Асимптотический метод построения и решения укороченных уравнений и краевых задач в теории тонких оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

АКАДЕМИИ

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ПРЕЗИДИУМ

57^

>/Г

На правах рукописй

КВАСНИКОВ

Борис Николаевич

УДК 339.3 : Г,34.1

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ И РЕШЕНИЯ УКОРОЧЕННЫХ УРАВНЕНИЙ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

(01.02.04 — механика деформируемого твердого тела)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИВИРСК

1980

Работа выполнена в Ленинградском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете и в Ленинградском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции институте инженеров железнодорожного транспорта имени академика В. Н. Образцова.

Научный консультант — доктор физико-математических наук, профессор Петр Евгеньевич ТОВСТИК

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Яков Федорович КАЮК, доктор физико-математических наук, профессор Владимир Михайлович КОРНЕВ, доктор технических наук, профессор Владимир Петрович ИЛЬИН

Ведущая организация — Институт проблем механики Академии наук СССР.

Защита состоится « . . . »....... 1990 г.

в ..... час. на заседании специализированного совета

Д 003.33.01 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Президиуме СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 15, Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР.

Автореферат разослан «. . .».....1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета

В. И. САМСОНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальность проблемы. Современное развитие различных отраслей народного хозяйства связано о широким применением тонкостенных приборов и конструкций.Поэтому совершенствование теории расчета тонких оболочек имеет первостепенное значение.Задачи теории тонких оболочек описываются сложными системами дифференциальных уравнений, непосредственное решение которых без предварительного упрощения,как правило,не представляется возможным. По этой причине построение приближенных методов расчета - укороченных уравнений, дающих достоверные результаты, является центральной проблемой в теории тонких оболочек.

Цель работы. Поиск путей решения вышеназванной проблемы на основе более глубокой разработки существующих подходов.

Научная новизна. Создан метод аппроксимации и интегрирования уравнений тонких оболочек при положительных и отрицательных показателях изменяемости напряженного состояния ' (оущеотвуюзие методы в случае переменных коэффициентов справедливы только при положительных показателях) б быстро и медленноменяю-щимися коэффициентами для регулярно и сингулярно возмущенных краевых задач,включающий возможность расщепления граничных условий. Впервые проинтегрированы уравнения с отрицательными показателями изменяемости.Анатитически решены неклассические краевые задачи и, в частности,удалось исследовать деформированное состояние в открытой оболочке и в оболочке быстроменяющейся геомет^ди.

Результаты, выносимые на защиту.

На защиту выносится асимптотический метод построения и решения укороченных уравнений и краевых задач в теории тонких оболочек

и его приложение к конкретным задачам,что дало возможность:

- разработать общий метод упрощения системы уравнений статики тонких оболочек,который позволяет,не решая уравнений,получить все возможные аппроксимации и указать их погрешность,

- обосновать математический аппарат в форме специального асимптотически-порядкового анализа,включающего в себя аналитический метод определения порядков функций,для качественного анализа дифференциальных уравнений с частными прслзводными в достаточно широком классе функций.

- распространить сферу применимости асимптотического метода А.Л. Гольденвейзера на область отрицательных показателей изменяемости напряженного состояния для уравнений с переменными коэффициентами,

- предложить метод асимптотического интегрирования,который дает возможность выражать решение в явной форме от произвольных функций интегрирования и удовлетворять полным граничным условиям регулярно и сингулярно возмущенных краевых задач,

- разработать параметрический подход к оценке порядка коэффициента и на его основе создать единый подход к интегрированию уравнений

оо "спокойной",быстро и медленноменяющейся геометрией,

- корректно поставить и решить серию полных краевых задач.

Практическая ценность. Новый метод

- легко подтверждает известные результаты,

- позволяет дать качественную оценку многочисленных существующих упрощенных теорий (способов расчета),правомерность и область применимости которых часто не установлены,

- необходим для обоснования новых аппроксимаций,

- дает возможность аналитически исследовать основное напряженное состояние,представляющее наибольший интерес с инженерной точки зрения, и решать краевые задачи, которые не поддаются ре-

2

шеншо другими методами.

Апробация работы. Результаты работы по мере их получения и в целом докладавалиоь и обсуждались в Ленинградском институте инженеров жел.-дор.транспорта (1969,1972,1973,1975,1978,1966, 1989),в Институте проблем механики АН СССР (1974,1988),в Ленинградском госунивероитете (1979,1984,1985,1988),в Петрозаводском госунивер-оитете (1988),в Ленинградском кораблестроительном институте (1988), в Ленинградском политехническом институте (1988),в Институте гидродинамики Сибирского отделения АН СССР (Новосибирск,1989),в Ростовском госунивероитете (1989),в Институте механики АН УССР (Киев,1989) и на И-ой Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Волгоград,1989).

Публикации . Ооновное содержание диссертации изложено в отатьязс [ 1-17] общим об"емом 14,2 печ.л.

Структура диссертации : введение, четыре раздела,заключение,список использованних источников (179 названий) и приложения. Ее об"ем 352 с.»приложения 52 с..в тексте 37 рисунков и 40 таблиц. Во введении даетоя краткий обзор литературы и приводятся ооновные результаты,полученные другими авторами, по теме исследования.В разделе I излагается аксиоматика асимптотически-порядкового анализа,предназначенного для аналитического обоснования главной части неупрощекншс уравнений и постановки полной краевой задачи. В разделе 2 исследуются уравнения круговой цилиндрической оболочки, предлагается метод решения уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами и решаются полные краевые задачи, в которых реализуется обобщенный краевой эффект. В разделе 3 обсуждаются уравнения цилиндрической оболочки произвольного профиля, разрабатывается метод решения уравнений с частными производными при переменных коэффициентах, строятся

8

асимптотические интегралы при отрицательны* показателях изменяемое! и напряженного состояния, решаютоя.пемшнв краевые задачи для оболочки эллиптического профиля со "спокойной" и быстроменяющейся геометрией.В разделе 4 анализируются уравнения тороидальной оболочки, доказываются теоремы о разделении переменных и понижении порядка дифференциальных уравнений,решается с привлечением ЭВМ задача Кармана об изгибе кривой трубы.В заключение сформулированы основные выводы исследования. Приложения делятся на .две части: первая дополняет и раз"ясняет основной текст,а вторая демонстрирует возможности нового метода в более широком,чем в основном тексте, классе задач,включая общий случай оболочки произвольной формы, теорию упругости,динамику оболочек,нелинейную задачу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основным результатом диссертации является разработанный в ней метод аппроксимации и решения уравнений тонких оболочек; при изложении содержания главное внимание уделяется самому метопу.

Введение . Проблема построения приближенных методов рас' чета привлекала внимание ученых с момента зарождения теории тонких оболочек,и она находит отражение почти в каждом исследовании,связанном с этой теорией. Эффективность применения асимптотических методов обусловлена малостью толщины оболочки. В ретроспективном плане применение этих методов связано с именами А.Лява.С.М.Файнберга, Э.Рейсснера,X.М.Муштари,А.Л.Гольденвейзера,В.Койтера,В.В.Новожилова, А.Грина, К.Ф.Черныха, Ф.Дкона, П.Е.Товстика, Г.Руттена и др.

Решение краевой задачи при наличии в уравнениях малого параметра целесообразно разбить на три этапа:

I) выделение напрягеиных состояний с различными асимптотическими свойствами в зависимости от изменяемости и порядкоь функций, 4

2) упрощение задачи расчленением полного напряженного состояния на более простые характерные, т.е. использование заложенного в работах А.Лява постулата (назовем его принципом расчленения), согласно которому

/гт[гО)+г№ . (I)

где Г , Г^ , Г® - функции, описывающие соответственно полную, главную и дополнительную краевые задачи,

3) решение упрощенной задачи о наложением друг на друга характерных состояний и удовлетворение полным граничным усилиям.

