Асимптотический анализ задачи упругости для анизотропных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

о»

. »О \<$&ССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ПАУК ТОРДЕЙЛ ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

•i • •• ";' Í *n pr:. /ШИЛ ьГ-ТТСТТ w.í. M .*. ?т л ярки ть к в

lili — ¿.л J

ФЕДОРОВА НАТАЛЬЯ АЛЕКСАИДРишлл

ИМПТиЧПЧкОКИИ AJÍ АД« J 1Ш1ЛЧЦ ИГ? ' • ': »

дли л i i я joTPOfmbíx о lujjh>4í>,¡<

i л Л.*, яр VT • » у .« »c« » ТП«ЦЛ.~ГО Т':ГГ

ЛРТОР^М'л'Л Г

! it. <.Í i. i . i ! ! 11 ' I > ЧГИ í >.. ) lí ' : Y ' I ív > ■ il ' . ' ■ ' . ■ i - ;

i- . •! >¡ .¡.i .i¡-'.i ¡и i-M,n i-fio 'i '.i ¡r. i, '■;.'->■

ÍÍOÍiüCUbili'í ;iv i';:

Работа выполнена а Вычислительном центре СО РАН в городе Красноярске.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Ю.В.Иемировашц; кандидат фнзнко-математнчеашх наук, старший научный сотрудник Л.И.Щкутин.

Официальные оппоненты:

доктор фюако-матсматнческих наук, профессор В.М.Корней Ликтор технических наук, профессор В.П.Максименко

ведущая организаций:

Поиоскбярскнц государственный технический университет

Защита. состоится " " 1995г. в дасов & О

на заседании специализированного совета К 002.55.01 по присуждению ученой степени кандидата физлко-матем&тпчеекпх наук в копфсрсни-зале Института гидродинамика им. М.А.Лаврентьена СО РАН но адресу: 630090, Новосибирск 90,

проспект академика Лаврентьева, 15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А.Лаврептьева СО РАН.

Автореферат разослан " ^ * 5995 г

Учений секретарь специализированного совета К 002.55.01 в ИГиЛ СО РАН

кандидат физико-математических наук Ю.М.Волчкоа

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Значение оболочек и оболочечных кои струкдий в технической сфере .деятельности человека велико. Они об

ладагот высокими прочностными свойствами при минимальном весе, до-____________

пускают мпоговариантные технологические комбинации.

При эксплуатации оболочек га композиционных матершшоа п слои к-тик оболочек возможен межслоевой отрыв, для предотвращения которог о необходимы знания о поперечных напряжениях и деформациях. Использование в качестве математического аппарата асимптотического анализа позволяет построить приближенную математическу«> модель бе? дополнительных гипотез, учитывающую все пространственные эффекты и оболочках п достаточно простую для вычислений.

Работа выполнена в соответствии с планами НИР Вычислительного центра СО РАН в г.Красноярске по программам СО РАН и приоритетным программам РАН в рамках тем: "Математическое моделирование и разработка численных алгоритмов расчета задач механики деформируемых твердых тел п композитных материалов" (номер государственной регистрации 01.86.0060374); "Численное моделирование процессов изготовления, деформирования и разрушения тонкостенных конструкций in композитных, материалов" (помер государственной регистрации 01.0.20 015426). ' •

Цель работы. Провести асимптотический анализ пространственной задали упругости для анизотропной оболочки с целью математического обоснования моделей уменьшенной размерности и ио< троен» » разрешающей системы дифференциальных уравнений, учптыпаюш.'й »<■.• пространственные эффекты d оболочке без дополнительных гптл'м.

Научпал понизил работы. На образцовых примерах и -лкци вала асплатотяка задачи упрзтостн вблизи пеособого (крпполинешюго! края анизотропной оболочки (образец - осссимметричная деформация цилиндрической оболочки) и в окрестности особого (прямолинейного) края (образец плоский изгиб цпгпгпдрическон панел-п). Роль малого параметра с ¡играет относительная толххаша оболочки.

