Приближенно-автомодельные и асимптотические методы изучения задачи Коши и краевых задач для квазилинейных параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ —РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН^______

Р Г С лТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ° УД у н и й Р рг. ИТРТ

9 а а

• ' > V Ц 11

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АРИПОВ Мерсаид

приближенно-автомодельные И

Асимптотические метг * изучения задачи кош и и краевых задач дх- квазилинейных

параболических ур ¡немий 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент — 1994

Работа выполнена в Ташкентском Государственном Университете.

Научный консультант — академик АН РУз, доктор физико-

математических наук, профессор Т. Д. ДЖУРАЕВ.

Официальные оппоненты — член-корреспондент АН РУз,

доктор физико-математических наук, профессор Ш. А. АЛИМОВ.

доктор физико-математических наук, профессор 10. А. ДУБИНСКИИ.

доктор физико-математических наук, профессор Н. МУХИДИНОВ.

Ведущая организация — Московский государственный университет, факультет вычислительной математики и кибернетики.

Защита состоится « $ г- 13

часов на заседании Специализированного Совета Д.067.02.21 в Ташкентском государственном университете по адресу: 700095 г. Ташкент, ВУЗгородок, ТашГУ, механико-математический факультет, а уд. 205-А.

С диссертацией .можно ознакомиться в научной библиотеке Ташкентского государственного университета.

Автореферат разослан {&> ^94 г.

Ученый секретарь ^ ^

Специализированного Совета, , - ц

док. физ.-мат. наук, доцент ¡Л/С. Р. УМ А РОВ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ. Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена исследованию задачи Коии и краевых задач для нелинейных уравнении, возникающих в приложениях. Но лине иные * задачи всегда привлекали внимание исследователей. Это объясняется тем, что они более точно описывают реальную картину физического процесса. С другой стороны, решение нелинейных задач всегда сопровождено со значительными математическими трудностями из-за • отсутствия стандартных подходов к их исследованию. Как доказано в работах A.A. Самарского, С.П. Курдюмова, А.П. Михайлова, В.А. Галактионова, Г.И. Баренблатта, АС. Калашникова и многих других ученых, одним из эффективных методов исследования квазилинейных уравнений параболического типа •является автомодельный и приближенно автомодельный подход и аппарат сравнения решений. Исследование различных свойств автомодельных уравнений, более простых по сравнению с многомерными уравнениями в частных производных, является относительно легкой-задачеи и поэтому уравнения такого рода поддаются более детальному анализу. Благодаря теоремам сравнения решений и другим аппаратам, разработанным в последние годы., автомодельные решения из разряда частных превращаются ö разряд решений уравнений с достаточно широким классом данных.

Основу математических моделей, исследованных в последние годы нелинейных процессов теплопроводности, диффузии. Фильтрации как в однородных, так и в неоднородных средах, составляют квазилинейные вырождающиеся уравнения вида

- = v[p<t,K> |V*Jb|n 1 Vukl +■ « r(t,H) t>0, xeRN a>

с начальным условием

u't=o= uo(x> ~ *6rN <2>

и краевые задачи для <1>. Здесь v<.)-erad со. k.n параметры, характеризующие нелинейность, а PCti к) г о -неоднородность среды и член * г<«) *Р соотвествует наличию источника <«=»+1>. поглощения («■»-!) с мощностью равной r<t,x> u^. Исследованию различных своисть задачи Киши и краевых задач для уравнения <»> посвящено значительное

количество работ. Суиественные результаты по исследованию различии): аспектов задачи Коши <1 >» <2) и краевых задач в случае p<t,x)=i, j-(t,*)=i, n»i или k^l были получены в работах A.A. Самарского, С.П. Курдюмова, В.А. Галактионопа, Л.П. Михайлова, Г.Г. Еленина, С.И. Посашкова« A.C. Калашникова» Л.К. ¡Мартинсона, М-С. Граника, С.И. Голапдо, К.Б. Павлова» ПН. Барекблатта, Ж.Л. Лионса, С.И. Похоясаева и др. Задача Коши и краевые, задачи для о<!ших квазилинейных вырождающихся уравнения параболического типа в многомерном случав изучались в работах Олеяник O.A., Дубинского D.A., Кружкова С.Н.»_ Вольпэрта А.И., Худязва СИ., Кершнара Р.0.1 Фридмана А/ Ладыженской O.A. Уральцевоя H.H., Солонникова В-И. и др.

Благодаря работам вышеупомянутых и других авторов путем построения частных, автомодельных решения выявлены необычайно интересные и новые свойства математических моделей, описываемых как частными случаями il>, так и их обобщениями: конечная скорость распространения возмущения Oi-Б. Зельдович,

A.C. Компанэеи, ПИ. Баренблатт, H.H. Вишик, E.R. Pattie, O.A. Олеяник A.C. Калашников, Чжоп-юя-линь, ЛХ Мартинсон>, локализация ограниченных и неограниченных решения, OIK. Мартинсон, К.Б. Павлов, A.A. Самарский, U.M. Соболь, ВА. Галактионов, С.П. Курдюмов, А.П. Михаилов, С.К. Антонцов) остывание температуры за конечное время, (A.C. Калашников,

B.А. Галактионов, СП. Курдюмов, А.П. Михаилов, A.A. Самарский и другио).

До настоящего времени нет законченной теории математических Моделей, описываемых уравнениями вида Ц) даже для . случая («*0| к«1!), хотя, в последние гоЛы, в этом направ» ленип достигнуты значительные результаты <см. обзор A.C. Калашникова УМН, 1987, N 2, кни у В.А. Галактионов, СП. Курдюмов, А.П.' Михайлов, A.A. Самарский Тежимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнения" - М.: Наука. - 1987>.

С другой стороны, выяснилось, что различные автомодельные и приближенные автомодельные решения -частного случая уравнения С1> тесно связаны с исследованием решений уравнения вида

у" ♦ а g(x> у"3/1 =• О, с=±1 <3>

в разработке асимптотической теории которого значительная вклад внесли Кигурадзэ H.T.i Костин A.B., Клоков DA-, Михаилов А П., Адьютов U.M., Евтухов С.С., Чантурия Т.А. и другие ученые.

Важной задачей является зыяснение глобальной разрешимости и неразрешимости в целом задачи Коши и краевых задач для квазилинейных уравнения, вопроси регулярности, асимптотики- решения и Фронтов при больших значениях времени. Этим и другим вопросам, касающихся свойств обойденных решения квазилинейных уравнения, посвящено большое количество работ (Самарский A.A., Галактионов D.A.,. Курдюмов С.П; Лионе К.Л.,

. Керпжер Р., Калашников A.C., Нартинсон Л.К. и др.>

С шчислитедьноп точ1си зрения язляетсл Еагшым получить оценку решенич и Фронтов, из зная точного решения исходноЯ задачи.

