Асимптотика периодических решений сингулярно возмущенных дифференциально-разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ПИЗШПЛЕШШШ ПШШШ СССР со ©тодаг СЕРА20ВЛ1ВПЗ

ОГЕЗА ДШШ11 НАРОДОВ ЗГГГГГ^СППЗТ ДРУПШ ПАРОДОВ юкпи П. ЛУНШЕ11

на правая рукописи

ОСТЛПШтО ЕПГОШЙ &СЩКЭЕЯЧ

ущ 617.9

лсш.штоптл пеиюднчеош рецикл сштпртю кшуципшх ¿герйэдглшго- рлэпоспгих

УРЛЕШС21

(01.01.02 дкЙЕ!йрэ!а1гиз1згэ ураияикя)

Автореферат диссертации ка соисканкэ учопоЯ стопаки кандидата матекзткчвааас паук

Москва • 1991

Л

л/ /* '

■ "" Работа выполнена на к^^одро пиошй

Университета другйи народов к^анц П. Д^гтуиЗа

. . .)

, /•"-г".-.- ШЦ?ЧШй -

доктор физико-штештичесюи «од:, профессор -C.IL Розяшз.

. СфярШЕЫШЭ оппшкагш: '•.

-доктор физико-математических наук, профессор. В.Й. Бутузов,

.С кандидат физико-математических наук, доцент И.& Дорофзев. ... ..

Ведущая организация > Киевский Государственник Университет им. Т. Г. Шэвченко. /,.

■' Защита диссертации состоится ->0ХШ 1л-/. .931 г.

16 час. 30 каш. на заседании специализированного совета К 053.22,. 23 по присуждению ученой степени кандидата физико-ыатематических наук в Университете другйы народов имени Патриса Лунуъйи по адресу: 117923, 1£>сква, ух Орджоникидзе, д. а, ауд. 485.

"С диссертацией можно ознакомиться в научной' библиотек Университета друибы народов иксии Патрнса ЛуцуиЗи по адресу: 117108, Москва, ул. Никлухо-Ыаюая, д. 6.

Автореферат разослан, ."<< ^ '<>>&1391 г.

, *Учзный' секретарь^\ - ^... ... специализированного совета - " кандидат ф|Изикоф-мате»/атнчоскнх'

наук, доцент ЛЯНЫ. /? Ы-В- Драпов

•■етп'--

.-гV

f, -■ , ,ж:а

-.сегртациД

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1ктуальлость теш. В диссертации научаются вопросы

• i

существования, единственности, и асимптотического представления периодических решений сингулярно возмущённых дифференциально-разностных уравнений.

Хотя история развития дифференциально-разностных уравнений насчитывает уже более 200 лет, начиная с работ JL Эйлера, И. Вернули, Кондорсе, Пуассона, а история развития асимптотической теории сингулярно возмущенных уравнений более 150 лет, начиная с работ Лиувиля, Шлезингера, Биргофа, но интенсивное развитие обеих теорий многими известными Математиками разных стран мира началось около 40 лет назад и продолжается до настоящего времени. Вызвано оно было появлением многочисленных приложений этой теория в сама различных областях: гидродинамика, гемодинамика,' теория колебаний, физика полупроводников, химическая кинетика, теория управления и автоматического регулирования, экономика, а в последнее время- биология и экология. Причем изучение именно периодических решений в таких моделях представляет значительный интерес. Таким образом, тема диссертационной работы является актуальной как в теоретическом, так и в практическом отношении.

Шел работ состоит в нахождении легко проверяемых достаточных условий, налагаемых на периодические матрицы линейных систем первого приближения и обеспечивающих существование. единственность, возможность асимптотического-разложения периодического решения по степеням малого па-

раыетра и устойчивость такого решения.

Иетаджа исследований состоит в получении априорных . оценок периодических решений, переходе к операторному ; .уравнению для искомого периодического решения, доказа- J тельству суодзствования и единственности решения операторного уравнения на основании теоремы Банаха, в построении : членов асимптотического разложения, в исследовании их ; /гладкости и в получении оценки остаточного члена на осно-. ; ве априорной оценки. . . i •

Научная новизна. Все полученные в диссертации ос--• новные результаты являются новыми, а именно: . v ¡ -";

. 1) найденно близкое к необходимому достаточное условие ; : ' существрвания и единственности периодического решения -1. скалярного линейного уравнения первого порядка, вырождающегося в разностное уравнение и построена его ас :мптоти-

. т- ' ' Ч

2) для -реммшжнелинейного уравнения доказаны 1еоремы о существовании, локальной единственности, пре- . дельном переходе и асимптотическом представлении периоди-

! .ческого решения; .

