Асимптотические свойства решений уравнения переноса в неодномерных протяженных цилиндрических областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

2 8 (ИОН 1993

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ПАВЕЛЬЕВА Елена Борисовна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА В НЕОДНОМЕРНЫХ ПРОТЯЖЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

специальность 01.01.07. Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993 г.

Работа выполнена

в Московском государственном Университете им. М.В.Ломоносова и Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша Российской Академии Наук.

Научный руководитель Официалиные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук,

профессор Т. А. Гермогенова

доктор физико-математических наук

В.Я.Гольдин

кандидат физико-математических наук В. П.Шутяев

Московский инженерно-физический институт

Защита состоится " "__ 1993 г.

в _ часов на заседании специализированного совета

К 003.91.01 при Институте математичесхого моделирования РАН по адресу: Москва, Миусская пл., д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН.

Автореферат разослан " 9 " 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук С.Р.Свирщевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

В диссертации исследуются асимптотические свойства решений уравнения переноса для двух частных классов неодномерных задач:

Задача_1 о протяженных по высоте цилиндрических областях ( двумерных и трехмерных ), облучаемых с торца, и (или) с внутренними источниками, сосредоточенными в окрестности торца.

Задача_2 о дисках большого радиуса с цилиндрически-симметричными источниками, сосредоточенными в окрестности оси симметрии.

Общий подход заключается в построении характеристической краевой задачи, размерность которой ниже размерности исходной задачи и исследовании ее спектральных свойств. Оно опирается на доказательство полной непрерывности основных операторов и использование теории возмущений операторов с непрерывным спектром вполне непрерывными операторами. Следующим шагом является получение асимптотических формул, разработка алгоритма нахождения асимптотических параметров и функций, реализация его в программах и получение тестовых результатов высокой степени точности.

Актуальность проблемы.

Теория переноса излучения играет важную роль в широком круге задач физики и техники: в астрофизике, атмосферной оптике, гидрооптике, физике ядерных реакторов, физике защиты от ионизирующих излучений.

Важный класс задач теории переноса излучения составляют моноэнергетические задачи о глубинном режиме - об асимптотике решения уравнения переноса вдали от источников и от граничных поверхностей. Такие задачи для полубесконечной однородной среды, для плоскопараллельного и сферического слоев, а также для осесим-метричной среды изучались многими авторами ( В.А.Амбарцумян, В.В.Соболев, К.М.Кейз, П.Цвайфель, И.Мика, М.В.Масленников, Т.А.Гермогенова и др.).

Установленные асимптотические закономерности в задачах о переносе излучения в областях с одномерной геометрией играют важную роль как в физических исследованиях, так и в методической отработке алгоритмов численного решения задач о переносе излучения в названных областях. Известные асимптотические результаты теории переноса излучения, установленные . для простейших одномерных

моделей среды, сыграли важную роль в развитии используемых сейчас численных алгоритмов.

Задачи с неодномерной геометрией рассматривались в небольшом количестве работ. В ряде работ зарубежных и отечественных авторов ( В.Сапаро!, 0.1?уЫсЫ, К.Саве, О.Кдрег, Е.Е.Городничев и др. ) делались попытки распространения аналитических методов, развитых в задачах с плоскопараллельной геометрией, на неодномерные задачи. Однако полезных легко обозримых результатов на этом пути получить не удалось из-за громоздкости формульного аппарата. По-видимому, невозможно найти универсальные методы аналитического решения или определения асимптотических режимов для неодномерных задач теории переноса, а чтобы эффективно решать частные классы неодномерных задач необходимо использовать характерные для этого класса свойства решений и, в частности, асимптотическую форму решений вдали от источников и граничных поверхностей. Таким образом, важными оказываются точные соотношения и строгие асимптотические результаты, даже если их удается получить только в отдельных модельных неодномерных задачах.

Нахождение асимптотических режимов в неодномерных средах -важная самостоятельная задача теории переноса. В ряде задач, таких, например, как прохождение нейтронов через протяженные массивы радиационной защиты реактора, прохождение излучения через облака, асимптотические результаты способствуют прояснению физических закономерностей. С другой стороны, асимптотические соотношения в глубоких слоях необходимы как тестовые результаты для отработки численных методов решения задач о переносе излучения в двумерных и трехмерных областях больших оптических размеров. Асимптотические результаты, полученные в неодномерных задачах, могут быть использованы в целях модернизации традиционных методов решения уравнения переноса, необходимой для успешного решения современных практических задач с реальными физическими

моделями.

