Дифференцирование функционалов энергии в теории упругости для пластин и оболочек, содержащих трещины тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Производная функционала энергии пластины, равновесие которой описывается бигармоническим уравнением

1.1 Постановка задачи.

1.2 Вспомогательные утверждения и формулы

1.-3 Основной результат.

1.4 Анализ формулы производной функционала энергии.

2 Формула производной функционала энергии для пластины с трещиной

2.1 Постановка задачи.

2.2 Вспомогательные утверждения.

2.3 Вывод формулы производной функционала энергии пластины.

3 Производная функционала энергии для пологой оболочки, содержащую трещину

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вспомогательные утверждения и формулы.

3.3 Устойчивость решения.

3.4 Вывод формулы производной функционала энергии пологой оболочки.

Во второй половине XX века одним из наиболее активно развивающихся научных направлений среди широкого спектра проблем фундаментального и прикладного характера, является механика разрушения. Актуальность исследований в области механики разрушения определяется их значимостью для фундаментальных аспектов естествознания. особенно для инженерного дела. Основной крут проблем механики разрушения связан с изучением несущей способности материалов с уже существующими трещинами и исследований закономерностей распространения трещин.

Механика разрушения тесно связана с краевыми задачами. Моделирование процессов в виде краевых задач в теории разрушения позволяет наиболее точно описать поведение тел при разрушении, сформулировать критерии, при которых трещины в теле начинают распространяться либо, наоборот, происходит "склеивание" берегов трещины.

В данной диссертации изучаются краевые задачи в областях с негладкими границами в приложении к теории упругости, и, в частности, к теории разрушения. При этом мы изначально считаем, что трещины в теле уже существуют и устанавливаем критерии, при которых трещины начинают распространяться. Так как в рассматриваемых задачах данной диссертации считается, что трещина находится внутри тела, то область, которую занимает тело, является негладкой. При этом ее граница состоит из поверхности, которая ограничивает тело и поверхности, определяющей форму трещины. Также считаем, что трещина имеет два берега, поэтому мы задаем краевые условия и на внешней границе тела, и на внутренней (на берегах трещины). В классическом подходе к решению краевых задач с включением предполагается задание на берегах трещины значений функций перемещений точек тела или компонент тензора напряжений [38]-[41]. [48]-[55], [83]-[86]. При этом краевые условия записываются в виде равенств и имеют вид

VijVj - fi на S или щ = дг на S, где Су - компоненты тензора напряжений, i/j - компоненты вектора внешней нормали к поверхности 5, описывающей форму трещины, щ - компоненты вектора перемещений, /г, д^ - заданные функции. В настоящее время в механике разрушения определились основные концепции и подходы к формулировке критериев разрушения. К ним можно отнести основополагающую теорию Гриффитса по механике хрупкого разрушения, концепцию квазихрупкого разрушения (Ирвин, Орован), энергетический критерий Гриффитса и эквивалентный ему силовой критерий Ирвина, концепцию не зависящего от контура интегрирования (J-интеграл, Г-интеграл) интеграла (Эшелби, Черепанов и Райе), критерий критического раскрытия трещины (Уэллс, Леонов и Пана-сюк). Активная разработка общих вопросов механики разрушения способствовала формированию двух направлений механики разрушения на современном этапе: классическое (краевые условия на границе ставятся в виде равенств) и неклассическое (краевые условия на границе имеют вид неравенств). Следует отметить, что такая классификация является довольно условной.

Классическая механика разрушения базируется на решении Ирвина [14], показавшего, что поля деформаций и напряжений трещины можно описать с помощью коэффициента интенсивности напряжений. При наличии трещины поля напряжений у края трещины сильно локализованы и быстро затухают, поэтому если зона пластической деформации у края трещины по сравнению с длиной трещины и размером тела мала, то при математической трактовке процесса размером этой зоны можно пренебречь и рассматривать поведение тела, как и в упругой задаче. Также были предложены деформационный критерий разрушения (Леонов, Панасюк, Уэллс) - критерий критического раскрытия трещины. Согласно этому критерию трещина начинает расти, когда относительное смещение берегов трещины в ее вершине достигает некоторого критического значения (см. [50]-[53]). К настоящему времени имеется достаточно много работ, относящихся к дифференцированию функционалов энергии при возмущении областей в линейных задачах (см. [8], [44]-[45], [64]). Часто при отыскании производной функционала энергии необходимо исследовать свойства материальной производной от решения. Общая теория отыскания материальных производных от решения линейных задач построена в [64]. Наряду с силовыми и деформационными критериями локального разрушения большое развитие получили энергетические критерии. Эти методы основаны на формуле Гриффитса для приращения потенциальной энергии деформации при продвижении трещины (J-интеграл, асимптотика интеграла энергии, интеграл Черепанова-Райса) (см. [56], [85]).

