Асимптотика решений и методы исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРИТЯЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ И УСЛОВНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Притяжение решений нелинейных систем дифференциальных уравнений

§ 2. О существовании интегрального многообразия притягиваемых решений

§ 3. Сравнение решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с решениями линейного приближения

ГЛАВА П. МЕТОД ГРУППИРОВОК ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Понятие о методе группировок

§ 2. Решение задач об устойчивости состояния равновесия методом группировок

§ 3. Возмущенные нелинейные системы

§ 4. Многообразие притягиваемых решений

ГЛАВА Ш. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ И ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений

§ 2. Гомеоморфизм начальных условий систем диференпиальных уравнений

Актуальность темы» Одним из наиболее эффективных методов, используемых для исследования поведения решений систем дифференциальных уравнений, является метод сравнения. Он заключается в том, что вместо системы и на основании изучения свойств решений системы (2) делается вывод о поведении решений системы (I).

Систему (2) в этом случае будем называть системой линейного приближения.

Основу метода сравнения составляют положившие начало всей качественной теории дифференциальных уравнений труды А.Пуанкаре [71] , [72] и А.М.Ляпунова [51] , [52] . Перечислим здесь наиболее важные результаты, используемые нами в исследованиях.

А.Пуанкаре принадлежат основополагающие результаты по качественной теории автономных систем второго порядка. Им изучена качественная картина расположения интегральных кривых в окрестности начала координат для системы (I) при /1=2 в случае, когда A (t) = А - постоянная ( /I х /г )-матрица и компонентами вектор-функции <ji являются полиномы, не имеющие свободных и линейных членов относительно компонент вектора X •

Фундаментальные результаты получены А.М.Ляпуновым. Его первый' метод эффективно используется для исследования решений системы (I). Теорема об экспоненциальной устойчивости по первому

I)

2)

Мы рассматриваем случай, когда p(i,x) = A(i)X. приближению, когда (/I х П- ) - матрица Aft) непрерывна и ограничена при ut, , fe С t'x , И/А,*)» * С 11X11 т,

71> i , С > 01 система (2) - правильная и все её характеристические показатели отрицательны, сыграла стимулирующую роль в развитии метода сравнения. Достаточно напомнить результаты И.Г.Малкина [53] , Е.А.БарОашина [12] , [13] , Н.Н.Красов-ского [48] , В.И.Зубова [34] - [38] , В.М.Миллионщикова [57J -[59] , Н.А.Изобова [41] , 2Х.МШЩ1 [ю4] и многих других.

Поведение интегральных кривых системы (I) с постоянной ( П X п ) - матрицей А и неголоморфной относительно х вектор - функцией f рассматривали с целью изучения структуры окрестности особой точки 0 • , И.Г.Петровский.

И.Г.Петровским [67] доказано, что если в окрестности нуля непрерывная вектор-функция имеет непрерывные частные производные по х первого порядка, -f вместе с этими производными обращается в нуль в точке X ~ 0 , матрица А имеет собственных значений с отрицательными вещественными частями, то существует & - мерное интегральное многообразие 0 - кривых системы (I).

Асимптотическое поведение решений системы (I) с постоянной матршей А при t-ъ+оо изучал В.А.Якубович [92] . Им доказана также приводимость системы (I) в случае, когда <f(t,x)~ - В (t) X , где В - ограниченная и непрерывная ft х /г ) - матрица [91] .

Н.А.Изобовым [4l] построена оценка снизу для точной нижней границы изменения показателей системы (I), где A (t) ~ кусочно-непрерывная и ограниченная ( fl X tl ) - матрица, X.) =

-Q(t)x , # , в случае неустойчивости показателей системы (I).

