Асимптотические задачи теории разбиений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ У1ШВЕГСИТЕТ

На правах рукописи

РГБ ОД

а я глг <""

ЯКУБОВИЧ Юрий Владимирович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАЗБИЕНИЙ

Специальность 01.01.09- математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕГБУГГ

2000

Работа выполнена на кафедре исследования операций Санкт-петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук,

профессор Вершик A.M.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук,

вед.научн.сотр. Скриганов М.М. V - кандидат физико-математических наук,

ст.научн.сотр. РыбкоА.Н.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Институт теоретической физики РАН им. Ландау.

Защита состоится «14» ЧоаЪр^ 2000 года в 13 часов на заседании диссертационного совета К 063.57.49 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университета (адрес совета: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет СПбГУ). Заседание будет происходить по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет СПбГУ, ауд.3536.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « » Рк.Уа'ГрА 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета, доцент А.И. Шепелявый

в ПЛ. 3,03,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и цель работы. В настоящей работе изучаются асимптотические свойства ряда комбинаторных объектов, в число которых входят разбиения натуральных чисел и разбиения множеств. Под асимптотическими свойствами совокупности объектов понимаются свойства объекта, типичного для этой совокупности. Мы рассматриваем множество однородных объектов, скажем разбиения числа п, выбираем, случайным образом (с равной вероятностью) один из них, и ищем свойства, имеющие место с подавляющей вероятностью при больших п. В диссертации указывается возможный способ решения задач такого типа для широкого класса комбинаторных объектов и рассматри-v вается ряд примеров, для которых удается явно найти указанные свойства. При этом необходимо отметить, что мы ищем свойства, характеризующие объект в целом, а не какие-то его частные характеристики.

Изучением разбиений натуральных чисел первым занялся Л. Эйлер. Он нашел формулу для производящей функции количества р(п) разбиений числа п и установил ряд тождеств, связанных с разбиениями. Именно результаты Эйлера лежат в основе этой теории. Дальнейшему развитию изучения разбиений чисел послужило нахождение Харди и Рамануджаном асимптотической формулы для р(п) во втором десятилетии XX века ([4]). В середине века Г. Радема-хер [6] уточнил их результат, представив р(л) в виде быстро сходящегося ряда. Результаты Харди, Рамануждана и Радемахера сыграли историческую роль в развитии аналитической и алгебраической теории чисел.

В середине XX века появились работы, изучающие аналогичные вопросы для других комбинаторных объектов. Они дали возможность отвечать на вопросы, сколько существует комбинаторных объектов того или иного типа, однако они не дают никакого представления о том, каковы эти комбинаторные объекты. Этот вопрос можно уточнять различными способами, но общая схема конкретизации вопроса о виде комбинаторных объектов обычно заключается в следующем. Пусть задано семейство комбинаторных объектов, каждому из которых естественным образом соответствует натуральный ранг. Среди всех объектов ранга п выберем случайным образом один (каждый с равной вероятностью) и исследуем какие-то его характеристики, которые можно рассматривать как случайные величины. Закономерность поведения этих случайных ве-

личин при росте п (если таковая существует) и будет описывать "общие свойства" выбранных для изучения объектов. В описанную схему укладывается очень широкий спектр вопросов асимптотической комбинаторики.

Следующим этапом в развитии асимптотической комбинаторики стало нахождение ответов на вопрос, сформулированный в предыдущем абзаце, конкретизированный для специальных задач. Можно отметить работы П. Эрдёша ц соавторов [2), В. Г. Гончарова [14], В. Ф. Колчииа [15], В. Н. Сачкова [18], и целый ряд других. Однако, все эти работы имеют существенный недостаток: при росте разбиваемых объектов рассматриваемые функционалы остаются неизменными, и тем самым не позволяют получить полное представление о типичном предельном объекте. Естественным развитием этих работ явилась постановка вопроса, позволяющая получить полное описание типичного предельного объекта. Она, кратко говоря, заключается во вложении конечномерных комбинаторных объектов в бесконечномерное пространство, и исследовании образа типичного объекта. Этот подход был впервые применен А. М. Вершиком в совместных работах с А. А. Шмидтом в 1970-х годах [8, 9], описывающих поведение ти' пичных перестановок больших множеств. Позднее А. М. Вершик и С. В. Керов применили тот же подход для описания меры Планнгереля на разбиениях [13]. В работе [10] А. М. Вершиком предложена общая постановка вопроса для класса комбинаторных объектов и найдены ответы в ряде случаев.