Асимптотическим анализом характеристических корней <тшп лярн" возмущенной системы дцфферешгоальпых ураапентш, описывающих осе-симметрнчное напряжепно-деформнрозанное состояние (п.д.с.) цилин-

дрической оболочки установлено наличие трех слоев в се решении, порождаемых тремя типами корней: одного внутреннего с единичной скоростью изменения и двух пограничных со скоростями ц (погран-с.ши Кирхгофа п Фрцдрихса соответственно). Асш.щтотпчесйш анализ покачал, что хотя структуры решений в изотропной и анизотропном слу-чдг аналогичны (внутренний слой и погранслон), расчетные формулы, устшюалениые для изотропных материалов, не годятся в случае анизотропного тела. В работе приведены формулы для широкого класса анизотропных материалов.

Прп исследовании задачи плоского шгпба ортотропной цилиндрической панели установлено, что система дифференциальных уравнений, шшсышгющих эту задачу, имеет два типа корней, которые порождают дна типа слоен в се решении: внутренний слои с единичной скоростью изменения и пограничный со скоростью е-1.

На основании анализа предельного внутреннего решения трехмерной задачи упругости для произвольной анизотропной оболочки установлен линейный характер предельного распределения перемещений по нормальной координате. С использованием этой асимптотической аппроксимации вектора перемещений получена двумерная формулировка внутренней задачи для оболочек с обшей анизотропией. Выражаемая ею обобщенная модель оболочки учитывает эффекты поперечного обжатия и сдвига. Учет анизотропии материала существенно расширяет класс прикладных задач, включая так же задачи упругости для оболочек го композиционных материален, которые весьма чувствительны к уровню поперечных напряжений, игнорируемых в классической теории оболочек Кирхгофа-Лява н ее модификациях. •

Практическая ценность работы. Полученная па остове асим- . нтотического анализа обобщенная предельная модель применена для расчета полей деформаций н напряжений"в трехслойных анизотропных пластинах и трехслойных цилиндрических панелях. Результаты внедрены, получен акт о внедрении.

Апробация работы. Материалы диссертация докладывались и обсуждались на:

- Уральской зональной конференции молодых ученых и специалистов, Пермь, 1980 г.;

- конференции молодых ученых -Института гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 1981г.;

- сешшаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 1981, 1994 гг.;

• - X конференции молодых ученых Вычислительного центра СО РАН,_Красноярск, 1984 г.;

- Бсесо»зпс1ггаколе-семщтре_"Математпческое моделирование в пауке и технике", Пермь, 1986 г.; --------------- -______

- семинаре кафедры инженерной математики Новосибирского государственного технического улетсрсптета, Новосибирск, 198fir.;

-• I Всесоюзной школе молодых ученых по ппелешшм методам механики спяотгогой среды, Красноярск, Шушенское, 1987 г.;

- X Всесоюзной шхферсяшш по «шеампкгм »««годам решения задач теоуш упругости п пластичиосш, Красноярск, 1937 г ;

- семинарах отдела вычислительной механики Вмчис:лпч'.71,пог«> "«mW СС РАН, Кр»<-)шаиск, v.r.:

- семинаре каф.дри пречтгести ^хаагельптчЕ »rituttMauu Ес»»*-спбиреюуо государственного технического университете,, Поиисл^тгр'"". 1994 г..

Публикации. По теме днссертадшз опубликовано 7 печатных работ.

Структур"» я об-ь«?м работы. Диссертационная работа состоит пг, введения, трех глаи, заключения, трс* приложений гг с:"-<'кя литературы, содержит 171 страницу текста, G2 рисунка. Сяяож даягпровавиоЛ литературы включает 75 пагташш.

5

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, определена цель работы, сделан обзор литературы по применению асимптотического метода прп интегрировании трехмерной задачи теории упругости для тонких тел. Из анализа следует эффективность асимптотического метода ддя широкого круга задач. Оп йозволяет разбить основную задачу на ряд более простых и получить в некоторых случаях аналитическое решение задачи. Это важно, например, для рационального проектирования, при тестировании числаагаых схем расчета реальных тонкостенных конструкций.

