Асимптотический метод решения задач массопереноса растворимых веществ при плановой фильтрации подземных вод тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Постановка и некоторые аналитические методы решения задач конвективной диффузии при плановой фильтрации подземных вод

§ I. Исходные дифференциальные уравнения, постановка задач и методика перехода к области комплексного потенциала

§ 2. Об асимптотическом методе Вишика-Люстерника решения задач массопереноса при фильтрации в пористой среде . . • •

§ 3. Метод характеристик решения задач конвективного массопереноса растворимых веществ при плановой фильтрации подземных вод.

§ 4-. Асимптотический метод решения задач конвективной диффузии растворимых веществ в случае плановой радиальной фильтрации.

Глава П. Построение мажорант решений двумерных краевых задач массопереноса при плановой фильтрации подземных вод

§ I. Построение мажорант решений двумерных задач массопереноса с учетом диффузионных процессов

§ 2. Задачи конвективной диффузии растворимых в фильтрационном потоке веществ при наличии массообмена

§ 3. О построении мажорант решений задач конвективного массопереноса (схема поршневого вытеснения)

Глава Ш. Решение двумерных задач конвективной диффузии при помощи асимптотического метода Вишика-Люстерника

§ I. Решение задач в случае, когда область фильтрации ограничена двумя эквипотенциальными линиями

§ 2. Об асимптотическом методе решения задач в случае, когда область фильтрации ограничена двумя эквипотенциальными линиями и двумя линиями тока. •

§ 3. Вопросы построения поля скоростей для двумерных плановых течений подземных вод

Глава 1У. Задачи конвективной диффузии при фильтрации в неоднородно анизотропной среде

§ I. Исходные дифференциальные уравнения конвективной диффузии в неоднородно анизотропной среде. Методика перехода к области комплексного потенциала . •

§ 2. Асимптотический метод решения задач конвективной диффузии при фильтрации в неоднородно анизотропной среде

§ 3. Вопросы расчета концентрации и количества выноса растворимого вещества для двумерных плановых течений в случае наличия источников поперечной диффузии

Основные результаты работы

В настоящее время все более острый характер приобретают вопросы рационального использования и охраны от загрязнения или засоления подземных вод и плодородных земель. Эти вопросы тесно связаны с математическим моделированием и исследованием процессов различных видов массопереноса растворимых в фильтрационном потоке веществ. В частности, возникает необходимость решения следующих задач: определить характер фильтрационных течений в районе расположения источника загрязнений и расчитать поле скоростей фильтрации; в рамках схемы поршневого вытеснения определить время продвижения загрязненных веществ вдоль линий тока; оценить значимость гидродисперсионных эффектов, обуславливающих опережение фронта- конвективного потока ; оценить возможное перераспределение загрязнений в результате поперечной диффузии; оценить возможное перераспределение концентрации в пограничных зонах и др.

Первые попытки теоретического исследования изучаемых процессов были предприняты в работах И.Г.Богусского, Н.О.Каяндера,

A.Н.Шукарева, А.Н.Патрашева, С.Ф.Аверьянова, Н.Х.Арутюняна, С.Н.Нумерова, Н.Н.Веригина [I, 31,92] . Дальнейшему развитию этих исследований были посвящены работы Э.А.Бондарева, Ф.М.Бочевера,

B.С.Голубева, Л.Б.Дворкина, В.Е.Клыкова, Г.Л.Молтянера, С.В.Нер-пина, В.Н.Николаевского, А.Е.Орадовской, В.И.Пеньковского, Л.М.Рекса , В.С.Саркисянса, А.С.Хабирова, М.И.Чиркина, В.М.Шестакова, Д.Ф.Шульгина, Б.С.Шержукова [2, 10, II, 16-20, 29-39, 85, 86, 90-94, 96-100, 104, 105, 106, 112-121] . Однако, в виду сложности математической модели процесса массопереноса при фильтрации подземных вод, в этих работах исследования проводились, главным образом, на основе одномерных уравнений.