Диссертация посвящена уточнению результатов А. М. Вершина, а именно, • исследованию отклонений комбинаторных объектов от типичного для них поведения. Роль бесконечномерного пространства, в котором проводится исследование, играет пространство случайных процессов. Доказываются как результаты, позволяющие оценить отклонения от предельного случайного процесса, так и результаты, дающие ответы на чисто комбинаторные вопросы.

В третьей главе используется другое бесконечномерное пространство, а именно решетка непрерывйых разбиений по В. А. Рохлину [17]. Показывается, как можно вложить решетки разбиений множеств в решетку непрерываных разбиений, и как это вложение связано с классической конструкцией непрерывных геометрий, принадлежащей Дж. фон Нейману.

Научная новизна. Основные результаты первых двух глав получены впервые. Третья глава содежит концептуально новое изложение конструкции непрерывной решетки разбиений, предложенной А. Бьернером, и ее ранее не известные обобщения.

Методика исследований. В первых двух главах применяется предложенный A.M. Вершиком [10] метод мультипликативных статистик, являющийся: приложением идей статистической механики к комбинаторным задачам. Техническим аппаратом являются полные и частичные обратные преобразования Фурье. Третья глава основывается на теории измеримых разбиений, построенной В. А. Рохлиным [17], и на развитой Дж. фон Нейманом [5] теории факторов и непрерывных геометрий.

Теоретическая и практическая ценность. Исследование, проведенное в диссертации, уточняет ранее известные результаты о предельной форме типичного разбиения и дает описание отклонений типичных рабиений от своей предельной формы. Используемая в работе техника может быть перенесена на аналогичные задачи. v

Научная апробация работы. Результаты работы докладывались на международной шведско-русской конференции "Комбинаторика, Динамика, Вероятность", г. Стокгольм, 2000, на семинаре по теории представлений и динамическим системам ПОМИ РАН, г. С.-Петербург, и на математическом семинаре Добрушинской лаборатории ИППИ РАН, г. Москва.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [21, 22, 23, 24, 25] перечисленных в конце настоящего автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 83 страницы машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы аз 46 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена подробному описанию метода большого канони-геского ансамбля разбиений. В ней доказываются общие утверждения о муль-'ипликативных статистиках, приводятся примеры мультипликативных статис-•ик, а также цитируется ряд полученных ранее этим методом результатов.

Разбиением натурального числа п называется его представление в виде сум-[ы неотрицательных целых слагаемых. Нам будет удобно говорить о разбие-яях в терминах вектора кратностей р{Х) = (/>j.(A),...), где рк(Х) есть исло слагаемых к в разбиении Л. Пусть 'Р(гс) обозначает множество разбиений исла п. Рассмотрим также множество всех разбиений V = U¡fL0P(n). Семейст-

во мер на V(n) называется мультипликативным (10], если найдется их невырожденная выпуклая комбинация

оо

п=0

где Ья = 1 и Ь„ > 0 при всех п > О, такая, что случайные величины />* независимы относительно меры р на V. Мы передоказываём следующую теорему:

Теорема 1.1. Для всякого мультипликативного сел1ейства мер fi^ на V найдется непрерывное семейство мер ftx на V, гдех £ (О,1) илих € (0, оо), такое, что, во-первых, случайные величины рь независимы относительно каждой меры из этого семейства, и, во-вторых, ограничение каждой из мер f ix на V(n) с точностью до множителя совпадает с при всех n G N.

