Упорядоченные дифференциальные кольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Аннотация.

Условные обозначения.

Оглавление.

Предисловие.

Глава 1 Порядок и дифференцирование.

§1.1 Упорядоченные кольца.

§1.2 Критерии упорядочения О -колец.

§1.3 Дифференцирование в упорядоченном кольце.

Глава 2 Структура.

§2.1 Упорядоченные дифференциальные кольца.

§2.2 Критерии упорядочения дифференциальных колец.

§2.3 Конструкции полей дифференциальных чисел.

Глава 3 Арифметика.

§3.1 Дифференциальные неравенства.

§3.2 Асимптотика.

§3.3 Элементарные функции.

Глава 4 Алгебра.

§4.1 Теоремы об автоморфизмах и пополнении и факторизации

§4.2 Алгебраические расширения.

§4.3 Трансцендентные расширения.

Глава 5 Анализ.

§5.1 Замечательные пределы.

§5.2 Дифференциальное исчисление.

Данная работа ставит перед собой три цели: исследовать связь между порядком и дифференцированием в кольце, формализовать понятие асимптотической близости функции с построением алгебраического аппарата для исследования асимптотических свойств решений интегральных и дифференциальных уравнений и, наконец, сделать первый шаг в направлении алгебраической формализации локальных свойств функциональных зависимостей физических величин.

Аналогом производной математического анализа в алгебре является понятие дифференцирования. Такие свойства производной, как аддитивность и правило взятия производной произведения, могут быть абстрагированы на случай произвольного множества, на котором определены операции сложения и умножения (кольца).

Дифференцированием кольца <7 называется аддитивное отображение с1:0-> О кольца О в себя, удовлетворяющее соотношению: й (ху) = (с1у)х + уск, для любых элементов х,у е К.

Теория дифференциальных колец, то есть колец с некоторой областью дифференцирований, зародилась в 30-е годы XX века в работах американского математика Ритта Ж. Ф. и его ученика Колчина Е. Р. [1-9]. Позже данная теория была изложена в монографии И. Капланского [10]. Понятие дифференцирования оказалось во многом полезным для теории алгебраических расширений полей и тел, поиска решений дифференциальных уравнений в квадратурах, теории формальных рядов и т.д. Кроме этого, исследование дифференциальных колец позволило глубже понять, какие привычные для нас свойства производной имеют алгебраическую природу, а какие обусловлены определением ее как некоторого предела функции.

С другой стороны, в двадцатом веке началось систематическое построение теории упорядоченных алгебраических структур. Существенный вклад в ее развитие внесли такие математики, как Р. Дедекинд, О. Гельдер, Д. Гильберт, Дж. Нейман, Г. Биркгоф, А. И. Мальцев, Ф. Холл. Фундаментальное значение порядка для математики заключается, в частности, в том, что, согласно теореме Гельдера, вещественные числа можно определить как максимальную архимедову группу.

Что хорошего в том, что в данном кольце мы определили некоторое нетривиальное дифференцирование или линейный порядок? Дифференцирование выделяет в кольце определенную структуру, разделяет его на множества, которые, в свою очередь, могут обладать определенной алгебраической замкнутостью. Например, если й является дифференцированием кольца, то ядра кегй?(п) являются аддитивными группами, множество идеалов кольца можно различать по дифференциальным свойствам их элементов (дифференциальные идеалы), многие

7классы элементов кольца можно определить не арифметическими свойствами, а как множества решений определенных дифференциальных уравнений.

В свою очередь, линейный порядок, кроме подобных аргументов, позволяет определить в кольце топологию (интервальную топологию), что может являться мощным средством для исследования функций над данным кольцом. В этой связи возникает вопрос о том, насколько эффективным средством может быть порядок для исследования дифференцирований кольца. Как показывают результаты, приведенные в данной работе, порядок становится таким инструментом, когда дифференцирование обладает некоторой монотонностью. В частности, из того факта, что дифференцирование монотонно на некотором выпуклом множестве линейно упорядоченного топологического кольца, следует, что оно является непрерывной функций. Причем во многих случаях монотонность дифференцирования сохраняется при пополнении, алгебраическом или трансцендентном расширении. Данная монотонность приводит ко многим дифференциальным неравенствам, на языке которых можно характеризовать поведение дифференцирования в кольцах.