Асимптотическому интегрированию трехмерных уравнений теории упругости для тонких тел посвяхцены работы К.О.Фридрнхса, Е.Рейснера, Е.Л.Репса, А.Л.Гольденвейзера, Л.А.Агаловяна, И.И.Воровцча, М.И.Гу-сейн-Заде, Ю.АтБогана, И.Ф.Образцова, Б.В. Нерубайло, И.В.Андрп-анова, В.М.Корнева, Н.Н.Рогачевой и др. Математическое обоснование асимптотический метод получил в работах М.Й.Вшпика, Л.А.Лгостер-нлка, А.Б.Васильевы, В.Ф.Бутузова, а так же в работах французских авторов П.Г.Сиарле; Ф.Дествхшдера, С.Р.Зварцста.

На основашш обзора работ и анализа подходов к асимптотическому интегрированию трехмерной задачи упругости для тонких тел сделаны следующие выводы относительно состояния проблемы: . ■'

-идея применения асимптотического метода, как метода, расчленяющего задачу, па рад более простых, в теории упругости принадлежит К.О.Фридрпхсу;

-развили эту вдею.на основе определенного вида задания асимптотики д1... широкого класса задач в теории оболочек Л.А.Гольденвейзер и его ученики;

-точный асимгготический анализ осесиммстрпчшш задачи упругости для изотропной цилиндрической оболочки выполнен Й.И.ВороБПчем н его учениками па основе аналитического представления решения задачи;

-в настоящей работе проведен асимптотический анализ задачи упругости для анизотропных оболочек в случае "особых" в "неособых" сечешш в оболочке, па его основе построена расчетная модель, с ее помощью решены прикладные задачи.

В первой главе на примере осесимметрпчпой деформации ортстроп-

б

пой цилиндрической оболочки анализируется асимптотика задачи упру' гости вблизи криволинейного ^неособого) края оболочки.

Б первом параграфа дана формулировка осеспмметричноп задачи уя-)угости для ортотроинои цклицдрпческой оболочки. Эта система содержит малый параметр <г (е -откоспте.тьття ч толщина оболочки) н является сингулярно возмущенной. Одним из методов решения стагуЗОгрпо воэму- - - _ щепных систем является метод пограничных функций. Для его коррект-цого применения необходимо исследование характеристических кордой исходной системы.

Во втором параграфе проведай пиалт характеристических корней системы дифференцшитьных уравнений осссимметрнчной задачи, сформулированной в триортогональной системе координат £), Ц, #з . По условию осевой сгр.'чтрш! лее ттетпестные не зависят от окружной координаты ¿2 . Для анализа .харпт:тернсти'1еа:тгс хтнщеД рассматривалась однородная система, соответствующая исходной, сформулироиаашаг з нячряло ниях <ту {е„,п - коэффициенты податливости, материала, Щ - параметр Ламе; здесь и далее индексы »¿=1,2,3; т,п=1,2,3,4).

епс-а + сгзегй) - ецд&п - 0.

Как лилейная система эдл-дптнтеского типа с постоянными коэффициентами она допускает частные решения вида

сгу - произвольные постоянные, А,/х - яроизвольпые параметры. Подстановка решения (2) о систему (1) и формулировка условия ролреплт-мостп однородной системы алгебраических у^внеяяй для неизвестных констант а?- приводят к алгебраическому трмнетпо четвертого нередка отноелтельио параметра р, с хоэффпцтдомп, зависящим» от А, " тг модулей упругости материала. Пусть р триа алгебракчеспгого граяло жа'л . Тпн корней определяется величиной П (дискриминант алгебраического уравнения, вычисляется через коэффициенты податливости ма-

£&1<ги +53(Я2<Т13) = 0, £01 (Гц + 5з(Яг<тзз) = 0,

{Нч[е)д?,{ч\2Ч\1 + 622^22 + 623033) + (е13 - е13)сгп + (е22 _ е2з)о2г (ед - сзз)<7зз = 0,

(1 /е)Ол(еи^п + 4- е13сг33) + д}(еу.пп +

(1)

(2)

г

тернала). Проводится следующая классификация материалов: D — 0 -изотропный; О < 0 - анизотропный, ослабленный в осевом направлении; £> > 0 - анизотропный, ослабленный в поперечном направлении.