Исследованием задач эллиптического типа занимались В.Г. Мазья, С.А. Назаров. Работы [32]-[34] посвящены выводу и математическому' обоснованию асимптотических формул для функционалов типа энергии применительно к краевым задачам для эллиптических по Дугласу-Ниренбергу систем с малыми возмущениями границы вблизи конической (угловой) или изолированной точки. В частности, рассмотрены задачи Дирихле и Неймана для оператора Лапласа и построены несколько первых членов асимптотического ряда. Приведен строгий вывод формулы Гриффитса.

В [35] развит общий алгоритм отыскания асимптотики решений эллиптических задач с областями, содержащими конические точки.

В последнее время развитие получили методы, приводящие задачи теории упругости к вариационным и квазивариационным неравенствам. Впервые в отечественной математике теорию вариационных неравенств применил А.С. Кравчук. В его работе [26] приведен пример постановки контактных задач для нескольких тел как задач линейного программирования. Известно множество работ как зарубежных, так и отечественных авторов, работающих в этом направлении (см. [1], [7], [12], [17], [48], [65]). Сведение задачи к вариационной постановке обычно вызвано тем, что краевые условия являются нелинейными.

В данной диссертационной работе рассматривается модель Кирхгофа-Лява для пластин и оболочек. Сформулируем условия, которым удовлетворяет данная модель. Будем считать, что мы исследуем однослойную оболочку (пластину) из однородного изотропного материала, который является упругим и подчиняется закону Гука. Оболочка (пластина) имеет постоянную толщину, которая не меняется при деформациях (см. [6]).

Отличительной особенностью общих зависимостей, относящихся к таким оболочкам (пластинам), является сведение уравнений трехмерной задачи теории упругости к уравнениям для двух измерений. При этом координатную систему естественно связывать со срединной поверхностью оболочки (пластины). Одним из путей приведения трехмерной задачи к двумерной является принятие гипотезы недеформи-рованных нормалей - гипотезы Кирхгофа-Лява. Она состоит в том, что любое волокно нормальное к срединной поверхности до деформации, остается после деформации прямым и нормальным к срединной поверхности в ее новом очертании; вместе с тем длина волокна вдоль толщины оболочки (пластины) остается неизменной. Дополнительное допущение состоит в том, что нормальными напряжениями в направлении нормали к срединной поверхности можно пренебречь по сравнению с основными напряжениями. Под основными напряжениями в теории оболочек понимают нормальные и касательные напряжения в самой срединной поверхности и в слоях оболочки, ей параллельных. В такой модели горизонтальные перемещения точек оболочки (пластины) линейно зависят от расстояния до срединной поверхности, а вертикальные не изменяются:

W(z) = W - zVw, w(z) = w, (21 < d, где W(z),w(z) -■ горизонтальные и вертикальные перемещения произвольной точки оболочки (пластины), расположенной на расстоянии 2 от срединной поверхности, W, w - смещения точек срединной поверхности, 2d - толщина оболочки (пластины).

Для краевых задач, описывающих равновесие упругих оболочек (пластин), A.M. Хлудневым было предложено краевое условие, имеющее вид неравенства, при котором исключается взаимное проникание берегов трещины друг в друга

W)p>d\[~]\ на Г;, dv

1) где W] w - горизонтальные и вертикальные смещения точек срединной поверхности оболочки (пластины), скобки [•] обозначают скачок функции на берегах трещины, Г; - кривая, определяющая форму трещины, v - нормаль к Г;, 2d - толщина пластины. Постановка краевой задачи с условием (1) является наиболее точной, так как изначально исключается проникание берегов трещины друг в друга. Наличие краевых условий типа неравенств приводит к тому, что задачу о равновесии оболочки (пластины) удобнее формулировать в вариационном виде: минимизация функционала энергии на множестве допустимых смещений либо решение вариационного неравенства.

В настоящее время имеется ряд работ, в которых рассмотрены краевые задачи с .условиями на трещинах в виде неравенств (см. [2], [3],

В работах [67]-[80] рассмотрены задачи для упругих тел, имеющих трещины, исследованы свойства регулярности решений, выведены полные системы краевых условий на границе, доказана эквивалентность вариационной и дифференциальной постановок задач равновесия.