Б работах Б.Ф.Былова, Д.М.Гробмана [17], [l8] , [вз] , изучалась топология расположения интегральных кривых систем (2) и (I) с автономным возмущением. В.В.Немыцкий поставил задачу нахождения условий, при соблюдении которых системы (I) и (2) будут топологически эквивалентными в окрестности особой точки. Д.М.Гробманом [83] был построен гомеоморфизм, преобразующий решения системы (I) в решения системы (2) и наоборот, в предположении, что матрипа А ("О постоянна и не имеет чисто мнимых собственных значений, 0) = 0 ив окрестности точки

Х= 0 удовлетворяет условию Липшица с достаточно малой константой. Им же рассмотрен вопрос об асимптотической эквивалентности этих систем.

Проблемами асимптотической, ограниченной асимптотической и интегральной эквивалентности решений систем (I) и (2) с постоянной матрицей А занимались Л. 7£(liCClk, и М/. /iwc [97] . Эти авторы рассматривали возмущения для которых на интервале [О,***?) при каждом фиксированном х€ R!* справедливо неравенство Ц ^(t, Х)Ц ^ pft/llXIl), неотрицательная на множестве + + функция является монотонно неубывающей по переменной 1С при каждом фиксированном I € [0+и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

Изучению свойств гомеоморфизма мевду множествами ограниченных решений систем (2) и (I) с ограниченным по Степанову функциональным возмущением ^ посвящены работы JLL. ЯимЖоилмЛм и Ю. ^есг^сои, [94].

Не претендуя на полноту библиографии, мы привели лишь краткий обзор фундаментальных результатов, имеющих отношение к методу сравнения и нашим исследованиям.

Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию приложений этого метода к изучению нелинейных систем дифференциальных уравнений. Мы будем рассматривать задачи об асимптотическом поведении решений системы (I) в зависимости от асимптотики решений системы первого приближения. Здесь естественно сравнение решений систем (I) и(2). Поэтому возникает необходимость изучения отображений фазовых пространств. Отображения эти могут быть либо взаимно однозначными, либо топологическими, либо диффеоморфнши. Такие задачи, кроме вышеперечисленных авторов, решали В.В.Воскресенский [22] , Ж %Ш4ЬШ1< [101] , [102], Т ЩгШАШ f 95] ,

96] , Ж. Onuchic [юб] , [ 107], А>. ЖсисоЖ, и Л. Лис [97], J.Xato [98] , М. ZmrtouKidu- и

94] и многие другие.

Впредь мы будем считать, что малость вектор-функции <f определяется мажорантой Л : [io, + «О х [0, +«») [О, + ,

Wf(t1X)\\ £ A(t, ЦХЦ). В случае, когда л (i, 11X11) = f(i)IIXH, где f y(t)M < + е* и /I (-6) = Д , асимптотика решений, гомеоморфизм начальных условий, движение характеристических показателей исследованы в работе [83] (результаты до 1965 года ). В более общем случае результаты получены Б.Ф.Быловым [17] , [18] . Бели же мажоранта имеет вид ЦХЦ) = t) Ф(ЦХЦ), где

Ф:[0, ФМ при О**,**,, ctd ФМ то тогда уже при ф(ЦХЦ) =(HxH+i){n(UxH+l) и фиксированном i - t для достаточно больших ИхII справедливо нера JfMM<+~> венство f(i) (11X11 +i)-£n(UXH+i) > </>(1)11X11.

Иначе говоря, в этом случае допустимы такие возмущения f , для которых существуют мажоранты Л(ЬЧ 11X11) , обладающие свойствами: графики функций Z=A(i,c() , Л' IU,+<*>)* [0,№,+<*>), II X) II £ Л (t, 11X11), при фиксированном i~i не обязательно проходят через начало координат и при достаточно большом ск располагаются выше любой прямой £ = Ad { Л>/О ). При такой малости вектор-функции вышеуказанные задачи решались А>&>пга, [103] , Я.Футаком [85J .