3) для систем дифференциальо-разностных уравнений предложен оригинальный метод "обобщенных кругов Гершгорина

' "( О.К.Г.), позволивший эффективно получить теореьи о существовании, единственности и асимптотическом представлении периодического решения, как в линейном, так и в не:; линейном случае: ' .. '

г 4) Для систем и уравнений второго порядка, вырождаадихся 2

на два порядка при помощи О. К. Г. доказаны подобные теоремы в условиях аналогичных системам без запаздывания;

5) изучен класс систем второго порядка, вырождающихся на один порядок, для которого предложенная методика 0. К. Г. ' также является эффективной;

6) обоснованы простые условия устойчивости периодического решения, в том числе и интегральные ( при малом запаздывании );

7) в случае малого запаздывания сформулированы интегральные условия существования периодического решения.

Теоретическая я практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Однако ее'результаты могут найти применение в теории колебаний, экономике, биологии, экологии, тем более, что налагаемые в диссертации достаточные условия легко проверяемы, что и показано во введении на одной биологической модели.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на научном семинаре кафедры выспей математики УДН им. П. Думумбы, на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук УДН ( 1989-1991 г.г.), на научных конференциях НУЦ УДН (1988- 1990 г. г.).

Вубяжации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приводится в конце' автореферата

Структура и об'ем диссертации. Диссертация состоит

2-519

3

из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 76 наименований. Об'ем диссертации- 150 машинописных страниц.

содержание работы.

Во введении имеется краткий обзор работ по теме диссертации, дана постановка задачи и приведено краткое содержание диссертации.

В & 1 главы I рассматривается скалярное уравнение

£ Ы)= <9 + *(*&•*>')

с малым параметром £>0 , постоянным запаздыванием к>о , постоянными коэффициентами <? , & и Т-периодической непрерывной^ функцией * Доказано/ что если

представима абсолютно и равномерно сходящимся рядом ®урье, то в таком же виде можно найти Т-периодическое решение . d-r уравнения (1), если коэффициенты урав-

нения (1) удовлетворяют условию

|а| >К| (2)

Показано, что при невыполнении условия (2) при малых с И произвольных fft) £ ¿г решение t)*" Ст может не существовать или Сыть не единственным.

В & 2 главы I показано, что выполнение для каждого условия (2) являются достаточным для существования и : единственности решения линейного скалярного

уравнения вида (1) с периодическими коэффициентами .. ^-т • Для этого .решения справедлива оценка

; " * И9« о)

где постоянная не зависит от £ и 5 .

Доказательство осуществляется на основе априорной оценки решения при помощи метода последовательных приближений.

Аналогичные вопросы решены в & 3 для уравнения с несколькими запаздываниями и периодическими

при выполнении условия ^

В в 4 показано, что если , 4(ь), Н?) являются достаточно гладкими, а именно принадлежат пространству Ст , то при выполнении (2) ,'для х($е)

справедливо асимптотическое представление

Т^Т (о)

При доказательстве используется операторная форма -преде-' тавления уравнений. дается конструктивное построение функций >4ги исследуется их гладкость Сг .

В в 5 рассмотрено нелинейное скалярное уравнение

- *&), пк *)) ' (6)

в предложении, что вырожденное разностное уравнение

0 = (7)

имеет изолированное решение У&)*(1г, вдоль которого функция £, /, у^) удовлетворяет условию

Доказано, что если в малой окрестности вырожденного рёше-

вия «З^Х/Ст , то при 2> в аТой окрестности существует и единственно Т-периодическое решение уравнения (6), причем = *5П£0

При вьшолнении условия (8) и достаточной гладкости " ,

^ * Лс (2

' 'V г в & 6 доказана асимптотическая 5

формула (5), где )- .

В & 7 изучается периодическое решение линейной стационарной системы }

. /4 + + (9).