Диссертационная работа выполнена согласно плана НИР Ташкентского государственного университета "Разработка вычислите льних алгоритмов и асимптотических методов решения прикладных задач и их реализация на ВВП", государственная регистрация н 01070005124; плана ГКНТ республики Узбекистан, задание .2.1.1 ".Математическое моделирование, алгоритмизация и вычислительный эксперимент". '

Цель работи.1. Обоснование 'вариантов метода эталонных уравнения для установления асимптотики решения обыкновенных дифференциальных уравнения второго . порядка типа Эмдена-Фаулера, тесно связанных с квазилинейными параболическими уравнениями.

■ 2. Выявление новых эффектов, связанных с нелинейным • параболическим уравнением, описывавшим процессе в движущихся И неподвижных средах.

3. Установление асимптотики автомодельных решения уравнения <i> вблизи Фронтов.

4. Обоснование алгоритма нелинейного расщепления для квазилинейных уравнения параболического типа и на его основе доказать глобальную разрешимость и неразрешимость г адачи Коши

5. Выявление критических случаев для различных значения

I 7 6 - -

параметров, входящих в уравнение <i>.

6. Оценка обобщенных решения эалачи Коши сверху и снизу ч получение оценки для Фронтов в зависимости от значений параметров среды и размерности пространства.

7. Распространение метода эталонных уравнения для уравнения в частных производных и получения оценки решения задачи Ко'"и.

8. Выявление границы смачивания фронтов в задаче влагопереноса.

9. Численная реализация, задачи не лине л ноя теплопроводности с условием излучения. '/-----'—

10. Решение нелинейной системы уравнения, вознйкаюаеп при исследовании нелинеяноя задачи теплопроводности.

11. Обоснование приближенного автомодельного подхода и на его основе решения краевых задач для квазилинейного уравнения параболического типа.

Обмие методы исследования. В работе используются: методы ' сравнения рвионии, оснозаннио на автомодельном и приближенно автокоде льном подходах, качественной теории дифференциальных ураьнения; методы эталонных уравнения, основанные на различных преобразованиях, асимптотически? методы, раззитыо в работах М.Т. Кигурадзз, A.B. Костина," ВЫ. Евтухова и др.

Научная новизна работы. Для нелинейного обыкновенного уравнения типа Эмдена-Оаулэра второго и третьего порядка разработана асимптСичеекая теория, оснооаш.дя. на методе эталонных уравнения, ранее известная. лишь для линеяных уравнении. Получены необходимые и достаточные условия, существования ВКБ-репэнип. Предложен алгоритм нелинейного расцепления, с помощью которого установлена автомоде льность для вырождакщегося. квазилинейного уравнения параболического, гиперболинвекогй типов, а также для полулинейного уравнения эллиптического типа < ли ■ и'5 ). На основе этого алгоритма предложен способ построения верхних и нижних решения, фронтов для квазилинейных уравнений параболического типа, описивашия процесс« нелинэяноп теплопроводности, диффузии, фильтрации при наличии источника или стока. Этот же алгоритм применен для построения верхних и нижних решения задачи Коши в самом сложном-критическом случае. На его основе

установлена асимптотика автомодельных решения вблизи Фронта. Предложен приближенно автомодельнип подход, на основе которого получена опенка решения и Фронтов, установлена глобальная разрешимость задачи Коии, из которой, в частности, вытекают известные результаты других г:;торов.

Найдены новые точнио решения уравнения <1>. Предложен способ "полулипеаризации" и на его основе ■построены верхние и нижние решения задачи Коти-

Разработан и обоснован петод эталонных уравнения для вырождающегося квазилинейного уравнения параболического типа, в том числе для уравнения с младшими нелинейными членами. Напдено преобразование пространственноп переменной, которое дает возможность исследовать, свойства автомодельных радиалыга-симкетричных решения. Предложено сведение радиально-снмматричных уравнения к плоскому случаю, что позволяет значительно расаирить круг решаемых краевых задач и перенести многие известные результаты на решения более сложных уравнения. Установлено возникновение фронта смачивания в нелинейных задачах влагопереноса. Определены размеры области смачивания и получена асимптотика автомодельных решения уравнения влагопереноса. Численно решена и установлено существование . фронтов для одной нелинейной задачи теплопроводности с излучением, возникшей в приложениях, в котором теплоемкость и коэффициент теплопроводности определяются из решения некоторой нелинейной системы уравнения специального вида. Предложен способ обращения матрицы Якоби для этой нелинейной системы, связанной с репением указанной задачи, теплопроводности, описываемой квазилинейным уравнением параболического типа.

■ Методом интегральных соотношении определены поведение ' Фронта, условия локализации решений и выход на стационарное решение.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ I. Рассмотренные и исследованные в работе нелинейные дифференциальные уравнения лежат в основе математических моделей нелинейных процессов теплопроводности, фильтрации газа и жидкостей, диффузии, биофизики, экологии и многих

других областей знания.

2. Выявленные в работе новые эффекты остывания температуры за конечное время, 'существование заднего Фронта, локализация решения и др. дакгг возможность проследить за эволюцией процессов, распространения тепла, фильтрации, диффузии, влажности и др. в различных нелинейных средах. •

3. Часть результатов исследования, приведенных в диссертации, использована в течении ряда лет при чтении спецкурсов, выполнении курсовых и дипломных работ в Тапкентскйм государственном университете, . легли в гснову_ эаиииенних кандидатских диссертация, руководимую диссертантом, оформлены в виде отчетов по НИР и переданы для внедрения..

4. Практическая ценность работы состоит также в развитии теоретических основ математического моделирования нелинейных процоссоэ, описываемых квазилинейными уравнениями параболического и эллиптического- типов и обыкновенными

, нелинейными дифференциальными уравнениями. Найденные в работе точные, приближенные, верхние и нижние рогзния могут бить, использованы как тестовые при численном моделировании сложных нелинейных процессов олагопереноса, Теплопроводности, диффузии, -теории адиабатического свархсжатия газа и др.

5. Разработан комплекс программ для решения прикладных задач.

Аппробацйя работ». Отдельные результаты докладывались на Всесоюзном семинаре по комплексам . программ математической физики (Новосибирск, г.), международных конференциях по дифференциальным уравнения» и их приложениям (Русе, Болгария, 1ЭД4 г.» 1*6-3 г.> , (Ь'раткслаза, Слсзахия, 1984 г.»; на аколз -с«минаре сся^а)аетичзсй^ стран "Вычисли——тельная аэрогидромвха»Цка* :<Еескза-',&ааркаяя, »«83 г.); на Всвсойэнон . съезда пб твррэтмчэсхоя и Гфиклгшад иеханике (Ташкент, 199& г.)! республиканская конференции ;; "йетодологические и прикладные еспак^ы аатойг-изирогзаккого проектирования" «Ташкент» 1вЭГ'Г.);Ка сеиииарз кройэссора Свешников^ А .Г. (Москва, 1ЗД4 г>К екаязкика РАН Н-С.Баксалова «Москва, 1*04 г.>; на международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных, наук" (Москва, 1591 г.); на* всесоюзной

фундаментальных наук" <Москва, J99I г.); на всесоюзноп конференции "Актуальные вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1389 г.); республиканской конференции по-современным проблемам алгоритмизации <Тапкент, Г991 г.); на семинаре по на лине пни м задачам Уханског~ университета СКНР, 1990 г.); в университете г. Нилуоки, ктата Висконсин (США,

1992 г.); на научных семинарах университетов Дрездена, Берлина, Лейпцига <1976 г.); на семинаре академиков АН РУз Салахитдииова U.C., Джураева ТД., <Тапкент, 19Е5 г.); на ежегодных конференциях профессорско-преподавательских составов ТасГУ <1976-1033 гг.).

