Асимптотика дискретного спектра в некоторых квантовомеханических задачах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОДНОМЕРНЫЙ ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА

§ I. Оценки для нижней границы спектра при суммируемом потенциале.

§ 2. Асимптотика собственных чисел при стремлении потенциала к несуммируемому

§ 3. Доказательство теоремы 1.1.

§ Доказательство теорем 1.2, 1.3.

§ 5. Вспомогательные оценки.

ГЛАВА II. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

ПРИ НАЛИЧИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И ОДНОРОДНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ

§ б. Основные результаты.

§ 7. Предварительные оценки

§ 8. Доказательство теорем 2.1 ~ 2А

ГЛАВА III. АСИМПТОТИКА СПЕКТРА МНОГОМЕРНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

ПРИ УБЫВАЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ.

§ 9. Основные результаты.

§ 10. Предварительные оценки

§ II. Обоснование теории возмущений

§ 12. Асимптотика средней поправки к спектру

ДОПОЛНЕНИЕ.

1. О вычислении интегралов вида (1пП *сИ • •

2. Формула для диагонали ядра спектрального проектора оператора -Л + /х/2, X £

Диссертация посвящена изучению асимптотики дискретного спектра некоторых конкретных квантовомеханичеоких систем. Эти асимптотики получаются на основе теории возмущений в сочетании с вариационными соображениями. В первой главе рассматривается дискретный спектр одномерного оператора Шредингера ~с/Уо(хг + У(х), При изучении поведения нижних уровней энергии потенциал рассматривается как возмущение оператора -¿Ул ?с . (Точнее, выделяется особенность при Е—*■ + () в операторе (-ЛУ^эс^+Е!) • Остальные результаты этой главы основаны на применении теории возмущений дискретного спектра к резольвенте оператора

Формулы, полученные в гл. I, используются затем в гл. II. Результаты первой главы, возможно, представляют и самостоятельный интерес. Во второй главе изучается дискретный спектр квантовой частицы, движущейся в потенциальной яме при наличии однородного магнитного поля. Связанные состояния тогда в существенном определяются одномерным движением частицы вдоль направления магнитного поля под действием некоторого эффективного потенциала. Сведение задачи к одномерной обосновывается применением вариационных соображений. В третьей главе изучается поведение поправок к спектру многомерного осциллятора, возникающих при введении потенциального возмущения, убывающего на бесконечности. Для этого используются приемы теории возмущений. Однако асимптотика ищется не по малому параметру, стоящему перед возмущением, а по большой энергии.

Результаты всех трех глав получены средствами качественной теории возмущений, применяемой в нестандартной обстановке. Обычные разложения здесь либо не применимы (гл. I, II), либо требуют значительной работы по их обоснованию (гл. III). Среди причин укажем "рождение" связанных состояний из виртуального уровня на краю непрерывного спектра, высокую кратность невозмущенного спектра, невозможность прямо трактовать возмущение как малое. Полученные асимптотики часто содержат несколько параметров и существенно зависят от взаимоотношений между ними. Таким образом, объединяющей для всей работы является демонстрация возможностей современной теории возмущений в сравнительно сложных ситуациях.

Опишем содержание работы более подробно. В первой главе рассматривается поведение собственных чисел оператора + + ~\/(х.)ъщ "малых" потенциалах (§1), а также при стремлении потенциала к несуммируемому (§2). Б §1 доказываются двусторонние оценки для наименьшего собственного числа с. оператора ■h У(х), 1/W Ор которые позволяют получить асимптотику по "малому" потенциалу У:

Е--/fx)dxj. Сол)

В физической литературе подобная формула известна давно (см.[i], с. 185). Математически строгое доказательство было дано Б.Саймоном [2] (см. также [з]), однако лишь для специального случая. Именно, в [2, з] рассматривался оператор

- dVd доказывалась асимптотика:

J/-Ö. (0.2)

При этом условие 1/^0 заменялось на более слабое: ty(x)ctx<0, У>0; R 0 условия на поведение У в бесконечности - те же, что и в §1 настоящей работы. Асимптотика (0.2) для нас недостаточна, поскольку не содержит равномерной по оценки остатка. (Подробнее об этом будет сказано при обсуждении результатов второй главы.)