Формально данная работа имеет следующую цель: продолжить понятие порядка на такую алгебраическую структуру, как дифференциальное кольцо.

Как известно, группы кольца и тела имеют свои порядковые спутники: упорядоченные группы, упорядоченные кольца, упорядоченные тела, - в то время как возникшая почти сто лет назад такая структура, как дифференциальное кольцо, такого спутника не имеет. Связь между порядком и дифференцированием в кольце практически не исследовалась, хотя уже при поверхностном рассмотрении классических колец с порядком (например, лексикографически упорядоченного поля рациональных действительных функций), в которых можно определить дифференцирование, можно заметить, что дифференцирование на некоторых выпуклых множествах обладает свойствами монотонности. Данное свойство интеграла относительно поточечного частичного порядка хорошо известно. Можно привести множество различных продолжений данного частичного порядка, которые сохраняют данную монотонность, но лишь продолжение до линейного порядка даст (но не на всем пространстве) монотонность производной.

Результатом данной работы, в частности, является условие, когда линейно упорядоченное тело формальных рядов Мальцева-Неймана допускает дифференцирование с некоторым свойством монотонности. Другим подобным классом дифференциальных колец являются поля Харди [11] с локальным порядком. Многие теоремы предложенной работы дают алгоритм, когда из некоторого упорядоченного дифференциального поля можно получить новое упорядоченное дифференциальное поле путем алгебраического или трансцендентного расширения, а также факторизации внутри поля (точка поля), пополнения или замены дифференцирования.

Приведенный критерий упорядочения колец с областью операторов, в частности, критерий упорядочения дифференциальных полей возник в данной работе, так как существовала надежда, на возможность пути, аналогичного тому, по которому Серр [14] получил условие алгебраического расширения упорядоченного поля. Данный результат был выведен из критерия упорядочения полей. В нашем случае такой путь не возможен. Но, тем не менее, можно надеяться, что в будущем все же доказательства Серра можно будет модифицировать.

Также в работе приведено начало некоторой классификации упорядоченных дифференциальных колец, например, их деление на простые, классически упорядоченные (канонические), с дифференциальной единицей, тела дифференциальных чисел и т.п.

Практическое значение данной работы лежит в русле одной из глобальных целей XX века, которую можно выразить так: построить математический аппарат, который позволит исследовать свойства интегральных и дифференциальных операторов так же просто, как в традиционном математическом анализе исследуются действительные функции.

Предложенный в данных исследованиях путь отличен от функционального анализа: в качестве альтернативы метрики был избран линейный порядок. Формально необходимо было заменить в классическом анализе поле действительных чисел на упорядоченное функциональное поле и посмотреть, что останется от классики и что можно модифицировать. Смысл этого видится в том, что порядок в данном функциональном поле выражает (формализует) асимптотическую близость функций. Две функции асимптотически близки, если они отличаются друг от друга на бесконечно малую функцию, причем близость тем больше, чем больше порядок малости их разности.

На языке упорядоченных полей с монотонным дифференцированием можно без труда характеризовать асимптотические свойства решений интегральных и дифференциальных уравнений. Это может, например, быть записано в виде некоторого интегрального или дифференциального неравенства или "замечательного предела". Изучая свойства асимптотического решения некоторого интегрального или дифференциального уравнения, располагая при этом необходимыми дифференциальными неравенствами, мы можем сделать, в частности, заключения о порядке его малости и выделить в уравнении те части, которые несильно меняют его решение. Замечательные приделы, приведенные в работе, показывают, чему становится асимптотически близко значение интегрального или дифференциального оператора, если аргумент становится все более асимптотически близок какой-то функции.

Как известно, для формализации глобальных свойств функций существуют такие алгебраические структуры, как линейные метрические пространства. Но для свойств функций в малом (асимптотических свойств) такой структуры нет. Упорядоченные дифференциальные кольца могут претендовать на эту роль. Приведенные результаты делают аналогию нового анализа с классическим в какой-то степени полной.