В зависимости от тина корней /I , определенных для различных мате* риалов, выписывается частное решение (2) с некоторыми произвольными константами. Удовлетворение однородных условий для поперечных напряжений на цилиндрических поверхностях с учетом уравнения, связы-. вающего поперечные напряжения,

А22<91^13 - спЭ1(Н2ои) - £й1дг{Нга «) +

£3а2д1ап + £е25с?13|(Я2(Тзз) + ееъзд&ап + (3)

Л2Э хд^Щац) + е2а3Э10-33 = О,

(ах = е12 - ец, а2 = е22 - «23> «3 — е2з - езз),

н формулировка условия разрегшшостл однородной системы относительно неизвестных констант при линейно независимых функциях, позволяет полупить характеристическое уравнение для параметра А. Он определяет изменяемость решения но тангенциальной координате.

Для ангоотропного материала, ослабленного в осевом направлении ( О < 0, цп = ±(1 ± гк)еЛ) характеристическое уравнение имеет вид:

а\8К1{2£\к) - аЬт\2еХ1) + 4а|(АШ2(2еЛ/) + зГ^(2еЩ) = 0, (4) а, = ¡(¡'' ~

«з - к(14 - ¿4)е12е|3£гА,

а2 = 2ккпе13(ек(к2 + ¿2)2е2Л2 - е(£2 - ¿2)Ь3),

¿3 = -(еи + с«)/"Л2 + ег2гг2А4.

Для анизотропного материала, ослабленного в поперечном направлении (О > 0, /11,2 = ±гх1ек,НзА — ±»Х2гЛ), характеристическое уравнение формулируется в виде:

ат(2х1еА)мп(2х3еА)(-Г| + 2Ь,1>1 -Ь\- - Р?) +

2£)212(а>52(х1г А)4т'(л:2еА) + со«г{х2£А)«п3(х,£А)) = О

£>1, £)2 - алгебраические выражения, связывающие £, А, ет„ и имеющие одпн порядок по £ и А.

в

Установлено, что уравнения (4), (5) имеют характеристические кор--ш: А = О, Л ~ Oft-1'2), Л ~ 0(е~1). На этом основании решение (cr,j -напряжения, ш/ - перемещения, 7у - деформации) псхолной линейной системы дифференциальных уравнений,описывающих н.дх. ортотрот-uri пшпщярпческой о'Золочкп, строится с помощью трех асшшто'птч'ч-ких-разложений:

<Tij — Xij + Tij 4- Zij,

Wi - U{ + Vi + Wi, ;<И

Iii ~ Uij + Vij + Wij, - :'?yrf>pwx Хц, U{. U(j - регулярные ряды с единичной скоростью чтм -зсляя; Yij, Vi, V;j - »«»грашгттга« ряды со скоростью изменения г 1/7: >.t), Wi, W^ - пограхтчвые ряды со скоростьто тмеиошк f~l.

На основе цолпстшых уравнений возможна а количестьеццая огг^нк« ншрпны погранслоя. Расчеты шпрпны зоны погранслоя Кирхгофа <.<, скоростью пзмепенпя для материалов, чьи модули упругости существенно отличаются друг от друга, представлены во втором параграфе в виде таблицы. Данные таблицы показывают, что чем сильнее коэффициенты податливости отличаются от изотропных, тем больше зона <{«"С:лгя иогранслоя Кирхгофа внутрь области. • > > :.см леркой главы отстроен итерационный процесс

дян оар"«<м«*иич коэффициента» хЬ' (где коиср прпС.-пгжен'»« к прпни-■;<i'-.г шмитк: 0. },... ) различения я асимптотический ряд |>'*гула|Ч<»п> :;«»»<япа .Т/, :r. !0). Иояетапогл-.н 'лк рядов в исходную рач|«чт>ч>ыур> сшггему « c;vtHi.emts а.отфф!щи«'пто» при одинаков! jx степенях ■ ирипо.-ш i ШН.чимоп:п>\И.ностн систем, первая мч КОТОрЫХ сводится к чашлг. г<.и спетом«- Гх'змммеитпой теории оболочек с дополнительными уракноттп«

0,(Я2.г^) + 0-,(IlJ?i) + 11,Ял = О,

¿МВД) + + Ihb - 0.

