Асимптотическое моделирование концентраций напряжений и разрушения вблизи подземных горных выработок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Университет Западной Австралии Факультет Гражданского Строительства Кафедра Геомеханики

На правах рукописи

Устинов Константин Бовисович

Асимптотическое моделирование концентраций напряжений и разрушения вблизи подземных горных выработок Сперевод с английского>

По специальности 01.02.04 "Механика деформируемого твердог-о тела"

На соискание степени "Доктора философии"

Руководитель: к. Ф. -м. н. А. В. Дыскин

ез

¡1 &

|! решил выдать диплом

С 0-и ежС'^огл

1М)Л! РЛ-Ч

м йАК России !

- // " 19 ^¿Е* —^

ешение от IX— ^—. „ д т тЦрРУ

1 ___наук

Я ВАК России |

Начальник управления

АННОТАЦИЯ

Определение стабильности горных выработок, являющееся важной задачей горной механики, состоит из двух частей: вычисления напряжений и оценки способности горных пород выдерживать эти напряжения. Анализ обычно осложняется наличием разномасштабных геологических элементов, таких, как разломы и трещины, что приводит к появлению параметров в математической формулировке, изменяющихся в больших пределах. При моделировании необходимо рассматривать трехмерные эффекты, так как, хотя двухмерные модели обычно дают качественно верные значения напряжений, некоторые процессы разрушения носят существенно трехмерный характер. В такой ситуации представляется интересным использование аналитических моделей, асимптотических относительно возникающих параметров. Данная диссертация развивает асимптотические (аналитические) модели процессов разрушения вокруг подземных выработок, а также экспериментальное исследование роста трехмерных трещин.

Эффекты концентрации напряжений , вызванной взаимодействием между выработками, анализируются с использованием метода дипольной асимптотики, основанного на учете главного члена дальнего поля, производимого выработками. Предложен новый метод для моделирования трехмерных эффектов протяженных выработок, при котором каждое сечение моделируется как комбинация двух двухмерных силовых диполей, а трехмерные эффекты учитываются интегрированием поля, производимого всеми диполями. В частности, рассчитана концентрация напряжений вблизи туннеля с изменяющимся сечением.

Другой тип трехмерных эффектов связан с частично поддерживаемыми выработками. Для анализа подобной ситуации было

получено аналитическое решение для задачи о цилиндрическом туннеле, одна половина которого поддерживается упругой крепью. Задача сведена к интегральному уравнению на оси туннеля и решена путем применения преобразования Фурье и методом Винера-Хопфа. Хотя было найдено, что в точке окончания крепи имеется скачок напряжений, величина напряжений остается меньшей, по сравнению с незакрепленным туннелем.

Разрушение при сжатии включает в себя инициацию и рост трещин из существующих дефектов, а также взаимодействие между растущими трещинами и между трещинами и границами (поверхностью выработки). Роль дефектов была проанализирована для двух крайних случаев: наклонной трещины и кругового отверстия. Был предложен новый метод решения двухмерной задачи о двух коллинеарных радиальных трещинах, растущих из кругового отверстия. Отверстие (не трещина) заменяется распределением дислокаций, которое находится из интегрального уравнения. Решая его путем разложения в ряд по отношению радиуса отверстия к длине трещины, были получены асимптотические выражения (для длинных трещин) для коэффициента интенсивности напряжений и площади раскрытия трещины, необходимой при моделировании взаимодействия. Сравнение результатов с численными данными, полученными общепринятыми методами, показывает, что данное решение может использоваться даже для длин отростков трещин, равных половине радиуса начального отверстия. Данный метод было обобщен на случай отверстия произвольной формы и двухосной нагрузки. Сравнение со случаем трещин, растущих из начальных наклонных трещин, показывает, что отверстия являются гораздо более слабым источником роста вторичных трещин по сравнению с начальными трещинами.

В вышеприведенных случаях рост трещин является устойчивым, что означает, что для дальнейшего прорастания трещины требуется увеличение нагрузки. Однако, присутствие свободной поверхности может делать рост трещины неустойчивым и приводить к глобальному разрушению. Случай,

когда трещина располагается далеко от границы, моделируется с помощью метода дипольной асимптотики. Для трещины, расположенной близко к поверхности, предложено новое асимптотическое решение, основанное на "сшивании" известного решения о полубесконечной трещине, параллельной границе, с элементарным решением для слоя между трещиной и границей, представляемого в виде балки с упруго заделанными концами. При этом определяются коэффициент упругой заделки, два главных члена коэффициента интенсивности напряжения и площади раскрытия трещины. Результаты обобщены на трехмерный случай.