В нашей работе исследуются системы вида (I) с наиболее общими по сравнению с рассмотренными в [17] , [18] , [83] , [85] , [96] , [98] , [103] возмущениями f . Малость вектор-функции f мы определяем мажорантой Л (t, 11X11) , которая обладает свойствами:

1) л : [и, + оо) х [О, + оо) [о+оо)г X е C([io,+ ~>)x[0,+ <*>)), для любого XeR* при всех t » t0 справедливо неравенство llf(t,X)ll 4A(t, 11X11);

2) ее ж О £ 0(1 £ с<2 , то Л (i, c(i) £ Л , <*г) при каждом фиксированном ± 6 [t0, -ь оо)

3) при всех Ы € [0, + существует интеграл

4-00

J М - f Л(*,*)М, у г dd

4) функция n (t d)- Г ^ &1*01) ^ t является неубываюr ' ~ I J(<X) щей по переменной o(

Существенную роль играет тот факт, что для вполне опреде

Ф, (eft) £ Ф\ (Ыг) при 0 < Ы, < ? б) / - + 00 , ленных систем может не существовать мажоранта вида Я (llxll)= и в то же время возможно существование мажоранты, удовлетворяющей условиям I) - 4). Другими словами, малость вектор-функции f определяется не мажорантой

Ф(Ш), а мажорантой более общего вида и, следовательно, оказывается малостью более низкого пордцка. Пусть, например, для системы (I) не существует мажоранта

11X11) = {(иФ(ИХП) , однако существует функция Ф1 (//XII) , обладающая свойствами: а) Ф, Ф-, € С[0, + ~) >

Col) и возможно существование мажоранты

Л (t, цхн) = (iixii)+

-f ft (*)> J fi fc)cU<+*>. Ясно, что в этом случае функция ко удовлетворяет условиям I) - 4) и справедливо неравенство

X (-i, IIXII) > f(t) Ф1 (IIXII) при фиксированном i и достаточно больших IIXII • Отсюда следует, что малость вектор-функции У является более "грубой" по сравнению с малостью (ЦХЦ).

Продемонстрируем это на конкретном примере. Рассмотрим скалярное уравнение

Ж-***•><>. (3)

Соответствующее ему уравнение (2) имеет вид ott

Мажоранты вида ^ (t) ф(ЦхЦ) не существует. Тем не менее существует мажоранта ЦХЦ) = —'-р-- Легко проверить, что Л(£, IIXII) удовлетворяет условиям I) -4).

Бот при таких наиболее общих возмущениях мы проводим наши исследования.

Основные результаты. Работа состоит из трёх глав. В первой главе исследовано поведение решений нелинейной дифференциальной A(i)X+f(t,X) (4) системы cix М при неограниченном возрастании независимой переменной. Предполагается, что A(t) £ С(-оо,+оо) , {G C([io+e>°)X /?Л) и для всех t€[to, + °°) > X € R,п справедливо неравенство llf(6,X)IUA(i, 11X11),

•А: Но,+<х>)х[09+*°)->[0,+*°) , С([Ъ, + <~)х [0; + «»)).

В первом параграфе этой главы доказано существование у системы (4) множества решений, стремящихся к нулю при i-^ + oo (притягиваемых к началу координат, или 0-кривых) (теорема I.I.I обобщающая результат J. JCato f98] для случая приведена теорема об асимптотической устойчивости возможного состояния равновесия этой системы (теорема I.I.2). При этом мы предполагаем, что при всех Ы Ъ 0 и некотором О- > 0 существует интеграл

4-0О

J(*) = \ I*Л(1,а)с№ (5) to и линейное приближение системы (4)

6) имеет интегральные гиперплоскости Alt (*), Мг М размерностей А , соответственно, Д + <: tb , такие, что если е Д, (*), т° WyH:t;ijo)\\4<li'(k'1vte'*H'*9\ -t*U, если y>(U)G Mz(b), то J| y(t: U, Ц*) II * CL e

CL , Я - положительные постоянные.