Первостепенно важное значение в теории оболочек имеют показатели изменяемости напряженного ооотояния, введенные А.Л.Гольденвейзером. Следуя ему, любую из неизвестных функций ¡¡Р напряженного состояния оболочки зададим в форме

(2)

где К„ - большой параметр, значение которого может быть сколь угодно большим в зависимости от значалия параметра тонкостеннос-ти ( Л* - относительная полутолщина оболочки) и

фиксированного положительного значения показателя t изменяемости напряженного состояния произвольного направления, характеризующего изменение порядка функций при дифференцировании в этом направлении; р - показатель интенсивности функции, определяющий ее асимптотический порядок по и принимающий свое значение для калщой из них; <р , у - функции интенсивности и изменяемости, зависящие от координат J , ^ ; ~ - символ точного порядка.

В 1953 г. А.Л.Гольденвейзер решил задачу построения возможных аппроксимаций уравнений с постоянными коэффициентами круговой цилиндрической оболочки (рис. I), а позднее К.Ф.Черных обосновал область перехода на плоскости показателей , изменяемости

напряженного состояния по рис. 2, где ПБТ - полубезмоментная те-

5

Круговая цилиндрическая оболочка

Рис.1

Область перехода по К.Ф.Чершху

ория, КЭ - краевой эффект, ОКЭ, ПКЭ - обобщенный и простой краевой эффекты, ТС - тонкостенные стержни, БЗ - быстрозатухающее напряженное состояние, подчиняющееся принципу Сен-Венана.

Метод А.Л.Гольденвейзера дает возможность находить непротиворечивые значения р , с подбором при положительных показателях изменяемости напряженного состояния, а при

(3)

описание решения на основе формы (2) некорректно, ибо параметр % перестает быть большим. Область отрицательных показателе^ изменяемости имеет большое практическое значение, так как описывает основное напряженное состояние, и в инженерном деле больше всего интересуются именно этим состоянием. Возникает настоятельная потребность в расширении сферы применимости асимптотических методов на область (3) для уравнений о переменными коэффициентами.

Предлагаемый метод состоит из двух частей, органически связанных меаду собой. Первая часть (раздел I) составляет содержание асимптотически - порядкового анализа, который служит для качественного анализа (без непосредственного интегрирования) дифференциальных уравнений в частных производных оболочки произвольной формы и расчленения сложного напряженного состояния на более простые, а вторая часть (разделы 2,3) - для решения проблемы разрешимости уравнений цилиндричеокой и тороидальной оболочек. Вопросы сходимоо-ти асимптотических процессов рассматриваются на формальном уровне. Метод позволяет строить аппроксимации и решение с неустранимой погрешностью гипотез Лява-Кирхгофа. Он пригоден для оболочек, геометрические параметры которых непрерывны и достаточно плавно изменяются в пределах оболочки или ее части. Требование непрерывности и достаточной плавности накладывается также на граничные условия (рассматривается прямоуголвдая область в криволинейных координатах) и внешнюю нагрузку. Разрывные коэффициенты, точки перегиба, вырезы,

изломы,отверстия,косые срезы,сосредоточенные силы,начальные несовершенства, линии искажения,полюсные линии,точки поворота и другие особенности геометрического или аналитического характера отсутствуют,а при их наличии,то-есть,во всех особых случаях метод описывает напряженное состояние в области,находящейся на некотором удалении от этих особенностей.Короче: метод справедлив во воех случаях (назовем его общим),кроме особых.В особых случаях необходимо выполнение специального исследования, доп: шлите го общий случай.Так , решение в окрестности особых точек обычно строится с помощью асимптотических методов, типа метода Г.Вентцеля-Х.Крамерса-Л.Бриллюэна (метод ВКБ).

Раздел I . Постановка задачи;как,не решая уравнений, упростить их,не исказив существа дела.

Основные соотношения теории оболочек нормируются к безразмерным функциям так,чтобы все числовые коэффициенты и физические константы имели О (I) и при определении порядков не участвовали:

h- hm/Rcj)> Cf ]/12(1-Г), E/Q-2 М);

Trr;iEh,,(T,SM MrM;/ER2c,, (M,H)-,

xrRz\, (*ЛЛ), uru;/R, (имA,?),

Ri-Ri/R, Ki=i/Ri.6i'6UE, Hz, ti-ti/Есг,. i'lzn , lda)

гдe h - параметр тонкостенности; hm~const ~ средняя толщина оболочки переменной толщины /¡V Consi ; R - характерный линейный размер (R»hm/fy)i l) ~ коэффициент Пуассона; E,G ~ модули упругости. растяжения-сжатия и сдвига; TLlSb Mi,HhXi,TilXi, И llJ A I JP 6 О - усилия,моменты,параметры деформации,перемещения

"it I r[i> i> lL'"l> 71

вдоль криволинейных координат Jt JJ и по норда ли J к срединной поверхности, параметры Ламе,размеры оболочки вдоль J,^ .главные радиусы кривизны, напряжения и интенсивности внешней поверхностной нагрузки вдоль j , q , % ; индексом 8

" обозначены общепринятые размерные величины; сокращенная запись

(Щ^Т^/ЕКс,, (36)

Большой параметр

-Л"/ . (4)

а любую из величин в основных соотношениях обозначим так:

где Т(0 . , Н^) , - краевые силы и моменты.

Функции Г , В < £} описывают соответственно напряженное состояние оболочки, ее геометрию и внешнее воздействие. Каждую из. них подчиним порядковым зависимостям (гипотезам)

В-А

( >ч-з/д}, ( к*/*?. (5а)

где р - показатель интенсивности функции, t1 , tг - показате-. ли изменяемости напряженного состояния по осил координат ^ ^ (¿¿~0, ЬлО , ¿¡<0 - нулевая, быстрая и медленная изменяемость); 1 - параметр, характеривующий порядок коэффициента по

1>0-ьВ»1 - большой коэффициент, 1<0-<*В« / -малый коэффициент); ^ , })2 - показатели изменяемости геометрических параметров ( 1^ = 0 - "спокойная" геометрия, ^ > 0, ^ О быстро и медленно-меняющиеся коэффициенты); V - параметр, характеризующий Порядок внешней силы, момента или поверхностной нагруз-ш1> » ~ показатели изменяемости внешнего воздействия.

Зависимость (5) представляет собой гипотезу (основную) о су-

9

шествования решения исходных уравнений в классе функций, меняющих свой порядок в раз при дифференцировании по } , ^ соответственно. В (5а) две гипотезы: первая - о коэффициентах и вторая - о внешнем воздействии. Функции В , задаются в классе функций основной гипотезы. Вводится заложенный в методе М.И.Вишика-Л.А.Люстерника постулат (назовем его принципом согласованности) , согласно которому

и коэффициенты В не могут меняться быстрее функций Г . Анало-

»

гичное неравенство вводится для функций 0. Формализуем запись, обозначив

' . (6а)

а показатель р каждой из функций Г обозначим Х^ , /=3,4,..., расположив Г в определенной последовательности

X Т ... Т 5" и и а) . (I £ 3:24).

Тогда основная гипотеза примет вид

Р-р, Т,гр*х„ Р.Л-р+Хг, р-{ХЛ.....Хжн\ . (7)

где р - символ переменных и введено обозначение

. Г~уу/>о=> Г-р.

Рассмотрим однородную неупрощенную систему уравнений первого порядка для некоторого класса оболочек и разобьем ее на существенную и побочную подсистемы. Систему порядков

{ I = 3,4,...]

назовем асимптотически допустимой, если при подстановке соответствующих порядков вместо функций и их производных в каждом отдельно взятом уравнении существенной подсистемы окажется не менее двух членов (ведущих), имеющих одинаковые и наибольшие среди всех слагаемых порядки относительно у/ , т.е. р1-рк-гпах\р5}, ик^О-.п, р-тах{р5} , Ш где р1 , рк - показатели интенсивности двух члзнов одинаково-10

го максимального порядка, п - число членов данного уравнения, р - показатель интенсивности ведущего члена.

Постулат (7а) (назовем его принципом парной эквивалентности) заложен в методе многоугольника И.Ньютона.