Б §2 изучается поведение спектра оператора Хг4- Ц. (эс), когда функция 1// стремится при Ь 0 к несуммируемой функции ]/() . Точнее, предполагается, что локально суммируема всюду, кроме окрестности конечного набора точек х^, . При этом оператор -¿¿Укхг+ заданный на , » имеет, вообще говоря, ненулевые индексы дефекта. Поэтому его са-мрсопряженное расширение строится неоднозначно. Выясняется, что в действительности все собственные числа оператора + кроме, может быть, нескольких нижних, стремятся к собственным числам оператора

РСг-н1^(х), для которого поставлены нулевые граничные условия -(условия Дирихле) в точках Х1 , . , Ху. Оставшиеся (нижние) уровни можно описать следующим образом. Каждая из "притягивающих" особенностей предельного потенциала 1/^ порождает ровно одно собственное число, уходящее на — оо при ^ 0 . Асимптотика этого собственного числа выражается формулой вида (0.1), в которой К следует заменить на окрестность особой точки. (Точная формулировка этих результатов содержится в теоремах 1.2 и 1.3.) Подобное поведение спектра было ранее замечено (см. 5]) на примере "срезанного" кулонов-ского потенциала (х) = — (¡х/ +2^) \ ^ > 0 * Для которого уровни вычисляются через функции Уиттекера. В этом случае энергия Ео основного состояния имеет при ^ —>с<> асимптотику:

Е0м = - ¿п.г± + о(&1*£).

Остальные уровни при ^ 0 асимптотически двукратно вырождены и стремятся к уровням оператора — г/с( x 2— ¡ус/ с условием Дирихле в нуле. Более точно, имеют место формулы:

Е2п+4=-(гпГЧ1+0(Щ),

Как видно из теорем 1.2, 1.3, такое поведение спектра не связано со спецификой кулоновского потенциала, а объясняется лишь его четностью и наличием у предельного потенциала несуммируемой особенности в нуле. Ранее это обстоятельство явно не отмечалось.

При доказательстве теорем 1.2 и 1.3 существенную роль играет оценка нормы разности резольвенты оператора - ¿¿/¿/х2 + (х) и резольвенты того же оператора, для которого поставлены условия Дирихле в точках зс^ , . , X^. Такого рода оценка содержится в теореме 1.1. Теорема 1.1 доказывается в §3, теоремы 1.2 и 1.3 - в Б §5 вынесены некоторые вспомогательные утверждения.

Во второй главе изучается дискретный спектр квантовой части« цы, движущейся в электрическом поле, описываемом потенциалом и в однородном магнитном поле величины В. (Для определенности считаем 0 и В> 0 .) Потенциал предполагается аксиально симметричным относительно направления магнитного поля и исчезающим на бесконечности: при р2-*-?2-»0*3.

При этом для оператора Шредингера ву приводящими являются подпространства отвечающие фиксированным значениям магнитного квантового числа т , то есть фиксированным значениям проекции момента на направление магнитного поля. Непрерывный спектр в подпространстве не зависит от и заполняет собой полуось

Ранее были известны некоторые результаты, относящиеся к энергии Е(В,т}у) основного состояния в подпространстве . Пусть г

К*

Было установлено [б], что при условии К в подпространстве ^^ левее начала непрерывного спектра существует по меньшей мере одно собственное число. Если, кроме того, к то при достаточно малых у такое собственное число единственно, причем

0.3)

Отметим еще работу [7], где изучались связанные состояния в случае потенциала нулевого радиуса. Обширная физическая литература (см., например, [8 - II]) посвящена поведению дискретного спектра при сильных магнитных полях специально для случая кулонов-ского потенциала. Было, в частности, замечено, что уровни энергии (кроме самого нижнего) в подпространстве при асимптотически двукратно вырождены и стремятся к серии уровней , П = 1, 2, . , одномерного оператора — Л/с(хг-^Х на полуоси с нулевым граничным условием при х=0 . Энергия же основного состояния имеет при фиксированных Ш и при В асимптотику г 2В(т ~ ¿пг В + о(£пг£>), (0.О

Последняя формула была строго доказана в Доказательство основано на том, что заменой переменных случай В —> *><=> и у = сок^ сводится к случаю В ~ Ссп&£ и у 0 . Поэтому СОЛ), получается модификацией результатов работы [б].

