Асимптотическое решение задачи Коши с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОА

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕН! ЫЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ ... / ,,1\Ж МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

СурапбергеноЕа Зинагуль Алмабаевна

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШ С НАЧАЛЬНЫМИ СКАЧКАМИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ШГГКГРО-ДИФФЕРИПЦ1АЛЫШХ УРАИ1ИШЙ

01.01. ОС - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ 1994

Работа выполнена в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби.

Научные руководители: член-корреспондент HAH PK,доктор физико-математических наук. профессор К. А. КАСЫМОВ. кандидат фязико-математически х наук, старший преподаватель М. К. ДАУЫЛБАЕЯ

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук.

профессор Ы. И. РАХИМВЕРДИЕВ. кандидат физико-матемагических наук, доцент Н. Б. БИАЛШ10В. Редушя организация: Киргизский государственный университет.

Зашита состоится " i " 1994г. _часов на

заседании специализированного совета К.14/А.01.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фаоаби по адресу: 480012. г. Алматы. ух Масанчи. 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан " и.. *MQ& 1994г.

Учении секретарь спецсовета, кандидат физико-математических наук, доцент ' Б. М. ШЫКЕВЗБ

Актуальность тш.ш. Интенсивное рязвитнэ иатеи и техники приводит к су1ц(?стБ«!1!!ои^ усложнению метьяжгичееккя ¡'олелзй рояльные процессов. Эри иоде,'» отляюаютея ego бол-зе ологадгя дкЭДэрсшшальншя урзви-гийяш. точниэ рогзкиа которых удается получить в рэдкях случаях. Посста-су при изсгейовзшн* катемати-ч.'шгс ¡'оделей прмэпяют шЯляхэгл-ч »;<эгоя!:. К чк^у ярпбли-:-';нн!к Msroscj. г^^эикя таких а.лдзч о'люея-г-.'й гляхтчк-- »скупто-

Г£»ял1яя:гз приматам аат.-л'-п »щлжчЛи ':;<:• <5»:с-

jiof.'Tî !Ï гп/гая cö.i22T"l nsyret привзят v: г-'+'/^Р-ypas-пстгчян, оояергйглх кз/.уэ шцли/етрч m: r;i,';:'n:i?: црснзвогшнх. О:;ете:--Ш'ит?ск.ог иссдг^овзж? таких .>-д С s ¡::.ctc::~:p sdc-

>■'. их пг!й!;волг сккгул-'Г'ю "-г-гг-сс;-

пил ссношголагилих ' работ Д. Я Tükohcl:,;. В «лгу работах д~из' cC'ix-: лсстпиэст задячя Кош o-crtw г.гздкэйккх оонздосен-iîî-îx дПФзрендаазьгшх 7ргг,г;еп)и) г. уддач пврулс^« coa с?очв?в прошзодюЯ я Ои>-д установлены twtretm irn глгору:? рогзкке у.с-уод'!.оЛ сингулярно всэьг/гзнко'Л лггачи стр«"й?ся к зырс.г.-

давной апдачи при стренлешге m того паза* :?грп i:

СуизетЕонпиЛ вюш, й ряевнтко топ;-.-." икягуллсно во?«увг?п-иых ггеМх?рэш.1йальккх ypasnemtô вигсл". с^оит-н '-. к Ьздяг,® и Л А. ."жт<?рш1гл, JL 0. Поатрлглкз. 2.5» ''¡гага», IL.Xícccna. !í И Xrc;;nxmr.a, В. ï*. Гугугт-р.а. Л. Л Д. Ггхтаг-пп?.

и. А. Ту:г-::опп. Д Г. Stetem, M. « К. A. И sp.

IbsTtiosüw f-CííiííiToríí^M;!;?:;: рс.тюгвг^Л епт;г7ллри:> »ОЗЬТСЗЙ-'jV.s з?.гм является caxilo.t rap»íü к.?»: п ivriocraï, тгк :* с nÇÎPC3"ÎR«Oft 70Ч2К ЗОЗЯРй.

jf-.-sn R'.6or» ití\iáC'i'-s4 iw.т> crvrS-r.'". n аснгл-

tcïnv.cr.-ïs реврсй ээдоп« íbv;; с оС; ■ :«■% с^игузят-:,

и» »»tK'crpo-a* •iv¿" % -V ?r-y. . rc? гср^яка •

i-'C^C'-."' м- . „"-г o. r i'0'<- "•,.-;"" '.."■■■"■¡о, а

''гЛ ^j^CíTí:'-.".". r.v*.":.:'4"i, '■":■ T": Г/. '-Х

; -s

2)Построены асимптотические разложения решений исследуемых задач.