Это утверждение, несмотря на несложное доказательство, является ключевым для теории мультипликативных статистик. В частности, из доказательства следует, что всякая мультипликативная статистика однозначно определяется по разложению

оо k=i

где функция F либо аналогична во всей комплексной плоскости, либо имеет радиус сходимости 1.

Свойство мультипликативности позволяет свести вопрос о зависимых случайных величинах к вопросу о независимых. Наличие непрерывного параметра х позволяет выбирать его зависимость от п таким образом, чтобы мера /ir(„) на V наилучшим образом приближала меру на ~Р(п). Эта идея, видимо, впервые была последовательно применена в начале XX века при построении статистической механики (см. [16, 19]). Подчеркивая эту аналогию, мы называем (7>(n)„u<n>) малым каноническим ансамблем разбиений, а (V, р.Т) — большим. В §1.1 эта аналогия обсуждается более подробно.

Далее мы формулируем общую постановку задачи, предложенную A.M. Вернгаком [7, 10]. Нам удобно использовать диаграммы Юнга при ее описании. Диаграммой Юнга разбиения Л называется подмножество первого квадранта R2, являющееся подграфпком фупкцпи

к>1

При каждом п рассмотрим нормировочный множитель сг*"' > 0 и пормпролан-ную диаграмму, верхнюю границу которой обозначим £,(А):

к> 1Л>1")

Нормированная диаграмма Юнга имеет единичную площадь. Ее верхняя граница — кусочно-ностоянная невозрастающая функция на [0,оо) с разрывами в

таких функций и превращают их в случайный процесс специального вида. Задача в общем виде заключается в описании предельных свойств этих случайных процессов, при п оо.

Отметим, что решив эту задачу, мы получим глобальпое описание объектов, получающихся как предел разбиений числа п, при п —> оо, типичных для заданной последовательности мер

Во втором параграфе приводятся примеры мультипликативных мер на разбиениях н кратко цитируются известные результаты, касающиеся асимптотики этих мер. В частности, рассматриваются равномерные меры на всех числовых разбиениях и на разбиениях на различные слагаемые, и ряд мер, индуцированных па разбиениях равномерными мерами на других комбинаторных объектах. Затем доказывается утверждение, показывающее, что мультипликативность все же является достаточно сильным ограничением па семейство мер на разбиениях. Назовем произвольную меру на Р(п) симметричной, если мера разбиения равна мере сопряженного с ним.

Теорема 1.3. Все симметричные мультипликативные статистики исчерпываются семейством, задаваемым мерами цх, х 6 (0,1), но большом ансамбле разбиений V:

Другими словами, существует однопараметрическое непрерывное семейство симметричных мультипликативных статистик. Мера разбиения на малом ансамбле пропорциональна э в степени числа различных слагаемых разбиения.

решетке с шагом с^"', принимающая значения, кратные 1/псг'"' и имеющая единичный интеграл. Меры естественным образом переносятся на множество

при s > 0.

При з = 1 мы получаем равномерную меру, также очевидным образом симметричную. Эти результаты опубликованы в статье [22].

Третий параграф посвящен описанию обратного перехода от большого ансамбля разбиений к малому. Нам понадобится техническая нормировка диаграммы Юнга только вдоль оси абсцисс

£(а)= Е

к>1/<тМ

(при такой нормировке функции остаются целочислепными). Ключевым соотношением здесь является формула условной вероятности, которая в описанной

ситуации принимает вид = ^ крк{А) - разбиваемое число)

*>1'

I ) = п]

для произвольного множества А. Описывается способ избавиться от зависимости нормировки диаграммы Юнга от п в правой части этого равенства, что позволяет применять представление & в виде суммы независимых в большом апсамбле случайных величин. Дается общее описание соображений, которыми следует руководствоваться при выборе зависимости х = х{п). Также доказывается равенство, связывающее характеристические функции ^"'(/3) случайной величины & в малом ансамбле и фх(а,/3) случайного вектора в большом ансамбле разбиений:

, . Г фх(а,Р)е-™ йа

Равенство (*) удобнее использовать при доказательстве локальных предельных теорем, тогда как равенство (**) — при доказательстве центральных предельных теорем.

