Асимптотика решения задачи Коши для полулинейных возмущенных гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0\ ^ РосиЛзкая академия наук

л Ч4'

4 Уральское отделение

^ Институт катематики о рЫ'Зга^жтгдьккм цет:тром

Па пт>по и*у т"*тгт^птгт*г»и

КисйлеЕ

32 а«зг Михайлович

Асимптотика решения задачи Коли для полулинейных возмущенных гиперболических уравнений

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

VfT^a 1

Работа вшюлнена e Институте математики с вычислительным центром Е^спрекого научного центра Уральского отделения РАН

■ПЛГГ.'ООЛ rrri^ii Tit _ WWTTVTl гТттгаТ.ГГ^О—Ma'TDlinryiT/CTICSПТЛТ-rv ТЮТГ1Г

X4JJ . U>J i. v/ми ^wui \j L/ tnu x OB»«J iw Пи j fw

Л.А.Калякин

О^ицпалькно оппонента - доктор физико-математических наук

В.Г.Данилов

Кои ггттттп'р (Tir*oTn//-\_»Litei'rciMionirinmpVTfV

■ Ч I.."'."'.' * ' 4fliOJUtU muiCmuiKiuuruiA

наук К.Т.Хабибуллин

- Институт математики и механики Уральского отделения РАН

'?/. состоится и ^ 993 г в ^^

часов на заселении Специализированного сонета К 003.59.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте матемзтики с ВЦ Башкирского научного центра Уральского отделения РАН по адресу: 450000 , г. Уфа, ул.ЧержшеБСКого, 112, к.24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института "иТ^Уи^ыСЛ с ЪЦ.

Авторафг-рзт разослан "/" ^¿¿^¿¿Л-^ 1993 Г.

С^КрОТйрЬ

С.:с-г^:^:г£грсванного совете,

■Г» С«" г* Vr3Tflf/">.».»fC»TO**n' it^ui youmtt' ........ ......

тампт1П1,эгъ-иу v//4 д с; fnvinTMjit

Общая характеристика работы.

Актуальность теш. Асимптотические решения слабо нелинейных систем являются интересными моделями при изучении нелинейных явлений. С одной стороны, разработаны методы построения подобных решений, с другой, - свойства этих решений существенно отличаются от линейных. Построение асимптотических решений слабо нелинейных систем часто приводит к исследованию нелинейных уравнений (часто - интегрируемых). Они определяют свойства решений слабо нелинейных систем на отличных от исходных масштабах времени и пространства. Замечательный и наиболее известный пример - вывод уравнения Кортевега-де Фриза. Задачи о построении асимптотических решений слабо нелинейных систем уравнений в частных производных рассматривались, например-, в работах Л.А. Островского, В.П. Маслова, Дж. Уизема (G.WMtham). Строгое математическое обоснование асимптотических переходов в различных ситуациях было получено Л.В. Овсянниковым, А.Л. Штарасом, Л.А. Калякиным и другими.

Изучение асимптотических- решений на следующих временных и пространственных масштабах связано с возмущение/: самих нелинейных интегрируемых уравнений. Здесь ситуация менее изучена, чем в слабо нелинейных системах. Следует отметить пионерские работы В.И.Карпмана и Е.М.Маслова (1977), ДЛ.'аклэфлина и А.Скотта (1978) (D.W.McLaughlin & A.C.Scott). Появление подобных задач во тогих областях физики поддерживает пперэс к к:л.

Цель --ir'Jsrj. Построить и обосновать асимптотику регенкя_ 58д&чи Kcl'ii для слобополпийной готврболггескоЗ система с

сильной дисперсией и условно-периодичвскиш начальными данными. На примере возмущенного уравнения эЗке-СогсЮп исследовать асимптотику но малому параметру решения задачи Гурса с солитонным начальншл условны.

Методика исследования. Основными методами построения асимптотических решений в диссертации являйтсй метод двух масктабов и метод Фурье.