Простое введение (по аналогии) пределов и производной не дает сколько-нибудь удовлетворительного аналога теоремы Ферма (необходимое условие экстремума). Ситуация такова, как если бы мы хотели получить необходимое условие экстремума функции многих переменных, умея дифференцировать лишь по одной переменной. То есть подобный метод мало что дает и лишь в немногих случаях приводит к экстремуму.

Что значит данный экстремум для интегрального или дифференциального оператора некоторого функционального поля? Необходимо найти такое значение x(t) ординаты данного оператора F, чтобы его значение F(x) в ней было меньше в окрестности некоторой точки по сравнению со значениями оператора в асимптотически близких к x(t) функциях. Например, можно рассмотреть такую задачу: при какой функции x(t) оператор F(x) наиболее асимптотически близок к нулю. Подобные задачи во многом аналогичны тем, которые возникают в вариационном исчислении. Разница в том, что в последнем малость вариации оценивалась относительно метрики, а в данном случае относительно линейного порядка. Там функции считались близкими, если они и их производные до некоторого порядка в каждой точке данного отрезка отличались от друг друга на небольшую действительную величину. В новом исчислении функции считаются близкими, если они в окрестностях данной точки отличаются друг от друга на бесконечно малую функцию некоторого порядка.

Также понятия предела и производной недостаточно для построения аналога ряда Тейлора. Было ясно, что если такой аналог будет построен, то появится новый метод нахождения асимптотических решений интегральных и дифференциальных операторов, подобный численным методам в анализе (метод Ньютона). Эти задачи удалось разрешить, благодаря введению частных производных по функции. Исчисление таковых является аналогом вариационного исчисления.

Построенный в данной работе математический аппарат может иметь и некоторую интерпретацию в физике.

Если рассмотреть Вселенную в какой-то момент времени (7 = 0), то значениями физических величин (масс, координат, скоростей, длин, напряженности, зарядов.) будут действительные числа. Если мы теперь сделаем следующий шаг и рассмотрим Вселенную в какой-то первоначальный (достаточно малый) промежуток времени (1»t > 0), то мы вынуждены уже описывать физические величины как процессы, то есть действительные функции, зависящие от времени. Вместо координат придется описывать траекторию. Длины, заряды, массы могут меняться со временем. Заметим, что процессы - тоже своего рода числа. Их можно складывать, умножать, делить. И даже сравнивать: считая, что первый процесс x(t) "больше" второго y(t), если (3t0)(Vt)(t е (0,r0) => x(t) > у(г))(то есть приоритет отдается значениям физических величин в первоначальный момент времени).

Новое во взгляде на процессы как на числа (как на элементы линейно упорядоченного поля) состоит в том, что процессы допускают существование еще одной алгебраической (унарной) операции - дифференцирования, в качестве которого может выступать оператор взятия производной (скорость изменения физической величины). Множество процессов, на которых алгебраические операции, в том числе и дифференцирование, замкнуты и все элементы, которых сравнимы в вышеизложенном смысле, будут являться числовыми множествами новой природы. Их условно можно называть дифференциальными числами. В силу определения сравнения дифференциальных чисел их теория близка теории ростков. В силу неархимедовости данного порядка имеются многие параллели с теорией гипердействительных чисел (нестандартный анализ). Также подобные множества исследовались в рамках теории асимптотического разложения функций действительного переменного, где они выступали в качестве полей Харди.

Заметим, что поля Харди появились в анализе, когда возникла необходимость очертить множество функций, в которых обычные операции анализа (в частности, дифференцирование) применимы к отношениям сравнения таким, например, как отношения доминирования или превалирования » одной функции над другой или отношение подобия и эквивалентности. Поэтому, если функция разложима в асимптотический ряд, члены которого являются элементами поля Харди, то такие ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать, при этом получая новые асимптотические разложения, а это имеет очень важное значение для поиска асимптотического решения интегральных и дифференциальных уравнений. В работе приведены некоторые обобщения тех эквивалентностей между интегральными и дифференциальными операторами при бесконечно малом аргументе, которые доказывает Харди для своих полей. Нужно сказать, что теория полей Харди, по крайней мере, в том виде как она изложена в книге Н. Бурбаки [11], не апеллирует к порядку.