Глава 2 содержит основные результаты диссертации. Мы рассматриваем три статистики на разбиениях. Это равномерная статистика на всех разбиениях, равномерная статистика на разбиениях на различные слагаемые (мы будем для краткости называть их строгими разбиениями), и семейство симметричных статистик (з-симметричные разбиения). (Первая статистика входит в последнее семейство, однако мы уточняем результаты для него из-за важности этого частного случая). Технически все три случая весьма схожи, что позволило доказывать результаты о них параллельно. Мы уточняем известные результаты

о предельной форме разбиений для этих статистик. При подходящем сжатии (<7(г,1 = 1/2\/Зп для строгих и = — 1Лг(1 — а)) для а-симметричных

разбиений) диаграммы Юнга типичного разбиения достаточно большого числа она становится близкой к кривой, задаваемой уравнением

для строгих и

1-е 1

для симметричных разбиений. Мы доказываем многомерные предельные теоремы, описывающие отклонения случайной нормированной диаграммы от ее предельной формы.

Теорема 2.1. При всех <1 > 1 и 0 < ¿1 < ■ •• < ¿¡1, распределения вектора А) — йОО) по отношению к мере слабо сходятся при п оо к стандартному ¡1-мерному нормалънолгу распределению.

Теорема 2.2. При оссх з > 0, (I > 1 и 0 < и < • ■■ < распределения вектора — "О отношению к мере слабо сходятся при п —У оо к стандартному ¿-мерному нормальному распределению.

Для матриц В и В, выведены явные формулы. Все их члены имеют порядок

-ук.

Помимо центральных предельных теорем, мы также доказываем их локальный вариант. Рассмотрим <1 натуральных чисел тп,\,... , т^, зависящих от разбиваемого числа п, и обозначим т — (т1,... ,гги). Относительно зависимости тп; от п мы предполагаем, что 0 < ПттГт./Уге < Итзирт./у^ < ос. Теорема 2.3. Для равномерной статистики на разбиениях на различные слагаемые при п оо верно следующее равенство:

/*<п>{АеР(п):£(А)=т}

= {21гу1^щ «Ф (-5 <*(в)т - д(Ь), Л" Vм"» - <,(!))>) (1 + 0(*™)).

Георема 2.4. Для симметричной статистики с параметром а при п —»• оо тполнено следующее равенство:

/4п){А 6 Т{п) : £(А) = т}

= «Р - д^П^^т - д(4)))) (1 + 0(«г<">)) .

Для матриц О и П, также найдены точные выражения; их члены имеют порядок \/п.

Эти теоремы дают полное описание отклонений границы диаграммы Юнга от своего предельного значения. Грубо говоря, они утверждают, что после вычитания из ее среднего значения, "правильной" нормировкой по оси ординат будет умножение на по оси абсцисс — на после чего значения нормированной верхней границы в точках 1 будут иметь асимптотически нормальное распределение. То, что имеют место как центральная, так и локальная предельные теоремы, говорит о том, что никаких аномалий в этом поведении нет.

Другими словами, сходится по распределению к гауссовскому слу-

чайному процессу, для которого вычислены все конечномерные распределения. Этот результат является аналогом принципа инвариантности Прохорова-Донскера для случайных ломаных. В нашем случае предельный процесс имеет экспоненциально убывающюю по / дисперсию, а локально ведет себя как вине-ровский процесс.

