Асимптотика малых времен решений динамических задач упругости и термоупругости для полупространства тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ДОЛ ОТО В Матвей Владимирович

АСИМПТОТИКА МАЛЫХ ВРЕМЕН РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ УПРУГОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание степени кандидата физико-математических наук

Тула 1997

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного горного университета.

Научный руководитель доктор технических наук, профессор РЕДКОЗУБОВ С. А..

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор КИЙКОИ.А.,

кандидат физико-математических паук, доцент ТОЛОК!ОННИКОВ Л. А.

Ведущая организация: Институт механики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится « . » . . 1997 ГОда

Щ-

в / 7. час. на заседании диссертационного совета Д063.47.07 при Тульском государственном университете по адресу: 300600, Тула, ГСП, тр. Ленина, 92, 9 учебный корпус, аудитория 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан « . » . . . 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук ПЕНЬКОВ В/Б.

Обшая характеристика работы.

Актуальность работы. При изучении процс ;сж разрушения твердых тел под действием механических и генлоиых нагрузок возникает необходимость в ощ делении напряженного состояния тела.

Неодномерность распределения нагрузок, высокие скорости их изменения приводят к необходимости рассмотрения пространственных динамических задач теории упругости и термоупругости. Так как точные решения подобных задач имеют обычно весьма сложную структуру, их использование при расчете напряжений затруднительно. Ьсли механические и тепловые воздействия достаточно интенсивны, то разрушение происходит, как правило, за небольшие времена. Следовательно, важно получить достаточно простые приближенные решения для моментов времени близких к начальному. Использование таких решений представляется оправданным, если погрешность их контролируется.

Целью работы является получение приближенных решений динамических задач упругости и термоупругости действительных для малых времен, оценка погрешностей таких решений и исследование влияния неодномерности нагрузок на основании полученных результатов.

Новые научные положения, защищаемые в диссертации:

" предложен метод получения приближенных решений динамических задач упругости и термоупругости д)ш полуограниченных тел;

рассмотрены пределы применимости одномерных мо; :лей при расчете напряженного состояния упругого полупространства.

Обоснованность и достоверность научных положений и шлю до и подтверждается оценкой погрешности полученных приближенных решений.

' Значение работы состоит и получении простых расчетных формул дли определения напряженного состояния с учетом динамических составляющих и окрестности области приложения нагрузки и моменты времени, близкие к «ачадшому.

Апробация работы. Основные положении диссертационной работы докладышшись на семинаре кафедры композитных материалов, МГУ, Москва и на семинаре кафедры математического моделирования состояний и процессов, ТулГУ, Тула.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано четыре работы.

Объем работы. Диссертационная работа общим объемом 102 страниц состоит из введении, четырех глав, заключения и двух приложений, содержит 19 рисунков и список читературы из 78 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Динамическим задачам упругости и термоупруг,;:.ги посвящено большое количество работ. Значительный вклад в развитие этой области внесли Г. Лэмб, В.И. Смир. _ж, С.Л. Соболей, Г.И. Петрашень, В.И. Даниловская, Т. Мура, В. Новацкий и др. Разработанные методы позволяют получать относительно простые формы решений для сосредоточенных воздействий и больших расстояний от точек их приложения. Для динамических задач теории упругости такой подход пригоден для приложений связанных с проблемами сейсмологам. Большая часть рабо1 по динамической юрмоупругости посвящена одномерным задачам для рах1ичнь.;< видов и режимов теплового нагружения.

Анализ литературных источников показывает, что в настоящее время не существует эффективных методов получения простых приближенных решений неодномерных динамических задач и окрестности области приложения нагрузки и в моменты времени близкие к начальному. Между тем именно такие решения представляют наибольший интерес при изучении процессов разрушения. Поэтому основной задачей настоящей работы является получение пр^ тых приближенных решений, действительных для областей близких к месту приложения нагрузки и небольших времен. Использование таких решений представляется оправданным, если их погрешность контролируется.

■ В первой главе диссертации в цилиндрических коор/ишагах г, <р, ; рассматривается динамическая задача для полупространства -¿О при воздействии на его границу нормальной осесимметричной нафузке вида

Цг,1)='1У(г)а(1) (1)

!де I время, — постоянная, ./'(/•) — функция, допускающая преобразование Ганкеля, о(() - оригинал. При этом введены (.езразмерные величины r'-r/S, :' = z/S, t' = c2i/S, у = с2/с,, где S — характерный размер графика функции распределения Дг), с, и с2 — скорости распространения продольной и поперечной упругих волн соответственно. (Для сокращения записи штрихи далее опущены.).

Точное решение задачи находится с помошмо преобразования Лапласа по / и Ганкеля по г. Изображения напрях-ний в точном решении представляются суммой интегралов вида

Г 8

» = 0,1,2. (2)

о .

о

где J о - и-я производная функции Бесселя.