В данной диссертации всесторонне исследована алгебраическая структура (упорядоченное дифференциальное поле), которая соответствует дифференциальным числам и сделан первый шаг в переводе на их язык локальных свойств функциональных зависимостей физических величин.

В XVIII веке президент берлинской академии наук Пьер Луи Моро де Мопертюй решил превзойти Ньютона, открыв новый математический закон природы - принцип наименьшего действия, который выделял траектории реального движения тела из огромного множества возможных траекторий. Он утверждал, что тело из точки А пройдет в точку В за время I по той траектории, которая дает наименьшее значение оператора действия, являющийся разностью между средним значением кинетической и потенциальной энергии. Эту идею Эйлер связал с созданным им вариационным исчислением. Далее многие курсы физики строились, отдавая главенство в изложении именно этому принципу, а не закону Ньютона (например "Механика" Ландау и Лифшица). В прошедшем веке Фейнман показал, как из подобного единого принципа может быть выведена квантовая механика.

Но у данного принципа есть один недостаток: неизвестно, как его применять в случае, когда необходимо описать движение тела из точки А в первоначальный момент времени с начальными скоростями (условие Коши), то есть когда точка В не дана и, соответственно, промежуток времени г не фиксирован. Мы не знаем, где тело будет находится в момент времени но зато знаем его начальный вектор скоростей. Принцип действия в этом случае становится очень громоздким и теряет свой физический смысл. Необходимо варьировать два параметра (точку В и время О так, чтобы полученная для них траектория (дающая минимум действия) удовлетворяла начальным условиям. В такой формулировке физический смысл связи между энергиями (кинетической и потенциальной) и условиями (начальные скорости), накладываемыми на движение тела, неясен. В первом случае (граничные условия), вычисляя действие, мы вычисляем своего рода меру (как покажет статистическая механика, эта мера близка вероятности) различных возможных состояний (траекторий) данной механической системы, которые напрямую определяются, исходя из физики начальных условий. Ведь понятие "среднее значение кинетической и потенциальной энергии" обусловлено граничными условиями, в то время как во втором случае те предполагаемые состояния, в которых может находиться механическая система, никак не определяются начальными значениями скоростей. Вот когда принцип действия отработает и мы получим экстремали, то среди них мы должны выбрать ту, которая удовлетворяет начальным условиям.

Для второй ситуации в данной работе предложен модифицированный принцип действия, общий смысл которого (если не вдаваться в подробности), таков: оператор действия Аа(х) (действие является оператором, а не функционалом, так как значение параметра * не фиксировано) должен вести себя на множестве функций асимптотически близких к реальной траекторий как наиболее асимптотически близкий оператор к простому линейному оператору (оператору видарх, где р - некая функция).

Теоремы о механической системе движения тел за определенный промежуток времени из одного состояния в другое, записанные на языке вариационного исчисления, можно перевести в теоремы механической системы движения тел в первоначальный момент времени с начальными векторами скоростей, записывая их на языке анализа над полем дифференциальных чисел. Три из данных теорем - интерпретация принципа действия, закон сохранения энергии, уравнения Лагранжа - входят в данную кандидатскую диссертацию.

Основные результаты, приведенные в данной диссертации, опубликованы в статьях [16-17].

Заключение

Таким образом на защиту выносятся следующие результаты:

1. Продолжено понятие порядка на алгебраические структуры дифференциальной алгебры.

2. Рассмотрены алгебраические и топологические свойства упорядоченного дифференциального кольца.

3. Показано, что в рамках теории упорядоченных дифференциальных полей могут быть алгебраически формализованы многие результаты теории асимптотического разложения функций действительного переменного.

4. Развита теория пределов функций над упорядоченным дифференциальным полем и построен аналог дифференциального исчисления.

5. Показано, как с помощью частных производных можно выделять линейную часть интегро-дифференциального оператора, что важно для приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений.

6. Получено необходимое условие существования асимптотического экстремума интегро-дифференциального оператора.

7. Сформулировать асимптотический аналог вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

В качестве вопросов, интересных для исследования в дальнейшем, сформулируем следующие задачи.

