Асимптотика вблизи границы решений краевой и начально-краевой задач, описывающих распределение тепла в неоднородном материале с трещиной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005050897

Логинова Екатерина Александровна

АСИМПТОТИКА ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ И НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧ, ОПИСЫВАЮЩИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛА В НЕОДНОРОДНОМ МАТЕРИАЛЕ С ТРЕЩИНОЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оп тимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 1 МАР 2013

ВОРОПНЖ 2013

005050897

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор ГлупIко Андрей Владимирович Воронежский г осударственный университет, заведующий кафедрой уравнений в частных производных и теории вероятностей. : доктор физико-математических наук, профессор Репников Валентин Дмитриевич Воронежский государственный технический университет, заведующий кафедрой прикладной математики

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Николаевич Белгородский Национальный исследовательский университет, профессор кафедры математического анализа

Ведущая организация: Южный федеральный университет.

Защита состоится марта на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: ЗЭ4006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «/Л> февраля 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физ.-мат. наук,

профессор Гликлих Ю.Е.

Актуальность работы. В настоящее время функционально-градиентные материалы широко применяются в различных областях техники, поэтому изучение математических моделей таких материалов и проведение исследования на основе их физических характеристик при различных условиях воздействия является актуальной задачей.

Одними из первых исследований в этой области были работа Chen и Erdogan, посвященная анализу трещины на границе неоднородного слоя, связанного с однородной основой и работы Choi, освещающие влияние механической и тепловой нагрузки на коллинеарные трещины многослойной полуплоскости со ступенчатой границей. Математическим аспектам моделирования материалов с трещинами посвящены работы Михайлова С.Е., некоторые из которых написаны в соавторстве с О. Chkadua и D. Natroshvili. В них используются методы конечных элементов, граничных интегральных уравнений и их различные модификации. Для случаев, когда свойства материала изменяются экспоненциально, построены явные фундаментальные решения соответствующих уравнений в частных производных. Трещина в этих работах моделируется линией на поверхности границы области, на которой происходит смена типа граничного условия. Такого рода смешанная задача изучается для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. Основным результатом этих исследований является оценка асимптотики решения этой задачи по расстоянию до трещины.

Среди механиков, занимающихся данной тематикой, следует упомянуть Guo, Erdogan, Ни, Zhou, Ou, Yong и Zhou, V. Birman, J. Sladek, V. Sladek, Ch. Zhan , P. A. Martin, J. D. Richardson, L. J. Gray, J. Berger, Youn-Sha Chan, L. J. Gray, T. Kaplan, Glaucio H. Paulino, H. Wang, Q-H. Qin, Y-l.Kang, написавших ряд статей, охватывающих различные аспекты изучения трещины в функционально-градиентных материала?:. Главным методом исследования большого количества моделей в работах этих авторов являются численные расчеты в различных математических пакетах. При этом практически не уделяется внимание изучению корректности постановки рассматриваемых задач.

Цель работы. Главной целью исследования всех задач, рассмотренных в работе, является построение сингулярных членов асимптотических представлений решений и их первых производных, описывающих тепловые потоки по малому параметру - расстоянию до трещины - границы области. При этом большое внимание уделяется изучению корректности постановки задач.

Явно неклассическая постановка краевых условий и особая геометрия области, в которой задано уравнение, привели к необходимости тщательной формулировки определения решения (вообще говоря, неклассического), детальной проверки выполнения краевых условий и других факторов существования решения. В задачах, рассмотренных в первых двух главах, удается построить явные формулы представления обобщенного решения краевой и начально-краевой задач, описывающих распределение поля температуры в плоскости с трещиной по отрезку в случае, когда коэффициент внутренней теплопроводности является экспоненциальным. На этой основе изучить задачу о стационарном распределении тепла в плоскости с трещиной в случае переменного коэффициента теплопроводности более общего вида и доказать существование решения этой краевой задачи. Удается связать асимптотические представления решений для задач с постоянными и переменными коэффициентами. В нестационарном случае также построены асимптотики решения при большом времени.