В статьях [67]. [68], [73] исследована сходимость последовательности решений задач равновесия пластины с условием (1) на трещине при d —» 0. Доказана сильная сходимость последовательности к решению задачи равновесия с приближенным условием непроникания на трещине, которое имеет следующий вид:

Следует заметить, что при полном учете толщины надо иметь в виду, что от d зависят как усилия, так и моменты и перерезывающие силы, и условие d = 0 соответствует полностью вырожденной задаче. В работах [67], [68], [73] предельный переход при d —»• 0 означает, что толщина оболочки считается фиксированной, а условие непроникания описывается приближенно.

46], [62], [63], [76]-[82]).

W]v > 0 на Г/.

2)

В работах [22], [23] приведены численные исследования для вариационных задач теории упругости с условиями непроникания берегов трещины, имеющими вид неравенств.

В [G7], [73] исследованы контактные задачи для различных задач нелинейной теории упругости. Доказаны существование решений, изучена гладкость решений. В [70], [71]. [72], [77], [82] исследованы вопросы выбора экстремальных форм включений, рассмотрены задачи оптимального управления вариационными неравенствами.

Для ряда краевых задач, описывающих равновесие упругих тел. содержащих трещины, A.M. Хлудневым, В.А. Ковтуненко, Я. Соколовским, М. Бахом, К. Отсука, Д. Хембергом получены ряд результатов, касающихся дифференцирования функционалов энергии.

В [63] рассмотрено упругое трехмерное тело, подчиняющееся закону Гука. содержащее двумерное включение (трещину). С помощью семейства достаточно гладких отображений введено общее возмущение области. Доказана сильная сходимость решений задач с возмущенной областью к решению задач с невозмущенной областью. При некоторых дополнительных условиях, наложенных на семейство отображений. получена формула производной функционала энергии упругого трехмерного тела для общего возмущения области.

В [2] сформулирована двумерная задача теории упругости с условием типа Синьорини на трещине и условием трения между берегами трещины. Задача является нелинейной и ставится в виде вариационного неравенства. Получена первая производная функционала энергии по отношению к параметру, который характеризует длину трещины.

В [64] для гладких областей получены материальные производные решений по отношению к параметру, характеризующему возмущение области.

Работы [24], [63], [78]-[80] посвящены получению производных функционала энергии, формулы Г'риффитсаили интеграла Черепанова-Райса для различных задач теории упругости для различных задач теории упругости. При этом задачи рассматриваются в негладких областях, краевые условия на трещине ставятся в виде приближенного условия непроникания берегов трещины.

В настоящей диссертационной работе изучаются краевые задачи для упругих тел (пластины и пологие оболочки) в негладких областях и граничными условиями типа неравенств.

В первой главе рассматривается пластина, находящаяся в равновесии под действием внешних сил. Равновесие пластины описывается бигармоническим уравнением. Считаем, что на внешней границе пластина жестко закреплена: ди л г и — —— — U на i , on где и - перемещения точек срединной поверхности пластины, п - вектор единичной нормали к внешней границе пластины Г.

На внутренней части границе Г/, соответствующей трещине, задаются естественные краевые условия:

М{и) = 0, Щи) =0 на Г,, где М(и) и Щи) изгибающий момент и перерезывающая сила, соответственно.

Задача равновесия пластины формулируется в виде минимизации функционала энергии на множестве допустимых смещений пластины.

Для малого параметра 6 > 0, характеризующего изменение длины трещины, рассматривается семейство задач, определенных в области V-s. Область соответствует пластине, содержащую трещину

Мы хотим отыскать производную функционала энергии по отношению к изменению длины трещины, то есть требуется найти = lim-^-, (3) do 5=0 t5—>■ 0 d где ,J(Qs) и J(Q0) ~~ значения функционалов энергии на решении для задачи с возмущенной областью Qg и невозмущенной областью Oq-соответственно.

Для того чтобы найти производную (3), мы вводим взаимно однозначное отображение области Qj на область Qq по формуле

Ух = Х1 - 6в(хих2), /4ч

У2 = х2, где 0 £ Cq°(Q) - произвольная функция, такая, что 9 = 1 в окрестности точки (/,0), 0 — 0 в окрестности точки (0,0).

При таком отображении множества допустимых смещений для задач равновесия пластин с возмущенной и невозмущенной областями переходят друг в друга взаимно однозначно. Этот факт используется при выводе формулы для производной функционала энергии по отношению к длине трещине.