В последние годы начали интенсивно развиваться методы исследования двумерных процессов массопереноса при профильной и плановой фильтрации. В частности, в работах В.И.Лаврика было развито новое направление в гидродинамике, связанное с теоретическим изучением массопереноса при двумерной фильтрации подземных вод. В этих работах разработана достаточно общая и эффективная методика теоретического исследования установившихся и неустановившихся процессов массопереноса при плоско-вертикальной и плановой установившейся или квазиустановившейся фильтрации. Как показали проведенные в работах В.И.Лаврика исследования, наиболее эффективной методикой решения двумерных задач конвективной диффузии при фильтрации подземных вод в однородно изотропной среде является преобразование уравнений конвективной диффузии к новым независимым переменным -координатам области комплексного потенциала, а также осреднение скорости фильтрации в указанной области. Использование указанной методики в сочетании с аналитическими или численно-аналитическими методами позволило В.И.Лаврику и его ученикам получить точные или приближенные аналитические решения наиболее типичных двумерных краевых задач установившейся и неустановившейся конвективной диффузии, и, в частности, задач конвективного массопереноса, возникающих при исследовании процессов загрязнения или засоления подземных вод [56-78].

В работах И.И.Ляшко, Г.Е.Мистецкого, Ж.А.Бублика и др. для решения одномерных и двумерных задач влаго- и солепереноса разработаны различные численные методы с реализацией на ЭВМ [82, 83].

При математическом моделировании процессов конвективной диффузии могут встретиться различные случаи, а именно: диффузионные процессы преобладают над конвективными; диффузионные и конвективные процессы соизмеримы; процессы конвективного массопереноса преобладают над диффузионными. В настоящей работе рассматриваются задачи массопереноса в случае, когда конвективные процессы преобладают над диффузионными. Эти задачи описывают наиболее интересные и ванные с точки зрения практики явления переноса загрязняющих подземные воды веществ. В этом случае в качестве основной (главной) части решения задачи конвективной диффузии целесообразно взять решение соответствующей задачи конвективного массопереноса, а в остальную часть включить разные поправки, учитывающие диффузионные процессы.

Целью настоящей работы является теоретическая разработка нового достаточно общего и эффективного метода решения задач массопереноса при плановой фильтрации подземных вод в случае преобладания процессов конвективного массопереноса над диффузионными процессами. При этом исследование и нахождение решений поставленных задач основывается на переходе в уравнении конвективной диффузии от переменных физической области фильтрации к переменным области комплексного потенциала с последующим применением метода конформных отображений, метода характеристик и асимптотического метода Вишика-Люстерника.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и выводов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В диссертационной работе разработан эффективный метод теоретического исследования процессов массопереноса при плановой фильтрации подземных вод в случае преобладания процессов конвективного массопереноса над диффузионными, основаный на переходе от физической области фильтрации к области комплексного потенциала, с последующим применением метода характеристик и асимптотического метода Вишика-Люстерника.

2. На основании построения поля скоростей фильтрации и построения функций, мажорирующих удельный фильтрационный расход, получены приближенные решения: задач конвективной диффузии при фильтрации подземных вод в системе равномерно размещенных на прямой, чередующихся точечных источников и стоков одинаковой интенсивности; задач конвективного массопереноса при фильтрации из конечных узких водоемов, размещенных параллельно или перпендикулярно к береговым дренам (рекам, каналам).

3. Выделен и изучен широкий класс задач конвективного массопереноса, решения которых получены в замкнутом виде.

Получены асимптотические решения задач: конвективной диффузии при фильтрации из кругового котлована в круговом пласте; конвективной диффузии при фильтрации из бесконечного узкого водоема в перпендикулярно размещенную бесконечную дрену (реку) и конвективной диффузии при фильтрации из кругового котлована в реку или береговую дрену.

5. Построено и исследовано поле скоростей фильтрации в следующих случаях: система прямолинейных симметрических источников и стоков; система параллельно размещенных симметрических точечных источников и стоков; плановая фильтрация в обход гидросооружения при наличии сильно проницаемого слоя.

6. Разработанная в работе методика построения асимптотических решений задач конвективной диффузии распространена на случай неоднородно анизотропной среды.