Доказательство этих утверждений основывается на анализе соответствующих случа]5ных величин в большом ансамбле разбиений: Он проводится во втором параграфе. Мы находим оценки для характеристических функций векторов (у,и, основываясь на этих оценках, доказываем локальную предельную теорему в большом ансамбле разбиений (теорема 2.5). Хотя она и не имеет прямой комбинаторной интерпретации, она также представляет определенный интерес.

В третьем параграфе мы возвращаемся к малому ансамблю разбиений. Обратный переход основывается на тождествах (*) и (**). Для доказательства центральных предельных теорем мы пользуемся частичным обратным преобразованием Фурье. Оценки, полученные во втором параграфе, показывают, что величина, стоящая в правой части (**) сходится к характеристической функции нормального распределения. Этого достаточно для доказательства предельных теорем центрального типа. Для доказательства локальных теорем требуется дополнительная работа. С использованием локальной предельной теоремы в большом ансамбле разбиений и равенства (*) удается обосновать переход к малому ансамблю и в этом случае.

В главе 3 мы используем другой подход к исследованию асимптотики разбиений, а именно вложение множества комбинаторных объектов в непрерывный. А именно, мы показываем, как "правильным образом" вложить решет-

ки разбиений конечных множеств в решетку непрерывных разбиений отрезка. Под словами "правильным образом" мы подразумеваем, что повторенное вложение согласуется с вложениями конечных решеток разбиений, построенными А. Бьёрнером [1]. Вложение, рассматриваемое в диссертации, было обнаружено М. Хайманом [3], но он не использует принятую в теории непрерывных разбиений терминологию. Мы упорядочиваем его построение я обобщаем его на более широкий класс вложений конечных решеток разбиений.

Результаты, гсредставлешше в главе 3, были получены совместно с А. М. Вершиком [25]. Обозначим П„ решетку разбиений множества из тг элементов. В работе [1] А. Бьёрнер, отвечая на вопрос Дж.-К. Рота, показал, что при любом натуральном к можно построить вложения Г1„+[ Щп.ц, которые сохраняют решеточные операции и нормированный ранг. Используя эти вложения, по любой цепочке решеток разбиений такой, что каждая решетка вкладывается в следующую за ней, можно построить индуктивный предел. На нем естестпеппым образом вводится метрика, после пополнения по которой мы получаем объект, названный Бьёрнером непрерывной решеткой разбиений. Мы используем более точный термин непрерывная гиперконечная решетка разбиений. Заметим, что, хотя конструкция зависит от изначально выбранной цепочки решеток, пополнение индуктивного предела от нее уже не зависит. Мы строим вложения этого объекта в решетку непрерывных разбиений отрезка, в непрерывную геометрию в смысле фон Неймана н в фактор типа IJj. Мы показываем, что пополнение индуктивного предела можно было провести по естественным метрикам в непрерывной геометрии и в факторе, получив тот же результат. (Отметим, что вообще эти метрики не совпадают.)

После краткого обзора используемых результатов теории непрерывных разбиений (§1), мы переходим к описанию предельного объекта в терминах этой теории. Отметим, что описание ведется в инвариантных терминах. Мы описываем непрерывную гиперконечную решетку разбиений, используя понятие траектор-ных разбиений [12], что позволяет рассматривать не только разбиения отрезка, как это делал Хайман, но и произвольные пространства Лебега с непрерывной мерой.

Параграф 3 посвящен описанию вложений Бьёрнера и их обобщению. Мы используем новую терминологию окрашенных разбиений, позволяющую упростить изложение. Тем не менее, первая часть этого параграфа является фактически новым изложением результатов [1, 3]. Далее мы обобщаем приведенные

результаты на более общую схему вложений, чем предложенная Бьёрнером. А именно, мы строим вложения решетки разбиений в произвольную решетку разбиений большего множества. При этом, естественно, теряются важные свойства этих вложений: они перестают быть решеточными гомоморфизмами и сохранять нормированный ранг. Однако, мы показываем, что соблюдении достаточно нежестких условий на соседние решетки, которые уместно назвать марковскими условиями, можно аналогичным образом построить предельный объект, который будет совпадать с Бъёрнеровским.