дг{Нч1§) ~ Х§ + ll,qз-П,

(q » тЯз) • вектор внешней нагрузки), определяющими поперечные папртеппя через напряжения безмоментного соетощшя Поперечные д, формации определяются по известным напряжениям из уравнений закона Гуха. Построенное разложение позволяет удовлетворить граничным условиям па цилиндрических поверхностях, по удовлетворяет всем

условиям па торцах, пх удастся выполнить в последующих итерационных процессах.

В четвертом параграфе построен итерационный процесс д.^г пограл-с тоя Кирхгофа. Первое пограничное разложение выполняется в однородней системе, соответствующей исходной, после замены переменной t^ на переменную в\ — ^/е1^2. Подстановка асимптотических рядов Ру, Ц из (б) в однородную систему и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях с приводит к последовательности систем, первая из кото- рых сводится к замкнутой системе уравнении Кирхгофа-Лява с дополнительными уравнениями, определяющими поперечные напряжения через тангенциальные. Остальные приближения лишь уточняют это решение. Построенное разложение дает решение типа погранслоя со скоростью изменения которое еше не позволяет удовлетворить все граничные условия па торцах цилиндрической оболочки.

В пятом параграфе первой главы построен итерационный процесс для погранслоя Фрпдрпхса. Второе пограничное разложение выполняется в однородной системе после замены переменной <1 на переменную т\ — ¿[/е. Подстановка асимптотических рядов И7, из (6) в исходную систему и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях е проводит к последовательности систем, формулирующих решение типа погранслоя со скоростью изменения е-1. Ояо сохраняет размерность исходной системы, лишь несколько упрощая ее, п позволяет в каждом приближении ликвидировать порождаемые первыми двумя решениями невязки в граничных условиях на торцах цилиндра. Возможность удовлетворения граничных условий на торцах при условии эллиптичности системы следует из теоремы о полноте собственных функций обыкновенного дифференциального оператора четного порядка.

Во второй главе изучена асимптотика задачи упругости в окрестности прямолинейного (особого) края анизотропной оболочки на примере плоской деформации цилиндрической панели без учета углового погранслоя. •

В первом параграфе дана формулировка плоской задачи упругости для ортотропной цилиндрической панели.

Во втором параграфе проведен <шаш13гхарактерцстдческпх корней для системы уравнений плоского изгиба цилиндрической папепп, которая является сингулярно возмущенной системой дифференциальных уравнений в частных производных. Процедура этого анализа аналогична проведен-

ю

пой в первой главе.

Анализ соответствующего характеристического уравнения показывает, что оно имеет нулевые корни и корни порядка 0(;-1'). Корней яьрвл-ка 0(к~!/,г), отвечающих погранслою Кирхгофа, это уравнение не им.-ы Таким образом для плоской задачи характеристическое урпчпеппн югее; корни двух типов. Поэтому искомое решение линейной пк-тсмы строиз ся в виде суммы двух разложений: регулярного рачложсш« но с пчт<-н;<: 1 £ без растяжения координаты tj и пограничного разложения шк .-и р; стяжелпя этой координаты пропорционально е. Искомые неизв«-, 11м функшш ffjj, ш,- могут быть представлены суммами

cry = + Zij, Ш; г= 17,- -f- И ', , ( ' i

п которых A',,, Ui - регулярные ряди с единичной скоростью изменения: Zij, Wi - пограничные ряды со скоростью изменения ¿_|.

В третьем параграфе второй главы дана формулировка пределышп ..и стемы для погранслоя Фрпдрихса. Пограничное разложение вьшо.шя-ется в однородной системе после замепы переменной ¡у па переменную r2 = ij/f, представляется рядами п из (7) и образует последовательность рекуррентных систем, первая из которых, как п в осссимме-трнчпой задаче первой главы, являясь двумерной, выявляет решение и ■.■:-:т,тг ^граничной зопе оболочки.