Рассмотрим некоторую подсистему исходной однородной системы дифференциальных уравнений. В каждом уравнении этой подсистемы два члена объявим ведущими. Запишем равенство порядков двух ведущих членов на основе принципа парной эквивалентности. Равенства порядков двух ведущих членов дают порядковые уравнения. силу (7) эти уравнения связывают между собой X I =1,2,... и являются неоднородными алгебраическими уравнениями первой степени. В результате получим систему порядковых уравнений для анализируемой подсистемы дифференциальных уравнений. Эта подсистема является существенной, если найдется такой вариант (один или несколько) выбора ведущих членов, что соответствующая и связанная с этой подсистемой система порядковых уравнений

О , (76)

где X - вектор неизвестных Х1 , ¿ =1,2,... для функций Г ,

& - прямоугольная матрица коэффициентов при Х1 , д - матрица-столбец свободных членов,обладает следующими двумя свойствами:

1) она совместна,

2) после исключения из нее всех Х- , I =3,4,... для функций Г из (4а) получается уравнение (одно или несколько)

+ агхг + а3- о , а1 - числа (8)

прямой на плоскости Х), Хг ; это уравнение является гипотезой об изменяемости напряженного состояния.

Совместность порядковых уравнений позволяет аналитически найти порядки всех функций (существенной и побочной подсистем) и их изменяемость, определяемые для конкретной оболочки порядковым вектором

х- (р.х,.х,). р-р(*,) м» р-р(*.) ■ (9)

Характерная длина ^ , ^ рисунка деформации вдоль ^ , ^ связана с параметрами 11 , порядковыми соотношениями

С учетом принятого в (7) обозначения неравенства

являются необходимыми условиями существования основного напряженного состояния (НУ) с геометрической точки зрения: если эти неравенства выполнены, то рассматриваемое напряженное состояние может быть реализовано в пределах конкретной оболочки, в противном случае это невозможно.

При известном X по (9) все члены каждого уравнения можно разделить на ведущие и неведущие. Выбрасывая из каждого уравнения исходной системы некоторые (или все) неведущие члены (второстепенные), получаем систему уравнений, которую при выполнении условий (10) будем называть асимптотически непротиворечивой аппроксимацией исходной системы. В такой аппроксимации возможно наличие одночленных уравнений (дифференциальных и алгебраических), в которых ведущий член один и принцип парной эквивалентности не выполняется; в одночленном алгебраическом уравнении все отбрасываемые . члены должны быть чистыми нулями. В конкретной асимптотически непротиворечивой аппроксимации все оставшиеся члены назовем главными (они формируют главную часть уравнений, состоящую из ведущих членов и тех неведущих, которые оказались неотброшенными).

Погрешность X каждого уравнения измеряется разностью показателей р , ру интенсивности ведущих членов этого уравнения и наибольшего из второстепенных

i ~Л* ы-р-р* а>о. (юа)

Здесь р , ру - суммарные показатели интенсивности, учитывающие

влияние порядков коэффициентов. Погрешность /у системы уравне-12

ний равна наибольшей из погрешностей отдельных уравнений

прир-р(^) или ыгы1{хе) при р-р(хг). (Юб) Параметр «у полностью определяет погрешность системы уравнений в области допустишх значений . Х1 , Хг

Введем параметр Ы « , который содержит все без ис-

ключения элементы сI^ множества при построении укороченных

уравнений с точностью до ведуидах членов и, следовательно, характеризует все неведущие члоны. С учетом (10) соотношения

а,*/ а,хА* а-о, Х-(р,х,,хг), ы- НУ(ю) (и)

характеризуют аскютто'тическио свойства однородных дифференциальных уравнений первого порядка в классе функций основной гипотезы и содержат информацию о возможностях конструирования асимптотически непротиворечивых аппрокоимаций.

Подсистему существенной подсистемы назовем ядром существенной подсистемы, если соответствующая ей система порядковых уравнений единственным образом определяет лрямую (8) и один (или несколько) вектор (9), т.е. если

вх-^ал+а^ + а^о, Х~(р,хи1г). (12)

Укороченные уравнения, асимптотические свойства которых характеризуются соотношениями

а,х1+агхг+аго, Х-(р,х„хг), , из)

назовем лучевой аппроксимацией (она отвечает одной прямой (8) и справедлива на отрезке луча, исключая узлы).

Укороченные уравнения, построенные с точностью до ведущих членов, назовем первой ступенью аппроксимации. Включая в нее наибольшие из второстепенных членов, получим укороченные уравнения, которые назовем второй, третьей и т.д. ступенями аппроксимации (чем выше ступень, тем она точнее и сложнее). Каждая ступень ад-

13

проксимации имеет свою (или несколько) точку наивысшей точности, которую назовем характерной точкой. Значения X, , Хг ,р в таких точках назовем параметрами асимптотического интегрирования. Поиск характерных точек является самым главным званом в процессе обоснования аппроксимаций. Для определения положения характерных точек выполняется два построения: первое на плоскости параметров Х< , хг для нахождения самых важных характерных точек - узлов и второе на плоскости параметров Л , хили л , хг для нахождения остальных характерных точек.

Существенная подсистема может иметь несколько ядер и определять несколько ( / £<:т ) лучей, выходящий из одного узла, так что

а^ + а^+а^-о, Хг(р,х,,х2), аС/ -числа.

Укороченные уравнения, справедливые на пучке прямых, асимптотические свойства которых определяются соотношениями

назовем узловыми аппроксимациями. Характерной точкой узловой аппроксимации является сам узел. В узле точность оказывается равной точности перехода трехмерных уравнений теории упругости в двухмерные уравнения теории тонких оболочек, и поэтому узловая аппроксимация рассматривается как последняя ступень аппроксимации исходной системы в процессе усложнения уравнений первой ступени аппроксимации.

Совокупность отрезков П. прямых, выходящих из всех узлов., на которых асимптотические свойства соответствующих дифференциальных уравнений определяются соотношениями ( / Г/-П )

+аг/х+а}Го,Хг(р,х,л), НУ(ю), (15)

назовем асимптотическим портретом; /7 = 5 на рис. 2. Асимптотический портрет представляет собой область асимптотической непротиворечивости однородной задачи и характеризует непрерывный спектр 14

напряженных состояний (быстро и медленно меняющихся). Он наглядно решает задачу расщепления дифференциальных уравнений и дает возможность более эффективно использовать принцип расчленения.

Построив для конкретной оболочки асимптотический портрет и выделив все существенные подсистемы, можно расширить их действие на класс оболочек, в котором 1 , в (5а) следует рассматривать как параметры. Это - параметрический подход к оценке порядка и изменяемости коэффициентов. Диапазон изменения параметров 4 . находится в процессе асимптотически - порядкового анализа. Часть плоскости х1 , ха , в каждой точке которой асимптотические свойства соответствующих дифференциальных уравнений описываются соотношениями ¿Vхг+азГо,Хг(рлл), <*'{*<}, <*¥-т(п{4},

назовем зоной асимптотической непротиворечивости. Эта зона заполнена бесконечным множеством асимптотических портретов, каждый из которых соответствует своему значению параметров 1,^1

В неоднородной задаче появляются грузовые члены ф. , ¿=1,2, П из (За), для которых в силу второй гипотезы из (5а)

Появление правой части ведет к изменению асимптотических свойств дифференциальных уравнений. Основой анализа неоднородных уравнений остается однородная задача. Показатели (А, , являются свободными параметрами, и их значения могут не совпадать с прямыми асимптотического портрета. Одним из элементов пары ведущих членов может быть Ц.. Введем ^ = таг ^ • Часть плоскости ф1 , .в каждой точке которой асимптотические свойства соответствующих неоднородных уравнений описываются соотношениями

назовем областью асимптотической непротиворечивости неоднородной задачи. Эта область служит для построения частного интеграла неоднородных дифференциальных уравнений. Диапазон изменения параметров , ip, , ip2 определяется из асимптотически - порядкового анализа. При yjt о значения ^ , принадлежат прямым асимптотического портрета. Прь

О (17а)

возникают качественно новые аппроксимации (в литературе они не описаны), которые назовем промежуточными.