Параграф 4 посвящен вложениям построенной решетки в факторы типа Iii и в непрерывные геометрии в смысле фон Неймана. Мы показываем, что, хотя метрики в этих объектах не совпадают, пополнение индуктивного предела конечных решеток разбиений будет одинаковым по этим метрикам.

В заключительной части главы 3 мы исследуем асимптотический вопрос связанный с осреднением функций по разбиениям. А именно, мы показываем, что осреднение функции по разбиениям из непрерывной гиперконечной решетки разбиений "почти наверное" совпадает с ее осреднением по всему множеству. Более точную формулировку см. в тексте. Этот вопрос является первым шагом к определению меры на гиперконечной решетке разбиений, что пока сделать не удалось.

Автор хочет искренне поблагодарить своего научного руководителя А. М. Вершика за многочисленные беседы и советы, высказанные в процессе • работы над диссертацией, а так же за проявленное им терпение. Также автор благодарен своим родителям за упорство, с которым они добивались окончания работы над диссертацией.

Литература

[1] A. Bjorner. Continuous partition lattice. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 84 (1987), 6327-6329.

[2] P. Erdos, P. Turin. On some problems of a statistical group theory, VII, Periodica Math. Hung., 2 (1972), 149-163.

13) M. Haiman. On realization of Bjomtr's 'continuous partition lattice' by measurable partitions. Trans. AMS 343 (1994), No. 2, 695-712.

[4] G.H. Hardy, S. Ramanujan. Asymptotic formulae in combinatorial analysis. Proc. Lond. Math. Soc. (2) 17 (1918), 75-115.

[5] J. von Neumann. Continuous geometries. Princeton, N.Y., 1960.

[6] H. Rademaber. A convergent series for the partition function p[n). Proc. Nat. Acad. Sci. USA 23 (1937), 241-254.

[7] A. Vershik. Asymptotic Combinatorics and Algebraic Analysis, Proceeding of International Congress of Mathematicians, Zurich. 1994, Birkahauser-Verlag, 1995.

[8] A. M. Вершик, А. А. Шмидт. Симметрические группы высокой степени. ДАН СССР, 202, №3 (1972), 555-557.

[9] А. М. Вершик, А. А. Шмидт. Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. Теория вероятностей и ее применения. Ч. 1: 22 (1977) вып. 1, 72-88; Ч. 2: вып. 2 (1978), 42-54.

10] А. М. Вершик. Статистическая механика комбинаторных разбиений и их предельные конфигурации. Функц. аяал. и прил. 30, №2, (1996), 19-39.

11] A.M. Вершик Предельное распределение энергии квантового идеального газа с точки зрения теории разбиений натуральных чисел. Успехи маг. наук, 52 вып. 2 (1997), 139-146.

12] А. М. Вершик. Теория разбиений. В книге: Итоги науки а техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., Наука, 1985.

[13] A.M. Вершик, C.B. Керов. Асимптотика мери Планшсреля сшьмстри ческой группы и предельная форма таблиц Юнга. Докл. АН СССР 23Î (1977), 1024-1027.

(14) В. Л. Гончаров. Из области комбинаторики. Изв. АН СССР, Сер. матем 8 №1 (1944), 3-48.

[15j В.Ф. Колчин, В.А.Севастьянов, В.П. Чистяков. Случайные размещенш М., Наука, 1976.

[16] Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика (классическая t квантовая). М.-Л., ГИТТЛ, 1951.

[17] В. А. Рохлин. Лекции по эргодической теории преобразований. Успехи ма тематических наук, XXII вып. 5.(137), 1967, 3-56.

[18] В.Н. Сачков. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. М., На ука, 1978.

[19] К. Хуанг. Статистическая механика. М., Мир, 1966.

[20[ А. Я. Хинчин. Математические основания квантовой статистики. ГИТ ТЛ, 1951.