Методы исследования. Используются методы теории

дифференциальных уравнений с частными производными, методы получения асимптотических оценок, интегральные преобразования, оценки специальных функций, методы функционального анализа в пространствах типа С.Л. Соболева, априорные оценки решений, методы повышения гладкости решений.

Научная иовизна. Отличием данной работы от ранее имевшихся исследований является переход в каждой из рассмотренных задач к обобщенной задаче Коши, в которой трещина описывается специальной дельта-функцией. Это привело к выводу о необходимости рассмотрения краевой (и начально-краевой в главе 2) задачи типа трансмиссии (сопряжения), но не для разных уравнений на границе областей, а для решения одного и того же уравнения на линии разреза-трещины. В работе построены явные формулы представления обобщенных решений краевой и начально-краевой задач, описывающих распределение поля температуры в плоскости с трещиной по отрезку в случае, когда коэффициент внутренней теплопроводности является экспоненциальным, и доказано существование решения краевой задачи для случая переменного коэффициента внутренней теплопроводности более общего вида. Сформулировано понятие решения (уже не обобщенного, но и не классического в обычном смысле) каждой из рассмотренных задач. При дополнительных условиях на исходные параметры задач изучено выполнение граничных условий, а в случае нестационарной задачи и начальных условий.

Получены асимптотические представления тепловых потоков вблизи границы трещины, а также двойные асимптотики тепловых потоков при / —> +оои х2 —» +0.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем при изучении свойств композитных материалов с трещинами. Результата работы также могут быть полезны для изучения многих важных для практики задач механики разрушений. С математической точки зрения важны постановка и исследование новых краевых задач типа сопряжения (трансмиссии) и изучение качественных свойств их решений.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах: научно-практической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов с международным участием «ОБРАЗОВАНИЕ. НАУКА. ПРОИЗВОДСТВО. УПРАВЛЕНИЕ» (24-25 ноября 2010 года, Старый Оскол); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (25 января — 1 февраля 2011 года, Воронеж); XXV Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения -XXII» «СОВРЕМЕННЫЕМЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ» (3 - 9 мая 2011 года, Воронеж); Р/Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПТУММ - 2011)» (12 - 17 сентября 2011 года, Воронеж); научных семинарах под руководством проф. А. В. Глушко (2011 год, Воронеж); международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейпа - 2012» (25 - 30 января 2012 года, Воронеж); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование» (14 мая - 18 мая 2012 года, Ижевск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[15]. Работы [1], [8], [9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ. Из совместных работ [1], [15] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации составляет 126 страниц. Библиография содержит 51 наименование работ российских и зарубежных авторов.

Краткое содержание работы

Нумерация приводимых ниже теорем совпадает с их нумерацией в диссертации. Все основные результаты сформулированы во введении и их формулировки далее не повторяются.

В работе рассматриваются задачи о распределении поля температуры с переменным коэффициентом внутренней теплопроводности в области, представляющей собой плоскость с разрезом по отрезку, моделирующую неоднородный материал с трещиной. Областью, в которой рассматриваются задачи, является плоскость Охгх2 с разрезом 1 = \х\ х2 =±0; х, е[—1; 1]}, описывающим трещину по отрезку [-1; 1] оси абсцисс.

Замечание 1. Обозначение K0{z), K2(z) означает функции Макдональда нулевого, первого и второго порядков соответственно.

■ . ; г

В первой главе изучается случай стационарного распределения тепла, если вектор направления изменения неоднородности материала направлен под

7Г

утлом ае(0;—] к положительной полуоси абсцисс. Рассматриваемое

уравнение стационарной теплопроводности представимо в виде

,х2)grad, .г2)) = 0, где к(х1,х2) = екх\™а*ь^а, k{x¡,x2)- коэффициент внутренней теплопроводности вещества. После несложных преобразований рассматриваемое уравнение может быть записано следующим образом, . ■, ■ .