3) Получены равномерные , на рассматриваемом отрезке оценки остаточных членов асимптотических разложений с произвольной степень» точности ,по малому параметру.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены при качественном исследовании и при практическом решении некоторых задач физики,механики и других областей науки. Полученные асимптотические формулы пригодны а. качестве начальных приближении для реаливации численных методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно воамущ/эшшх задач и некорректно поставленных аа-дач"(Бишкек,1991),на конференции молодых ученых КазГНУ им. Аль-Фараби (Алматы, 1991) ,а , такжз на научных семинарах чл. -корр. НАН РН, профессора К. А. Насымова и д. ф. м. и., проф. Д. Ы. Шраалиева (КазГНУ), д. ф. м. н., проф. С. И. Теиирбулатова (КаэГНУ), чл.-корр. НАН РК, д.ф^м. й. , проф. Умбетжанова Д. У. .

Публикации.Основные результаты -диссертации опубликованы в б работах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная райота состоит из введения, двух глав и списка цитированной; литераторы наименований и написана на страницах машинописного тенета.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во вьецеит приводится краткий обзор по истории развития асимптотических методов решения СГ -ч/ярно возмущенных задач, формулируется задача, обоеиовыьаь! .. графическая и теоретическая ценность научаемых задач,налагается основное содержание ■ диссертации.

• й первой главе диссертации исследуется решение задачи Кэши с начальным скачком первого порядка для сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка

В§1 рассматривается. сингулярно возмущенное интегро-дифференциальное уравнение вида:

L5y K£y,!'(t) -t A(t) y"( t) + B(t)y'(t) + C(t)y(t) =

h . СП

» J(He(t,x)y(x.«)^l(t,*}y'(x,s)+Ha(tfa)y,,(x,e))j3t + F(t)

с начгльикни условиями

у(1,5)-л, , y'(i.e)-«ц , у"(1,е;-А, , (2)

где £ >0 -|.'д?хЯ параметр," <¿1 % ï « ОД' -кекоторуэ известные ПОСТОППКУЭ. '

Предполагается,что:

I. «ункции A(t),.B(t), *F<- âôcTâ'rovHo гладкие на 10,13,a Hi(t,x) 1-072 , в области D={ 0d$l, 1 h

II. A(t) > ^ » const> 0 на [О,.13.

Шряду с уравнением (1) рассмотрим однородное дифференциальное уравнение:

Цу s £у"' (t) + ft(t)y"(t) + B(t)y'(t) + C(t)y(t) = 0, (3)

с начальной условиями (2). Пусть y(t) - решение вырожденного ( невозмувднного) уравнения:

A(t)7*(t) '+ B(t)y4t) + C(t)7(t) - О , (4)

с начальными условиями'

J(l)-J.o , ' r'ilWè • tfe)

tefièctrio-.* , что £егё.чйе yttjfi) дйф^рзивдаяьноЯ задачи (2), (3) в случаэ ntaioJftîeitUîT уйлзвйй Я пе Судэт стрзикгм к рэиэкшб iTCtf й*фоз?г,вйной задачи (4),(0)', é ÔtîïéknîTCd к бэскстючлости и не '«йог продела В п^отмпополоягоеть вь'ясскй-рэйзс'О y(l,t) нэтгнфо-дг^г^акалъцей гаязча (1);(Я) '

1?зс1К№ояп Л. R. . ?5У'г fi'P.-- ?Л I'. р/з-зот.:»«!«:?

-G"

как доказывается, в первой главе диссертации, в случае выполнения условия устойчивости И имеет предел при 2.*— О ;

[ У'Ь). Oit«l . 1-0,

lin/it.fi)-] . l-*D (y'4t), 0<Ц1 .1-1,2 .