Во втором параграфе доказано существование интегрального многообразия решений системы (4), притягиваемых к началу координат. При помощи преобразования (1.2.7) система (4) приводится к виду

7ВГ=Ьт+Р(*.г), (7) где матрица В ft) - диагональная и существует неотрицательная непрерывная на множестве Но,+°°) * [0,+°°) функция A(t,<*) такая, что

HFfij)-F(tJ)hA (i.n*-SK), +*0 Ль,*)(М> » HZ - z 11$<х. to

Доказано, что если <£(t,0)= 0 , то состояние равновесия системы (4) является условно асимптотически устойчивым относительно - мерного интегрального многообразия.

В третьем параграфе устанавливается связь между решениями нелинейной системы (4) и решениями её линейного приближения (6). В рассмотрение вводится линейное приближение системы (7) предполагается, что нелинейная часть системы (7) имеет мажоранту Ai(if/l2ll) со свойствами, аналогичными свойствам функции A(t,o<) .

Некоторые результаты этой главы содержатся в работе [9] . Вторая глава посвящена исследованию поведения решений систем дифференциальных уравнений с помощью метода группировок.

В первом параграфе изложена суть этого метода, предложенного М. VicUfdbCUfiCVl [И2] и основанного на теоретико-графическом разложении многомерных систем на подсистемы, дающем возможность переходить от системы

L M, j = (8) где Ъ : IU, + X Я " - Л1ft £ С Я"), к более удобной для изучения системе где новые функции и переменные агг получены перенумерацией и объединением ^ и •

Метод группировок позволяет свести решение задач об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия системы (8) к решению аналогичных задач для системы (9), более простой по своему строению (теоремы 2в2.1, 2.2.2). Наряду с системами (8),(9) рассматривается совокупность подсистем cLcc' tiT^fifrA^OrXi), i-if.rm, (Юс) считаются всегда выполненными условия;

I) fi(i,0,.,0) =О при всех tbio, i=i,.,m;

П) функция -f CoCotl является локально липшицевой по х равномерно относительно t в некоторой области, содержащей начало координат.

Доказано, что состояние равновесия Х^О системы (9) равномерно асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда при всех i=i,.,m состояние равновесия Xi-О подсистемы (10) равномерно асимптотически устойчиво. Беж же при некотором i состояние равновесия подсистемы (10i ) неустойчиво, то неустойчиво и состояние равновесия системы (9). Тем не мннее. устойчивость всех подсистем (10 * ) ещё не гарантирует устойчивость системы (9).

В третьем параграфе показано, что применение метода группировок не влияет на малость возмущения.

Четвертый параграф посвящен доказательству теорем о существовании семейства (теорема 2,4.1) и интегрального многообразия (теорема 2.4.2) решений, стремящихся к нулю при -Ь-ь + ьо ,для системы ciu.

А», (II) где f. € CF * /Г) , fjtC ((- + Rn) , р - достаточно велико. Система (П) приводится к виду j где (z<,.,Xi)€Rni, fi(*,0,.,O)=0, i = и непрерывная неотрицательная функция ЛН,о() является мажорантой для вектор-функций F х) и ф а, х) с компонентами соответственно (i, x1fХс) — fife, 0,О, Хг) и y>i (t, хi, хт) 9 I = 1г.,т . При доказательстве теорем 2.4.1 - 2.4.2 предполагается выполненным следующее условие: при каждом &<ttl, решения Хср (i) и X?* ft) -i -го уравнения системы (10) удовлетворяют

С» неравенству

II ZT>(i)-Z?>(i)U4 tfib•) l\x?(to)-x?(io)ll exp (-^«idJcOti), а при i--k + i9.,m -неравенству IIX?>(4) -X'fft) IH s< Но) II х? (и)- х?(и)\\ exp Qrti McUl), функции yUi , непрерывны на (-oo ^ +со ) f pit« (*) > 0, di(t)>/0 , причем функции tfограничены снизу положительной постоянной: (-L) ъс>0, <=i,.,A

Основные результаты второй главы содержатся в работе [25] .