дМъ,^ + kcosa6"^'^ + bina^febo. (0.1)

дх1 дх2 dx¡ дх2

Искомая функция и(дг,,д:2)- температура в точке (х,,х2) материала. Граничные условия заданы следующим образом

u(xl,+ 0)-u(x¡,-0) = q0(x,); (0.2)

ди(х,,Щ + кs.nm;(Ti^ +0)_ ди(х,,-0) _ks.n^_0) = ^(Xi); 6f_1; j] (о.З) дх2 дх2

Условие (0.2) описывает разность между температурами верхнего ij, нижнего берега трещины, а условие (0.3) — разность между тепловыми потоками через эти берега. Таким образом, рассматриваемая задача в некотором смысле подобна задаче трансмиссии, несмотря на «вырожденный» характер границы.

Замечание 2. Будем говорить, что граничное условие (0.2) выполнено для функции u(xt,x2) на интервале д,е(-1;1) по непрерывности, если данная

функция непрерывна по переменной х2 в точке ±0 справа и слева при каждом х. е(—1;1) и Нш (и(х,,%)-и(х.,—7])) = д0(х1). Будем говорить, граничное

условие (0.3) выполнено для функции и(х^х2) в точках х = ±1 в смысле

главного значения, если сущест вует предел

/

lim

—и(±1,х2) ох?

v

=?l(±l).

Определение 1. Решением задачи (0 1)-(0.3) назовем функцию и(х,,х2), принадлежащую множеству функций С2(к2\/) и удовлетворяющую уравнению (0.1) в области R2 \/, для которой при е(-1;1| по непрерывности выполнены граничные условия (0.2)-(0.3), и такую, что функции

дх2 дх2 дх., dx¡

ограничены в окрестности трещины I.

Определение 2. Специализированной дельта-функцией назовём такую функцию <5[_п], принадлежащую множеств)' обобщенных функций D'(M.2), что для функции v(xj, непрерывной на отрезке [—1; 1] и любой основной функци и <с(х[,х2), принадлежащей £)(К':), справедливо равенство

(Vál-ui'^i, х2) = v(x,)(S(x2),<p(xt,x2))cix1.

Задача (0.1)-(0.3) сводится к обобщённой задаче в пространстве Z)'(R' )

ди ди <Эс>

Aw(x) + A:cosa--l-&sina—— = qx{x])-S. n,--!li;L. (0.4)

дх, дх2 8хг

Отметим, что в отличие от классического случая сведения к обобщённой задаче задачи для дифференциального уравнения, в котором производные берутся от функции с разрывом первого рода, первая производная решения изучаемой задачи в точках (±1,0) имеет разрыв второго рода с известными характеристиками, что определяет выбор класса, в котором разыскивается решение. Решение обобщённой задачи (0.4) строится в виде свертки фундаментального решения со слагаемыми правой части.

ТЕОРЕМАО.1. Пусть функции qt (х,), i =- 0,1 принадлежат пространству 1)'(М),и suppg, е[-1; 1],/ = 1;2. функция £(х,,х2) из У(Ж:) - фундаментальное

. . 8 д .

решение оператора А + к eos а---ь /с sin а-—(ее явный вид приведен в лемме

Эх:, дх2

1.3 текста работы). Тогда решение обобщённой задачи (0.4) существует в £)'(К2) и представимо следующим образом:

и(х1,х2)=Е(х1,х2)*ф1)$1_и]+Е(х1,х2)* . (о.5)

ТЕОРЕМА 0.2. Пусть функции (х,), ¡=0,1, принадлежат множеству функций С2 [—1,1]. Тогда решение задачи (0.1)-(0.3) имеет вид

и = -(2я-)-1е0--*«1^)^'"^ (0, Бк^О^-<т, )2 +х22)9|(сг,)</о-, +

+к(4тг)~1 Г' (0>5кМх, -<х, )2 + 4) , ^(<7') 2 о, +(°-6>

(х2 +(х1-а1) )'

+к5та(4лу11\е^тх^)™а+^ша)К0(0,5к^х1 -а,)2 +х1)Чй{а{)с1а[. При х, е(—1;1)по непрерывности: выполнены условия (0.2)-(0.3) . В точках х, =±1 условие (0.3) выполнено в смысле главного значения. Если дополнительно потребовать выполнение равенства ^,.(±1) = 0, / = 0,1, то условие (0.3) выполняется в точках х1 =±1 в смысле главного значения, а условие (0.2)

- по непрерывности. При более строгом требовании <7,.'(±1) = 0, / = 0,1, условия (0.2) -(0.3) выполняются в точках х, = ±1 по непрерывности.