с постоянными х иматрицами Л- , £ и Т-периоди- 1 ческим непрерывным вектором (лкО «Г^с С-г .

В случае представимости абсолх/. по и равномерно

сходящимся рядом доказана теорема 1.7.1.0 существовании и единственности решения (1т систем ! (1),

если собственные значения ^ периодической

матрицы А^^е не лежат на мнимой оси, то есть удовлетворяют условию ) "Ф О

Практическая проверка этого условия затруднительна, тем более, что и те ЛТ7/ ;

поэтому на комплексной плоскости ^ строятся обоби*знные круги Гершгорина (О. К. Г.), которые не зависят от ч^ , содержат все собственные значения { ( периодической

матрицы 4 ^ • Они определяются неравенствами

¿1

(10) ч

где

', ■ ~ элементы матриц А , (?» . Доказана Теорема 1. 7.2. Если все О. К. Г. системы (9)

лежат вне мнимой оси, то при О решение х^е^вС^т существует и представиио в виде ряда Фурье.

Ясно, что проверка выполнимости условий теоремы

1.7.2. гораздо проще, чем теоремы 1.7.1. , поэтому в дальнейшем все условия для систем и дате с периодическими коэффициентами формулируются через введение понятия О.К.Г., у которых теперь будут периодичны центры ^¿¿(ё) и радиусы • ■

Йри периодических (у в & 8 показано,

что если 0. К. Г. лежат вне мнимой оси, то решение системы (9) существует, единственно, допускает оценку (3). а при достаточной гладкости допускает и асимптотическое представление (б).

Для нелинейной системы типа (6) при аналогичных условиях с обозначениями

в & 8 доказана теорема о существовании, локальной единственности и асимптотическом представлении решения ^т

Вторая глава диссертации посвящена исследованиям периодических решений дифференциально-разностных сингулярно возмущённых уравнений второго порядка, вырождающихся в разностные уравнения (то есть на два порядка);

• ¿6) -4) ♦ Щ (11)

Для скалярного случая в »4 1-3 при условиях

.«С dr и (1?)

доказывается априорная оценка (3), существование решения • Ст . единственность этого решения, а при

достаточной гладкости ^i) в Ci ^4 и асимптотическая формула (б).

Аналогичные вопросы решены вМ4и5 для нелинейного скалярного уравнения ^

*'*•*)' 3^(4'СО, (13)

В предположении, что соответствующее вырожденное уравнение (7) имеет изолированное решение "7 (tj « Cir , вдоль которого функция S^iXfiJ удовлетворяет условию

В Л 7 рассматриваются системы аналогичных уравнений и вместо (12), (14) теперь фигурирует условие: " все O.K. Г. лежат справа от мнимой оси, то есть при ® ".

Это условие позволяет.в векторном случае получить все те яа результаты, что и в скалярном случае.

Гнш III посвяюеиа рассмотрению уравнений и систем второго порядка, вырождающихся на один порядок. Так в М 1-3 рассматривается скалярное уравнение

Ctl)* сОЖО +<&)*&)+ (j5) с непрерывными Т-периодическими <#). Ж) ,((*). • относительно которых предположено, что

<£&)to , I 6Щ (iß)

Пря выполнении таких условий доказаны априорная оценка (3), теорема о существовании и единственности ре-

шений, теорема оС асимптотическом представлении решения ( 5), в случае достаточной гладкости 4 ,

В & 4 изучено соответствующее скалярное нелинейное уравнение _/=. , ч

, . (17)

в предположении, что функция Jf/вдоль Т-периодического вырояденного решения удовлетво- ,

ряет условиям

jçv о ,(т

При этом доказаны теоремы о существовании, локальной единственности и асимптотическом представлении (5) Т-перйодического решения Xуравнения (17).

В й 5 рассмотрена специального вида система

= СЮ*Ю * /4(0*1)

где Сг и матрица 060 диагональная,

так что. Сд^)-?1 q при с ^

Кроме того предположено, что все О. К. Г. ( см. (16)) леаат справа от мнимой оси. В этих условиях доказывается су-шествование , единственность и асимптотическое представление (5), а также оценка (3) периодического решения.

" г, '

При аналогичных условиях в & 6 научена нелинейная , система.

В главе IV рассматривается устойчивость периодического решения и интегральные условия существования периодического решения для уравнений первого порядка, .изученных в главе I при к> О .