Научная новизна и теоретическая ценность. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Построена и. обоснована асимптотика со малому параметру решети1 слаСоноликоЛюй- гиперболической системы уравнений с сильной длспэрс-"?й, аналитическим возмущением и условно-периодическими начальными данными.

2. Обоснован, известный ранее как формальный, асимптотический переход от системы уравнений Максвелла-Блоха к уравнению зЗле-Согйоп.

3. Построено формальное асимптотическое решение задачи Гурса для возмущенного уравнения е1пе-Согйоп с начальным данным в виде солитона невозмущенного уравнения. Основное продвижение здесь - уравнение модуляции образов Фурье на непрерывном спектре для первой поправки формального асимптотического решения.

Обоснование формальных асимптотических построений позволяет получить строгие математические результаты об асимптотике решения исходной задачи. В этом смысле следует понимать первые два результата, полученные в диссертации. Исследование первой поправки формального асимптотического решения в задаче о возмущении политопа имеет два аспекта. Во-первых,-определяет

асимптотику вне солитона, во-вторых, - является первым шагом' на пути обоснования построенного формального решения.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации докладывались на семинаре акад. В.Л.Маслова в Институте проблем механики АН СССР (1991 г.), Международной школе "Динамические системы и турбулентность" (Кацквели, 1991 г.), на семинаре в Отделе квантовой теории поля в Математическом институте км. В.А.Стеклоза (1992 г.), на международной конференции "Нелинейные вволюцюнБые уран^ния и динамические системы" (Дубна, 1992 г.), на семинаре Отдела црикладных задач Института математики и мехак^л УрО РАН (1992 г.) и неоднократно на семинаре Отдела дифференциальных уравнений Института математики,с ВЦ УрО РАН в Уфе.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Структура и объел диссертации. Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. Объем диссертации - 113 машинописных страниц. Билиография содержит 65, наименований.

Содержание работы.

В первой главе изучается задача Коши для полулинейной системы уравнений.

ед в + е а(т)0,О + ВСг)С = е (1)

~ С

Здесь е - малый положительный параметр; 0 - вектор размерности п; а(т)- диагональная матрица размерности п*п; В(т)- матрица размерности п«п; Г(0)- вектор-функция, аналитическая по всем компонентам С^ вектора й.

Начальные данше для системы (1) имеют вид:

Функция - периодическая по быстрой переменной х=е-15 с периодом 2%, по переменной £ принадлежит Ь1 Кроме того, по

обеим переменным С удовлетворяет некоторым условиям гладкости.

Матрицы а(т) и В (а) должны удовлетворять следующим условиям:

1) все корни «3(зе,т) дисперсионного уравнения

йе1|1и>3Е + 1а(а)зе + В(а)| =0 (3)

вещественны и различны, при всех эеег, т€[0,то], где т0=сопзг>0;

2) матрица фундаментальной системы решений Н(ае,т) системы уравнений:

1йа + 1аж И + ВЯ=0, (4)

такова, что |йе1|Н(ае,г)||>сопзг>0 для УаееК, те[0,то];

3) матрица (Цав(И-1 а Б) - вещественная;

4) элементы матрицы Н"1 (зе,т)Н(ав,0) равномерно ограничены по ае при эееК, те!0,то1;

5) элементы матрицы 1Г1 (ае,т)бхН(ае,т) равномерно ограничены по ге при Ж£Ш, ае[0,ао].

Теорема 1. Существует Т=сопвг>0, такое, что решенье задани Кот (1(2) существует и воинственно при О^кТ и илеет биб:

С(5,т,Е)=и(5,1,5Е-1,Е)+в(е), (5)

гбе при £-»0.. Ветор~функция

асилтотческое решение задачи. (1), (2) - периодическая по быстрой переленной Се"' и преЗстглбляется б виде ряда Фурье:

+го

и(|,т,е)= £ Н(ае,т)ехр(1(эе£Е~1+Е~1в(т,эе)) )0(эе, ^ ,тт). (6!

б

Здесь exp(i(aeJs~1+e_19(T;,ae)))'- диагональная латриуа, С(г«,£,т) -п-лершй вектор - решение бесконечной faeeZJ полулинейной систехи уравнений.