Однако, yt t) не является ре ¡тенией обычного вырожденного

уравнения, получаемого иг уравнения (1) при 0. а удовлетворяет

измененному вырожденному уравнению: 1

Ley - ^<H,(t,x)y(x) + Ht(t.K)y'(x)+ He(t.x)

о

+ Д (t) .

2 (6)

В построена фундаментальная система решений, получены оценки и асимптотические представления функний Коим.

Для корней характеристического уравнения, составленного для однородного уравнения (3) имеет место следующее асимптотическое представление

A;it.E)-XL(t) + Q(£) (1=1,2). А3( t,£)= (?)

где JL;.(t) и J1 tt) определяется из уравнений A(t)Iai + B(t)&i, + C(t)=Q, (i-1.2), Ji(t)+i(£)=0 ч (В) Пусть выполнено условие : III. xs(t) , t [0.1]

В $3 получена оценка решения задачи Кош 11) Л 2) и их производных. Непосредственной подстановкой можно проверить,что решение сингулярно возмущенной задачи UM2) представимо в виде

yit.ej - yiO.Ejy t.0)+ y'(0,£)Kj:t.0) +y"(0,£)»t

t

определении, К-^.з) , 1=0,1,2 , 045Я-<1 - функции, опр»д?ляе-

тгде у (.0, Р.) (^-=075; - неизвестны-? пока величины, подло каш "йПреДелешпо, из задач

1, при 3

цкии,5ьа , к¡5 (з,з) =

(10) ч0, при

а через г(5,е) обозначена.правая часть '/равнения (1) , которая мо.тят быть представлена, учитывал С91)-, з 'виде 'интегрального уравнения Зредгодъма:

.гсй.ЕЗ-ЯС^ + у^Ш^и.О) +■ у '(0,£) Аии,0) +

' , (Н)

+ у"(0,е) ¿ки,0) +' 5)2(3,£)<1з,

9

где ядро. и£СЪ,з)> -¿-е^а.з), (12)

ЬцЪ,'*)- ^у^Н^.ЮкЗх.б)^ 1-0,2 (13)

Предположим, что ^для ядр& 1)е113) 'выполнено условие: IV. Число "1" не является собственным значением ядра

и6и,з). • ■ Тогда интегральнее уравнение (11) йдэет единственное решение .. Следовательно рейё'ние задали '(,(&) колю представить в виде: ^ 4 4

У(1,£)= ^ уи(в,8)Йи(Ц + (14)

Где ' ' Л

I 0 4 (15)

+ |(?Е(3,р) ¿и(р,0) ¿р} ОБ ,

Рф(I) =4 5 К 8Е( I, з) Г Г( э). ^ ^ з, р) Р( р) ((р) сЬ

(16)

а Я£С^,з) - резольвента ядра иг(Л,!з). Учиткаа? (К),(14) получим Линейную систеМг эдчдаещ^ для опгец»л-?!шч у(0,б)-,уЧо.£), У "i0.fi)

У(0,6)4^(1) +■ у'(0,£.)Ч^(1) + У "(0,6)0^(1) - • / «I» «-* '

- «ч - р£ а) , 1=га (1?)

Составим определитель из коэффициентов при неиевеетных и обозначим его через ^(1) • Для определителя имеет место представление

где ¿5(1) -главная часть определителя .

V. Пусть © (1) / 0 Таким образом, для у(0,£),у'(0,6),у "(0,6) получаем следующие асимптотические представления

¿5 о

__(19)

''М-аЖг+ОМ,

где ¿5,(1) - главные члены определителей, получаемых изсо€(1), заменой 1-го столбца на свободные члены

Доказана следующая

ТЕОРЕМА 1. Пусть выполнены условия 1-У. Тогда для решения сингулярно воамуирнной задачи и),(2) справедливы следующие оценки :

|у"й,£)| + Ы-в| + ^ГЙ ). 1=0,1

| /(■<-,£) | < + |ехр(- Г-$- ))( Ш +

+ + ч | Р Й ) ,

1'Д-' С, % ? 0 - некои'ориэ постоянный не аавксящ«8 от Ь н 6 . Ь Н 4-5Я «ПСТрвИИЯ агй).Л¥05И!У5 рвЙЭКЮ ЗЭДЭ.ЧИ (1) ДЙ).