'Здесь в » 1 доказана асимптотическая устойчивость периодического решения уравнения с переменными коэффициентами (1) при условии, что

Аналогичный результат доказан для системы уравнений , (9) при условии, что все о. к. г. лежат слева от мнимой оси.

Далее дано доказательство устойчивости решения уя нелилейного уравнения вида (б).

В конце главы IV при малом b и $ '—" ° получено интегральное условие асимптотической устойчивости

о I

которое одновременно является и достаточным условием существования периодического решения.

пувшашш во тая диссюташи.

I

и

1. Королев Ы. Ф., Ровдэв Е И., Остапенко Б. Д. О применения аналитических вычислений для построения периодического решения линейного стационарного уравнения с малой рааностьп// 1 конференция НУЦ Университет друяЭы народов км. П.ЛумуыСьс Тев. докл. И.: Ивд-во УДН, 1988, - С. 104.

2. Ройков Е И., Королев М. Ф., Остапенко В. Д. Построение периодического репеиия сингулярно возмущенного дифференциально- разностного стационарного уравнения//

I конференция НУЦ Университет друибы народов им. П. ЛумумСы:

Тев. докл. Ы.: Иад-во УДН, 1988, - С. 105. 4 ,

3. Остапенко Е. Д. , Буадэе Е Некоторые вопросы -: 5;' применения специальных дифференциальных уравнений//

Сб. научных трудов Грузинского политехнического института, - 1989.- Вып. 45, Тбилиси, 1989. - С. 18-21.

4. Остапенко Е.Д., Орлов А. И. Об одной модели в . ; экологии, описываемой сингулярно возмущенным нелинейным дифференциально-разностным уравнением// 1I конференция НУД Университета друи5ы народов им. П. Лумумбы: Тез. докл.

И: Изд-во УДН, 1989, - С. 49.

б. Рожков ЕИ., Остапенко Е.Д. Асимптотика периодических решений Л1шейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с отклоняющимся аргументом// XXV научная . конференция факультета физико-математических и естествен-/ ных наук: Тез. докл. U.: Изд-во УДН. 1989, - С. 59.

6. Рожков ЕН., Остапенко Е.Д. Интегральные условия -существования периодического решения линейного сингулярно ■ возмущенного уравнения с малым запаздыванием// XXV научная конференция факультета физико-математических и естественных наук: Тез. докл. Ы.: Изд-во УДН, 1989, - С. 62.

7. Остапенко Е.Д. Интегральное условие устойчивости

4 t

и суцествования периодического ре сепия скалярного С1шгу- * лярно возмущённого уравнения при малом запаздывании// II1 -конференция НУЦ Университета друяЗы народов: Тез. докл. • 4.1 li: Изд-во УДН, 1990, - С. 228. . Л

8. Остапенко Е. Я Интегральное условие устойчивости '

н существования периодического решения систеи уравнений,:

Н,

Г 'с малым запаздыванием// III конференция НУЦ Университета

: друзвы народов: Tea. докл. ч. 1 iL: Изд-во УДН, у. 1990, - С. 229.

9. Рожков R И.. Остапенко Е. Д. Устойчивость периодических peneHHff сингулярно возмущенных систем с запазды-.*'• ванием// XXVII научная конференция факультета физико-математических и естественных наук: Тез. докл. М.: Изд-во УДН, 1991. -С. 106. ■ 10. Рожков Е И.. Остапенко Е. Д. Интегральное усло-, am устойчивости решений сингулярно возмущенных систем с : . Ьалым еапаздыванием// XXVII научная конференция

факультета физико-математических и естественных наук: Tea. докл. К: Йвд-во УДН. 1991. -С. 106.

Ж-

Тшатаим! nus 1991 г., * 287

пат». <81<вп<

« пачатв 21.06.91. Формат 60x90/16. Ротащжвтиаг я.вач.л. 0,76. У*.-в«я.л. 0.60. Уел.хр.-отт. 0,876. Tapas 100 ака. Закаа 519. Беоплатно

Ивхатаяьотво Упварожтвта дружба народов

II7923. ГСДЛ. Моокм. уд.Опввонвицва. Э

Тгпографта вадатальотва УДН II7923, ГСВ-1, Ноохва, ул.0рххошод»8,3