Диссертационная работа целиком обсуадена на кафедре "ЗБМ и программирования" <1993 г.>; на научных семинарах .член-корреспондента АН РУз Алимова O.A. <ТапГУ, 1993>, академиков АН РУз Салаштдиисва M-С., Джураева Tft '(ИМ . АН РУз,

1993 г.), академика АН РУз Кабулсва O.K. (НПО "Кибернетика", 1993 г.); на совместном расширенном заседании кафедр "Вычислительная • математика", "Математическое моделирование", "Теория управления" <1994 г.>.'■

Публикации Основные результаты' диссертации опубликованы в монографии CU и и работая [2-24].

Структура и обазм работы .Диссертационная работа состоит' из введения и четырех глав, списка использованной литературы. Объем работы поставляет 249 страниц мапинописного текста. Список литературы включает 160 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даны краткий обзор исследования, относящихся . к гема диссертации, краткое изложение результатов диссертации.

Приведем сначала некоторые известные определения и 5акты.

Говорят, что в задаче <!>' и <2> скорость

)аспространения возмущения конечна, если vt е со, . т]

•уиествует шар s< р<t) ) i {vrg^-^fffKHJ конечного радиуса 1 ><t>, такоя, что область возмуаения '

»upp u<t, к) с s (pui) vt е со,тз.

где u > о, вкладывается в этот вар- Поверхность |х |-p<t), отделяющая нагретую часть пространства от холодной, называется фронтом.

Говорят, что в задаче <1>, С2> решение u(t, х) пространственно локализовано, если суиестаует шар SO) = <xeRN. |х I s 1 < +оо>, такой, что u<t,x) а о вне этого шара при vt^o.

Явление конечной скорости распространения температурных возмущении <КСРТО> впервно било-обнаружено Зельдовичем Я.Б. и Компанепуэ» Л.С. в Ш (ш-о, о, п=1), а локализация ограниченных реаэнил - Мартинсоном J1.K. и Павловым К.Б. (т=о, ,п=1<— N»l, r<t, :f>=const, ПричиноП локализации решений в .этом'"

случае, является на личио\ стока. Самарский A.A. и Соболь U.M. гля нелинейного уравнения» теплопрооодности обнаружили эффект нераспространения топла, означавший, что температура за конечное время становится неограниченной, проникая лишь на ограниченную область. Калашников A.C. установил явление Полного сотыаания за коночное сроки, причиной -которого является наличие члена в урашюшш С iописывающего действие сильного стока <0 < П < о. Галактиог.оз D.A., Самарский A.A., Курдюмов С.Л., !'иха!июо Л.П. показали, что это явленна возникает даже при отсутствии стока при рассмотрении уравнения "быстрой диЗДУзии" <m=o, n=i, о < к < о, а такзео установили иовьа свойства реиопип ксазилинойних параболически;: задач - наличие гййокта локализации и -его проявления. Калашников A.C. и Коронер Р. установили для ■ одномерных знроягдавлИял уравнения с ыладкики "членами наличие заднего ( x$<t-> < Д ). фронта x.<t).

Введем обозначения:. . ,

й -««;, и)« о ■< i < т j хсЯи>, .a»<<t. x>« t>o я xeRN>

D=i(t, x>« t>0 x |x|<P<* >, p(t) G C(R >,

i + .

(a)+ •» max CO,,a)

Первая Глава поевлиона исследованию. математических моделей, описываемых квазилинейными уравнениями параболического типа. Приводятся некоторые эффекты, связанные с нелинейностью; найдены точные обобщенные решения, : обобщающие известные по сих пор результаты; дан способ построения автомодельных и прибликенно-автомодольных реиюнуй.

которип является одним из основных методов исследования квазилинейных уравнения и краевых задач для них.

D Я, изучая задачу Коли (i). <2> < r(t,x>¡x>, о< kn <1 > для уравнения "быстрой ди55узии" при p<t,iO-|* |га, m<n+i, путем построения автомодельного ранения с казано суцоствованио явления полного остывания тоипэратуры за конэчнсо время (предлояеииэ I)» при выполнении услоеип

П + 1

N(l-Jtn) > n+1-n > О, и0<*> 5 4*1 КП< {0>,

где lx> - некоторая постоянная, супостзуот такоэ т0>о, что u<t, К)Е0 В RH, при ЕС0.Ч t&T0- Этот <JaKT при П1-0, П-1 приведен АС. Калаиниксгим, D.A. Галакт^окоеым, СЛ. Курдкговнм, Л.П. "шаалоЕим, А.Л. Сзмзрстч. Яэлэниэ полного . оставания в задача ¡Сози U>, <2> о случго г Ct,x> » i, о < ft < í í«=»-i> сил спэрпиэ ебнзрупэн А.С.Кадзпникогим. Предложение I в указанием cuca случао соответствует рзпени», "для которого отсутсвуот непрерывная зависимость рзиекия от начальных данннн.

а»

Получено условие локализации рэиэния IP (tidt < *а>

о 1

задачи Коя и <1>, <2>, когда P(t,x)-P1<l) дако баз наличия поглощения.

D §2 получена нэкоторые точные растения ккогоиерных квазилинейных параболических уравнения, в том чнслэ уравнения Колмогорова, Петровского, Пискунова <КПП), которые могут служить тостами при численном ропонии краевых задач для этия уравнения, а таккэ позволяя? получить езркние и тиснив оценки решения для задачи Коши и нелинейные эффекты. Эти результаты является обобщениями решений Зельдозича-Компанепца, Барен-блатта, Petti«, Мартинсона и др. Наядзнные решения позволяют, благодаря теоремам сравнения реозння. существенно рас-нирить класс изучаемых краевых задач.

В 53 приводится один автомодельный и приближенно автомодельные подход, позволяюаия исследовать свойству обобщенных решения уравнения <i) ( г (t,*) »о >. Среди обобщенных решении (обобщенное решение понимается в смысле распределении). Наибольший интерес о точки эре Hi л физику процесса представляют неотрицательные, непрерывные в 0(а„)

рошония, обладавшие свойством непрерывности в ckq^) потока

|м|й|7,д1<|П-17иХ

Автомодельные и приближенно автомодельные решения уравнения <1) ишутся в виде

п+1 bt^l 4т '

u it,к) = f<Ol ? = - |х| n+1 / С т( t) з

л n+1-m . , , '

' kn-1

где T<o«Jmt>] dt, vct> > о - некоторая

дифференцируемая При tao функция. '

На основе теорем сравнения решения доказывается', что при выполнении условия 4

-Vn N

У <t>C*»<t>3 r(t) S --C4>

n+l-m

функция v<t) tQ<C>, ГДО

v° -

n

kn_, . _!_ П+1ЩИ-1

.2 -

k(n+t)

1 i _!_ Bill««"

t)1 n+1 J J+

постоянная,

является верхним решением в СХСЦ,). '•'

Этот результат в случае выполнения равненства в <4) ПпволЯвт найти решение уравнения <.1). Из найденного решения, в частности, йытекают известные результаты других авторов (<!>>»о, п»1 или k«i), а также точное vрешеьио задачи' о ■ мгновенном источнике для уравнения <1>. Этот результат позволяет, также ревать ряд задач и свести при (n+i)(N-i) краевые задачи и задачу Коаи аля Уравнения со' к ранее ' изученным, доказать' сходимость рэвений этих задач в • специальных норках к автомодельным.