Асимптотика (2) при /->0 по..учена в предположении экспоненциального убывания /"(Д). Этому условию удовлетворяют часто используемы^ в теории упругости

распределения иида /(г) = г2пе'г \ /(г) = (г2 + 1Г(2я+,) 2, п = 0,1____

Получение асимптотических рядов при / -> 0 сводится к разложению функций ('(Д.г.л) и ряды по X, почленному интегрированию по Я г переходу к оригиналам. Найденные разложения имеют вид

г у 2(1-2 уу)

/() I — V I — V

2 V :

~ ~ ¿21 (г)аг (I - ¡с) + — -— у43„(г)а, (1-у2)~ I' 2К1-2 г)

/() | — V I V

2 V г

+ - ЫФг(1-г:) +—— А(г)М)а^1 -¡с)-

-уА21(г)а2(1-2)+-- (3)

* ~/{г)а° -?с)-4лз»('-)|уагН-ТР)

-?-—2уЛп{г){ахЦ-¡р)-ахЦ -")}+•••

' 'о

о к* |(0 = |а*(г)б/г,о„(/) = «(О, * = 0,1,...,

Яг)

Функции ак(1) — оригиналы и поэтому обращаются и нуль при отр'щательных значениях аргумент.

Сохраняя и разложениях (3) для нормальных "

асимптотическое предстаиление решения. Заметим, что асимптотические преде аоления нормальных напряжений представляют собой умноженное на / (г) решение соответствующей одномерной задачи. Если в качестве приближенного решения использовать асимптотические представления напряжений, то погрешность такого решения оценивается следующими соотношениями

напряжений слагаемые с множителем /(г) и для касательного напряжения с множителем ^21 (г) получим

+-

2

+

+ (1 +

02

|<У ^ (/ - г:) + <*&[Ь2(I - у=\-Ь2 (/ - г)] +

ос „ + у А

А2(/-7г) + (/-'г)Л2(/

"1

+ 2 + |[Л3 (/ - уг) - Л3(/ - г)] +

-+ уа — />3(/ -&+(!--2)

К Г )1 Г

1-2 ^

(4)

-гДа

\-2у<

1-]С

7 = г,р, Д- = />,+1(Г) = |Ьк(тУ1т, к = 1,2,...

/>,</) = /Мг^/г, а =-

о ' ~У

Вычисления асимптотических предстаилений и оценка погрешности (4) показывают, что для времени г <0,02 погрешность такого решения не превышает 7% и величина касательного напряжения составляет около 5% от величины нормальных. Следовательно при исследовании напряженного состояния для указанных значений времени можно использовать умноженное на функш,.о распределения решение одномерной задачи.

• Следуйг отметить еще один результат, следующий из оценок погрешности. На фронте продольной упругой полны имеем точные значения напряжений

^иг=,=''»■<

Во второй главе рассмотрена задача о действии на полупространство поверхностных сил, зависящих от одной пространственной координаты, вида

Т = '/;/* (>•)«*(')« + Ту/Лу)ау(1)) + гШу)а:(1 )к

где Тт — постоянные, ./т(у) — функции, предстаиимые интегралами Фурье, ат(!) - оригж.алы (т = х,у,:\ ¡..¡,к -единичные орты осей. При этом введены безразмерные величины у' = у/8, г' = г/8, 1' = с2//8, у=с2/сх (штрихи в дальне..шем опущены). Точное решение получается тем же методом, как и в Главе 1, только вместо преобразования Ганкеля применяются . интегралы Фурье. Виды подинтегральных фу кций в изображениях точного решения в Главе 1 и 2 аналогичны. Поэтому метод применяем, ш при получении асимптошк малых времен в Главе 2 и вид этих разложений аналогичен (2). В качестве приближенного решения в этом случае выбрано первые два члена асимптотического разложения. Погрешность такого решения при /<0,125 не превышает 1%. На фронте продольной волны также получаются точные значения напряжений

а на фронте поперечной точные значении касательных напряжений

ст„.Ц=0, сг1Г[г / =-/Л/Л(>К(0) и величина скачка

Во второй част диссеркнши рассматриваются осес мметрнчные залмчи гермоупругосш. В Главе 3 исследуется решение задачи для полупространства г>0 с . сгоч пиками тепла, распределенными по закону Б>тера

(у - коэффициент поглощения материала) и конвективны*; теплообменом на границе со средой нулевой температуры. В Главе 4 рассмотрена задача о тепловом ударе на поверхности полупространства с граничными услопи>.ии третьего рода и распределением температуры среды : < 0

0(/\г) = 0,,/(/•)

При решении этих задач вводятся безразмерные величины г'= С|г/(/, г' = с^/а, <>' = с^/ч, /' = с-^ //</, у' = <■'//<) , /)'= ал/с, , е = с1/-:, где ч - коэффиииеи темперагуропро-водпости, И - оиюсшельный коэффициент теплообмена. Точное решение задачи находи гея с помощью преобразований Лапласа по Г и Ганкелн по г'.

И-юбражс'! ия напряжений и точном решении нредааилнклея суммой ингоралов вида аналогичной! (2).

Получение разложении при /'--> 0 сводится к рлхюжеж .> функций < (Я.г'.л) в ряды по Л, почленному

интегрированию и переходу к оригиналам, при этом /"(Л)

считается убывающей экспоненциально с ростом Л.