Краевую задачу назовем регулярно (сингулярно) возмущенной, если ее решение можно (нельзя) подчинить четырем граничным условиям на каждом краю оболочки. Принцип расчленения (I) разграничивает регулярно и сингулярно возмущенные задачи, и его тлеет смысл применять только в случае сингулярного возмущения, которое чаще всего наблвдается в теории оболочек. При использовании этого принципа изменяемости гладкой (I) и быстрой (2) части решения -должны быть согласованы, что приводит к условию 2 const или х(;}- х(г]~ const

где xty, Х^ и X® , Х^ - показатели изменяемости напряженного состояния соответственно вдоль J. и ^

Постановка полной краевой задачи осуществляется в два этапа:

1) выполняется на уровне асимптотических интегралов и предполагает выявление их линейной зависимости отдельно для главной и дополнительной краевой задачи (ПСЗ и ДКЗ) и коррекцию краевых условий при обнаружении такой зависимости путем введения линейных комбинаций функций ГКЗ и ДКЗ,

2) выполняется на уровне порядков и предполагает отбрасывание второстепенных членов в откорректированных краевых условиях и 16

формирование полных краевых условий (главных и дополнительных).

Суммарная погрешность приближенной теории (ПТ) определяется погрешностью укороченных уравнений и укороченных краевых условий (КУ)

причем упрощение краевых условий осуществляется с той же точностью, с которой построены уравнения, т.е.

Ыу , (IV б)

и для достижения максимальной точности краевых условий строится итерационный процесс; задавать граничные условия точнее уравнений ( о^уД а у ) не имеет смысла.

Результирующая погрешность полной краевой задачи (КЗ)

с1ю-тт{ыт} , 1-4,1..........<18)

Раздел 2. Постановка задачи: установить асимптотические свойства однородных и неоднородных уравнений круговой цилиндрической оболочки, построить возможные аппроксимации, их решения и использовать принцип расчленения.

Для круговой цилиндрической оболочки, радиус поперечного сечения которой принят в качестве характерного линейного размера Я ( И на рис. I),

К*ш°> Кг0-* . И, <18а>

На основе метода раздела I для оболочки с К2- / получены следующие результаты: выделены ядра (12) существенных подсистем, описаны асимптотические свойства (II), определены параметры асимптотического интегрирования, обоснованы узловые г лучевые аппроксимации (13), (14) и дана характеристика их области асимптотической непротиворечивости с оценкой погрешности. На рис. 3, 4 показаны характерные точки и ступени аппроксимации, а на рис. 5, 6 построены область допустимых значений лучевых аппроксимаций и

Характерные точки (ХТ)

1/2 О У/, ,/2

Рис.3

Ступени аппроксимации (CA)

Область допустимых значений лучевых аппроксимаций

КН, &г0

X,

Рис. 5

Асимптотический портрет

КХЧ, КгО

-1 -2/з -у2 о У/2

ПБТ БМТ,ЧМС

асимптотический портрет (15); в дополнение к сокращениям, принятым на рис. 2, на рис. 3-6 обозначено: ШТ, ЧМС, УБМТ, УЧМС -безмоментная теория, чистомоментное состояние и их упрощения, ИП - изгиб пластинки, ОП - обобщенное плоское напряженное состояние. На рис. 6 четыре узла. На рис. 2 их только два, узлы же без-моментной теории и чистомоментного состояния на нем отсутствуют. В области Хг40 длина рисунка деформации (9а) вдоль ^ оказывается больше размеров поперечного сечения, имеющих порядок 0(1), и в силу (10) на рис. 6 нет луча -хж = -1/2<?=>- £ »Л/2, который есть на рис. 2.

Аппроксимации ШТ на рис. 4, 6 отвечают новому варианту без-моментной теории, в котором Тг мало, но не равно нулю, а головная система содержит 6 уравнений

Аппроксимации, являющиеся упрощениями безмоментной теории и чистомоментного состояния (УВ1Т1Л- , УЧМС7у на рис. 4, 5), в отечественной и зарубежной литературе вообще не описаны.

Область (17).асимптотической непротиворечивости неоднородных уравнений представлена на рис. 7. Обоснованные в олучае (17а) промежуточные аппроксимации (ПА) и их упрощения (УПА), отвечающие областям 1-1У на рис. 7, являются новыми, и соответствующие разрешающие уравнения имеют вид:

ПА1( а,„„-}!% ПАда> деиг/д^-^3С11 ПА*,

При К2= / в (18а) характерным линейным размером Я является радиус (рис. I), и поперечные размеры оболочки имеют порядок единицы (К2 => К^О ). В общем случав поперечные размеры произвольны по дорядку величины и выбор К неоднозначен.

21

Область асимптотической непротиворечивости неоднородных уравнений

Зона асимптотической непротиворечивости

Для круговой цилиндрической оболочки ( Кг-const ) при параметрическом подходе к оценке порядка и изменяемости коэффициента

где Л*д - свободный параметр, диапазон изменения которого подлежит определению. В зависимости от значения Кг характерным линейным размером является при Kg-0 (средняя кривизна) радиус

R* , при Кг<0 (малая кривизна, пологая оболочка) часть и при Kt > 0 (большая кривизна) многократно увеличенный R* .

В случае (20) иоходные уравнения оказываются с постоянными коэффициентами Kt и переменными параметрами Kt . Результатом иЬследования этих уравнений стало построение зоны (16) асимптотической непротиворечивости, изображенной на рис. 8. Из ее рассмотрения видно, что при варьировании параметра Kt наблюдается аффинное преобразование координат X, , -Г, (параллельный перенос с растяжением и сжатием асимптотических портретов). В бесконечном множестве узлов полубезмоментной теории и краевого эффекта параметр Ы^ из (106) принимает значение

Ыу

где учтено по (106). Отсюда

ff^-оа оо »

и вырождение уравнений круговой цилиндрической оболочки в уравнения пластины происходит без потери точности. Далее,

¿у - Ыу > 2 При < -1 .

и уравнения полубезмоментной теории и краевого эффекта имеют точность по порядку более высокую, чем 0 (h*) , а это выше оценок, установленных В.КоЙтером и А.Л.Гольденвейзером, так что, оставаясь в рамках теории тонких оболочек, можно, варьируя значение )Сг<0 , построить укороченные уравнения с любой сколь угодно большой точностью.

Характерная точка простого краевого эффекта имеет координаты

и общеизвестное значение Xi = 1/2 справедливо только при К, = О, когда размеры поперечного сечения имеют порядок единицы.

Построенные в этом разделе аппроксимации будут достоверными только при условии, если будет доказано существование решения укороченных уравнений в классе функций основной гипотезы (5).

Для линейных однородных двухмерных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами порядка единицы

( £ - 0.

i)4 = - ао , = - м ) введем задающую вид частного интеграла разрешающей функции экспоненциальную форму

PmjupA ехр (¡и*'aj. Ьц) , (22)

где ju , р по (4), (5), A ~ пРоизвольная Функция ин-

тегрирования, - показатели изменяемости по (5), (6а),

связанные мевду собой гипотезой

(8), a J - параметры характеристического уравнения

у„ (а, 6)=0, а, 6- const ~ JU° . (22а)

которое имеет постоянные коэффициенты, и его корни Ot) i'm находятся при фиксированном значении $ (b^fil) , а корни ,

7 б 1' К - при фиксированном значении Q (a-fil). Значения a=fix, 6= jil предопределяются характером заданной краевой нагрузки в конкретной краевой задаче, причем

a=fa^a- F/a.fix, S~ftz=*Fs- F/s.fu <23)

где интегралы Fa и учитывают влияние нагрузки, приложенной на краях Tj = COmt и J-Const соответственно.

Произвольную функцию AfpTj) в (22) наделим свойством

A~ju°t Arz~ju^A. (24)

Форма (22) будет принадлежать классу функций основной гипотезы (5), если изменяемость функции А п (24) меньте изменяемости F в (22), что выполняется при удовлетворении нерагенстг 24

Форма (22) определяет структуру главного члена асимптотического ряда

Г -у1у>к!л)е, е-щ^'ауУ^), (26)

где п - номер приближения, р> - число,определяющее шаг итерации формального решения.

Числа П , р будем назначать так,чтобы отрезок ряда

Г-у(№пр-^ (2ба)

удовлетворял погрешности уравнений по (106) и позволял строить старшие приближения с требуемой точностью (подчеркнутый вЬлнистой линией член отбрасывается).Таким образом,основой оценки погрешности решения принимается погрешность уравнений.

