Асимптотика решения некоторых сингулярных квазилинейных дифференциально-операторных уравнении и систем (Случаи кратных корней) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОДЕСЬКЛИ ДЕРХАВНИИ УН1ВЕРСИТЕТ 1и.1.1.МЕЧНИКОВА

РГ8 ОД

? 2 МАЙ 1905 На правах Р^копис>

БУРЯК. Дмитро Володимирович

АСИМПТОТИКА РОЗВ'ЯЗКЮ ДЕЯКИХСИНГУЛЯРНИХ КВЛЗИЛ1Н1ННИХ ДИФЕ РЕНЦ1АЛЬНО-ОПЕРЛТОРНКХ Р1ВНЯНБ ТА СИСТЕМ < ВИПЛДКИ КРАТЦЧХ КОРЕН! В )

01.01.02. - ДиференцГальн! р!вняння

Д втореферат дисертзцП на здобутгя паукового сгупеня капдвдптп им?лш> - математичних наук

Одеса 1993

Дисертац1ею е рукогшс.

Робота внконана на кафедр! вищо1 математики К1 Одеського державного пол!техн1чного уШверситету.

Пауковмп кер1шшк -кандидат фйико-математичних наук»,

доцент грлбовськл р.г. Оф1ц1пп1 опоненти -доктор ф!зико - математичних наук.

Проо1дна оргшИэац1я-1нститут математики Боронежського держу Шверсмтету (Рос1я).

Захйст в!дСудеться "_2_"_нарвяя—1995р. оА5_годин! на зас1данн1 спец1ал1зовано1 ради К 05.01.02. по фГзико-мате-матичним наукам ( математика ) в Одеському державному ун!вер-ситетМ 270100, м.Одеса, вул.Петра Великого, 2 ).

' 3 дисертаЩею мояша ознайомитися у С10л1отец1 Одеського держу н!верситету '( 270100, м.Одеса, ьул.Преображенська,24 ).

професор СГРИЖАК. т.г. -кандидат ф!зико-математичних наук, доцент ПР0СЕ1ШК. Л.Г.

ВчениЯ секретар слец1ал1зовано1 вчено! ради професор

Третяк 0.1.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуэльн)сть теми. Вивчення асимптотичних .властивостей розв'язк!» еингулярних дифереицШьвих р1вняиь та систем на-лежигь до числа найб!льш актуальних задач як1сн01 теорП ди-ференц!альних р1внянь i здавна приваблюе увагу досл1дник1в. Перший важливий результат, в якому дана асимптотика розв'яэ-kJb ЛДР з майже постШими коефЩ1ентгми,0ув одерааний Анр1 Пуанкаре . Цей результат став поштовхом для розьитку асимптотичних метод 1в досл1дження ял ЛДР з майже пост!йними коеф!ц1-ентами (О.Перрон, А.Кнезер, А.В1маи, М.Мателл, Н.Левшсон, В.А.Хартман, Д.А.Лутц, ¡.М.Рапопорт, А.УЮТнер, М.В.Федоргж, O.B.KoctIh. М,1.Шк1ль, А.Дев1натц та бг. ton.)*, так I нелЛИй-них диференц1альних р1внянь та систем (А.Пуанкаре, О,М.Ляпунов, О.Перрон, Е.Коттон, Н.Лев1нсон» Л.Чезар1, Р.Беллман, ?.Конт1, Ю "Ггамура, М.Хукухара та traulf.

Наступним кроком стали досл!дження квазшИнШих дифе-эенц!альнкх р!внянь тг систем (1,7.К "урадзе та (tare школа, >.В.Кост1н >тэ його учя1, В.М.бвтухов та imul). Тут окремо не-<5х! дно в1дм1тита результата, одержан! 1.Т.К1гурадза та '.А.Чантур1я. Вони зд!йснили спросу п(двести шдсумок згада-им ранние досл!дженням них р1внянь4.

Folncare H. Amer»J.oi Matheoatlcs.vol.Т,(!вв51,8.203-290. Широкий сгляд реэультатв досл!дкень можна анайти, наприк-лад.в статт! .Бутузова В. Ф.,Васильеве! А.Б..Федорта М.'З. "Асимптотические методы в теории ОДУ.-Итоги науки. Кат. ан.М., ВИНИТИ; 1Эв£Т.