Все эти обстоятельства определяют актуальность выбранной темы диссертационного исследования.

Цель диссертации :

- развитие асимптотической теории для уравнения переноса излучения в задачах для протяженных цилиндрических областей с неодномерной геометрией;

— построение численкых алгоритмов расчета асимптотических параметров и функций, реализация их в программах, получение тестовых результатов высокой степени точности для протяженных по высоте цилиндров и параллелепипедов и для протяженных по радиусу дисков;

-разработка алгоритма получения тестовых результатов для радиационных полей в задачах о глубоко проникающем излучении.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней впервые

а) проведены строгие асимптотические исследования для двух классов неодномерных задач теории переноса излучения - для протяженных и однородных по высоте цилиндрических областей (двумерных и трехмерных) и для дисков большого радиуса. В основу положено построение и исследование х§ЕМ11£И£12ческих_к£аевых задач для вышеуказанных неодномерных цилиндрических областей. Получены простые и удобные для практических применений асимптотические формулы для решения уравнения переноса вдали от источников излучения в этих областях.

б) на основе асимптотических исследований разработаны алгоритмы определения асимптотических параметров и функций в задачах о протяженных и однородных по высоте цилиндрах и параллелепипедах, облучаемых с торца, и (или) с внутренними источниками, сосредоточенными в окрестности торца, и о протяженных и однородных по радиусу дисках с цилиндрически-симметричными источниками, сосредоточенными в окрестности оси симметрии. Алгоритмы реализованы в программах ASYMPZ, А5УМРХУ2, АБУМРИ для задач с изотропным рассеянием.

в) получены тестовые значения ( высокой степени точности ) для определения асимптотических режимов в задачах о переносе излучения в цилиндрических областях с неодномерной геометрией ( цилиндр, параллелепипед ), разработан алгоритм получения уникальных тестовых результатов для радиационных полей в задачах глубокого проникновения.

в

Теоретическая и практическая значимость работы.

а). В диссертации построены и исследованы характеристические краевые задачи для протяженных неодномерных цилиндрических областей, доказано существование асимптотики и получены простые и удобные для практических применений асимптотические формулы для решения уравнения переноса вдали от источников. Установление асимптотических закономерностей для рассматриваемого в диссертации круга задач с существенной неодномерностью позволяет дать качественную оценку роли неодномерности в формировании радиационных полей вдали от источников.

б). На основе асимптотической теории в диссертации получены тестовые значения (высокой степени точности) асимптотических параметров и функций, а также разработан алгоритм получения уникальных тестовых результатов для радиационных полей з задачах глубокого проникновения. Тестовые результаты для асимптотических областей играют важную роль в оценке точности численных алгоритмов в задачах о глубоко проникающем излучении и могут быть использованы в развитии и методической отработке эффективных вычислительных методов решения задач теории переноса излучения.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:

1) Установлено, что решение уравнения переноса в протяженных по высоте цилиндрических областях и в протяженных по радиусу дисках по мере удаления от источников стремится к асимптотической форме, в которой лишь нормировочный коэффициент определяется распределением и мощностью источников.

2) Построены и исследованы характеристические краевые задачи для определения асимптотической формы решения в вышеуказанных неодномерных цилиндрических областях, получены простые и удобные для практических применений асимптотические формулы.

3) Разработаны алгоритмы определения асимптотических параметров и функций в неодномерных задачах о протяженных цилиндрических областях. Они реализованы для задач с изотропным рассеянием в программах АБУМРг, АБУМРХУг, АБУМРЯ, с помощью которых можно определить глубинный режим в задачах о переносе излучения в протяженных по высоте цилиндрах, параллелепипедах и в протяженных по радиусу дисках соответственно.

4) Приведены тестовые результаты высокой степени точности (полученные с помощью программ ASYMPZ, ASYMPXYZ, ASYMPR ) для отработки численных методов решения задач о переносе излучения в двумерных цилиндрических и трехмерных (параллелепипед) областях.