Результаты диссертации, относящиеся к спектру частицы в электрическом и магнитном полях, описаны в §б. Предполагается, что потенциал ограничен всюду, исключая окрестность конечного числа особых точек, лежащих на оси "2. и имеющих степенной порядок особенности не выше, чем 2 — 2 , £0>0. (См. условие -(2.2) ; требование €-о>0 необходимо для того, чтобы оператор Шредин-гера был корректно определен.) В отношении поведения потенциала на бесконечности можно выделить два основных случая. €

Случай I. ¡У(р,г)1 ^ Су. (р2+ 2*) °° , 0. при достаточно больших р2 + В.2, Если, кроме того, I/V 0, то, как показывает теорема 2.1 (формула (2.5)), главный член в (0.3) в действительности отвечает совместной асимптотике по малому у и (или) большому пь . Зта асимптотика равномерна при не слишком больших значениях В и ухудшается с ростом В. Если (т.е. особенности у потенциала слабее кулоновских) или число особых точек не больше единицы, то асимптотика по у —.> 0 для равномерна при всех В и Щ; ъ противном случае она ухудшается с ростом отношения . Теорема 2.1 также утверждает, что при фиксированных В, у в подпространстве ^т оператор Шредингера имеет ровно одно собственное число левее непрерывного спектра, если /щ,/ достаточно велико. Кроме того, в рассматриваемом случае количество таких собственных чисел конечно при каждом т (теорема 2.2). Поэтому асимптотическая формула (2.5) описывает все собственные числа, лежащие левее начала непрерывного спектра, кроме, может быть, конечного их числа.

Отметим, что асимптотика (0.3) в работе была получена применением (0.2) к одномерному движению с эффективным потенциалом Vmp (ßj Для получения асимптотики B.(B>jm) у) по оценка в (0.2) недостаточна. Поэтому вывод (2.5) в настоящей работе основан на оценках, доказываемых предварительно в §1.

Случай 2. Здесь требуется лишь стремление потенциала к нулю на бесконечности. Рассматривается поведение дискретного спектра при В —> оо и при условии, что V фиксировано и что отношение л jSL . .

В (iml+i)~ не слишком мало. Пусть tm , К=/,2, , - собственные числа, отвечающие фиксированному ИП и сдвинутые влево на + №1+4) (т.е. отсчитываемые от начала непрерывного спектра в Как показывает теорема 2.3, в случае числа (ß rH^^j стремятся при В—к собственным числам одномерного оператора Шредингера с потенциалом у Vfß^l^l^j • Если €.0^4/2, то для справедливости этого утверждения дополнительно требуется, чтобы отношение

Чг4) было не слишком велико. Таким образом, теорема 2.3 не описывает наиболее интересный случай, когда потенциал имеет особенности не слабее, чем кулоновские, и ß—оо при фиксированных Щ и у . Это связано с тем, что при наличии у потенциала V кулоновских и более сильных особенностей эффективный одномерный потенциал \/mQ (В>; приобретает в пределе при В&э несуммируемые особенности. Утверждения, относящиеся к этому случаю, сформулированы в теореме 2Л. Оказывается, что (при некоторых дополнительных предположениях относительно поведения потенциала в окрестностях особых точек) все числа ,1П» кроме, может быть, нескольких наименьших, стремятся к собственным числам оператора -¿УсСг2 у ^(0/2:) с нулевыми граничными условиями в особых точках потенциала У(0 в) . Нижние уровни можно описать следующим образом. С каждой из притягивающих осоо бенностей потенциала V связано ровно одно значение Е^^м у), уходящее на — оо при В-^^0. Его асимптотика определяется поведением эффективного потенциала в окрестности особой точки (формула (2.14)). В частности, если потенциал ъ) - четный по переменной 2, то при В—> некоторые из Ёк (В,^^) асимптотически двукратно вырожденны. Действительно, предельная задача Дирихле распадается на независимые задачи, среди которых есть пары с одинаковым спектром. Таким образом, перечисленные выше факты о поведении спектра атома водорода в сильном магнитном поле (в частности, об асимптотическом двукратном вырождении уровней) объясняются не спецификой кулоновского потенциала, но лишь наличием у него достаточно сильной особенности в начале координат и четностью по 2. (Асимптотика (0.4) входит в (2.14) как частный случай.)

В §7 содержатся предварительные оценки, нужные для доказательства теорем 2.1-2.4. Именно, обеспечивается возможность сведения задачи к одномерной, а также оценивается эффективный потенциал одномерной задачи. Сами теоремы 2.1-2.4 доказываются в §8. Их доказательство носит вариационный характер. При этом теоремы 2.1 и 2.4 существенно опираются на результаты гл. I о спектре одномерного оператора Шредингера.

