Асимптотическое разложение решений волнового уравнения для сингулярно возмущенных смешанных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВ О Л ЮН И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО — МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

ГАНЖА МАРИЯ ИВАНОВНА

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ .ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 1Я СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

/01.01.02 — Дифференциальные уравнения /

. АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата фпзпко — математических наук

МОСКВА 1993

ч.

Турезе1 Ьу Ам^-'^ЕЛ

Работа заполнена на кафедре дифференциальных уравнений неханико-иатематического факультета Московского государственного университета имени К.В.Лсмоносовг.

Научный руководитель ~ доктор физико-математических наук,

доцент Ъ.Р.Вайнйерг. Официальные оппонептк: доктор физико-математических наук, профессор В.В.Кучеренко, кандидат физико-математичети;: наук, - доцент Е.Г.Сушсо. Ведущая организация - Институт математики с ВЦ Урим ского Отделения РАЯ. Защита диссертации состоится

¡7) млхМ 1994 г.

в 16 час. С5 кие. на заседании специализированного совета 1.С53 . 05 . 04, при Московском государственном университете имени 15.В.Ломоносо'г><1 по адресу: 119899,ГСП,Москва,Ленинские горы, МГУ, немило-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией монно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ЦРУ (Главное здание, 14 этан).

Автореферат разослан

1994 г.

I

Учены!; секретарь специализированного совета Д.С53.С5.СА при ЮТ, профессор

Т.Л.Лукашенко —

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

I

Актуальность темы. Математические исследовали краевых задач для равнений математической физики, содержащих малый пар:шетр, имеют злгую историю. Ещё в 19 в. в работах Лапласа, Максвелла, Кпрхго-а поучались конкретные задачи, фактически содержащие пограничные гои (упоминание об этом см. в [1, 2]), но идея рассматривать погра-ачный слой при решении задачи об обтекании тела жидкостью с малой гзкостью была предложена в начале XX века Л. Прандтлем на III Магматическом Конгрессе (см. [3]). Наиболее полное исследование мате-атических вопросов, связанных с применением метода погралслоя для гфферекциальных уравнений с частными производными, было дано в ».ботах М.О. Впшика и Л.А. Люстерннка [4, 5]. В этих работах для ши-экого класса систем дифференциальных уравнений были указаны усло-

. Ван—Дейк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Мир, )67.

. Найфэ A.M. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976. . Prandtl L. Uber Fiussigkeitsbewegung bei sehr klönet Reibung. -Ver-

urdlungen des dritten internationalen Mathematiker Kongresses, Heidelberg,

104, Leipzig — 1905. — S. 484 - 491.

. Вишик M.O., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение п пограничный ой для линейных дифференциальных уравнении с малым параметром. УМЕ, 1957, 12, N 5, с. 3 -122.

. Впшпк М.О., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмуще-ш в случае матриц и самосопряжённых и несамосопряжённых диффс-:шшкльяых ураппсЕии. -УМН, 1960, 15, N 3, с. 3 — 80.

Typeset by -Am-S-TeX

вия, при которых асимптотика, решения представляется в виде суммы внешнего (т. е. вне погранслоя) и внутреннего (внутри погранслоя) разложений, причем внутреннее разложение состоит из функций, экспоненциально стремящихся к нулю вне пределов логранслоя. Такая ситуация была названа в [4] регулярным вырождением, а пограничный слой — экспоненциальным. v ■

Однако, для уравнений в частных производных случай экспоненциаль-^ ного погранслоя скорее исключение, чем правило. Часто коэффициенты внешнего разложения имеют особенности в каких-либо точках границы или даже внутри области. В такой ситуации равномерное асимптотическое разложение не может быть подучено в виде суммы внешнего разложения и каких-либо рядов с ограниченными коэффициентами, а влияние погранфункций (коэффициентов внутреннего разложения) не ограничивается лишь узким погранслоем шириной 0(£7), 0 < s « 1, 7 > 0, как

и дду^дд ptmAyBomrtf ЗзДЯЧН TZKOTQ ТНЦ& 6ИСИН-

гулярныыи (в частности, задачи, рассматриваемые в диссертации, являются бисингуяярнымп). Известен целый ряд методов, предлагаемых для решения таких задач (метод ВКБ [6J, метод осреднения Крылова - Боголюбова - Митропольского [7] и др.) В диссертации мы будем пользоваться методом согласования асимптотических разложений. Для ураьненш с частными производными первые строгие математические результата; по обоснованию асимптотики, построенной этим методом, появились i 70-е годы. Так в [8] К.И. Бабенко была получена и обосновала асимпто

6. Маслов В.IL Теория возмущений и асимптотические методы. — М. Изд-во МГУ, 1965.