На основе этих результатов, а также результатов, полученных по программе РАДУГА ( алмазная S - схема с монотонизацией на особенностях, густые сетки ), разработан алгоритм получения уникальных тестовых результатов для радиационных полей в задачах о глубоко проникающем излучении ( deep penetration problems ). На основе этого алгоритма получены тестовые результаты для радиационного поля вдали от торцов в задаче о протяженном по высоте цилиндре.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, Приложения и Списка литературы, включаещего 72 наименования. Объем диссертации, включая 44 рисунка и 35 таблиц, составляет 190 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В качестве исходной примем краевую задачу для моноэнергетического уравнения переноса

(Й-?)Ф(?,Й) + ст( г) • Й)=§Ф(?,tf)+Q(r,Й), ?eG, &=S. (1)

Здесь G-ограниченная цилиндрическая область с выпуклым поперечным

р л

сечением GjCR и высотой Н, S - единичная сфера, S - интегральный оператор (рассеяния); дифференциальное сечение рассеяния имеет вид:

Пусть направление оси z совпадает с направлением образующей

области G и . Й=-(ЙХ-/ 1-г2,УЬ где г=(?2-Й), r^eG^.

На функции <r(i), <г (?) и g(fl-i') накладываются следующие ограничения:

в

ОМ, 0 < О- ,< О- (?) £ О- 5 <г=1 8 т!п ' 5 шах

О < е(й-й')=8ш ^в^«». 0.5-/ ¡>(Х)ЛХ = 1

1п

-1

Источники 0(?,Й) являются почти везде ограниченными функциями ( Р(/,Й)еЬС0(Ох5) ) и удовлетворяют следующим условиям: существуют такие числа Н и И ( 0<Н «Ни 0<И « И ), что

о о 4 о о '

д(г,й)=о, при 2>но (за))

з протяженных по высоте цилиндрических областях и

О(г,Й)=0, при р>По (3Ь))

в дисках большого радиуса.

Краевые условия для уравнения (1) задаются в виде:

Ф(0,?х.Й)| =Ф (Й), Ф(Н,?Х,Й)| = О 'ЗГ>0 'у<0

¥(2Л,Й)| =0,

¡^еглЙ-пХо

(4)

где Г - бокозая поверхность О, которую будем считать кусочно-гладкой, Й — внешняя нормаль, а функция Ф (Й)бЦ(5) - пространству функций с суммируемым на 5 модулем и может быть отличной от нуля только в задачах о протяженных по высоте цилиндрических областях.

Краткий исторический обзор аналитических методов определения асимптотики решения уравнения переноса вдали от источников и от границ в одномерных задачах о глубинном режиме, а также обзор аналитических методов определения интенсивности излучения в некоторых частных классах модельных многомерных задач приводится во Введении. Отмечается, что поскольку математическое описание переноса излучения при переходе к неодномерным геометриям заметно усложняется, трудно ожидать развития аналитической теории таких задач, столь же полной , как и в случае одномерных задач (ив особенности в плоскопараллельных задачах). Однако тем более важным оказываются точные соотношения и строгие асимптотические результаты, которые удается получить хотя бы в отдельных модельных задачах.

В главе 1 находится асимптотика решения уравнения переноса излучения в протяженных и однородных по высоте цилиндрических областях, облучаемых с торца, и (или) с источниками, сосредоточенными в окрестности торца В этих задачах полагается Сз(1?)=<Гд(Тгд^

По аналогии с плоскопараллельной средой, решение задачи (1)-(4) вдали от торцов ( т.е. при 0«г«Н ) ищется в виде (§1):

Ф(г.Й) = е^-Ф^г,^. (5)

Для Фк строится краевая задача, совпадающая по форме с задачей переноса для бесконечного однородного по высоте цилиндра. Однако в коэффициенте, отвечающем полному сечению взаимодействия излучения с веществом .появляется зависимость от угловой переменной и асимптотического параметра к. Эта однородная краевая задача мсжет иметь нетривиальные решения лишь при некоторых значениях параметра к (собственных значениях задачи). Установление характера этих решений является основной задачей главы I. Здесь исследования проводятся в Ьр=1-р(Охх5) - пространствах функций ФСгх,Й), суммируемых с р-й степенью модуля на 0^x5, и в —

пространстве измеримых почти везде ограниченных функций.

Далее, краевой задаче для Ф ставится в соответствие

о

характеристическое уравнение (х.у.) в пространстве Н , которое

р

имеет вид:

где

/-2

(Йх-^Ф(1?х,Й)=(а/а£)Ф{|Гх+£Йх,Й)| ; \(к) -характеристическое

число; под Н° понимается следующее пространство функций:

Н° ={ф(?х.Й): ВкФ(^,Й)€Ьр(Охх5), Ф(?_,Й)| =0},

(й-п(г ))<0

г_ -точки входа в область

Характеристическое уравнение • при \(к)=1 эквивалентно характеристической краевой задаче для Фк.