В третьей главе исследуются условия асимптотической экви

Xn (i) = валентности и гомеоморфизма начальных условий систем дифференциальных уравнений (4) и (6), где A(t) = А - постоянная ( Лхл ) -матрица, в Цл , f€ С ([*.+">)х /?*) .

В первом параграфе приводится определение асимптотической эквивалентности систем дифференциальных уравнений по Брауеру и Левинсону. Матрица л имеет жорданову форму и кШ<0, RzM(Az)>,0; X^mfx RxXi(Ai)>,0i tm'\ ь » i, i , tn - максимальный порядок жордановых ящиков матрицы А » соответствующих собственному значению с вещественной частью Л • Доказано, что системы (4) и (6) асимптотически эквивалентны по. Брауеру, если существует функция А • [to,*0*)*[0,+

Л € С ([i0, + °°) х [07+ <*>)) , такая, что выполняются следующие условия: а) для любого хеЯП при 11.>Л0 Hf(i,X)H<A(iJlxll); б) если O^cCi^dz , то A(-t,<*i) £ A в) при всех (X € [О, + оо) существует интеграл

7fM - J tr A (-t^x^dl, t, где p - максимальный порядок жордановых ящиков матрицы А » соответствующих чисто мнимым собственным значениям,

Z(«)=jA(i,Aam, 7г 6 Ссо,+~), 7ЖГ = * " ie Л г) функция (jr(t,0() = j -^ является неубывающей по переменной d при ¥it>-t0 (теорема 3.1.1.).

Если же кроме условий теоремы 3.1.I выполнено дополнительное условие: д) существует функция А, • Но, +<*>)* [0, + [Q• + oJj ?

Л<еС(Ь*-Ы0,+4 такая» что для ш6ж я, зс в /Г при t Ъ t0 справедливо неравенство llf(t,x) - f(i,£)ll*A<(i, их - &U) ИХ - XII ,

Ai (t,<*i)*Ai (*,<**), «I***, <*U(*Z€ [о,+~),

J ip"A<(i,<*eMXm(i))dt v#€ [0, + o°), и то системы (4) и (6) асимптотически эквивалентны по Левинеону (теорема 3.1.2).

Во втором параграфе этой главы более полно, чем в работах [97] , [НО] , исследованы свойства соответствия, устанавливаемого мевду решениями систем (4) и (6). Дано определение асимптотической эквивалентности дтфференциальных систем по Немыцкому. Доказано, что если выполнены все условия теоремы 3.1.2, то системы (4) и (6) асимптотически эквивалентны по Немыцкому в областях - {Хо£ R^ : IIX(t:to,Xo)\U H(i°,Xo)} и ftz^ifoG Rn : liy,(t:t:yo)\\4K(to,yo)} , где

X(L:U,Xo),tf(t:t*,yc) - решения систем (4) и (6), H(t0,X0)j

Н -положительные постоянные (теорема 3.2.1). Если при этом система (6) не имеет других ограниченных решений, кроме тривиального, то система (4) имеет единственное ограниченное решение (теорема 3.2.2).

Результаты этой главы содержатся в работе [10] .

1. Аме лысин В.В., Лукашевич Н.А., Садовский А.П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. - Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1982. - 207с., ил.

2. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. -Минск: ВыДГэйшая школа, 1979. 136с., граф.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. -568с.

4. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Тр. Матем. ин-та имени В.А.Стекаова АН СССР, М., 1967, т.90, 210 с.

5. Аносов Д.В. Замкнутые геодезические. В кн.: Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. Киев, 1981, с. 5-24.

6. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для студ. физ.-мат.спец. вузов. -М.: Наука, 1978. 304 с.

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для мех.-мат. спец. вузов. -М.: Наука, 1971. 239с.

8. Артемьева Е.Н. Асимптотика решений и некоторые методы исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных систем дифференциальных уравнений. В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. науч. тр. ./Горьк. ун-т. Горький, 1982, с. 151.

9. Артемьева Е.Н. Асимптотические свойства решений одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений. В кн.: Управление, надежность и навигация. Саранск, 1981, с. 91-101.