7. Боголюбов H.H., Митропольсиш Ю.А. Асимптотические методы i

теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.

8. Бабенко К.И. Теория возмущений стационарных течений вязкой не

гика рсшенис-В задаче об обтекании трехмерного тела жидкостью п])п галых числах Репнольдса, а з [9, 10] В.М. Бабичем, B.C. Булдыревым п {.Я. Кпрнпчнпкопым было проведено строгое математтгяаис псследова-гпе а. р. решения для задачи дифракции коротких волн.

Большой интерес представляют исследования решений краевых задач ;ля эллиптического дифференциального уравнения в случае, когда грл-шца область, в которой рассматривается задача, имеет особенности: тды, рёбра, разрезы и т. п. Построение а. р. решений краевых задач ;пе эллиптического уравнения в области с узкой щелью посвящены работа A.M. Ильина [11, 12, 13].

Построению а. р. спектральных характеристик задачи рассеяния на озонаторе Гельмгольца методом согласования а. р. посвящены работы

жпмаемой жидкости при малых числах Реинольдса. Препринт ИПМ.

1, 1975, N 79.

). Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дн->ракции коротких волн.— М. : Наука, 1972.

). Бабич В.М., Кпрппчников НЛ. Метод погралслоя в задачах дифрак-ди. Л.: — ЛГУ, 1974.

.. Ильин А.М. Краевал задача для эллиптического уравнения второго орядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай. —Мат. сборник.

- 1976. -99, N 4, с. 514 -537.

!. Ильин A.M. Краезля задача для эллиптического уравнения второго орядка ч области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. — 1ат. сборник. — 1977. — 103, N 2, с. 265 -284.

!. Ильин А .М. Исследоралпе асимптотики эллиптической краевой задачи области'с малым отверстием.—Труды семинара им. И-П. Петровского.

- 1981. — вып. 6, с. 57 - 82.

з

Гадылышша Р.Р. [14, 15, 16, 17]. Резонатором Гельмгольца называется срепятствпе, полученное в результате вырезания малого отверстия линейных размеров порядка е па замкнутой поверхности Г = ЗЯ, где П — ограниченная область в R3 с границей, дпффеэморфпой сфере. В частности, в [16] рассматривались внутренние задачи Дирихле и Неймана для акустического резонатора Гельмгольца

(Д + Ь>е = 0, х€&\Г„

ди,

ис = pcj или — = pj, х € Ге,

— гкис = о(т-1), т —► оо,

где ii С R3 -ограниченная односвязная область с гладкой границей Го = 3i2, Ге = Го \ — открытое одно связное подмножество на Го, имеющее гладкую границу дис и лежащее в шаре радиуса е с центром в точке so £ Го, 0 < £ « 1, г = |х|, я — внешняя нормаль, / € С°°(Г0), рс — оператор сужения на Ге. Установлено, что полюса функции Грина рассма-

14. Гадыдыыин Р.Р. Сингулярно возмущенная задача для оператора Гельмгольца. — В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984, с. 18 - 35.

15. Гадылыдин Р.Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной самосопряженной эллиптической задачи с малым параметром

в граничных условиях. — Дпфф.уравнения, 1986, 22, N 4, с.640 - 652.

16. Гадыльшпн Р.Р. Асимптотика собственного значения эллиптической

краевой задачи с малым параметром в граничных условиях. — В кн. Асимптотические методы решения задач математической физики. Уфа : БНЦ УрО АН СССР, 1989.

17. Гадыльшик Р.Р. Поверхностные потенциалы и метод согласования асимптотических разложений в задача о резонаторе Гельмгольца. —.Алгебра и анализ. — 1992. — 4, N 2. — с. 88 - 115.

■риваемой задачи при закрывании отве1>сгпя стремятся к квадратным орням пз собственных значений задачи Дирихле плп Незмава соотвст-твенно в П. Построена полная асимптотика ио малому параметру £ акого полюса те, стремящегося при закрывании отверстая к ко, где - простое собственное значение. В [15] аналогичный результат полу-ен для случая, когда Щ — двукратное собственное значение внутренней адачи Неймана.