В § 2 устанавливаются свойства основных операторов задачи. Основной результат этого параграфа - доказательство полной непрерывности операторов 1-к? 5 в Ьр, 1<р<ю, и (^Ц111Ку $)2

ю

в Ьр, 1-р-ю, при Кек €(-1,41) .

В §3 исследуется спектр х.у. при Л=1. В работе показано, что спектр х. у. при А=1 совпадает со спектром оператора

\У=(Е—1 Б)-1 ^~1 у. Поэтому в §3 подробно исследуются спектральные

сг.ойства оператора V/ в пространствах Ьр, Основной результат

§3 - доказательство основной спектральной теоремы:

Введем следующие обозначения:

в 1_р) -дискретный спектр оператора ^ в Ьр;

в Ьр) -дискретный спектр оператора V/ в конечной кратности;

Д^Ук' в Ьр) - дискретный спектр оператора № в Ьр бесконечной

кратности;

ДИв0У в Ьр) - предельные точки дискретного спектра; р(У/ в Ь ) -резольвентное множество оператора IV в Ь ;

л ^ л

С(\У в Ьр) - непрерывный спектр \У в Ьр;

в Ьр) - остаточный спектр оператора \У в Ьр.

Основная спектральная теорема:

1. Дискретный спектр оператора ^ и его части £ Д(\У в Ьр),

Д00(\У в Ьр), Д11ю(\У в Ьр) j не зависят от индекса р,

1—р—оо, пространства, в котором этот оператор определен. Дискретный спектр 0(Ш) может содержать лишь конечное или счетное множество точек {1^}. Если уе!)(У/), то -V и V также являются точками дискретного спектра.

2. рС& в Ьр) не зависит от индекса р.

3. Множество Д(й) не более чем счетно и

р(&)иД(&) = (N1 = | Ие у|>1}).

4. ф в Ьр,1£Р<и) и Д^Й) и Див(й) £ (М ={1>:|Ие р|£1}); C(W в Ьр, р*ю) не зависит от индекса р.

5. в Ьр,1£р<оо) = в.

6. Если остаточный спектр оператора Ш в существует, то Р в Ь ) с (М ={1>:|Яе и|*1}).

Обозначая 1/и через к , схематично представим расположение частей спектра оператора и'.

ТщК

Л

А

8

(Ь

Не К

В области (Рек]<1 конечной кратности х.у. бесконечной кратности , полуплоскостях [ Иек | ==1 . представляет в первую исследований, поскольку

может находиться лишь точечный спектр предельные точки которого и точки если они существуют , лежат в Отметим что именно область | Нек|<1 очередь интерес для асимптотических слагаемые, убывающие как ехр(—2/у),

0<у£1, (нерассеянное излучение), при г»1 обязательно

присутствуют в решении, определяя его неасимптотическую часть .

В §4 показывается, что в широком круге задач дискретный спектр V/ не пуст. Для этого сначала доказывается, что при ке(-1,+1) х.у. имеет простое положительное х.ч. А1(к), которое меньше модулей всех других х.ч., ему и только ему отвечает положительная собственная функция Фк , и на основе теории вполне непрерывных операторов устанавливаются свойства функции А1(к) в зависимости от асимптотического параметра ке(-1,+1):

1).функция Aj(k) непрерывна и монотонно убывает с ростом к на [0,1);

2). Л1<к)=Х1(-к). ¡Ч^хГ^ al;

3). пусть D = diam Gx»l и ¿=0(D), где l - максимальный

радиус вписанной в Gx окружности. Тогда lim A.(k) < 1,

k-»i

по крайней мере для задач с изотропным рассеянием.

Из анализа этих свойств делается вывод о том, что, по крайней

мере, для задач с изотропным рассеянней (g(z)=l) при достаточно

больших радиусе вписанной в Gx окружности и диаметре поперечного

сечения заданной цилиндрической области, х.у. при Л=1 имеет

единственное положительное решение ко€(0,1), ФкоСгх,Й)>0

В §4 также доказано, что при изотропном рассеянии и А(к)=1 уравнение (6) неразрешимо в полосе -kQSRek^ko с исключенными точками ±к .

