Нестационарные вычислительные модели тепло- массо- и влаго-переноса в пористых средах применительно к задачам охраны окружающей среды тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Основные модели влаго- массо- и тепло- переноса в 13 пористых средах

1.1 Классическая модель фильтрации жидкости

1.2 Модель насыщенно - ненасыщенной фильтрации жидкости

1.3 Некоторые особенности фильтрации при загрязнении почвы 22 нефтью

1.4 Модель диффузии и конвективного массопереноса в 27 почвогрунтах

1.5 Задачи нестационарной фильтрации жидкости и 32 массопереноса

1.6 Задача о растекании бугра грунтовых вод в классической 32 постановке

1.7 Задача о распространении индикатора в пористой среде

Глава 2 Выбор и обоснование численных методов решения нестационарных, нелинейных задач влаго- массо- и тепло-переноса в грунтах

2.1 Вывод расчетной схемы и редукция системы линейных 41 алгебраических уравнений для задач фильтрации

2.2 Вывод расчетной схемы и редукция системы линейных 63 алгебраических уравнений для задач массопереноса.

2.3 Учет граничных условий задачи теплопроводности

2.4 Счетная устойчивость, скорость сходимости метода 72 конечных элементов

Глава 3 Исследование точностных характеристик вычислительного 80 метода в зависимости от выбора типа конечного элемента

3.1 Исследование зависимости точности метода от выбора 82 базисных функций

3.2 Исследование зависимости точности метода от шага 83 дискретизации пространства

3.3 Исследование зависимости точности метода от шага 85 дискретизации по времени

3.4 Исследование влияния гармонических составляющих 86 точного решения на точность решения

3.5 Исследование влияния случайной ошибки данных на 92 точность решения

Глава 4 Изучение влияния физических параметров среды на 96 процессы влаго- и массо- переноса

4.1 Изучение влияния физических параметров среды на 96 характер распространения жидкости

4.2 Изучение влияния физических параметров среды на 105 характер распространения примеси в фильтрационном потоке

Глава 5 Решение некоторых экологических задач с использованием ПО разработанных расчетных схем

5.1 Решение задачи проникновения жидкости в прямоугольную 112 перемычку

5.2 Решение задачи распространения загрязнения при 114 попадании жидкости с загрязняющим веществом в естественные неровности грунта

5.3 Задача загрязнения мало- и средневязкой нагретой нефтью 120 почвы

5.4 Решение задачи распространения загрязнения в грунтах при 124 закачивании жидкости с загрязняющим веществом в скважины

5.5 Решение задачи распространения загрязнения при вымыве 130 загрязняющего вещества фазы потоком жидкости в почву Заключение

В связи с ростом промышленного производства и увеличением вероятности техногенных катастроф, а также возникновением разнообразных свалок с биологически активными веществами особенно большое значение приобретает прогнозирование распространения загрязнения в почве и грунтовых водах. В нашей стране, как и во всем мире, с этой проблемой столкнулись относительно недавно и поэтому в настоящее время данное направление исследовано недостаточно хорошо.

Процесс фильтрации жидкости в почве длительное время изучается как отечественными учеными [79,57,33,43], так и их зарубежными коллегами [96,103,104]. Так как в настоящее время особенно важную роль играет нефтедобывающий комплекс, то интенсивно изучается процесс фильтрации нефтесо-держащей смеси и газа к скважинам. Процесс фильтрации в напорных нефтяных пластах активно изучали Пыхачев Г. Б., Ромм Е. С. и другие исследователи [63,58,6,39]. Большое внимание в этих работах уделяется вопросам взаимодействия скважин в напорном пласте [77,75] и влияния особых свойств присква-женной зоны на дебит скважины [18,76,74]. В работах Ганжа В. JI. и Коновалова А. Н. Изучается проблема фильтрации многофазной жидкости, что имеет место при фильтрации водо-нефтяной смеси при вытеснении нефти водой [11,28].

С другой стороны с появлением гидроэлектростанций остро встал вопрос расчета фильтрационного потока под гидросооружениями. Указанные задачи решались многими учеными [79,80,57,90] для различных конфигураций и видов таких сооружений. Особенно большой вклад в развитие этого направления был произведен Полубариновой-Кочиной [57,33].

В последнее время достаточно много работ посвящено взаимосвязи поверхностных потоков и подземных вод [82,83,84,86]. Исследования в этой области связаны как с определением стационарного потока жидкости при инфильтрации жидкости из устья рек в почву, так и с определением изменения дебита рек на уровень грунтовых вод.

А с ростом площади мелиорируемых земель все более остро стоит вопрос прогнозирования водно-солевого режима сельскохозяйственных территорий. Часто требуется определить наиболее эффективный объем полива земель для исключения засоления, а также для получения наибольшей экономической прибыли от использования земель. Подобные задачи решались различными авторами в своих исследованиях [19,73,78,2].