Для гиперболических уравнений и.систем асимптотические методы п, частности, метод согласования а. р. применялись в следующих ситуаци-х. В [18, 19] для гиперболической системы уравнении в частных проио-одных первого порядка, в которой начальные функции быстро' стремятся своим пределам на бесконечности, Калякпн Л.А. методом согласования остропл асимптотическое разложение решения ло малому параметру е, авномерное в области

0< |s| + i <Ме-1,

(е М — положительная константа. В этих задачах сингулярный ха-1ктер возмущения связан с большим промежутком- времени t ~ с-1, а' эгранслой располагается вдоль характеристик.

Цель работы. В диссертации решается задача о построении асимпто-гческих разложений решений смешанных задач для волнового уравне-гя в етедующей формулировке. Пусть Q — неограниченная область в

. Калякпн Л.А. Длинноволновые асимптотики решений нелинейных |авненпй с дисперсией. — ДАН СССР. — 1986. — 288, N 4. — с. 80Э 313.

Калякин Л.А. Метод сращивания в задаче о длинноволновой моду-цин нелинейных плоских волн с дисперсией. — Тр. Моск. мат. о-ва. 990.-53 — с. 3 - 41.

Я3 (возможно, = Я5) с кусочно-гладкой конечной границей Г и а < оо -фиксированная константа такая, что Г ле<кпт внутри шара |х| < а. Чехи П, будем обозначать -ограниченную подобласть С? с бесконечно глади конечной границей Г,, гомотетичную с центром в нуле и коэффициента г фиксированной области Их С Q, диффеоморфной шару; — Я \ п При е —» 0 область Я, стягивается в точку. В первой и второй глав; диссертации рассматриваются (внешние) сметанные задачи

!□*(!,«,£:) = е--'д(х), с 6 <?«, * > О, «¡1=0 = <|1=о = 0, ^ (

=0 ^

и

' ЕЦх,*,г) = 0, в6(?е,{>0,

- ■ «|*=о = 0, иЛ<=о = V". (

. ЫЬ<5. = с.

где □ = - Д; функции д(х), т!>(х) 6 С°°((2е) Л£2(де) и эирраПП, = Бирр-фпйс = 0. Отметим, что в первой главе <2 = к3, таким образом, о дачи (1) и (2) рассматриваются во внешности исчезающего препятствЕ Во второй главе (} = В3 \ Й, где П — замыкание ограниченной области К3 с гладкой веяовушечвой границей (т. е. разрывы матрицы Г^шна д задачи (2) уходят на бесконечность при 4 —♦ оо (в смысле определен [20])). Следовательно, область = Я3 \ (Й П Пе) является внешносп неловушечного и исчезающего при е —♦ 0 препятствий. В третьей п н. рассматривается смешанная задача для волнового уравнения в Qt внешности резонатора Гельмгольца Г,

' Ои(г,г,е) = /(х,г), (х,г) е <Э, х - «|«=о = и{|«=о = 0, х 6 £?«, I

. «1г. = О,

20. Ваинберг БР. Асимптотические методы в уравнениях математц1 ской физики. — Мл МГУ, 1982.

где /(!,«) € п 1{х,г) = 0 при ж £ Цель ншшгхшхледованнп

— построить полное асимптотическое разложение по параметру е П])П г 0 решений рассматриваемых задач.

Научная новизна работы. Результаты диссертации яггяются новыми. Основные результаты заключаются в следующем.

1. Дш: задач (1) и (2) во внешности исчезающего препятствия построено попное а. р., равномерное по 4. Доказано таске, что для коэффициентов а. р. решения задачи (1) справедлив принцип предельной амплитуды (см. [20], [21]), т. е. коэффициенты выходят на периодический режим при £ —» оо. При исследовании задачи (2) доказало, что при 4 —> оо лркальная энергия приближённого решения (суммы любого конечного числа членов а. р.) стремится к нулю.

2. Для задач (1) и (2) во внешности веловушечного и исчезающего препятствий также построено полное а. р., равномерное по и доказан принцип предельной аьлхлитуды для коэффициентов разложения решения задачи (1) и убывание локальной энергии приближённого решения задачи (2)-

3. Построено полное а. р. решения нестационарной смешанной задачи для резонатора Гельмгопьца. Доказано, что главный чин асимптотики

— решение внутренней предельной задачи (т. е. задачи внутри замкнутого резонатора) — приближает решение с точностью до %/е.