В четвертом параграфе* второй глалы яровгден ».кализ регулярного решения плоской задачи. Оло строится посредство}.« )>«тулзри'п >» р.-. i. -ним в аспм)(тогическийряд лосп-леиям малого царамоэ ра очис. и и .и.ж»-ю.'нцпкы. Б «»глиппе от случая оелчшм^грачпой дсф<>рм-1,аг.1 кичи«. •фЯ'кч-кой оболочки, и плоской »ндачс uyaeiiiM приближение н<' ян .... ,, •, »Vvhojj ч1тшдм. Для yacB.iersnjx'jWA грапппвых условий ьп • >»•

м'рхпостях необходимо привлечет!« решения более едп/мкх» >«: • > г. 1»ар!1грнфе определен характер предельного решения. А' miawrnv« ы! i анализом.снстгдщ в перемещениях установлено, что неремешиш ъ щ»» •«""лтй задаче являются лппеппьшп функциями пшсрсчшш коорлнма TW: '/.',• = М; + iit';.

В ПП.ТОМ параграфе задача сводится к построению разрешают* й i и-стемы для определения коэффициентов а, а с, линейного разложения < этой целыо применяется метод моментов в вариационной форме с прпвле-"йттг!р.м граничных условий на лицевых поверхностях. В качестве независимых вариаций выбираются ко-ффипяенты линейной аппроксимации

it

перемещений.

Б общем уравнении виртуальных работ деформируемой оболочки

Д] £ (Ш» - рулц.+ /Г (Я^^УШ)!^ = о

(8)

осуществляется переход к условиям плоской деформации цилиндрической навели. В нем приняты следующие обозначения: Р г Я(~'3;(<5\У),; - виртуальная энергия напряжений; II - вектор объемных сил; С^ - вектор сил, заданных на поверхности * = />£ , = tzh,, Л = (Л2 - Лх)/2), (X = Л, 2); - вектор кромочных сил, т.е. сил, заданных на кромочной поверхности оболочки; Г^ -граничный контур, вдоль которого заданы кромочные напряжения; Б,- - вектор напряжений на координатной площадке <,• =сош1. Вычисление нитегралов (8) и сравнеппе коэффициентов при независимых вариациях формз'лирует два векторных уравнения равновесия относительно внутренних усилии и моментов. Они дают систему скалярных уравнений:

&2(а{Хп) + А1л2к2хп « - ла

о

д^Л^Х-ц) - Л1Аок2Х22 ~ ~ Щ -ЬЯы, . .

1 (э) д-ЛА\Ум) + А^АгЬУц - А\АчХ-я -~1Ь2 -Зф&ц,

~ АиЬЫЪ ~ АхА2Х» = - А -ЬМЯт,

В правой части стоят усилия и моменты от внешней нагрузки; ^ — Н1Н2Н3 (якобиан криволинейной системы координат) при t = /¡¿' к2— радиус кривизны цилиндрической панели. Для замыкания системы к (9) присоединяются уравнения закона Гука и кинематические зависимости.

Для численного расчета оттгадрической дааелп полученную систему удобно переформулировать как систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно щ, «3^2,^3 >5^2- Уравнения для Х^ и Х23 выделяются из (9). Суммарный порядок системы равен восьмл, в пей присутствуют параметры поперечного сдвига гм-.Л^Уг^ск; и попереч-пого обжатия г-'з, А'33, игнорируемые в модели Кпрхгофа-Лява. В полученной модели, к отличие от модели Кпрхгофа-Лява, существенную роль играют перерезывающее усилие Х?з, момент У?з, обобщенный модуль сдвига Б55 и усилие поперечного растяжеиия-слсатия .АГ33 . Таким

12

образом, в полученной системе учтены все пространственные эффекты деформации панели.

В шестом параграфе второй главы проведен асимптотический анализ — внутреннего н.д.с. анизотропных однородных и трехслойных пластин как трехмерных упругпх тел с двумя прямолинейными граничными сг.-чёш1:~ ямп без использования предварительных гппотеч. Полученные системы, будучи асимптотически корректнъипт в случая двух прямолинейных сечений, не являются предельными по отпощетпо к плоской задаче, рассмотренной в пятом параграфе второй главы.