Частные задачи

1. Проверить гипотезу о том, что в поле дифференциальных чисел для любых элементов хе Г,ysÖ справедливо неравенство dx«~. У

2. Проверить гипотезу о том, что в поле дифференциальных чисел для любых элементов x,yeÖсправедливо неравенство «(—)2. х у

3. При каких условиях упорядоченное дифференциальное G поле можно вложить в поле дифференциальных чисел с ¿-элементом?

4. При каких условиях поле G дифференциальных чисел можно расширить до поля

G(Jx) дифференциальных чисел, где х е G ?

Р(х)

5. Чему равен предел lim , где Р(х), Q(x) - дифференциальные многочлены?

6. Когда дифференциальная рациональная функция будет сжимающимся оператором?

7. Построить аналог ряда Тейлора.

Общие задачи

1. Исследовать элементарные функции.

2. Построить интегральное исчисление.

3. Алгебраические расширения упорядоченных дифференциальных полей.

4. Дифференциальные расширения упорядоченных дифференциальных полей.

Глобальные задачи

1. Построить неархимедов анализ функций многих переменных над упорядоченным дифференциальным полем.

2. Построить неархимедов анализ функций комплексного переменного над упорядоченным дифференциальным полем.

3. Построение теории для упорядоченного дифференциального поля с сопряженными дифференцированиями.

4. Построение аналога дифференциальной геометрии. Определить кривизну функции в точки.

5. Обобщить на случай упорядоченных дифференциальных полей, не являющихся дифференциальными числами.

6. Интерпретация физики.

7. Обобщение анализа на случай упорядоченного дифференциального тела.

Эта работа появилась, благодаря советам Ю.Г. Пензина и помощи A.B. Лакеева. Автор выражает им свою глубокую благодарность и признательность. Особо автор благодарен Бокутю Л. А. и Васильеву С. Н., взявшими на себя обязанности научного руководства.

1. E.R. Kolchin. Extensions of differential fields 1.//Ann. of Math. -1942. -V.43. -P.724-729.

2. E.R. Kolchin. Algebraic matric groups and the Picard-Vessiot theory of homogeneous linearordinary differential equations//Ann. ofMath. -1948. -V.49. -P. 1-42.

3. E.R. Kolchin. Existence theorems connected with the Picard-Vessiot theory of homogeneouslinear ordinary differential equations //Bull. Amer.Math. Soc. -1942. -V.54. -P.927-932.

4. E.R. Kolchin. On certain concepts in the theory of algebraic groups //Ann. of Math. -1948 -V.49. -P.774-789.

5. E.R. Kolchin. Picard-Vessiot theoiyof partial differential fiel ds //Proc. Amer. Math. Soc. -1952 -V.3. -P.596-603.

6. E.R Kolchin. Galois theory of differential fields //Amer. J. ofMath. -1953. -V.75. -P.753-824.

7. E.R Kolchin. On the Galois theory of differential fields //Amer. J. OfMath. -1955. -V.77. -P.868-894.

8. J.F. Ritt. Differential equations from the algebraic standpoint //Amer. Math Soc. Coil. Pub. New York. -1932. -V.14.

9. J.F. Ritt. Differential algebra //Amer. Math. Soc. Coil. Pub. New York. -1950. -V.33.

10. И. Каппанский. Введение в дифференциальную алгебру. -М., 1959.

11. Я. Бурбаки. Функции действительного переменного. -М.: Наука, 1965.

12. Б. JI. Ван дер Варден. Алгебра. -М.: Наук, 1979.

13. Я. Бурбаки. Общая топология (Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства) -М.: Наука, 1969.

14. Л. Фукс. Частично упорядоченные алгебраические системы. -М.: Мир, 1965.

15. А. Г. Курош Лекции по общей алгебре. -М.: Наука, 1973.

16. Работы автора по теме диссертации.

17. V. Kulchinovsky. Ordered Differential Fields I I Communications in Algebra. 1998. -V.26,№8. -P.2491-2521.

18. В. Б. Кулъчиновский. Упорядоченные дифференциальные поля // Сибирский математический журнал. -1999.- Т.40.№2. -С.377-394.