В £4 установлено, что евтонодельность й приближенная автомоле льность для-квазилинейного уравнения параболического и гиперболического, типой ,

^ tf^ti ' « л 1

?[|*|m |*«k|n~ VvP ) + * r<t>u", 1-1.2 <3>

а также для полулинейного уравнения эллиптического типа

а

Ли ■ ли'*, «»±1

связана с расаеплениом этих уравнения на две части.

посвяиен интегрировании уравнения Ганильтона-Якоби

вида

— - КСиХУи)2 + ГСи)

оь

к ре в ению которого, как .доказано о рядо работ Самарского А.А., Курдвмова С.П., Михайлова А-П., Галактиснсза В.А. в специальных кормах, ка асинптотическсп стадии при * + « и т, где т - время обострения) сходится решение задачи Коши для уравнения вида

<?г

— - V (р<г)Уг> + С<г>

О главе 2 исследуется гсга;птоти:сз ранения уравнения типа Змлона-Оаулэра второго н третьего порядксп, тесно связанных с автоподэ дьншси решениями ксазилинэпжзго урагзнзния СО, списывающих различные Физические протсси автомодельных решения уравнения и реиэиип задгчи Томаса-Оерми. Разработана асимптотическая теория, основанная на метода эталонных уравнении. Лзтод эталонных уравнения впервые бил обоснован А-А.Дорояии-инким для получения асимптотики собственник Функция и собст-сонних значения задач Птурма-Луизилл для обыкновенного линейного уравнения втсрсго порядка. Однако .«етоди интегральных уравнения применяемые в линейном случае, непригодны в нзлинеппои случао. Поэтому здесь приходится применять новые методы, основанные на различных преобразованиях, с выделенном, буду пего главного члена асимптотики с последующим применением К преобразованному уравнению методов качественной теории дифференциальных уравнения. ■

В §1 приводятся способы построения ВКБ-решениЯ, играющие решающую роль при установлении главного члена асимптотики ре- ' шения.

Развитые в работе методы позволили <§2> для уравнения • вида <3> получить необходимые и достаточны^ условия существования ВКБ-решения, асимптотику решения и первых производных , В зависимости ОТ ВЫПОЛНеНИЯ УСЛОВИЯ т + п»<1,-т + г>«1(

дифференциальных свойств коэффициента О < д<х> е скся0, и сходимости или расходимости интеграла

х 2

п+З-я)

J д( , гр+Зхш

*о

Доказаны теоремы 2.3-2.9 об асимптотике решений при х-»ь <ь й +в), в главном члене которых присутствуют ВКБ-рошония.

Приведем одну из теорем для случая т+г,= 1. Введем обозначения

*>(н .и> = Пдпи>31/<г~в), »/<«>

р" <" о'>! >

0 х0 0

О е <-1,+1>, Г<к) - у/' (х)Ср' <к0,х)3~1 \п ~ Кх):~г

УМ - 1р' (хо,к)3"1/>2 ехрСГ?р(><0,х)] . Теорема 2.9 Пусть выполнены условия!

А> ш п <1,2>, о + п - 1, ш " п/и. пдо "> , т - целые числа,

1С 1С.

причем г,\ - почетное.

Б) к»2, Ит Ч>М - Ч'ч IV-1 < Ч>„ * П, V " к—»Ь 00 0

Тогда для суиоствования у уравнения <3) ВКБ - решений вида

. уОО - СдУ(и>(1+0С1>>| и Ь, где со=сог,«г > о, необходимо, и о ели ь

/ \ г <и)|д 1/<г-",.)<)0<1и < +(о, *0

ПУ0~ У(н)1ду(г~а)(н)<1н <

■ "о

"0 то достаточно, чтобы »<0 являлось Воиественным корнем алгебра-

ичвского уравнения

«С(* - *0>П-1 - (* * V0 .' При этом справедливо асимптотическое представление

V'<M> - eQ<r» - v0< f>'(K0?M> Y<k><1+0(1»>, m b

Окаываетсл , при m • о, « - -I и к» уравнение <з>

имеет неколеблющиеся реивния в виде ВКБ-рапений, что уточняет результат ФЛльвера о колеблщихся решениях.

В fis, используя ВКБ7решения. изучается асимптотика автомодельных решения уравнения <»> вблизи Фронта для случая e-o, п-1. Например, для одного из автомодельных ре пения

' асимптотика вблизи фронта ? ~ * 2 Vpjj имеет вид

JL.

u с», *» - [ а* - Кг J » , где « • И/<т+»>

|и|, , -ta » -/jjlj' et ♦ Т>1/2» что хорошо,согласуется о

физикой процесса. v

В Í4 получена асимптотика решения, задачи Томаса-«юрми

1/2 » 3/2

• к У "V '» у<0)»|, *(®)"0

'1 - * *

в виде у<*> - [ 1 + ■ ' — ■ ■ ■ ; н3/4 | 4 взамен известного s /в . ' '

( „0,776 >-Э.8в6

• :

fis посвящен исоледовани» различных' асимптотик решения уравнения Эмдена-баулера третьего порядка

у"' - в<и»у" - о

методом эталонных уравнений- При этом доказано! что асимптотика решения зависит от оходимости или расходимости интеграла '

* п + 2

К*) ■» / д<н> «К;

При этом асимптотика изучается для различных значений 1 и X, определяемый из соотношения

где

1Лп ЛСО » 1, 1.1 в дct) = 1

п+3 « 1

А«<х)> с - 1 - -- о п+2<х) Г в л+г {г)йг

п+2

_ Е±а г * _!_ ■<

В п+г<«> д'<к> 1 + с с<г)п+2(!г ¡с.

Л<1;<)0) = -1 -ь - в 1,тс<к> д'<к> ¡1 + с

с{п+2)

Эти результаты сборкулировани в виде теорем 2.II - 2.25, при доказательство которых используются различные ^методы матоматичоского анализа, качзстсонноя теории дифференциальных кравненин, мотода I-диагснализации и т.п.

В последнем 56, исслодуется ас- мптотика особых решений

* о «

уравнения у + « у"» о, при е и , о < п * 1 в виде ВКБ-рвиений.

Ранее частный случай < «КЮ-х" > . был рассмотрен в

работе Р.цьяв, о такжо Стояковой ГЛ. с использованием в качестве главного члена ВКВ-рвиение в форме Харди. Общий

случай ислвдован в кандидатской диссертации Какмова Т, 'и

"* п

для уравнения У' + иСЮу"- о рассмотрен в работе Джураева Т. Д., Кашова Т.