исходя из характера роста решения задачи (. 1), (2) в окрестности точки 1=0, сначала рассматривается вспомогательная задача Кош с начальным скачком :

у(0,£) = 0.(8), >'(0,С)-6(Б), у"(О,£) = С(£)/<5 ( (21)

где а(£) = + + £»а« + ... , <*0+О ,

= ..., (гг.)

С(е) = + «*с2+... ,

а ai.6i.Ci , 1-0,1,2... -пока неизвестные коэффициенты , подлежащие определению. Коэффициенты (I; , , с;

1 = 672, определяется таким образом, чтобы реиенке у(1, а , в , С, € ') задачи (1) ,(21) удовлетворяло начальным условиям (2) ■

у(.1, а',6 , С , 6 ) - у'С1

(23)

у" (I, а, 6 , с , е) = ос г .

Рассмотрим вырожденное уравнение (5) с начальными условиями '

У(0)~0Со , 7 (0)~ Во+-йв0 , (24)

йбо ,иД(1) - так называемые начальные егачки функции у '(t-.fi) и интегрального члена, явно определяемых из следуютик формул:

Д8о-со/А(0) , ДЦ) = СоНга,0)/А(0) (25)

Задача Ком (б),(24) называется вырожденной задачей для еадачи Коии с начальным скачком (1)',(21).

VI. Пусть вырожденная задача (б),(24) имеет единственное (зейёНИе на отрезке 6<ЬЦ .

Далее построено аоЫйгМйЧеькое' реаение вспомогательной задачи Коти (1) Л 21) .. ®орШ»Ш ^ешенке задачи (1),(21) ищется в виде разжнвэнМ: .

-10-оо

yct.fi) +6|:£"У(ХГ). -г-л/е . (26)

«сО «Д "

где Ь) = уки,ак.$« , С«) к-0,1,2,... - регулярные члены и УКСС) , к=0,1,2,... - погранслойные члены асимптотического разложения решения задачи (1) ,(21).

Регулярный член нулевого приближения у,(1) определяется иа интегро-дифференциального уравнения и погранолойный член V, (Тг) нулевого приближения определяется из дифференциального уравнения, а именно :

( А(Ь)у0"(1) ♦ ВШу.Чь) + С(«ув(0 = ^,(Ч,х)у0(х) +

+ Н4(Ь,и)у^(х) + НаС1.х)у;(х))ах + свН,(1,0)/А(0) (270) у,(0) = а„, у^(0) » 8в4 о„/а(0)

А(О)УЛТ) = о

У„(0)- с,/А*СО), -С./А(0), У„(0)- е..

(26«)

а регулярные члены к-го приближения уви), к-1,2,... и погранслойные члены к-го приближения И^С) к»1,2,... определяются из ¡задач

1

АШу^ан В(«у,;<« + С(1)ус(1)- ^(Н0(Ь,Х)У1((Х) +

+ Н1(Ь,х)у;(х)+ Н8и,х)у^(х)} ¿х + РК(Ь)

у (*?„)

у„(0)-ак- уо), ук'(0)ч'\ Фи(с)йГ- УД0)СК)/А(0) +6и .

в

wj.IT!) + А! О

К.С0)= (ск- + МО}^

\ Р '28н)

й(0) =<-$ фдЫ^ У;;со) - ск)/А(О); • I " ' ,

V Ьо) -о.-у^о),

-и-

где Сг.) и Ф„Ш - уже известные функции, зависящие от у^Ш и , ¡<к соответственно, а несобственные интегралы,

входящие в (27К),(28„) сходятся.

В I 5 получены оценки пограничных функций , к=0,1,2

однозначно определяемых из линейных задач (28*).

В. 16 рассматривается ■ вопрос о разрешимости уравнений для регулярных членов асимптотического разложения (26).