Функция и(х,, х2)принадлежит множеству функций С"(К2 V). ТЕОРЕМА 0.3. Пусть функции ^(х,), принадлежат множеству функций

С2([-1,1]); ?1.(±1)*0, д'(±1)*0, /=0,1, тогда решение задачи (0.1)-(0.3) и(х,,х2), есть непрерывная функция аргументов х1,х2 й/, ограниченная в

, , „ - 5м

любом шаре | х \< Я, тепловой поток--имеет асимптотическое представление

дх2

ди 1 г 1-х п. 1 + х . £cosar, ч2 2

7— = -7Г—Tio 0) + .. 2<7о H)J + -5-tln((l -х, )2+ х2)

дх2 2к (1-х,) +х2 (1 + х,) +х2 8л

-1п(а^)2+*?)?.Н)] +-^-[1п((1 -х1)2+х2)?;(1)- 1п((-1-х1)2+х2)^(-1)] +Л(х,,х2);(0.7) 4 К

ди

а тепловой поток-имеет асимптотическое представление

Зх,

~ <4жу1Мй -х, )2+4)Ч1 (1)-1п((1+х,)2+х22)(7, (-1)] +Ып«(8;гГ1[1п((1-х1)2+х22)<?0(1)-

ох,

-ln((l+x,)2+ xi)qa(-l)]-^-[-->—jqo(l)---^„(-4)] + R{ (x,,x2).(0.8)

2K (1-Х,)+X2 (1+x,)+X2

Пусть выполнены условия (± 1) = 0, q'(±\) = 0, где /=0,1, тогда

решение задачи (0.1)-(0.3) и(х,,х2), и тепловые потоки —,-есть непрерыв-

дх2 8х1

ные функции аргументов х1,х2£1. Если выполнено условие <^(±1) = 0, / = 0,1,

то решение задачи (0.1)-(0.3) и(хпх2 )и тепловой поток —- есть непрерывные

8хх

вплоть до берегов разреза / функции аргументов х,,х, г/, а тепловой поток ди

--имеет асимптотическое представление

дх2

, = (4л-)"'[1п((1 -х,)2 + х2)д0'(1) - 1п((-1 -х,)2 +х;)с/и'(-Г)] + Щх„х2). (0.9)

Здесь функции Л(х,,х2), Л,(хрх2) ограничены при х2 ->+0, х, е [-1; 1]. ТЕОРЕМА 0.4. Пусть функции (х,)., / = 0,1, ограничены. Тогда решение

задачи (0.1)-(0.3) единственно в классе функций, для которых

к, . .

—(^сота^-д^зт«)

и(х,,х2) • е1 является регулярным фушационалом из 5'(М2).

Результаты главы 1 опубликованы в работах [1]-[5], [8], [11]-[12], [14]. Во второй главе изучается случай нестационарного распределения поля температуры, когда вектор направления из]менения неоднородности материала направлен под углом а = тг/2 к положительной полуоси абсцисс. Рассматриваемое уравнение нестационарной теплопроводности имеет вид

Г{Х)Р(Х)^Л = аЬ'(/с(х)егасЗгф,0) + /'(*,/).

Здесь р(х) - плотность, у(х)~ теплоемкость, к(х) — коэффициент внутренней теплопроводности вещества. Будем считать, что для изучаемого материала справедливы следующие представления этих коэффициентов р(х)у(х) = СаеЬг, к(х) = , что соответствует ситуации, когда вектор направления

изменения неоднородности направлен вдол ь оси Ох2. Предположим также, что в материале нет внутренних источников тепла, т.е. /*'(х,г)=н0. Параметр / е [0,+со) представляет собой время.