Глава 3 посвящена исследованию квазилиненйых вырождавшихся уравнения параболического типа вида ■ <1 > с использованием метода эталонных уравнений и алгоритма расцепления.

В }1, для полулинейного уравненйя <г>»к-1), затем, в }2 для случая и"0, г<Ь) - г - сопшъ, метод эталонных уравнений

1

распространяется и на внроядапкикся кпазилинойнно уравнения с переменными коэффициентами (§з>. Предлагается три возможных варианта. В §4 исследуются свойства решений для квазилинейных уравнений параболического типа с младпиМи членами, степенным образом зависяцими от решения. В §з алгоритмом расщепленйя исследуется задача Кепи О), С2>. Получены услория глобальней рарешимости, оценка, асимптотика решений и Фронтов в зависимости от параметров о, П| 1:1 р, гШ-

В ¿6 рассматривается самый сложный - критический-случай.

В последующи:; ¿§7, о выясняэтся свойства решений квазилинейного уравнения, описывагаого. процесс распространения топ^а, дв:ггупегося с пзреггокнеп по времени . скорость».

\ В последнем - устанавливается, что верхние и иигнио роления задачи Коии, построэннно алгоритмом растепления, пепно получить с ломоеьчэ лннеаргзаши вокруг росения уравнения ■

4,5 - а

— -га) и '

¿ь

и вокруг решения уравнения du

— = -Г<! dt

Ln ^T+rift-i) J y(t) dtj + i |u

ft

в критическом случае.

Близким вопросам при ?-Ct)=r « Con3t, в частных случаях <ш=о, nck=i; г.-о, ¡<=1 или л=»1), для одномерного уравнения' <1>. в тех ire частных случаях посвяшено больное количество работ <®м.«выиеприведенную литературу).

Изучая в §1 задачу Кошй <1>, <2> для полулинейного

уравнения CD <k=n=i> и его обобщения Си^ заменяется на FCu) > получено следующее условие глобальной разрешимости. Су.г.р.) С*«-1>

r<t) <t + Д> N ---& -, га<2,

THfi-DS r(t)dt 2~m

О

постоянные а>0 и т>о подбираются соответствующим образом.

1

Г г "f

u<t> - Ыг(.Р~\)$ rlt) dtl 0

В этом случав для решения задачи <1>, (2> в области о

•

имеем оценку,u<t( «> ^ в й <t> е 4 , постоянная .в>о,

2 (2-т)/2 1/2

? ? - |х| /(t+A)

2-т

2 (2-т)

- 5—Iх I /А

2-т' 1

1/2

2-т'"1 '" wcC.N

и0(х) £ ВиСО)е £ ш , хе^

Для случая с=+1 константа в должна удовлетворять дополнительному условию, например при г<*)-г это1 условие выглядит так

<в+1) С2-Ш) N</5-1 >

р > 1 +.—;-, в <--- г

N (2-т)(а+1)

Для (. 1учая >-<0 " ст>в указанным алгоритмом получено автомодельное уравнение, обобщающий' подробно изученный в работе Галактионова В-А-, Курдюмова С-П., Михайлова А.П., Самарского А.А. при т = « = о <п=1 или к=1>. Примененная в указанной работе методика позволяет исследовать свойства этого автомодельного уравнения.

В §2 при ш=о, алгоритмом расщепления строят-

ся верхнее й нижние решения, используя которое исследуется, у.г.р. задачи О). (2> из которого вытекает оценка для Фронта сверху и снизу. В данном случае у.г.р. имеет вид

п+1 '

р > кп -

. .' ' N

В случае источника («=+1> на верхнюю' функцию, как и в случае полулинейного уравнения, налагается дополнительное ограничение. Приведем эти результаты.

Для начала определим в о функцию и+ , построенную алгоритмом растепления.

О

1

- - г -Г

u+<t,*> = u<t)fö<?>, U<t), = I т + у (fJ-1> t J , Т>0

♦ 0<О - <С1 - Ъ\< I » , г. =. |и|/т1/<"+1>,

(Р-пЬ>

(т^с^т)«7^ 1/я

т<ъ> = -где С >0,

■ к> - 1 к П+1Л п+и.

Теорема 3.6. Пусть в СО «=+1, ио<х)<и+<о,и),

ы Г/?-кп 1Спк-1)/(п<^-1))

хек", о<с1< I N-1] . Тогда существует гло-

бальное решение задачи СО» 42), для которого в о справедлива оценка и<^х)Зи С»,к>.

Теорема 3.7. Пусть в С1> « = -1, Р > кп +ст?+1>/м и

и0<х><ил<о,й>, Тогда в о существует глобальное решение

задачи <П( <2), для которого в о справедлива оценка и'а.к) 5 и <к,х).

Из теоремы 3.6 для Фронта |х с 1;> | имеем оценку

ч?

£ П/(Т1 + 1) О .

где

Ь = jL(nk-lXrr+l>~<n+1)/n.

Такая оценка для случая m=o, n=i, n=i была получена

Р.Кершнером. Теорема з.ь для случая m=o, n=i .доказана Галак-. тионовым В. А., Курдюковыи С. П., Самарским A.A., а. в случае m=0, k=l - Галактионозым В.А~

Из выражения для фронта хфСО видно, что при n=k»i Хф<0 -*•■ что хоропо согласуется с физикой процесса.

ri+l

Доказано, что в случав kn < р < kn + - . функция

N '

u+<t,x> является нижним репением. В.этом случае асимптотика Фронта имеет вид

IX,< L>!

г -,Xl/(ï>+1)

S

1т(031/(п+1),

Такой результат при n=N=l бил получен Bertch I., Kersrier R., Peletier L.

В случае же О = kn для Фронта |Kç<t)| получена оценка

Г k<n+l> 1

|х | „ С -

. ■ ф L 1 nk-l ■ .

n/<n+1'"<n+l> -3- Lnn+1<T+i'C^-l)t)

Эта оценка при ^=N=1 впервые получена в. V. Кпегг, а затем другое доказательство дал Р. кегзпег.

" . В §3 мзтод эталонных уравнений применяется для получения • оценок решения и Фронтов задачи О) , <2>, где ри,х> = р(х>, }'(1 , х)=.о, п=1. Предложены три варианта 4 сведения исходного

^ ' ¿>ги агии

уравнения к виду эталонного —х- = —- , где р<х> - некоторая

определенная функция» зависящая от коэффициента рОО. Неизвестные функции находятся из' решения системы нелинейных уравнений Гамильтон-}-Якоби специального вида. Причем один из вариантов годится и для'случая п>1.

Так, в случае р<х)=|х|га исходное решение сводится к эталонному

аи , ■. " ' 2 Цг-

— -*»1_вэ| < — >• -IхI ^

,дЪ ^ Ор 2-т

£ = 214/ (2-т) "

Представление исходного уравнения в таком виде позволяет достаточно подробна мсслздовать сзояотва решений путем гостроения точных автомодельных решения, доказать сходимость в специальных нормах к решению чвтомодельны.-: решений, опираясь На известные результаты ' (Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А- А. и др->-

В §4 получено условие локализации решения для задачи Ко-

ШИ В О '"'■'■.