Работы автора по теме диссертации

[21] 10. В. Якубович. Асимптотика случайных разбиений множеств. Теор представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмически методы I. (Записки научных семинаров ПОМИ 223), 227-250.

■ [22] Ю. В. Якубович. Силшетричные мультипликативные статистики. Те ор. представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритм!! ческие методы II. (Записки научных семинаров ПОМИ 240), 280-289.

[23] А. М. Вершик, Г. А. Фрейман, Ю. В. Якубович. Локальная предельная те орсма для случайных разбиений натуральных чисел. Теор. вероятн. прил 44 (1999) вып. 3, 506-525.

[24] Ю.В. Якубович. Центральная предельная теорелш дм нормировании, диаграмм Юнга разбиений на различные слагаемые. Теор. представлений динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы I. (За писки научных семинаров ПОМИ 256) (1999) 212-223.

[25] А. М. Вершик, Ю. В. Якубович. Непрерывные решетки разбиений и решеп ки непрерывных разбиений. Труды СПбМО, 7 (2000), 5-27.

Введение

§1. Краткий исторический обзор.

§2. Структура работы и краткое описание результатов.

Глава 1. Мультипликативные семейства мер.

§1. Понятие мультипликативности мер на разбиениях.

§2. Примеры семейств мультипликативных мер па разбиениях.

§3. Схема исследования асимптотики мультипликативных статистик.

Глава 2. Равномерная статистика на разбиениях целого числа на различные слагаемые и симметричные мультипликативные статистики.

§1. Основные результаты.

§2. Распределения па большом ансамбле разбиений.

§3. Переход от большого ансамбля разбиений к малому.о

Глава 3. Связь непрерывных решеток с решетками непрерывных разбиений

§1. Введение.

§2. Решетки измеримых разбиении.

§3. Основная конструкция.

§4. Непрерывная гиперконечная решетка разбиений и факторы.

§5. Асимптотическая задача.

Указатель обозначений.

1. Arratia R., Stark D., Tavaré S. Total variation asymptotics for Poisson process approximation of logarithmic combinatorial assemblies, Ann. Proba'b. 23 no.3 (199-5), 1347-1388.

2. E. N. Bhattacharya, R. R. Rao. Normal Approximations and Asymptotical Expansions. John Wiley к Sons, 1976.

3. A. Bjôrner. Continuous partition lattice. Proc. Nat. Acad. Sei. USA 84 (1987), 6327-6329.

4. A. Connes, J. Feldman, B. Weiss. An amenable equivalence relation is generated by single transformation. Erg. Th. and Dyn. Syst. 1 (1981), 431-450.

5. H. Dye. On group of measure preserving transformations I, II. Amer. J. Math. 81 (1959), No. 1, 110-159; 85 (1963), No. 4, 551-576.

6. J. M. DeLaurentis, B. G. Pittel. Counting subsets of the random partition and the 'Brownian Bridge' process. Stoch. Proc. and Appi. 15, (1983), No. 2, 155-168.

7. G. Freiman, J. Pitman. Partitions into distinct large parts. J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 57 No. 3, 286-416, (1994).

8. B. Pristedt. The structure of random partitions of large integers. Transact. Amer. Math. Soc. 337 No. 2 (1993), 703-735.

9. B. Fristedt. The structure of random partitions of large sets. Preprint.lOj P. Erdos, P. Turân. On some problems of a statistical group theory, VII, Periodica Math. Hung., 2 (1972), 149-163.

10. M. Haiman. On realization of Bjomer's 'continuous partition lattice7 by measurable partitions. Trans. AMS 343 (1994), No. 2, 695-712.

11. G.H. Hardy, S. Ramanujan. Asymptotic formulae in combinatorial analysis. Proc. Lond. Math. Soc. (2) 17 (1918), 75-115.