После несложных преобразований рассматриваемое уравнение можно переписать в виде

ди(х,,х,,р 2 д1и(х1,х2,Г) д2и(х,,х7,р дф^х^). * ,

-г--о (-—---1------1- к.--) = и. (и. 10)

от г?.гг дх2, дх.,

Искомая функция и(х1,х2,1) — это температура в точке (х,,х2,г) матершш£1.

Граничные условия заданы следующим образом

и(х,, + 0,0 - и(х,, - 0,0 = дс (х,,/); (0.11)

+Ь(х-1>40/)--м(^~0/) -Мх„-0/) = х, е[—1; 1У>0. (0.12)

дх2 дх2

Начальное условие имеет вид

и(х1,х2,0) = 0. (0.13)

Вьшолнены условия согласования д„ (х,, 0) = 0 и д, (х,, 0) = 0. С целью построения решения задача (0.10) - (0.13) сводится к обобщенной задаче в пространстве £>'(М3), для чего используется специализированная дельта-функция. Далее изучаются гладкость решения и выполнение краевых и начального условий. Вид (0.11)-(0.12) краевых условий диктуется геометрией области и описывает скачок температуры и теплового потока при переходе через берега трещины. В работе удалось показать, что при ( —> со, х2 —> +0, х1 е[—1; 1],решение задачи стабилизируется на стационарное распределение тепла в окрестности трещины.

Условие 1. Существует Л^ > 0, такое, что при I > N справедливо представление

= (*.)' »' = 0.1. (0-14)

Условие 2. Для функции £> (*,,х,,г), / = 0,1 справедливы утверждения:

1) Для любого компакта К из К2 найдется постоянная с{К) > 0, такая что при /->оо и хеК выполнена оценка |£>(х,,х2,г)| <е~с(Л".

2) При х, е (-1;1) выполнены условия 21.(х1,+0,0-2,(хр_0^) = 0;

30ОЧ,+ О,О (х,,-0,0

дх2 дх2

- + ¿(0(^,40,о - 0(*, ,-о,о) = 0.

Определение 3. Решением задачи (0.10)-(0.13) назовем функцию ы(х,,х2,/), принадлежащую множеству функций

С];) ((К2 \ 0 х (0,оо)) гл С2;0 ((Ж2 \ /) х [0,оо)), удовлетворяющую уравнению (0.10) в области М2\/, Г > 0 для которой при х,, принадлежащем (-1;1), выполнены

граничные условия (0.11)-(0.12), такую, что функции и(х,,х2,<), х2 г

дх2

ди(х1,-^,0 ац(х,,--х2,0 „ , ^/(ХрХ^О I 2 2 ди(хх,х2,1)

-Г---Г > , 11 V V1- Х ' + Л2 Я

дх2 дх2 ох, дх2

ограничены в окрестности трещины /при любом Г, принадлежащем отрезку

[0,Г], где Г >0.

Определение 4. Классом функций М называется совокупность таких не-

прерывных при t > 0функции, которые обращаются в ноль при / < 0 и ограничены в каждой полосе 0 <t<T, где Т > 0.

ТЕОРЕМА 0.5. Пусть существует решение задачи (0.10) - (0.13).

Пусть функции q^x^t), / = 0,1, принадлежат пространству£)'(К2),ограничены при t; принадлежащем отрезку[0,Г],где 7>0, и равны нулю при / < 0. Тогда его продолжение нулем на t < 0 удовлетворяет следующей обобщённой задаче

л„ я,, dS

+ А = -a2qa(xut)-^-. (0.15)

CÎ 2

Далее нами построено решение обобщённой задачи в виде свертки фундаментального решения со слагаемыми правой части. В результате имеем следующую теорему.