Наибольший интерес представляет интегрирование в характерных точках,в которых , л » 2,.., . При выполнении этого ус-

ловия под погрепностью решения будем понимать

ып'ЫУ' ' (27)

где <Лу по (106), и строить решение о

> с1ршЫу (27а>

и в этом смысле при с/ртЫ^ будем говорить,что погрешность решения равна погрешности уравнений.

В нулевом приближении главный член асимптотики

Г=у А('}е-уАе, е-ехр(У'а1+р1>5т1). (28)

Отсюда с учетом (24),(25)

/ Ш^-к/еЦ, /Шц-к/ейц

]Гй} а-<Ае, /Гаг] -^¿-<Ае , (28а)

что соответствует основной гипотезе (5); доказательство интегральных соотношений выполнено с привлечением интегрирования по частям.

При xt-o классу функций основной гипотезы принадлежит являющаяся главным членом асимптотики (26) полиномиально-экспоненциальная форма

F-j;pP(})eip (цЧц), хго, x^i/ч (29)

где Р(р - многочлен от ^ .коэффициенты которого являются произвольными функциями интегрирования.

При построении частного интеграла неоднородных уравнений примем ,

q-ji'Uexpfjuba.j+ju^q), СГ,а0,6* ~f , .(29а)

где ц ф Vi яолты быть заданы. Тем самым норми-

руем решение так, что max {tjf, (},,(}„) имеет порядок единицы.

При параметрическом подходе к оценке порядка коэффициента

F-jupA eip(fjx,aj + р1хЬф,

Р К h,t), h М, а (В), S (В). (296)

Здесь параметры р, X1t хг> а, 5 учитывают влияние коэффициента В в гипотезах (5а).

Рассмотрим два примера применения формы (22). Для разрешающего уравнения простого краевого эффекта

в характерной точке (1/2,0) частный интеграл по (28)

x-ju'he, г-ехр (juVlaj + -о, (зп

и тогда линейная комбинация

Агег, e-exp(ju\j+ 6-fix. (sia)

Для разрешающего уравнения обобщенного краевого эффекта

d'xi/dq'* ju'd^/df-o (32)

в характерной точке (0,1/4) согласно (28)

хх-н'ке, е-ехр (ju°aj + p^Sq) а4* ёа~о,

и семейства частных интегралов

'¿•ZbA. t€ B-fix,

ax- h2(t 11 L)/VJ, 5fVa(± )/2tVz± Ь/гЖ)/2, а с учетом обозначения в (23)

i av.

2 . 2 z t г it'

e?~eipiaj+ju'A5r!i), + (33)

Произвольные функции A,(yp находятся из граничных условий, и их изменяемость не может быть больше изменяемости краевой нагрузки,что с учетом гипотезы в (5а) приводит к соотношениям

Пусть оболочка замкнутая и краевая нагрузка приложена к торцам. Тогда At- А» определяется из граничных условий при J= Const ,и имеет место случай h** jil , Г= в (23). В открытой оболочке добавляется возможность приложения краевой нагрузки на прямолинейных кромках,произвольные функции At~ А" находятся из граничных условий при п = Const ,и имеет место случай О = jiX ,

Г.— а *

= г в (23). В результате

Г=Г+ Г5 и F=FS (33а)

соответственно для открытой и замкнутой оболочки.

Согласно (25), (28а) изменяемость произвольной функции меньше изменяемости функции F (J.,^) .и ПРИ дифференцировании (интегрировании) функции F функция А мотет рассматриваться как константа.Если,кроме того,

A - A, (34)

А=А (¡,4) , (34а)

27

то будем говорить,что в главном члене (22) асимптотического ряда (26) происходит разделение и квазиразделение переменных соответственно.

По общепринятой терминологии уравнения (30), (32) имеют порядки 4-ый и 8-ой соответственно.Суммарным порядком уравнения с частными производными назовем сумму порядков по соответствующим переменным. Для уравнений (30), (32) он равен 4 и 12 соответственно. Соответствующий интеграл (решение) назовем квазиполным. Квазиполные интегралы (81а), (33) этих уравнений имеют такое же число произволов А ^ . Форма (29) - квазиполный интеграл.

Конструкция частных интегралов (22), (296) идентична,и изложенное в отношении формы (22) справедливо для формы (296).

На основании обсуждаемого в (22)-(34а) метода построены асимптотические интегралы о ¿ц- ¿у по (27а) в каждой точке асимптотического портрета,зоны и области асимптотической непротиворечивости на рис. 6-8, причем для безмоментной теории, чистомоментного состояния и их упрощений на базе формы (29), а в остальных случаях с помощью формы (22). Результатом является доказательство существования решения уравнений круговой цилиндрической оболочки в классе функций основной гипотезы (5). Задание решения в формах (22), (29), (296) при соблюдении ограничения (25) приводит к разделению и квазиразделению переменных по (34), (34а) в главном члене асимптотического ряда (26), благодаря чему квазиполное решение явно зависит от произвольных функций,число которых равно суммарному порядку разрешающего уравнения или равносильной системы головных уравнений.

Раздел 2 завершается шестью примерами.В первых двух построен итерационный процесс согласно (176), а в остальных решаются 28

полные краевые задачи,в которых обеспечена асимптотическая сходимость процесса компенсации невязки в выполнении полных краевых условий. В примере 3 ставится задача реализации условий существования основного обобщенного напряженного сбстоя-ния метода В.В. Новожилова. В остальных примерах исследуется деформируемое состояние в свободных открытых оболочках; до настоящего времени такие оболочки не поддавались расчету аналитическими методами.

Раздел 3 . Постановка задачи: показать применимость асимптотически - порядкового анализа в области отрицательных показателей изменяемости и попытаться расширить сферу использования изложенного в разделе 2 метода интегрирования для качественно более сложного случая переменных коэффициентов.

Для цилиндрической оболочки произвольного профиля со "спокойной" геометрией,наименьший радиус кривизны которой имеет порядок единицы,

I[-о; киА,,Аик,ХХ,Кл п° (35)

и выполненный для случая па (18а) анализ однородных

и неоднородных уравнений остается полностью справедливым; асимптотический портрет и область асимптотической непротиворечивости неоднородных уравнений сохраняются по рис.6 и 7.

В общем случае при параметрическом подходе к оценке порядка и изменяемости коэффициента Кг (тр

Кг~р К2Л ~у % г) - кг - ^ О, (35а)

и уравнения оказываются с переменными коэффициентами Кг и переменными параметрами Кг . В теории дифференциальных уравнений такие уравнения гало изучены.Основой асимптотичоски-поряд-кового анализа уравнений являются асимптотические свойства ковф-

29

фициента В , характеризуемые точными оценками.

т)и\)г~ const <350)

в (5а), которые справедливы для всей оболочки в целом,являясь глобальными осредненными характеристиками этих свойств; конкретный вид переменного коэффициента Kt(q) в (35а) не принимается во внимание. По этой причине зона асимптотической непротиворечивости сохраняет вид по рис. 8, как и при К~COnst в (20).

В качестве примера для обобщенного краевого эффекта в зависимости от дискретных значений К, выпишем соотношения

АГ(1-К2)/г, о, (35в)

которые определяют координаты характерных точек, принадлежащих прямой ЗХ/~ 4XS +1=0 на рио.8, и погрешность уравнений в этих точках.Этот рисунок наглядно демонстрирует существование области отрицательных показателей изменяемости хг 0 для уравнений с /Сг- ,

Общий метод решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в математике отсутствует.Изложим.суть разработанного метода, который частично ( в классе функций основной гипотезы (5) ) восполняет этот пробел.Ограничимся рассмотрением системы линейных двухмерных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром и переменными коэффициентами В= K2(lj) .Начнем со'случая (85), когда коэффициенты В имеют порядок единицу и нулевую изменяемость:

B-B(f[ь/ Д-о, 4 ~В^В=о, <ss>

и введем принадлежащую классу функций основной гипотезы (5) экс-

поненциальную форму частного интеграла разрешающей, функции

Ни)4' (е1р(^х,а!^1г1Щг

^0,^0,1^1-0, ¿-/¿х;

Щ-Щ, (И),

/Г^-^буе, . <37>-

где, следуя методу ВКБ, в экспоненту введен интеграл. В (37); функция у тлеет порядок единицы ( ^=0 ); ее изменяемость вдоль ^ меньше изменяемости функции Г (^^ * Х^ , а вдоль ^ равна изменяемости коэффициента В » и так как. в (36), тоf,i~f • По принципу согласованности (6) с учетом (6а), (36)

^ в 0 * О, хг > о

что и записано в (37). Эти неравенства отражают тот факт,, что в случае постоянных вдоль ^ коэффициентов принцип: согласованности выполняется во всей плоскости X, , Тг , а при переменных вдоль коэффициентах с этот принцип выполняется только

в верхней полуплоскости. Величины Х1 , хг , характеризующие изменяемость функции Г , являются оценками сверху для изменя-емостей как функции j в (37), так и функции А в (24), (25), т.е.