Результаты решения статических задач о равномерном нагружепшт трехслойной пластины, когда модули упругости одного из слоев существенно отличаются от модулей упругости других слоев, представлены »« шчшилешш 1. IIa арпзсдсшШл гр^фттгпх т>ычошт«»ттп сратшегтпе полей напряжений, расчитаппых по г.сигпттстт?ческой моцели, с нолем напряжении по модели Кирхгофа-Лява.

В третьей главе на основе результатов. асимптотического анализа, получеппых в первых двух главах, дана обобщенная двумерная формулировка внутренней задачи упругости для пролзвольной анизотропной оболочки.

В первом параграфе приводится вариационное уравнение общей трехмерной задачи упругости для произвольной оболочки. Анализ предельно:". -мдачи для"регулярного ра>~<~пттт» г, асимптотический ряд по малому параметру топкостеиностп проведен во птором параграфе. Устано-

г-лепо, что линейно распределенное по толщине решение

v/ = u + <v (10)

является асимптотически точным частным решением общей задачи упругости оболочкообразного тела. Поэтому для формулировки приближенной модели деформации оболочки в третьем параграфе выбирается асимптотически корректная аппроксимация вектора перемещений как произвольной линейной функции нормальной координаты (10). Варьирование (10) и подстановка и уравнение виртуальных^абот (8) приводит к его приближенной формулировке. После вычисления интегралов в вариационном уравнении, введения векторов внутренних и внешних усилий и моментов, применения формулы Гаусса-Остроградского, сравнения коэффициентов при независимых вариациях и перехода от векторных величин к скалгрпым, получается система шести дифференциальных уравнений

первого порядка относительно усилий а моментов. Замыкание системы проводите! с помощью кинематических соотношений, связывающих компоненты тензора деформаций с компонентами вектора перемещений, и закона Гука для материала, обладающего свойствами общей аялэотрЗ-шш. Полученная система - это наиболее общая система, отвечающая линейной аппроксимации, имеет 12-й порядок по поверхностным координатам *1,<а. Из нее при введении гипотез Кирхгофа-Лява получается классическая система 8 порядка. Система учитывает усилия и моменты от поперечных компонент тензора напряжений. В результате ее решения определяются все компоненты объемного тензора деформаций. Тангенциальные компоненты тензор напряжений определяются из закона Гука. Определяющими уравнениями для поперечных напряжений служат локальные уравнения равновесия исходной задачи упругости.

Полученная модель модифицирована для задач расчета слоистых конструкций. В приложении 2 модель применена для расчета н.д.с. трехслойной цилиндрической панели при Оагружении поверхностным давлением и под действием сосредоточенной нагруиси в случае шарнирного оппрания и жесткого защемления прямолинейных кромок панели. Проанализированы н.^Т. панелей для широкого класса анизотропных материалов, рассмотрены варианты геометрических параметров и структуры пакета.

В заключении перечислены основные результаты диссертации, которые сводятся к следующему:

1. Исследована асимптотика задачи упругости вблизи криволинейного края оболочки на примере осеснмметрнчной деформации ортотрои-ной цилиндрической оболочки. Асимптотическим анализом характеристических корней системы дифференциальных уравнении, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочки, установлено наличие трех слоев в ее решении, порождаемых тремя типами корней: одного внутреннего с с',шшчной скоростью пзмеаенля и двух даграяпчпых со скоростями а е-1 (погранслои Кирхгофа и Фридрихса соответственно). Внутренний слой образует решение, проникающее через всю длпну оболочки. В асимптотическом смысле он описывается системой уравнений безмоментной теории оболочек. Слой со скоростью изменения е-1'2 является пограничным, в асимптотическом смысле описывается осред-ненпой по .толщине оболочки системой уравнений, которая совпадает с системой Кирхгофа-Лява для простого краевого эффекта. Погранслои

14

Фрпдрлхса со скоростью пзмепения е-1 описывается предельно!' системой уравнений, сохрапп^щей4гтрострапствеппук> размерность, по более

простой, чем псч'одп;.? система.