Ввиду сложного характера роста трехмерных трещин был проведен ряд экспериментов с использованием прозрачных пластиковых образцов с искусственно изготовленными начальными трещинами. Эксперименты показали, что в противоположность двухмерному случаю существует сильное ограничение на рост одиночной трехмерной трещины. Однако, присутствие нескольких трещин при удачном взаимном расположении способно произвести макроразрушение. Анализ с использованием дипольной асимптотики показал, что напряжения растяжения, вызываемые этими трещинами в направлении, нормальном к приложенному нагружению, способны произвести макроразрушения. Были оценены эти взаимные ориентации и критические расстояния.

Система разработанных асимптотических моделей дает удобные и надежные результаты, действительные для широкого диапазона значений параметров, и является мощным инструментом для моделирования эффектов взаимодействия и трехмерности, занявшим свое достойное место в горной инженерии.

ABSTRACT

Determination of the stability of excavations, which is an important problem in geomechanics, consists of two steps: (1) calculating stress concentrations and (2) evaluating the ability of the rocks to withstand these stresses. Analyses are aggravated by the presence of multi-size geological elements, such as faults, joints and cracks, which results in the appearance of parameters in mathematical formulations varying by orders of magnitude. It is also necessary to consider 3-D effects, because although 2-D models usually yield good approximations of magnitude and orientation of stress, some fracture processes are essentially 3-D. In such situations, analytical models asymptotic with respect to the parameters involved appear to be attractive. This thesis develops asymptotic (analytical) modelling of fracture processes around underground excavations with some experimental investigation of 3-D crack growth.

The effects on the stress concentrations due to interaction between underground excavations have been analysed by using the dipole asymptotic technique which accounts for the main terms of the far fields produced by the openings. A new method has been suggested for modelling 3-D effects in longwall openings, where each section is modelled in 2-D as a combination of force dipoles, and 3-D effects are accounted for by interaction of the dipoles. In particular, the stress concentrations near a tunnel with a changing cross-section have been calculated.

Another type of 3-D effect is associated with partially supported excavations. To analyse this situation, the closed form analytical solution has been obtained for a problem of a cylindrical tunnel, one half of which is protected by an elastic support. The problem has been reduced to an integral equation over the tunnel central line and solved by applying Fourier transform and the Viener-Hopf technique. Although a jump in stress concentration has been found at the end of

the support, its magnitude is still less than the stress concentration in an unsupported tunnel.

Fracture under compressive stress concentrations involves, in particular, crack initiation and growth from pre-existing defects, and then interaction between the growing cracks or the cracks and a free boundary (excavation surface). The role of pre-existing defects has been analysed for two extreme types: an inclined crack, and a circular hole. For the 2-D problem of two long collinear radial cracks emanating from a circular hole a new method has been suggested. The hole (not the emanated crack) is replaced by a distribution of dislocations that is to be found from an integral equation. Solving it by a power series in the ratio of crack length and hole radius has yielded long-crack asymptotics for the stress intensity factor (SIF) and the area of the crack opening necessary for modelling interaction. Comparison of these data with numerical results obtained from conventional methods has shown that this solution can still be used even if the crack length reaches half of the hole radius. This method has then been generalised to include the cases of an arbitrary hole shape, and bi-axial loading. Comparison with crack-induced crack growth shows that holes are much weaker sources of the secondary crack growth than inclined cracks.

In the above cases the crack growth is stable, which means that further crack elongation requires an increase in load. However the presence of a free boundary can make the crack growth unstable and result in fracture. The case of a crack situated far away from the boundary has been modelled by the method of dipole asymptotics. For a crack close to the boundary a new asymptotic solution has been obtained, based on matching the known solution for a semi-infinite crack near the boundary, with the elementary solution for the layer between the crack and boundary as represented by a beam with elastically clamped ends. This has allowed the determination of the coefficient of elastic clamping, and two leading terms for the SIF and the area of the crack opening. These results have been generalised to 3-D.

Due to the complex nature of 3-D crack growth, experiments were initially conducted using transparent resin samples with artificially produced initial cracks to facilitate understanding of the problem. The experiments demonstrated that unlike 2-D, there is a strong limitation on the growth of a single 3-D crack. However, a few initial cracks in strategic locations are eventually able to produce a large macro-fracture. The dipole asymptotics analysis has demonstrated that tensile stresses, induced by these cracks in the direction normal to the applied compression, are able to produce the macro-fracture. The critical orientations and spacing have been estimated.

The system of asymptotic models developed yields simple and reliable results, which are valid for wide range of parameters. The system provides a powerful tool for modelling the effects of interaction and three-dimentionality and thus, has potential for applications in rock engineering.