Методы исследования. Использованы методы согласования асимптотических разложений, методы теории функций комаглеашого переменного, теории воз!<ущений.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в задачах дп-

!1. Эйдус Д.М. Принцип предельной амплитуды. — УМП, 1969, 24, вып.

3, 91 - 156.

фракции и построения решения сингулярно возмущённых задач.

Апт>»баапя работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ, на V Сибирской школе по алгебре и анализу в Иркутске в 1991 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 10 параграфов и списка литературы, содержащего 53 наименования. Объём диссертации — 109 листов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Перейдём к более подробному описанию результатов диссертации. В первой главе диссертации исследуются задачи (1), (2) в случае, когда = ф \ Йе — внешность исчезающего при е —> 0 препятствия. Через Н' будем обозначать пространство Соболева с обычной нормой; Н* С Л' — подпространство, состоящее из функций, равных нулю при |х| > а; Щь) = П {|х| < Ь}); Я('м = Н'(Я Л {р< \х\ < Ь}); Я'" = {Л : Ле-7' 6 В'}. Решения рассматриваемых задач понимаются в сильном смысле, (см. [20, с. 234]). В первом параграфе получены краевые задачи для коэффициентов а. р. Коэффициенты внешнего разложения решения задачи (1) являются решениями смешанных задач вида

Г Оаь(ж,4) = 6к,ое"'"*д(х), (М) 6 Я3 х Р+,

\«ь|г=о = Ы'<ь=о = 0, {>

где — символ Кронекера; коэффициенты внутреннего разложения

язляются решениями задач Пуассона I Як|г, = О,

причем = 1/_2 з О, в которых £ играет роль параметра;

»*(£<}) = = о.

Коэффициенты внешнего разложения для задачи (2) являются решениями задач

(Оик(х,1) = 0, (*,«)£ И» ХИ+,

1«*|г=о=Ь, Ы'(|(=о = 6к,*Ф{х), 1

где 6к,о - символ Кронекера, а коэффициенты внутреннего разложения — задач (7). Решения задач (6) и (6') при к > 1 ищутся в классе функций, имеющих а. р. при х —* 0 вида

оо

— X) (8)

где иь^ — однородные по х порядка ] функции, т. е. дня любого р > 0 и*,3(р:М) = р^ик,}(х,г). Решения задач (7) ищутся в классе функций, ■ имеющих при £ —> оо а. р. вида

»*«,*) = £ (9)

з=-к

где у-к,~] — однородные по £ порядка функции. Во втором параграфе получены условия согласования внешнего и внутреннего разложений и построены асимптотические разложения решений задач (1) и (2). Основной результат данного параграфа следующий.

Теорема 1. Существуют п оцвоовачио определяются функции щ и Ьк, являющиеся решениями зада? (6) в (7) соответственно, которое виеют я! р. вида я (9) соответственно, для которых выполняются условия согласования

«М = & > 0, 3 > (Ю)

В третьем параграфе доказывается справедливость принципа предельной амплитуды для коэффициентов щ(х,4) и £ > 0, а. р. решения задачи (1), а именно:

Теорема 2. Существует такая константа. Т < оо я такие функции щ(х) п ), что при 1>Т дои всех к > 0

где — коэффициенты а. р. решения задачи (1), причём

функция йк(х), «*(£) , к > 0, являются решениями задач

' (Д + ш2)йк = -5к,од{х),

. ^аог1),

где функция д(х) из задачи (Л), и

Г Д5|. = —и2Ук-2, = 5-2 = 0> I »»|г, = 0.

соответственно.

Доказало, что функция

М м

* к= 0 Ь=0

где х(х) — гладкая дзезакшхзя функция

*(*)=(11II-1"

I о, |х|> 2, 1 '

является прпояпжеяньш решением задачи , й|г. =0,

. й = ШИ"1), Цу - гий = Щх\-1) при |х| - оо, . для которого выполняется оценка: для любого Ь > О

11« - Gm||H'4)(0.) ^ Се*^, п

где постоянная С не зависит от

Также в этом параграфе построено приближённое решение задачи (1)

и м

UM(x,t,e) = + (13)

* fc=o * Jfe=0

и доказана следующая оценка. Теорема 3. Для любого М > 0

||Ti(r,i,£) - #м(*,М)Ия(1ч«г.) < Се^, где постоянная С не зависит от f и е.