Продолжением исследований в этой области стало прогнозирование развития различных экологических процессов [22,14,44]. Задачи такого класса отличаются высоким уровнем сложности, вследствие чего особенно большое значение имеет их решение на современных ЭВМ. Однако моделирование массо-переноса нестационарным потоком жидкости вещества применительно не к задачам засоления почвы, а к задачам, связанным с выбросом вещества в окружающую среду, разработано слабо.

Нестационарные задачи распространения жидкости и вещества рассматривались крайне редко. Во многом это определялось трудностью аналитического решения данного класса задач. Но применительно к проблемам экологии в основном представляет интерес моделирование распространения загрязнения при единовременном, аварийном выбросе. Причем для целей ограничения влияния данного выброса на экологическую обстановку в регионе представляет интерес не только окончательное распределение биологически активного вещества, но и динамику его распространения и пути локализации выброса.

Следует особенно отметить специфику распространения загрязнений нефтью. Обычно загрязнение почвы происходит вследствие аварий при транспортировке трубопроводами нефти. При этом нагретая нефть попадает в почву. Однако, процесс фильтрации может сильно зависеть от ее температуры. Для решения данных задач приходится моделировать не только процесс фильтрации жидкости, но и учитывать распространения тепла в грунте, т.е. решать задачу теплопереноса.

Целью данной работы являлась разработка математических моделей и программного комплекса, позволяющего производить расчет нестационарных полей концентрации веществ в пористых средах. Рассмотрены достоинства и недостатки различных численных методов, используемых для решения указанного круга задач и выявить наиболее предпочтительные в использовании, провести исследования влияния различных вариантов используемого метода на соответствующую ошибку в решении и выработать рекомендации по применению численных методов для решения задач распространения загрязнения в почве.

Ставились задачи по изучению влияния различных физических параметров на процесс распространения жидкости и переносимого ею загрязняющего вещества в грунте. Еще одним направлением, рассмотренным в данной работе является моделирование таких процессов, протекающих при загрязнении, как распространение жидкости в почве и перенос потоком жидкости растворенного в ней вещества. Особо следует отметить проводимое в работе моделирование загрязнения почвы нефтью. Вследствие того, что часто характер течения нефти зависит от ее температуры, произведен расчет теплопереноса в грунте, наблюдающийся при моделировании фильтрации нагретой нефти.

Таким образом, объектом исследования является динамика процесса загрязнения почвы в результате техногенных аварий, а предметом исследования -поле давления жидкости в грунте, необходимые для расчета характера течения жидкости, поле концентраций распространяющегося вещества, а также поле температуры грунта.

При выполнении работы использовались физические модели, разработанные различными авторами на основе проведеных натурных экспериментов с распространением жидкости, раствора вещества в жидкости и нефти.

Диссертационная работа состоит из вступления, пяти глав, заключения, списка используемой литературы.

В диссертации в первой главе описываются основные физические модели, применяемые при моделировании фильтрационного потока жидкости, массопе-реноса потоком жидкости вещества, и также особенности фильтрации нефти.

Для моделирования потока жидкости использована насыщенно-ненасыщенная модель фильтрации. При этом поток жидкости описывается уравнениями: т=±(ц¥)Ёх: dt дх I дх

Л 5 + —

ЭУ т ду/

Kv) d(y/ + z) dz где k(y), в - коэффициенты фильтрации и влажность грунта. В соответствии с законом Дарси: -Ф) ду/ дх ду где v - скорость фильтрации, у/ - давление всасывания: Р =

P-g м. вод. ст.) где р - давление жидкости, р - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения.

В качестве зависимостей коэффициентов фильтрации и влажности в работе приняты: к. т=

1 + а(-у/) в.

- при у < О к(у/) = ks при у/> О при у/ < 0 и в = 0S при у/ > 0 ,

1 + fi(-¥y где 9S - влажность насыщенного грунта, вг - влажность, соответствующая связанной воде, в0 - остаточная влажность грунта, кч - коэффициент фильтрации при полной влагонасыщенности грунта, а,а,,/?,/?,,а/ - параметры, зависящие от типа грунта.

Эта модель имеет ряд преимуществ по сравнению с классической постановкой задачи. В частности, она позволяет моделировать поток жидкости, учитывая не только зону полного насыщения, но и область неполного насыщения грунта жидкостью. Однако в этой модели присутствует нелинейность коэффициентов в зоне неполного насыщения, что затрудняет аналитическое решение задач в такой постановке.

Процесс фильтрации нефтей имеет отличительные особенности. В частности, в силу того, что в нефтях содержатся парафинистые вещества и смолы коэффициент фильтрации оказывается зависим от температуры. При этом в работе принята следующая зависимость коэффициента фильтрации от температуры, основанная на результатах исследований М. Г. Алишаева и др., приведенных в монографии «Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений»: ks = К к0,т<т0 (Т-Т0)

-тй) к0,т0<т<т1,

К so + к0, тх < т где Т0 - температура «застывания» нефти, а 1\ - температура после которой нефть ведет себя как обычная жидкость.