о

В §5 с помощью преобразования Лапласа показано, что единственное положительное решение х.у. при д=1 - -определяет

главный член асимптотического распределения излучения вдали от торцов z=0, z=H в цилиндрической области G , причем

Ф(?,Й)=С-е k°Z-<t>ko(?x.Ö)+0[e KZ]+0[e ^"j. <>kQ, 0«z«H, (7)

а константа С определяется распределением и мощностью источников.

Таким образом, в задаче о протяженной по высоте цилиндрической области, определяя первое х. ч. А^к) соответствующего

характеристического уравнения при различных к€[0,1], можно подобрать значение kQ, удовлетворяющее уравнению: AJ(ko)=l и найти распределение Фко>0, определяющее асимптотический режим.

В главе ¡1 находится асимптотика решения уравнения переноса излучения в протяженных и однородных по радиусу дисках с цилиндрически-симметричными источниками, сосредоточенными в окрестности оси симметрии.

В §1 строится характеристическая краевая задача (х.з.) при <г (?)=<г (г). Трудности в построении х.з. связаны с. тем обстоятельством, что решение однородного уравнения (1)-(2) Ф(г,р, Й) (Р=|?х1) при р»1 не удается найти методом разделения переменных в виде (р(р)-Ф(г,Й), подобном (5) для протяженных по г цилиндрических областей. Поэтому путь получения х.з. достаточно сложен. Коротко опишем его.

В области, свободной от источников, будем искать ненулевые решении однородного уравнения переноса излучения

^-^=0, (8)

при

(9)

F(z,p;r,í>)| =0, F(z,p;3f,(p)| =0,

•z=0,У>0 'z^.yíO

где

¿F=y aF(á,p;y,p) + - -^-15-}. + F,

0 s р з со, <р = arccos(nj_-íj_/p).

Представляя функцию F(z,р,7,<р) суммой

F(z,p;y,p) = F°(z,p;r) + 2- £ F^z,p;r)-cos bp,

¿=1

d которой вследствие условия цилиндрической симметрии нет членов, содержащих sin bp, индикатрису g(%) - разложением по полиномам Лежандра Р"

g(X) = Р°(Г.Г') + 2 Е Pra(r,r')-cos(m((f>-<p')),

m=l

ГД6 со +1

Pn(y.r')=JnC»P^(r)P"(r'); ■[££}[. gj=(2i+l)/2• Jg(x)P1(x)dz,

F^ - в виде произведения

FW.r) = bfyp)-rW.k).

где

b*(kp) = K¿(kp), Ы 0,1,2,... (10)

или

b\кр) = (-l)fykp) = I¿-kp), «=0,1.2....; (11)

K¿(kp), I¿kp) - модифицированные функции Бесселя 3-го и 1-го рода соответственно £ функции (10) следует использовать в случае Rek>0 для пост€ёния решений, убывающих при р-кя, а функции (И) -в случае

Яек < 0 для построения решений, регулярных при р=0^, получим краевую задачу для новой функции

Фк(г;У.«>)=г0(2.У;к)+2- 2 т\г,г,к)-со5 Ьр:

К к

1-к*у4-у2, со эр

ЭФ^А),

(12)

Ф1г(г;Г,«')1 =0, Фк(г;г,<р)| =0,

г=0,3->0 7=Н,У<0

ГДЕ - » 8\

*кФк=---+V

1-к-/1-эг-с05(р

Полученная краевая задача похожа на задачу переноса излучения в плоской геометрии, однако, в коэффициенте, отвечающем полному сечению взаимодействия излучения с веществом, появляется зависимость от угловых переменных и асимптотического параметра к. Эта задача может иметь нетривиальные решения лишь при некоторых значениях параметра к.

Если убывающее решение задачи (8)-(9) искать в виде разложения

по функциям (10), то принимая во внимание, что функции (10) при

Иек>0, любых I и р-хо имеют одинаковую ( с точностью до числового множителя ) асимптотику ~ ехр(-к'р)/^р, следует ожидать, что

Цг,р;г,<Р) ~ ехр(-к-р)/^р -Ф^г;?,?)), к>0, при р-но,

т.е. краевая задача (12) для функции Фк(г;у,(р) играет роль характеристической краевой задачи в рассматриваемом случае.