БЛАГОДАРНОСТИ

Я хотел бы выразить искреннюю благодарность:

Доктору A.B. Дыскину (A.V. Dyskin) за предоставление возможности работы в группе Геомеханики Университета Западной Австралии (the Geomechanics Group of the University of Western Australia) и за егоруководство втечение всего срока аспирантуры;

Проф. P.JT. Салганику (Prof. R.L. Salganik), Институт Проблем Механики, впоследствии Государственный университет Тель-Авива, (Tel-Aviv State University) за целый ряд полезных советов;

Доктору Л.Н. Германовичу (Dr. L.N. Germanovich), Университета Оклахомы (The University of Oklahoma) за сотрудничество в исследовательской части работы;

Доктору X. Джоеру (Dr H. Joer) и мистеру Е. Сахурею (Mr Е. Sahouryeh) за их терпеливое сотрудничество в проведении экспериментов;

Доктору А.Н. Галыбину (Dr A.N. Galybin) и миссис Р. Фрейдж-Аюб (Mrs R. Freij-Ayoub) за многочисленные полезные дискуссии;

Доктору Р. Джевеллу (Dr. R. Jewell) и мистеру Дж. Войдило (Mr. J. Wojdylo) за помощь при подготовки текста;

Мистеру П. Лупсору (Mr. P. Lupsor) за помощь в приготовлении и испытании образцов;

Штат и студентов группы Геомеханики Университета Западной Австралии за их дружеское отношение.

Также хочется поблагодарить Университет Западной Австралии за предоставление стипендий (Overseas Postgraduate Research Scholarship and University Postgraduate Award), а так же группу Геомеханики за предоставление стипендии Geomechanics Research Studentship без которых написание данной работы не было бы возможным.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

а Радиус отверстия

йу Матрица преобразования связывающая векторы двух Декартовых систем координат

Ь Вектор Бюргерса

с11т Тензор дислокационных моментов

/¿(О Компонента к объемной силы

к Расстояние до границы

г Мнимая единица

к Отношение главных напряжений

к Жесткость упругой крепи

I Половина длины трещины

/ Расстояние

т, п Константы

п Вектор нормали

р, д внешние нагрузки

г, Ь Радиус-вектор

5 Расстояние между объектами

и, V, ч? Компоненты смещения

м>(г) Комплексное представление смещения

и' Плотность энергии

х, у, 2 Координаты

Лабораторная система координат ОС 2 ^ X 2 > лг'з Локальная система координат г Комплексное представление координат

4 £ Коеффициенты при главных членах потенциалов Колосова

вызванных действием отверстия

А, В, С, Б,

Е, .Р, О, Н Константы Е Модуль Юнга

Е Сила

Рк1ц Тензор представляющий упругое решение об одиночном

отверстии

01к Тензор Грина

Тензор Грина для дислокации / /-интеграл

1], 32 Первая и вторая компоненты /-интеграла

К Ядро интегрального уравнения

Кр Кп, Кш Коеффициент интенсивности напряжений

К1С Вязкость разрушения

Ь Расстояние

М Комбинация упругих постоянных

М Главный момент

N Нормальная поверхностная нагрузка

N Нормальная компонента главного вектора усилий

Ры Тензор дипольных моментов

Я Радиус отверстия

Т Сдвиговая компонента главного вектора усилий

Т Сдвиговая поверхностная нагрузка

Т{ Компоненты поверхностных нагрузок

Площадь раскрытия трещины

и Потенциальная энергия

1¥ Работа

а Угол наклона трещины

а, Р Биполярные координаты

3 Координата в Фурье пространстве

у Контур интегрирования

8 Константа. Относительная ошибка

<5(х) Дельта функция Дирака

8у Символ Кроникера

8 Малый параметр

ъу Тензор деформации

к Упругая постоянная Мусхелишвили

Хтпу Тензор упругих постоянных

(I Угол внутреннего трения

¡1 Модуль сдвига

V Коеффициент Пуассона

т] Относительная жесткость крепи и массива породы

р, 8 Полярные координаты ст,, сг2, ег2 Главные напряжения

а Напряжениу

ст,у Тензор напряжений

<7у Однородное напряжение на бесконечности

х Сдвиговое напряжение

в Полярный угол

в(х) Единичная функция Хевисайда

| Переменная

т

Первый комплексный потенциал Колосова

Второй комплексный потенциал Колосова

Ох)

Комбинация комплексных потенциалов Колосова

Некоторые символы имеют различное определение в зависимости от контекста. Все обозначения даются в тексте при первом упоминании.

Черта означает комплексное сопряжение; (') означает производную по г; ",/" означает частную производную по Хр по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Растягивающие напряжения предполагаются положительными.

СПИСОК РИСУНКОВ

Рис. 1.1 Типичная форма двухмерной трещины, растущей при растяжении (а) и при сжатии (Ь)

Рис. 1.2 Локальная Декартова координатная система для произвольной трехмерной трещины.