Но тогда справедливы соотношения (28а), если в них заменить А на у , что и отражено в (37). Параметры О^) , имеют порядок единицы и нулевую изменяемость, равную изменяемости коэффициента В в (36); они формируют характеристическое уравнение

{т(а,б,В)-о, а„~а,

которое отличается от (22а) присутствием переманного коэффициента В ; его корни а%>1 £ /-'Я? при £=//(х и 6^,1 £ 1.К1Д"=/1.Т зависят от геометрии оболочки.

Форма (37) определяет решение о точностью до функции / при "замороженных" коэффициентах В . Введение интеграла в экспоненту позволяет "размораживать" коэффициенты и строить решение с точностью до произвольной функции А по (24);

г-//'А г,

е = (ир(/*х'<*} * //*/ , а-/а,

[ехр (р*-/Му), ¿-¡¿х, # , (зв>

где а , / - известные параметры порядка единицы нулевой изменяемости, зависящие от геометрии оболочки.

При решении системы уравнений первого порядка переход от формы Г"уу'У^ (первый этап интегрирования, выполняемый с точностью до ведущих членов) к форме Гуке (второй этап интегрирования) приводит к появлению уравнения в частных производных также первого порядка (назовем его добавочным уравнением)

^ + ¿/-о А ехр (-/6с(г}), п~/1х,(а,ё) <зва)

относительно функции ^ , которое получается при удержании отбрасываемых на первом этапе производных от В , а , ё • . Такое линейное однородное уравнение с переменными коэффициентами, как следует из (38а), всегда может быть проинтегрировано в квадратурах, чего нельзя сказать об уравнениях второго и более высоких порядков, которые даже в случае обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть решены лишь в исключительных случаях. Заметим, что при интегрировании разрешающего' уравнения (а не системы первого порядка) добавочное уравнение может иметь поредок больший первого и его решение ведет к появлению дополнительных трудностей.

Форма по (38) определяет структуру главного

члена асимптотического ряда 32

Г-/Г (39)

отрезок которого совпадает с (26а) и позволяет строить решение (формальное) с погрешностью,равной погрешности уравнений. Погрешность решения на первом (I) и втором (П) этапах интегрирования определяется параметрами

¿я-ок^.Ау' (39а)

где 1>=0 по(36), = Ыу по (27а), причем

-х < *Ж>*, ' (39б)

так что погрешность решения первого этапа больше погрешности уравнений,а на втором этапе точность решения повышается и становится равной точности уравнений по (39а).

В общем случае (35а) при малых ( В < 0 ) и больших ( В>0 ), медленно ("Ог 0 ) и быстро ( т)г > 0 ) меняющихся коэффициентах

В-В (Ф В,- о, К ~ // Н о, гг)2 $ О.

Если асимптотические свойства коэффициента В определяются этими соотношениями,то на первом этапе интегрирования введем частный интеграл разрешающей функции в экспоненциальной форме

Г-у/е, /,е в (37), х^о, 1-х,,

в (37). (40)

Здесь функции { , й , $ порядка единицы наделены свойст-

»4

вами изменять свой порядок при дифференцировании по ^ в р раз (.увеличивать при т)2у 0 и уменьшать при < О ).Для построения решения с точностью до произвольной функции А в (24) приходим к добавочному уравнению

и* Ц-о, )(В,Б„)~/\ а-/Ь, (а,В),

в котором й , 6 - Функции -ой изменяемости,и тогда

Г-^рАе, А,г в (38), хг>т)г,

Эта форма определяет структуру главного члена асимптотического ;ряда '(35) .При переходе от первого ко второму этапу интегрирования .от '{40) к (41), что сопровождается "замораживанием" л "размораживанием" коэффициента В , точность повышается согласно (396), и погрешность формального решения становится равной погрешности .уравнений по (39а).Для уравнений с постоянными коэффициентами .второй этап интегрирования отсутствует.

Остановимся на вопросе о "замораживании" переменных коэффициентов В-Кг (ц), 0(ц)) Ь(ц) .для которых

Отсюда следует,что под "замораживанием" понимается операция вынесения переменного коэффициента из под знака интеграла (с точностью до произвольной функции). Аналогичная операция выполняется в соотношении (28а) для произвольной функции А . Если ,т.е. до тех пор,пока изменяемость коэффициента Кг меньше изменяемости функции Г .процедура интегрирования при "замороженных" коэффициентах остается асимптотически последовательной в том смысле, что все главные члены удерживаются,а'отбрасываются члены более высокого .порядка малости.

Обобщением (29) на случай переменных коэффициентов является полиномиально-экспоненциальная форма квазиполного интеграла

с помощью которой строятся решения однородных уравнений безмомент-ной теории и чистомоментнбго состояния.

Обобщением (29а) в неоднородной' задаче является форма

+ /у^ йц).

На основании изложенного в (36)-(42а) метода интегрирования в качестве результата доказано существование решения уравнений с

переменными коэффициентами (35), (35а) в каждой точке асимптотического портрета,области и зоны асимптотической непротиворечивости на рис.6-8.

При конкретизации вида коэффициентов асимптотически - порядковый анализ выполняется не только для уравнений,но и для коэффициентов с целью определения параметров (356) как оценок сверху.

Обратимся к открытой цилиндрической оболочке средней длины (рис.9)fпоперечное сечение которой меняется по закону косинуса

y-COSnX, X¿- Я~/2П. ' (426)

При n<HS оболочка пологая,а при П -»-/ оболочка имеет быстроменяющуюся геометрию.Обсудим случаи

£-0, Кл<.0, %г>0, i>0, (42в)

последовательно приняв /7«/, Hl¡10, $ .Будем интегрировать головные уравнения обобщенного краевого эффекта в характерных точках (35в). Для функции (426) кривизна и ее первая пооизводная равны

Кг =-nc2Vn2c2-s*] Кг Г~ПгС35 (з (П*+ l)C- 2),

с=cosД 5= sinр, р= atcty (n sin 7?4А= Kz. (42г) Отсюда с учетом (35в,39а) значениеП* t=?Kz~0, оболочка имеет

"спокойную" геометрию,причем K=0=*xt~0i Хг = 1/ч и принцип согласованности (6) выполнен ('4 zX, ).Для примера запишем квазиполный интеграл для изгибающего момента и продольного усилия

Trju-2(a>K2¿(,/s;) к¿ (1/a'jAyj, 6, lio:?;а, ю a4+rji0 tí о:з.

i

К примеру I

}

К примеру 2

К примеру 3 .

К-1/3,¿4/3

Рис.Э

Случай п=Ж/{0,/1=-//т=з-Кл=-ф, ¡4= - /Д и оболочка пологая { К2< О ) с медленноменяющейся геометрией ( < о ),причем К^ч/2 - х^ч/8, т)2 < Хг . Квазиполный интеграл

К'-о, Д"^ -//а

(1пу1Щ0Т) + /'!Чц), Ц-о, ^/-//гД^- //8, ^ « &8+К10ач-о, г£о:7, ач из К'„а'+6-о, ч€. о-.з, К!(Г -/I"2 (Я/ш)сЧ(Л/ю)*с*- 52 • (42*>

представляет собой функцию весьма малой изменяемости.Этот пример подтверждает возможность распространения асимптотических методов на область отрицательных показателей х,о,

Случай П='К> И^фооо ==>/<2= //5, ^ = //л и коэффициент оказывается большим ( Кг> 0 ) и быстроменяющимся (>0 ), причем К2 = //з =>Х/ = //3, х^ф, ¿г <Тг. Квазиполный интеграл

ехр(р%}(<*1п Д/- 0, ф,

К » Ья+К% ач, г С 0:7, а, из а'+К'^о, гСо.-з (42е) содержит быстроменяющиеся коэффициенты и,следовательно,предложенный в диссертации метод асимптотического интегрирования пригоден для расчета оболочек с быстроменяющейся геометрией.