В §2 устанавливаются свойства основных операторов этой задачи, исследуется ее спектр, анализируются свойства первого х.ч. в зависимости от асимптотического параметра к Здесь полное

исследование удается провести только для задач, индикатрисы которых имеют неотрицательные коэффициенты разложения по полиномам Лежандра и, в частности, для задач с изотропным рассеянием. Анализ свойств ^г(к) приводит к заключению о разрешимости х.з. , по крайней мере, для перечисленных выше задач при достаточно большой высоте диска. Материалы §2 главы II аналогичны материалам §§2-4

главы I и поэтому часто приводятся лишь формулировки утверждений

без доказательств. . Поскольку сами характеристические задачи глав

I и II различаются между собой только геометриями, но близки по

форме, математические исследования, приведенные в §2 гл.11,

отличаются от подобных исследований, приведенных в §§2-4 гл.1, в основном лишь арифметическими вычислениями.

В §3 по аналогии с одномерными цилиндрическими задачами предполагается, что система функций

'К0(кр)т0(2,г;к)+2^ К^кр) • г^г.з^к) •соз(пцр), Иек>0

F(z,p;y,<p,k)=

1

I.(-kp) • r°(z, г; -к)+2У I(-kp)(-l )nrn(z, Г, -к) • cos( Ш(р), ü »=1 " Rek<0

где

27Г

r°(z,r;k) = -J <t>k(z;r,¥>)-cos(m(p) d^; о

полна в пространстве решений задачи (8)-(9).

Это позволяет, найти асимптотический режим для убывающего решения в задаче о переносе излучения в диске конечного радиуса R ( R*1 ) вдали от оси симметрии и боковой поверхности (§3). Асимптотический режим в этой задаче определяется единственным положительным решением {k 'Фк } соответствующей

характеристической краевой задачи (12), причем

-к -р -к -р -к •R

Ф(х,р;Й)= C--S—^—-Фк0(г.Й) ь + Ор-^-]. 0«P<<R.

Vp р/ р /R

где константа С определяется распределением и мощностью источников.

Отметим, что в главе II получен более слабый результат, чем в главе 1, т.к. дополнительный член 0(ехР(~ Kz))> где ok в (7) по сравнению с основным членом exp(-koz) убывает с ростом z быстрее, чем дополнительный член 0(e,iP(-kop)/pvp) в (13) п0

сравнению с основным ехр(-к р)/у/р с ростом р.

Оценка качества различных программ решения уравнения переноса обычно производится на задачах, для которых известно "точное" решение. Даже в идеальных случаях, когда уравнение переноса

допускает аналитическое решение , последнее, как правило, имеет весьма сложный вид, затрудняющий его использование в качестве "точного" решения. Поэтому важной самостоятельной задачей теории переноса является построение численных решений уравнения переноса, которые могут рассматриваться в качестве "точных" решений -создание "benchmark" решений. Один из подходов к этой проблеме для задач с неодномерными геометриями предложен в главе III диссертации.

На основе асимптотической теории, рассмотренной в главах I, II, разработаны алгоритмы определения асимптотических параметров и функций в протяженных цилиндрических областях с неодномерной геометрией. Они реализованы для задач с изотропным рассеянием в программах ASYMPZ, ASYMPXYZ, ASYMPR, с помощью которых можно найти асимптотический режим в задачах о переносе излучения в протяженных двумерных цилиндрах и трехмерных параллелепипедах.

В §1 описывается численный алгоритм, используемый в этих программах для решения характеристических задач для протяженных по высоте цилиндров и параллелепипедов и для дисков больших радиусов. Программы ASYMPZ, ASYMPXYZ, ASYMPR методом последовательных приближений определяют первое характеристическое число Лг(ко) и отвечающую ему собственную функцию Ф1 ко для соответствующих характеристических уравнений. Значение ко методом секущих подбирается из условия: At(k )=1. Последовательные приближения строятся по модифицированным формулам Келлога, а обращение оператора £k производится по AWDD - адаптивной схеме Карлсона--Волощенко .

В §2 приведены численные результаты, полученные по программам ASYMPZ, ASYMPXYZ, ASYMPR на достаточно мелких сетках, которые можно рассматривать как тестовые для двумерных и трехмерных задач глубокого проникновения с изотропным рассеянием. В этом параграфе проводится качественная оценка полученных асимптотических режимов и сравнение их с теоретическими результатами, а также приведено краткое обоснование оценок точности полученных тестовых результатов.