Доказано, что решение задач (27,) к=0,1,.. будет иметь вид

иль®, г

ув(0)в„(1.0) * уЦощь.о) -.] (

1 Л

~ £ Г Ы * ш

+ ^(а) +. У К(з,р)^уЛ(0) ^ ^^Н^р.х^^х.О^х + где функции Ф^и.э) - являются решением следующих задач

А(Ь)Фж(Ь,б) + В(1)'Ф^(1,з) + - 0, к=0,2

¡(30)

1, если О, если ,

га) с„Н и,0)/Л(0), при к-0 • Р«Ш , при к*1,2,.;

Г<(. й4) - регодььента ядра .[(1,з), причзм

J(t,sb H (t,s)/A(s) +- ^¿H.(t.x) «$x,s)dx '(31)

5 A(s) p '

Для ядра JCt.s) сделано следующее предположение

VII. Число "1" не является собственным значением ядра Jlt.s).

В §7 доказана теорема 2 о существовании и единственности решения задачи Коти с начальным скачком (1),(2¿) и об оиенке остаточного члена асимптотического разложения.

В 9 8 однозначно определены неизвестные параметры йк. В* , С„ , к=0,1,2.... входящие в (22). Для определения этих неизвестных параметров решение задач' (27к) ЫЗ,. представляем в виде

y|¡(t)=.QKu,tt> + í>sut(t) *■ ск us(t) + d„(t), (32)

где

f ®t(t,s) 1

- .. -«O

o A(s) 4

a»

H^(s,x) Ф.(х,0)dx +

ds,

(33).

4Jrís.p^)^H1(p,x) x,0)dx]dp) ds, j-0,1

1 í • Л,' u8(t)- -taít.O) +\-[ J^Hjjs.x) Ф11х,0)0х f

A(0J l • o Aísj; «■ 1,0

+ H,(s.O) +Ír(s,p) (}¿H.(p,x) ФДх,0)с?х +

« i

V P

+ Ht(p,U)dp)dsj ,

dK(t) -непрерывные функции не зависящие от QK, бк, с„ .Тогда при t-l получаем линейную неоднородную систему уравнений относительно QK , вк , С, :

+6, 11^(1) + с^Ь)- 4г<С'1). 1=0,1,2. (ЗД)

Пусть выполнено следующее условие:

А-

Ц/1) щ11) ua(l) uí(l). ui<l) U¿(1) u''(l) u*(l) ui'(l)

^ o

Следовательно система (31) однозначно разрешима относительно а, , 0, , о*. Это единственное решение обозначим через

а,. В*. 5;.

Доказана следующая

ТЕОРЕМА 3. Пуать выполнены условия I. II,VI-VIII. Тогда в некоторой достаточно,малой, не зависяпей от & окрестности точек 5"м . 2» . о» существуют и притом единственные значения й - а(£). В = 6(В), с- c(t) , представшею в виде 0U) 0(с) t é(¿) - W„ + + Oíе),о (£)= 5L+ 0(/), такие, что решение y(t,a(£).e(£).c<£)¿) сингулярно возмущенной задачи (1),(21) является единственным реаением у( t.g ) сингулярно во8ыушениой задачи (1).(2) и это решение имеет следующее асиштотическое разложение :

yit.é) =fn(t,e) + rjt,£) 3s +

fcp (35)

4>

+ Rjt.fi).

и остаточный член RJ t .£) ишет оценки

jf$t,¿)| < . i-Ql2 . С - const>0 (36)

Во второй главе изучается решение задачи Коим с начатым скачком нулевого порядка для сингулярно вовмущенного ингег-ро-дифференциального уравнения третьего порядка

В #1 рассматривается сингулярно возмущенное интегро- дифференциальное уравнение вида:

til ц >

L у ¿s ¿y (t) + АШу (t) + B(t)y (t) + Cít)y(t) =,

* (37)

= )(He(t.a)y(j¡.í) '+ H1(t.x)y,(x.£))dx + P(t)

с ■начальными условиями (2).

В отличие от задач (1),(2) первой главы получены следуюсще порядки роста решения и производных вблизи левого" конца

у(о,б)= 0(1), у'со.еь'оа/г),' у"(о.£)= о( 1/еЪ "(за>

Для задачи (2),(37), при выполнении условий, аналогичных условиям I-V задачи (1),(2) , доказана следующая

ТЕОРЕМА 4, Для сингулярно возмущенной задачи (2),(37) справедливы следующие оценки :

\УС 1,е) | ч< 11рИ)

п I- (39)

где Си 1С>0 - некоторые постоянные, не зависящие от Ь и 6 .