Доказательство теоремы 1 проводится в три иага. На первом -(в §1) используется метод двух масштабов и выписывается система уравнений переноса на С (ас, £ л). Sto хорошо известные уравнения N-волн. Стоит заметить, что здесь рассматривается случай N=<». Для вывода уравнений переноса существенно используется только дафференцируемость по х, С начальных данных и требование о несовпадении корней дисперсионного уравнения (3).

Второй шаг в доказательстве теоремы 1 ( §2)-доказауольство существования и единственности решения задачи Коши для уравнений переноса. В случав, когда система конечна (|ae|<H€W),разрешимость задачи для C(ae,f,t) известна. Если Н=», ситуация несколько иная, и для доказательства разрешимости этой задачи приходится переходить к уравнениям в банаховом пространстве, элементами которого являются образы Фурье С(жД,т) по \ функции С(аеД,т). Это пространство определено так, чтобы оно было банаховой алгеброй относительно оператора свертки, а ряд Фурье по ае и интеграл Фурье по А,.сходились абсолютно и равномерно. Примеры подобных пространств имеются в работах С.А.. Вакуленко и Л.А Калякина. Для доказательства разрешимости задачи Коши для уравнений переноса достаточно, чтобы начальные условия (2) были дважды дифференцируемы по х и они сами, их первые и вторые производные абсолютно интегрировались по xe[0,2icl, ScR. Матрицы а(г) и В(т) должны удовлетворять условиям 1)-5) при Vaее/, равномерно по те[0,тоЬ

СледувдгЯ и последний в доказательстве теоремы 1 шаг (§3)- оценка остатка. Выписывается задача Коши для остатка асимптотики в (5) и доказывается, что он мал. Здесь требуется,, чтобы начальные условия (2) были достаточное число раз дифференцируемы и их производные принадлежали 11 (xiC0,2ic], матрицы a(i) и В(т) удовлетворяли условиям 1)-5) при VaeeR, равномерно по те[0,то].

В параграфе 4 главы 1 разобрано два примера. Во-первых, -показано, что для уравнения с,сильной дисперсией и аналитическим возмущением в главном появляется бесконечное число гармоник, даже если в начальных данных была одна. В результате получается бесконечная система уравнений переноса для главного члена асимптотики рспения задачи (1) (2).

Во-вторых, из-за несоизмеримости частот главный член -условно периодическая функция по времени t»TS~1. Условная периодичность и бесконечный набор гармоник приводят к появлению проблемы малых знаменателей при оценке остатка асимптотики.

В последнем параграфе первой главы построена асимптотика решения редуцированной системы Максвелла-Блоха. Здесь не удалось ограничиться конечной гладкостью начальных данных (2), и теорема об асимптотике решения доказана в случае аналитических по С начальных условий.

Ео второй главе рассматривается задача Гурса для возмущенного уравнения sine-Gordon.

<3tq+ain(u)=e l(u), ' (7)

8

где и(х,1;)=-27[ш-/ Оу -00

и 11.=0=-4агс1£( ехр (-2хт)+Ь). (8)

Здесь е-малый положительный параметр, 1(и) - гладкая функция, Г(-2х)=Г (0)=0. Начальная функция соответствует

односолитонному решению (кинку) и зависит от двух параметров т] и Ь. Задача (7), (8) исследуется в полосе хеК, О^0(е~1).

Теорема 2. Форжиьное асилтошческое решение задачи (7),

(8), равномернее по хеК при О^г^ОГе-1) илеет вид:

и(х,1;е)=и0(а)+8 ^ (х,г;8)+еги2(х,г;5)+... , (11)

Здесь и0(г) - солшонное решение невозлущекного уравнения,

переленная ъ имеет, вгл3: г=-2(х+9(1;,а) )1ч(1;е,е)-1-Ъ(1;8,в), где t

0(Че,е)=-]"<1з/(4т)2). Паралетры солитона лодулированны по 1в: о

+ е^гге;-)-... , (12)

Ь(Че,е;=Ь0С1;е;+е ^(Че^... . (13)

Функция и1 (х^.е) определена однозначна.