В обсуждаемых примерах значения Кг = -1/2, 0,1/3 =>0^ =3/4, 1/2, 1/3, и чем больше кривизна, тем меньше точность решения.

В конце раздела 3 решены 4 пригара.В первых двух построен итерационный процесс согласно (176),а в остальных решены полные краевые задачи для замкнутой оболочки эллиптического поперечного сечения со "спокойной" и быстроменяющейся геометрией. Особую трудность вызывают оболочки с быстроменяющейся геометрией,аналитический расчет которых выполнен впервые.

Раздел 4 . Постановка задачи: перейти от сравнительно простых уравнений цилиндрической, оболочки (разделы 2, 3) к существенно более сложным уравнениям тора и теоретически обосновать полубезмоментную теорию оболочек двоякой кривизны типа кривой трубы.

Геометрия и метрика тороидальной оболочки (рис.10) характеризуются зависимостями

К^кс/и+кс), АгШС, А? 1, А/,а= -КЗ, К-С0П5(, КЛЛс'тт1,ч-о, <43)

где К - кривизна оси тора кругового профиля (безразмерная, отнесенная к радиусу поперечного сечения,принимаемому в качестве характерного линейного размера Я ).

Асимптотический портрет выполнен на рис.10,где имеется три узла; на рис. 6 их четыре - "лишним" является узел полу-безмоментной теории, возникающий только у оболочек, все три измерения которых существенно отличаются друг от друга. На рис. 10 нет обобщенного краевого эффекта (ОКЭ на рис. 5) : он вырождается в простой краевой эффект вблизи ^ - линии (ПКЭ? на рис.10).

При параметрическом подходе оценки порядка коэффициента

К~рк, О^КЫ, -сх, Значение - -со и уравнения тора вырождаются в уравне-

ния круговой цилиндрической оболочки (раздел 2).Асимптотический портрет при }< - -1/2 и зона асимптотической непротиворечивое« представлены на рис. II, рассмотрение которого обнаруживает постоянство координат (1/2,1/2) с изменением геометрии оболочки (остальные узлы меняют свое положение на плоскости Х^, Х} )( и в этом смысле координаты (1/2,1/2) являются единственными инвариан-

Тороидальная оболочка а) Геометрия

; У—

— к'--

б) Асимптотический портрет

А

Рпс.Ю

Асимптотический портрет при к = - 1/2

Зона асимптотической непротиворечивости

том уравнений тора. У круговой цилиндрической оболочки (К=0=>

такого инварианта нет: на рис. 8 координаты всех узлов изменяются в зависимости от Кг . Сопоставление рис. 10, II показывает, как трансформируется асимптотический портрет прй изменении % : неизменными остаются отрезки прямых згг ч х^У/г ; узлы безмоментной теории и чистомоментного состояния с уменьшением К смещаются влево; при 1<<0 появляется обобщенный краевой эффект (ОКЭ); характерные точки простого краевого эффекта вблизи ц -линии (ПКЭ? ) с Х1 = 1/2 при уменьшении К приближаются к оси Х1 (изменяемость вдоль ц уменьшается), и при /С--/ координаты этой точки хг= О совпадают с таковыми для

круговой цилиндрической оболочки; характерные точки (их две) простого краевого эффекта вблизи J -линии (ПКЭ^ ) с уменьшением к сближаются и при сливаются в точку (-1/2, 0), которая вы-

калывается.

В точке с координатами (-1/2, 0) при К- -1 дифференциальные уравнения тора по (43) становятся асимптотически непоследовательными; наряду с малым параметром к появляется второй малый параметр К-^И , которому соответствует длинная тороидальная оболочка, т.е. оболочка двоякой кривизны типа кривой трубы (все три измерения ее существенно отличаются друг от друга), для которой

/гс«/, Кгкс/(1+кс)^кс, к- - у

что ведет к упрощению уравнений и появлению узла полубезмоментной теории.

Случай К-е-<1 занимает промежуточное положение между (цилиндрическая оболочка) и , (тор). Это позволяет

рассматривать цилиндрическую оболочку как своего рода невозмущенную задачу. Параметр К« / является малым возмущением. Асимптотический портрет при К=-1 и зона асимптотической непротиворе-

41

Оболочка двоякой "кривизны типа криво!! труОы

а) Геометрия

б) Асимптотический портрет при К = - I и зона

асимптотической непротиворечивости при К « I

чивости при К4.1 изображены на рис. 12. Установлена область применимости полубезмомэнтной теорий с точки зрения диапазона изменения кривизны: она пригодна при К£ (-2,-1/3] . Полученные результаты являются теоретическим обоснованием полубезмоментной теории .для оболочек двоякой кривизны типа кривой трубы.

Уравнения раздела 4, как и раздела 3, имеют постоянные вдоль ^ и переменные вдоль ^ коэффициенты. На основании метода интегрирования, изложенного в разделе 3, доказано существование решения уравнений тора и оболочки двоякой кривизны типа кривой трубы в классе функций основной гипотезы (5). Показано, что при наличии в оболочке квазистационарных направлений переменные разделяются. Введены подстановки, которые приводят к понижению вдвое порядка уравнений. Такая возможность обоснована В.В.Новожиловым как следствие введения комплексных функций. Упомянутые подстановки приводят к тем же комплексным функциям, являясь следствием разложения характеристических многочленов на множители.

В конца раздела 4 приведены три примера. Первые два связаны с выполнением условии (176). В последнем примере получено решение задачи Кармана об изгиба кривой трубы в замкнутом виде, которое дополняет известные исследования этой задачи. Б [п] главное внимание обращено на принципиальное положение: исследовать (на конкретном классическом примере задачи Кармана) возможность расширения сферы применимости асимптотических методов на область отрицательных показателей изменяемости напряженного состояния в случае уравнений с переменный коэффициентами.

Заключение. I. А.Л.Гольденвейзер, В.В. Новожилов, В.Т.Койтер, '«•.¿док показали, что одним из наиболее существенных факторов упрощения уравнений является измепяопость напряженного состояния. ?тот вывод оказался ва/.лэКшш-л и цослуяия источником

43

формулировки основной гипотезы (5).

2. Новый метод (он пригоден для уравнений с постоянными и переменными коэффициентами в частных производных)

- идейно связан с методом многоугольника И.Ньютона в теории алгебраических функций, который явился предпосылкой формулировки принципа парной эквивалентности (7а),

- является непооредственным развитием метода А.Л.Гольденвейзера в теории тонких оболочек, который послужил предпосылкой введения исходных гипотез (5), (5а),

- существенно опирается на метод М.И.Вишика-Л.А.Люсгорника в теории дифференциальных уравнений, который явился предпосылкой формулировки принципа согласованности (6),

- использует метод Г.Вентцеля-Х.Крамерса-Л.Бриллюэна в теории асимптотического интегрирования, на основе которого введен интеграл в экспоненту в формах (37), (40),

- частично базируется на методе Р.Г.Баранцева, И.А.Михайловой, И.М.Цителова в теории малых возмущений, который послужил предпосылкой введения порядковых уравнений (76).

3. Принцип парной эквивалентности (7а) можно рассматривать как общий принцип исследования дифференциальных уравнений. С одной стороны, он представляется очень простым и естественным, а с другой - достаточно универсальным средством анализа. Используемый при рассмотрении систем дифференциальных уравнений в чистом виде как формальный парный перебор, он ведет применительно к системам более десяти уравнений (трех-, четырехчленных) к практически необозримому числу вариантов перебора. При исследовании сисФем дифференциальных уравнений первого порядка, будучи направленным на поиск критерия (8), характеризующего поведение функций (их изменяемость) , принцип парной эквивалентности позволяет сравнительно

44

просто "вручную" выделить весьма простую подсистему (ядро по (12)) от двух до десяти двухчленных дифференциальных уравнений. В сочетании с основной гипотезой (5) принцип парной эквивалентности явился главным инструментом при асимптотически - порядковом анализе.