йприплад:Чёзари Л. Лсииптотнческов повеление и устойчивость эетеная ОДУ, ИЛ. М.,1964г.

Сигурадэе И.Т.,Чангурия Г,А. Асимптотические свойств« реве-гмг неавтономных ОДУ.-И, : Маука,1990г.

1,нак1нець.як узагальне'ння вкще викладенного, з' явились досл1дження )нтегро-диферелц 1а.чьних та диферешиально-опера-торних ртнянь1,як1 виншэють при розв'язуванн! р]зномзн1тних задач механ!ки,ф1зики 1 т.д.

Таким чином,на Шдстав! широко розглянуто!. бШ1ографП, присв'ячено1 розв'язку задач, зв'язаних,зокрема,з квазил!н)й-ними та диференц!ально-операторнши р1ьняннями та системами, неважно зроОити висновок:по-перше,що напрямки досл1джень да-них р1внянь (систем) досить рГзноман1тн! 1, по-друге, що за-галько! теорИ тут пока ще немае. Кожна нова задача та кожна модификация р!ьнянь (систем) потребус влзсних доказ1в фундаментальных теорем. Ось чому поставлена в дисертацп задача про досл1джешя асимптотичних Еластавостей розв'язк1в деяких сингулярних при *-*■*«*> квазил1н1Йних диференц1ально-оператор~ них р!внянь та систем (в випадку одержашш кратниХ корешв-що дуже вежливо) мае наукозий 1нтерес 1 досить актуальна.

ОС'ситом досл!джень е:

I. Сингулярна при х-*.* с® квазил1н!йна диференц1ально-оператор-тгема (ДОС) р!внянь виду:

№ ' а)

к » о,«

де «

п = НУ?** • N1 соп*1' N & к ^ *).Кг0-"'

2> (у) ( ; ~ многочлени в1д х дов!льно1 степей!

*Огляд по Щй темажц! був зроблений М.В.Азбелсвим:0 некоторых тенденциях о обобщениях ИУ//Яи$. ур., 1965, г. 21, да, с. 12911304.

А

т,«^ •> О з досними коеф1Щентами С Р0-(.>с) г. О )!

3) У, к* , у»(х)Г.в 3 ****

"У функция (клас "У визначаеться в пронес! доказу),що асимп-тотично дор1внюють при *->-»-оо деякш роз&'язкам "вкороченоГ системи (

кл-1 - % ъщ ■

(2)

« >3

к * к » ¿"у,

в1дпов1дних загальном/ кратному д1 Ясному коренев1 характеристичных р1внянь

* , ¿Г« ; (3)

4) ' ((^ иХ^С ^.)/,,, к.оТ. -функцЮнальний

оператор,взагал! какучи-иелшшний, однозначний та неперерв-НИЙ ПО ДВОГ ЗМ1ННИМ хь при каждому ф/ксованому

УСО ^ ^ ,з1 значениями з К .

II. Сингулярна при х-^+о- кв?зил!н1Г. :е диференц1альн?£опера-> торне р!вняння СДОР) п-го порядку: -

3) ■К.*1Ч/УС-)) - функц!оналымй оператор ыд змШних к та М , 31 значениями з К , визначений на деякому клас! функцМ 1з С ,що асимптотично дор1вношь при х-»»деякому дШс-

ному розв'язку "вкороченого" р!вняння:

. о , В)

але,в1дповинону ми всякою' корене»! 1як аИ ,тш * з С > дов1лыю1 кратност! характеристичного многочлену С^О «

$

Ця 1стотна в!дзнака дае зм'огу вивчзтй як монотоки!, так I

коливн! при розь^язки р!вняння (4).

III. Сингулярне при квазилШЮне ДОР 'У-ю порядку:

+ * (Кхус-));

„ Ю)

ДЭ '

15 ) I 0 * о-*«>»*«•а* Я;

2) V - ФункцЮнальнкй оператор в!д зм1нних х

та "V .визначений на деякому к лас! функщя 1з С [*<,;♦<*■) ,що асимптотично дор!вншть при х-*-+ов дШсному розв'язку "вкоро-ченого" р!вняння

+ + а/^ - О и)

з! значениями 1з К

Мета роботи: одержати достатн! умови хснувгння розв'яз-к!в досл1дауваних клас!а слнгулярних при х-»-««' квазил!Шйних ДОС (1) та ДОР (4),(б); досл1дити питаннл про йс к!льк1сть та побудуваги асимптотику цих розв*язк!в та 1х похЦтх.