В третьей главе изучается спектр оператора — Л У(х) , уу!

Х6(К , отвечающего возмущенному многомерному гармоническому осциллятору. Как известно, спектр гармонического осциллятора состоит из собственных чисел 2/]/+т кратности N-0,4, . . Относительно возмущения V в случае т>2 мы предполагаем, что \У(х)\ ^ Су \х\ при \х\> 1, и р6<2, при \х\^1. Показано, что при этих условиях для собственных чисел Л оператора —А +1x1*+ УЫ) можно подобрать такую нумерацию к # N-0,4, . , /<=/, . , ¿ц , что таос 0} (о.5>

В работе изучается поведение при больших /V поправок <3^ =

Ранее этот вопрос рассматривался лишь при т= 1, Пусть А^ , Д1-0, 1, . •• , - возрастающая последовательность собственных чисел оператора сгч- Хг+ У(х) . Для больших А/ известна формула: у

Д^-=2/1/4+ 2[у(х)Лх + о(А/~*). (0.6)

Б [13] эта формула строго доказана при условии, что $1У(х)1(1+1х11Л)с1х<*о) £>0. (0.7) т

Отметим еще работу [1*Г|, в которой, в частности, получено несколько первых членов асимптотики по N ^ собственных чисел оператора ¡г п хгч-12 Вк 0 <&к<1, у: к=4 действующего на полуоси

Многомерный случай принципиально сложнее из-за многократного ,2 вырождения собственных чисел невозмущеиного оператора —Л + /Х( . Основные результаты диссертации собраны в §9. Главный из них заключается в вычислении в явном виде асимптотики при N —> суммы поправок S <5"*, (теоремы 3.2, 3.3). При этом на возмущение накладываются некоторые дополнительные ограничения. Именно, в теореме 3.2 предполагается, что V€ U1(,(Rm) и, кроме того, что ¡V(x)j убывает при не медленнее, чем С jxj . Б теореме 3.3 требуется, чтобы функция V при была асимптотически однородной с порядком, большим, чем —М, .

Индивидуальную асимптотику поправок (Уц к можно выразить (те) орема 3.1) через собственные числа зе^, оператора = ~VNV"PN , где - ортопроектор на собственное подпространство оператора — отвечающее собственному числу 2/V+W ; rank Вд^^. Утверждение теоремы 3.1 не очень эффективно, поскольку вычисление ЭСл. при больших N затруднительно. Одна

V, К ко в случае сферически симметричных ]/ числа к явно выражаются через и обобщенные полиномы Лагерра.

Результаты теорем 3.2, 3.3 достаточны для получения асимптотики по Т-» величин вида

В частности, при — & получается асимптотика статистической суммы (теорема ЗА),

Случай щ - 1 рассматривается особо и при несколько других условиях на У. При этом все рассуждения лишь упрощаются, поскольку уровни невозмущенной задачи невырожденны. Соответствующие результаты содержатся в теоремах 3.5 и 3.6. В теореме 3.5 утверждается, что формула (0.6) справедлива при условиях, более слабых, чем условие (0.7), используемое в работе [l3j. Отметим, что дополнительное условие (3.13) в теореме 3.5 в известном смысле точное: его нельзя заменить на условие вида j i/Y-^.)/^ ^М (х)/х/ , как бы медленно ни росла функция М (х) при \эс1—Его, впрочем, можно заменить на условие

5 ¡VMI (1 + 1*12/i)dx<^ R точное в том смысле, что вес i-jocj2^) нельзя заменить на более слабый. Формула (3.15) в теореме 3.б согласуется с результатами работы [ib]»

В §10 доказываются некоторые предварительные оценки. В §11 оправдывается применение методов теории возмущений для получения асимптотики величин к и доказывается теорема 3.1. Остальные результаты доказываются в §12. При этом используется одно неравенство для функций Эрмита ХпМ М. а также квазиклассическая асимптотика при п-^^ в интервале t^Ofen+l), 0<@< 1, для этих функций [1б]. Кроме того, используется явная формула (3.35) для диагонали ядра спектрального проектора Р^ . Вывод этой формулы содержится в Дополнении 2.