7. По предложенной методике проведены конкретные расчеты поля скоростей фильтрации, времени и фронта продвижения частиц, а также концентрации и количества выноса загрязненного вещества для различных фильтрационных схем.

На основании этих расчетов сделаны следующие выводы:

- диффузионные процессы существенно влияют на распределение концентрации лишь в отдельных зонах области фильтрации, а именно: в окрестности линии фронта поршневого вытеснения; в окрестности участка выхода фильтрационного потока ; в окрестности расположенных вдоль граничных линий тока источников поперечной диффузии, тогда, как скорость фильтрации оказывает значительное влияние на распределение концентрации по всей области;

- источники поперечной диффузии, расположенные вдоль граничных линий тока, не влияя значительно на распределение концентрации по области, могут оказывать существенное влияние на количество выноса растворимого вещества через участок выхода фильтрационного потока.

1. Аверьянов С.Ф. Рассоляющее действие фильтрации из каналов, -

2. В кн.: Влияние орошения на режим грунтовых вод. М.: Изд. АН СССР, 1959, с. 44-120.

3. Аверьянов С.Ф., Цзя-Да-лин. К теории промывки засоленных почв.-Доклады ТСХА. М.: I960, вып. 56, с. 15-19.

4. Антонов A.M., Белов Ю.А. Асимптотическое исследование задачи обтекания сверхзвуковым потоком газа тонких заостренных тел при интенсивном вдуве. Журн. ВМиМФ, 1976, т. 16, N2 6, с. 17-22.

5. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. М.: Гостехиздат, 1954,-453 с.

6. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Фильтрационные расчеты гидротехнических сооружений. Л.: Стройиздат, 1955. - 292 с.

7. Ахиезер Н.И. Элементы теорий эллиптических функций. М.: Наука, 1970. - 303 с.

8. Баренблат Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде. ПММ, т. 16, Ш I, 1952, с. 67-78.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Госиздат, физ.-мат. лит-ры, 2, I960. - 620 с.

10. Берман B.C. Об асимптотическом решении одной нестационарной задачи о распространении фронта химической реакции. Докл. АН СССР, 1978, т. 242, №2, с. 265-267*

11. Бер Я., Заславский Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М.: Мир, 1971. - 452 с.

12. Богусский И.Г., Каяндер Н.О. О скорости химических реакций. -Журн. Русс, физико-химич. об-ва, 1876, 8.

13. Бомба А.Я. Об асимптотическом методе приближенного решения одной задачи массопереноса при фильтрации в пористой среде. Укр. матем. журнал, 1982, № 4, с. 37-40.

14. Бомба А.Я. Асимптотическое приближение решений некоторых задач массопереноса при фильтрации в пористой среде. В кн.: Третий республиканский симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям. Тезисы докладов.-Одесса, ОГУ, 1982, с. 232-233.

15. Бондарев Э.Н., Николаевский В.Н. Конвективная диффузия в пористых средах с учетом явлений адсорбции. ПМТФ, 1962, № 5,с. 127-134.

16. Бондарев Э.Н., Николаевский В.Н. Перемешивание жидкости в осе-симметрическом фильтрационном потоке. Изв. АН СССР, ОТН. механ. и машиностр., № 6, 1961, с. 170-171.

17. Бочевер Ф.Н., Орадовская А.Е. Конвективная диффузия солей в радиальном потоке подземных вод в связи с защитой их от загрязненных стоков. Труды ин-та ВОДГЕО, в. 13, 1966, с. 159-180.

18. Бочевер Ф.М., Орадовская А.Е. Гидрогеологическое обоснование защиты подземных вод и водозаборов от загрязнений. М.: Недра, 1972. - 129 с.

19. Бочевер Ф.Н., Орадовская А.Е., Пагурова В.И. Конвективная диффузия солей в радиальном потоке подземных вод. ПМТФ, 1966, № 2, с. 128-130.

20. EI, Будяк A.A. Об обращении интегралов с помощью обобщенных степенных рядов. Докл. АН УССР, сер. А, 6, 1969, с. 487-490.