Следствие 4. Для любого целого М > 0 существует такая константа С — С(М), ве зависящая от t и £, что

и{х, t, е) = e-iwt«(x, с) + е^Пм,

V

где

1|7гм|Ц,«г.)<с.

В четвертом параграфе получены аналогичные результаты для решения задачи (2), а именно:

Теорема 1'. Для любого к > 0 существуют п однозначно определяются функцпп Ufe, tu — решенпя задач (С), (7) имеющие а. р. (8), (9) соответственно, для которых наполняются условия согласования с существует такое Т < оо, что для всех f > Т

= l'i = 0.

Теорема 3'. Для любого целого М > 0 функция Üм{х,1,к) (формула (1-13)) удовлетворяет неравенству

Их, í,е) - fiW(í, í, е)|| < CíC^ ,

где постоянная (7 не зависит от t п е.

Вторая гласа диссертации посвящена исследованию задач (1) и (2) в случае, когда Qt является внешностью двух препятствий, одно, из которых — Л, — имеет размеры порядка е, а второе — (I — неловушечное.

В первом параграфе доказываются вспомогательные утверждения. В частности получены краевые задали для коэффициентов разложения. Для коэффициентов внешнего разложения задачи (1)

Í □«*(*, Í) = 8к,0е~^д(х), х е Q = Rs \ П, t > 0, к > 0, ujfc|t=o = («fc)ílt=o = 0, (14)

ifclaQ = 0.

Для коэффициентов внешнего разложения задачи (2)

{D«fc(z,í)=0, х € <2 = R3 \ íí, í > 0, fc > 0, «tUo^ («i)íli=o = . (14')

где 6kfi — символ Кронекера. Для коэффициентов внутреннего разложения задач (1) и (2) — задачи (7). Во вторсм параграфе построены а. р. зади((1) и (2).

Теорема 5. Существуют п одно.-значно определяются функции иь п «ь, /: > 0, — реягяяшг задач (14) п (7) в области <? = Г$3 \ П соответственно, такие что для их а. р. (8) п (9) соответственно выполняются условия согласования (12).

Теорема 5'. Существуют я однозначно оиредсшются фузжиигг и* п уц., к > О, — решения задач (14') н (7) соответственно, такие что для их а. р. п (9) в области С? = П3 \ соответственно выполняются условия согласования (12) и существуют такие положительные константы Сна, что для всех 5>ОлО<р<Ь

Н^Ия» <Се~а1, ||~|1я' < Се~ы, при I -> оо.

" аг* е.»)- <и ~ ' ■■

Также в этом параграфе доказан принцип предельной амплитуды для коэффициентов а. р.

Теорема 6. Для любого к > 0 коэффициенты и«., аь а. р. решения задачи удовлетворяют условиям: существуют такхге функплп щ л щ, к > О, — решения задач

' (А + ш2)ик(х) = -5Л,оз(г), < = О,

XI

{АНк = к > 0, = и_2 = О,

йк|г, = О, соответственно, что при £ —► оо

■щ.(х,1)е1ы1 —► й).(х), в смысле пространства Щь^у £)е'ш< —• в смысле пространства .

Кроме того, доказано, что функция

М Л г

См(хЛг) = (1 -хф) Е2*5*^,

* 1=0 * 1=0

где х{х) — гладкая с]к^аюш;ш функция (12), является приближённы»'4 решением задачи

Г (Д + ¡¿2)й(х) = -у(х), х £ \ ее,

I

с условиями излучения на бесконечности.

Теорема 7. Для любого целого М > 0 праблпженвые решения IIм (формула. (13)) задач (1) л (2) удовлетворяют неравенству

где и(х, — точное решение соответствующей задачи, а постоянная С — не зависит от 4 и е.

Следствие 8. Для решения задачи (1) выполняется соотношение и(х,г,е) - йм(х,г,е) = е-иЛ(й(х,е) -¿м(1,£)) + Км,

где

' Рм^Няче.) < Се*?-, 5>0.