Учитывая влияние температуры на процесс фильтрации, необходимо произвести расчет распространения тепла в грунте. Этот процесс в двумерном случае описывается уравнением:

1.34) дТ дТ дТ с-р- — + сж- рж-ух—- + сж- рж-у2— = ХгдгТ 82Т4 дх1 dz' dt л ' ~ л дх л ' л л dz где Я - теплопроводность грунта, заполненого нефтью, сж,рж - плотность и удельная теплоемкость жидкости, с,р - плотность и удельная теплоемкость грунта с нефтью, vx,vz - горизонтальная и вертикальная составляющая скорости фильтрации потока.

Процесс массопереноса описывается дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа: тдС =д dt дх

D(V) дС дх ■ ду

D(V) дс ду. dz

D(V) дС dz

У дС дС у дС дх у ду dz ' где D(V) - коэффициент гидродинамической дисперсии.

В качестве зависимости коэффициента гидродинамической дисперсии от скорости фильтрационного потока в работе взята:

D(V) = DM+DK\V Г, где DM - коэффициент молекулярной диффузии; DK - коэффициент конвективной дисперсии, V - скорость фильтрационного потока, а - параметр, зависящий от среды.

В первой главе приводятся решения другими авторами задач, близких к рассматриваемой тематике, которые используются в дальнейшем при анализе результатов исследования. Также проводится анализ достоинств и недостатков различных моделей фильтрационного потока применительно к задачам охраны окружающей среды.

Во второй главе обсуждаются достоинства и недостатки различных численных методов, применяемых при решении задач фильтрации, теплопереноса и мас-сопереноса, делается вывод о применении некоторых из них. Далее детально рассматривается метод конечных элементов применительно к процессу фильтрации жидкости, массопереносу вещества и теплопереносу. Вывод расчетной схемы для уравнений параболического типа, рассматриваемых в работе, производился при помощи метода Галеркина и схемы Кранка-Николсона. При редукции к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) использован метод конечных элементов. В работе используются треугольные конечные элементы, что упрощает процесс дискретизации области и аппроксимации границы. Получена следующая СЛАУ:

И+Щ RTTa?)}=[Н Щ. |5й}+

At 2 ) у At 2 J где [a(t + А/)} - искомая физическая величина в момент времени t + At, [a{t) -извесное после решения задачи на предыдущем шаге итерационного процесса значение физической величены в момент времени t, [с], - матрицы, определяемые выбором конечных элементов и геометрией дискретизации области.

Матрицы, составленные для отдельно взятого конечного элемента, впоследствии объединяются в глобальную систему уравений. В работе используются треугольные конечные элементы трех типов:

1. Симплекс треугольный элемент, определяемый аппроксимирующей функцией: у/ = ах + а2 ■ х + аъ ■ z и позволяющий найти значение искомой физической величины в вершинах треугольника;

2. Шестиузловой треугольный элемент, определяемый аппроксимирующей функцией: y/r =ar 1 +аг2 -х + агз -z + aU ■х2 +агь ■x-z + ar6 ■ z2 и позволяющий найти значение искомой физической величины в вершинах и срединах сторон треугольника;

3. Трехузловой треугольный конечный элемент, определяемый аппроксимирующей функцией: у/г = ах + а2 ■ х + аъ ■ у + аА ■ х2 + а5 ■ х ■ у + а6 ■ у2 + а1 ■ хг + + as-х2 -у + ад -х-у2 +aw ■у3 и позволяющий найти значение искомой физической величины в вершинах треугольника и центре масс, а также частные производные в вершинах треугольника.

В этой главе произведено построение расчетной схемы с учетом граничных условий, используемых в работе, вида: 1. (р = ср1; о дф

L. — = q, дп

3. K^ + h(<p-<pJ = 0, on дер „ , где — - частная производная искомои функции по направлению внешней нордп мали к границе, срх - значение функции на бесконечном удалении от границы.

В третьей главе производится анализ влияния применения различных конечных элементов на ошибку в получаемом решении.

Для проведения этого анализа задавался вид точного решения, динамика его изменения. На каждом шаге по времени решалась обратная задача конечно-разностными методами, а затем по полученным данным востанавливалось решение прямой задачи разработанным алгоритмом. При этом изучаелось значение ошибки при различных параметрах почвы и вида точного решения. В главе сделаны выводы о достоинствах и недостатках различных расчетных схем и даны практические советы по их применению.

В четвертой главе производится анализ влияния основных физических параметров почвы на процесс распространения жидкости и вещества используя рассмотренные в первой главе задачи. На примере задачи растекания бугра жидкости рассмотрено влияние основных физических параметров на получаемое численное значение. Выработаны рекомендации по выбору значений параметров грунта при отсутствии данных натурных экспериментов. Влияние параметров среды на процесс массопереноса изучался на примере задачи распространения индикатора в пористой среде. По результатам эксперимента сделаны рекомендации о неободимости учета различных физических параметров среды на процесс массопереноса.