21. Бутузов В.Ф. Асимптотика решений некоторых модельных задач химической кинетики с учетом диффузии. ДАН СССР, 1978, т. 242, №2, с. 268-271.

22. Бутузов В.Ф. Об асимптотике решений сингулярно-возмущенных уравнений эллиптического типа в прямоугольной области. Дифференц. уравнения, т. XI, 6, 1975, с. I03I-I04I.

23. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. Об асимптотике решения уравнения параболического типа с малым параметром, Журн. ВМи ВФ, т. 22, № 4, 1982, с. 865-871.

24. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными. Дифференц. уравнения, т. ХУ, № 10, 1979, с. 1848-1862.

25. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. Об одном сингулярно возмущенном уравнении параболического типа. Вестник МГУ, сер. вычисл. матем. и кибернет., № 2, 1978, с. 49-56.

26. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. Об одной сингулярно возмущенной задаче параболического типа. В кн.: IX Международная конференция по нелинейным колебаниям (тезисы докладов). -К.: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. 73-74.

27. Ван-Дайк Милтон. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. - 310 с.

28. Васильев С.В., Веригин H.H. Нестационарный солевой режим грунтовых вод, обусловленный изменением состава воды в оросительной сети. Труды ин-та ВОДГЕО, вып. 54, с. 80-84.

29. Веригин H.H. Некоторые вопросы химической гидродинамики, представляющие интерес для мелиорации и гидротехники. Изв. АН СССР, ОТН, 1953, № 10, с. 1369-1382.

30. Веригин H.H. Диффузия у поверхности твердого тела, находящегося в жидкости. Журн. физ. химии, 1958, т. 32, № 9, с. 2097-2106.

31. Веригин H.H., Шибанов A.B. О динамике адсорбции в потоке с переменной скоростью. ДАН СССР, 1974, 217, с. 846-848.

32. Веригин H.H., Васильев C.B. Нестационарный солевой режим грунтовых вод, обусловленный действием орошения. Труды ин-та ВОДГЕО, M.: 1975, в. 54, с. 72-76.

33. Веригин H.H., Васильев C.B. Нестационарный солевой режим грунтовых вод, обусловленный действием дренажа. Труды ин-та ВОДГЕО, 1975, в. 54, с. 77-79.

34. Веригин H.H., Шибанов A.B. Распространение фронта загрязнения в районах наземных и подземных хранилищ с учетом диффузии и равновесного массообмена. Труды ин-та ВОДГЕО, 1975, в. 54, с. 6-17.

35. Веригин H.H., Васильев C.B., Саркисян B.C., Шержуков B.C. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород. М.: Недра, 1977, - 272 с.

36. Веригин H.H., Шержуков B.C. Диффузия и массообмен при фильтрации жидкостей в пористых средах. В кн.; Развитие исследованийпо теории фильтрации в СССР (I9I7-I967). M.: 1967, с. 237-313.

37. Веригин H.H., Куранов Н.П. О промывании засоленных почвогрун-тов. Геология и разведка, 1975, N2 4, с. II4-II7.

38. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. -УМН, 12:5/77/, 1957, с. 3-122.

39. Голубева О.В. Двумерные динамические процессы в анизотропных средах. Прикл. мат. и мех., 1980, 44, вып. I, с. 166-171.

40. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1972. - 368 с.

41. Джеймс А. Математические методы контроля загрязнения воды. -М.: Мир, 1981. 471 с.

42. Исакова Е.К. Асимптотическое разложение решения параболического уравнения с малым параметром. Матем. сборник, т. 69/Ш/:2, 1966, с. 300-320.

43. Исакова Е.К. Асимптотика решения дифференциального уравнения параболического типа с малым параметром. ДАН СССР, т. 119, № 6, 1958, с. 1077-1080.

44. Каменемостская С.Л. Об уравнениях эллиптического и параболического типа с малым параметром при старших производных. Мате-мат. сборник, т. 31/73/, № 3, 1952, с. 703-708.

45. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. - 260 с.

46. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

47. Клайн Н.С.Дж. Подобие и приближенные методы. М.: Мир, 1968.- 302 с.

48. Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966.-159 с.

49. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. - 274 с.

50. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.- 830 с.

51. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

52. Лаврентьев М.А., Погребисський И.Б. До питания про рух грунто-вих вод в неоднор1дному грунти ДАН УРСР, № I, 1940, с. 23-25.

53. Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.-Л.: Гостехиздат, 1946. - 159 с.

54. Лаврик В.И. Теоретическое исследование процессов фильтрации, загрязнения и засоления подземных вод. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора техн. наук. Киев, 1979.

55. Лаврик В.И. Фильтрация из рек и водохранилищ при конечной глубине залегания водоупора. ДАН УССР, Серия А, 1963, № 9, с. II3I-II35.

56. Лаврик В.И. Расчет дренажных каналов при фильтрации из рек или бассейнов. В кн.: Вопросы математической физики и теории функций. К., 1964, с. 81-85.

57. Лаврик В.И. О двух краевых задачах неустановившейся конвективной диффузии в случае фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью. УМЖ, 1976, 28, № 5, с. 677-681.

58. Лаврик В.И. Решение краевых задач конвективной диффузии растворимых веществ при фильтрации загрязненных грунтовых вод. Тезисы докл. Всесоюзного совещания-семинара "Краевые задачи теории фильтрации", Ужгород, 1976, с. 88-89.

59. Лаврик В.И. О приближенном решении краевых задач конвективной диффузии растворимых в фильтрационном потоке вещств. УМЖ, сер.А, 1979, т. 31, № 4, с. 437-441.

60. Лаврик B.I. Теоретичш дослдаення процесгв забруднення й засоления шдземних вод. В1сник АН УРСР, 1979, Ш 2, с. 63-70.

61. Лаврик В.И. О решении краевых задач конвективной диффузии растворимых веществ, когда скорость фильтрации осредняется по одной из криволинейных координат. В кн.: Теория и расчеты фильтрации. К.: Наукова думка, 1981, с. 83-86.

62. Лаврик В.И., Бездетный Б.П. Применение метода суммарных представлений к задачам конвективной диффузии. ДАН УССР, сер. А, 1976, № 5, с. 420-423.

63. Лаврик В.И., Бомба А.Я. Вопросы построения поля скоростей для двумерных течений подземных вод. В кн.: Краевые задачи теории фильтрации. Тезисы докладов Всесоюзного совещания-семинара, ч. I, Ровно, 1979, с. 117.

64. Лаврик В.И., Бомба А.Я. Исследования поля скорости фильтрации при движении подземных вод из открытых водоемов к дренажному каналу. В кн.: Исследование по краевым задачам гидродинамики и теплофизики. К.: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1979, с. 20-41.

65. Лаврик В.И., Бомба А.Я. О приближенном решении одной краевой задачи диффузии при плановой напорной фильтрации. В кн.: Математические методы исследования физических полей. К.: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1980, с. 26-36.

66. Лаврик В.И., Бомба А.Я. Об одном приближенном методе решения задач конвективного массопереноса при плановой фильтрации подземных вод. Докл. АН УССР, Сер. А, 1980, № 5, с. 47-51.

67. Лаврик В.И., Никифорович H.A. Исследования конвективного мас-сопереноса при двумерной фильтрации подземных вод в условиях наличия массообмена. Препринт 82.20. К.: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1982, 46 с.

68. Лаврик В.И., Милютин А.Ф. О рассолении грунтов при фильтрации из канала в горизонтальную дрену. ДАН УССР, 1974, № 10, с. 901 -905.

69. Лаврик В.И., Милютин А.Ф. Численно-аналитическое решение краевых задач конвективной диффузии солей, залегающих в фильтрационном потоке в виде включений. В кн.: Математические методы исследования физических полей. К.: 1980, с. 3-10.

70. Лаврик В.И., Милютин А.Ф. Аналитическое и численно-аналитическое решение двумерных краевых задач конвективной диффузии растворимых веществ при фильтрации подземных вод. Препринт 78.24. К.: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1978. - 56 с.