В третьей главе диссертации строится а. р. решения смешанной задачи для волнового уравнения во внешности резонатора Гельмгольца. Пусть П — ограниченная область в I?3 с гладкой границей Г, дпффео-морфной сфере. Будем считать, что начало координат принадлежит Г и б некоторой окрестности начала координат поверхность Г совпадает с плоскостью {хз = 0}. Через сг обозначим ограниченную область на Г, такую что <т С Г П {хз = 0}. Область <те получается из сг гомотетией с центром в нуле и коэффициентом £ > 0;

Ге = Г\<7е, Е = {х3 = 0} \<т, (¿с = И3 \ГС, П' = Н*\П.

В области <Эг = Я3 \ Г, рассмотрим задачу (3).

Построение асимптотического разложения исследуемой задачи и получение условий согласования а. р. проводится во втором параграфе. 3 случае резонатора Гельмгольца будет два знешнпх разложения: внутри резонатора _

и(х,Ъе) = хеП, г € [0,Т],

к=0

ж вне

= ^е*»^®,«),' е 6 П', « 6 [О,Г].

(15)

(16)

к=о

Задачи для определения коэффициентов этих разложений имеют вид

' Оик(х,1,е) = &К0г{х,г), {х,г) епх(о,т),

И)ь|«=о = «4^4=0 =0, х € П, (17)

„ «*|ап\{о} = °>

где 6к,о — символ Кронекера;

' □»»(*,<) = о, (х,г) еП'х (о,г),

ги1|1=о = ш^!<=0 =0, гей', (18)

™*|8Я'\{0} = 0)

Внутреннее разложение строится в виде

со

V(t,t,E) = Y/ekVk(ZЛ (19)

4=1

и коэффициенты внутреннего разложения будут решениями задач

Г = (»*-*)«,

1в*Ь = о, ее (о,т),

причем = уо = 0.

Теорема 9. Существуют и однозначно определяются фушшш гик п Ук —решения аадлч (17), (18) п (20) соответственно, имеющие я. р. вода

со •со

иь(х,4) = £ ткЛх>*)> }=-к+1

со

\

где однородные по х порядка з, а Ук,-) однородные по £ порядка .

—], соответственно, гакне что выполняются условия согласования

ик,к-з(х,г) = ^^.(х.О, = к > > + 1.

В третьем параграфе строится приближённое решение задачи (3) м м м

йм = (1 -х(4))(1^Ч(*,<) + 2^екюк(х,{)) + х(-^)

Vе к—0 к=О Vе Ь=0

(21)

где — срезающая функция (12), иь, шь, к > 0, — коэффициенты соответствующих внешних (15), (16) разложений, продолженные нулём в П' и в П соответственно, г)/;, к > 1, — коэффициенты внутреннего разложения (19).

Теорема 10. Для любого целого М > 0 функция Ом (формула (21)) является решением смешанной задачи

' П&м{х,М) ='/(«.«) + (=,0 6 = (0,Г) х Я^герзиоп,

■■ ' йм\1=о = = 0, *€И3\Ге,

. ¿Чг. =0, *€(0,Г).

Следствие 11. Для лкхк.то иол «го М > О где константа. С не зависят от е.

Следствие 12. Продплжч:.! рсше.впс ¿) предельно/т лада'/."' (17) нулем в £1'. Тогда "

||17(х,4,е) - и0(х,<)||Я1(Ц,) < Сл/ё,

где постоянная С не зависит от е.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Борису Руфпмовичу Вайнбергу за постановку задачи и полезные обсуждения работы, а также профессору Николаю Христовичу Розову за большое внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. ГанжаМ.И. Асташтотичесгое разложение решенея нестационарной задачи о резонаторе с малым отверстием.— Рукой, деп. в ВИНИТИ, 1991, N 276-В91.

' 2. Ганжа М.И. Асимптотика решения "задачи о резонаторе Гель-мголъпа. — Тезисы V Сибирской школы по алгебре и анализу, Иркутск, 1991.

3. Ланзз М.И. Метод сравнивания асимптотических"разложений

для решения смешанной задачи дет волнового уравнения - з пространстве с препятствиями. - Т^ксги дгп. в ВШШИ 1594, » 544 - 394.

Подписано к Отпечатано на ротапринте в Производственном комбинате Литературного фонда России

печати "О" 199 */г. Формат бумаги 30x42/4 Объем .

Зак. у] Тир- 100