Асимптотические рахюжении напряжений имеют вид

1 1 г * Е^Ы.оС-')^ (г',.+ (-'.'•)

¿-(I г * I

* ''->0, .! = г,<р,: • (5)

к =1

•■||,,с") = /(г'), = + /с-')

, , ^Ьк !.(.('■') . Г Л" I г

л21л{г) = — =(-1|

* I

.КГ')

сУ (У ^гг г'¿У,

к = 1,2,...

Причем представляют собой напряжения аи в

одномерном случае, .. функции (-',''), С,к(-,1') и &(-',/') гн юбны <ру(>(-'-'') •

Так как с-| - 103 м/с, « м2/с, из вила безразмерных

переменных следует, чго физически малым временам ■! могут соответствовать боль пие значенн безразмерного чремени V. Поэтому использование асимптотики при /'->0 для получения приближенного решения требует обоснования. В диссертационной работе показано, что асимптотические разложения представимы в виде

гле :',!') — ограничены при /'-><». Учитывая

соотношение ¡'/б' = с( //<>', можно ожидать, что аснмнтошка, полученная из (5), сохранением конечного числа слагаемых будет , остаточно точной при су/г» I. Это предположение подтверждается полученными к диссертации опенками пофешностей приближенных решений.

В качестве приближенного решения в задаче о нагреве полупространства распределенными источниками тепла используется асимптотическое представление напряжений.

Погрешность такого решения при /' = 2-10*, = 4 10', (в размерных переменных / = 10 7 •;-10 Зс, 6 = 10"2 + Юм ) для значений параметров ' = 2,5-10 Л' = 1,4 10"'' (/ = 0,и 100м"1, ^ЮО-ИОЧГ1) не превышает: 10% для касательного напряжения авне окрестности точек, где а^ обращается в нуль; \% для напряжений °>г. 7% для ст. . Абсолютная величина касательного

напряжения составляет приблизительно 1% от абсолютной величины нормальных напряжений. Таким образом для исследования напряженного состояния полупространства с источниками тепла при достаючпо малом коэффициенте поглощения для времени ^//¿><0,05 можно использовать решение соотве ! с жующей одномерной гадачи, умноженное на функцию распределения.

И случае ..онвекшиною нафевания полупространства при значениях времени C|//rf = 3,75-10 " и не оторых значениях г niopoit 'Lien асимптотики нормальных напряжениях и 8-10 раз превосходит но абсолютной величине их асимпготическое представление. Поэтому в < шчие or задачи с источниками в качестве приближения о решения использованы два первых «иена асимптотического разложении напряжений. Погрешность такою решения при /'=1.5-10*, = 4-10*', //' = 10 (> (в размерных переменных / = 10"7 Н0 :>с, <У=10 -Ч|0м, /;= ЮО+.чЛм"1 ) для нормальных напряжений вне окрестности точек, где они меняют знак, не превосходит 5%. Погрешность двух первых членов асимптотического рахтожения ап не превосходит 20% при 0.6/'<г'</' вне окрестности точек мены знака и 2сс при 0<-'<0,о/' и окрестности фронта продольной волны. При 0 < г'<0.6/' касательное напряжение аг. превосходит по абсолютной величине нормальные напряжения и 5—10 р 13.

Заключение.

В диссертационной работе получены асимптотические разложения при /->0 решений двух динамических задач теории упругости и двух динамических задач термоупругости. Приближена ie решения каждой из задач представляют собой конечное число членов соответствующих

асимптотических ридои. Во всех случаях произведена опенка погрешности приближенного решении.

Опенки погрешностей показывают, что при расчете напряженного состояния полупространства под действием нормальных граничных напряжений и распределенных источников тепла при небольшом коэффициенте

поглощения (до 100 м"1) для значений безразмерного времени С|//<У<5-10'2 можно использовать решение одномерной задачи умноженное на функцию распределения нагрузки. В задаче о тепловом ударе уже при значениях времени с^/б -10~3 ачияние неодномерности весьма сун' ственио.

Разработанный метод получения приближенных . ¿тений и испальзо1ь..Н1ме методы оценки погрешностей таких решений могут оказаться эффективными при решении других задач теории упругости и термоупрутсти дп полуограниченных областей.

Основные положения диссертации отражены в следующих работах.

1. Дологои М.В., Килль И.Д. Об асимптотике решения динамической задачи для упругого полупространства в случае осевой симметрг ч // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 109-116.

2. Гершноиич Л.Н., Долотоо М.В. Кпллн И.Д. Динамическая задача гепмоупругости для полупространства с распределенными нсточгиками тепла

и случае осевой симметрии // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 147 -158.

3. Даюпп. М.В., К/иль И.Д. О тепловом ударе на границе полупространства в случае осевой симметрии // Прикладная математика и механи. .1. 1995. Т. 59. Вып. 2. С. 243-251.

4. До.ютои М.В. Об асимптотике решения динамической задачи для упругого полупространства // Изв. Акад. Наук (Россия). Механика твердого тела. 1997. № 2. С. 45-51.