Метод доел 1дження зображае собою подальший розвиток методу, застосоааного 1 удосксналеного Р.Г.Грабовською1 та 1! учнями, а саме,-' в дисертацН використовуеться принцип нерухо-мо! точки Шаудера2 з застосуванням тополоПчного принципу Важевського3. • ,

Наукова нови та та осиовн! результате:

1.Клас сизгем та р!внянь, що вивчаються в дан1й дисертзцН. ь такШ постанови! задач!, раи!ш не розглядався.

2,НаявШсть. функщоналыюго оператору в зазначених систем!

1ГраСовская Р.Г.О квази-аналитических решениях одного класса нелинейных диф.ур-я//Труды Одее.ун-та,вып.3,1958,69-108.

2Греногин В.А. Функциональны» анализ,-М.;Наука,1980.

3Хартыан Ф. Обыкновенные ди$.уравнения.-И.:мир,1370.

i't р!вняннях значно розширюе клас досл1джуваних ран1ш задач. Так, наприклад, викикае можлив1сть вивчення 1ДР з 1нтеграла-ми дов1льно1 кратност! (для р1внянь такого типу немае в1дпо-в1дно1 теореми !снувзння розв'язку). При в1дсутност1 в додат-ках оператора, результата дисертацЦ все таки лишаються нови-ми, так як п!сля в1дпов!дних зам1н вих!дн! р1вняння ( система) зводятьсл до 1ДР, досл!дження розв'язШв яких, в свою чергу, потребуе використання нетрадиц!йних мегод!в. з.Ус1 м!ркування в дисертацп та одержан! в п!дсумку оц!нки спираться Т1 лькн на конкретна с1меястзо розв*язк!в, в!дпов1-даючих вибраним ф1ксованим кореням характеристичних р!внянь (систем) "вкорочених" задач. Таким чином, величина корен1в що лишилися, на подальше оц!нюванне не впливае. 1ншими словами, знання ФСРнвкорочено1"зада»! а Щлому не використовуетъся. з.Побудовзна асимптотика для деяких розв'язк!в (для випадку кратких д1Г них корен. 1в) сингулярно1 при квазилШШно!

ДОС (1) р!внчнь спец!альиого виду з необмекеними"коеф1ц!ента-ми в Ыдпов!дн'1й однср1дн'Я систем! (2) ' '

5,Одержан! асимптотичн! формул;» 1експоненц1алыт оц1нка 1 для • деяких розв'язк!в сингулярного при + о» квазилШШного ДОР П-го порядку (4).

В.Одержан! асимптотичн! формули (степеиеоа оц1нка) для роз-Ь'ЯЗК1а СИНГУЛЯРНОГО при К —* о- КВаЗИЛ1н!ЯН0П> ДОР IY-ro торядку (0).

Bel вгаце перел!чеи1 результата яыяютьел .новими.

Теоретична га практична цП:н!сть. Одержан в дисертсц!Я-г.№ робот! результата та запропоноваШ методи. розширюать клас сиягулярних ДОР та ДОС. для яких можлива прбудова асимп-тотичних сЩнок розв'язк!в при х— ,1 лвляються настугашм Сроком у розвитку теори цих р1внянь (систем), як! доить, як

У

Ыдомо.практичну базу для розв'язку богатьох назр1вших задач б р!зних областях природних наук та техн!ки (наприклад:зада-41 механ1ки,електротехн1ки,атомно1 1 ядерно! ф1зики ...).