4. Основная гипотеза (5) играет решающую роль, определяя весьма широкий класс функций. Ее частным случаем является общий принцип полубезмоментной теории оболочек В.В.Новожилова. Гипотеза (5) есть общий принцип большинства известных приближений теорий тонких оболочек.

•5. Формулировкой принципа парной эквивалентности (7а), принципа согласованности (6), заданием класса функций (5) и введением гипотез (5), (5а), (8) удается

- описать алгоритм исследования дифференциальных уравнений,

- создать единый подход к построению укороченных уравнений и граничных условий тонких оболочек,

- получать содержательные результаты на основе весьма простого алгебраического анализа,

- эффективно аппроксимировать и решать сложные системы уравнений.

6. Обсуждаемый метод аппроксимации дифференциальных уравнений в форме асимптотически - порядкового анализа, представляющего собой основанную на трех постулатах (I), (6), (7а) и четырех гипотезах (5), (5а), (8) теорию конструирования укороченных уравнений - приближенных методов расчета, позволил

- выполнить сформулированные во введении три этапа решения краевой задачи,

- выделить уравнения краевого эффекта (регулярное возмущение) с той же точностью ^ ~к2~2Хг . с которой происходит вы-

У

деление двухмерных уравнений теории тонких оболочек из трехмерных

уравнений теории упругости,

- конструировать в узлах аппроксимации с наивысшей для теории оболочек точностью соответствующей для краевого эффекта и полубезмоментной теории и для безмоментной теории и чистомоментного состояния,

- выделять главную часть уравнений еще до того, как построено решение,

. - разработать параметрический подход к оценке порядков и изменяемости коэффициентов и грузовых членов, что позволяет решать краевые задачи для оболочек с широким диапазоном изменения геометрических параметров при достаточно общем виде внешнего воздействия,

- получить множество новых укороченных уравнений и укороченных граничных условий,

- разработать подход для постановки полных краевых задач с расчленением сложного напряженного состояния на характерные, с расщеплением граничных условий и оценкой погрешности,

- оценить погрешность всех наиболее известных приближенных теории и, в частности, получить оценку погрешности безмоментной теории, чистомоментного состояния, псевдо и квазиизгибаний тора и оболочки произвольной формы, показав ошибочность

л 1 £ - 2-Хш

общепринятой оценю? ~ п , безмоментной теории,

- теоретически обосновать полубезмоментную теорию оболочки двоякой кривизны типа крийой трубы.

7. Обсуждаемый метод решения дифференциальных уравнений позволил

- доказать существование решения аппроксимирующих систем в классе функций основной гипотезы (5),

-предложить экспоненциальные формы (22), (296), (37), (38),

(40),(41) частных интегралов и полиномиально-экспоненциальные формы (29),(42),которые приводят к разделению (34) и квазиразделению (34а) переменных в главном члене асимптотического ряда (26),(59),позволяя выразить квазиполный интеграл в явной зависимости от произвольных функций,

- строить решения регулярно и сингулярно возмущенных уравнений с погрешностью решения,равной погрешности уравнений,

- получить решения (например, (42д)) в области отридательннх показателей изменяемости напряженного состояния для уравнений с переменнннми коэффициентами,содержащие функции весьма малой изменяемости, существование которых в теории оболочек ставится под сомнение,

- проинтегрировать уравнения с быстроменяющимися коэффициентами (например,(42е)) на основе параметрического подхода к. оценке порядка и изменяемости коэффициентов,который в рамках традиционной теории асимптотического интегрирования вообще не рассматривался .

8.Решение полных краевых задач в разделах 2, 3 следует рассматривать как необходимое условие .для обоснования теории расчета оболочек средней длины,включая открытые и свободные оболочки; достаточно сказать,что пока еше аналитически не решена задача расчета в существенно полее простом случае свободной пластины.

5.Решение краевой задачи Дубяги-Кармана в замкнутом виде с применением ЭВМ подтверждает и дополняет хорошо согласующиеся с практикой и экспериментами известные результаты решения этой задачи, полученные не асимптотическими метода™.

10.Предложенный метод позволяет корректно ставить краевые задачи и строить сходящиеся асимптотические процессы компенсации невязки в выполнении полных краевых условий.

Работы, опубликованные по теме диссертации :

1. Квасников Б.Н. Разрешающие уравнения тонкостенных стержней-оболочек с криволинейной осью//22 конфер. Ленингр. ин-та инж. ж.д.тр-та. - Л, 1969. - С. 80-81.

2. Лиманов Ю.А., Квасников Б.Н., Фролов Ю.С. О реконструкции тоннелей с применением обделок из набрызг-бетона//Тралспортное строительство. - 1971. - Ш 3. - С. 48-49.

3. Квасников Б.Н. Матричный метод решения уравнений полубез-моментной теории оболочек//Расчет пространственных конструкций. -Д., 1973. - С. I2I-I33.

4. Квасников Б.Н. К вопросу о простом краевом эффекте. Асимптотический анализ уравнений цилиндрической оболочки и криволинейного стержня-оболочки//23 конфер. Ленингр. ин-та инж. ж.д. тр-та.

- Л., 1973. - С. 18.

5. Квасников Б.Н. Асимптотическое интегрирование уравнений полубезмоментной- теории и решение задачи Сан-Венана при изгибе круговой цилиндрической оболочки в замкнутом виде (64 с.)//Реф. .журн. мех. - 1973. - ß 8. - В 108 ДП.

6. Аксельрад Э.Д., Кваснико'в Б.Н. Полубезмоментная теория криволинейных стержней-оболоч9к//Изв. АН СССР, Механика твердого тела. - 1974. - № 2. - С. 139-147.

7. Квасников Б.Н, Построение полубезмоментной теории оболочек в пределах точности гийотез Кирхгофа//Изв. АН СССР, Механика твердого тела: Аннотац. докладов. - 1974. - № 4. - С. 191.

8. Квасников Б.Н. Об одном варианте.полубезмоментной теории оболочек (16 с.)//Реф. журн. мех. - 1976. - № 7. - В 209 ДП.

9. Квасников Б.Н. Об условиях существования полубезмоментно-го напряженного состояния/Ленингр. ин-т инж. ж.д. тр-та: Сб. гру-

дов.- Л.,197?. - Вш.407.- С.140-152.

10.Квасников Б.Н.Асимптотический метод построения и решения укороченных уравнений теории тонких оболочек.- Л.,1978.- 92 с.(маш).

11.Квасников Б.Н. Об одном случае асимптотического интегрирования уравнений теории тонких оболочек при отрицательных показателях изменяемости напряженного состояния // Прикладная механика.- Л., 1979.- Внп.4.- С.198-210.

12.Квасников Б.Н.Асимптотический метод построения укороченных уравнений в теории тонких оболочек.// Изв.АН СССР,Мех.твердого тела: Аннотац.докладов.- 1930. - № 3.- С.183.

13.Квасников Б.Н.Асимптотический метод построения и решения укороченных уравнений тонких оболочек //Прикладная механика.- Л., 1981.- Вып.5.- С.187-218.

14.Квасников Б.Н.К проблеме построения приближенных методов расчета в теории тонких оболочек // Прикладная механика. - Л., 1984.- Вып.6.- С Л26-138.

15.Квасников Б.Н.Аналитический метод определения параметров асимптотического интегрирования в теории тонких оболочек // Статич. и динамич.задачи расчета сложных строит.конструкций.- Л.,1989.

16.Квасников Б.Н.Интегрирование уравнений тонких оболочек с быстро и медленноменяюпдамися коэффициентами // Прикладная механика.-Л., 1989.- Вып.8.

17.Квасников Б.Н. Асимптотический метод построения и решения укороченных уравнений и краевых задач в теории тонких оболочек // Изв.АН СССР, Мех.тверд.тела: Аннотац.докладов.- I98S.

Подписано к печати 27. XI .89 г. М - 29243 Усл.печ.л. 2 Печать офсетная. Бумага для ию/ит. апп. Формат 60x84 I/I6 Тиран 150 экз. Ьаказ<6"г8. Бесплатно.

РШ ЛИЙЖТа 190031, Ленинград, Московский пр., 9