10. Артемьева Е.Н., Воскресенский Е.В., Фадеев Н.П. 0 топологической эквивалентности систем дифференциальных уравнений. В кн.: Исследования по прикладной математике. Саранск,1982, с.42-48.

11. Артемьева Е.Н. Асимптотическое интегрирование одной нелинейной системы дифференциальных уравнений. В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. науч.тр. ./Горький, 1983, с. 16-21.

12. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. -М.: Наука, 1967. 223 с. с черт.

13. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. -М.: Наука, 1970. 240с.

14. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1954. 216с.

15. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике. В кн.: Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев, Изд-во АН УССР,1963,т. I, с. 93-154.

16. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1979. 255 е., ил.

17. Былов Б.Ф. Преобразование времени в задачах об устойчивости по первому приближению. Дифференц.уравнения, 1965, т.1,9, с. II49-II54.

18. Былов Б.Ф., Тихонова Э.А. Об устойчивости центральных и генеральных показателей кусочно-постоянной системы, Дифференц. уравнения, 1981, т.17, №12, с. 3-8.

19. Вайсборд Э.М. Об эквивалентности систем дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Науч. доклады высш.школы. Физ.-матем. науки, 1958, № I, с. 37-42.

20. Валеев К.Г. Численные способы построения функций Ляпунова. -Укр. матем. журн,, 1976, 28, № I, с. 3-II.

21. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Лянунова. Киев: Наукова думка, 1981. - 412 е., ил.

22. Воскресенский Е.В. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений с .линейным автономным первым приближением,- CorrtrnenbcitLonei J/lcLth&mxiticcuz,Сст&пм-, 24(1) (1983), р. 31-SO.

23. Воскресенский Б.В. Об 0-кривых систем дифференциальных уравнений. В кн.: Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. Саранск, 1979, с. 21-25.

24. Воскресенский Е.В. О поведении решений систем дифференциальных уравнений мажорантного типа. В кн.: Дифференциальные уравнения (математическая физика). Куйбышев, 1980, т.236,с. 45-51.

25. Воскресенский Е.В., Артемьева Е.Н. 0 многообразии притягиваемых решений системы дифференциальных уравнений. В кн.: Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравненийи теории управления движением. Саранск, 1983, с. 14-17.

26. Воскресенский Е.В., Шарипов Ш.Р. 0 существовании функции Ляпунова для уравнений в банаховых пространствах. Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений.Самарканд,1983.

27. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. -534 с.

28. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.-М.: Наука, 1967. 472 с. с черт.

29. Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974. - 455с.,ил.

30. Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости. -Прикл. математика и механика, 1955, т.19, № 5, с. 599-616.

31. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е изд., перераб. и доп. - Минск: Наука и техника, 1979. - 743 с.

32. Еругин Н.П. Приводимые системы. Тр.Матем. ин-та имени В.А.Стеклова АН СССР, 1946, т.13, 96 с.

33. Зубов Б.И. Лекции по теории управления. -М.: Наука, 1975. -495с.

34. Зубов Б.И. Методы А.М.Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957. - 241с.

35. Зубов Б.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979. - 400с.

36. Зубов Б.И, Теория оптимального управления. Л.: Судостроение, 1966. - 352 с.

37. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения: Учеб.пособие. Л.: Изд-во Ленигр. ун-та, 1980. - 288с.

38. Зубов В.И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение. -М.: Высшая школа, 1973. 221 с.

39. Зубов В.И. Устойчивость инвариантных множеств динамических систем: Учеб. пособие. Саранск, 1980. - 80 с,

40. Иосида К. Функциональный анализ. -М.: Мир, 1967, 624с.

41. История отечественной математики: В 4-х т. Киев: Наукова думка, 1970, т.4, кн. I, 883 е., ил.

42. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А.Андронов, Е.А.Леонтович, И.И.Гордон, А.Г.Майер. -М.: Наука, 1966. 568с. с черт.