Так, б результат! сШльних, з д-ром геогр. 'наук Лисець-ким Ф.М. (ГИ), наукових досл!джень при вжонаня! Державно! науково-техн!чно1 программ 3.3.1."Уг.рз1нськ! чорноземи.Засо-би захисту". автором дисертацИ Оула одержана дов1дка з 1нс-титута грунтознавства та агрох!м11 1м.О.М.Соколовського УААН про використання результат^ цих досл!джень. Коккретно-побу-дована математична модель грунтоутворених та ероз1йно-дефля-ц1йних процес1в. одержана асимптотика оЩнок характеристик дедких модел!в цифрового спектрального оц!нювання 1 запропо-нован! рекомендацП по використаюю цих модел!в у практиц! проектування грунтозахистно та еколоПчно обузгоджених агро-ландшафПв черноземко! зони УкраШи. Характерно, цо анал!тич-на частина- запропоновано! модел!, в яку, було введено опера-тор-функц1ю (функщя збурення), яка в1дбивае флуктуацН про-цес1в формування та руйнування грунтового проф!лю,зумовлених системою Иерарх ¡чних орган1зованих ритм!в (сонечно! активнос-т1. г!дротерм1чного режиму та ¡нш.), було досл!джено методами виконано! дисертацИ. Таким чином,результата (метод) були застосован! при розгдяданн! конкретно! ьадач!.

Апробац1я роботи.Основн! результата дисертацИ були вик-ладен1 на наукови с сем1нарах кафедри диференц1альних ртнянь Одеського держун1верситету 1м.1.1.Мечникова (кер1вник - доц. В.М.бьтухов), кафедри вищо! математики N1 Одеського держ. пол!техн1чного уШверситету (кер.-проф.В.В.Нов1ков), кафедри мат.анализу 0 1вденно-Укра 1нського педагоПчного университету Ш.К.Д.Ушинського (кер.-доц.В.0.Андр1енко), на рег1ональних конференЩях з ФДР (Махачкала-1968,1991, Уфа-1969), на конфе-

ренцН молодих учених (Одеса-1988), на Воронежських зимових мат. школах (Воронеж-1989,1990,1991), на конференцИ з су-часних метод!в як1сно1 теорН диф.р!внянь, глобальному анал!-зу та багатозначним Ыдображенням (Воронеж-1990), на школах по сучасним методам як!сно! теорП крайових задач (Воронеж-1991,1992), на Республ!канських науково-техн 1чних конферек-ц1ях "Зэстосування обчисл. техн1ки та математичних метод!в в наукових та економ!чних досл!дженнях" (Ки1в-19в9,1991, Севастополь-^ 990), на Республ1кансыий науково-метод.конференцИ, присвячено1 200-л1ггю з дня народження МЛ.Лобачевського (Одеса-1992), на М1жнародн1й математичн!й конф. "Ляпуновськ1 читання" (Харьк1в-1992), на Шжнародн1й конф. ,присвячено1 пам'ят! ак. М.П.Кравчука (Ки1в-Луцьк-1992), на М1жнародн1м рос1йсько-американсько-ухра]нському , сем1нар1 з к1льк1сно! ощнки ерози грунт1в (Москва-1993).

ПубликацП результат 1в. Основн! результат« дисертацИ в1дображенн! в роботах (1 Ы51.

Конкретний вклад дисертанта в розробку наукових результат^. Дугсертацш являе собою самостШиу науксьу працю. В статт! 12 1, написан 1й сШльно з Р.Г.Грабовською. останн1й на-лежить постановка задач! та 1дея методу И розв'язку, автору належать конкретн! досл!дження. В статтях, як! опубл!кован1 сШльно з* О.А.Ингаевим (41 та Ф.М.Лисецьким 111, результата належать оивавторам в р!вн!й Mlpl.Автором 'запропонован! дос-л1дження асимптотичних властивостей розв'язк!в деяких сингу-лярних при -Х.—+00 ^вазшкшйних ДОР та ДОС у випадку наявнос-Т1 кратких корен1в (як д!йсних, так I комплексних) у в!дпо-в1дних характеристична р!внянь (систем) "вкорочених" задач.

Структура та обсяг роботи.Длсертац1я складаеться з всту? пу, трьох роздШв та списку л1тератури,що м1стить 132 найме-

нування. та складае 193 сторШки машинописного тексту.

ЭИСТ ДНСЕРТАЦИ

Вступ складаеться, головним чином, з стислого огляду ос-новних роб 1т, присвячених дослЦженню сингулярних диференц!-альних (1ДР.Д0Р) р1внянь та систем. Визначена мета досл!д»ен-ня. Стисло виоадено метод досл!дження та виклэдеш основн! результата дисертацИ. Вводиться основн! означення та позна-чення.