В первом параграфе приводятся известные сведения из метода обратной задачи рассеяния о решении уранения з1пе-6огйоп. Они используются в дальнейшем на протяжении в^ей главы. Центральной в этом параграфе является теорема 1'.1 о решении линеаризованного уравнения з1пе-Согаоп методом Фурье.

В §2 вводятся нвпдраты функций Поста задачи рассеяния для уравнения Дирака с модулированными по et параметрами. Доказана теорема о формальном асимптотическом решении линеаризованного на кинкэ с модулированными по et параметрами.

В §3 построено решение задачи Гурса для первой поправки

u1(xIt;e)=v(z)+w(x,t;e)+0(e), xeR, 0c«0(e-1). Здесь y(z) - решение неоднородного уравнения - гладкая, быстро убывающая по z функция: v?{x,t;s) - асимптотическое решение однородного уравнения, с условиями: w| t_0=v(-2r)x+b).

Оно имеет вид:

.+«> Л

w(x,t;e)= i i -w(C.t;e)!D+(x.i,C;e), aa(i)

где a(C,T|)=(C-lTj)/(r+lrj),

Необходимым условием для этого являются уравнения модуляции для Т)0 И Ь01 .

В §4 исследована задача Ноши для второй поправки и получены .

необходимые условие ограниченности Ug на дискретной части

?

спектра оператора Дирака .

В §5 Получено уравнение модуляции образа Фурье первой поправки на непрерывной части спектра.

А

Образ w(C,t;e) слабо зависит от t, то есть так, что

А А

atv?=0(s). Слабая зависимость w от t определяется из задачи Кош.

etw(C.t;e)=er)' + exp(-itw(C.te;s))*

С +rf (t;e) 0

1Аналогичные уравнения для возмущений других интегрируемых уравнений : Карпман В.И.,Маслов Е.М.//ЖЭТФ,1977,т.З(2),с.Б37; McLaughlin J.W.,Scott A.S.//Phys.rev.A,1978,18(4),p.16'52.

2Аналогичная задача для возмущенний КдВ, мКдВ, КУШ:. Маслов Е.М.// ТМФ,1980,42,0.362.

«/ - exp(ltto(\,ts;s)).

-oo зЬ(2тс(С-Л)/т])

Здесь

u(C,ts;e)=2(-C —^- ). •B(C,X.Tj)—ati(Ct7j)flTia "(Л..Т]).

Начальное условие для образа w определяется из условия:

w|t=0=v(-2T)x+b). (15)

Решение задачи Коши (14),(15) определяет функцию u1(x,t,e)

в (11). Ранее в подобных задачах модуляция образов Фурье на непрерывном спектре (при CéR) не рассматривалась.

В §6 в предположении, что образ w(C,t;e) удовлетворяет условию Гельдера степени 0<а$1 и интегрируем в Ь," с в§сом

А

(1 + ICI), при CíD?, доказано, что уравнение для w(C,t;e) является

необходимым условием для равномерности по хеК при 0<t<0(s~1) разлонения (11).

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах: 1. Киселев О.М. Асимптотика решения задачи Коши для возмущенного уравнения Клейна-Фока-Гордона.//Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1987, т.165, с.115-121. 2 . Киселев О.М. Асимптотика решения задачи Коши для редуцированной системы Максвелла-Блоха. /Асимптотические метода решения задач математической физики. . БНЦ УрО AIÍ СССР, Уфа, 1889, с.70-31. Í5. Киселев О.М. Формальная асимптотика солитогаюго решети

возмущенного уравнения синус-Гордоя./Асимптотические решения задач математической физики. БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1990, с.50-52.

4. Киселев О.М. ■ Об асимптотике повторных интегралов типа Фурье./Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений. Уфа, ИМ с ВЦ УрО РАН, 1992, с. 61-73.

5. Киселев О.М. Асимптотика кинка возмущенного уравнения

з1пе-Согйоп.//ТМФ, 1992, ..93,,41,с.39-48.