Учитывая оценки решения задачи (2),(37) построено асимптотическое решение вспомогательной задачи Коши- с начальным скачком нулевого порядка *

у(о,Е) = а(£), уЧо.е)-&(е>/е , у"(о,б) = сш/ег, . (40) .

где 0(£), #(6), С(е) определяются разложением (22).

В § 4 докааана разрешимость регулярных членов асимптотики. В § 6 доказана теорема 5 о существовании и единственности и об оценке остаточного члена асимптотического разложения вспомогательной задачи Кши с начальным скачком нулевого порядка с любой степенью точности.

В §6 определены неизвестные параметры разложения (22). Докааана основная теорема 6 о сущесвовании и единственности в локальном смысле решения задачи Коши (2),(37) и об оценке остаточного члена асимптотического разложения решения.

Основные результаты'Диссертации.опубликованы в работах:

1. Дауылбаев М.К. .Сурапбергенова 3. А. Об асимптотическом поведении решений сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений третьего порядка с особенностями. // Тезисы Всесоюзной конкуренции "Асипмтотические методы теории сингулярно возмущенных задач и некорректно поставленных задач". Бишкек, 1991, с. 104.

2. Ьасыыов К. А., Сурапбергенова 3. А. Об оценке решения задачи Кош» с начальным скачком нулевого порядка для интег-ро-дифференциальных уравнений третьего порядка с малым параметром при старшей производной. //Дел. в КазгосИНТИ 17.03.94, N 4717-К 94, 14С.

.3. Дауылбаев М. К., Сурапбергенова 3. А. Об асимптотическом разложении решения задачи.Каши с начальным скачком нулевого порядка сингулярно возмущенного ингегро-дифференциального уравнения третьего порядка. // Деп. в КазгосИНТИ 17.03.94, N 4716-К 94, 16с.

4. Дауылбаев М. К. , Сурапбергенова 3. А. Об оценке решения задачи Коши с начальным скачком первого порядка для интег-ро-дифференциальных уравнений третьего порядка с малым парамет~ ром при старшей производной. //Деп. в казгосИНТМ 17.03. .94, N 4715 -К 94, 14с.

5. Сурапбергенова'3. А. Об асимптотическом разложении ;РЭ" шения задачи Коши с начальным скачком первого порядка для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений. //Деп. в КазгосШИ 17.03.94, М 4714 - К 94, 16с.

«V

CyipanSeprertOBa 3MnarYJi AjiMaSafittbisw

CuuryjispJiu aytiTKHran MHTerpsujflu -lettney^KpfliH OacTan^H cesdpici (5ap Koant ece(5iKiH acKMHTOTHKaitHH lueiaiMi. .

JKywucTa, iiHTerpaJi^K^ MYiae k ipMcren jcarflafifla taeaiiMi EieKci3-fliKKe yMThwaruH cunry;iKpjib! a^biT^uran Yirif msi peiri MHrerpEUiRU -Teimey/iepre northml sane (5ipinmi perrl fecfsn^u csKipicTepi Cap Koiuk eceBi. napacTMpttntm, oHtct Eeitthaf CarsuiaHraH. AcHMnTOTMKSLabin; «iKTenyi nypHJiun, Mtmeqi GarajiaHBflu mSSiiM-

hih Cap Co^yu »arte jKaJirusflbifbt KswiHReri teopeMaJtap ftaJtenAeiff'ifft.

Surapbergenova Zefiasul Almab&evna

Asymptotic solution of initial value problem with initial jumps for singularly-perturbed itegral-differential equations.

The estimates of the solution of the initial value problem with initial jumps of the first and zero orders for singularly-perturbed integral differential equations of the third order have been received, in this thesis. It is kno*n, that the solution of same problem without integral members has been appoximate at Infinity. Asymptotic decomposition have been" constructed, the theorems of existence and uniqueness of this problem have been proved and the estimates residual members Of asyrrptotic solution have been rec&lved.