В первому роздШ мова йдеться про сингулярну при х квазил1н1йну ДОС р!внянь(1)гта "вкороченну" по в1дношенню до не1 л!н!йну однор!дну систему диф.р!внянь (2),

Мета першого розд 1л/ полягае в визначенн! умов,при яких для деякого розв'язку "вкороченоГ' системи (2) 1снуе асимптотично р1вшй йому при о» розв'язок вих!дно1 сингулярно! квазил1н1йно1 ДОС (1). ■

В1др1з1щвчиии особливостяин досл1джуваио! задач! е сл1-дуюч! показники: 1)коеф!ц1енти ¡^ («) (^»ц* •, ^ • О, к- ( ) необмеиен! при (елементи основно1 матриц! "вкороченоГ

системи чи пост 1йи!, чи - Кшогочлени в!дносно X. дов1льно! додатньо1 стелен! - тобто необмежен1 при ); 2)припуска-

еться, що вс1 характеристичн! р1вняння (3) системи (2) маить хотя б один сШлышЯ кор!нь У т а, ои е К е!дпов!дно! кратност! » 7. ( < у\ц. ' )» к « (в тому числ!

I иуяь дов1лы;о1 кратност!); 3)наяан!чсть функц1онального оператору С"*.4*',^'^'?) в!Д зм!нних к та У , визначэнного на деякому клас1 'У функцш.позволяе значно розишрити клас дос-л!джуваних рашш задач. •

Першяй, розд1л под1лениЙ на три частини. Перша г- чзстинз

б як!й вводиться основн1 понягтя та робляться основн! пере-творення. В цьому роздШ, по-перше, йде мова про'вкорочену" систему (2), для яко! (для сШльного кореня X - а, а, ь К р]вняння (3)) 'записан в!дпов!диий розв'язов. По-друге, в результат! спец!альних зам!н та переводу "+о» " в "+0",вих!дна система (1) зводиться до сингулярно! при {-+*0 квазил1н!йно1 1нтегро-диференц1ально-операторно1 сисгеми р!внянь першого порядку. Розв'язок же останньо1 шукаеться в банаховому простора неперервних на 10'. У * 0 ) вектор-функцШ. Для чого, потрете, ВВОДИТЬСЯ ДО розгляду ДОПОМ1ЖНИЙ клас 2) с X функщй з оОмеженою нормою. В1дзначено. що 3 являеться опуклою. замкненою та обмеженою множимою. Та, накШець, остаине-сфор-мульован! загапьн! допом!жн1. означення: 1) означення ласаль-но1 умови Л!пшиця <1.ос1.1р> 1.2) означення умови типа уМови Л1ПШИЦЯ (ТурИр). •

В другШ частин! розглядасться випадок кратност1 и -1 ззгалыюго кореня X - К ус!х характеристичних р!внянь (31, Шркування ведуться для кореня кратност! "А,»*«-1 . В цьому випадку, перетворену в результат! зам!н, систему мокМа запи-сати в вигляд1: ^

- Ыи)* -е' Р^зг.^ . . «»

С цього приводу, обмеженнй стаслЮтю автореферату, в!дм!чу лише те, що матрица 0< ал к являеться трикутноо.

Основним результатом ЩеГ частини являеться теорека 1.1,

в якШ знайдеШ достатн1 умови 1снування у останиьо1 системи

• ... (6) хотя б одного розв'язку ¿Г(4) , задовольнлючого оЩнкам

8 .

гЪ)

■и (9)

4 Н,

при о<£ < д„(&) О •. 0<М * со^б .

В результат! (при спеЩатьно п!д!браному О А 6 &

)

система (1), коли х "» х. .мае розв'язок, зображений

у вигляд!:

де " .

(*С ^ -розв'язок "вкорочено!" системи (2), що в!дпов1дае вибраноиу загальяому коренев!(с*. )•„„, ^ 6 У

Як п1дсумок другох частини, розглядаеться приклад сингу« лярно1 при х-»» о» ДОС двох р1внянь: ^

I / V „ » » » Г , , ,

мрч«'^*2?.-2*-V* * $(5)с|5'

I / \ , ("О ("» О*) _ , ., , /

де, очевидно, X »-I -загальний корШь характеристичних р1в-нянь (V4) ' О _ к « О, I ц>=5, 1^=7) в!дпов1дно1

кратност!: ъе. =4, \ел -6.,

В треть 1й частин! розглянутий загальний випадок кратное-т1 2 < ( и„-> ъ Ь к« сГ* кореня .