Как основной результат главы выводится формула производной функционала энергии по отношению к длине трещины и проводится анализ полученной формулы. В частности, показано, что, во-первых, производная функционала энергии не зависит от выбора функции 9. а фактически зависит только от точки ж/, соответствующей концу невозмущенной трещины, и внешней нагрузки.

Во-вторых, показано, что если решение невозмущенной задачи достаточно гладкое, то производная (3) равна нулю.

Во второй главе рассматривается тонкая пластина в рамках модели Кнрхгофа-Лява, закрепленная по краям и находящаяся в равновесии под действием внешней нагрз^зки. Пластина имеет прямолинейную вертикальную трещину.

Равновесие пластины описывается следующими уравнениями: d^iW) . ji, г = 1,2, в dxj

Д V> = /3 в fi0, где Oij(W) - компоненты тензора усилий, \ = (W,w) - горизонтальные и вертикальные перемещения точек срединной поверхности пластины, ./' — (/] • /'25 /з) ~ вектор внешних сил.

Считаем, что на внешней границе выполнены условия жесткого защемления. то есть дги w = = W = 0 на Ш. on

На трещине Г; выполнены следующие краевые условия av(W)] = 0, (TS(W)= 0, [M(iu)} = 0, R{w) = 0 на Г/, dw

M{w)\<-(tv{W), M(w)[-j^] + <rv(W)lW]v = 0 на Г/.

Здесь M(w). R(w) - изгибающий момент и перерезывающая сила на Г/, соответственно, задаваемые формулами

M(w) = kAw + (1 - к)^, R{w) = ~Aw + (1 - fc)- ^ dv2' dv dud2s' s = (-^2,^1), а ^(W) - нормальные усилия, а сгДИ7) - касательная компонента вектора сил на Г/, которая определяются из следующей формулы ij{W)vj) = <rv{W)v + (Ts{W).

Также считаем, что на трещине выполнено условие взаимного непроникания берегов

W)v > dw dv

Так как краевые условия являются нелинейными, то задача равновесия пластины формулируется в вариационном виде, то есть в виде минимизации функционала энергии на некотором множестве допустимых смещений точек срединной поверхности пластины.

Для отыскания формулы производной функционала энергии вводится преобразование независимых координат (4) с дополнительным условием на финитную функцию 6, а именно в <2 = 0 на Г i+6Q, где <)() ~~ некоторое число, такое, что S < .

Далее установлен ряд свойств решений возмущенных задач, в частности, доказана лемма об устойчивости решений задач с возмущенной областью Qj.

В заключение главы выводится формула производной функционала энергии по отношению к изменению длины трещины. Формула записана в терминах перемещений точек срединной поверхности пластины.

В третьей главе рассматривается пологая оболочка в рамках модели Кирхгофа-Лява. Считается, что оболочка имеет вертикальную трещину переменной длины и находится в равновесии под действием внешней силы / = (/ь/2,/з)- Как говорилось выше, срединная поверхность оболочки отождествляется с плоскостью, но в то же время кривизны оболочки не равны нулю. Поэтому усилия <Jij(x) зависят не только от горизонтальных перемещений оболочки, но и от вертикальных и определяются следующими формулами

1 ди)г dujJ = 2% + = = ij{x) = £ij(w) + °п(х) = еп(х) + ke2<2{x)-, <тчч(x) = e22(x) + ^11 (x), vu{x) = (1 ~ k)e 12W, к = const, 0 < к < г, j = 1, 2, где к - коэффициент Пуассона, к^ £ C^fi) - кривизны оболочки. Ь'.лсо. считаем, что оболочка жестко закреплена на внешней границе, а на трещине выполнено условие типа Синьорини

W]v >0 на Г/. (5)

Условие (5) является приближенным условием непроникания берегов трещины.

Задача равновесия оболочки формулируется в виде задачи минимизации функционала энергии на множестве допустимых смещений точек срединной поверхности, которая в свою очередь эквивалентна вариационному неравенству.

Основными результатами главы являются доказательство двух теорем. В первой теореме устанавливается сильная сходимость решений задач равновесия пологой оболочки с возмущенной областью к решению задачи равновесия оболочки с невозмушенной областью в некотором пространстве Соболева.