Для оценки области применимости асимптотических построений в работе приведены расчеты двумерных задач по программе РАДУГА. В §3 сравниваются между собой результаты, полученные по программам

РАДУГА и АБУМРг, АБУМРЯ на достаточно мелких сетках. Здесь показано, как, исходя из этих сравнений, можно получить нормировочные коэффициенты асимптотических режимов (константы С в формулах (7), (13)), определяемые распределением и мощностью источников в каждой конкретной задаче. Это позволяет получить

уникальные тестовые результаты для радиационных полей в задачах о глубоко проникающем излучении.

Далее, используя найденный с помощью программы АБУМРг асимптотический режим и вычисленную константу С , в §3 проводится оценка результатов, полученных по программе РАДУГА на достаточно грубой сетке для одной из задач глубокого проникновения.

В Приложении содержится подробное обоснование оценок точности тестовых результатов, полученных с помощью программ АБУМРг, АБУМРХУг, АБУМРй

Отметим, что в отличие от классических программ, которые используются при численном решении уравнения переноса для определения интенсивности излучения , программы АЭЧМРХ ,

АБУМРХУ2 и АБУМРИ, созданные для нахождения глубинного режима, непосредственно находят не глубинный режим, а положительное решение -{ко, Фко Ь соответствующего характеристического уравнения ¿кФк=5Фк, т.е. асимптотический параметр и функцию. ^о'^ко^

связаны с глубинным режимом Фад(?,Й) следующим образом: -к • г .

Ф (7,Й)=е ° -Ф. (7Х,Й) - для протяженных по г цилиндров ая и параллелепипедов,

-к -р

о

(?,Й)= -- "Фк (г,Й) - для дисков большого радиуса.

Поэтому главный член относительной ошибки - 5аз для вычисленных значений ФадС?,Й) имеет вид:

Заз ~ ехР(Лко'2) или 3« ~ ехР(\0-Р) '

где Д]со -абсолютная ошибка вычисления коэффициента ко, т.е. с ростом г (или р - соответственно) относительная ошибка

возрастает экспоненциально Таким образом при оценке точности численных результатов, полученных по программам А5УМР2, ASYMPXYZ, АБУМРЯ, главное внимание надо уделять оценке точности вычисления коэфициентов к . Допустимая ошибка вычисления к для каждой

конкретной задачи, (а .следовательно, и выбор параметров программ

АБУМР2, АБУМРХУг, АБУМРИ) существенно зависит от размеров по

г (или по р - соответственно ) рассматриваемой расчетной области.

Для большого количества расчетов в Приложении анализируются

величины ЧЗЦко - число значащих цифр в ко , не меняющихся при

улучшении программных параметров ( ЧЗЦ. являются универсальными

-чзц

характеристиками точности произведенных расчетов, 5ко<10 ),

и устанавливаются закономерности взаимосвязи величин ЧЗЦко с заданными программными параметрами.

В Заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Аппробация работы и публикации.

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Четвертой всесоюзной научной . конференции по защите от ионизирующих излучений ядерно-технических установок (Томск, 1985 г.), на Четвертом семинаре "Численные методы решения уравнения переноса" (Тарту, 1990 г.), на семинарах ИПМ им. М.В.Келдыша, МГУ им. М.В.Ломоносова, ИММ РАН, МИФИ, в частных беседах с российскими и зарубежными учеными.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гермогенова Т.А., Чеботарева Е.Б. Решение уравнения переноса для протяженных цилиндрических областей //Вопр. атомнбй науки и техн. Сер. физ. и техн. ядерных реакторов. 1986. Вып. 4. С.14-17.

2. Гермогенова Т. А., Павельева Е.Б. Характеристическое уравнение в задачах о переносе излучения в протяженных цилиндрических областях //Ж. выч. матем. физики. 1989. Т. 29. N8. С. 1195-1211. Англ. перевод: Уо1.29. N4. Р. 158-169.

3. Гермогенова Т.А., Коновалов Н.В., Павельева Е.Б. Заключительный отчет по теме "Езель". М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 1989.

4. Гермогенова Т. А., Павельева Е.Б. Асимптотика решения уравнения переноса в цилиндрических областях большого

размера вдали от источников. Тезисы докладов семинара "Численные методы решения уравнения переноса". Тарту: Университет, 1990. С.49-52.

5. Павельева Е.Б. Асимптотика решения уравнения переноса излучения в диске большого радиуса с источником в окрестности сси симметрии. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В.Келдыша. М. 1990. N 97. 27 С.

.7/,,/у