Матриця о^СсХ) системи (б) вже не являсться треку тнои. Основним результатом ц!е! .частини е теорека 1.2, фарму-лювання 1 доведения яко1 спирзсться на теорему 1,1. Тут також даються достатн! умови 1снування у системи (б) хотя б одного розв'язку '¿(й) , що задоьольняе оцшкам (9). А ось принцип Важевського, що ьикористовусться лри доведены! теореми 1.2, засгосовуеться з допомогою критер!я Шьвестра. Бахливо, що теорема 1.2 не являсться' узагальненням теореми 1.1, так як у теорем1 1.2 умови на додатки (за рахунок вибору А : припус-касться щоД» 1 ) с!лыи жорста1ш1, н1к у теорем 1 1.1, що значно звужуе клас доа»1джуваних задач. С другого бог ', теорема 1.2 Плыв загальна, пороняно до теореми 1.1. у тому

и

розумшню, що матрицл в другШ теорем! не являеться

трикутною.

Друг мп розд1л присв'ячений вивченню сингулярного при X—*<У> КВаЗИЛ1НШНОГО ДОР П~го порядку (4), поряд 3 яким, як 1 в лершому роздШ, розглядаеться "вкорочене", в!дносно (4), лШШне однор!дне р!внянне з пост!йними коеф!ц!ентами (5).

Лналотно першому розд!лу,розв'язок поставлено1 задач! для р1вняння(4) вводиться до розв'язку допом!жно1 задач1 для системи, одержано! !з вих1ддаго р1вняння в!дпов1дними перет-вореннями: л!н!йною зам!ною; введениям екв!валентно1 системи р1впянь першого порядку; специальною зам!ною та переводу "+ " в 'чо", а також зведенням одержано! ежа таким чином системи л

- ъ г^оЦ) из)

за допомогога л!н!Яного дШсного перетворення вих1дного вектора, до найб!льш простого виду:

• у*/ - е* (12)

де у - жсрданова нормальна форма.

Основний результат зформульований для системи (12) в теорем 1 2.1 ,в лк1й запропонован! достатШ умови того.що система (12) мае, принайми!, -параметричне с!мейство розв'яз-к!в , що задовольняють умов!:

(13)

на (о ЛоЦ] , О< л.(А) «.л* ^ О ,де Ъ -число власних значень з додатиьоо дЮспоп частинога матриц! .

Важливо, що оператор, який використовуеться. за принципом Шаудера, побудоьан тут спец1алышм чином.

Б результат! доведено, що р(г-.няння (4) при х ^ ¿Гил***« мае,принайми!, Ч. -параметричне с!мейство розв'язк!в, пода-

1 13

них у ьигляд!: де

-розв'язок р!вняння (5),що в!длов!дае дощльно вибрано-му корено характеристичного р1вняння .В1домо.

коли кор'1нь комплексний. то д!йсний розв'язок «^л(л) р!вняння (5).в1дпов!дний даному кореню.буде коливним при х-*«® .Якщо ж при цьому операторн! додатки стоять т!льки при коефщютах л1н1йних доданк!в 1 не залежзть в!д "У» ( ) ¿. о ,а жать тьльки в!д # та функЩй^С ) 1з даного класу.то розв'язок ^(х)р1вняння (4),який поданий у вигляд! (МЬтакож буде коливним при Х—*о° .

В третьему роздШ розглядаеться сингулярне при х-»-» о» каэзилшше ДОР ХУ-го порядку (в) та "вкорочене" по в1дноше-,нню до нього р!вняння (7).

Задача третьего розд1лу е частковий ьипадок- задач 1 другого розд1лу (тут п»4). Але.в другому роздШ була одержана експоненц1альна оШнка -додашь в асимптотичному зображенн! (14) розв'язк!в р!вняння (4) яри * -*о- , в цьому ж роздШ отримана стеоенева оц1нка. - •

Використовупчи методику, що описана в парших двох розд!* пах, основний результат одержано ! доведено ( теорема, 3.1 ) для допом!жно! задач 1. Поьертаючисъ до вих1днш> р1вняння (6) стае очевидным, що воно.мас розв'язок поданий у ьигляд!;

. ^ («.с.,...*) . о»