71. Лаврик В.И., Олейник А.Я. О некоторых математических моделях подземной гидродинамики. В кн.: Физико-технические приложения краевых задач, К.: 1978, с. 76-97.

72. Лаврик В.И., Рудченко П.А. Постановка и решение задач о диффузии растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод. В кн.: Краевые задачи подземной гидродинамики. Изд. Ин-та математики АН УССР, К., 1975, с. 42-57.

73. Лаврик В.И., Рудченко П.А. Постановка и решение некоторых краевых задач конвективной диффузии. В кн.: Аналитические, численные и аналоговые методы в задачах теплопроводности. К.: 1977, с. 145-163.

74. Лаврик В.И., Рудченко П.А. Исследование процессов конвективного массопереноса при двумерной фильтрации подземных вод. -Препринт 80.12. К.: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1978. 40 с.

75. Лаврик В.И., Савенков В.Н. Справочник по конформным отображениям. К.: Наукова думка, 1970. - 252 с.

76. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981.

77. Люстерник Л.А., Олейник O.A. Некоторые задачи для уравненийс частными производными, содержащими малый параметр. Труды 1У ма-тем. съезда, т. П. Л.: Изд-во АН СССР, 1963, с. 158-169.

78. Ляшко И.И., Великоиваненко И.М., Лаврик В.И., Мистецкий P.E. Метод мажорантных областей в теории фильтрации. К.: Наукова думка, 1974. - 200 с.

79. Ляшко I.I., Демченко Л.1., Мистецький Г.Ю. Вологоперенос у насичено-ненасичених пористих середовищах. Доповш АН УРСР, сер. А, 1979, № 8, с. 600-603.

80. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. -М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с.

81. Методы прогноза солевого режима грунтов и грунтовых вод. -Под ред. Веригина В.Н., М.: Колос, 1979. 336 с.

82. Мироненко В.А. и др. Охрана подземных вод в горнодобывающих районах (опыт гидрогеологических исследований). Л.: Недра, 1980. - 320 с.

83. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, Наука, 1977. - 424 с.

84. Молтянер Г.Л., Хабиров A.C. Массоперенос в подземных водах. -Ташкент, Укнтувчи, 1976. 100 с.

85. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

86. Николаевский В.Н. Конвективная диффузия в пористых средах. -ПММ, 1959, 23, в. 6, с. 1042-1050.

87. Новик О.Б., Оста М.К., Хубларян М.Г. О математическом моделировании движения воды и солей в почве. Труды координац. совещания по гидротехнике. Л«: Энергия, 1967, вып. 35, с. 167-172.

88. Нумеров С.Н., Патрашев А.Н. Диффузия растворимых веществ в основаниях гидротехнических сооружений. Труды ЛПИ, 1947, № 4, с. 165-169.

89. Олейник А.Я., Лаврик В.И. О некоторых математических моделях подземной гидродинамики. В кн.: Математизация знаний и научно-технический прогресс. К.: Наукова думка, 1975.

90. Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными с малым параметром при старших производных и задача Коши для нелинейных уравнений в целом. УМН, X, вып. 3/65/, 1955,с. 229-234.

91. Орадовская А.Е., Бочевер Ф.М. Приближенный расчет растворения пластовых солей в основании гидротехнических сооружений. Труды ВОДГЕО, 1964, в. 6, с. 9-14.

92. Патрашев А.И., Арутюнян Н.Х. Диффузия солей при одномерной фильтрации. Известия ВНИИГ, 30, Л., 1941, с. 64-77.

93. Патрашев А.Н. Диффузия солей при фильтрации по трещинам. -Известия ВНИИГ, 31, Л., 1946, с. 55-92.

94. Пеньковский В.И. Одномерная задача растворения и вымыва солей при фильтрации с большим значением критерия Пекле. ПМТФ, 1969, № 2, с. 148-152.

95. Пеньковский В.И. Промывка почвы с подвижной границей прома-чивания в условиях нелинейной кинетики солеотдачи. В кн.: Математические вопросы механики. Новосибирск, 1975, с. 133-137.