Рис. 2.1 Отверстие с двумя коллинеарными трещинами Рис. 2.2 Дислокации, распределенные по контуру отверстия, в плоскости с прямолинейной трещиной при сжатии

Рис. 2.3 Увеличение площади, вызванного раскрытием трещины и деформацией отверстия

Рис. 2.4 Отверстие с двумя коллинеарными трещинами при растяжении Рис. 2.5 Дислокации, распределенные по контуру отверстия, в плоскости с прямолинейной трещиной при растяжении

Рис. 2.6 Трещина, растущая из отверстия при двухосной нагрузке Рис. 2.7 Трещина, растущая из отверстия (а) и соответствующая задача о полуплоскости (Ъ)

Рис. 2.8 Отверстие с двумя отростками трещины неравной длины Рис. 2.9 Дискообразная трещина, растущая из поры, при двухосном сжатии

Рис. 2.10 Рост двухмерной трещины из начальной наклонной трещины в хрупком материале при одноосном сжатии

Рис. 2.11 Модель Ферхерста и Кука (1966) для одиночной трещины, растущей при сжатии

Рис. 2.12 Измененная модель роста одиночной трещины при сжатии Рис. 3.1 Моделирование отверстия с помощью распределения сосредоточенных сил

Рис. 3.2 Взаимодействие отверстий приблизительно одинаковых размеров

Рис. 3.3 Взаимодействие отверстия с прямолинейной границей Рис. 3.4 Дефект в полосе

Рис. 3.5 Цилиндрическое отверстие радиуса Я(г), медленно меняющегося вдоль своей оси

Рис. 3.6 Координатные системы в задаче о криволинейном отверстии Рис. 3.7 Трещина, расположенная вблизи границы, (а): задача в целом; (Ъ): внешняя задача (балочная асимптотика ); (с): внутренняя задача (полубесконечная трещина )

Рис. 3.8 Полубесконеяная трещина, параллельная свободной прямолинейной границе, с силами N. Т приложенными к ее берегам

Рис. 3.9 Конечная трещина, параллельная прямолинейной границе Рис. 3.10 Балка под действием сосредоточенной силы в центре (а); и под однородной нагрузкой (Ь)

Рис. 3.11 КИН для трещины в полуплоскости, нагруженной парой сосредоточенных сил

Рис. 3.12 КИН для однородно нагруженной трещины в полуплоскости Рис. ЗЛЗТрещина, расположенная вдали от границы Рис. 3.14Центральная трещина в полосе Рис. 3.15Трещина в полосе под действием чистого сдвига Рис. 3.16 БН7 КИН для трещины в полосе, нагруженной парой сосредоточенных сил

Рис. 3.17 КИН для однородно нагруженной трещины в полосе Рис. 3.18 КИН для трещины в полосе, испытывающей чистый сдвиг Рис. 3.19 Круговая однородно нагруженная трещина, параллельная свободной границе

Рис. 3.20 КИН для круговой однородно нагруженной трещины, параллельной свободной границе

Рис. 4.1. Фрагмент образца с одиночной крыльеобразной трещиной. Две горизонтальные линии - нити, удерживающие включение во время твердения.

Рис. 4.2. Фрагмент образца с параллельными трещинами, выровненными по горизонтали

Рис. 4.3. Фрагмент образца с параллельными трещинами, расположенными одна над другой

Рис. 4,4.Фрагмент образца с горизонтально выровненными кошганарными трещинами; новая трещина наклонена к плоскости крыльев.

Рис. 4.5. Фрагмент образца с горизонтально выровненными колланарными трещинами; новая трещина расположена в плоскости крыльев

Рис. 4.6. Фрагмент образца с горизонтально выровненными копланарными трещинами; новая трещина перпендикулярна плоскости крыльев

Рис. 4.7. Образец с трещинами, расположенными вдоль наклонной

линии

Рис. 4.8. Образец с большим числом трещин: (а) до испытания; (Ь) после испытания

Рис. 4.9. Лабораторная и локальная координатные системы для начальной трещины

Рис. 4.10. Вертикальное сечение крыльеобразной трещины: (а), и модель крыла в сечении как трещины с заданным раскрытием м(х) на одном из концов (б)

Рис. 4.11 .Системы координат для крыльеобразной трещины

Рис. 4.12.Схема для вычисления оценки сверху сдвигового объема

Рис. 4.13. Отношение верхней и нижней оценок сдвигового объема

Рис. 4.14. Модель крыльеобразной трещины

Рис. 4.15. Результаты вычислений поля максимальных горизонтальных растягивающих напряжений (длина ка