<?u ■ ■

.. — = Д i/' + pOOu - g(x)u' 1 ■ ' СЬ) öt

u't=o = Vx> ~ xeRH- (7)

где pС> >0, gCx>, обладающие определенной, гладкостью в RH, Функции, fj>i, у, р - заданные положительные числа. Получены верхние и никние оценки решения задачи W, <7>.

§5 посвящен исследовании в-^С-задачи <1>, <2>, где

РСс.Ю = jx|ra, а начальная''Функция'удовлетворяет некоторым условиям. •

Применяя алгоритм расщепления и'вариант метода эталонных уравнения, строится верхнее (нижнее) решение. На их основе получено у.г.р. задачи <1),. С2), оценка Фронта сверху, снизу , асимптотики в левея окрестности фронта и при К а также асимптотика стационарного <rct)=i) уравнения при |х j -*■ Предложении« алгоритм расяопленил позволяет определить критическое значение параметров: прЙ котором репение задачи <1>, С?) становится, неограниченным <«=»+1); имеет отличную от обычного случая асимптотику <«=-1>. Такими значениями в полулинейном <m=o, t,=k=i> случае <y<t,x>3i>

является значение Р ° 1 +• —-(Фуките), в, квазилинейном -

ß » к + -§-{т=0, . п=1>, о = п + В±1<га'=0, к=1) " (Галактионов

л N

В.А., Самарския A.A., Курдюмов С.П., Посаиков А .П.). Доказано, чтФ у.г.р. <1> является

/5-кп * ' ;

r<i)T<utü <t)3 s '-i-, ! , • . <8> n+l

где uCt> = (т + <f?-i>J>a>dlJ • 1^0,

Un-1 n+l

TCt> = JtGCO] . dt, s = —— N, если « - -l

n+l-m

и выполняется строгое неравенство (8>, если «a+i и условие

nk-1 N г ft-bn

— [

f-l-m L

-1

С < - I Г et) r<t) u I - l

1 n+l

Пределы интегрирования выбираются соответствующим образом. В частности, е^ли " rW » Ct+l)™, а > -i условие (8> превращается во

(n+1-m л

кп - 1 + -

N J

из которого вытекают вышеупомянутые результаты, при частных значениях параметров <m=o, <*=о, k=i или n=i, k=n=i>,

критическим значением является значение ft

В §(> "рассмотрен -критический случая. Как уже отмечалось, критическими.являются значения Р. к, n, N, y<t>, t<t>, iTct> пги которых достигается равенство

If-tm -М

y<fc>rCt> lu<t>3 -- , t > О

D+l-ffl

В полулинейной случав доказано, что при } у(т><1т -*■+<»

о

И t —»• о»

* : u<t,K) М £ a<t> Ln ett>j e 4

t' 1/2 где »<t> - T + <f3-i)ir<t)dt, ' ? = *>(x)/ <t+A> , tl, A>0 -

• О

2

2-е

прстоянные, (к) » --|и| 2 , а в квазилинейном

2-ш -

случае, при гШ. « <т + t>a, а > -j имеет место Теорема 3.28, Пусть и_Чо,х> £ ^д**5 5 и+<°» .*>»

ufl(0> > О, aiaf supp ü0£x> < +», l*riv"oln l7uO € CCRN-

Тогда в а справедлива оценка

U_(t,H> s uct,x> s u+<t, X)

где u <t.x> • St> f„<«>

и J.* .

, 1_

e+1 ~ ¡rpi 1/<n+1)

u it> - C<T+t> Ln<T-»t)J . * , К » *><■*) Лт(t)3

1-(a+1)(l«n-1)/(iJ.-1) - <kn-1)/(tf -1)

т/t) = (T+t) [Lv, CT + t>]

■1

n+1

*><*) =--|k |

n +1 -m

n+1-ro n+1

■.I <t1>t) = «ии гс?/<1 + -—)л+1], ь > о - постоянная

+ ■ 0 и-КТ+О 1

л+1 п

где ^ <0 = (С^Ь |?| " , 0<С1<1,

пк-1 Р 1/п

Ь = - (-> •, Р = <п+1-т)/Сп+1-т + Скп-1> N3

к ( п +1) п+1

для нижнего, а для верхнего решения - С1>1»

пк-1 <1 1/п

ь = - < - > , где постоянная <*>о и Р><1

к (п+1) п+1

Аналогичные точные оценки для случая ш=а=о <п=1 или к=1> были получены Х-Васкесом, В.Галактионовим, С.Посапкозым.

Получена асимптотика автомодельного решения уравнения при ?-»•+»

d?

г „ « ? df 1 • п ?s_1 _ — + — — + — <f + с г'> « О,

L df d? J n+i

df J n+i df p-kn

n + 1

в виде f - A? ^ Где

ß-\m г f1<n+l> -, r k(n+l>

А = s---

L fi-kn J L /5-kn J

kns kns

При 1 < f? < - <£=-l), ft > •- (л=>+1>

5 - Cn+1> '-' S - <П+1>

■ n+i ' kns

s = -r H и О < P < - ' при о < kn <1

n+l-m N - <n+l>

Ранее эта асимптотика для случая k=l или г.=1 была

получена в работах Самарского A.A., Курдюмова С.П, Михайлова

А.П, Галактионова В.А.

Показано, что асимптотика справедлива и для стационарного,уравнения (1> <г<4,х)=1) при тех же значениях параметров Р, ь.:п. 5-

Методом эталонных уравнений и алгоритмом расщепления исследуется глобальная разрешимость задачи Коши

ср — = V (и" Дц^ + £Чор и (3, t>0, <9>

<М

с, qQ 1- положительные постоянные р(:<) = }:: \ а~'г, Получено у.г.р. .

2с

"ft > а + I +

о + 2(N-1)

и автомодельное представление,

„ ' ú г « „ dt л * df I „

— \ je Л + ---+ -(f + Л fp) и о, .

df 1 . df ■> 2 di Íí-O+I)

где 5 = г <1+ >, ЧТ9 позволяет достаточно подробно исследовать-другие сеойствэ решения задачи Коши для (9). ranee эта задача в другом аспекте изучалась в работе Куркиноя Е.С., Потапова Б.М., Курдюкова С.Л-, Самарского A.A..

В §7 предлагается способ линеаризации, с локоаыо которого можно построить тс ::;е верхние и нижние репения квазилинейных уравнения параболического типа, рассмотренные в §§ 1, 2, 5. В ряде работ Галактионова В.А., Курдюмова СЛ., Михайлова А-П., Самарского A.A. доказано, что асимптотика роиения задачи Коши при t —»- +со сходится к автомодельному ре-иэнию полулинейного уравнения параболического типа. Предложенный способ линеаризации позволяет выяснить природу происхождения такого "вырождения".