В пятой главе решаются основные задачи распространения загрязнения в почве. В частности, моделируется распространение растворенного в жидкости вещества при попадании раствора в углубления почвы произвольной геометрической формы. На примере данной задачи исследуется влияние ошибки в решении задачи распространиения жидкости на ошибку получаемую в решаемой совместно с ней задачи массопереноса. В качестве разновидности дданной задачи производится расчет фильтрационного потока нагретой нефти имеющей зависимость вязкости от температуры. При решении этой задачи совместно решалась задача термопереноса. При этом учитывался конвективный и диффузионный перенос тепла В пятой главе также решена задача вымыва вещества потоком жидкости. Данная задача решалась с учетом конвективно-диффузионного и

12 только конвективного переноса вещества жидкостью При этом учитывался переход вещества из твердой фазы в раствор. Также в данной главе решается задача распространения раствора жидкости из скважины, что часто встречается при утилизации отходов производства. Более сложной является задача распространения загрязнения из закачивающей в добывающую воду скважину, находящуюся в уровне грунтовах вод. Данная задача имеет большое прикладное значение, т.к. в аграрных районах часто можно видеть утилизацию жидких бытовых отходов в скважины при непосредственной близости колодцев и добывающих воду скважин. В ходе решения данной задачи промоделирован процесс смыкания поверхности закачиваемой жидкости и уровня грунтовых вод, а также достижение веществом добывающей скважины.

Выводы:

1. Вычислительная схема с трехточечным конечным элементом дает наиболее быстрое нарастание ошибки, что можно объяснить большей требовательностью данной схемы к гладкости искомой функции. Действительно, наиболее быстро ошибка растет в точках наибольшего изменения аппроксимируемой функции, причем значение ошибки в данной точке может быть на несколько порядков больше, чем в большинстве других точек дискретизации пространства;

2. Так как, аппроксимирующие функции в симплекс и шеститочечном конечном элементах являются функциями Лагранжа, поведение схем аппроксимации на их основе достаточно близко друг к другу;

3. Вычислительная схема с шеститочечными конечными элементами дает наименьшую ошибку, но при этом требуют наибольших затрат машинного времени.

3.5. Исследование влияния случайной ошибки данных на точность метода

Рассмотрим вопрос ошибки вычислений и сходимости метода при наличии случайной ошибки в значениях воздействующих на систему факторов на каждом шаге аппроксимации. В случае, если метод является сходящимся, то малая ошибка входных данных должна вызывать малую ошибку результата эксперимента.

Итак, после определения воздействующих на систему факторов методом конечных разностей в узлах дискретизации внесем в их значение некоторую случайную ошибку. После этого найдем решение задачи и сравним данное решение с решением, полученным без наличия ошибки во входных данных.

Так как мы вносим случайную ошибку, то получаемое распределение возмущения фактически будет являться белым шумом с равномерным распределением. Следовательно, предположив, что вносимая ошибка не превышает А%, можем сказать, что ошибка определения дебитов лежит в пределах от -А до +А. После несложных вычислений получаем, что математическое ожидание ошибки определения дебитов равно 0, а дисперсия

2-А3 равна .

Определим ошибку, вносимую возмущением в виде:

8

100%.

3.5) где у/ - значение искомой функции давления всасывания при отсутствии ошибки во входных данных эксперимента, а у/ - давление всасывания в той же точке при наличии данной ошибки, а т j=i п где п - количество узлов дискретизации.

Для того, чтобы определить зависимость данной ошибки от размера ошибки входных данных стандартными способами, найдем математическое ожидание и дисперсию ошибки выходных данных,.

Исследование будем производить при разбиении области решения на 32 отрезка по осям ОХ и OZ, а область Т разбьем на 100 отрезков дискретизации. На каждом шаге времени будем производить внесение случайной ошибки и рассматривать изменение при этом получаемого решения.

Результаты вычислений приведены в таблице 3.1.

Заключение

В заключении перечислим основные результаты данной диссертационной работы.

В работе разработанны математические модели процессов загрязнения грунтов биологическиактивными вешествами, попадающими в виде растворов в жидкости. Задачу распространения загрязнения разделили на две подзадачи. Сначала на каждом шаге дискретизации временной области решается задача влагопереноса, а затем, оновываясь на полученных значениях скорости фильтрации жидкости решается задача массопереноса. При моделировании загрязнения почвы нефтью задача также разбивается на две подзадачи. Вследствие того, что скорость фильтрации нефти зависит от температуры, вначале решалась задача термопереноса, а затем задача фильтрации.