-2— Исследована, асимптотика^задачи упругости в окрестности прямо-

'¡»'лгочкогг! ^¡мя сболоч».'и па примере плоского гог»ЩГсртотг<ип:«#"го»-' л и; ¡а;1 ;:;•(( ■ г ой .4:1 ¡а :п Скс ¡'''.■а;1 лгафсроптшяаыпг/-: ур.ишсчптй, опигыва ■ тгтдтгл этг* "злачу, «мрот два ттпта корней, которые порождают два типа ;:> ее решсапи: внутренний слой с одиночной скоростью ппгигпнг и шграньчоьш чл» скоростью . Корш-й, соотыч •*»•»}'г» тою. яопти- лт >

м ■ V'*1, ■ л1."1;:;'1 И'" г-1"*<-> обт,-

оболочкп. Регулярное решеппе, как иикамл аишытохический. аналаз — —" ..п,.оч.гтш Слшпмулпоована разрешающая система

„„утр —>*">•"» "п «•ига» иншМ1Ши,1пи1„ ГГТ-''-, 1 "ГТТ"" Г"«'™"

перемещения задается асимптотическим приближенном в виде ллпенкои (5)ункнтгл01!сречн0н КООрДИПаТЫ.

3. Па осноапшш анализа предельного шгутренпего решения трехмерной задачи упругости для произвольной анизотропной оболочки .установлен линейный характер предельного распределения перемещений по нормальной координате. С использованием этой асимптотической аппроксимации вектора перемещений получена двумерная формулировка •г. -/■ ...тг.-.ттт: яЪятя: <Лп«»й яяизотполпсй. Выра:кае?"Ч)т ето

'¡a;j>г- ■ <.■,•,,; . лп.д.с i ¡>с\с:;.ч;шыл иластнк и , ■ I! ;м:м!'г > -.'ач па а." лей ui'u наг руа-з'янч шниа.татстгпт',:

„;,. г пчп>:пгч>.лчг,шч длалгписм » уг.ьшияхtвоСгоцпого они-

Ü" •; .-се/,-д.,"} jaBiomnis прг отлидайпых кромок. Результаты 3110-нп, акт (I ннелрешш.

Осповпое содержание диссертации отражено в работах:

о „

! .'Гслорова U.A. Асимптотика асгспммгтрпчшш задачи уг.ругост ДЛ" лнмзотроппой цилиндрической оболочки.// Всесоюзной семппар по пе-классическпм проблемам теории пластгга и оболочек. Тез. докл.- йваыо-Фраиковск, 1980. - С.16. 2.Федорова H.A. Асимптотика осеснмметрпчпои задачи упругости для

анизотропного топкого цилиндрического тела.// Уральская'зрнаяьпая конференция молодых ученых и специалистов. Сб. Механика сплошной среды. Тез. докл.- Пермь, 1980. - C.1G8.

З.Федорова II.А. Асимптотика осеснмметричиои задачи упругости для анизотропной цилиндрической оболочкн//Журн. прикл. мсхап. и техн. флэикп.-1981.-К 5.- C.15G-1G2 (совместно со Шкутиным JI.II.).

■1.Федорова II.А. Асимптотическая формулировка моделей уменьшенной размерности для упругих оболочек// Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и техипке". Тез. докл.- Пермь, 198G - С.302-303 (совместно со Шкутгшым Л.И.).

5.Федорова И.А. Асимптотическая формулировка моделей уменьшенной размерности для анизотропных оболочек. // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин н оболочек. - Изд-во Тбилисского универ-та. - 1987. -Т.2. С. 513-518 (совместно со Шкутнпым Л.Н.).

С.Федорова II.А. Асимптотическая формулировка расчетных моделей уменьшенной размерности для композитных оболочек// Численные методы механики сплошной среды: Тез. докл. I школы молодых ученых -Красноярск, 1087. - 4.2 -С.134-135.

7.Feodorova N.A.^199-1) Kinematically nonlinear model of a shell with warping cross-sections. Modelling, Measurement. Control, B, AMSE Press., Vol.53, N 1, 55-63 (together with Skutin L.I,)-

Соискатель : ¿jfi ____

Ротапринт КГТУ,Заказ 539. т.ЮО.