Рассмотрим задачу о мгновенном источнике du а2^ au

r<t)--b<t)u

et о а

u|t-- - Q ÓOO

где Q/O мощность точечного тепловоп источника, a <S<*) - дельта-функция Дирака,>Ct), bet) >о, непрерывные

при ,t>o функции,- изучаются в §s.

Эта задача описывает процесс распространения тепла в нелинейной, движущейся со скоростью *•<(=>, среде, при наличии поглощения с мощностью Mt>u.

Путем построения явного решения, установлен новый эффект - наличие или отсутствие заднего Фронта.

Выяснено, что при выполнении равенства

1

t 17

u+i t

J y<t) dt

/ ехр £-Ск-1> / ЬСТ7>С|^ ¿г?

" О

имеет место явление нераспространения Фронта левее точки х=о.

Глава IV посвящена исследованию первой и третьей краевых Задач для квазилинейных параболических уравнений, описывающих процессы влагопэреноса в почвогрунтах, нелинейной теплопроводности при наличии поглощений, зависящих степенным образом от Градиента температуры и температуры. Методом интегральных соотношений найдены приближенные решения задачи для различных значений, параметров, входящих в уравнение. Построены асимптотики решений в левой окрестности Фронта. Рассмотрена одна задача для квазилинейного параболического уравнения с условием излучения на границе, Такой , процесс моделируется путем проведения вычислительного эксперимента. Изучена система алгебраических уравнений специального вида, возникающая при решении указанной задачи.

В §1 изучается следующая краевая задача

9ц а г ли л

— - — |D(u> — + > et âx t àv. J

a f au л a кси)

|+ \ --- , (10)

¿X .

иСк,0>-и0<х>, ' <И>

1 2

где Ки) = Б0ехр<о( и), К(и> » «0»хр</? и>,- 00>0, ко>о, \-±1. Этим уравнением- описывается процесс влагопереноса в модели В. Гарднера:

Пусть ^ а

Доказано, что при о < м I <х=-1) скорость Фронта увлажнения, просачивающейся вниз влаги, конечна и фронт

увлажнения может распространиться сколь угодно далеко.

Построены новые приближенные решения задачи <•?), <к>> в зависимости от значений f. Если ^ «= i решение задачи <ю), (11) при i —*■ при Финитной начальной функции выходит на стационарное решение.

При я>1 или £<н< 1 Доказана теорема 4.1, об асимптотике автомодельного решения уравнения <Ю) следующего вида

,U(x, t) - PCt)/<f), f = « / v<t),

1/<1-г^)

1-p

v(t> = V <t).

»><t> - ta + <1 - 2/J>t: kotof.je имеет одно из представлений f(0 . i либо

1-м

f „ |1 + Y - К , Г>О

при ? ?0, ?а е <о, +■ со>.

Получены и другие асимптотические Формулы, а также. доказанк теорема 4.2 о существовании решения автомодельной задачи, теорема 4.3 - об асимптотике в окрестностях Фронта. В §2 численно исследуется следующая задача

ди 1¿(2 íu 1

cct, г, и) — >= — Ir R <t, г, u> — <

tft гг ду [ är J

12)

в области ß - -c<t,r)i tq s t s t , <jq < r s qi> с граничными условиями третьего рода

2 ви

Г R et,г,и) — ír

2 ' ai

- г R <t,r,u) — ir

r=q

r=q.

= Vt>, т0< t S Tl ,

P2<t>uP, XQ¿ t s: T1 ,

(13)

и начальным условиям

и'а0, г) = и0<г>, <?0< <хл <Ы>

о < г) - непрерывная Функция, козФфиценты теплоемкости г; и теплоемкости с иноют вид

где :<1= «1<и) - функции, определяемые из решения системы трансцендентных уравнений

Г (х, и) 4= 0, Г = ,1- , ...>

Требуется найти и<<:,х> - решение задачи <12)-<14) и -

функции скорости -, где г <<о корень уравнения

&ги(Ь,г>

Сгс

о.. Эта задача решается только численно. Вычисли-г \

тельный эксперимент для конкретных с, I» показал, что для ро-

иония рассматриваемся задачи эффективными лвляйтся консервативные трох^очэчние неявные разностные схемы с оперэхениаи, построенные йнгегро-лнторполяционным ' Методом

В §з дается один способ решения нолинейноГ) системы специального вида, бэз обращения матрицы Яко'би, возникающей г связи с решением задачи С12>-С14>, Доказаны теоремы 4.5,' 4.6, в которых получены ясные Формулы для элементов Матрицы, обратной соответстоукцоп матрице Якоби. При этом, исходная тре/диагональная матрица «е предполагается симметричной.

посвящен исследований первой краевой задачи'; 'для К0азилин"йного уравнения -

•Ли, оа"

at . ч?х2

2 ■■

-г

Ол

* 0

и , х>0» -t>0

U<x,0> » О,

u<0,t) «= = const. Методом интегральных соотношений рассматриваются случаи

а) и > О+Р > О ' При 1 > а > о

а + 13

¡3) _ 1 > > а+р при 2 > а > 1

а + р

В) а.+р > я > ¿, 1- при а > 2

Доказано, что при о < а < 2 фронт температурных возмущений перемещается лишь на конечное расстояние,.указывается размер области сосредоточения температуры. При «>2 , фронт уходит в бесконечность при г —» +к>.

Автор выражает свою глубокую признательность руководителям и участникам .вышеуказанных семинаров - э ценные замечания и пожелания. Кроме этого, диссертант весьма

благодарен академикам Самарскому АА-, Курдшову С.П-, , проф. | Федорвку ЬиВ.) за поддержу данной тематики, а, также научному консультанту академику Джураеву Т.Д. за полззные -советы, высказанные в ходе выполнения работы. • ■

Основное содержание диссертационной работы опубликовано-в следующих работах: '

1. Арипов М. Кетоды эталонных уравнения для решения нелинейных краевых задач.// -Ташкент,-Фан, 1983, 147 с.

2. Арипов П. К асимптотике решений одного нелинейного , уравнения эллиптического типа. // Труды ТашГУ, серия ПММ,

1981, N 670, с. 3-5.

3. Арипов М. Иетод эталонных уравнений для уравнений нелинейной нестационарной Фильтрации.// Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложений. Русе, Болгария, 1981:

4. Арипов М., Каюмов Т. К асимптотическому поведению решений одного нелинейного уравнения третьего порядка. //Тезисы докладов республиканского симпозиума по дифференциальным уравненнниям. Ашхабад, 1978, с.93-94.

: 5. Арипов М-,' Каюмов Т. Асимптотическое поведение решения нелинейного уравнения у - д<х>уп = о. //ДАН Уз ССР,

1982, N6, с.11-13.

■ 6. Арипов М., Хапдаров А. К асимптотике, решений нелиней, него нестационарного уравнения теплопроводности. //ТашГУ, се-

рия ГШ, 1982, М 602, с.14-17.

7. Арипов М.. Гайдаров А. О характере распространения воэмушений в задачах нелинейной теплопроводности с источником и поглощением.//' Вопросы вычислительной и прикладной математики, Тапкент, Фан, 1^03« N70, с.59-65.