В работе описаны основные модели влаго- массо- и теплопереноса, которые используются при моделировании процессов загрязнения почвы и грунтовых вод. Произведен учет в используемых моделях особенностей, характерных для задач эколологии. Приведенные модели позволяют описывать большой круг экологических задач.

Во второй главе произведен вывод расчетной схемы для решения рассматриваемого круга задач на основе метода Галеркина и метода Кранка-Николсона и редукция системы линейных алгебраических уравнений, основываясь на методе конечных элементов. В данной работе при редукции СЛАУ использовались треугольные конечные элементы трех типов. В ходе вывода вычислительной схемы произведен учет всех основных граничных условий, встречающихся в задачах влаго- массо- и термо- переноса.

Основными результатами полученными лично автором можно считать следующие:

Во-первых, изучено влияние основных параметров, определяющих зависимость коэффициента фильтрации и влажности грунта от давления жидкости на полученное в процессе моделирования решение. Ранее подобные исследования не проводились, однако, учитывая сложность проведения натурных экспериментов, эти результаты позволяют заострить внимание инженеров на наиболее важных параметрах, характеризующих исследуемые грунты.

Во-вторых, произведен анализ влияния вида конечного элемента на ошибку в решении в зависимости от характера фильтрации. В работе проведен анализ влияния точного решения на ошибку в получаемом методом конечных элементов решении для задач фильтрации. Данный анализ имеет важное теоретическое и прикладное значение при проектировании программных комплексов, предназначенных для моделирования фильтрационного потока жидкости в грунте и задач массопереноса. Это имеет особенно большое значение, учитывая достаточно большое количество разработанных конечных элементов и соответственно различные затраты машинного времени при их применении.

В-третьих, рассмотрена задача распространения раствора вешества в жидкости из образовавшегося резервуара. На примере данной задачи исследован вопрос влияния ошибки, получаемой в решении задачи фильтрации, на решение задачи массопереноса. Полученные результаты позволяют спланировать математический эксперимент с получением гарантированного размера ошибки вычислений. В данном эксперименте можно проследить, как наличие в грунте прослойки с меньшим коэффициентом фильтрации оказывает влияние на поток жидкости и массоперенос.

В-четвертых, в работе решена задача вымыва твердой фазы вещества фильтрационным потоком. Из результатов данного эксперимента видно, что для задач экологии недопустимо пренебрегать диффузионным переносом вещества, так как происходит размыв границы вещества, а биологически активные вещества могут представлять опасность даже в относительно небо-лших концентрациях.

В-пятых, решена задача распространения тепла в грунте и нефти, коэффициент фильтрации которой имеет достаточно сильную зависимость от температуры. Из результаты эксперимента подтверждают, что при такой постановке задачи нефть будет распространяться преимущественно в направлении наибольшего прогрева грунта. Первоначально перенос температуры производится потоком нефти. По мере остывания распространение нефти замедляется и в большой степени зависит от теплопроводности грунта.

Наконец, решена задача распространения расвора загрязняющего вещества из нагнетающей скважины, смыкания нагнетаемой жидкости с грунтовыми водами и переноса загрязнения к добывающей скважине. Данная задача имеет большое практическое значение при расчете добывающих скважин в условиях сельскохозяйственных регионов при наличии скважин, сбрасывающих отходы животноводства в глубинные слои грунта.

В качестве дальнешего развития данного направления моделирования загрязнения грунтов можно разработать трехмерную вычислительную модель распространения биологически активных веществ с учетом испарения воды с уровня грунтовых вод и транспирацию жидкости растениями. Перспективным также видится учет влияния на распространение загрязняющего вещества рек, протекающих в исследуемой местности. В частности, представляет интерес влияние русла реки не течение грунтовых вод, перемещение вещества при попадании в русло рек, а также осаждение и распространение вещества в донных отложениях рек. Для моделирования распространения биологически активных веществ попавших на поверхность почвы представляет интерес моделирование проникновения их в глубинные слои почвы при выпадении осадков, таянии снегов и паводков рек. Представляет интерес также учет химической трансформации веществ при их попадании в почву.

1. Аверьянов С. Ф. Зависимость водопроницаемости почво-грунтов от содержания в них воздуха. // Докл. АН СССР, 1949, т. 69 N2

2. Аверьянов С. Ф. Фильтрация из каналов и ее влияние на режим грунтовых вод. М.: Колос, 1982. 250 с.

3. Алишаев М.Г., Розенберг М.Д., Теспюк Е.В. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений/Под ред. Г.Г. Вахитова М.:Недра, 1985.271 с.

4. Антонцев С. Н., Епихов Г. Н. Кашеверов А. А. Системное математическое программирование процессов водообмена. Новосибирск: Наука, 1986. 215с.

5. Антонцев С. Н., Кашеваров А. А. Корректность гидравлической модели совместной фильтрации грунтовых вод и почвенной влаги // Математические модели фильтрации и их приложения (Сб. научн. трудов)., 1998. 21-35с.