ТЕОРЕМАО.6. Пусть функции-(¿/„(х,,/)£>,_,,,), q, (х, принадлежат

дх2

пространствуD'(M3), функции ^Дх,,/), / = 0,1, принадлежат классу функций M, E(xl,x2,t) е 5"(М3)- фундаментальное решение оператора -^--а2(А + Тогда решение задачи (0.15) представляется в виде

и(Х1,х^) = Е(х,,х^)Н-а\(хиЩ_1М (0Л6)

СХ2

ТЕОРЕМА 0.7. Пусть q^x^î), / = 0,1, принадлежат множеству функций C't2'"([-l,l]x[0;oo)). Тогда решение задачи (0.10)-(0.13) при t > 0 имеет вид

и = — {а2тк+хг){а2тгТ* f1 ехр[- (4атУ\(хг о",)2+ (атк+х2)2)^0(а^ - r)d<jdz -

-(4л-Г1|Ч-1|'1ехрН4а^Г1((х1-с7;/н<й^А-+х2)2)]-?1((Т^Уо-й?г-. (0.17) При х, е(-1;1) по непрерывности выполнены условия (0.11)-(0.12). Если дополнительно потребовать выполнение равенств qrf(±l,i) = 0, / = 0,1 условие (0.12) выполняется в точках jc, = +1 в смысле главного значения, условие (0.11)

- по непрерывности. При более строгом требовании —— = 0, / = 0,1

ох,

условия (0.11)-(0.12) выполняются в точках х, = +1 по непрерывности. Также выполнено начальное условие (0.13).

При достаточно больших значениях t ( т.е. I —> ») для решения справедливо представление

«(W) <yf+ x\)qlcm{a)da- + K^U-af+x] ) ■ k

{<r)d<j^-~ Ky (* /(x-cr^+x2) ■ ^^-с/а+ОСехрКф, (0.13)

4 71 l i, ^ 2.2

-1

2

где с, = сапу/ > 0. Функция м(х,,х2,1) принадлежит множеству функций

С"((К2\/)к(0,оо» .

ТЕОРЕМА 0.8. Пусть />0. Тогда решение задачи (0.10)-(0.13) есть

непрерывная ограниченная функция аргументов х1,х2 е!2 (>0,

„ „, . ди нормальный тепловой поток - при х2 ->+0, х, е[-1; 1], принадлежащем

.... ах,

[0,7'], где Т > 0 - любое число, имеет асимтгтотическое представление

(0.19)

ох2 2 (1 — ^с,) + х2 (1 + х,)

ох, 2 5х,

Тепловой поток —при х2 ->+0, х, е[—1; 1], ^принадлежащем [0,7"], где ас,

Т > 0 - любое число, имеет асимптотическое представлише

ди 1 r к 1Г -2х, „ ч 2х, , , ч

_ = _ехр[- -xj—^l,,) + (1+Х[/ + ^/о(-М) -

-ln((l - х^+х^СМН1"((1 +х1)2+х2)<?1(-1,0 + 0,5Ш((1 -х,)2+х22)д0(1,0 -

-0,5/с1п((1+х,)2+х22)г70(-1,/)] +/гз(х, ,jc2), (0.20)

Здесь функции R2 (х, , х2,/), Л, (х,, х2,/) ограничены при х2 ->+0, х, е[-1,1],

t £[0,7"], где Т> 0- любое число.

ТЕОРЕМА 0.9. Пусть t неограниченно возрастает. Тогда решение задачи

(0.10)-(0.13) есть непрерывная ограниченная функция аргументов х, ,х2 el2 \ /,

„ „ ди

нормальный тепловой поток--имеет асимптотическое представление

дх2

j¡¡- = ¿exp[-^2][- 2g(km(1) - ^ ^o.J-1) + (0.21)

ОХ2 LK 2 U-^ii + (l + X\) +Х2

+2-' ln((l-x,)2 + xl)qJ{\)-2~* 1п((-1 -Xj)2 + x\)q0c^(-1)] + Л3(х,,х2).

Ó14

Тепловой поток--имеет асимптотическое представление

йх,

к

—х->

+ (1+х^+х22 ^ И)"1п((1 0) + МО +х\У+х;)</,„„(-1)] + /!,(х, ,х2). (0.2:!)

Функции Л, (х,, х2), Л4 (х,, х2) непрерывны и ограничены при х, —> 4-0, х, е [-1; Г.