8. Арипов М., Хайдаров А. йетод эталонных уравнений для решения задач, нелинейной нестационарной фильтрации в однородной среде.// Икола-семииар социалистических стран "Вычислительная аэродинамика", СО. тезисов докладов. Москва-Самарканд, 1985, с.331-333.

9. Арипов И., Хапдароэ А. К вопросу о пространственной локализации тепловых возмущений в нелинейной неоднородной среде. Приложения диФЗзренциалнык уравнения в • механике и теория управляемых сисгом//Сб. научн-тр. ТашГУ, 1935, сЛ-И.

10. Арипов Г!., Хапдаров А. О ссопотвах реиения нелинейной нестационарной уравнения теплопроводности с погдовением и источником. // Тезисы докладов кзггдукзродноп конференции по дифференциальным уравнениям и их прилогенип.\ г Руса, Болгария, 1205.

11. Арипов П., Капдароэ А. 00 одноп задаче Коии для уравнения, на линейной топлопроводности в неоднородной среде. /УДАН УзССР, 1586/«, сЛ-13.

12. Арипов М., Эаматов Д. О конечной скорости рарпространения в задаче нестационарной Фильтрации при неполном насыпении.// ДАН УзССР, 1503, ГЗ, с.1и-17.

13. Арипов И, Илдашав 3. 00 одно:* варианте метода Ньютона без обрапения матрица Яксби. Вопросы вычислительной и прикладной иате^тикй^/ Ташкент, ®аи, 1985, Н74, с.121-128. ' ,

14. Арипоэ И. Кабилганова О. Об одном способе построения верхних и нижних рооэний в нелинейной задаче теплопроводности.// Труда ТапГУ. Алгоритмы и числанкые методы решения задач прикладной йэкаиики и управления. Ташкент, 1986. ' '

15. Арипов М., ВаклуаиМ Й.Б., Хапдароэ А. Об одной математической модели влагопереноса в пористой среде. // Те-сзисы докладов третий республиканской конференции "Методологические и прикладные аспекты автоматизированного Проектирования. Ташкент, 1987.

16. Арипов М. Математическое моделирование нелинейных теплофизичегких процессов с источником или поглощением-//Тезисы докладо; третьей республиканской конференции "Методологические и прикладные аспекты автоматизированного проектирования". Ташкент, 1987.

17. Арипов М., Эшматоо Д.' О ВКБ-решениях обобщенного уравнения типа Эмдена-Фаулера. И ДАН УзССР, 1988, N2.

18. Арипов И. Об одном алгоритме расщепления для квазили-..нойних параболических уравнений- п Тезисы всесоюзной вколи -семинара "функциональные методы в ПН, и матФизике" 'Ташкент, 1988.

19. Арипов М'» Эимзтов Д.И. Асимптотические, свойства решений обобщенного уравнения типа Эмдена-Фауера.// ДАН. СССР, 1989, т-308, N3, с.587-550-

20. Арипов М-, Хайдаров А. Асимптотика процесса нелинейной теплопроводности в неоднородной ' среде -с поглощением при критическом значении. // Сборник Докл а дав меасдународной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук*", Москва, 1991.

21. Арипов И. Хайдаров А. О существовании пространственной локализации в нелинейной однородной среде с источников // Тезисы докладов "Современные проблемы алгоритмизации" Ташкент 1991.

22. Аригюв И- Алгоритм расщепления для квазилинейных уравнения и авт о модельнооть-^ Тезисы докладов научной конференции "Механика и ее применение" Ташкент 1993.

23. Аригюв И. Глобальная разрешимость задачи Коши для квазилинейных уравнений параболического типа и алгоритм расщепления.// Тезисы докладов международной научной конференции вырождающиеся уравнения и уравнение смешанного типа. Ташкент 1993.

24. Арипов И, Мухаммадиев А- Алгоритм расщепления для квазилинейных параболических систем. // Тезисы докладов Международной научной конференции "Механика и ее применения" Ташкент 1993.

Квазичизикли параболик тенгламалар учун Коши ва чегаравия масалаларни такрибия автомодель ва асимптотик усуллар билан урганиш.

Диссертация газ ва , суюкликлар фильтрацияси, чизиксиз иссиклик утказувчанлик, диффузия, намлик таркалиши ва бошка жараё'нларни тасвирловчи буэилувчи квазичизикли параболик тенгламалар учун Коши ва чегаравия масйлаларнинг ва уларнинг автомодель ечимлари билан бог лик Змден-Фаулер ^енглаМалари ечимларининг янги хоссаларини Урганишга багииланган. Бундай масалаларнинг хусусий х^ллари билан маш^ур математиклар ва амалиётчилар шугулланган. Коши масаласи учун глобал «чимларни куриш ва Фрснтларни аниклаш имконини берувчи чизиксиз ажратиш алгоритми такли$ килинган. Бу .алгоритм ёрдаиида такрибия автомодель ва автомодель ечимлар курип усули берилган. Фронт атрофида ', ва чексизда автомодель ечимларнинг янги асимптотиклари олинган. \\

Узгарувчи коэффициент ли квазичизикли параболик те нг лама $аМда Змден-Фаулер тенгламалари учун эталон тенгламалар усули такли$ килинган ва бу у су л асосланган. Иу усулга таяниб иккинчи ва учинчи . тартибли Змден-Фаулер ^ тенгламалари ечимларининг асимптотикаларини ургадиш надарияси яратилган, ечимлар мавяудлигининг зарурия ва етарли шартлари олинган.

Диссертацияда намлик таркалиши тенгламаларининг такрибия ечимлари, ечимларнинг асимптотикалари ва Фронт лари топилган. Иссиклик сигими ва утказувчанлик коэффйцйентлари мураккаб тенгламалар системаларидан аникланадиган, иссикЛикнинг нурли ?ткаэувчанлик масаласининг сонли. ечиш усуллари таклиф килинган. . .

Approximate - Simillarlty and asymptotic ■ methods.for the study of Cachy's and boundary -problems for quasi linear parabolic equations.

The thesis deals with the study of the new properties of Cachy's and boundary problems for degenerate quasi linear . parabolic equations describing processes of heat propagation, filtration, diffusion, moishure-transfer in the

non-liner medium. The noted personalitres hare dealt with the peculiarities of the problem- As for as Cachy's problem is concerned the algorithm of nonollner splithing is being suggested which allows construct a global solution as well as define the front behaviour. It is the algorithm that gives the possibility to construct similarity and aproximate-slmllarity solutions- Asymptote of solutions nearly the front and its infinity has been obtained. Method of standart. equations for quasilinear parobolic equations

with vari&ble coefficients and equation of Emdin-Faulier type

<

has been suggested and well-grounded.

Based on th'ls niPthod an asyrrntotic theory of investigation lias been ' developed for the Emder-Faulier equation of the second and third order.

The thesis provides approximate soltions of non-linear problem of noishure-transfer. asymptote of solutions and fronts. ...

The problem of heat propagation In the non-linear jaediim¡ with condition of irradiation has been numerically solved v/han heat conductiving and capacity coefficients are defined in a complicated way from the system of non-linear equations of a special type.