6. Баренблатт Г. И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. Г. И. Баренблатт, В. Н. Ентов, В. М. Рыжик. М.: Недра, 1972. 207 с.

7. Бегматов, Абдували Задачи нестационарной фильтрации в областях с подвижной границей. Ташкент, 1991 г. 210 с.

8. Я. Бэр, Д. Заславски, С. Ирмей. Физико-математичекие основы фильтрации воды. М.: Мир, 1971. 320 с.

9. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974. 318 с.

10. Галин Л. А. Некоторые задачи неустановившегося движения грунтовых вод // ПММ, 1951 г. Т. 15, вып. 6. с. 654-678.

11. П.Ганжа В. Л., Журавский Г. И. Фильтрация двухфазных однокомпонентных потоков в дисперсионных средах. Минск: Наука и техника, 1988. 240 с.

12. Геронимус М. Б., Крамаровская И. И. Увлажнение почвы из источника, расположенного на поверхности земли // Сб. науч. тр./ ТашГУ. 1982 N863. с. 41-47.

13. Глобус А. М. Эксперементальная гидрофизика почв. JL: Гидрометеоиздат, 1969. 355с.

14. Движение растворимых примесей в фильтрационных потоках: Сб. науч. Трудов (межвузовский)/ Тул. Гос. Пед. Ин-т JI. Н. Толстого; Редкол.: Ю. А. Гладышев (отв. ред). . Тула: Тул. ГПИ, 1983. 82 с.

15. Деклу Ж. Метод конечных элементов./ Ж. Деклу: Под ред. Н. Н. Яненко. М.: Мир, 1976 218 с.

16. Демьянович Ю. К. Об оценках скорости сходимости некоторых проекционных методов решения эллиптических уравнений. « Журн. вычисл. матем. и мат. физ.», 1968 т. 5 N 2 с 79-96

17. Добронравов А. А. Расчет на ЭВМ нестационарной фильтрации в районах гдротехнических сооружений / А. А. Добронравов, В. С. Кремез, В. С. Сирый. Киев: Наукова думка, 1980. 182 с.

18. Ентов В. М. Задовский А. Ф. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Недра, 1989. 320 с.

19. Зальцберг Э. А. Режим и баланс грунтовых вод зоны избыточного увлажнения. JL: Недра Ленинградское отделение, 1980. 230 с.

20. Зенкевич О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механика сплошных сред. М.: Мир, 1974. 238 с.

21. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация/ Перевод с англ. Б. И. Квасова .Под ред. Н. С. Бахвалова. М.: Мир, 1986.350 с.

22. Знаменский В. А. Гидрологические процессы и их роль в формировании качества воды. Д.: Гидрометеоиздат, 1981. 248 с.

23. Кириллов В. С. Исследование эффективности алгоритма решения задач насыщенно-ненасыщенной фильтрации.// Сборник научных трудов Северо-Кавказского государственного технического университета серия «Физико-Химическая» выпуск 5.-е. 120-126.

24. Кириллов В. С. Задача массопереноса вещества насыщенно-ненасыщенным потоком жидкости. // Известия вузов. СевероКавказский регион. Технические науки. Выпуск 3. с. 100-108

25. Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаеаой жидкости. Новосибирск: Наука, 1988. 210 с.

26. Корнеев В. Г. Оценки обусловленности для схем метода конечных элементов. // "Труды третьей Всесоюзной конференции по численным методам теории упругости и пластичности И". Новосибирск, 1974, с. 13-27

27. Корнеев В. Г. Сеточные операторы, энергетически эквивалентные порождаемым кусочно-эрмитовым распределениям. Ж. Вычислит, матем. и матем. физ., 1979, т. 19 N 2, с. 402-416

28. Корнеев В. Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости.-«Изв. ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева», 1967, т. 83 с. 286-307

29. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности/В. Г. Корнеев; Ленинградский гос. Ун-т. им. А. А. Жданова. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1977. 208 с.

30. Кочина П. Я. Задачи о движениях со свободной поверхностью в подземной гидролинамике М.: Журн. «Успехи Физ. Наук», 1996. 174с.

31. Кочина П. Я., Кочина Н. Н. Гидромеханика подземных вод и вопросы орошения. М.: Физматлит, 1994. 240 с.

32. Крамаровская А. А. Приближенный метод решения плоских задач установившейся фильтрации и влагопереноса// Математические модели фильтрации и их приложения (Сб. научн. трудов)., 1998. 118-123с.

33. Крамаровская И. И., Увлажнение почвы из источника, расположенного на поверхности земли// Сб. науч. тр./ ТашГУ. 1981 N 670. с. 24-30.

34. Кулабухова И. И. О фильтрации при неполном насыщении грунта // Докл. УзбССр. -N3, 1967. с.10-12

35. Лаврик В. И. Конформные отображения физико-топологических моделей . Киев: Наукова думка, 1990 г. 364 с.