96. Динамика сплошной среды, Ш 22).

97. Положий Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного; р -аналитические и (p>f) -аналитические функции и их некоторые приложения. К.: Изд-во КГУ, 1965. - 442 с.

98. Полубаринова-Кочина П.Я. Некоторые задачи плоского движения грунтовых вод. М.: Изд-во АН СССР, 1942. - 142 с.

99. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. -М.: Наука, 1977. 664 с.

100. Полубаринова-Кочина П.Я., Эмих В,Н. Упрощенные схемы движения грунтовых вод при промывках. В кн.: Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1969, в. 2, с. 34-37.

101. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (19171967 гг.). М.: Наука, 1969. - 545 с.

102. Рекс Л.М. О прогнозе засоления почв после промывки. Почвоведение, 1969, N2 7, с, 71-78.

103. Седов Л.М. Методы подобия и размерности в механике. М.: ГИТТЛ, 1957. - 375 с.

104. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 735 с.

105. Треногин В.А. Об асимптотике решений почти линейных параболических уравнений с параболическим погранслоем. УМН, 16:1,9, 1961, с. 163-170.

106. Треногин В.А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика. УМН, т. ХХУ, вып. 4/154/, 1970, с. 123-156.

107. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. К.: Наукова думка, 1970. - 400 с.

108. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967. - 491 с.

109. ИЗ. Фрид 1. Загрязнение подземных вод. М.: Недра, 1981, - 304 с.

110. Шержуков Б.С. Диффузия и неравномерный массообмен при фильтрации в районах наземных и подземных хранилищ промстоков. Труды ин-та ВОДГЕО, M., 1975, в. 54, с. 25-39.

111. Шержуков Б.С. Метод приближенного решения радиальных задач конвективной диффузии. В кн.: Краевые задачи теории фильтрации. Тезисы докладов Всесоюзного совещания-семинара. Ровно, 1979, ч. I, с. 123.

112. Шестаков В.М. К теории динамики сорбции при фильтрации в зернистых материалах. Журнал физической химии, 1961, 35, № 10,с. 2358-2362.

113. Шестаков В.М. Динамика подземных вод. М.: изд. МГУ, 1979, с. 368.

114. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. -711 с.

115. Шульгин Д.Ф. К расчету опреснения засоленных почвогрунтов при промывке. Вопросы механики, 1969, вып. 7, с. 122-130.

116. Шульгин Д.Ф., Чиркин М.П. Двумерная задача промывки двухслойной толщи почвогрунтов. В кн.: Труды САНИИРИ, вып. 126, Ташкент, 1971, с. 145-159.

117. Щукарев A.B. Распределение веществ между двумя несмешивающи-мися растворителями. Журн. рус. физ.-хим. об-ва, 28, 1896,с. 604-614.

118. Bolisud L.E. Parabolic Equations wits a Small Paramer and Discontinuons Data. Jornal of mathematical analysis and opplica-tions, Volum 26, ÏÏ 1, 208-220, 1969.

119. Bobisud L.E. The Second initial-boundary-value problem for a linear parabolic equation with a small parameter. Michigan Mathematical Journal, Volum 15» IT 4, december, 1968.

120. Aronson D.G. Linear parabolic equations containing a small parameter. J.Rational Mech. Anal. 5(1956), 1003-1014.

121. Friedman A. Partial differential~equations of parabolic type. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, U.J., 1964.

122. Prandtl L, Uber Fliissigheits-bewegung bei Sehr Kleiner Bei-bung, Verhandl. d. III. Jntrn. Math. Kongr. Heidelberg, 1907.

123. Eckhaus W. ang. E.M.Dejager. Acsumptotic solutions of singular perturbation problems for linear differential equations of elliptic tupe. Arch. Rat. Mech. Anal. 23(1966), 26-86.

124. Gevrey M. Sur les equations aux dérivées partielles du type parabolique, Journ. Math, pures et appl. 6, ÏT 9(1913)» 305. 131» Priedrichs K. Asumptotic phenomena i mathematical physics. Bull. Amer. Math. Soc. 61, 6 (1955), 485-5o4.