- при . де - розв'язок Р1ВНЯИНЯ

(7): л., р 1 % пщоираоться спещальним чином. Як 1лострац1р розглякутий слЩуючмй приклад

« ». . <. Т

1"} « »■ • * ( Л

\ А

Заувлжимо, що у вс!х досл!дзхуваних задачах, одержан! достзтн! умови, що накладаються на оператор«! додатки на до-в}лыю! фуикцП з даногр класу, можна аЦнести до сл1дуючих .трьох тип ¡в: 1) достзтня гладк!сгь: 2) визначений порядок мализня; 33 уыовэ типу умови Лтшиця по вс!х зм!нних, окр!м иезалежно! зм1н.чоЬ

Основ»! реэультати дисертадП були опу0л1кован1 в сл!ду. ючих стагтях:

Jf.BtarJfiK С.V.-.tisetsKIy F.tf. The probabilistic nature of soli formation and eroslon-on mathematically oodeled deflation processes // Proc. of an International Workshop on Soil Eros Ion.-The Center for Technology Transfer and Pollution Prevention, Purdue University, West Lafayette.Indiana,USA, (1994 > ,p, 400—506. г.еуряк Д.й.,ГраОовская P.Г. Асимптотика решения одной сингулярной квазилинейной дифференциально-операторной системы уравнения I Случая кратных корней !//0дес.roc.пед.ин.-Одесса, 1992.-67с.-Деп.В УкрИНТЭИ,25.02.92,»222-Ук 92.

3.Буряк Д.О. Асимптотика решения одного сингулярного квазилинейного дифференциально-операторного уравнения n-го порядка // Одес.гос.пел.ин.-Одесса,1992.-40с.-Деп.в УкрИНТЭИ, 04.05.92,N513~yK92.

4.Ткнгаев А.Л.,Буряк Д.В. Асимптотика решений одной системы дифференциальных уравнения типа Бесселя // Тез.докл.Респ. научно-технич. конф. "Применение выч.техники и математических методов в науч. и эко.чоьшч.исслед,"-Киев.1989,с.53-54.

б.Буряк Д.В. Асимптотика решений одного сингулярного квазилинейного дифференциально-операторного уравнения четвертого порядка // Тез.доп.М!жнародно1 конф. .присвячено! пам'ят! ак. М. П. Кравчука, Кн1в-Луцьк, 1992, с. 29.

АНОТАШШ

Буряк Д.В. Асимптотика решения некоторых сингулярных квазилинейных дифференциально-операторных уравнении и систем ! Случаи кратных корнея).

Диссертац. t на соискание ученой степени кандидата фиэи-Ko-иатематических наук по специальности 01.01.02.-Дифференциальные уравнения, Одесский госуниверситет, Одесса, 1993.

Исследуются асимптотические свойства решения некоторых сингулярных при х-»*о» квазилинейных дифференциально-операторных системы и уравнения в случае наличия кратных корней у характеристических уравнения,соответствующих "укороченных" задач.Получены достаточные условия существования решения укаэа-ных классов сингулярных задач и исследован вопрос об их количестве. Построена асимптотика этих решения и их производных.

ABSTRACT

Burjak D. Y. Asymptotic of Son® Singular Quasi-linear Differential-operator Equations .and Systecss ( In case of cul-tlple roots )

Dissertation for seeking aften of the degree of Doctor of Philosophy In speciality Ко 01.01.02.-Differential Equations, Odessa State University, Odessa, 1995.

Asymptotic properties of solutions of so'ss singular (when*—+«» ) quasi-linear dil'îërentinl-cperator system and equations are studied in the case when characterlstlcal equations of respective shortened problems have nultiple roots. Sufficient conditions of the existence of solutions of mentioned classes of singular problems are given. The problem of the quantity of such solutions is also studied.Asymptotic estimates of these solutions and the derivatives are given.

КЛЮЧ0В1 СЛОВА

Асимптотика, сингулярШсть, квазил1Шйн1сть, диференЩально-операторн! рЗакяння та систем«, кратн1 корен!.

Подписано к ifâ^fffïib.04.95. Формат 60x84/16. Бумага газетная. Печать офсетная. 0,93 усл.пей.л. 1,0 уч.-иод.л. Тираж 100 окз • Заказ № t'%

Одесский государственный политехнический университет 27004'",, Одесса, пр.Шевченко, I.