36. Ляшко И. И. Расчет фильтрации в зоне гидросооружений: Киев, Буд1вельник, 1980. 248 с.

37. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973.352 с.

38. Математические методы в вопросах орошения./ Полубаринова-Кочина П. Я., Пряжинская В. Г., Эмих В. Н. М.: Наука, 1969. 169 с.

39. Методика МИФ для численного решения трехмерных уравнений миграции и фильтрации загрязнения в подземных водах на произвольных шестигранных сетках / А. Д. Гаджиев, Г. А.

40. Филимонцев, А. А. Шестаков Снеженск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1998.60с.

41. Мироненко В. А. Румынии В. Г. Проблемы гидроэкологии. М.: Изд. Московского Горного Университета, 1998. 230 с.

42. Мироненко В. А., Румынии В. Г., Угадаев В. К. Охрана подземных вод в горнодобывающих районах. Д.: Недра, 1980. 234 с.

43. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Перевод с англ. В. Е. Кондратова, В. Ф. Курякина; Под ред. Н. Н. Яненко. М. Мир, 1981. 240 с.

44. Михлин Е. Г. Вариационные методы в математической физике, М.: Наука; 1970. 510 с.

45. Молчанов И. Н., Николаенко Л. Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наук. Думка, 1989 272 с.

46. Норри Д. де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.304 с.

47. Обен Ж. П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. Пер с англ. М.:Мир, 1977 226 с.

48. Пашковский И. С. Методы определения инфильтрационного питания по расчетам влагопереноса в зоне аэрации. М.: Изд-во МГУ, 1973. 119с.

49. Пеньковский В. И., Рыбакова С. Т. Задача неустановившейся фильтрации при неполной насыщенности грунта // Изв. АН СССР «Мех. Жидкости и газа» №3 стр. 148-152

50. Пеньковский В. И., Рыбакова С. Т. К задаче о неустановившейся фильтрации при неполной насыщенности грунта // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1966, N 3, с. 148-152

51. Пеньковский В. И., Рыбакова С. Т. Прогноз водно-солевого режима на орошаемых территориях. //Природные условия Западной Сибири и переброска стока рек в Среднюю Азию. Новосибирск.: Наука, 1975. с. 101-103

52. Полшкова И. Н. Метод расчета конвективного массопереноса в подземных водах //Численное моделирование процессов фильтрации и тепло-массопереноса в подземных водах (Сб. научн. трудов), 1992. 2537 с.

53. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 520 с.

54. Пыхачев Г. Б. Подземная гидравлика. М.: Наука, 1973. 315 с.

55. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967 г.г.). М.: Наука, 1969.

56. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 590 с.

57. Рыбакова С. Т., Сабинин В. И. Задача неустановившейся насыщенно -ненасыщенной фильтрации к горизонтальным дренам. // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. 1981 N5 с. 81-87

58. Рыбакова С. Т., Сабинин В. И. Исследование взаимосвязи почвенныз и грунтовых вод при орошении. // ПМТФ., 1978., N2, с. 166-173

59. Ромм Е. С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. М.: Наука, 1966 г. 320 с.

60. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1975. 612 с.

61. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР; Пер. с франц. М.: Мир, 1989. 190 с.

62. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Высш. шк., 1985. 471 с.

63. Самарский А. А. Разностные методы для эллиптических уравнений./ А. А. Самарский, В. Б Андреев,- М.: Наука, 1976. 320 с.

64. Самарский А. А. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями: Учебное пособие для ун-тов./А. А. Самарский, Р. Д. Лазарев, В. Л. Макаров М.: Высш. шк., 1987 -430 с.

65. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 218 с.

66. Сегерлинд Л. Дж. Применение метода конечных элементов/ Перевод с англ. А. А. Шестакова; Под ред. Б. Е. Победри,- М. Мир, 1979. 310 с.

67. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Недра Ленинградское отделение, 1950. 253 с.

68. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. / Перевод с англ. Б. И. Квасова; Под ред. Н. Н. Яненко М.: Мир, 1978 248 с.

69. Судницын И. И. Движение почвенной влаги и водопотребление растений. М.: Издательство МГУ, 1979. 254 с.

70. Толпаев В. А., Кириллов В. С. Исследование эффективности вертикального гидроразрыва нефтяного пласта. Циклы. Материалы Второй международной конференции. Часть вторая. Ставрополь: СевКавГТУ. 2000. с. 196

71. Толпаев В. А., Кириллов В. С., Харченко Ю. В. Математическая модель циклического взаимодействия скважин с индивидуальными фильтрационными свойствами призабойных зон. // Циклы. Переодическое издание. Выпуск 2. Ставрополь: СевКавГТУ, 2000. с. 102

72. Физика почвенных вод./ Отв. Ред. Нержин С. В. М.: Наука, 1981. 207с.

73. Фильчаков П.Ф. Теория фильтрации под гидротехническими сооружениями. Киев: Буд1вельник 1959, 550 с.