В Дополнение вынесен материал технического характера. В Дополнении I содержится теорема, относящаяся к поведению при больших т интегралов вида

1 Г Т-// 1 1т

М1 к+

Зта теорема позволяет во второй главе явно вычислить главный член асимптотики энергии основного состояния по большому магнитному квантовому числу для некоторых конкретных потенциалов. В Дополнении 2, как было сказано выше, содержится вывод формулы (3.35) для диагонали ядра проектора Р^ .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17 -19]. Эти результаты докладывались на семинарах по математической физике и по квантовой механике на физическом факультете Ленинградского государственного университета им. А.А. Жданова, а также на семинаре по теории операторов при Одесском электротехническом институте связи им. А.С.Попова.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. М.Ш.Бирману за постоянное внимание к работе.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., 19^8. 570 с.

2. Simon 8. Ткг Sound state, of coupled ScLrodivi-operators In. one cuicl tm oLim*ns.io<bS>. -Ann. Pk^S>icSj

3. E>£afrfa,Hj)-zck&r R Сто&Игпрг M.L.; Simon В. Tlu Soundstates o f iveakiij, coujz&d lontj- гсшс^е. one - dimtusionalcpuantum -Ann. Physics, /.977, iml, 408, p. 69- 78.

4. Loudon R. Опл -di mens oncol kgdro^eia <х£оил. — Amzn Pkp., 4353, vol 277 f>. Ш~6'55.

5. Hatnzs L. K.; Roberts ДМ One.-dimensionad. kydr-oyzn atom.- Amer.jf. -496$} uolM, ^

6. Avron^.j H-er/SbtT.j. Simon. B>. Schrodinfyer o^taiors. with tn^nttic Jitkjz MM, J., WE. ml 45}р.Ш-ЕВЪ

7. Демков Ю.Н., Друкарев Г.§. Частица с малой энергией связи в магнитном поле. 20Т§, 1965, т.49, с.257-264.

8. Elliott Loudon. R. Theory o-f thz alsorptcon. edfre- иг Semi conductors, in a. Ll^h ¡mu^netic -fc-e/^C.-J. Pkp.CUm. Sa&d^ 4B60j vol. 45, p. 4S£~201.

9. Hasecjcava H.} Howard R. E. OpticaZ a£soration Spectrumo-f- hydrogen (xioatz in strong magnetic J. PkjfS.Chun, io&Us, -17*1,24, pjH- 13 S.

10. Жилич А.Г., Монозон Б.С. Квазиклассическое рассмотрение спектра водородоподобной системы в сильном магнитном поле.- §ТТ, 1966, т. 8, с.3559-3566.

11. Захарченя Б.П., Сейсян Р.П. Диамагнитные экситоны вполупроводниках. УФН, 1969, т.97, с.I93-2IO.

12. AvronJ.; Herês>i I., S Шоп Stroriflly Sound si<xhs> of hydrocjcn in inïens€ ma^ritéûc ~Ç-it/c(. — P/^s.W3t VÛ€.A2 0, p.22Zl-ZZ36.

13. Сахнович Л.A. Асимптотика спектра ангармонического осциллятора. ТМ$, 1981, т.47, с.266-276.

14. Муртазин Х.Х., Амангильдин Т.Г, Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля. Матем. сб., 1979, т.ПО, с.135-149.

15. Olmr Г. ¡A/,.}. Two inj^uaÙéM for O^Cimkr -Çaixotuons. Proc. Cam4rldߣ Pkt/oSoph. Soc 1Н17 гrot. p. 211-822.

16. O&LPer R W.JL Uniform a^m^ioti^c e^xpansCons for Weier ¡эагаЛо&с ccfiCnrfer -functCons of &xrgz orcUrs. — Res. National Bureau of Standards, ■1S5SJ voi. 63 BJ ¡>J51-169.

17. Солнышкин G.H. Асимптотика энергии связанных состояний оператора Шредингера при наличии электрического и однородного магнитного полей. Б сб. : Проблемы матем. физики. Вып. 10. Л., 1982, с.266-278.

18. Солнышкин С.Н. Об асимптотике спектра многомерного осциллятора при убывающих возмущениях. Вестн. Ленингр. ун-та, 1982, № 19, с. 104-106.

19. Солнышкин С.Н. Асимптотика уровней энергии квантовой частицы в электрическом и сильном магнитном полях. Вестн. Ленингр. ун-та, 1983, № 16, с.78-80.

20. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. M., 1972. 740 с.

21. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. 4.1. M., 1978. 392 с.