ТЕОРЕМА 0.10. В условиях теорем 0.7-0.9, решение исходной задачи единственно в классе функций, введенных и определении 3. Результаты главы 2 опубликованы в работах [6]-[7], [9], [10], [13].

Третья глава посвящена изучению стационарного распределения тепла в плосхсости с трещиной при переменном коэффициенте ; внутренней теплопроводности, заданном функцией в(х1) = . 1

Уравнение стационарной теплопроводности в данном случае имеет вид д2г/(х,,х,) 5 2«(х.,х,) ... .8и(х,,х,)

—+ (ХгГ аГ~' (0.23)

искомая функция г/(х,,х2)- это температура в точке (хрх2) материала. Граничные условия заданы следующим образом

»(х1,+ 0)-г<(х|, -0) = ехр[-0,5/г(0)]%(х1), (0 24)

ди(х„+0) к\0) , ди(х.,-0) к'(0) , л

йх2 2 "(Х,, )--д^---= е 2 ?.(*.>- (0-2:5)

где X, е[-1;1].

Условие 3. Будем предполагать, что функция к(х2) принадлежит множеству функций С4 (Е); существуют константы г, и: е1 , такие что при х2, принадлежащем К, выполнены оценки е2 >к2(х2)>е1 >0, где Р(Х;) = (^'(х2))2+2Г'(Х2).

Заменой г/(х,,х2) = ехр[-А(х2)2"1]К(х),х2) (0.22)-(0.23) сводится к задаче

АК(х1,х2)-/?(х2)0,25-К(х„х2) = 0, хбМ2 \/, (0.26)

Г(х,, +0) - К(х,,-0) = Ча(х,), х, £ (-1; 1), (0.27)

V ---= (0.23)

ох2 . дх2

Решение задачи (0.26)-(0.28) представимо б виде

Г(х, ,х2) = ы(х,,х,) + 1Г(х,, х2 ), (0.2?)) где функция Г((х,,х2) является решением задачи

Дй(х|,х2)-,Р(0)4~'м(х|,х2) = 0, хеЕ2 \/, (01.30)

¿(x1,+0)-H(X1,-0) = ?0(Xi), x, e(-l;l), (0.31)

qfa), x,e(-l;l), (0.32)

8u( x,,+0) <3w(x,,-0)

дх2 dx2

а функция W(xl,x2) является решением задачи

AW{x1,x2)-P(x2)4-lW(x,,x2) = 0^5{k1(x2)-k2(0))u(xl,x2), хеК2 \/,(0.33) W(xl, +0)-Wi'x,,-0) = 0, x e(-1;1), (0.34)

(0.35)

dx2 8X2

ТЕОРЕМА 0.11. Пусть fc(£)e "*2 (R), где k =2,..., и выполнено условие 3, тогда у уравнения (0.33) существует решение, один раз непрерывно дифференцируемое в окрестности / и: к раз непрерывно дифференцируемое вне I. ТЕОРЕМА 0.12. Пусть функции qm (х,); т — 0; 1 принадлежат множеству

функций С2 ([-1,1]), причем функции qm (;с,), д'т (х,) ограничены. Пусть Ц£)е t+2 (R), где к =2,..., тогда у задачи (0.23)-(0.25) существует решение м(ХрХ2) и i/(x1,x2)eC*(R2V). Кроме того решение задачи (0.23)-(0.25) и(х,,х2),есть непрерывная ограниченная функция аргументов х1,х2 й/, du

тепловой поток-имеет асимптотическое представление

Зх,

ехр[-£Г'х,]г —2хп 2х2 , . ... . 2 „

= ------f-— ?о0) + .2 Т?о(-1) - 1п((1 - *,) +X2)q, © +

ÖC[ Лк (1-Х,) +х2 (1 + х,) +х2

+ln(( 1 + х, )2 + x\)qx (-1)] + R5 (х, , х2),

du

а тепловой поток--имеет асимптотическое представление

8х2

du 1 к 1Г (1-х.) ... (1 + *,) , 1Ч

= -Т-ехр[--х.:][ 2q0( 1) + 2?о(-1)-

ох2 2 (1-J:,) +Х2 (1 + Х,) + Х2

-2-11п((1 - х,)2 + x2V(l) + 2"' 1п((-1 - х,)2 + х22)9о'(-1)] + Я6(х„х2), функции 7?5(х,,х2),7?6(х1,х2)нспрсры!!1п>1 и ограничены прих2 —» +0, х, е[—1,1]. Результаты главы 3 опубликованы в работе [15].

