser, Boston, 1991.

24. N. Higson, A characterization of KK-theory, Pacific J. of Math., Vol.126, no.2 (1987).

25. G. K. Pedersen, C*-algebras and their automorphism groups, Academic Press, London-New York-San Francisco, 1979.

26. D. Voiculescu, Asymptotically commuting finite rank unitary operators without commuting approximants, Acta Sci. Math. (Szeged) 45, 429-431 (1983).

27. M. Dadarlat, T. Loring, K-homology, asymptotic representations, and unsuspended E-theory, J. Funct. Anal. 126, 367-383 (1994).

28. С. А. Кругляк, В. И. Рабанович, Ю. С. Самойленко, О суммах проекторов, Функц. анализ и его ирил., 36, номер 3, 20-35 (2002).

29. В. И. Рабанович, Ю. С. самойленко, Когда сумма идемпотентов или проекторов кратна единице, Функц. анализ и его ирил., 34, номер 4, 91-93 (2000).

30. С. А. Кругляк, Функторы Кокстера для одного класса *-колчапов, Укр. матем. ж., 53, номер 7, 939-953 (2001).

31. С. А. Кругляк, А. В. Ройтер, Локально скалярные представления графов в категории гильбертовых пространств, Функц. анализ и его ирил., 39, номер 2, 13-30 (2005).