Во второй теореме доказывается существование производной функционала энергии по отношению к изменению длины трещины, и выводится явная формула для этой производной. При выводе производной функционала энергии мы используем вариационные свойства решения задачи равновесия. При этом мы не находим материальную производную от решения, так как в противном случае нам бы пришлось отыскивать краевые условия на материальную производную от решения. Последнее является затруднительным, потому что задача равновесия оболочки является нелинейной, и краевые условия имеют вид неравенств.

Формула производной функционала энергии для пологой оболочки по отношению к параметру, характеризующему изменение длины трещины, записывается в терминах перемещений точек срединной поверхности оболочки.

1. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. Неклассические проблемы механики разрушения. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1991.

2. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

3. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник О.А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Мат. сборник. 1998, Т. 189, № 3, С. 45-68.

4. Irwin G.R. Fracture // Hundbuch der Physik, V.6. Berlin: Springer-Verlag, 1958.

5. Каминский А.А. Разрушение вязко-упругих тел с трещинами. Неклассические проблемы механики разрушения. Т. 1. Киев: Наукова думка, 1990.

6. Каминский А.А. Механика разрушения вязкоупругих тел. Киев: Наукова думка, 1980.

7. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983.

8. Кондратьев В.А., Копачек И., Олейник О.А. О характере непрерывности на границе негладкой области обобщенного решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения // Мат. сборник. 1990, Т. 181, 4, С. 564-575.

9. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН. 1988, Т. 43, № 5, С. 55-98.

10. Ковтуненко В.А. Вариационные и краевые задачи с трением на внешней границе // Сиб. мат. журнал. 1998, Т. 39, № 5, С. 913926.

11. Kovtunenko V.A. Shape sensitivity of curvilinear cracks // Newton Institute Preprint Ser., Cambridge, 1999.

12. Ковтуненко В.А. Метод численного решения задачи о контакте упругой пластины с препятствием //ПМТФ. 1994, Т. 35, № 5, С. 142-146.

13. Ковтуненко В.А. Решение задачи о балке с разрезом // ПМТФ. 1996, Т. 37, № 4, с. 160.

14. Kovtunenko У.A. Sensitivity of Interfacial Cracks to Non-linear Crack Front Perturbations // Z. Angew. Math. Mech. 2002, V. 82, № 6, pp. 387-398.

15. Cotterell В., Rice J. Slightly curved or kinked cracks // Int. J. Fracture, 1980, № 16, pp. 155-169.

16. Кравчук А.С. К задаче Герца для линейно- и нелинейно-упругих тел конечных размеров // ДАН СССР. 1976, Т.230, №2.

17. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

18. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и нелинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

19. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

20. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.

21. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

22. Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решений задачи Дирихле для бигармонического оператора // ДАН СССР. 1977, Т. 235, № 6, С. 1263-1266.

23. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Ленинград: Издательство ЛГУ, 1985.

24. Мазья В.Г., Назаров С.А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях вблизи угловых и конических точек // Труды Московского мат. общества. 1987. С. 79-129.

25. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Издательство Тбил. университета, 1981.

26. Миллер К. Ползучесть и разрушение. М.: Металлургия, 1986.

27. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

28. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980.

29. Морозов Е.М., Сапунов В.Т. Применение вариационного принципа к решению задач теории трещин в упруговязких средах. Прикладная математика, 1972, Т. 8, № 6.

30. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

31. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории зшругости. М. Наука. 1966.

32. Назаров С.А. Задача Синьорини с трением для тонких упругих тел // Труды московского мат. общества. 1993, № 56, С. 262-302.

33. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991.

34. Ohtsuka К. Generalized J-integral and three dimensional fracture mechanics I, Hiroshima math. J. // 1981, V. 11, pp. 21-52.

35. Ohtsuka K. Generalized J-integral and its applications. I. Basic theory // Japan Journal of Applied Mathematics. 1985, V. 2, pp. 329-350.

36. Ohtsuka K. Mathematics of Brittle Fracture // Theoretical Studies on Fracture Mechanics in Japan. 1997, pp. 99-172.

37. Ohtsuka К., Khludnev A.M. Generalized J-integral method for sensitivity analysis of static shape design // Control and Cybernetic. 2000, V. 29, № 2, pp.513-533.

38. Панагитопулус П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Наука, 1976.

39. Панасюк В.В., Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин // Физико-химическая механика материалов, 1979, Т. 4, С. 39-55.

40. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1988.

41. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин // Физико-химическая механика материалов. 1979, № 4, С.39-55.

42. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин // Физико-химическая механика материалов. 1979, № 5, С.45-65.

43. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин // Физико-химическая механика материалов. 1979, № 6, С. 17-26.

44. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988.

45. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1981.

46. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. VI.: Наука, 1985.

47. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975.

48. Рудой Е.М. Равновесие вязко-упругой пластины, имеющей вертикальную трещину // Тезисы докладов. Математические проблемы механики сплошных сред. Новосибирск, 1997.

49. Рудой Е.М. Асимптотика интеграла энергии при возмущении границы // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2000, Вып. 116, С.97-103.

50. Рудой Е.М. Устойчивость решения задачи равновесия пологой оболочки, содержащей трещину, при возмущении границы // Сиб. журнал индустриальной математики. 2001, Т. 4. С. 171-176.

51. Рудой Е.М. Формула Гриффитса для пластины с трещиной // Сиб. журнал индустриальной математики. 2002, Т. 5, С. 155-161.

52. Соколовский Я., Хлуднев A.M. О производной функционала энергии по длине трещины в задачах теории упругости // ПММ. 2000, Т. 64, вып. 3, С. 464-475.

53. Соколовский Я., Хлуднев A.M. О дифференцировании функционалов энергии в теории трещин с возможным контактом берегов // ДАН. 2000, Т. 374, № 6, С. 776-779.

54. Sokolowski J., Zolesio J.P. Introduction to shape optimization Shape sensitivity analysis, Springer, 1992.

55. Темам P. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991.

56. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

57. Хлуднев A.M. Контактная задача для пологой оболочки с трещиной // ПММ. 1995, Т. 59, вып. 2, С. 318-326.

58. Хлуднев A.M. О контакте двух пластин, одна из которых содержит трещину // ПММ. 1997, Т. 61, вып. 5, С. 882-894.

59. Хлуднев A.M. Задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей трещину // Сиб. мат. журнал. 1996, Т. 37, № 2, С. 452-463.

60. Хлуднев A.M. Об экстремальных формах разрезов в пластине // Изв. РАН. МТТ. 1992, № 1, С. 170-176.

61. Khludnev A.M. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control and Cybernetics. 1996, V. 25, N° 5, pp. 1015-1029.

62. Khludnev A.M. Existence of extreme unilateral cracks in a plate // Control and Cybernetics. 1994, У. 23, № 3, pp. 453-460.

63. Khludnev A.M. Contact problem for a plate having a crack of minimal opening // Control and Cybernetics. 1996, V. 25, Ar° 3, pp. 605-620.

64. Khludnev A.M. On contact problem for a plate having a crack // Control and Cybernetics. 1995, V. 24, № 3, pp. 349-361.

65. Khludnev A.M. On a Signorini problem for inclusions in shells // Euro. J. Applied Mathematics. 1996, V. 7, pp 499-510.

66. Khludnev A.M., Sokolowski J. Modeling and Control in Solid Mechanics. Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin. 1997.

67. Khludnev A.M., Kovtunenko V. Analysis of Cracks in Solids. WIT Press, Southampton-Boston, 2000.

68. Khludnev A.M., Ohtsuka K., Sokolowski J. On derivative of energy functional for elastic bodies with a crack and unilateral conditions // Quarterly Appl. Math. 2002, V. 60, № 1, pp. 99-109.

69. Khludnev A.M., Sokolowski J. The Griffith formulae and the Rice-Cherepanov integral for crack problems with unilateral conditions in nonsmooth domains. Europ. J. Appl. Math., 1999, V. 10, № 4, pp. .379-394.

70. Khludnev A.M., Sokolowski J. Griffith formulae for elasticity systems with unilateral conditions in domains with cracks // Europ. J. Mech. A/Solids. 2000, V. 19, pp. 105-119.

71. Hoemberg D., Khludnev A.M. Equilibrium problem for a thermoelectroconductive body with Signorini condition on the boundary // Math. Methods Appl. Sci. 2001, V. 24, pp.233-244.

72. Hoffmann K.-H., Khludnev A.M. On cracks of minimal opening in thermoelastic plate // Z. angew. Math. Mech. 2000, V. 80, № 4, pp. 253-258.

73. Черепанов Г.П. Механика разрушения композитных материалов. М.: Наука, 1983.

74. Черепанов Г.П. О распространении трещин в среде // ПММ. 1967, Т. 31, №3, С. 476-488.

75. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М. 1974.

76. Черепанов Г.П., Ершов Л.П. Механика разрушения. VI.: Машиностроение, 1977.

77. Экланд И, Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.