Публикация автора по теме диссертации

1. Глушко A.B., Логинова Ii.А. Асимптотические свойства решения задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной / А. В. Глушко, Е. А. Логинова // Вестник ВГУ серия математика физика. — 2010. -№2.-С. 47-50.

2. Логинова Е. А. Построетге асимптотики решения задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной. Случай направления вектора изменения неоднородности под острым углом к оси

абсцисс / Е. Л. Логинова // Сборник научных и паучнометодических 1рудов научно практической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов с международным участием «Образование. Наука. Производство. Управление». - 2010. - Т. 1. - С. 215 - 217.

3. Логинова Е. Л. Асимптотика решения задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной в случае нсортогопального вектора неоднородности / Е.А. Логинова // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные задачи» . - 2011. - С. 200 - 201.

4. Логинова Е. А. Построение решения задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной и его асимптотика / Е.А. Логинова // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные задачи» . - 2011. - С. 202 - 203.

5. Логинова Е. А. Асимптотическое представление тепловых потоков для задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной / Е. А. Логинова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Поптрягинские чтения XXII».-2011.-С. 104- 105.

6. Логинова Е. А. Решение задачи о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной в случае конечного времени// Материалы четвертой международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011)».-- 2011.- С. 179-181.

7. Логинова Е. А. Решение задачи о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной при неограниченно большом времени //Материалы четвертой международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011). - 2011. - С. 181-182.

8. Логинова Е. А. Асимптотическое поведение теплового потока для задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной/Е. А. ЛогиноваУ/Вестник ВГУ серия математика физика. -2012.- № 1.-е. 157 -161.

9. Логинова Е. А. Построение решения задачи о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной/ Е. А. Логинова // Вестник СПбГУ серия 1. Математика. Механика. Астрономия. - 2012. - Выпуск 1.-е. 40-47.

10. Логинова Е.А. Задача о нестационарном распределении тепла в плоском неоднородном материале с трещиной/ Е.А. Логинова // Дсп. в ВИНИТИ 05.04.2012. -№ 148-13 2012.

11. Логинова Е.А. Задача о распределении тепла в неоднородном материале

с трещиной. Случай трсшины, ортогональной направлению неоднородности коэффициента теплопроводности/ Е.А. Логинова // Деп. в ВИНИТИ 05.04.2012. -№ 146 - В2012.

12. Логинова Е.А. Задача о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной. Случай трещины, наклонной к направлению неоднородности коэффициента теплопроводности//Деп. в ВИИИ'ГИ 05.04.2012.-№ 147 - В2012.

13. Логинова Е.А. Асимптотики производных решения задачи о распространении тепла в неоднородном материале с трещиной с учетом времени// Е.А. Логинова// Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012». - 2012. - с. 142-144.

14. Логинова Е.А. Задача о стационарном распределении тепла в плоскости с трещиной//12.А.Логинова//Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012»,- 2012.-е. 144 - 147.

15. Глушко A.B. Изучение асимптотических свойств решения задачи о стационарном распределении тепла в плоскости с переменным коэффициентом внутренней теплопроводности// A.B. Глушко, A.C. Рябснко, Е.А. Логинова// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXIII». - 2012. - С. 47 - 49.

Работы [I], [8], [9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Подписано в печать 29.01.13. Формат 60*84 '/„,. Усл. нсч. л. 0,93. Тираж 100 'jK'i. Закач 59.

Отпечатано с готового оригинал-макета в тииофафии Итдательско-полифафичеекого центра Воронежскою государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3