12. S. V. Kerov. Gaussian limit for the Plancherel measure of the symmetric group. C.R. Acad. Sci. Paris Serie 1 316 (1993) 303-308

13. J. von Neumann, F. Murray. On rings of operators IV. Ann. Math. 44 (1943), 716-808.

14. J. von Neumann. Continuous geometry. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 22 (1936), 92-100.

15. J. von Neumann. The non-isomorphism of certain continuous rings. В книге: Collected works. Vol. IV, 177-188.

16. J. von Neumann. Continuous geometries. Princeton, N.Y., 1960.

17. H. Rademaher. A convergent series for the partition function p(n). Proc. Nat. Acad. Sci. USA 23 (1937), 241-254.

18. A.J. Stam. Generation of random partition of a finite set by an urn model. J. of Comb. Th. Series A 35 (1983), 231-240.

19. A. Vershik. Asymptotic Combinatorics and Algebratc Analysis, Proceeding of International Congress of Mathematicians, Zurich. 1994, Birkahauser-Verlag, 1995.

20. A. Vershik, A. Dembo, O. Zeitouni. Large deviations for integer partitions. Markov Processes and Rel. Topics 5 No. 2 (2000).

21. F. Биркгоф. Теория решеток. M., Наука, 1984.

22. В. М. Блиновский. Принцип больших уклонений для границы случайной диаграммы Юнга. Проблемы передачи информации, 1999.

23. А. М. Вершик, А. А. Шмидт. Симметрические группы высокой степени. ДАН СССР, 202, №3 (1972), 555-557.

24. А. М. Вершик, А. А. Шмидт. Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. Теория вероятностей и ее применения. 4. 1: 22 (1977) вып. 1, 72-88; Ч. 2: вып. 2 (1978), 42-54.

25. A.M. Вершик. Статистическая механика комбинаторных разбиений и их предельные конфигурации. Функц. анал. и прил. 30, №2, (1996), 19-39.

26. А. М. Вершик Предельное распределение энергии квантового идеального газа с точки зрения теории разбиений натуральных чисел. Успехи мат. наук, 52 вып. 2 (1997), 139146.

27. Л. M. Вершик. Теория разбиений. В книге: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., Наука, 1985.

28. А. М. Вершик. 'Теория убывающих последовательностей измеримых разбиений. Алгебра и Анализ, 6, №4 (1994], 1-68.

29. А. М. Вершик, С. В. Керов. Асимптотика меры Планшереля симметрической группы и предельная форма таблиц Юнга. Докл. АН СССР 233 (1977), 1024-1027.

30. В. Л. Гончаров. Из области комбинаторики. Изв. АН СССР, Сер. матем. 8 JVH (1944), 3-48.

31. В. Ф. Колчин, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков. Случайные размещения. М., Наука,1 Г>7«JL О I U.

32. C.B. Керов. Дифференциальная, модель роста диаграмм Юнга. Труды С.-Петербургского матем. общ. 4 (1996), 165-192.

33. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Статистическая физика (классическая и квантовая). M.-JI., ГИТТЛ, 1951.

34. В. А. Рохлин. Лекции по эргодической теории преобразований. Успехи математических наук, XXII вып. 5 (137), 1967, 3-56.

35. В. Н. Сачков. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. М., Наука, 1978.

36. Я. Г. Синай. Вероятностный подход к анализу статистики выпуклых ломаных. Функц. анал. и прил. 28 Я°2 (1994), 41-48.

37. К. Хуан г. Статистическая механика. М., Мир, 1966.

38. А. Я. Хинчин. Математические основания, квантовой статистики. ГИТТЛ, 1951.

39. К. Чандрасекхаран. Арифметические функции. М., Наука, 1975.

40. I1. Е. Эндрюс. Теория разбиений. М., Наука, 1982.Работы автора по теме диссертации

41. Ю. В. Якубович. А.симптотика случайных разбиений множеств. Теор. представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы 1. (Записки научных семинаров ПОМИ 223), 227-250.