74. Фильчаков П. Ф. Численные и графические методы прикладной математики. Киев: Буд1вельник. 1970, 240 с.

75. Хубларян М. Г. Водные потоки: модели течений и качества вод суши / АН СССР, Ин-твод. пробл. М.: Наука, 1991. 190с.

76. Хубларян М. Г., Фролов А. П. Моделирование процессов интрузии в эструариях и подземных водоносных горизонтах. М.: Наука, 1988. 143с.

77. Хубларян М. Г., Фролов А. П., Пустырский В. Е. Математическое моделирование взаимодействия поверхностных и подземных вод.// Вод. рескрсы. 1987. N 4 с. 31-40

78. Хубларян М. Г. Юшманова О. О. Исследование взаимосвязи поверхностных и фильтрационных стационарных двумерных течений.// Вод. ресурсы. 1984 N5 с. 34-43

79. Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв. JI.: Гидрометеоиздат, 1973. 427 с.

80. Численное моделирование взаимосвязи напорной фильтрации и поверхностного стока.//Вычислительная прикладная гидродинамика, выпуск 111, 1996, 40-48 с.

81. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989 288 с.

82. Шестаков В. М. Динамика подземных вод. М.: Изд-во МГУ, 1979. 324с.

83. Шестаков В. М., Пашковский И. С., Сойфер А. М. Гидрологические исследования на орошаемых территориях. М.: Недра, 1982. 244с.

84. Эмих В. М. Гидродинамика фильтрационных течений с дренажем. Новосибирск.: Наука, 1993. 340 с.

85. Allen М.В., Murpfy C.L. A finite-element collocation method for variable saturated flow in two space dimension //Water Resour. Res. 1986.-V. 22, N11.-p. 1537- 1542

86. Alt. H. W., Luckhaus S., Visintin A. On nonstationary flow through porous media // Ann. Mat. para ed appl., 1984, Vol. 136, p.p. 303-331

87. Arbogast Т., Wheeler M. F., Zhang N.-Y. A nonlinear mixed finite element method for a degenerate parabolic equation arising in flow in porous media //SIAM J. Numer. Anal., 1996, 33 N4, pp 1696-1687

88. Babu D. K., Pinder G. F. A finite element-finite difference alternating direction algorithm for three-dimensional groundwater transport. //Adv. Water Resources, 1984, Vol. 7, Sept., p.p. 116-119

89. Bear J. Dynamics of fluids in porous media. N. Y.: Elsevier, 1972. N4. 764p.

90. Bear J. Flow through porous media. Contributors: Jacob Bear, Stanley N. Davis, G. De Josselin de Jong a.o. Ed. By Roger J. M. De Wiest. N.Y., London: Acad. Press, 1969

91. Celia M.A., Pinder G. F. An alternating-direction collocation solution fortlithe unsaturated flow equation // Resour. Proc. 6 Int. Conf., Lisloa, june, 1986. Berlin e.a. - 1986 - p.395-410

92. Gardner W. R. Some steady-state solution of the unsaturated moisture flow equation with application to evaporation from a water table. Soil Sci., 1958 Vol. 85 No. 4

93. L. Lam, D. G. Fredlund Saturated-unsaturated transient finite element seepage model for geotechnical engineering. //Adv. Water Resources, 1984, Vol. 7, Sept., p.p. 132-136

94. Lu Z.K., Bredhia C.A., Adey R. A. Calculation of free surface seepage trough zoned anisotropic dams // Boundary elebents VII Proc. 7th Int. Conf., Villa Olto, jake Como, Sept., 1985. Vol. 2 berlin e.a. - 1985 -10/23-10/36

95. Neuman S. P. Saturated unsaturated seepage by finite elements //J. Hydraulics Division, 1973, V. 12, p.p. 2233-2250

96. Oden T. Finite elements in nonlinear continia. N.Y., 1972 p. 431

97. Philip J. R. Flow in porous media //Ann. Rev. Fluid Mech., 1970, 2, p.p 177-204

98. Philip J. R. Theory of infiltration. //Adv. Hydrosci., 1969, 5, p.p. 196215

99. E. Rank, H Werner An adaptive finite element approach for free surface seepage problem //Int. J. For Num. Method and eng., vol. 23, 1217-1228

100. Todsen M. On the solution of transient free-surface flow problems in porous media by finite-difference methods // J/ Hydrol. / 1971/ Vol. 12 N3 p. 276-290

101. Tracy R.S. Matrix iterative analysis.- Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey, 1962.-322p.

102. Zienkiewicz О. C. The finite element method: from intuition to generality. "Appl. Mech. Rev.", 1970 vol. 23 N3, p. 249-256147

103. Zienkiewicz О. С. The finite element method in engineering science. L., 1971. 387 p.

104. Zlamal M. On the finite element method.- "Numer. Math.", 1968, vol. 12, N5, p. 394-408