43. Келли Дж. Общая топология. 2-е изд.-М.: Наука, I98I.-43IC.

44. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1958. -474 е., ил.

45. Кондратьев В.А., Самовол B.C. 0 линеаризации автономной системы в окрестности особой точки типа "узел". Матем.заметки, 1973, № 6, с. 833-842.

46. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.: Наука, 1968. 476 с.

47. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. 476 с.

48. Ла-€алль К., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. -М.: Мир, 1964. 168с. с. черт.

49. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Л.: Изд-во Ленинрр. ун-та, 1963.-116с.

50. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 471с.

51. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. 2-е изд., исправл.-М.: Физматгиз, 1969. - 530 с.

52. Массера Х.Д., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. -М.: Мир, 1970. 456 с.

53. Матросов В.М. К теории устойчивости движения. Прикл.матема-тика и механика, 1962, т.26, № 6, с. 992-1002.

54. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, 1-1У. Дифференц.уравнения, 1968, т.4, № 8, с. 1374-1386;1968, т.4, Ш 10, с. 1739-1752; 1969, т.5, Jfe 7, c.II7I-II85;1969, т.5, J& 12, с. 2129-2143.

55. Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений в ло-кальновыпуклых пространствах. Матем. сб.,1962, т.57, I 4, с. 385-406.

56. Миллионщиков B.M. Асимптотика решений линейных систем с малыми возмущениями. -Докл. АН СССР, 1965, т.162, № 2, С.266-268.

57. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. -М.: Наука, 1973. 512с.

58. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Лекции по методу интегральных многообразий. Киев: Наукова Думка, 1968. - 416с.

59. Немыцкий Б.В. Некоторые современные проблемы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Усп.мат.наук, 1965, т.20, Л 4 124, с. 4-36.

60. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. 2-е изд. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949. -550 с.

61. Озиранер А.С., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных. -Прикл. математика и механика, 1972, т.36, № 2, с.364-383.

62. Отроков Н.Ф. Аналитические интегралы и предельные циклы. -Горький: Волго-Вятское кн.изд-во, 1972. 215 с. с черт.

63. Персидский К.П. Избранные труды: В 2-х т. Алма-Ата: Наука, 1976, т.1, 272 с.

64. Петровский И.Г. 0 поведении интегральных кривых системы обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи особой точки. -Матем. сб., 1934, т.41, № I, с. 107-156.

65. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1977. 303с., граф.

66. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964. - 368 с.

67. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебник для ун-тов. 5-е изд. - М.: Наука, 1982. - 331 е., ил.

68. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды: В 3-х т.М.: Наука, 1971, т.1, 771с. с черт., 1972, т.2, 999с. с черт.

69. Пуанкаре А. 0 кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -М.-Л.: Гостехиздат, 1947, 392с.

70. Рейзинь Л.Э. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне, 1971. - 235с. с черт.

71. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных систем дифференциальных уравнений. ГЛ.: Наука, 1974.318 с. с черт.

72. Румянцев В.В. 00 устойчивости движения по отношению к части переменных. Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика, механика, 1957, й 4, с. 9-16.

73. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. -М.: Мир, 1980. 300с.

74. Самовол B.C. О линеаризации системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Докл. АН СССР, 1972, т.206, № 3, с. 545-548.

75. Самовол B.C. Эквивалентность систем дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Тр.Моск. мат. о-ва, 1982, 44, с. 213-233.

76. Самойленко A.M. Изучение динамических систем с помощью знакопостоянных функций. Укр. мат.журн., 1972, т. 24, № 3,с. 374-384.

77. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости /к,А.Андронов ДА. Леонтович, И.И.Гордон, А.Г.Майер. -М.: Наука, 1967. 487с. с черт.

78. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: ИЛ, 1954, т.1, 1953, 346с., т.2, 1954, 415 с.

79. Сибирский К.С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев: Штиинпа, 1976. - 268с.

80. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости /Б.Ф.Былов, Р.Э.Виноград, Д.М.Грооман, В.В.Немыыкий.-М.: Наука, 1966. 576с. с черт.

81. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: Учебник для физ.-мат.спец.вузов. -М.: Наука, 1980. 231 е., ил.

82. Футак Я. Об асимптотической эквивалентности систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференц.уравнения,1983, т.19, № 5, с. 9II-9I4.

83. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: ■ Мир, 1970. 720с.

84. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1964.-477с.

85. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.-Л.: Гостехиздат,1946.-204 с.

86. Шестаков А.А. Об асимптотическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений. Уч.зап.Всес.заочн. ин-та инж. ж.-д.трансп., X96I, вып. 7, с. 3-104.

87. Шестаков А.А., Меренков Ю.Н. О локализации предельного множества в неавтономной дифференциальной системе с помощью функций Ляпунова. Дифференц. уравнения, 1981, т.17, If? II, с.2017-2028.

88. Якубович В.А. Некоторые критерии приводимости системы дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1949, т.66, № 4, с.577-580.

89. Якубович В.А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1948, т.63, В 4, с.363-366.

90. Луолс S. 3. CxUitfict cuui MaJUUt^ of сгиЩшл^ cUffeawtiat zcfctocULcTU иг -PoceMj, сопжс Лращ. — Ммимаг- Лпа1. •• Thecup, МШь. емок Арр£., 19*1, Ш. М7 г р. 113- 119.

91. М.7 Уеоъ^Сои- %). A&ympi&tictyu^-irahfWL of cUfftbbritLcit Щшл&опь Krith Stepanoff i^undzd, fuyncticmat pentuAjvtLori (keck. Math. J., J9Z2, 32(10?), мч, p • 633-639.

92. Якхмгъ Т. Asymptotic equiiraluicz- cwut a^mpytoUc ^АсигСоиг- of 4inzab — Jiioki^atb Math. J., 196Z, 9, p. 33-43.96. f. Л^опбсплт, dcffMMlaZ eqtuMow-with fotcirup Ьллпб . — Pic с. Л/пел. Math. Soc. 1964, /f, p. 7SX-16S-.

93. Жщ>1аА ASirec U<L. ^tvUftatof two of cUffutntiaZ eqcuvtiom-. —CsecA. Math. J., 19*2, szfrot), мз, p. 4лз-ш.

94. TCato J. On eocuUncL of O-cuwe*. — TbMuo Math. J., 1967, Ш. 19, 49-62.

95. Жеюгкииь А.Ж. Л cUtompotiUori cdcpoxithm fob iM toUttiOn- of 4y&tetn&> of -йпиьъ atcfe&iaic €^tuition4r. — Ръос. Xftt*<t Лупгр. снъ OzccUh cmd tyi., J&oztorL , ApxiC /9?S, p./16-/20.

96. XUcunwui If. ЛепъалИ on the cuymptotic tUcdifyyUshipir Mutem. loCatum^ of two AiuUnib of cruUtwA^ (iiffevmticit ecj^uvtooni-. — m-ooifUma^ Math. J. , 1976, G, p. 403-420.

97. Хеъопшь J/. ou-^mptotic ЯгРимтсоил, of & MbUm, of ■Ctne^ cUffewttial etjuaUotu. —dmvz. J. Math* , 1M6 , 6*, p. 1-6.

98. Onuctuc J/. A&tf*y>£oUc telcd-ioruAip cU tnfirUUp 4etufee4u ifa AoCutioru of tun? of ObcUyva^ cUffw£<n£ux£- е^и^аЛсет^- . — J7iffVLZrvtcoLt £qi., I967, a/3, p.

99. OZfuMb* H., Pe^futu W.%. On the тсМо^шХttkuctu/u, of fab^t -<&ccUt compvUit jysteryu.—

100. EE Тгши. CituUU сиъЖ , У<и£у1915,Ш. С A £ ~227 p. 6 12-622.